最新2016考研高数重点知识泰勒公式

考研数学考点解析：泰勒公式

考研数学考点解析：泰勒公式
泰勒公式是一元函数微分学的重要内容。

在数一数二中对它的要求是理解，属于重点考查的内容，数三中的要求是了解。

但从近几年的试题来看，对泰勒公式的要求数三与数一数二的在逐渐模糊。

这就对数三的考生也提出了更高的要求，要以更高的标准来要求自己。

在考研数学中，泰勒公式主要在计算极限、高阶导数及一些证明题中有重要应用，在下册中无穷级数里也会用到泰勒公式的一些内容。

在本文里中公考研数学名师李擂老师先为大家介绍泰勒公式的主要内容及对考生的基本要求，最后再通过一些简单的例题来演示泰勒公式在具体的解题过程中的应用。

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(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：)()()()(000x x x f x f x x f ∆+∆'+=∆+ο这样当1<<∆x 时可得近似公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000或))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：（1）近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．2.1 Taylor 公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …n a 如何确定呢？假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=于是得：)(00x f a =第2章预备知识2求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!2)(02x f a ''= 这样进行下去可得：!3)(03x f a '''=，!4)(0)4(4x f a =，… ，!)(0)(n x f a n n = 因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：k nk k nn x x k x f x x n x fx x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(000)(00)(000-=-++-'+=∑= （2.2）即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)(...)(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+=称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数!)(0)(k x fk ),...,3,2,1(n k = ，称为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．2.2 Taylor 公式的各种余项对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有10)1(00)(000)()!1()()(!)(...))(()()(++-++-++-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ (2.3) 推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．推论2]10[ 在定理1中,若令)0()()1(!)()(101)1(>--⋅=+-++p x x n p fx R n p n n n θξ则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日型余项．若令1=p ，则得)0()()1(!)()(10)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ,此式称为柯西余项公式．当00=x ，得到泰勒公式：11)(2)!1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ （2.4）则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式）若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，则有∑=-=nk k k n x x k x fx P 000)()(!)()(， )()()(x P x f x R n n -=．则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有))(()(!)(...))(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=ο （2.5）定理3所证的（2.5）公式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=，称为泰勒公式的余项的，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式当（2.5）式中00=x 时，可得到)(!)0(...!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2.6）（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．由于))(()(0n n x x x R -=ο，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．第2章预备知识4定理３设0>h ，函数)(x f 在);(0h x U 内具有2+n 阶连续导数，且0)(0)2(≠+x f n ，)(x f 在);(0h x U 内的泰勒公式为10,)!1()(!)(...)()()(10)1(0)(000<<+++++'+=+++θθn n n n h n h x fh n x fh x f x f h x f （2.7）则21lim 0+=→n h θ．证明：)(x f 在);(0h x U 内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：)()!2()()!1()(!)(...)()()(220)2(10)1(0)(000++++++++++++'+=+n n n n n n n h h n x f h n x f h n x f h x f x f h x f ο将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出)()!2()()!1()(-)(220)2(10)1(0)1(++++++++=++n n n n n n h h n x fhn x fh x fοθ，从而220)2(0)1(0)1()()!2()()()()!1(+++++++=-+⋅+n n n n n h h n x f h x f h x fn οθθθ，令0→h ，得)!2()()(lim )!1(10)2(0)2(0+=⋅⋅+++→n x fx f n n n h θ，故21lim 0+=→n h θ．由上面的证明我们可以看得出，当n 趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．第3章泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x 及0x 处函数)(0x f 及n 阶导数值：)(0x f '，)(0x f ''，…，)(0)(x fn ，以及用这些值表示动点x 处的函数值)(x f ，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．3.1 应用Taylor 公式证明等式例3.1.1 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证： ),(b a c ∈∃，使得3))((241))(2()()(a b c f a b b a f a f b f -'''+-+'+= 证明： (利用待定系数法)设k 为使下列式子成立的实数：0)(241))(2()()(3=---+'--a b k a b b a f a f b f （3.1）这时，我们的问题归为证明：),(b a c ∈∃，使得：)(c f k '''=令3)(241))(2()()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--=，则0)()(==b g a g ．根据罗尔定理，),(b a ∈∃ξ，使得0)(='ξg ，即：0)(82)()2()2()(2=---+''-+'-'a k a a f a f f ξξξξξ 这是关于k 的方程，注意到)(ξf '在点2ξ+a 处的泰勒公式：2))((812)()2()2()(a c f a a f a f f -'''+-+''++'='ξξξξξ 其中),(b a c ∈∃，比较可得原命题成立．例3.1.2 设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数，试证：),(b a c ∈∃，使得3))((241)2()()(a b c f b a f a b dx x f ba-''++-=⎰．（3.2）证明：记20ba x +=，则)(x f 在0x 处泰勒公式展开式为： 20000)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ （3.3）对（3.3）式两端同时取[]b a ,上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：),(b a c ∈∃，使得第3章泰勒公式的应用632020))((121)()())((a b c f dx x x c f dx x x f baba-''=-''=-''⎰⎰ξ 因此原命题式成立．因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．3.2 应用Taylor 公式证明不等式例3.4设)(x f 在[]b a ,上二次可微，0)(<''x f ，试证：b x x x a n ≤<<≤≤∀...21，0≥i k ，11=∑=n i i k ，∑∑==>ni i i n i i i x f k x k f 11)()(．证明：取∑==ni i i x k x 10，将)(i x f 在0x x =处展开))(()()(2)())(()()(00020000x x x f x f x x f x x x f x f x f i i i i i -'+<-''+-'+=ξ 其中()n i ,...,3,2,1=．以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11=∑=ni i k()00110=-=-∑∑==x x k x xk ni i i ni ii得：)()()(101∑∑===<ni i i ni i ix k f x f x f k．例3.2.2 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，当10≤≤x 时，1)(≤x f ，2)(<''x f ．试证：当10≤≤x 时，3)(≤'x f ．证明：)(t f 在x 处的泰勒展开式为：2)(!2)())(()()(x t f x t a f x f t f -''+-'+=ξ 其中将t 分别换为1=t ，0=t 可得：2)1(!2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ （3.4） 2)(!2)())(()()0(x f x x f x f f -''+-'+=η （3.5）所以（3.4）式减（3.5）式得：22!2)()1(!2)()()0()1(x f x f x f f f ηξ''--''+'=- 从而，312)1(2)(21)1()(21)0()1()(2222=+≤+-+≤''+-''++≤'x x x f x f f f x f ηξ 例3.2.3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：),(b a ∈∃ξ，有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．证明：)(x f 在a x =，b x =处的泰勒展开式分别为：21)(!2)())(()()(a x f a x a f a f x f -''+-'+=ξ，),(1x a ∈ξ 22)(!2)())(()()(b x f b x b f b f x f -''+-'+=ξ，),(2b x ∈ξ令2ba x +=，则有 4)(!2)()()2(21a b f a f b a f -''+=+ξ，)2,(1ba a +∈ξ （3.6）4)(!2)()()2(22a b f b f b a f -''+=+ξ，),2(2b b a +∈ξ （3.7）（3.7）－（3.6）得：[]0)()(8)()()(122=''-''-+-ξξf f a b a f b f 则有[])()(8)()()(8)()()(122122ξξξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤''-''-=- 令{})(,)(max )(21ξξξf f f ''''=''，即有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．例3.2.4 设)(x f 二次可微，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x ，试证：16)(min 10-≤''≤≤x f x ．证明：因)(x f 在[]1,0上连续，故有最大值，最小值．又因2)(max 10=≤≤x f x ，0)1()0(==f f ，故最大值在()1,0内部达到，所以()1,00∈∃x 使得)(max )(100x f x f x ≤≤=于是)(0x f 为极大值，由费马定理有：0)(0='x f ，在0x x =处按Taylor 公式展开：)1,0(,∈∃ηξ使得：第3章泰勒公式的应用82002)()()0(0x f x f f ξ''+==，（3.8） 200)1(2)()()1(0x f x f f -''+==η．（3.9）因此{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---=''''≤''≤≤202010)1(4,4min )(),(min )(min x x f f x f x ηξ 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,210x 时，16)1(4)1(4,4min 202020-≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,00x 时，164)1(4,4min 202020-≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ．所以，16)(min 10-≤''≤≤x f x ．由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．3.3 应用Taylor 公式求极限例3.3.1求422cos limxex x x -→-．解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有)(2421cos 542x x x x ο++-=)(82154222x x x ex ο++-=-)(12cos 5422x x ex x ο+-=--所以，121)(12lim cos lim4540242-=+-=-→-→xx x xex x x x ο．像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．例 3.3.2 设函数)(x ϕ在[)+∞,0上二次连续可微，如果)(lim x x ϕ+∞→存在，且)(x ϕ''在[)+∞,0上有界，试证：0)(lim ='+∞→x x ϕ．证明：要证明0)(lim ='+∞→x x ϕ，即要证明：0>∀ε，0>∃δ．当M x >时()εϕ<'x ．利用Taylor 公式，0>∀h ，2)(21)()()(h h x x h x ξϕϕϕϕ''+'+=+ （3.10）即[]h x h x h x )(21)()(1)(ξϕϕϕϕ''--+=' （3.11）记)(lim x A x ϕ+∞→=，因)(x ϕ''有界，所以0>∃M ，使得M x ≤'')(ϕ， )0(≥∀x故由（3.11）知[]h x A A h x h x |)(|21)()(1)(ξϕϕϕϕ''+-+-+≤' （3.12） 0>∀ε，首先可取0>h 充分小，使得221ε<Mh ，然后将h 固定，因)(lim x A x ϕ+∞→=，所以0>∃δ，当δ>x 时[]2)()(1εϕϕ<-+-+x A A h x h 从而由（3.12）式即得：εεεϕ=+<'22)(x ．即0)(lim ='+∞→x x ϕ例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程．（1）32)1)(2(+-=x x y ；（2）)1(cos 2215x e xx y --=．解：（1）首先设所求的渐近线为 b ax y +=，并令 xu 1=，则有：第3章泰勒公式的应用100)(1lim )()321)(321(lim )1()21(lim])1)(2([lim 003231032=+--=+--+-=--+-=--+-→→→∞→uu bu a u u bu a u u ubu a u u b ax x x u u u x οο从中解出：1=a ，0=b ．所以有渐近线：x y =．（2）设b ax y +=，xu 1=，则有 0)()4221)(2421(lim cos lim ])1(cos [lim 554424205542021522=+--⋅+-+-=---=---→-→-∞→u u bu au u u u u u bu au e u b ax e x x u u u xx ο从中解出：121-=a ，0,1==b a ．所以有渐近线：x y 121-=．从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．3.4 应用Taylor 公式求中值点的极限例3.4.1]4[ 设(1))(x f 在),(00δδ+-x x 内是n 阶连续可微函数，此处0>δ； (2)当)1(,...,3,2-=n k 时，有0)(0)(=x f k ，但是0)(0)(≠x f n ；(3)当δ<≠h 0时有))(()()(000h h x f hx f h x f θ+'=-+．（3.13）其中1)(0<<h θ，证明：101)(lim -→=n h nh θ．证明：要求出)(h θ的极限必须设法解出)(h θ，因此将（3.13）式左边的)(0h x f +及右端的))((0h h x f θ+'在0x 处展开，注意条件(2)，知)1,0(,21∈∃θθ使得())(!)()()(10000h x f n h x f h x f h x f n n θ++'+=+，（3.14） ))(()!1())(()())((20)(1100h h x f n h h x f h h x f n n n θθθθ+-+'=+'--，（3.15）于是（3.13）式变为=++'-)(!)(10)(10h x f n h x f n n θ))(()!1())(()(20)(110h h x f n h h x f n n n θθθ+-+'--从而120)(10)())(()()(-++=n n n h h x nf h x f h θθθθ．因)1,0()(,,21∈h θθθ，利用)()(x f n 的连续性，由此可得101)(lim -→=n h nh θ．这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．3.5 应用Taylor 公式近似计算由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．例3.5.1 求：（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；（2）用泰勒多项式逼近正弦函数x sin ，要求误差不超过310-，以2=m 的情形讨论x 的取值范围．解：(1) 由于x e 的麦克劳林的泰勒展开式为： 10,)!1(!...!2112<<++++++=+θθn xn x x n e n x x x e 当1=x 时，有)!1(!1...!2111++++++=n e n e θ故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ．当9=n 时，有第3章泰勒公式的应用 12691036288003!103)1(-<<=R 从而省略)1(9R 而求得e 的近似值为： 718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e (2) 当2=m 时， 6sin 3x x x -≈，使其误差满足： 355410!5!5cos )(-<≤=x x x x R θ 只需6543.0<x （弧度），即大约在原点左右37°29′38″范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过310-．3.6 应用Taylor 公式求极值定理3.1 ]12[ 设f 在0x 附近有1+n 阶连续导数，且)(0x f ')(0x f ''=0)(...0)(===x f n ， 0)(0)1(≠+x f n（1）如果n 为偶数，则0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则0x 是f 的严格极值点，且当0)(0)1(>+x fn 时，0x 是f 的严格极小值点；当0)(0)1(<+x f n 时，0x 是f 的严格极大值点．证明：将f 在0x 点处作带皮亚诺型余项的Taylor 展开，即：))(()()!1()()()(10100)1(0+++-+-++=n n n x x x x n x f x f x f ο 于是1010100)1(0)()())(()!1()()()(++++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=-n n n n x x x x x x n x f x f x f ο 由于)!1()()())(()!1()(lim 0)1(10100)1(0+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++→n x f x x x x n x f n n n n x x ο 故0>∃δ，),(00δδ+-x x 中，10100)1()())(()!1()(+++--++n n n x x x x n x f ο与)!1()(0)1(++n x f n 同号．（1）如果n 为偶数，则由10)(+-n x x 在0x 附近变号知，)()(0x f x f -也变号，故0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则1+n 为偶数，于是，10)(+-n x x 在0x 附近不变号，故)()(0x f x f -与)!1()(0)1(++n x f n 同号．若0)(0)1(>+x f n ，则)()(0x f x f >，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极小值点．若0)(0)1(<+x f n ，则)()(0x f x f <，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极大值点．例3.6.1 试求函数34)1(-x x 的极值．解：设34)1()(-=x x x f ，由于)47()1()(23--='x x x x f ，因此74,1,0=x 是函数的三个稳定点．f 的二阶导数为)287)(1(6)(22+--=''x x x x x f ，由此得，0)1()0(=''=''f f 及0)74(>''f ．所以)(x f 在74=x 时取得极小值．求三阶导数)4306035(6)(23-+-='''x x x x x f ，有0)0(='''f ，0)1(>'''f ．由于31=+n ，则2=n 为偶数，由定理3.1知f 在1=x 不取极值.再求f 的四阶导数)1154535(24)(23)4(-+-=x x x x f ，有0)0()4(<f ．因为41=+n ，则3=n 为奇数，由定理3.1知f 在0=x 处取得极大值．综上所述，0)0(=f 为极大值，82354369127374)74(34-=-=）（）（f 为极小值．由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．3.7 应用Taylor 公式研究函数图形的局部形态定理3.2]12[ 设R X ∈为任一非空集合，X x ∈0，函数R X f →:在0x 处n 阶可导，且满足条件：)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ．（1）n 为偶数，如果)0(0)(0)(<>x f n ，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于曲线过此点的切线的上（下）方．（2）n 为奇数，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．证明：因为f 在0x 处n 阶可导，并且)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ，所以f 在0x 的开邻域 ),(0δx B 内的n 阶Taylor 公式为第3章泰勒公式的应用 14))(()(!)())(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-+-'+=ο )(0x x → 于是[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=-'+-n n n nx x x x n x f x x x x x f x f x f )())((!)()())(()()(000)(0000ο 由于!)()())((!)(lim 0)(000)(0n x f x x x x n x f n n n n x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→ο 由此可见：0>∃δ，),(0δx B X x ∈∀，有：[]))(()()(000x x x f x f x f -'+-与n n x x n x f )(!)(00)(-同号．（1）当n 为偶数，如果0)(0)(>x f n ，则[]0))(()()(000>-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀这就表明在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上方；如果0)(0)(<x f n ，则有[]0))(()()(000<-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀因此，在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下方．（2）当n 为奇数，这时若)0(0)(0)(<>x f n ，则[])0(0))(()()(000<>-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x+∈∀ [])0(0))(()()(000><-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x-∈∀ 由此知，在0x 的右侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上（下）方；而在0x 的左侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下（上）方．因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．3.8 应用Taylor 公式研究线形插值例 3.8.1（线形插值的误差公式）设R b a f →],[:为实一元函数，l 为两点))(,(a f a 与))(,(b f b 所决定的线形函数，即)()()(b f a b a x a f a b x b x l --+--=，l 称为f 在区间],[b a 上的线形插值．如果f 在区间],[b a 上二阶可导，f 在],[b a 上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．应用带Lagrange 型余项Taylor 公式：),(x a ∈∃ξ，),(b x ∈∃η，使得 [][])(2))(()()(2))(()()(21)()()()(21)()()()()()()()(22ζηξηξf a x x b f a b x b f a b a x a x x b f x b x f x b a b a x f x a x f x a a b x b x f b f ab a x x f a f a b x b x f x l ''--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''--+''----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---=---+---=-其中，),(b a ∈ζ，最后一个式子是由于0>--a b x b ，0>--ab a x ． )}(),(max{)()())}((),(min{)}(),(min{ηξηξηξηξf f f ab x b f a b a x ab x b a b a x f f f f ''''≤''--+''--≤--+--''''='''' 以及Darboux 定理推得．如果M 为)(x f ''的上界（特别当)(x f ''在],[b a 上连续时，根据最值定理，取)(max ],[x f M b a x ''=∈），则误差估计为 M a b f a x x b x f x l 2)(|)(|2))(()()(2-≤''--≤-ζ，],[b a x ∈∀ 这表明，M 愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M 很小时，曲线)(x f y =的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．3.9 应用Taylor 公式研究函数表达式例3.9.1]4[ 设在内有连续三阶导数，且满足方程：)()()(h x f h x f h x f θ+'+=+，10<<θ．(θ与h 无关) （3.16）试证：)(x f 是一次或二次函数．证明：要证)(x f 是一次或二次函数，就是要证0)(≡''x f 或0)(≡'''x f ．因此要将（3.16）式对h 求导，注意θ与h 无关，我们有)()()(h x f h h x f h x f θθθ+''++'=+' （3.17）从而)()()()()(h x f hh x f x f x f h x f θθθ+''=+'-'+'-+' （3.18）令0→h ，对（3.17）式两边取极限得：)()()(x f x f x f ''=''-''θθ，即第3章泰勒公式的应用16 )(2)(x f x f ''=''θ 若21≠θ，由此知0)(≡''x f ，)(x f 为一次函数；若21=θ，则（3.17）式变成：)21(21)21()(h x f h h x f h x f +''++'=+'．此式两端同时对h 求导，减去)(x f ''，除以h ，然后令0→h 取极限，即得0)(≡'''x f ，即)(x f 为二次函数．实际上在一定条件下证明某函数0)(≡x f 的问题，我们称之为归零问题，因此上例实际上也是)(x f ''，)(x f '''的归零。

2016考研数学必背公式查找手册

1 f ( x)
f (b) f (a) f ( ) . ba
3.柯西定理：若函数 f(x)和 g(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导；(iii) ∀x∈(a,b),g’(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得
x x(t ) dy y(t ) d 2 y y(t ) x(t ) y(t ) x(t ) , , 2 [ x(t )]3 y y (t ) dx x(t ) dx
启明星考研独家制作：
3.柯西收敛准则：数列{xn}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数 ε，都存在正整数 N ，使得当 m，n>N 时，有|xm-xn|<ε。
高等数学
高中公式
三角函数公式和差角公式和差化积公式
1.3 函数的极限性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。判别法则： 1. 夹逼法则：若 lim f ( x) lim h( x) A ，且存在 x0 的某一去心邻域
6.对数求导法 7.分段函数求导 (1)按求导法则求连接点处的左右导数设 3.2 泰勒公式求泰勒公式的方法：
f (b) f (a) f ( ) g (b) g (a) g ( )
g ( x), x x x0 ( x0 ) h ( x0 ) A, 则f ( x0 ) A. , 若g f ( x) h( x), x0 x x
1 sin 3 3sin 4sin sin sin [cos( ) cos( )] 2 cos 3 4cos3 3cos
3
limxn x0 的数列{xn}，都有 lim f ( xn ) A 。

高数第三章第三节泰勒

因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
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在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
e 3 Rn . ( n 1)! ( n 1)!
f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
f ( x ) cos x , f ( x ) sin x , f ( x ) cos x ,
2) x 与x0 靠近 .
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f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
例1. 求
取
的近似值 .
解: 设 f ( x) sin x ,
180
则 x x0

29 sin cos ( ) sin 29 sin 6 180 180 6 1 3 (0.0175) 2 2
n f ( x ) sin( x ) （详见" 高阶导数" P100例5 ） 2 f (0) 0, f (0) 1, f (0) 0, f (0) 1, f ( 4) 0,
( n)
它们顺序循环地取四个数0，1，0，-1，…
sin x x x x x
o( x )
x3 3!
y x
x3 3!
x3 y x 3!
x5 5!
x7 7!
4 2

高等数学：（11）泰勒公式求极限（第三章微分中值定理）

高等数学：（11）泰勒公式求极限（第三章微分中值定理）
常用的泰勒展开式
常见的带佩亚诺余项的泰勒公式（麦克劳林公式）
以上的式子非常重要，尽量记下来吧...
在做题时，我们并不需要把函数展开到n阶，至于函数到底展开到多少阶，这里有相应的套路~
未定式为A/B型，即极限为分式形式时
面对分式形式的未定式，我们要将分子和分子展开至同阶的形式，即：若分母（分子）是n阶，则分子（分母）展开至n阶
如：
A-B型
遇到两个函数相减的未定式，我们需将A,B分别展开至系数不想等的x的最低幂为止
如：
最后我们再看一个例题：
谢谢观看。

考研高数总复习泰勒公式(讲义)PPT课件

即，泰勒公式是一阶微分近似式和拉氏公式的推广
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度越
2.若有相同的切线
来越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注意到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!

考研数学二公式高数线代(整理)技巧归纳(精选.)

高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x x x x x （1+x ） ~-11x a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1x ~21x 2增加x x ~61x 3 对应 x –x ~ 61x 3x –x ~ 31x 3 对应 x - x ~ 31x 3二、利用泰勒公式= 1 + x + +！22x o （2x ））　（33 o !3sin x x x x +-=x 1 – +！22x o （2x ）（1+x ）=x – +22x o （2x ）导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμαααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高数A1第十三讲泰勒公式

1 2!
n2
1 2!
1 p ( n) ( x ) 1 f ( n) ( x ) f ( x0 ) , , an n 0 0 n! ! n
故 pn ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
( n) n 1 n f ( x )( x x ) 0 0 !
洛必达法则
例4. 求
2 1 x 解: 原式 lim x 1 x2
0 型 0

1
型
x
lim
x2 x
2
x 1
lim
x
1 1 1 1 2

思考: 如何求 lim
2
arctan n
1 n
n
( n 为正整数) ?
例5. 求
型
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
例1
f
(k )
( x) e ,
x
f ( k ) (0) 1 (k 1, 2 ,)
2 3 n x x x ex 1 x Rn ( x) 2 ! 3! n!
其中
(n) f (0) 2 x f (0) x n f (0) f (0) x 2! n!
其中 R2 m ( x)
m m1 ) sin( x 2 (1) cos( 2 x) x 2 m1 (0 1) (2m 1) !
类似可得
2m x2 x4 x cos x 1 (1) m R2m1 ( x) 2! 4! ( 2 m) !
f ( x) sin( x k ) 2 k 2m 0, (k ) ( m 1 , 2 , ) f (0) sin k 2 (1) m1 , k 2m 1

高数泰勒公式【爆款】.ppt

.精品课件.
48
4、设
，且
证明由已知极限式得
利用泰勒公式有
，证明
从而
.精品课件.
51
6. 设函数
在
上三阶可导, 且
设
试证存在
使
证: 因 F(0) F(0) F(0) 0,
利用二阶泰勒公式 , 得
F(1) F (0) F(0) 1 F(0) 1 F( )
1 F( )
2!
3!
3!
因
(n.精品1课)件!.
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间12 )
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn (x)
其中
.精品课件.
13
f (k) (x) sin(x k )
p1(x)
特点:
x 的一次多项式 o x0 x
x
f (x0 )
f (x0 )
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
若 f (x)是非多项式函数，问是否可用一个n次多项式
Pn (x)
来近似表示
f
(x) ? .精品课件.
3
特例： f (x) ex x 0
由 f (x) f (0) f (0)x
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公.精品式课件的. 拉格朗日余项 .

泰勒公式知识点总结人教版

泰勒公式知识点总结人教版一、泰勒公式的定义泰勒公式是由18世纪英国数学家布鲁克·泰勒提出的，它是用来表示一个函数在某点附近的展开式。

泰勒公式的一般形式可以表示为：```f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + … + f(n)(a)(x-a)^n/n! + R_n```其中，f(x)是要展开的函数，f(a)是函数在a点的值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)…f(n)(a)表示函数在a点的各阶导数，R_n表示余项，它表示了用泰勒公式展开后与实际值之间的误差。

二、泰勒公式的推导泰勒公式的推导是通过对函数进行多项式展开来实现的。

首先，我们假设函数f(x)在某点a处有n阶导数，并且在a点的函数值是f(a)。

然后，我们通过对f(x)进行多项式展开，得到一个包含n阶导数的表达式。

最终，通过将多项式的系数与n阶导数进行匹配，我们可以得到泰勒公式的表达式。

三、泰勒公式的应用泰勒公式在微积分和数值计算中有着广泛的应用。

它可以用来对复杂函数进行近似计算，尤其是在求导和积分中。

在实际应用中，我们可以通过泰勒公式对函数进行展开，然后利用展开式来计算函数在某点的值，这样可以大大简化计算过程。

四、泰勒公式的实例下面我们通过一个具体的例子来说明泰勒公式的应用。

假设我们要计算函数f(x) = e^x在x=0处的近似值。

首先，我们可以使用泰勒公式对函数进行展开，得到：```f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + …= 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …```通过截断展开式，我们可以得到e^x在x=0处的近似值为1+x+x^2/2!。

泰勒公式ppt课件

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泰勒(Taylor)中值定理如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项 Rn ( x)之和:
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x x0 )
2! 4!
(2m) !
(1)m1 cos( x)
x2m2
(0 1)
(2m 2) !
又 cos2 x 1 1 cos 2x,
22
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所以 cos2 x 1 1 1 1 2x2 1 2x4
2 2 2!
4!
1m
1 2m
!
2
x
2
m
1 2m
2!
2
x
2m2
所以 f 0 f ' 0 f '' 0 f n 0 1.

常用的泰勒公式

常用的泰勒公式泰勒公式是数学中经常使用的一种近似计算方法。

它可以将一个函数在某个点附近用其在该点的导数值来表示，从而简化计算。

泰勒公式由英国数学家布鲁赛尔·泰勒于18世纪提出，至今在科学和工程领域中广泛应用。

泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)在x=a处具有n阶导数，那么在x=a附近的点x，函数f(x)可以通过泰勒展开式来近似表示：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! +f'''(a)(x-a)³/3! + ... + fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n! + Rⁿ(x)其中，f'(a)，f''(a)，f'''(a)，...，fⁿ(a)分别表示函数f(x)在x=a处的一阶、二阶、三阶，...，n阶导数的值，Rⁿ(x)为拉格朗日余项。

泰勒公式的应用有很多，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 函数的近似计算：通过泰勒公式，可以将函数在某一点的值通过导数值的近似表示来计算。

这在科学计算中经常使用，特别是在计算机程序中，可以通过泰勒公式来实现复杂函数的近似计算。

2. 极限计算：通过泰勒公式，可以将复杂的极限计算转化为对函数在某一点的导数值的计算。

这样可以简化极限计算过程，提高计算效率。

3. 误差分析：在实际应用中，我们常常需要对测量数据进行处理和分析。

泰勒公式可以用于对测量数据进行近似处理，计算近似值与真实值之间的误差范围。

4. 函数图像的绘制：通过泰勒公式，可以对函数的局部形态进行描述，从而更好地理解函数的性质和行为。

这对于绘制函数图像有很大的帮助。

总之，泰勒公式是数学中一种重要的近似计算方法，广泛应用于科学和工程领域。

它简化了复杂函数的计算和分析过程，提高了计算效率和准确性。

在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适合的泰勒展开项，以满足计算的需求。

万能数学公式泰勒公式

万能数学公式泰勒公式
泰勒公式是一种在数学中广泛应用的万能数学公式。

它是由数学家布鲁诺·约
瑟夫·温特·泰勒在18世纪提出的。

泰勒公式能够将一个光滑函数用无穷级数的形
式表示出来，从而使我们能够精确地近似计算这个函数的各个点的值。

泰勒公式的基本形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...
在这个公式中，f(x)表示我们要近似计算的函数，a是我们选择的近似点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示这个函数在点a处的导数值。

通过泰勒公式，我们可以将任意一个函数在某个点附近展开成无穷级数的形式，这样就可以用有限个项来近似地计算该函数在其他点的值。

当我们取更多的项进行计算时，近似的精确度也会提高。

泰勒公式的应用范围非常广泛。

在物理学、工程学、经济学等各个领域中，我
们经常需要对复杂的函数进行近似计算。

而泰勒公式提供了一种简便的方法，能够将这些复杂函数转化为无穷级数，从而简化计算过程。

除了泰勒公式的基本形式外，还有一些变形形式，如带有拉格朗日余项的泰勒
公式和带有皮亚诺余项的泰勒公式。

这些变形形式在实际应用中可以更好地适应具体问题的需求。

总的来说，泰勒公式是一种非常强大且灵活的数学工具，通过它我们可以将复
杂的函数转化为无穷级数，从而实现近似计算。

这对于解决各种实际问题具有重要的意义。

高数微积分泰勒公式

( x0 )

Rn (1 ) (1 )
(1在x0与x之间)
Rn ( x)及 ( x)在[ x0 ,1]上连续,在( x0 ,1 )内
可导,且( x) 0.
用2次柯西定理
LL Rn (1 )
(1 )

Rn (1 ) (1)
Rn ( x0 )
0
Rn
(
x0)

0
f ( x0) Pn( x0),
Rn(
x0)

0
f ( x0) Pn( x0),
L
Rn(n) ( x0) f (n) ( x0) Pn(n) ( x0), 0
R(n1) n
(
x)

f ( (n1) x),
( x0) ( x0 x0 )n1
0
( x0) (n 1)( x0 x0 )n
0
(
L
x00)

(n

1)n(
x0
x0
)n1
(n) ( x0) (n 1)nL2( x0 x0 )
0
(n1) ( x) (n 1)!
由要求 Pn(k) ( x0 ) f (k)( x0 ) k 0,1,2,L, n
按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为:
麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式
x0 x (0 < < 1),
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 L f (n)(0) xn
2!
(x)
Rn ( x) ( x x0 )n1

高等数学第三节泰勒(Taylor)公式

例 3 . 求 sin x 的 Maclaurin 展开式 .
解.
D n sin x sin x cos x sin x cos x sin x
D n sin x 0 1 0 1 0
x 0
sin x 0 1 x 0 x 2 1 x 3 0 x 4 1 x 5 4! 2! 3! 5!
D n f ( x0 )
56
21
24 x 30 24 0 f x 56 21 ( x 4) 74 ( x 4)2 2! 66 ( x 4)3 24 ( x 4)4 3! 4!
74 66 24
( 余项 Rn 0 .)
56 21( x 4) 37 ( x 4)2 11( x 4)3 ( x 4)4 .
称 pn ( x ) 为 f ( x ) 的 Taylor 多项式 , 或 Taylor 展开式 . *
1
余项 :
Rn ( x ) f ( x ) pn ( x )
应用 Cauchy 定理和罗彼塔法则可推出余项的两个重要形式 :
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n 1. ( 介于 x0 与 x 之间 .) ( n 1)! 称为 Taylor 公式的拉格朗日(Lagrange) 余项 .
第三节
泰勒(Taylor)公式
P 137
设 f ( x ) 在 U ( x0 ) 内有 n 1 阶导数 . pn ( x ) a0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n . 为了能用 n 次多项式 pn ( x ) 近似代替 f ( x ) , 我们规定 :

泰勒公式常用

泰勒公式常用泰勒公式是高等数学中的重要概念，是一种用于近似计算函数值的方法。

在实际应用中，我们经常需要计算某些函数在某个点的值，但是有些函数并不容易直接计算。

此时，泰勒公式就可以派上用场了。

泰勒公式的基本形式是：$f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ 其中，$f(x)$是要计算的函数，$a$是近似点，$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。

泰勒公式的意义是将一个函数在某个点处展开成一个无限级数，每一项都是函数在该点处的导数与$(x-a)$的$n$次方的乘积，乘以$1/n!$。

当$n$趋近于无穷大时，级数的和就会越来越接近函数在该点处的真实值。

泰勒公式在实际应用中非常有用，可以用来近似计算各种函数的值。

比如，我们可以用泰勒公式来计算正弦函数在$x=pi/6$处的值：$sin(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(x-frac{pi}{2 })^{2n+1}$将$x=pi/6$代入上式，得到：$sin(frac{pi}{6})=frac{(-1)^0}{1!}(frac{pi}{6}-frac{pi}{2}) ^1+frac{(-1)^1}{3!}(frac{pi}{6}-frac{pi}{2})^3+frac{(-1)^2} {5!}(frac{pi}{6}-frac{pi}{2})^5+...$化简得：$sin(frac{pi}{6})=-frac{1}{2}frac{pi}{6}+frac{1}{6}frac{pi^ 3}{2^3}+O((frac{pi}{6})^5)$其中，$O$表示截断误差，意味着剩余的项都很小，可以忽略不计。

这个式子可以进一步化简为：$sin(frac{pi}{6})=frac{1}{2}$这个结果是比较容易理解的，因为正弦函数在$x=pi/6$处的值是$1/2$。

泰勒公式常用

泰勒公式常用泰勒公式是微积分中的基础知识之一，它是一种将函数展开为多项式的方法。

在数学、物理、工程等领域中，泰勒公式被广泛应用，可以用来计算函数在某个点的近似值，也可以用来研究函数的性质。

一、泰勒公式的定义泰勒公式是一种将函数展开为多项式的方法，它可以将一个函数在某个点的邻域内近似表示为一个多项式。

泰勒公式的一般形式如下： f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... +f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、...、f^n(a)是函数f(x)在点a处的n阶导数，Rn(x)是余项，表示展开式与原函数之间的误差。

二、泰勒公式的应用1. 计算函数在某个点的近似值泰勒公式可以用来计算函数在某个点的近似值，这对于一些复杂的函数来说非常有用。

例如，对于函数f(x) = sin(x)，可以在x=0处展开为泰勒级数：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这样，当x足够接近0时，就可以用泰勒级数来近似计算sin(x)的值。

同样地，对于其他函数也可以使用泰勒公式来进行近似计算。

2. 研究函数的性质泰勒公式可以用来研究函数的性质，例如函数的奇偶性、最值、拐点等等。

通过对函数的泰勒级数进行分析，可以得到函数在某个点或某个区间内的性质。

3. 求解微分方程泰勒公式可以用来求解微分方程，例如y'' + y = 0。

对于这个微分方程，可以将y(x)展开为泰勒级数：y(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)^2 + ...然后将y(x)代入微分方程中，得到：a2 + a0 + (2a1 + a1)x + ...将系数与零比较，得到a2 = -a0，2a1 + a1 = 0，即a1 = 0。

高数题泰勒公式中值趋向

高数题泰勒公式中值趋向
泰勒公式中值定理是数学分析中的一个重要定理，它是由
数学家泰勒于18世纪提出的。

该定理表明，对于一定条件
下的函数，可以用其在某一点的函数值及其导数来逼近该
点附近的函数值。

具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)内具有n阶导数。

那么对于[a, b]内的任意一点x0，存在一个点ξ，使得：
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0)/1! + f''(x0)(x -
x0)²/2! + ... + fⁿ⁻¹(x0)(x - x0)ⁿ⁻¹/(n-1)! + Rn(x)
其中，Rn(x)为余项，且满足极限：
lim(x→x0) Rn(x)/(x - x0)ⁿ = 0
这个定理表明，对于给定的函数f(x)和点x0，可以通过泰
勒公式来近似计算f(x)在x0附近的函数值。

当n趋向于无
穷大时，泰勒公式就变成了泰勒级数展开，可以用来近似
计算任意点的函数值。

需要注意的是，泰勒公式只在某一点附近成立，对于整个
定义域内的函数值近似计算可能会有较大误差。

因此，在
使用泰勒公式进行近似计算时，需要选择合适的展开点，
并控制余项的大小，以保证近似结果的精度。