振动理论课后答案

1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐

振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制?

解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为

，

x=A sin10πt ；

由物体的受力分析，N= 0（极限状态）

物体不跳离平台的条件为：；

既有，

,

由题意可知Hz，得到，mm。

1-2有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm及

cm时的速度分别为20 cm/s及cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。解：

设该简谐振动的方程为；二式平方和为

将数据代入上式：

；

联立求解得

A=10.69cm；1/s；T=s

当时，取最大，即：

得：

答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。

1-3 一个机器内某零件的振动规律为

，x的单位是cm，1/s 。这个

振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。

解：

振幅A=0.583

最大速度

最大加速度

1-4某仪器的振动规律为。此振动是否为简谐振动?试用x- t坐标画出运动图。

解：因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ωT2=2π/3ω，所以，合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。

1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为和，试求它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。

解：两简谐振动分别为，，

则：=3cos5t+3isin5t

=5cos(5t+)+3isin(5t+)

或；

其合成振幅为：=

其合成振动频率为5t，初相位为：=arctan

则他们的合成振动为：实部：cos(5t+ arctan)

虚部：

sin(5t+ arctan)

1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。

解∶三角波一个周期内函数x (t)可表示为

，

由式得

n=1，2，3……

于是，得x(t)的傅氏级数

1-7将题1-7图的锯齿波展为傅氏级数，并画出频谱图。

解∶锯齿波一个周期内函数P (t)可表示为

，

由式得

n=1，2，3……

于是，得x(t)的傅氏级数

,

1-8将题1-8图的三角波展为复数傅氏级数，并画出频谱图。

；

P(t)平均值为0

+

+

将代入整理得

1-9求题1-9图的矩形脉冲的频谱函数及画频谱图形。

解：

可表示为

由于

得：

即：

1-10 求题1-10图的半正弦波的频谱函数并画频谱图形。

解：

频谱函数：

2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。已知，︒=30α，m = 1 kg ，k = 49 N/cm ，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。

图 T 2-1

答案图 T 2-1

解：

0sin kx mg =α，1.049

21

8.91sin 0=⨯

⨯==

k

mg x α

cm

701

10492

=⨯==-m k n ωrad/s

t t x x n 70cos 1.0cos 0-==ωcm

2.1 图E2.2所示系统中，已知m ，c ，1k ，2k ，0F 和ω。求系统动力学方程和稳态响应。

图E2.1

答案图E2.1(a) 答案图E2.1(b)

解：

等价于分别为1x 和2x 的响应之和。先考虑1x ，此时右端固结，系统等价为图（a ），受力为图（b ），故：

()()x c x k x c c x k k x

m 112121+=++++ t A c A k kx x c x

m 1111111cos sin ωωω+=++

（1）

21c c c +=，21k k k +=，m

k k n 2

1+=

ω （1）的解可参照释义（2.56），为：

()()

()()

()

()()

2

2

2111

112

2

2111121cos 21sin s s t k

A c s s t k

A k t Y ξθωωξθω+--+

+--=

（2）

其中：

n s ωω1=

，2

1112s s tg -=-ξθ ()

()()2

12

12212212

2112

121k k c c k k k k c s ++++=

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++=+ω

ωξ

k 2x

2 (11x k - )11x x

c -

1

()()

()()

()2

12

1

2

212

21212

21121221212

2

2 121k k c c m k k

k k c c k k m s s +++-+=

⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-ωωωωξ

故（2）为：

()()()

()

()()()()

21121

2

2

1

2

21

21

21

2121

1

212

212

2

1

21111111111sin cos sin θθωω

ω

ωωωθωωθω+-++-++=++-+-+-=

t c c m k k

c k A c c m k k t A c t A k t x

()()m k k c c tg k k m k k c tg s s tg 21

211

2112

121

211121

1112ωωωωξθ-++=+-+=-=---

1

1

11

2k c tg ωθ-=

考虑到()t x 2的影响，则叠加后的()t x 为：

()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-++-++-++=--=∑

i i i i i i i i i i i i i k c tg m k k c c tg t c c m k k c k A t x ωωωωωωω1221211

2

1

222122212

22sin

2.2 如图T 2-2所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2

W 从高度为h 处自由下落到1W 上而无弹跳。求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。