第三章 统计数据分布特征的描述
第三章 统计数据分布的特征
12.42 6.60
82.2
调和平均数
各变量值的倒数的平均数。又称倒数平均 数。 n x 1 简单调和平均数
x
例题：书77页例3-2 加权调和平均数 x m m为权数 例题：见书78页例
m x
几何平均数
用于计算比率或速度的平均。 在计算社会经济现象时应用较多。 公式： N
i i 1
n
2
样本方差用（n-1）去除，从数学角度看是
因为它是总体方差σ2的无偏估计量。
n 1
k
分组数据
2
i 1
K
( X i X )2 fi
s2
i 1
( xi x ) 2 f i
k
f
i 1
K
i
f
i 1
i
1
标准差(例子)
某工会随机调查了5名工人上月的加班时间 如下表，平均加班时间为13小时。计算数 据的标准差。
1、集中趋势分析 2、离中趋势分析 3、分布偏态与峰度的测度
数据描述的数值方法
数据描述的数值方法
集中趋势
均 值
离散程度
极差 四分位距
分布的形状
偏 态 峰 度
中位数 众 数
方差和标准差 离散系数
2.2 分布集中趋势的测度
众数 中位数 分位数 均值 几何平均数 切尾均值
集中趋势
集中趋势：一组数据向其中 心值靠拢的倾向和程度。 集中趋势测度：寻找数据水 平的代表值或中心值。
特点：
反映了相对于均值的相对离散程度； 可用于比较计量单位不同的数据的离散程度； 计量单位相同时，如果两组数据的均值相差悬殊， 离散系数可能比标准差等绝对指标更有意义。
数据分布特征的描述
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算术平均数的性质
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算术平均数（均值）特征：
1. 集中趋势的最常用测度值； 2. 一组数据的均衡点所在； 3. 易受极端值的影响； 4. 由组距分组资料计算的均值有近似值性质； 5、用于数值型数据，不能用于分类数据和顺
（CM） （人）
152
1
154
2
155
2
156
4
157
1
158
2
159
2
160 12
161
7
162
8
163
4
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身高 人数
（CM） （人）
164
3
165
8
166
5
167
3
168
7
169
1
170
5
171
2
172
3
174
1
总计 83
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STAT
众数
32
注意：
众数不仅适用于测度顺序数据和 数值型数据的集中趋势，而且适用 于测度不能计算平均数的分类数据 的集中趋势。
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3
数据分布的特征：
一、集中趋势:反映数据向其中心靠拢或 聚集
程度；
二、离中趋势；数据远离中心的趋势(又称离散
程度)；
三、偏态和峰态；偏态是对数据分布对称性的度
量；峰度是指数据分布的平峰或尖峰程度
概率与数理统计第3章 数据分布特征的描述
第3章数据分布特征的描述[引例]根据国家统计局对全国31个省（自治区、直辖市）7.4万户农村居民家庭和6.6万户城镇居民家庭的抽样调查，2011年城乡居民收入增长情况如下1：2011年全国农村居民人均纯收入6977元，比上年增加1058元，增长17.9%。
剔除价格因素影响，实际增长11.4%，增速同比提高0.5个百分点。
其中，人均工资性收入2963元，同比增加532元，增长21.9%。
工资性收入对全年农村居民增收的贡献率达50.3%。
工资性收入占农村居民纯收入的比重达42.5%，同比提高1.4个百分点。
2011年农村居民人均纯收入中位数为6194元，比上年增加995元，增长19.1%。
农村居民人均纯收入中位数比人均纯收入低783元，但增速高1.2个百分点。
2011年城镇居民人均总收入23979元，其中，人均可支配收入21810元，比上年增加2701元，增长14.1%。
剔除价格因素影响，城镇居民人均可支配收入实际增长8.4%，增速同比提高0.6个百分点。
2011年城镇居民人均可支配收入中位数为19118元，比上年增加2279元，增长13.5%。
城镇居民人均可支配收入中位数比人均可支配收入低2692元，增速低0.6个百分点。
主要是受最低工资标准、城镇居民基本养老金和离退休金以及最低生活保障标准提高影响，城镇低收入户收入增速较高；同时高收入户也保持了较快的增长速度，所以中等收入户增速相对较慢。
2011年城镇居民人均可支配收入与农村居民人均纯收入之比为3.13：1，2010年该收入比为3.23:1。
本章小结1．总量指标是说明现象总规模和总水平的数值，又称为绝对数。
绝对数的计量单位有实物单位和价值量单位。
按反映总体内容不同，总量指标可分为总体单位总量和总体标志总量；按反映的时间状况不同，总量指标可分为时期指标和时点指标。
2．将两个有联系的数值对比得到的比率称为相对数。
相对数既有无名数形式也有复名数形式。
根据研究目的和对比基础的不同，有结构相对数、比例相对数、计划完成程度相对数、比较相对数、动态相对数和强度相对数等。
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映了全部数据的信息。众数、中位数和四分位数都是根据数据分布的特定位置所确定的集中 趋势测度值。算术平均数只能用于定量（数值型）数据，中位数、四分位数适用于定序数据 和定量数据，众数对所有形式的数据（定性数据和定量数据）都适用。本题中测验成绩的记 录结果为定性数据，所以 B 项正确。
答 ： 可 计 算 出 总 体 标 准 差 =100 × 10 ％ =10 ， 总 体 方 差 为 100 ， 于 是 峰 度 系 数 K=34800/10000=3.48，可以认为总体呈现非正态分布。
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峰度系数 K
5．一组数据呈微偏分布，且知其均值为 510，中位数为 516，则可推算众数为（ ）。 A．528 B．526 C．513 D．512 【答案】A
【解析】英国统计学家皮尔逊（ K.Pearson ）提出了一个经验公式：在数据分布呈轻
微偏态时，算术平均数和众数、中位数三者之间存在如下的近似关系：
，由此可得众数 M0 528 。
2．你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料 数量的（ ）。
A．均值 B．中位数 C．众数 D．四分位数 【答案】A 【解析】算术平均数是数值平均数，即它是利用全部数据加总来计算的平均数，综合反
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曲线的陡峭（或平坦）的程度。对峰度的度量通常以正态分布曲线为比较标准，一般将峰度
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5．现有一数列：3，9，27，81，243，729，2187，反映其平均水平最好用（ ）。 A．算术平均数 B．调和平均数
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第三章 数据分布特征的描述
一、单项选择题
1．甲班学生平均分是 80 分，标准差是 10 分；乙班同学平均分是 75 分，标准差是 5
分。由此可以认为（ ）。[武汉大学 2013 研]
A．甲班平均分的代表性好于乙班
B．乙班平均分的代表性好于甲班
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A．2.9
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B．3.4
C．3.9
D．4.1
【答案】A
【解析】极差，是用来表示统计资料中的变异量数，其最大值与最小值之间的差距；即
最大值减最小值后所得之数据。8 位居民看电视时间最长的是 4.4，最短的是 1.5，极差是
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3．一组数据排序后处于中间位置上的变量值称为（ ）。 A．众数 B．中位数 C．四分位数 D．平均数 【答案】B 【解析】中位数是一组数据排序后处于中间位置上的变量值。中位数将全部数据等分成 两部分，每部分包含 50%的数据，一部分数据比中位数大，另一部分则比中位数小。
【答案】D
【解析】平均废品率是某一段时期内同一总体中的废品数量与总体产品数量的相对数。
统计学第3章数据分布特征描述
3．分析现象之间的依存关系。 如研究劳动者文化程度与收入的关系。
4．（数值）平均指标是推断统计中的重要 统计量，是进行统计推断的基础。
几种常见的位置特征数
N
MH
N
i 1
1
1 xi
wi
wi
i 1
N
i 1
1 xi
wi
N
wi
i 1
MH
1 N1
N N1
i1 xi i1 xi
N
k0:几何平均数 加权
N
M G i 1w i x 1 w 1x2 w 2 xN w N
简单
M G N x 1x 2 x N
fi
i1
i 1(xifi)254 674 58 012 1110 ％ 01.7 1％
n(xifi) i1 xi
1 2％ 6 56 1 4％ 0 75 1 4％ 2 80 10350
（四）几何平均数（Geometric mean）
简单几何平均数— n个变量值连乘积的n次方根。
n（xi x)2 min
i1
性质（3）证明：
（三）调和平均数（Harmonic mean）
调和平均数，也称倒数平均数。 各变量值倒数（1/xi）的算术平均数的倒数。 计算公式为：
n
xHx11m1x12m12... x1nmn
m1m2... mn
m1m2 ... mn
与单项式分组资料一样，采用加权算术平均数计算。
概率与数理统计第3章数据分布特征的描述
概率与数理统计第3章数据分布特征的描述概率与数理统计是一门关于随机现象的描述和分析的学科。
在实际问题中，我们经常需要对数据进行分析和描述，以便更好地理解数据的特征和规律。
第三章主要介绍了数据分布的特征描述，包括中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量。
首先是中心位置度量，它用来描述数据集的平均水平。
一般来说，我们关心的是数据集的平均值和中位数。
平均值是数据的加权平均，它能够反映数据集的集中趋势。
平均值的计算公式是：```平均值=总和/观测数```中位数是按照数据的大小顺序排列后，处于中间位置的观测值。
中位数的计算方法是：```如果数据集的观测数为奇数，中位数为第(n+1)/2个观测值如果数据集的观测数为偶数，中位数为第n/2和(n/2+1)个观测值的平均值```其次是离散程度度量，它用来描述数据集的变异程度。
我们常用的度量指标有极差、方差和标准差。
极差是数据集中最大观测值与最小观测值之间的差距，它反映了数据的全局离散程度。
方差是每个观测值与数据集平均值的差的平方的平均值，它度量了数据的局部离散程度。
标准差是方差的平方根，它与方差具有相同的单位，能够更好地反映数据的离散程度。
最后是分布形状度量，它用来描述数据分布的偏度和峰度。
偏度是描述数据分布对称性的度量，正偏表示数据集的右尾较重，负偏表示数据集的左尾较重。
峰度是描述数据分布峰态的度量，正峰表示数据集的峰部较陡，负峰表示数据集的峰部较平。
偏度和峰度能够帮助我们了解数据分布的形态特征，从而判断数据集是否服从其中一种特定的分布。
在实际应用中，我们可以通过对数据集进行描述统计分析来了解数据的特征。
通过计算平均值、中位数、方差、标准差、偏度和峰度等指标，我们能够更好地理解数据的分布情况。
此外，我们还可以通过绘制直方图、箱线图、概率密度函数等图形来展示数据的分布特征，进一步加深对数据的认识。
总之，数据分布特征的描述是概率与数理统计中重要的内容之一、通过中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量，我们能够充分了解数据的平均水平、变异程度和形态特征，为进一步的数据分析和决策提供有力的支持。
第3章统计学数据分布特征的描述
第3章统计学数据分布特征的描述统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。
在统计学中，数据分布特征的描述是指通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。
数据的集中趋势描述了数据的平均水平或中心。
常用的统计量有平均值、中位数和众数。
平均值是将所有观测值相加然后除以观测值的总数，它能够反映数据的总体平均水平。
然而，当数据包含异常值时，平均值的计算结果可能会受到影响。
因此，中位数和众数在这种情况下被认为是更稳健的集中趋势度量。
中位数是将数据按大小排序，然后找出中间位置的观测值。
众数是数据中出现次数最多的观测值。
数据的离散程度描述了数据的变异程度或分散程度。
常用的统计量有方差、标准差和四分位差。
方差是观测值与均值之间差异的平方的平均值，它反映了数据的总体离散程度。
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的波动性。
四分位差是数据的上四分位数和下四分位数之差，它描述了数据的中间50%的变异程度。
数据的分布形态描述了数据的形状和对称性。
常用的分布形态有正态分布、偏态分布和峰态分布。
正态分布是最常见的分布形态，其特点是对称、钟形曲线。
偏态分布是指数据分布不对称的情况，主要分为正偏态和负偏态。
正偏态分布意味着数据的尾部偏向右侧，负偏态分布则意味着数据的尾部偏向左侧。
峰态分布用于描述数据的峰值的尖锐程度，主要分为正态分布、高峰态和低峰态。
除了统计量，还可以使用图表来对数据分布特征进行描述。
常用的图表包括直方图、箱线图和散点图。
直方图是通过将数据分组并在坐标轴上绘制各组的频率或相对频率来展示数据的分布形态。
箱线图通过绘制数据的分位数和异常值来展示数据的中位数、四分位数和离群观测值。
散点图用于展示两个变量之间的关系，特别适用于发现变量之间的相关性和异常值。
综上所述，统计学中的数据分布特征描述是通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。
这些描述能够帮助我们更好地理解数据，并对数据进行分析和解释。
数据分布特征的描述讲义
第三章数据分布特征的描述（一）教学目的通过本章学习，掌握数据分布集中趋势和分布离散程度的测度，重点掌握分组数据的均值和标准差及变异系数的计算与众数、中位数和均值的比较，并能灵活加以运用，了解数据分布形状（即偏态与峰度）及其测度。
（二）基本要求使学生熟练掌握数据分布特征的描述方法。
（三）教学要点1、集中趋势的测度指标及其计算方法；2、离散趋势的测度指标及其计算方法；3、数据分布偏态与峰度的测度。
（四）教学时数9课时（五）学习内容统计数据的分布特征可以从两个方面进行描述：一是数据分布的集中趋势，二是数据分布的离散程度。
集中趋势和离散程度是数据分布特征对立统一的两个方面。
本章通过介绍平均指标和变异指标这两种统计指标的概念及计算来讨论反映数据集中趋势和分散程度的两个方面的特征。
第一节数据分布集中趋势的测定集中趋势是指一组数据向某中心值靠拢的倾向，集中趋势的测度实际上就是对数据一般水平代表值或中心值的测度。
不同类型的数据用不同的集中趋势测度值，低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据，选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型来确定。
一般我们用平均指标作为集中趋势测度指标，本节重点介绍众数、中位数两个位置平均数和算术平均数、调和平均数及几何平均数三个数值型平均数。
一、众数(Mode)(一) 概念众数是指一组数据中出现次数最多的变量值，用M0表示。
从变量分布的角度看，众数是具有明显集中趋势点的数值，一组数据分布的最高峰点所对应的变量值即为众数。
当然，如果数据的分布没有明显的集中趋势或最高峰点，众数也可以不存在；如果有多个高峰点，也就有多个众数。
1.集中趋势的测度值之一；2.出现次数最多的变量值；3.不受极端值的影响；4.可能没有众数或有几个众数；5.适用于定类数据、定序数据、定距数据和定比数据。
众数的不唯一性：无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42（二）众数确定1.定类数据和定序数据众数的测定定类数据与定序数据计算众数时，只需找出出现次数最多的组所对应的变量值即为众数。
数据分布特征的统计描述
x xx1x2...xn
n
n
均值，即算术平均数
x 标志值或变量值
见49页例题
20
2、加权法：分组且各组标志值出现的次数 （权数 f ）不相等时，公式：
x xfx1f1x2f2...xnfn
f
f1f2...fn
x 为标志值，又称变量值； f 为各组标志值出现的次数
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21
某厂工人生产情况
第三章 数据分布特征的统计描述
除了统计图和统计表之外，还可以用少量 的特征值（代表值）对数据分布的数量规 律进行精确、简洁的描述。
1
离中趋势：即反映各数据远离中心值的程度 因为即使现象的集中趋势相同，其离中趋势 也可能不同。
离中趋势 (分散程度)
两个不同的曲线表示两个不同的总体，它们的 集中趋势相同但离中趋势不同。
“150个企业的平均计划完成百分数” 就是“150个企 业总的计划完成百分数”。
企业总计划完成百分数 = 总实际数 / 总计划数
计划完成 百分数％ 105~110 110~120 120~130
合计
企业 数n 30 70 50 150
计划产值 f
5700 20500 22500 48700
x
xf
％ 实际值
m 1m x
46
举例:
某蔬菜单价早中晚分别为0.5、0.4、 0.25（元/斤） （1）早中晚各买1元，求平均价格 （2）早中晚各买1斤，求平均价格 （3）早中晚各买2元、3元、4元，求平均价格 （4）早中晚各买2斤、3斤、4斤，求平均价格
47
（1）问：用调和平均。先求早、中、晚购买的斤 数。早 1/0.5=2(斤) 、中 1/0.4=2.5(斤)、晚 1/0.25=4(斤)
第3章 统计数据分布特征的描述
农民家庭年人均纯收入情况表 农民家庭数（户） 240 480 1 050 600 270 210 120 30 3 000
计
f M o - f M o -1
´ d M o ( f M o - f M o -1 ) + ( f M o - f M o +1 )
3.1
统计变量集中趋势的测定
统计学是关于收集、分析、表述和解释统计数据的方法论科学，她对统计数据的收集、分析、表述 和解释虽然要从每一个数据着手，但其着眼点即研究目的却是在于统计数据整体或者说研究现象的总体 特征。在一个统计总体中，每一个个体即统计单位都有自己的特征和属性，具体地就表现出不同的标志 值，我们不能用其中的某一个或某几个的标志值来代表全部数据的特征，而必须使用所有数据的代表值 来表述总体特征，这就必须测定变量的集中趋势。
1050 - 600 ´ 200 = 1551.8 （元） (1050 - 480) + (1050 - 600)
在不等距分组的条件下，众数必须根据频数密度或频率密度来计算。 众数是按照数据的位置计算的，它的长处是易于理解，不受极端数值的影响。当数据分布存在明显 的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数。但是其灵敏度、计算功能和稳定性差，具有不唯一 性，所以当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，便不适合使用众数（前者无众数， 后者为双众数或多众数，也等于没有众数） 。 2.中位数（Median） 中位数和众数一样，也是一种位置代表值，但是，它不能用于定类数据，只能在顺序及以上的数据 中使用，所以又称为次序统计量，用 Me 表示。 中位数是将总体中的数据按顺序排列后，处于数列中点位置上的那个数据值或变量值，或者说中位 数是累计频率数列中，累计频率为 0.50 所对应的变量值。 从中位数概念可见：在总体中，小于中位数的数据个数占一半，大于中位数的数据个数也占一半， 即中位数是将数据按大小顺序排列后，位于二等分点上的那个数据值。用中位数来代表总体中所有标志 值的一般水平，可以避免极端值的影响，在有的情况下更具有代表性。例如，人口的平均年龄会受到个 别特别长寿人口年龄的影响，使计算结果偏大，而年龄中位数则可以较好地体现人口年龄结构的特征， 国际上就使用人口的年龄中位数（30 岁）作为人口老龄化的一个判断标准。 中位数的确定方法，根据所掌握的数据不同而有所不同： （1）由顺序数据和未分组的数量数据确定中位数。这种情况下，确定中位数的方法是：先将总体 中的全部数据顺序排列，然后确定中位数的位置，处于中位数位置的标志值就是中位数。 顺序数据中位数的位置：
第三章练习与思考
第三章数据分布特征的统计描述学习目的和要求：通过本章的学习，掌握数据分布特征的各种描述方法；掌握不同测度方法的特点、应用条件及应用场合；能利用所学的方法对统计数据作各种统计描述。
难点释疑：(一)算术平均数通常用来反映总体分布的集中趋势，调和平均数往往只作为算术平均数的变形来使用，即在已知标志总量而未知总体单位总量的情况下计算调和平均数；而几何平均数较适用于计算平均比率和平均速度。
（二）调和平均数虽然是根据标志值的倒数计算的，但其结果不等于算术平均数的倒数。
在计算和应用平均指标时，除了考虑数理方面的要求外，更重要的是要考虑其现实的经济意义。
（三）平均数的性质是简捷计算法的基础，也是计算标志变异指标的基础。
掌握中位数和众数与算术平均数的关系的目的是能够根据其中的两个平均数大体计算出第三个平均数，并判断总体的分布状态。
（四）全距、四分位差、平均差、标准差在反映标志变异程度方面各有优缺点。
全距是描述数据离散程度的最简单测度值，它计算简单，易于理解，但不能全面反映总体各单位标志值的差异程度。
标准差与平均差的意义基本相同，但在数学性质上比平均差要优越，所以，在反映标志变动度大小时，一般都采用标准差。
标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。
（五）标准差系数的应用。
为了对比和分析不同平均水平总体的标志差异程度，就需要使用标准差系数。
它是标志变异的相对指标。
它既消除了变量数列变量值差异程度的影响，也消除了变量数列水平高低的影响。
练习题：（一）单项选择题(在下列备选答案中，只有一个是正确的，请将其顺序号填入括号内)1.平均指标反映了（）。
①总体变量值分布的集中趋势②总体分布的离散特征③总体单位的集中趋势④总体变动趋势2.加权算术平均数的大小（ ）。
①受各组标志值的影响最大 ②受各组次数的影响最大③受各组权数系数的影响最大 ④受各组标志值和各组次数的共同影响3.在变量数列中，如果变量值较小的一组权数较大，则计算出来的算术平均数（ ）。
统计学导论曾五一第三章数据分布特征的描述
统计学导论曾五⼀第三章数据分布特征的描述第三章数据分布特征的描述第⼀节统计变量集中趋势的测定⼀测定集中趋势的指标及其作⽤集中趋势(Central tendency)较⼤和较⼩的观测值出现的频率⽐较低，⼤多数观测值密集分布在中⼼附近，使得全部数据呈现出向中⼼聚集或靠拢的态势。
测度集中趋势的指标有两⼤类：数值平均数——是根据全部数据计算得到的代表值，主要有算术平均数、调和平均数及⼏何平均数；位置代表值——根据数据所处位置直接观察或根据与特定位置有关的部分数据来确定的代表值，主要有众数和中位数。
1．反映变量分布的集中趋势和⼀般⽔平。
如⽤平均⼯资了解职⼯⼯资分布的中⼼，反映职⼯⼯资的⼀般⽔平。
2．可⽤来⽐较同⼀现象在不同空间或不同阶段的发展⽔平。
不受总体规模⼤⼩的影响；在⼀定程度上使偶然因素的影响相互抵消。
3．可⽤来分析现象之间的依存关系。
如研究劳动者的⽂化程度与收⼊的关系。
4．平均指标也是统计推断中的⼀个重要统计量，是进⾏统计推断的基础。
⼆数值平均数（⼀）算术平均数（均值）⼀组数据的总和除以这组数据的项数所得的结果;最常⽤的数值平均数。
1．简单算术平均数把每项数据直接加总后除以它们的项数。
通常⽤于对未分组的数据计算算术平均数。
计算公式：2．加权算术平均数加权算术平均数的计算公式：加权—为了体现各变量值轻重不同的影响作⽤，对各个变量值赋予不尽相同的权数（fi ）。
权数（fi ，也称权重）权数——指在计算总体平均数或综合⽔平的过程中对各个数据起着权衡轻重作⽤的变量。
可以是绝对数形式，也可以是⽐重形式（如频率）来表⽰。
事实上⽐重权数更能够直接表明权数的权衡轻重作⽤的实质。
当权数完全相等（f1 =f2 =…= fn）时，加权算术平均数就成了简单算术平均数。
3．由组距数列计算算术平均数各组变量值⽤组中值来代表。
假定条件是各组内数据呈均匀分布或对称分布。
计算结果是近似值。
4．对相对数求算术平均数由于各个相对数的对⽐基础不同，采⽤简单算术平均通常不合理，需要加权。
第三章统计数据分布特征的描述
第三章统计数据分布特征的描述统计数据分布特征的描述是统计学中非常重要的一个概念，它用于对数据进行系统化的描述和分析。
统计数据分布特征的描述包括位置参数、散布参数和形状参数。
位置参数描述了数据集中心位置的特征。
最常用的位置参数是均值和中位数。
均值是指所有数据值的总和除以数据个数，它能够反映数据集的平均水平。
中位数是将数据值按大小排序后的中间值，它能够反映数据集的中心位置。
均值对异常值比较敏感，中位数能够较好地排除异常值的干扰。
散布参数描述了数据集的离散程度。
最常用的散布参数是方差和标准差。
方差是指每个数据值与均值之差的平方和的平均值，它能够反映数据集的离散程度。
标准差是方差的平方根，它与数据的单位相一致，常用于衡量数据的波动性。
方差和标准差越大，表示数据的离散程度越大。
形状参数描述了数据集的分布形状。
常用的形状参数包括偏度和峰度。
偏度是指数据分布的不对称程度，大于0表示右偏，小于0表示左偏，等于0表示对称。
偏度能够反映数据集的分布形态。
峰度是指数据分布的尖锐程度，大于0表示尖锐，小于0表示平坦，等于0表示与正态分布相似。
峰度能够反映数据集的尖峰或扁平程度。
除了这些常见的参数之外，还有其他一些描述统计数据分布特征的方法，如四分位数和箱线图。
四分位数是将数据分为四等分的值，它包括上四分位数、下四分位数和中位数。
上四分位数是四分之三分位数，下四分位数是四分之一分位数。
箱线图是以箱子和线段的形式展示数据分布特征，箱子的上边界和下边界分别代表上四分位数和下四分位数，箱子的中线代表中位数，箱子的长度代表数据的离散程度。
统计数据分布特征的描述对于研究数据的特征、提取有效信息以及进行统计推断都非常重要。
了解数据的位置、散布和形状特征能够帮助研究者更好地理解数据集的性质和规律。
在实际应用中，统计数据分布特征的描述还可以帮助决策者进行决策，例如对于质量控制的判断和产品的质量评估等。
综上所述，统计数据分布特征的描述是对数据集进行系统化描述和分析的重要工具。
统计学第三章 数据分布特征的描述.ppt
600 —700 700 以上 合计
职工人数（人）
f
f/∑f
50 16.7
70 23.3
120 40.0
60 20.0
300 100.0
要求：根据资料计算全部职工的平均工资。
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例3权数的选择
当分组的标志为相对数或平均数时，经常会遇到 选择哪一个条件为权数的问题。如下例：
女性为63319万人) （三）比较相对指标
甲总体某指标值 比较相对指标=—————————×100%
乙总体同类指标值
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（四）强度相对指标
某一总量指标数值
强度相对指标=—————————————
另一有联系而性质不同的总量指标数值
如：2005年一季度城镇居民人均可支配收入为 2938元
___ x1 x2 ... xn x
Xn
n
(2)加权算术平均数
它适合于计算分组数列的平均数。
其计算公式为：
___
X
x1 f1 x2 f2 ... xn fn f1 f2 ... fn
xf
f
xf f
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统计学第三章 数据分布特征的 描述
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第一节 总量指标 一、总量指标的概念、作用
（一）概念 又称绝对数。它是表明一定时间、地点和
条件下某种社会经济现象总体规模或水平的统 计指标。 （二）作用
1.是反映总体基本状况，社会经济活动绝对 效果的统计指标；
对统计数据的分布特征，主要从哪几个方面进行描述？
对统计数据的分布特征，主要从哪⼏个⽅⾯进⾏描述？
数据分布特征可以从集中趋势、离中趋势及分布形态三个⽅⾯进⾏描述。
1、平均指标是在反映总体的⼀般⽔平或分布的集中趋势的指标。
测定集中趋势的平均指标有两类：位置平均数和数值平均数。
位置平均数是根据变量值位置来确定的代表值，常⽤的有：众数、中位数。
数值平均数就是均值，它是对总体中的所有数据计算的平均值，⽤以反映所有数据的⼀般⽔平，常⽤的有算术平均数、调和平均数、⼏何平均数和幂平均数。
2、变异指标是⽤来刻画总体分布的变异状况或离散程度的指标。
测定离中趋势的指标有极差、平均差、四分位差、⽅差和标准差、以及离散系数等。
标准差是⽅差的平⽅根，即总体中各变量值与算术平均数的离差平⽅的算术平⽅根。
离散系数是根据各离散程度指标与其相应的算术平均数的⽐值。
3、矩、偏度和峰度是反映总体分布形态的指标。
矩是⽤来反映数据分布的形态特征，也称为动差。
偏度反映指数据分布不对称的⽅向和程度。
峰度反映是指数据分布图形的尖峭程度或峰凸程度。
统计数据分布特征的描述
3100.5
（三）标准差的用途
◆广泛用于表明数据的离散程度或离中趋势。
◆标准差是进行相关分析和统计推断的必须 量数。
（四）离散系数
1.标准差与其相应的均值之比 2.消除了数据水平高低和计量单位的影响 3.测度了数据的相对离散程度 4.用于对不同组别数据离散程度的比较 5.计算公式为
数据分布的特征
集中趋势 (位置)
离中趋势 (分散程度) 偏态和峰度 （形状）
第1节：数据分布集中程度的描述指标 —平均指标
一、数值平均数 （一）、简单算术平均数 1、平均数的计算方法 (1）、原始数据
（2）、分组数据（见加权均数）
▪ 原始数据: 10 5 9 13 6 8
2、均数的性质 3、平均数应用中的优缺点
较小的一半中间位置的那个数值。
2、性质：
3、计算 （1）原始数据：
（2）分组数据：
4. 该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布
4、用途：
（1）用于顺序数据集中趋势的度量。 （2）用于数值型数据中出现离群数值时。 （3）用于数值型数据中两端数值或个别数
据不清楚时。
（二）众数
1、定义：指一组数据中出现次数最多的那 一个数值。
2. 相邻两组的频数相等时，众数组的组中值
即为众数
Mo
3. 相邻两组的频数不相等时，众数采用下 列近似公式计算
Mo
4. 该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布 Mo
3、众数的用途： （1）用于分类数据集中趋势的度量。 （2）用于数值型数据中需要快速而粗略地
寻找代表值时。
（3）用于粗略地估计频数分布的形态。
2、众数的求法： （1）未分组数据：出现次数最多者。
第三章统计数据分布特征的描述
第三章统计数据分布特征的描述统计数据分布特征的描述是统计学中的重要概念之一、它是通过对数据进行整理、组织和分析来了解数据的分布情况，帮助我们更好地理解数据的特点和趋势。
一、数据分布特征的描述方法在统计学中，数据分布特征主要通过以下两种方法进行描述：1.图形描述法：通过绘制图表来展示数据的分布情况。
常见的图形描述方法有直方图、条形图、饼图、箱线图等。
直方图是一种用于展示数据分布的图形。
它将其中一范围内的数据分成若干个等宽的区间，并统计每个区间中数据的频数或频率，然后绘制柱状图来表示。
箱线图是一种用于展示数据分布和异常值的图形。
它将数据划分为四个部分：最大值、上四分位数、中位数、下四分位数和最小值，并通过画出盒子和须来表示数据的分布情况。
2.数值描述法：通过使用统计指标和参数来描述数据的分布情况。
常见的数值描述方法有均值、中位数、众数、标准差、方差等。
均值是指将所有数据相加后再除以数据的总个数的得到的值，代表了数据的平均水平。
中位数是指将数据按大小排序后，处于中间位置的值，代表了数据的中心位置。
众数是指数据集中出现次数最多的值，代表了数据的集中趋势。
标准差是指数据在均值附近的波动程度，代表了数据的离散程度。
方差是指数据与均值之间的平均差的平方的平均值，代表了数据的离散程度。
二、数据分布特征的描述步骤要进行数据分布特征的描述，一般需要进行以下步骤：1.数据的整理和搜集：搜集所需的数据，并将其整理成适合进行分析的形式。
2.确定描述方法：根据数据的特点和目标，选择适当的图形描述法或数值描述法。
3.进行描述分析：根据所选的描述方法，对数据进行分析和计算，得出相应的描述结果。
4.解释和应用：根据描述结果，解释数据的分布特征，并根据需要进行相应的应用。
三、数据分布特征的描述应用数据分布特征的描述在实际应用中有很多用途，以下是几个常见的应用：1.判断数据是否符合其中一种分布：通过对数据的分布特征进行描述，可以判断数据是否符合正态分布或其他特定的分布形式。
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２ ．根据组距式数列确定众数
例 3‐12 根据表３‐４ 的资料计算众数 。
第一步 ：确定众数组 。表 ３‐４ 中数据显 示 ，月工资在 800 — 1000 元这一组的职 工人数最多 ，为 70 人 ，因此 ，这一组即 第二组为众数组 。
第二步 ：将相关数据代入下限公式或上限 公式进行计算 。
四 、离散系数
计算变异指标的相对指标 ——— 离散 系数 ，又称为变异系数 ，通常用 V 表示 ， 它是极差 、平均差 、标准差与其平均指 标对比的结果 ，分别称为极差系数 、平 均差系数和标准差系数 ，其计算公式为
例 3‐17 有甲、乙两个村子，每村各户年 收入情况如表3‐9 所示 ，计算两村村民年 收入的平均数和标准差系数 。
70 ，但极差不同 ，甲数列 R ＝ 4 ，乙数 列 R ＝ 40
二 、平均差
平均差是指总体所有单位的标志值与 其算术平均数的离差绝对值的算术平均数 ， 通常用 A ．D表示 。
（一） 简单式平均差
例 3‐14 某车间有两个生产小组，每组５ 个工人，每人日产量（件）如表３‐６ 所 示 ，试计算其平均差 。
按众数的下限公式计算 ：
一 、极差
极差又称为全距 ，是总体中或分布中 最大的标志值与最小的标志值之差 ，一般
用 R来表示 。其计算公式为
R ＝ x max － x min
例 3‐13 有甲、乙两个数列： 甲数列 68 69 70 71 72 ， x ＝ 70 ，R ＝ 4 乙数列 50 60 70 80 90 ， x ＝ 70 ，R ＝ 40 由结果可知 ，这两个数列的平均数均为
根据式（3‐10） 可确定中位数位置 ：
（二）众数
１ ．根据单项式数列确定众数
（１） 确定众数组 ，即出现次数最多的组 ；
（２） 确定众数值 ，即众数组所对应的具体 数值 。
例 3‐11 调查100名顾客所购买皮鞋的有关 资料如表３‐５ 所示 ，找出众数 。
从表 ３‐５ 中可以看出 ，购买 24 厘米皮 鞋的顾客最多 ，有 40 人 ，因此 24 厘米就 是众数 。
统计学
作者：张增臣
责任编辑：朱玲 出版日期：2012年3月 IDPN: 308-2011-80 课件章数：11
第一节 统计数据分布集中趋势的测度 第二节 统计数据分布离散趋势的测度 第三节 统计数据分布的偏态与峰度的测度
一 、数值平均数
数值平均数就是根据统计数列中的所有 数据计算的平均数 ，能够概括反映整个数 列所有数据的平均水平 。
一 、偏态
（一） 偏态的概念
如果次数分布在中位数两边是对称的 ， 则称为对称分布 ，即正态分布 ；如果次 数分布在中位数两边是不对称的 ，则称为 偏态分布 。
（二） 偏态的测度 １ ．算术平均数与众数比较法
偏度系数 ，通常用 SK 表示 ，计算公式为:
２ ．矩法 （１） 矩的形式
例 3‐3 某班级50名学生的“统计学原理” 课程考试成绩如表３‐２ 所示 ，计算此班 级该课程的平均成绩 。
该班学生统计学原理的平均成绩为:
（二） 调和平均数 １ ．简单调和平均数
例 3‐4 某市场苹果的价格早、中、晚分 别为每斤２元、1.8元和1.5元，若各买１ 元钱的苹果 ，求其平均价格 。
三 、应用 Excel 进行统计量描述 （一）用函数计算描述统计量 （二） 用描述统计工具的方法计算统计量
（一）算术平均数
算术平均数 ＝总体标志总量/总体单位总量 １ ．简单算术平均数
例 3‐1 一个学习小组有5名学生，他们一 天背诵英语单词量分别为18个、20个、25 个 、28 个和 29 个 ，问这 5名学生这一天 平均背诵单词量为多少 ？
２ ．加权算术平均数
例 3‐2 某车间有10名工人，按日生产零 件数分组编制单项式变量数列如表３‐１ 所示 ，计算平均日产量 。
① 将标志值按从小到大顺序排列 ，即 4 ，6 ，6 ， 8 ，9 ，12 ，14 ；
② 根据公式确定中位数位置 ，即（7 ＋ 1）／2 ＝4；
③ 变量值为 7 个 ，是奇数项 ，则居于第四位的 变量值 8 即为中位数 。
２ ．根据已分组资料计算中位数
例 3‐10 某企业200名职工的月工资分布 如表３‐４ 所示 ，试确定中位数 。
当A＝０时
当 A ＝x －
（２） 偏度系数
二 、峰度 （一） 峰度的概念 峰度是测定次数分布曲线顶端尖峭程
度的指标 。 峰度主要分为正态峰度 、尖顶峰度和
平顶峰度三种 。
（二） 峰度的测度
K ＝ ０ ，次数分布为标准正态分布 ； K ＞ ０ 时 ，次数分布曲线为尖顶曲线 ； K ＜ ０ 时 ，次数分布曲线为平顶曲线 。
２ ．加权调和平均数
（三） 几何平均数 １ ．简单几何平均数
２ ．加权几何平均数
二 、位置平均数 （一） 中位数 １ ．根据未分组资料计算中位数
例 3‐8 设有7个工人生产某种产品，他们的 日产量（件）分别为6，4，6，8，9，14，12， 求中位数 。
由于例题中所给资料未分组 ，则可按上述步 骤：
A ．D 甲 ＝ 6／5 ＝ 1.2（件） A ．D 乙 ＝ 60／5 ＝ 12（件）
（二） 加权式平均差
例 3‐15 某企业某月工人按日包装箱数分 组，资料如表３‐７ 所示 ，计算其平均差 。
三 、方差与标准差 （一） 简单平均式
（二） 加权平均式
例 3‐16 已知某车间有两组工人，第一组工人 的平均工资为767元，其标准差为92元；第二组 工人的工资情况如表 ３‐８ 所示 ，试计算第二组 工人的平均工资及标准差 。