多边形及其内角和讲义(老师用)

多边形内角和

第一部分知识点回顾

正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

非正多边形：

1、n边形的内角和等于180°（n-2）。

、任意凸形多边形的外角和等于360°。

边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）

3、4、6/。

拼成360度的角

3、4。

1、多边形的定义：在同一平面内。多边形的分类：不叫三边形

2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。

实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。

3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：

(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。

(2)只用一种正多边形镶嵌地面：只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。

注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。

(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面

用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°。规律方法指导1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增

加；边数减少，内角和减少. 每增加一条边，内角的和

就增加180°（反过来也成立），且多边形的

内角和必须是180°的整数倍.

2．多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无

关.

3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角

（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少

没有钝角.

4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值

时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节

问题的常用方法.

5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与

三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，是

研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数

学中的应用.第二部分经典习题

类型一：多边形内角和及外角和定理应用

1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？总结升华：本题是多边

形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方

程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.

举一反三：【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数.

【【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？

【答案】设这个多边形的边数为，这个内角为，

.

【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多

边形的边数。

类型二：多边形对角线公式的运用

2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行

一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗？思路点拨：本题体现与体育

学科的综合，解题方法参照多边形对角线条数的求法，即多边形的对角线条数加

上边数. 如图：

总结升华：对于其他学科问题要善于把它与数学知识联系在一起，便于解决.

举一反三：【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.

A． 6 B．7C．8 D．9 【变式2】一个十二边形有几条对角线。

总结升华：对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。类型三：可转化为多边形内角和问题3．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数.

思路点拨:设法将这几个角转移到一个多边形中，然后利用多边形内角和公式求解.

总结升华：本题通过作辅助线，把∠A与∠G的和转化为∠1与∠2的和，从而把问题变为求五边形的内角和运算，“转化思想”是解决本题的关键.

举一反三：【变式1】如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.

类型四：实际应用题4．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？

思路点拨：根据多边形的外角和定理解决.

解读：如图，

总结升华：旋转的角度是指原来前进的方向与转弯后的

方向的夹角.小汽车沿任意多边形行驶一周回到原处，转过的

角度都是360 举一反三：【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，

再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，

一共走了__________m.

【变式2】小华从点A出发向前走10M，向右转36°，然后继续向前走

10M，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当

他走回点A时共走了多少M？若不能，写出理由。

【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，

CD∥AE. 按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量.

这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.

思路点拨：本题中将AB、CD延长后会得到一个五边形，根据五边形内角和为540°，又由AB∥CF，CD∥AE，可知∠BAE+∠AEF+∠EFC=360°，从540°中减去80°再减去360°，剩下∠C的度数为100°，所以只需测∠C的度数即可，同理还可直接测∠A的度数.

总结升华：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线.

类型五：镶嵌问题5．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。

(1)正方形和正八边形；

(2)正三角形和正十二边形；

(3)正三角形、正方形和正六边形。

思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。

解读：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是60°、90°、120°、135°、150°。

(1)因为90＋2×135＝360，所以一个顶点处有1个正方形、2个正八边形，如图(1)所示。

(2)因为60＋2×150＝360，所以一个顶点处有1个正三角形、2个正十二边形，如图(2)所示。

(3)因为60＋2×90＋120＝360，所以一个顶点处有1个正三角形、1个正六边形和2个正方形，如图(3)

所示。

总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。举一反三：

【变式1】分别用形状、大小完全相同

的①三角形木板；②四边形木板；③正五边

形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中

不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②

C、③

D、④解读：用同一种多边形

木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六

边形的木板可以用，不能用正五边形木板，

故

【变式2】用三块正多边形的木板铺

地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是( )

A、4

B、5

C、6

D、8

【答案】A（提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以2，然后用360°减去刚才得到的积，便得到第三块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数）