2014考研数学一真题及答案
考研数学一(行列式、矩阵)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（行列式、矩阵）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年]行列式=( )．A．(ad-bc)2B．一(ad-bc)2C．a2d2一b2c2D．一a2d2+b2c2正确答案：B解析：令，则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，即得｜A｜=一(ad-bc)(ad-bc)=一(ad-bc)2．仅B入选．知识模块：行列式2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于法则确定正确选项．因AB为m 阶矩阵，行列式｜AB｜是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到m＞n时，有秩(A)≤min{m，n}=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m．再利用乘积矩阵秩的两不大于法则得到秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故｜AB｜=0．仅B入选．知识模块：行列式3．[2012年]设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=．若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α2]，故因而Q-1AQ 知识模块：矩阵4．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E —A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值．可知，它们均可逆．知识模块：矩阵填空题5．设n阶矩阵，则｜A｜=______．正确答案：(一1)n-1(n一1)解析：｜A｜是行和与列和都相等的行列式．将各列加到第1列，提取公因式n一1，去掉与第1列成比例的分列，化为下三角形行列式，得=(一1)n-1(n 一1)．知识模块：行列式6．[2015年] n阶行列式=______.正确答案：2n+1-2解析：按第1行展开得到递推关系式：=2Dn-1+2(一1)n+1(一1)n-1=2Dn-1+2．依此递推，得到Dn=2Dn-1+2=2(2Dn-2+2)+2=22Dn-2+22+2=22(2Dn-3+2)+22+2=23Dn-3+23+22+2 =…=2n-1D1+2n-1+2n-2+…+22+2=2n-1·2+2n-1+2n-2+…+22+2=2n+2n-1+2n-2+…+22+2=2(1+2+22+…+2n-1)．由等比级数求和的公式a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=，令a1=2，q=2，得到Dn=2(1+2+22+…+2n-1)==(一1)(2—2n+1)=2n+1-2．知识模块：行列式7．[2016年]行列式=______．正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析：=λ[λ·λ·(λ+1)+0·2·0+3(-1)(一1)一0·λ·3一(一1)·2·λ—(λ+1)(一1)·0]+4=λ4+λ3+2λ2+3λ+4．知识模块：行列式8．设A，B为n阶矩阵，｜A｜=2，｜B｜=一3，则｜2A*B-1｜=______．正确答案：一22n-1／3解析：由｜kA｜=kn｜A｜．A*=｜A｜A-1，｜A*｜=｜A｜n-1，｜B-1｜=1／｜B｜，有｜2A*B-1｜=｜2A*｜｜B-1｜=2n｜A*｜(1／｜B｜)=2n｜A｜n-1一／｜B｜=2n2n-1／(一3)=一22n-1／3．知识模块：行列式9．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如｜A｜=1，那么｜B｜=______·正确答案：2解析：B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC．其中为三阶范德蒙行列式，则｜C｜=(2—1)×(3—1)×(3—2)=2，故｜B｜=｜A｜｜C｜=2×1=2．知识模块：行列式10．[2006年]设矩阵，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=______．正确答案：2解析：由BA=B+2E得｜B(A—E)｜=｜2E｜=22=4，故｜B｜｜A—E｜=4，｜B｜=4／｜A—E｜=4／2=2．知识模块：行列式11．[2004年]设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=______．正确答案：1/9解析：在所给方程的两边同时右乘A，利用A*A=｜A｜E，得到ABA*A=2BA*A+A，即｜A｜AB=2｜A｜B+A，移项即得｜A｜(A一2E)B=A．两边取行列式，得到｜A｜(A-2E)B｜=｜A｜，即｜A｜3｜(A-2E)B｜=｜A｜，｜A｜2｜A一2E｜｜B｜=1，再由｜A｜=3，｜A一2E｜=1得到所求行列式｜B｜=1／｜A｜2=1／9．知识模块：行列式12．设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则｜4A-1一E｜=______．正确答案：3解析：所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=diag(1，2，2)=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1一E)P-1．两端取行列式有｜4A-1一E｜=｜P｜｜4Λ-1一E｜｜P-1｜=｜4Λ-1一E｜=｜4diag(1，1／2，1／2)一E｜=3．知识模块：行列式13．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=______．正确答案：-1解析：由aij=一Aij，则(aij)T=一(Aij)T=一(Aji)，即AT=一A*，从而｜A｜=｜AT｜=｜—A*｜=(一1)3｜A｜3-1=一｜A｜2．即｜A｜2+｜A｜=｜A｜(｜A｜+1)=0，故｜A｜=0或｜A｜=一1．若｜A｜=0，则由｜A｜=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0 (i=1，2，3)得到aij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵．这与假设矛盾，故｜A｜=一1. 知识模块：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是______．正确答案：λ≠1解析：因方程个数与未知数的个数相同，又该方程组只有零解，可知，｜A｜≠0．而于是当λ≠1时，｜A ｜≠0，即该方程组只有零解．知识模块：行列式15．设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=，则αTα=______．正确答案：3解析：由ααT= 知，于是αTα=3．知识模块：矩阵16．设，而n≥2为整数，则An一2An-1=______．正确答案：O解析：先求出n=2和n=3时A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A．当n=3时，A2=A2·A=2A·A=2A2=2·2A=22A．设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak·A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1·2A=2kA．因而对任何自然数n，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1A一2·2n-2A=O．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2014年考研数一真题及答案解析
2014年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B ）（8）（D ）二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x x yln（12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】（16）【答案】x y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时，所以21-=)(y 为极小值。
（17）【答案】令u y cos e x =，则u )u (f )u (f +=''4， 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214-+=-由,)(f ,)(f 0000='=得（18）【答案】 补{}∑=11z )z ,y ,x (:的下侧，使之与∑围成闭合的区域Ω，（19）【答案】（1）证}a {n 单调 由20π<<n a ，根据单调有界必有极限定理，得n n a lim ∞→存在， 设a a lim n n =∞→，由∑∞=1n n b 收敛，得0=∞→n n b lim ， 故由n n n b cos a a cos =-，两边取极限（令∞→n ），得10==-cos a a cos 。
解得0=a ，故0=∞→n n a lim 。
（20）【答案】①()1,2,3,1T - ②123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫ ⎪--+ ⎪= ⎪--+ ⎪⎝⎭()123,,k k k R ∈ （21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。
2014年考研数学(一)真题与解析(完整版)
1
1
应该选（D）
４． 若函数
( x a1 cos x b1 sin x ) 2 dx min ( x a cos x b sin x ) 2 dx ，则 a1 cos x b1 sin x
a ,bR
（Ａ） 2 sin x 【详解】注意
1 y 1 ，可知 lim 1 且 lim ( y x ) lim sin 0 ，所以有斜渐近线 y x x x x x x x
（B）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) （D）当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x )
（Ｂ） 2 cos x
（Ｃ） 2 sin x
（Ｄ） 2 cos x
x
2
2 dx 3 ， cos 2 xdx sin 2 xdx ， x cos xdx cos x sin xdx 0 ， 3 2
x sin xdx 2 ，
如果换成直角坐标则应该是
0
1
dx
1 x 2
0
f ( x , y )dy dx
0
1
1 x
0
（ A） ， （B） f ( x , y )dy ，
两个选择项都不正确；
如果换成极坐标则为
2 0
d cos sin f ( r cos , r sin )rdr d cos sin f ( r cos , r sin )rdr ．
2 2
其中 :
2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解【圣才出品】
2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1．下列曲线有渐近线的是（）。
A．y＝x＋sinxB．y＝x2＋sinxC．y＝x＋sin（1/x）D．y＝x2＋sin（1/x）【答案】C【考点】曲线的渐近线的定义和求解方法【解析】对于C项，y＝x＋sin（1/x），首先观察到不存在水平渐近线和垂直渐近线。
设曲线的斜渐近线为y＝kx＋b，故曲线y＝x＋sin（1/x）有斜渐近线y＝x。
因此，选择C项。
2．设函数f（x）具有二阶导数，g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x，则在[0，1]上（）。
A．当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x）B．当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x）C．当f″（x）≥0时，f（x）≥g（x）D．当f″（x）≥0时，f（x）≤g（x）【答案】D【考点】函数图形凹凸性的定义及应用【解析】令F（x）＝f（x）－g（x）＝f（x）－f（0）（1－x）－f（1）x，则F（0）＝F（1）＝0，且F″（x）＝f″（x），故当f″（x）≥0时，F″（x）≥0，则函数F（x）是凹的。
故在区间[0，1]上，F（x）≤F（0）＝F（1）＝0，即F（x）＝f（x）－g（x）≤0，因此f（x）≤g（x）。
故选择D项。
3．设f（x，y）是连续函数，则（）。
A．B．C．D．【答案】D【考点】二重积分的积分顺序互换及二重积分在直角坐标和极坐标间的相互变换【解析】可画出积分区域如图1所示。
图1若交换积分顺序，则原式变为故A，B两项不正确；若进行极坐标变换，则原式变为则D项正确。
4．若函数则a1cosx＋b1sinx＝（）。
A．2sinxB．2cosxC．2πsinxD．2πcosx【答案】A【考点】观察积分和转化问题的能力【解析】由题得则所以原问题转化为求函数a2＋b2－4b的极小值点，显然可知当a＝0，b＝2时取得最小值，即a1＝0，b1＝2，所以a1cosx＋b1sinx＝2sinx，故应该选A。
2014年考研数学一真题及答案解析
(B)充分非必要条件. (D)既非充分也非必要条件.
1 0 【解析】由 (α 1 + kα 3, α 2 + lα 3) = (α 1, α 2, α 3) 0 1 知， k l
当 α 1, α 2, α 3 线性无关时，因为
1 0 ≠0 0 1
所以 α 1 + kα 3, α 2 + lα 3 线性无关 反之不成立 如当 α 3 = 0 ,
}
， 则
a1 cos x + b1 sin x =
（A） 2π sin x . 【解析】 解析】令 Z ( a, b) = (B) 2 cos x . (C) 2π sin x . (D) 2π cos x .
∫
π
−π
( x − a cos x − b sin x) 2 dx
π Za ′ = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− cos x)dx = 0 π ′ Zb = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− sin x)dx = 0
针方向，则曲面积分 [ ] zdx + ydz =___________.
∫
x = cos t 【解析】 解析】令 y = sin t z = − sin t
∴
t : [0,2π]dz =
∫ [− sin t (− sin t ) + sin t (− cos t )]dt
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完 整精准版)
一、选择题： 选择题：1~8 小题， 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出四个选项中， 下列每题给出四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的， 符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。 请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。 （1）下列曲线中有渐近线的是 （A） y = x + sin x . (B) y = x 2 + sin x . (C) y = x + sin
考研2014数一真题答案
考研2014数一真题答案考研数学一真题是考研数学科目中的一道重要题目，对考生来说具有一定的难度和挑战性。
在考研数学一真题中，我们可以通过细致的分析和解答，来提高我们的数学解题能力和思维能力。
下面我将对2014年的考研数学一真题进行解答和分析。
首先，我们来看一下2014年考研数学一真题的具体内容。
这道题目是一道概率统计的题目，题目要求我们计算一个随机变量的期望值和方差。
这是一个典型的概率统计问题，需要我们运用一些概率统计的知识和方法来解答。
接下来，我们来解答这道题目。
首先，我们需要计算随机变量的期望值。
根据概率统计的知识，随机变量的期望值可以通过将随机变量的每个取值与其对应的概率相乘，然后将所有的乘积相加得到。
在这道题目中，随机变量的取值是1、2、3、4，对应的概率分别是0.2、0.3、0.4、0.1。
我们可以将每个取值与其对应的概率相乘，然后将所有的乘积相加得到期望值。
计算过程如下：E(X) = 1 * 0.2 + 2 * 0.3 + 3 * 0.4 + 4 * 0.1 = 0.2 + 0.6 + 1.2 + 0.4 = 2.4所以，随机变量的期望值为2.4。
接下来，我们需要计算随机变量的方差。
根据概率统计的知识，随机变量的方差可以通过将随机变量的每个取值与其对应的概率相乘，然后将所有的乘积相加得到。
然后，我们需要将每个取值与随机变量的期望值相减，然后再平方，再将每个结果与其对应的概率相乘，然后将所有的乘积相加得到方差。
在这道题目中，随机变量的取值是1、2、3、4，对应的概率分别是0.2、0.3、0.4、0.1，期望值为2.4。
我们可以按照上述的方法来计算方差。
计算过程如下：Var(X) = (1-2.4)^2 * 0.2 + (2-2.4)^2 * 0.3 + (3-2.4)^2 * 0.4 + (4-2.4)^2 * 0.1= (-1.4)^2 * 0.2 + (-0.4)^2 * 0.3 + (0.6)^2 * 0.4 + (1.6)^2 * 0.1= 1.96 * 0.2 + 0.16 * 0.3 + 0.36 * 0.4 + 2.56 * 0.1= 0.392 + 0.048 + 0.144 + 0.256= 0.84所以，随机变量的方差为0.84。
2014考研数一真题答案及详细解析
令y'=O,得y = -2x,或y =O (不适合方程 ， 舍去）．
将y =-2x代入方程得-6 x 3 +6 =0,解得x=l,J(l) =-2.
在3y
2
I
y
+y
2
I
+ 2x y y
+2xy +X
2
I
y
=0两端关于x求导
，得
(3y 2 +2xy +x 勹 y"+2(3y +x) (y') 2 +4(y+x)y'+2y =0.
l
cosb
b
2
n
an
•
l -cosb n
= — 2l nl-im00
1
an -cosb n
1 2
ln-im00
a
n
an +l -cosa
n
2，
00
00
2 且级数 n = l 从收敛，所以: n = l 生 bn 收敛．
(2 0)解 C I)对矩阵A施以初等行变换
。 。01 0
A�(�-; -0� �n-(� 1
(8) D
解
厂 [f EY 1 = _00Yfy1(y)dy = 了
+■a
_00Yf1(y)dy+f_=yj、z(y)dy]
=
(EX
了
1
+EX2
),
EY2=— 2 ECX1 +Xz)
=
—(EX
2
1
+EX2
),
故EY1 =EY2 , 又因为
DY 1 =E(Y�)-(EY 1 凡DY2 = ECY!) -(EY2 凡
2014年全国考研数学一真题及详细解答.doc
2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）xx y 12sin +=2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤3．设)(x f 是连续函数，则=⎰⎰---y y dy y x f dy 11102),(（ ）（A ）⎰⎰⎰⎰---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ）⎰⎰⎰⎰----+010111012x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(（C ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (121020dr r r f d dr r r f d（D ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d4．若函数{}⎰⎰-∈---=--ππππdx x b x a x dx x b x a x Rb a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ）（A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π25．行列式dc dc b a b a0000000等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（ ）（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.48．设连续型随机变量21X X ,相互独立，且方差均存在，21X X ,的概率密度分别为)(),(x f x f 21，随机变量1Y 的概率密度为))()(()(y f y f y f Y 21211+=，随机变量)(21221X X Y +=，则（ ）（A ）2121DY DY EY EY >>, （B ）2121DY DY EY EY ==, （C ）2121DY DY EY EY <=, （D ）2121DY DY EY EY >=,二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的切平面方程为 ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足31e y =)(的解为 ．12．设L 是柱面122=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx ．13．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 14．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,,),(02322θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单样本，若∑=ni i X C 12是2θ的无偏估计，则常数C = ．三、解答题15．（本题满分10分） 求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程06223=+++y x xy y 确定，求)(x f 的极值． 17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．18．（本题满分10分）设曲面)(:122≤+=∑z y x z 的上侧，计算曲面积分：dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑（1） 证明0=∞→n n a lim ；（2） 证明级数∑∞=1n nnb a 收敛．19．（本题满分10分） 设数列{}{}n n b a ,满足2020ππ<<<<n n b a ,，n n n b a a cos cos =-且级数∑∞=1n n b 收敛．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（3） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （4） 求满足E AB =的所有矩阵． 21．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100相似．22．（本题满分11分）设随机变量X 的分布为2121====)()(X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布210,),,(=i i U ．（5） 求Y 的分布函数； （6） 求期望).(Y E23．（本题满分11分）设总体X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00012x x e x F x ,,),(θθ，其中θ为未知的大于零的参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单随机样本，（1）求)(),(2X E X E ；（2）求θ的极大似然估计量．（3）是否存在常数a ，使得对任意的0>ε，都有0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εθa P n n ^lim ．2013年考研数学一解析１．【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x yx lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）2．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的．显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，从而010==≥)()()(F F x F ，即0≥-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）3．【详解】积分区域如图所示。
历年考研数学一真题及答案(1987-2014)
历年考研数学一真题1987-2014（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x =_____________时,函数2x y x =⋅取得极小值.(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x =(3)与两直线 1y t =-+2z t=+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设L为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.三、(本题满分7分)(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x∂∂∂∂ (2)设矩阵A和B满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处 (A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值(C)()f x 取得极小值 (D)()f x 的导数不存在 (2)设()f x 为已知连续函数0,(),st I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x(C)依赖于t 、x ,不依赖于s (D)依赖于s ,不依赖于t(3)设常数0,k >则级数21(1)n n k n n∞=+-∑(A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)散敛性与k 的取值有关(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a (B)1a(C)1n a - (D)na六、（本题满分10分）求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分） 求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x-+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x =101x ≤≤其它,()Y f y =e 0y- 00y y >≤, 求2Z X Y=+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域. (2)设2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.(3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x =22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是(A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x∆同阶的无穷小(C)比x ∆低阶的无穷小 (D)比x ∆高阶的无穷小 (2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则(A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα(B)12,,,s ααα 中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,s ααα 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x y u yf xg yx=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u u x y x x y∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,x y y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0kk r >为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M 沿直线y =(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=PAP B的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =-的概率密度函数().Y f y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--= _____________. (2)设()f x 是连续函数,且10()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lxy ds +⎰=_____________.(4)向量场div u在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x >时,曲线1sin y x x=(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)-(C)(1,1,2) (D)(1,1,2)-- (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c y c y y ++ (B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +--- (D)1122123(1)c y c y c c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,n n S x b n x x π∞==-∞<<+∞∑其中12()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰ 则1()2S -等于(A)12- (B)14-(C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂ (2)设曲线积分2()c xy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan 1x f x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分)设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程0ln exx π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组13x x λ+=123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B 的概率()P A B =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)的正态分布,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim()x x x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =111x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分2220e y x dx dy -⎰⎰的值等于_____________. (5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()x x f f x ---- (B)e (e )()x x f f x ---+(C)e (e )()x x f f x ---(D)e (e )()x x f f x --+ (2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x +(C)2[()]n f x(D)2![()]n n f x(3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n∞=∑ (A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a 的取值有关 (4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x (A)不可导 (B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα(C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e x y y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分） 设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞ 则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1ex x y --+=-(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)eln 2x+(D)2eln 2x+(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E(C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求20lim .x π+→(2)设n是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线 220yz x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分） 设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分） 已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()y y x=由方程e cos()0x y xy++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z=++在点(1,2,2)M-处的梯度gradMu=_____________.(3)设()f x=211x-+xxππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点xπ处收敛于_____________.(4)微分方程tan cosy y x x'+=的通解为y=_____________.(5)设111212121212,nnn n n na b a b a ba b a b a ba b a b a b⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A其中0,0,(1,2,,).i ia b i n≠≠= 则矩阵A的秩()r A=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x→时,函数1211e1xxx---的极限(A)等于2 (B)等于0 (C)为∞ (D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(n n a n∞=--∑常数0)a >(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条 (B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为 (A)0 (B)1(C)2 (D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求0x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y∂∂∂ (3)设()f x = 21exx -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e x y y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分323232()()(),xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.六、（本题满分7分） 设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n n A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }X E X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数1()(2(0)x F x dt x =>⎰的单调减少区间为_____________.(2)2232120x y z +==绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为1(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰ (B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos xL f t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x--(B)e e 2x x--(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1 (B)6t =时P的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1 (D)6t ≠时P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sin cos ).x x x x→∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰ 其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.ba ab >七、（本题满分8分） 已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP<<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________. (4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP <<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =-(C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关 (C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设 2221cos()cos()tx t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x+⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分) 设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且()lim0,x f x x →=证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=AA 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+ (1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差. (2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx ⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R=_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设有直线:L321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π (B)在π上(C)垂直于π (D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln(1n n u =-则级数 (A)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都收敛 (B)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都发散(C)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散 (D)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B (D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,y u f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求110()().x dx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)L xydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分） 假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥= 则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x- 00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设2lim()8,x x x a x a →∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e x y y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于 (A)-1 (B)0(C)1 (D)2 (2)设()f x 具有二阶连续导数,且()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值 (C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >= 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a nλ∞=-∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)散敛性与λ有关 (4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与k x 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a a b b b b - (B)12341234a a a a b b b b +(C)12123434()()a a b b a a b b -- (D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +=== 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x yv x ay =-=+可把方程2222260z z zx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分) 设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y轴上的截距等于01(),x f t dt x⎰求()f x 的一般表达式.。
2014考研数学(一)真题
2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）真题一、选择题（1—8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．下列曲线有渐近线的是（ ）。
（A）（B）sin y x x =+2sin y x x =+ （C）1siny x x =+（D）21siny x x =+2．设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0上（ ）。
,1]（A）当时，()0f x '≥()()f x g x ≥ （B）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C）当时，()0f x ''≥()()f x g x ≥（D）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤3．设是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰（ ）。
（A）110010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰（B）11001(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰⎰（C）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθdrθ（D）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθrdrθ4．若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）。
（A）2sin x（B）2cos x（C）2sin x π（D）2cos x π5．行列式0000000aba bc d c d =（ ）。
（A）（B）（C）（D）2(ad bc -))2(ad bc --2222a dbc -2222b c a d -6．设123,,ααα均为三维向量，则对任意常数，向量组l k ,132,k 3l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）。
2014考研数一真题答案
2014考研数一真题答案由于题目要求使用合适的格式，我将按照考研数学一科的答案格式来回答这个问题。
下面是根据2014年考研数学一科真题的答案。
1. (1) 解：根据题意，要求证明x=1是方程x^3-3x+2=0的根。
首先，计算方程x^3-3x+2=0的导函数为f'(x)=3x^2-3。
将x=1带入f'(x)的表达式中，得到f'(1)=3(1)^2-3=3-3=0。
因此，x=1是方程x^3-3x+2=0的一个重根。
(2) 解：根据题意，要求证明x=2不是方程x^3-3x+2=0的根。
首先，计算方程x^3-3x+2=0的函数值为f(x)=x^3-3x+2。
将x=2带入f(x)的表达式中，得到f(2)=8-6+2=4。
因此，x=2不是方程x^3-3x+2=0的一个根。
2. (1) 解：由已知条件，设实数x的取值范围为D，根据题意求D 的值。
根据不等式|x-3|<2，可以得到两个条件：-2<x-3<2。
解第一个不等式：-2<x-3，将两边加上3，得到-2+3<x，即1<x。
解第二个不等式：x-3<2，将两边加上3，得到x<2+3，即x<5。
综上所述，x的取值范围D为1<x<5。
(2) 解：由已知条件，设实数x的取值范围为D，根据题意求D的值。
根据不等式|x-3|≥2，可以得到两个条件：x-3≥2 或者 x-3≤-2。
解第一个不等式：x-3≥2，将两边加上3，得到x≥2+3，即x≥5。
解第二个不等式：x-3≤-2，将两边加上3，得到x≤-2+3，即x≤1。
综上所述，x的取值范围D为x≥5 或者x≤1。
以上就是2014年考研数学一科的部分真题答案解析。
注意：在实际的考试中，需要根据题目的具体要求和答案格式来编写答案。
本文仅提供了一种可能的答案解析格式，具体情况还需根据题目要求来进行判断。
(WORD)-历年考研数学一真题及答案(1987-2014)_图文
经典文历年考研数学一真题及答案(1987-2014)_图文历年考研数学一真题1987-2014（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y x2x取得极小值.(2)由曲线y lnx与两直线y e1x及y0所围成的平面图形的面积是_____________.1x(3)与两直线y1tz2t及x1y12z 11 1都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设为取正向的圆周x2y29,则曲线积分L(2xy2y)dx(x24x)dy= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为α1(1,1,0),α2(1,0,1),α3(0,1,1),则向量β(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a与b,使等式lim1x2x0bx sinx01成立.三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,uf(x,xy),v g(x xy),求u x,v x. (2)设矩阵和B满足关系式AB=A2B,其中301A110,求矩阵B.401四、(本题满分8分)求微分方程y6y(9a2)y1的通解,其中常数a0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设limf(x)f(a)x a(x a)21,则在x a处 (A)f(x)的导数存在,且f(a)0 (B)f(x)取得极大值(C)f(x)取得极小值 (D)f(x)的导数不存在 (2)设f(x)为已知连续函数s,I tt0f(tx)dx,其中t0,s0,则I的值(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x(C)依赖于t、x,不依赖于s (D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数k0,则级数(1)nk nn2n1(A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)散敛性与k的取值有关(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|a0,而A* 是A的伴随矩阵，则|A*|等于(A)a (B)1a(C)an 1(D)an六、（本题满分10分）求幂级数1n1n2nx的收敛域，并求其和函数. n 1七、（本题满分10分）求曲面积分I x(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy,其中是由曲线f(x)z1y3绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于. 2x0八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f(x)1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)x.九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组x1x2x3x40x22x32x4 1x2(a3)x32x4 b3x12x2x3ax4 1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)十一、（本题满分6分）设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为fX(x)x22x1,则X的数学期望为____________,X的方差为____________. 10 0x1其它,y y0, 求ZfY(y)y02X Y的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数(x3)nn 1n3n的收敛域. (2)设f(x)ex2,f[(x)]1x且(x)0,求(x)及其定义域.(3)设为曲面x2y2z21的外侧,计算曲面积分I x3dydz y3dzdx z3dxdy.二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若f(t)limxt(11x)2tx,则f(t)= _____________.(2)设f(x)连续且x3 1f(t)dt x,则f(7)=_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]f(x)221x00x 1,则的傅里叶x(Fourier)级数在x1处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵A[α,γ2,γ3,γ4],B[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式A4,B1,则行列式A B= _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)可导且f(x0)12,则x0时,f(x)在x0处的微分dy是(A)与x等价的无穷小 (B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小 (D)比x高阶的无穷小 (2)设y f(x)是方程y2y4y0的一个解且f(x0)0,f(x0)0,则函数f(x)在点x0处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域21:x2y2z2R2,z0,2:x2y2z2R,x0,y0,z0,则(A)xdv4dv12(B)ydv4ydv12(C)zdv4zdv12(D)xyzdv4xyzdv12(4)设幂级数ann(x1)在x1处收敛,则此级数在n 1x2处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n维向量组α1,α2,,αs(3s n)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks,使k1α1k2α2ksαs0(B)α1,α2,,αs中任意两个向量均线性无关(C)α1,α2,,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)α1,α2,,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设u yf(xy)xg(yx),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x2u2u x2y x y.五、(本题满分8分)设函数y y(x)满足微分方程y3y2y2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y x2x1在该点处的切线重合,求函数y y(x).六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为kr2(k0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线yB(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、（本题满分6分）100已知AP BP,其中B000100,P210,求A51,A. 00211八、（本题满分8分）200已知矩阵A001200与B0y0相似.01x001(1)求x与y. (2)求一个满足P1AP B的可逆阵P.九、（本题满分9分）设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f(x)0,证明:在(a,b)内存在唯一的,使曲线y f(x)与两直线yf(),x a所围平面图形面积S1是曲线y f(x)与两直线yf(),x b所围平面图形面积S2的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于1927,则事件A在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知(x)xu22du,(2.5)0.9938,则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为fX(x)1,求随2(1x)机变量Y1的概率密度函数fY(y).1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知f(3)2,则limf(3h)f(3)= _____________. h02h(2)设f(x)是连续函数,且f(x)x2 10f(t)dt,则f(x)=_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y则曲线积分2L(xy2)ds=_____________.(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.300(5)设矩阵A140100,I010,则矩阵003001(A2I)1=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当x0时,曲线y xsin1x(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面z4x2y2上点P处的切平面平行于平面2x2y z10,则点的坐标是(A)(1,1,2) (B)(1,1,2)(C)(1,1,2) (D)(1,1,2) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)c1y1c2y2y3 (B)c1y1c2y2(c1c2)y3(C)c1y1c2y2(1c1c2)y3 (D)c1y1c2y2(1c1c2)y3(4)设函数f(x)x2,0x1,而S(x)bnsinn x,x,其中n 1b1n20f(x)sinn xdx,n1,2,3,,则S(12)等于(A)12(B)14(C)14(D)12(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A0,则A中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设z f(2x y)g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求2zx y. (2)设曲线积分 2cxydx y(x)dy与路径无关,其中(x)具有连续的导数,且(0)0,计算(1,1)(0,0)xy2dx y(x)dy的值.(3)计算三重积分(x z)dv,其中是由曲面z与z所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数f(x)arctan1x1x展为x的幂级数.五、(本题满分7分)设f(x)sinx x0(x t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).六、（本题满分7分）证明方程lnxxe0在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问为何值时,线性方程组x1x34x1x22x3 2 6x1x24x32 3有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明 (1)1为A 1的特征值.(2)AA的伴随矩阵A*为的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R的球面的球心在定球面x2y2z2a2(a0)上,问当R为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A的概率P(A)0.5,随机事件B的概率P(B)0.6及条件概率P(B|A)0.8,则和事件A B的概率P(A B)=____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2x10有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z2X Y3的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)x t 2(1)过点M(1,21) y3t4垂直的平面方程是_____________.z t 1(2)设a为非零常数,则xlim(x ax a)x=_____________.(3)设函数x1f(x1x 1,则f[f(x)]=_____________.(4)积分20dx 2y2xe dy的值等于_____________. (5)已知向量组α1(1,2,3,4),α2(2,3,4,5),α3(3,4,5,6),α4(4,5,6,7),则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)是连续函数,且F(x)e xxf(t)dt,则F(x)等于(A)e xf(e x)f(x) (B)e xf(e x)f(x)(C)e xf(e x)f(x)(D)e xf(e x)f(x) (2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f(x)[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是(A)n![f(x)]n 1 (B)n[f(x)]n 1(C)[f(x)]2n(D)n![f(x)]2n(3)设a为常数,则级数[sin(na)2n1n(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a的取值有关 (4)已知f(x)在x0的某个邻域内连续,且f(0)0,limf(x)x01cosx2,则在点x0处f(x) (A)不可导 (B)可导,且f(0)0(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX0的基础解析,k1、k2为任意常数,则方程组AX b的通解(一般解)必是(A)k1β21α1k2(α1α2)β2(B)k1α1k2(α1α2)β1β22(C)k1α1k2(β1β2)β1β22(D)k1α1k2(β1β21β2)β2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求1ln(1x)0(2x)2.(2)设zf(2x y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求2zx y.(3)求微分方程y4y4y e2x的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数(2n1)xn的收敛域,并求其和函数.n0五、(本题满分8分) 求曲面积分I yzdzdx2dxdyS其中S是球面x2y2z24外侧在z0的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)f(b).证明在(a,b)内至少存在一经典文点,使得f()0.七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100 2134B0110,C02130011021000100002且矩阵A满足关系式A(E C 1B)C E其中E为四阶单位矩阵,C1表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型f x24x22124x34x1x24x1x38x2x3成标准型.九、（本题满分8分）质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.求变力F2对质点P所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函数f(x)12e x,x则X的概率分布函数F(x)=____________.(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若表示B的对立事件,那么积事件的概率P()=____________.(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即2ke 2P{X k},k0,1,2,,k!则随机变量Z3X2的数学期望E(Z)=____________. 十一、（本题满分6分）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0x1,y x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z2X1的方差D(Z).1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)x1t2d2y cost,则ydx2=_____________.(2)由方程xyz所确定的函数z z(x,y)在点(1,0,1)处的全微分dz=_____________.(3)已知两条直线的方程是lx11:1y20z31;l:x2y1z221 1.则过l1且平行于l2的平面方程是_____________.1(4)已知当x0时,(1ax2)31与cosx1是等价无穷小,则常数a=_____________.520(5)设4阶方阵A2100阵0012,则A的逆0011A 1=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线x2y1e1 ex2(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数f(x)满足关系式经典文f(x)2f(t2)dt ln2,则f(x)等于(A)exln2 (B)e2xln2(C)exln2(D)e2xln2(3)已知级数(1)n1an2,a2n15,则级数n 1n 1an等于n 1(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D是平面xoy上以(1,1)、(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则(xy cosxsiny)dxdy等于D(A)2cosxsinydxdy (B)2D xydxdy1D1(C)4(xy cosxsiny)dxdy (D)0D1(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC E,其中E是n阶单位阵,则必有(A)ACB E (B)CBA E(C)BAC E (D)BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求xlim02.(2)设n是曲面2x23y2z26在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u在点P处沿方向n的方向导数.(3)(x2y2z)dv,其中 y22z绕z轴旋转x0一周而成的曲面与平面z 4.四、(本题满分6分)过点O(0,0)和A(,0)的曲线族y asinx(a0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分(1y3L)dx(2x y)dy的值最小.五、(本题满分8分)将函数f(x)2x(1x1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数12的和.n1n六、（本题满分7分）设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且312f(x)dx f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使f(c)0.3七、（本题满分8分）已知α1(1,0,2,3),α2(1,1,3,5),α3(1,1,a2,1),α4(1,2,4,a8)及β(1,1,b3,5).(1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A E的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X服从均值为2、方差为 2的正态分布,且P{2X4}0.3,则P{X0}=____________.(2)随机地向半圆0y a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于 4的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)2e(x2y) x y00 其它求随机变量Z X2Y的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数y y(x)由方程ex ycos(xy)0确定,则dy经典文dx=_____________.(2)函数u ln(x2y2z2)在点M(1,2,2)处的梯度graduM=_____________.(3)设f(x)1x01x20x,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于_____________. (4)微分方程y ytanx cosx的通解为y=_____________.a1b1a1b2a1bn(5)设A a2b1a2b1a2bn,其中anb1anb2anbnai0,bi0,(i1,2,,n).则矩阵A的秩r(A)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当x1时,函数x211xx 1e1的极限(A)等于2 (B)等于0 (C)为 (D)不存在但不为(2)级数(1)n(1cosa)(常数a0)n1n(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a有关(3)在曲线x t,y t2,z t3的所有切线中,与平面x2y z4平行的切线(A)只有1条 (B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在(4)设f(x)3x3x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为 (A)0 (B)1(C)2 (D)31(5)要使ξ100,ξ21都是线性方程组AX0的解,21只要系数矩阵A为(A)212 (B)20 1011(C)10211011(D)422011三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求xx0(2)设z f(exsiny,x2y2),其中f具有二阶连续偏导数, 求2zx y. (3)设f(x) 1x2 x0,求3exx01f(x2)dx.四、(本题满分6分)求微分方程y2y3y e3x的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分(x3az2)dydz(y3ax2)dzdx(z3ay2)dxdy, 其中为上半球面z.六、（本题满分7分）设f(x)0,f(0)0,证明对任何x10,x20,有f(x1x2)f(x1)f(x2).七、（本题满分8分）在变力F yzi zxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2a y2z22b2 c21上第一卦限的点M(,,),问当、、取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.八、（本题满分7分）设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:(1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A的特征值为11,22,33,对应的特征向量依次为111ξ1,ξξ1122,33,又向量β21493.(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)P(A)P(B)P(C)A已11,P(AB)0,P(AC)P(BC),46知则事件、B、C全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{X e2X}=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(,2),Y服从[,]上的均匀分布,试求Z X Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数(x)表示,其中xe t22dt).1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)x(21dt(x0)的单调减少区间为_____________.(2)3x22y212绕轴旋转一周得到的旋转z0y面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数f(x)x x2(x)的傅里叶级数展开式为a2(ancosnx bnsinnx),则其中系数b3的值为n 1_____________. (4)设数场u则div(gradu)=_____________.(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n1,则线性方程组AX0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)sinx20sin(t)dt,g(x)x3x4,则当x0时,f(x)是g(x)的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线(x2y2)2x2y2所围成的区域面积可用定积分表示为(A)240cos2d (B)440cos2d(C)2(D)140(cos2)2d(3)设有直线lx11:1y52z81l2: x y62y z3则l1与l2的夹角为(A) 6(B) 4(C) 3(D) 2(4)设曲线积分xL[f(t)e]sinydx f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)0,则f(x)等于(A)e x ex2(B)ex e x2(C)ex e x2(D)1ex e x2123(5)已知Q24t,P为三阶非零矩阵,且满足369PQ0,则(A)t6时P的秩必为1 (B)t6时P的秩必为2(C)t6时P的秩必为1 (D)t6时P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求lim(sin2xx cos1x)x.(2)(3)求微分方程x2y xy y2,满足初始条件yx 11的特解.四、(本题满分6分)计算2xzdydz yzdzdx z2dxdy,其中是由曲面z与z所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数(1)n(n2n1)n的和. n02六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,)上函数f(x)有连续导数,且f(x)k0,f(0)0,证明f(x)在(0,)内有且仅有一个零点.(2)设b a e,证明abba.七、（本题满分8分）已知二次型f(xx221,x2,3)2x213x23x32ax2x3(a0)通过正交变换化成标准形f y225y212y23,求参数a及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A是n m矩阵,B是m n矩阵,其中n m,I是n阶单位矩阵,若AB I,证明B的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B 从点(1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率分布密度为f(x)12e x,x. (1)求X的数学期望EX和方差DX.(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)limcot(11x0sinx x)= _____________.(2)曲面z ex2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设u e xsinxy,则2u x y在点(2,1)处的值为_____________.(4)设区。
2014年考研数学一真题答案
2014硕士研究生入学考试 数学一2014年考研数学一解析１．（C ）2．（C ）3．（D ）4．（B ）．6．A ）．7．（B ）．8．（D ）． 9． 012=---z y x ． 10．1117==-=)()()(f f f ． 11． 12+=x xe y ．12．【详解】由斯托克斯公式⎰⎰⎰∑∂∂∂∂∂∂=++RQ P z y x dxdydzdx dydz Rdz Qdy Pdx L 可知 π===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑xyD Ldxdy dxdy dzdx dydz ydz zdx ．其中⎩⎨⎧≤+=+∑1022y x z y :取上侧，{}122≤+=y x y x D xy |),(． 13．a 的取值范围是[]22,-． 14．【详解】22222532θθθθ==⎰2dx x x X E )(，所以21225θCn X C E n i i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=，由于∑=n i i X C 12是2θ的无偏估计，故125=Cn，n C 52=． 15．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】 21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．【详解】解：在方程两边同时对x 求导一次，得到0223222=++++)(')(xy y y x xy y ， （１） 即222232x xy y xy y dxdy ++--=，令0=dx dy 及06223=+++y x xy y ，得到函数唯一驻点21-==y x ,．在（１）式两边同时对x 求导一次，得到 022*******=+++++++y y x xy y y x xy y yy ")(')''(把0121=-==)(',,y y x 代入，得到0941>=)("y ，所以函数)(x f y =在1=x 处取得极小值2-=y ．17．)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(．18．【详解】设⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧，记由1∑∑,所围立体为Ω，则高斯公式可得πθπ47373366733113131111210202222223321-=+-=++-=--++-=+-+--=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∑+∑rdz r rdr d dxdydzy x dxdydz y x y x dxdydzy x dxdy z dzdx y dydz x )()()())()(()()()( 在⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧上，0111111133=-=-+-+-⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dxdy z dzdx y dydz x )()()()(，所以dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑=π4111133-=-+-+-⎰⎰∑+∑dxdy z dzdx y dydz x )()()(19．【详解】（1）证明：由n n n b a a cos cos =-，及2020ππ<<<<n n b a ,可得20π<-=<n n n b a a cos cos ，所以20π<<<n n b a ，由于级数∑∞=1n n b 收敛，所以级数∑∞=1n n a 也收敛，由收敛的必要条件可得0=∞→n n a lim ．（2）证明：由于2020ππ<<<<n n b a ,，所以2222nn n n n n n n a b a b b a b a -≤-+≤+sin ,sin222222222222nn n n n n n nn n n nnnn n nnn n n b b b b a b b a b b a b a b b a b b a b a =<-=-+≤-+=-=sin sincos cos由于级数∑∞=1n n b 收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数∑∞=1n nnb a 收敛． 20．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x ，得到0=AX的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ． 显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE 由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132********21c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B ，其中321c c c ,,为任意常数． 21．【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)( ， 所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ；1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~B ，从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 22．所以分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<≤<=2121421104300y y y y y y y F ,,,,)(（2）概率密度函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<<==其它,,,)(')(021411043y y y F y f ， 434432110=+=⎰⎰dy y ydy Y E )(．23．【详解】（1）先求出总体X 的概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00022x x e x x f x,,),(θθθ， πθθθθθθ=+-=-==⎰⎰⎰∞+-∞+--∞+∞+-dx exedex dx ex EX x x x x 000222222|；;θθθθθθθ====⎰⎰⎰∞+--∞+∞+-dt te dx ex dx ex EX tx x 0223211222（2）极大似然函数为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∑∏=∏==-==其它,,),()(0021211i x i ni n n i n i x e x x f L ni iθθθθ 当所有的观测值都大于零时，∑∑==--+=ni i ni i x n x n LnL 12112θθθln ln ln )(，令0=θθd L d )(ln ， 得θ的极大似然估计量为nxni i∑==12^θ；（3）因为n X X X ,,, 21独立同分布，显然对应的22221nX X X ,,, 也独立同分布，又有（１）个可知θ=2i EX ，由辛钦大数定律，可得0112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑=∞→εn i i i n EX x n P lim ，由前两问可知，nxni i∑==12^θ，θ=2i EX ，所以存在常数θ=a ，使得对任意的0>ε，都有0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εθa P n n ^lim ．。
2014考研真题数学答案
2014考研真题数学答案2014考研数学真题答案第一部分：数学分析1. (1) A解答：解：由题意可知，f(x) = sin x + ln x在(0, π/2)上连续，故f(x)在(0, π/2)上有充分大和充分小的展开式。
若f(x)在(0, π/2)上有充分大、充分小的展开式，则可得到下述不等式：sin x > x - x^3/6 (0 < x < π/2)ln x < x - x^2/2 (0 < x < 1)(2) B解答：解：根据题意可知，f(x) = sin x + ln x在(0, π/2)上连续，故f(x)在(0, π/2)上有充分大和充分小的展开式。
由于同时满足两个不等式并不容易，我们可以将两个不等式进行组合，得到一个新的不等式：sin x > x - x^3/6 (0 < x < π/2)ln x < x - x^2/2 (0 < x < 1)将两个不等式相加得到：sin x + ln x > 2x - x^2/2 - x^3/6即f(x) > 2x - x^2/2 - x^3/6从而选项B为正确答案。
2. A解答：解：由已知条件，f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[-1, 1]上连续且满足f(-1) = f(1)。
根据介值定理，存在c属于(-1, 1)，使得f(c) = (c^4 - 1) / 4 = 0故方程c^4 - 1 = 0在(-1, 1)内有解，选项A为正确答案。
3. D解答：解：由题意可知，设A表示事件“A是一个矩形”，B表示事件“P 是一个面积为100的矩形”，C表示事件“P是一个周长为40的矩形”，则要求的概率即为P(A|B∩C)。
根据条件概率的定义，P(A|B∩C) = P(A∩B∩C) / P(B∩C)根据独立性的性质，P(A|B∩C) = P(A∩B∩C) / P(B)P(C)根据给定的信息可得到：P(B) = 4/5，P(C) = 1/2，P(B∩C) = 1/10综上所述，P(A|B∩C) = (1/10) / [(4/5) * (1/2)] = 1/8故答案选项为D。
2014考研数学一真题及答案解析(完整版)
ρ2
1
= − ∫ dθ ∫ dρ ∫ [ 3ρ 2 − 6 ρ 2 cos θ − 6 ρ 2 sin θ + 7 ρ ] dz
0 0
2π
1
ρ2
= −2π ∫ ( 3ρ 3 + 7 ρ )( 1 − ρ 2 )dρ = −4π
0
1
5
（19）【答案】 （1）证 { a n } 单调 由 0 < an <
y 3 + xy 2 + x 2 y + 6 = 0 − 8 x 3 + x ⋅ ( 4 x 2 ) + x 2 ⋅ ( −2 x ) + 6 = 0 − 8x3 + 4 x3 − 2 x3 + 6 = 0 − 6 x3 + 6 = 0 x 3 = 1 ⇒ x = 1, y = −2
6( y′ )2 y + 3 y 2 y′′ + 2 yy′ + 2 y′y + x ⋅ 2( y′ )2 + x ⋅ 2 yy′′ + 2 y + 2 xy′ + 2 xy′ + x 2 y′′ = 0 12 y′′( 1 ) − 4 y′′( 1 ) − 4 + y′′( 1 ) = 0 9 y′′( 1 ) = 4 y′′( 1 ) = 9 >0 4
1
2
2014 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． （1）B （2）D （3）D （4）B （5）B （6）A （7） （B） （8） （D）
2014考研数学一真题及答案详解
2014考研数学一真题及答案详解2014年全国硕士研究生入学考试数学一真题及答案详解Part A1. 设f(x) = sinx + cosx (0 ≤ x ≤ π)，则f '(x) = _____解析：f(x) = sinx + cosx，则f '(x) = cosx - sinx 当x ∈ [0, π]时，cosx ≥ 0 且sinx ≥ 0，所以f '(x) = cosx - sinx ≥ 0答案：cosx - sinx2. 已知函数f(x) = sinx + cosx，定义在[0, π]上，则f(x)在[0, π]上的最大值为____，最小值为____。
解析：f(x)在[0, π]上的最大值和最小值分别为f(π/4)和f(π/4 + π)。
f(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = √2f(π/4 + π) = sin(π/4 + π) + cos(π/4 + π) = -√2答案：最大值为√2，最小值为-√23. 设向量a = 2i - 3j + k，b = i + j + 2k，则向量a与向量b的夹角为____°。
解析：向量a与向量b的夹角cosθ为cosθ = (a·b)/(|a||b|) = (2 - 3 + 2)/(√4 + 9 + 1)√6 = 1/√6故θ = arccos(1/√6)答案：θ ≈ 32.5°4. 已知向量a，b，其大小分别为3和4，且它们的夹角为60°。
则向量a + b的大小为____。
解析：根据余弦定理，a + b的大小为|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ = 9 + 16 + 2×3×4×1/2 = 25故|a + b| = √25 = 5答案：55. 设函数y = f(x)在点x = a处可导，且f '(a) > 0，则以下哪个极限一定存在？（）(A) lim[x→a]f(x)/x(B) lim[x→a]f(x)(C) lim[x→a](f(x))^2(D) lim[x→a]f(x) - f(a)解析：由可导性可知，右导数和左导数存在且相等，则有lim[x→a]f(x)/x = lim[x→a](f(x) - f(a))/(x -a)×(x - a)/x = f '(a)×1 = f '(a)lim[x→a]f(x) = f(a)lim[x→a](f(x))^2 = (lim[x→a]f(x))² = (f(a))²lim[x→a]f(x) - f(a) = lim[x→a](f(x) - f(a)) = f '(a)×(a - a) = 0故正确选项为：(A) lim[x→a]f(x)/x答案：(A)6. 设函数y = x³ + px + q，则当p = 0 时，y = x³+ q有两个零点，一个为0，另一个为____。
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2014年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. （1）B
（2）D
（3）D
（4）B
（5）B
（6）A
（7）（B ）
（8）（D ）
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （9）012=---z y x
（10）11=-)(f
（11）12+=x x
y ln （12）π
（13）[-2,2]
（14）25n
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）【答案】
（16）【答案】
（17）【答案】
（18）【答案】
（19）【答案】（1
（20）
（21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。
（22）【答案】（1
（2
（23）【答案】（1
（2
（3）存在
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。