图论—图的基本概念和例题

称 d+(v)+d-(v)为v的度数，记作d (v)。
在无向图G中，称 (G) = max{d (v)| vV(G)} 为G的最大度，简记为； (G) = min{d (v)| vV(G)} 为G的最小度，简记为；
在有向图D中，称 +(D) = max{d+(v)| vV(D)} 为D的最大出度，记为+ +(D) = min{d+(v)| vV(D)} 为D的最小出度，记为+ -(D) = max{d-(v)| vV(D)} 为D的最大入度，记为-(D) = min{d-(v)| vV(D)} 为D的最小入度，记为-
发展：
1736年 欧拉 （创始人）发表了“哥尼斯堡七桥问题无解”论文
1847年 克希霍夫 用图论分析“电网络问题”；
1936年 科尼格 出版图论第一本专著《有限图与无限图理论》。
里程碑
作为描述事务之间关系的手段或称工具，目前，图论 在许多领域，诸如，计算机科学、物理学、化学、运 筹学、信息论、控制论、网络通讯、社会科学以及经 济管理、军事、国防、工农业生产等方面都得到广泛 的应用，也正是因为在众多方面的应用中，图论自身 才得到了非常迅速的发展。
|V(G)|= n 且 E(G)=—— n 阶零图，记作Nn
称N1为平凡图，即只有一个顶点； |V(G)|= —— 空图，记为
顶点或边用字母标定的图——标定图，否则为非标定图
常用ek表示一条无向边(vi,vj) 或有向边<vi,vj> 有向图各有向边均改为无向边后的图称为原有向图 的基图
4、关联与相邻
给定无向图 G=<V,E>，其中V={v1,v2,v3,v4,v5} E={(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5) }
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给定有向图D=<V,E>，其中V={a , b , c , d} E={<a , a>,<a , b>, <a , b>,<a , d>,<d , c>,<c , d>,<c , b>}
5、邻域 设无向图 G=<V , E> , v ∈V, 称
{u|u∈V∧(u , v)∈E∧u≠v} 为v的邻域，记作NG(v), 并称 NG(v)∪{v} 为v的闭邻域，记作NG(v) ,
称 {e|e∈E∧e与v相关联} 为v的关联集，记作IG(v);
示例
设有向图 D=<V , E>, v ∈V, 称
边与边的相邻： 若 ei与ej至少有一个公共端点，称ei ，ej两边相邻； 若 ei= <u , v>，则称u为始点，v 为终点，并称u邻 接到v，v邻接于u 平行边： 在有向图中,始点和终点均相同的边称为平行边；
无向图中若两点间有多条边,称这些边为平行边；
两点间平行边的条数称为边的重数； 含平行边的图称为多重图， 不含平行边和环的图称为简单图。
e1 a
e4 d
e2
b e3
e5
e6
c e7
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3、相关概念及规定 G——泛指图 ，D——只能用于有向图 V(G) 、 E(G) —— 分别表示G的顶点集、边集；
|V(G)|、|E(G)| —— 分别表示G的顶点数、边数， 若均有限，称G为有限图；
|V(G)|= n —— n 阶图， E(G)=—— 零图 即只有顶点；
14.1 图的基本概念
图：用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某 种方式相联系的数学模型。
区分几何图形
无序积：设A , B为任意的两集合，称 {{a , b}| a∈A∧b∈B} 为A与B的无序积，记作：A&B , 其中无序对{a , b}记为(a , b) , 且对任意 (a , b)∈A&B , 有(a , b)=(b , a),即：A&B= B&A
设无向图 G=<V , E> , v ∈V,Baidu Nhomakorabea称v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称度， 记作dG(v), 简记为d(v);
设有向图G=<V , E>, vV, 称以v为始点的边的条数为该点的出度, 记作dD+(v), 简记为d+(v);
以v为终点的边的条数为该点的入度, 记作dD- (v), 简记为d- (v);
图论 —图的基本概
念和例题
引言
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数 学的重要分支。
图论以图为研究对象，这种图以若干个给定的点 和连接两点的线构成。借以描述某些事物之间的 某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线 表示相应两个事物间具有的特定关系。
图论最早起源于一些数学游戏难题研究： 如：迷宫问题，地图四色问题和哈密顿环游世界问 题等。
即 d(v1)+ d(v2)+…+ d(vn)=2m 且 d+(v1)+ d+(v2)+…+ d+(vn)= d-(v1)+ d-(v2)+…+ d-(vn)=m
悬挂顶点（相关联的边为悬挂边）：度数为一的顶点。
偶度（奇度）顶点
示例
二、图的基本定理：
定理1：在任意无向图中,结点度数和等于边数的二倍。 即 d(v1)+ d(v2)+…+ d(vn)=2m 其中 |V|=n , |E|=m （又称握手定理）
定理2：在任意有向图中所有结点的入度之和等于所有 结点的出度之和。
点和边的关联： 若 ei =(u , v) 或 ei=<u , v>则 u , v与ei相关联， 称u , v是ei的端点，若u≠v,则称ei与u 或ei与v的关联 次数为1； 环：一条边的两个关联的点是同一点的边称为环。
孤立点：与任何边均不关联的点称为孤立点。
点与点的相邻： 若 ei = (u , v) 或 ei= <u , v> 称u , v 两点相邻；
{u|u∈V∧<v , u>∈E∧u≠v} 为v的后继元集，记 作Γ+D(v), 称 {u|u∈V∧<u , v>∈E∧u≠v} 为v的先驱元集，记 作Γ-D(v), 称
Γ+D(v) ∪ Γ-D(v) 为v的邻域，记作ND(v), 并 称
ND(v)∪{v} 为v的闭邻域，记作ND(v). 示例
6、点的度数
图的严格数学定义： 1、无向图——是一个有序的二元组<V,E>,记为G； 其中 V≠,称为顶点集，其元素称为顶点或结点；
E称为边集,是V&V的多重子集。 其元素称为无向边。
2、有向图——是一个有序的二元组<V,E>,记为D； 其中 V≠ , 为顶点集； E为边集,是V×V的多重子集。 其元素称为有向边。