垂径定理的讲义

2、内容提要：

圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。

垂径定理

⎩

⎨

⎧

平分弦所对的两条弧。

）的直径垂直于弦，且

推论：平分弦（非直径

对的两条弧；

平分弦，并且平分弦所

定理：垂直于弦的直径

推论：平行的两弦之间所夹的两弧相等。

相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。

应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题

（利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE）。

3、垂径定理常见的五种基本图形

4、垂径定理的两种变形图

基本题型

一、求半径

例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（

（A）5 （B）7 （C）

37

5

（D）

37

7

图1

练习1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求圆的半径.

练习2、如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 为的中点，若32=BC ，O 到AB 的距离为1.

求⊙O 的半径.

练习3、如图，一个圆弧形桥拱，其跨度AB 为10米，拱高CD 为1米.求桥拱的半径.

二、求弦长

例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图2所示，则这个小孔的直径AB mm ．

练习2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面

如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是 cm.

D

C

O A

B

图3

B

A

8mm

图2

三、求弦心距

例 3.如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，

CD OF ⊥于F .

（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.

练习3.如图4，O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．

四、求拱高

例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．

五、求角度

例5.如图6，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC =60º，则∠B = ．

六、探究线段的最小值

例6.如图7，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．

七、其他题型

例7、如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.

B

D

C

E O

图4

C

O

A

B

D C

A

O

图5

C

O

D

A B

图6

C O

A

B

P

图7

例8、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.

例9、如图所示，P 为弦AB 上一点，CP ⊥OP 交⊙O 于点C ，AB ＝8，AP:PB ＝1:3，求PC 的长。

例10、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。

例11、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC

于D ，求证：AD=2

1BF.

C

A

D E

O

A

E

F