解析几何的诞生

四、解析几何完善和发展
由笛卡尔与费马创立的解析几何，随后得到了进一步 的发展。
1748年，瑞士人欧拉的《分析引论》对现代形式的解析 几何做了系统地叙述，成为现代意义的第一本解析几何教 程。到19世纪，解析几何获得了充分的发展，并渗透到数 学的各个学科（如向量代数），而且广泛地应用到物理学 和各种工程技术领域。实现了笛卡尔把解析几何应用于科 学的夙愿。
二、笛卡尔和《几何学》
1616年获该校博士学位.取得学位之后,他就暗下决心:今 后不再仅限于书本里求知识,更要向“世界这本大书”求 教,以“获得经验”,而且要靠理性的探索来区别真理和 谬误.
1618年起,先在军队里当过几年兵,离开军队之后便到德 国,丹麦,荷兰,瑞士,意大利等国游历,所见所闻丰富了 他的见识,更重要的是对当时科学的最新成果增强了了 解.
二、笛卡尔和《几何学》
3.笛卡尔的《几何学》
笛卡尔引进了本质上可以代表任何一种量的符号体系。 在《几何学》中，他用字母表中的小写字母a ，b ，c等 代表已知量，x， y ，z等代表未知量，这种用法一直延 续至今。
笛卡尔顺着用代数方程研究曲线的思路，得到一系列 新颖的想法与结果：曲线的次数与坐标的选择无关；轴系 的选取应使曲线对应的方程尽量简单；把几何曲线定义为 可以用x 和y的有限次代数方程表出的曲线；依据代数方 程的次数对相应的几何曲线分类；求平面曲线的法线的方 法等。
二、笛卡尔和《几何学》
3.笛卡尔的《几何学》
《几何学》共分三个部分: 第一部分包括对一些代数式作几何的原则解释,在这一部 分中,笛卡儿把几何算术化了;
第二部分讨论了曲线的分类法以及作曲线的切线的方法;
第三部分涉及高于二次方程的解法,指出了方程可能有和 它的次数一样多的根,还提出了著名的笛卡儿符号法则： 多项式方程的正根的最多数目等于系数变化的次数,而负 根的最多数目等于两个正号和两个负号连续出现的次数, 但他没有给出证明.
二、笛卡尔和《几何学》
2.主要的数学成就
笛卡儿对数学的最大贡献是创立了解析几何学.他的 基本思想事要建立起一种普通的数学,使算术,代数和几 何统一起来.为此他写了《几何学》.在他的《几何学》 中第一次出现变量与函数的思想.
笛卡儿所谓的变量,是指具有变化长度而不变方向的 线段,还指连续经过坐标轴上所有点的数字变量,正是变 量的这两种形式使笛卡儿试图创造一种几何与代数互相 渗透的科学.笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象“形” 与“数”统一起来,并在数学中引入“变量”,完成了数 学史上一项划时代的变革.
二、笛卡尔和《几何学》
1628年定居荷兰,在那里生活了20年,先后出版了《形 而上学的沉思》和《哲学原理》两本名著,前者是关于 物理学的主要基础,后者主要是阐述他在物理学和生物 学方面的研究成果.黑格尔称他是“现代哲学之父”. 他是将哲学思想从传统的经院哲学束缚中解放出来的 第一个人,是唯理论的创始人.
五、解析几何诞生的意义
数学的研究方向发生了一次重大转折。古代 以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导 的数学；以常量为主导的数学转变为以变量为主 导的数学，为微积分的诞生奠定了基础，使代数 和几何融合为一体。使得几何概念可以用代数表 示，几何的目标可以通过代数达到；反过来，给 代数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语 言的意义，又可以从中得到启发去提出新的结论.
数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数 论的发展，历经三百多年的历史，最终在1995年被英 国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
作业
1.解析几何产生的时代背景，在哪些问题导 致人们对运用代数方法处理几何问题的兴趣？
2.比较笛卡尔和费马的思想方法与现代解析几 何的异同。
笛卡尔的这些成就为牛顿、莱布尼兹等一大批数学家 的新发现开辟了道路。
二、笛卡尔和《几何学》
3.笛卡尔的《几何学》
应该指出,笛卡儿的坐标系是不完备的,他未曾引入第 二条坐标轴,即y轴.另外笛卡儿也没有考虑横坐标的负值. 笛卡尔所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。
笛卡尔堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的 巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。
在他《平面和立体轨迹引论》这部关于解析几何的最早 著作中，已经有了解析几何的两个基本概念：坐标概念以 及通过坐标把代数方程同曲线相联系的概念。
三、费马与他的解析几何
2.费马的解析几何
费马考虑任意曲线和它上面的一般点I，I的位置用A、E 两个字母定出：A是从原点O沿底线到点J的距离，E是从J 到I的距离，它所用的坐标，就是我们现在用的斜坐标，它 的A,E就是我们现在的x，y。但是y轴没有明确出现，而且 不用负数。
数学史是研究数学发展规律的科学
第六章 解析几何的诞生
数学中转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运 动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有 了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了.
——恩格斯
只要代数同几何分道扬镳，他们的进展就缓 慢，他们的应用就狭窄。但是当这两门科学结 合成伴侣时，他们就相互吸取新鲜的活力，从 那以后，就以快速的步伐走向完善。
1650年，笛卡儿死于肺炎.在教会控制下的学术界,对笛 卡儿的逝世十分冷淡,只有几个友人为他送葬. 随着笛 卡儿的数学和哲学思想影响的扩大,法国政府在笛卡儿 去世后18年,才将其骨灰运回安葬在巴黎名人公墓.1799 年又将其骨灰置于历史博物馆；
1819年移入圣日耳曼圣心堂中,其墓碑上刻着:笛卡儿, 欧洲文艺复兴以来,第一个为争取并保证理性权利的人.
3.公元前200年左右，阿波罗尼奥斯用类似于直角坐标系 的轴线研究圆锥曲线，以圆锥体底面的直径作横坐标，过 顶点的垂线作为纵坐标，是解析几何的萌芽.此外，埃及 人和罗马人在测量地形时，希腊人在绘制地图时都使用了 坐标概念.
追溯早期的解析几何思想：
4.约1350年，法国数学家奥雷姆提出一种坐标几何：用两 个坐标确定平面上点的位置，用水平线上的点表示时间， 称为经度；而所对应的速度则用纵线表示，称为纬度.这 样用经纬两个坐标就将物体运动情况在图上表示出来.这 是从天文、地理坐标向坐标几何学的过渡.
六、笛卡尔轶事和费马定理 1.心形线
六、笛卡尔轶事和费马定理 1.心形线
六、笛卡尔轶事和费马定理 叶形线
六、笛卡尔轶事和费马定理
2.费马大定理
费马大定理，又被称为“费马最后的定理”。费 马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷 第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和， 或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一 个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。 关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里 空白的地方太小，写不下。”
16世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、 航海等方面都对几何学提出了新的需要.
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着 椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大 利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的.再如 钟表摆动、炮弹弹道、透镜形状等，所有这些，都已超出 欧几里得几何学的范围.
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三、费马与他的解析几何
3.笛卡尔和费马
费马与笛卡尔分别用不同的方法，各自独立的、差不 多同时创立了解析几何。
笛卡尔与费马的解析几何研究方法是完全不同的。费 马着眼于继承希腊人的思想，重新表述阿波罗尼兹的工作。 尽管他的工作比笛卡尔更全面的叙述了解析几何的基本原 理，但费马的工作主要是技术性成就。笛卡尔则抛弃了希 腊人的思想方法，使代数的方法成为数学的一种普遍使用 的方法。
2. 阿拉伯人的代数学的思想方法得到了发展，印度—阿 拉伯数码的标准化，来自百度文库数和算术运算得以简化；
3.数学观和数学方法论的重大变化：这一时期的数学逐渐 脱离了古希腊数学的逻辑基础，离开了严格的公理化， 人们所关注的实际上属于所谓的代数和分析这些数学门 类。
一、解析几何产生的背景
（二）数学发展的外部条件
2.费马的解析几何
1629年，费马于便有了解析几何的思想，（比笛卡尔 的《几何学》早了8年），费马在认识到阿波罗尼兹所用 几何方法的困难之后，萌生了用代数来研究曲线性质的想 法。力图把阿波罗尼兹关于轨迹的某些久已失传的证明补 充起来，进行关于轨迹的一般研究，通过坐标建立了代数 方程和曲线联系，并利用方程来研究曲线的性质。这种研 究是希腊人没有做到的。
三、费马与他的解析几何
1.费马生平简介
费马（1601～1665），出生于法 国的一个皮革商之家，儿时受到良 好的家庭教育，入大学后研习法律， 毕业后出任律师。
30岁之后利用业余时间钻研数学， 在微积分、解析几何、概率论和数 论等方面均有开创性的贡献，被称 为“业余数学家之王”。
三、费马与他的解析几何
5.16世纪末，韦达提出了用代数方法解决几何问题的设想. 例如，在尺规作图研究中将化圆为方问题归为二次方程， 倍立方和三等分角问题归为三次方程等.
二、笛卡尔和《几何学》
1.笛卡尔生平简介
笛卡尔出生于法国，父亲是相 当富有的律师。笛卡尔八岁时，父 亲把他送到教会学校，希望他成为 王权和神权的继承人。因为他身体 不好，学校允许他早上在床上读书 和思考问题，这种习惯他一直保持 到老。笛卡尔十六岁离开家乡出外 读书，二十岁毕业于普瓦界大学， 从事律师工作。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的 曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这要求数学从 运动变化的观点研究和解决问题.这些工作成为解析几何 建立的外部动力.
追溯早期的解析几何思想：
1.公元前2000年的巴比伦人已能用数字表示从一点到另一 固定点、线或物体的距离，已有原始坐标的思想.
2.公元前4世纪，中国战国时代的天文学家绘制恒星方位 表时已利用了坐标方法.同时的古希腊数学家门奈赫莫斯 发现了圆锥曲线，并对这些曲线的性质作了研究.
——M.克莱因
第六章 解析几何的诞生
解析产生的背景 笛卡尔与《几何学》 费马与他的解析几何
一、解析几何产生的背景
（一）数学本身发展具备的条件
1.初等数学日臻成熟：欧几里德的《几何原本》、阿波 罗尼斯的《圆锥曲线》、缪勒(穆勒)的名著《三角全书》 成为第一部使三角学获取独立地位的系统理论研究的著 作；
四、解析几何完善和发展
1.约翰.瓦里士引进负的纵、横坐标，从而使笛 卡尔坐标几何中所考虑的曲线扩大到整个平面;
2.第一次正式使用y（纵）轴的是克拉梅; 3.雅各.伯努利 引入了极坐标系，是极坐标的 发明者; 4.约翰.伯努利第一次引入我们现在通用的三个 坐标平面，把解析几何推广到三维空间; 5.拉格朗日以类似后来的向量形式表示力、速 度等具有方向的量，19世纪80年代一门名叫向量 代数的学科诞生.