第3章Wigner分布

即 两个信号和的WVD并不等于它们各自WVD的和
式中2 Re Wx1,x2 t, 是x1 t和 x2 t 的互WVD，称之为“交叉项”，
它是引进的干扰。交叉项的存在是WVD的一个严重缺点。
进一步，若令 xt x1 t x2 t，yt y1t y2t
第3章 Wigner分布
则
Wx, y t, Wx1, y1 t, Wx2 , y2 t, Wx1, y2 t, Wx2 , y1 t,
则
Wx,y t,
r x, y
t,
e j d
（3.1.6）
显然这是普通的傅立叶变换式，只不过它依赖于时间t。但此
处的 rx,y t并,不 是我们以前定义过的相关函数。在时－频分 析中，我们称 rx,y t为,瞬 时自相关。
第3章 Wigner分布
3．2 WVD的性质
W t, 的奇、偶、虚、实性
➢ 调制——频率调制不变性
令
xt xt e j0t , yt yt e j0t
则
Wx,y t, Wx,y t, 0
（3.2.10） （3.2.11）
➢ 移位加调制
令
xt xt e j0t , yt yt e j0t
则
Wx,y t, Wx,y t , 0
（3.2.12）
第3章 Wigner分布
第3章 Wigner 分布
3.1 Wigner分布的定义 3.2 WVD的性质 3.3 常用信号的WVD 3.4 Wigner分布的实现 3.5 Wigner分布中交叉项的行为 3.6 平滑Wigner分布
第3章 Wigner分布
3.1 Wigner分布的定义 时－频分布分类
第3章 Wigner分布
➢ 时间尺度
令
xt （x为t 大于零的常数）
则
Wx
t,
1
W（x 3.t2,.13）
➢ 信号的相乘
令
yt xtht
则 Wy t, x t 2 h t 2 x t 2 h t 2 e j d
rx t, rh t, e j d
1
2
Wx
t
,
Wh
所以
Wx t,
xt
2 x＊t
2 e j d
e d 2T 2t j
2T 2t
2sin 2 T t
t
0 t
T T
（3.3.2）
第3章 Wigner分布
Wx t, 在 时间轴上只在的范围 T ~ T 内有值，在频率轴上是的
sin
函数。最大值出现在t, t,0 处，最大值Wx t,0 4T
2
Z
2Z
2 e jtd
（3.2.22）
将式（3.2.21）代入得：
Wx (t, )
2 2
X (
2) X * (
2)e jt d
（3.2.23）
第3章 Wigner分布
上式积分号中相当于乘了一个从 2至 2的 矩形窗。由
运算性质5，可得信号x(t)和其解析信号z(t) 的WVD之间的
Wx
t ,
Wh
t
t
,
dt
（3.2.15）
第3章 Wigner分布
➢ 信号的相加
令 xt x1 t x2 t ， 则
Wx t, x1 t 2 x2 t 2 x1 t 2 x2 t 2 e j d
Wx1 t, Wx2 t, 2 Re Wx1,x2 t,
（3.2.16）
后两项也是交叉项干扰。一般，若会有N个分量，那么这些 分量之间共产生N (N 1) 2 个互项的干扰。
第3章 Wigner分布
WVD的时限与带限性质
➢ 若在t ta 和 t tb 时，xt yt 0，即 xt, yt 是时限的，
则对一切 ，有
Wx,y t, 0 t ta 和 t tb （3.2.18）
2
Wx t,d
At 2
t
（3.2.25）
群延迟和WVD的关系 ：
g
tWx
t,
dt
W
x
t,
dt
（3.2.26）
第3章 Wigner分布
WVD的Parseval 关系
令 x(t)和 y(t)的WVD分别是Wx (t,)和Wy (t,) ，则
x(t) y(t)dt 2
t,
(2.3.14)
1
2
Wx
t,
Wh
t,
d
第3章 Wigner分布
即 两个信号积的自WVD等于这两个信号各自WVD在频率
轴上的卷积。
这是WVD的一个很好的性质，因为对无限长的信号加窗截短
时，只影响其频率分辨率，而不影响其时域分辨率。
➢ 信号的滤波
令
yt xt ht
则
Wy t, Wx t, Wh t, ]
关系，即
Wz
t,
4
Wx
t
,
sin2
0
（3.2.24）
0 0
第3章 Wigner分布
瞬时频率与群延迟
设信号xt 可写成解析形式，即 xt Ate jt， 其WVD
为Wx t, ，则 xt 的瞬时频率和WVD有如下关系：
i (t)
1
2
Wx
t,d
1
2
Wx
t,d
1
图3.3.1 例3.3.1的WVD
第3章 Wigner分布
例3.3.2 令 xt Ae j0t ，求 Wx t, 。
解：由定义
Wx
t,
Ae j0t A e 2 j0t 2e j d
A 2 e d j0
即
Wx t, 2 A 2 0
（3.3.3）
本例的 x(t) 为一确定性复正弦信号，当然也可以把它看
图3.3.3 例3.3.3的WVD
第3章 Wigner分布
例3.3.4、 令 xt A cos0t，求Wx t, 。
解： 因为 xt A e j0t e j0t ，由上例结果及WVD的运
算性质6，有
2
Wx
t,
A 2
2
0
0
2
cos20t
（3.3.4）
cos
0
t
的谱线包含两个分量，它们分别位于
x
t
exp
j2
f2t T 4 t T
2
exp j2 f3t T 2 t T
式中 f1 4 f 0 ，f2 2 f0 ，f 3 f 0 。
f
为某一基本频率。图3.3.3
0
是该信号的WVD。由该图可
清楚地看出WVD的时－频定
位功能。
注意，三段信号时频分布之间 有交叉项存在。
Wx, y
t,
2
xt
y（ 3t.1.3）e j2 d
第3章 Wigner分布
令 x1 xt 2， y1 y t 2则式（3.1.1）可变为：
Wx,y t, x1 y1 e j d X 1 Y1 4 X 2 Y 2 2 e j42t d
Wx
(t,
)W
y
(t,
)dtd
该式又称为Moyal’s 公式。
第3章 Wigner分布
WVD的缺点
➢ 两个信号和的WVD有交叉项存在，使得两个信号和的分布已 不再是两个信号各自分布的和；
➢ 由于WVD是信号能量随时间－频率的分布，因此，理论上讲，
应始终W为x 正t, 值 ，但实际上并非如此。 因为Wx t, 是rx t, x t 2 x t 2 的傅立叶变
➢ 由上述结论，若xt ，yt 均是因果信号，及当 t 0时
xt yt 0 ， 那么
Wx,y t, 0 t 0
（3.2.19）
➢ 若当 a 和 b 时，X Y 0 ，即 X 、Y
是带限的，则对一切的t ，有
Wx,y t, 0 a 和 b
（3.2.20）
取负值。 Wx t,
有可能
第3章 Wigner分布
由WVD重建信号x(t)
由（3.1.1）式，我们有
xt
2 x t
2 1
2
Wx t, e j d
令 t 2这一特定时刻，有
xt x 0 1
2
Wx
2 , e j d
1
2
Wx 2 , e jtd
于是
x
t
2
1 x
0（W3.x2.t92）,
作一个平稳的随机信号，因此，其WVD与时间 t 无关。对任
意的时间 t
，W x
t,
都是位于
处的
0
函数。如图3.3.2所
示。
第3章 Wigner分布
图3.3.2 例3.3.2的WVD
第3章 Wigner分布
例3.3.3 令 x(t)是由三个不同频率的复正弦信号首尾相连而形
成的，即 exp j2 f1t 0 t T 4
2
令 2 2，则上式变为
Wx , y
t,
1
2
X 2Y 2 e jtd （3.1.4）
对自WVD，有
Wx , y
t,
1
2
X 2 X 2 e jtd（3.1.5）
显然，WVD在时域和频域有非常明显得对称形式。
第3章 Wigner分布
若令 rx,y t, xt 2 y t 2
么xt， yt的联合Wigner分布定义为：
Wx,y t,
xt
2 y＊t
2 e j d
信号xt的 自Wigner分布定义为：
（3.1.1）
Wx t,
xt
2 （x＊3.t1.2）2 e j d
Wigner分布又称Wigner－Ville分布，简称为WVD。