等边三角形的证明例题

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等边三角形的判定和性质习题及答案

等边三角形的判定和性质(参考用时:30分钟)1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三角形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三角形,所以CE=AC=3.10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最小值为EB′==3.。

与等边三角形有关的全等三角形题目

与等边三角形有关的证明三角形全等的问题等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，两个大小不等的等边三角形通常有一个公共点经过旋转得到一些全等三角形，证明时思路具有相同之处，下面进行简单的总结一下.一．证明相应线段相等的题目如图所示是城市的部分街道示意图，AB=BC=AC ，CD=CE=DE ，A,B,C,D,E,F 为公共汽车停靠点，“公共汽车甲”从A 站出发，按照A H G D E C F 的顺序到达F 站，“公共汽车乙”从B 站出发，按照B F H E D C G 的顺序到达G 站，如果甲，乙两车分别从A,B 两站同时出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先到达指定站？为什么？【分析】要想知道哪一辆公共汽车先到达指定地点，因为两车的速度一样，在每个站点停的时间也一样，所以只要比较两车行驶的路程即可.根据题意可知甲公共汽车行驶的路线为：AH+HG+GD+DE+EC+CF=AD+DE+EC+CF 乙公共汽车行驶路线为：BF+FH+HE+ED+DC+CG=BE+ED+DC+CG 因为AB=BC=AC ，CD=CE=DE ，只要比较线段AD 与BE;CF 与CG 的大小即可.很容易正△ACD ≌△BCE ，△BCF ≌ACG 可得AD=BE ， CF=CGG FH BDCE A所以两辆车同时到达.3.如图，点C 是线段AE 上一动点（不与A,E 重合），在AE 的同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ,有以下五个结论：①AD=BE;②PQ ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°，其中一定成立的结论有 .（把你认为正确的序号都填上）【分析】△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴BC=AC,DC=EC ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ∴∠ACD=∠BCE在△ACD 与△BCE 中=AC BCACD BCE DC EC =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∴△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴AD=BE ∠DAC=∠EBC∴∠BOD=∠DAB+∠ABO=∠DAB+∠ABP+∠EBC=∠DAB+∠DAC+∠ABP=∠BAC+∠ABC=120°∴∠AOB=180°-∠BOD=60°，∴①AD=BE ，⑤∠AOB=60°正确 ∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCQ=180°-∠ACB-∠DCE=60° ∴∠ACP=∠BCQ=60°在△ACP 与△BCQ 中=PAC QBC AC BC ACP BCQ =⎧⎪=⎨⎪⎩∠∠∠∠O Q PBD CEA△ACP≌△BCQ（ASA）∴CP=CQ AP=BQ又∵∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形∴∠QPC=∠ACB=60°，∴PQ∥AE；∴②PQ∥AE，③AP=BQ正确. 在△PCD中∠PDC≠∠PCD，∴DP≠DC，又因为DC=DE，∴DP≠DE，∴④DE=DP是错误的.综上所述，正确答案是①②③⑤试一试：1.如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法中正确的个数有()①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠DAP＝∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE＝30°，则∠AEB＝80°.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5NMFE CBA2.如图，点C 在线段AB 上，△ACM 、△CBN 是等边三角形，AN 、MC 交于点E ，BM 、CN 交于点F. （1）求证：AN=BM. （2）试判断△CEF 的形状.2.△ABD ，△AEC 都是等边三角形，求证BE=DC例1.D 为等边三角形ABC 的边BC 上一点，且点E 在线段AD 上（端点A 除外），△BEF 为等边三角形，当点E 在AD 上由点D 向A 运动时，AE 与FC 的比值是否变化？若变化说明怎样变化；若不变化，说明理由.【答】AE 与FC 的比值不会变化.理由如下 ∵△ABC 和△BEF 都是等边三角形 ∴AB=CB,EB=FBB∠ABC=∠EBF=60°∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC 即∠ABE=∠CBF在△ABE 与△CBF 中BA BC =⎧⎪⎨⎪⎩∠ABE=∠CBF BE=BF∴△ABE ≌△CBF （SAS ） ∴AE=CF ∴1AECF= 就是说AE 与FC 的比值不会变化例2.△ABC 是等边三角形，AD 是中线，△ADE 是等边三角形，BE 等于BD 吗？为什么？【解答】BE=BD 理由如下： △ABC 是等边三角形，AD 是中线，∴AB=AC BD=CD ∠BAC=60° ∠BAD=∠CAD=30° ∵△ADE 是等边三角形，∴AE=AD ∠EAD=60° ∴∠EAB=∠EAD-∠BAD=30° ∴∠EAB=∠DAB=30°在△ABE 与△ABD 中EA DA=⎧⎪⎨⎪⎩∠BAE=∠BAD BA=BA∴△ABE ≌△ABD （SAS ）∴BD=BE 二．判断三角形的形状例3.△ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点，在△ABC 的外C角平分线CE上取一点E，使CE=BD，连接AE,DE,AD，请判断△ADE的形状，并说明理由。

等边三角形中的全等2017

等边三角形中的全等第一类：1、如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=4，PE=1．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求证：∠BPQ=60°；（3）求AD的长．【改编】1、如图所示，在等边三角形ABC的顶点A，C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到了D，E 处，设DC与BE的交点为F。

（1）求证：△ACD≌△CBE；（【改编】当点D、E不是AB、AC中点时，图中有全等三角形吗？如果没有，请说明理由；如果有，请找出所有的全等三角形，并选择其中一对进行证明。

（2）问蜗牛在爬行过程中DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请证明你的结论。

2、在等边三角形ABC中，点DE分别在边ACBC上，⑴若AD=CE，求∠ADF的度数。

⑵若∠AFB=120o，求AD=CE。

3、①感知：在等边三角形ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，若AE=CF，求证：△ACE≌△CBF②探究：如图②在等边△ABC中，点E、F分别在BA、AC的延长线上，若AE=CF，△ACE与△CBF是否全等？如果全等，请证明，如果不全等，说明理由。

③拓展：如图③在△ABC中，AC=BC,点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点EF分别在OA、AC的延长线上，若AE=CF，∠ ACB=50o，∠ AFB=32o，求∠ ACE的度数4、如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．（Ⅰ）当△PQB是直角三角形时，求AP的长；（【改编】何时△PQB是直角三角形）（Ⅱ）连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（Ⅲ）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP的交点为M，则∠CMQ变化吗？（在图2中补充完整图形。

例谈等边三角形问题的证明

例谈等边三角形问题的证明等边三角形是特殊的三角形，它三边相等、三个角均为60︒，为我们提供了丰富的自然条件．在竞赛中，以等边三角形为题材的问题很多，在此列举几种证明方法．一、旋转法当题目出现有公共顶点的两个等边三角形时，我们常常从旋转图形中得到解题的途径．例1 如图1，已知ABC △是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得CDE △是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点．求证：CMN △是等边三角形．分析：把CAD △绕点C 逆时针旋转60︒，便转到了CBE△的位置，相应的中线CM 转到了CN 的位置，所以CM CN =，由于旋转了60︒，所以CM 与CN 的夹角为60︒，由此可知CMN △是等边三角形．简证：易证ACD BCE ∠=∠，从而CAD CBE △≌△，于是可得CAD CBE AD BE ∠=∠=，，再由M N ，分别是AD BE ，的中点，可得AM BN =，所以CAM CBN △≌△，所以CM CN ACM BCN =∠=∠，，同时减去BCM ∠，便得到60MCN ACB ∠=∠=︒，所以CMN △是等边三角形．说明：用旋转法分析的问题，一般在证明时用SAS 证明．二、直角三角形法由于60︒的余角是30︒，所以问题中出现直角时，往往利用“在直角三角形中，30︒的角所对的直角边等于斜边的一半”来解决问题．例 2 如图2，ABC △中，AB BC CAAE CD ===，， AD BE ，相交于P ，BQ AD ⊥于Q ．求证：2BP PQ =．分析：由图形可知，欲证2BP PQ =，只须证明30PBQ ∠=︒，也就是60BPQ ∠=︒，而BPQ ABP BAP ∠=∠+∠，只要证明ABP CAD ∠=∠即可．可以利用SAS 判断ABE CAD △≌△．问题得证．证明（略）三、拼接法在证明线段和差问题时，往往采用拼接的方法，利用等边三角形的特点进行证明．例3 如图3，ABC △是边长为1的等边三角形，BDC △是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D为顶点做一个角A图1 图2EBC DMN A 图360︒，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接MN 形成一个三角形．求证：AMN △的周长等于2．分析：证明AMN △的周长等于2，注意到ABC △的边长为1，实际上所求证的问题是MN BM CN =+．为此，延长AC 至E ，使CE BM =，只须证明MN EN =即可．为此我们要证MDN EDN △≌△，现在只有公共边DN ，我们还应该再找到其他条件．我们从题目条件中很容易发现30DBC DCB ∠=∠=︒，再结合等边三角形的每个内角都是60︒，便可得到90ABD ACD ∠=∠=︒，而DB DC CE BM ==，，所以DMB DEC △≌△，所以DM DE BDM CDE =∠=∠，，由于60MDN ∠=︒，所以60BDM CDN ∠+∠=︒于是60CDE CDN ∠+∠=︒，即60EDN ∠=︒．所以MDN EDN DM DE ∠=∠=，，因此MDN EDN △≌△，从而MN EN =．证明（略）。

等边三角形 (2)

等边三角形专项一．基础知识1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形2.性质：等边三角形的三个内角都相等，，并且每个角都是60°3.判定：（1）三边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形二．典型例题1.（2010，齐齐哈尔）如图所示，已知△A B C和△C D E均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，A E与B D交于点O，A E与C D交于点G，A C与B D交于点F，连接O C、F G，则下列结论：①A E＝B D，②A G＝B F，③F G∥B E，④∠B O C＝∠E O C，其中正确的结论个数为（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 42.如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h。

在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h，在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外。

（1）请探究：图（2）--（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论；（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：___________；图（4）与图（6）中的等式有何关系？。

等边三角形的性质习题精选附答案

等边三角形的性质习题精选一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．234 5A30 B 40 ．50 D 602．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A B C D3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A15° B 22.5° C 30° D 45°4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A L l=L2B L1＞L2．L2＞L1 D 无法确定5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A B C 20+10 D 20﹣106．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）7910A阴影部分面积大B 空白部分面积大C 一样大D 不确定7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（）A190 B 192 C 194 D 1968．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A4个 B 5个 C 6个 D 7个9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h、h、A12 B 9 C 8 D 410．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A B C D11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）121314A 1B 2C 3D 412．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A36 B 32 C 30 D 2813．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A100 B 60 C 100 D 6014．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A120° B 135° C 150° D 165°二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为_________．16171920 16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为_________．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON=_________．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有_________个；△PAB的面积是_________．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为_________．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=_________．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=_________．2222．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是_________．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为_________．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_________（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=_________．若不存在，请说明理由．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．27．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC ＞OA+OB+OC．28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．29．阅读下列材料，解答相应问题：已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：证明：如图3，连接AP．∴S△ABC=S△ABP+S△APC．设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴BC•AD=AB•PE+AC•PF∴a•h=a•h1+a•h2．∴h1+h2=h．（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．30．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．等边三角形的性质习题精选参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．A．30 B．40 C．50 D．60考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．解答：解：设AB=x，∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，∵AF=2AB，即x+6=2x，∴x=6cm，∴周长为7 x+18=60cm．故选D点评：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．2．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C，根据三角形的内角和定理求出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，根据等边三角形∴∠B=∠C，∴∠2+∠γ=∠1+∠α，∴∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，∵等边△DEF，∴∠5=∠3=60°，∴∠2+∠α=∠1+∠β=120°，∴∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，∴∠α﹣∠γ=∠β﹣∠α，∴2∠α=∠β+∠γ，∴α=，故选B．点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能推出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ和∠2﹣∠1=∠β﹣∠α是解此题的关键．3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD 对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．解答：解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A．L l=L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．无法确定考点：等边三角形的性质；三角形三边关系．专题：计算题．分析：等边三角形各内角为60°，故∠B=∠C=60°，即可求得BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，即可求得L1=L2．解答：解：∵等边三角形各内角为60°，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD=∠CPE=30°，∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，∴BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=BC，∴AD+AE=AB+AC﹣BC=BC，∴BD+CE+BC=BC，L1=BC+DE，L2=BC+DE，即得L1=L2，故选A．点评：本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证L1=BC+DE，5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10D．20﹣10考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据ED⊥BC可得∠CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．解答：解：∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D．点评：本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x的值是解题的关键．6．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）A．阴影部分面积大B．空白部分面积大C．一样大D．不确定考点：等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质及三角形的中位线定理解答即可．解答：解：如图，∵D、E、F分别为三角形三边的中点，△ABC为等边三角形，∴AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF，∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED，∴阴影部分面积与空白部分面积一样大．故选C．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角形的中位线定理及等边三角形的性质．7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（）A．190B．192C．194D．196考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据三角形面积的不同计算方法可以求得PQ+PS+PR=AD，根据AD的值即可求得BC的值，根据BC、AD 的值即可计算等边△ABC的面积．解答：解：连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，等边三角形面积S=BC•（PQ+PR+PS）=BC•AD故PQ+PR+PS=AD，∴AD=6+8+10=24，∵∠ABC=60°∴AB=24×=16，∴△ABC的面积S=BC•AD=×24×16=192，故选B．点评：本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证PQ+PR+PS=AD是解题的关键．8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A．4个B．5个C．6个D．7个考点：等边三角形的性质．专题：计算题；开放型．分析：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，则可把三角形分成分成n2个边长为的小三角形，则比三角形的个数多1可以保证至少有两个点落在同一小三角形内，即可解题．解答：解：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，可以把三角形分成n2个边长为的小三角形，n2+1个点可以保证至少有两个点落在同一个小三角形内，所以那两个点的距离是不超过的，∴取得点至少为n2+1，当根据题意n=2，∴n2+1=5．故选B．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，学生探究发现规律的能力，本题中构建n2个三角形是解题的关键．9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．12B．9C．8D．4考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形的面积即可计算（h3+h2﹣h1）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC 的值，即可求得△ABC的面积，即可解题．解答：解：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PBC=S△ABC，从而ah3+ah2﹣ah1=a2，即a（h3+h2﹣h1）=a2，∵（h3+h2﹣h1）=6，∴a=4，∴S△ABC=a2=12．故选A．点评：本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键．10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设BM=x，CN=y，用x、y分别表示m、n的值，化简m、n的表达式，可得四边形AMPN，△ABC的周长的比值，可以解题．解答：解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，等边三角形周长的计算，本题中用x、y表示m、n的值是解题的关键．11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）A．1B．2C．3D．4考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形边长相等的性质，可以证明△ACD≌△BED，故AC=BE，已知AB，根据勾股定理即可求AC的长，即可解题．解答：解：∵∠ADC+∠CDB=60°，∠CDB+∠BDE=60°，∴∠ADC=∠BDE，在△ACD和△BED中，，∴△ACD≌△BED，∴AC=BE，∵AC=BC，AB=，∴AC=BC=1，∴BE=1．故选A．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BED是解题的关键．12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A．36 B．32 C．30 D．28考点：等边三角形的性质．专题：证明题．分析：根据等边三角形的“三线合一”的性质来找直角三角形．解答：解：①∵DE，EF，FD为等边△ABC三条中位线，∴AB=AC=BC，∴EF AB，ED AC，∴四边形CEDF是菱形，∴EF⊥CD，∴在菱形CEDF中有6个不同的直角三角形：Rt△CEG、Rt△CFG、Rt△DGE、Rt△DFG、Rt△EOG、Rt△FOG；同理，在菱形ADEF、菱形BEFD中各有6个不同的直角三角形；②∵D为等边三角形ABC三边中点，∴CD⊥AB，∴△ADC、△BDC、AOD、△BOD是直角三角形；同理，以BF、AE为直角边的三角形各有4个；综上所述，图中能数出的直角三角形由6×3+4×3=30（个）；故选C．点评：本题考查了等边三角形的性质．解题时，充分利用了三角形中位线定理、等边三角形的“三线合一”的性质．13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A．100B．60C．100 D．60考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据三角形面积公式和中位线定理求解．解答：解：设小三角形的边长为a．∴小三角形的面积为a2sin60°=25，解得a=10∵正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形∴大三角形的边长为小三角形边长的2倍，为2a∴大的正三角形的周长为2a×3=6a=6×10=60．故选D．点评：考查了学生对三角形面积公式和中位线定理的掌握和理解．14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设∠CDA=x，∠ABC=y，根据DA=DB=DC=BC，求得x=2y，由四边形的内角和是360°得∠BAC=360°﹣∠DBA ﹣∠DCA﹣∠BDC，解得即可得出答案．解答：解；设∠CDA=x，∠ABC=y，∵DA=DB=DC=BC，∴∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，∵∠DBA+∠BAD+∠BDA=180°，∴60°﹣x+2（60°+y）=180°，即x=2y，∠BAC=360°﹣∠DBA﹣∠DCA﹣∠BDC，=360°﹣（60°+y）﹣﹣60°，=150°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和等边三角形性质的理解和掌握，此题的关键是有已知条件得到∠CAD和∠ABC之间的关系，进一步求出结果．二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为6．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CND∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．点评：此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：观察图形可知重叠部分的面积即是△DEF的面积减去△MNF的面积．由折叠的性质，可求得∠BDE=∠EDF=45°，由四边形的内角和为360°，求得∠BEF为150°，得到∠CEM为30°，则可证得∠EMC 为90°；作△BDE的高，根据45°与60°的三角函数，借助于方程即可求得其高的值，则各三角形的面积可解．解答：解：过点E作EG⊥AB于G，∴∠EGB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3+，根据题意得：∠BDE=∠FDE，∠F=∠B=60°，∵DF⊥AB，∴∠FDB=90°，∴∠BEF=360°﹣∠B﹣∠F﹣∠BDF=150°，∠BDE=∠FDE=∠FDB=45°∴∠MEC=180°﹣∠BEF=30°，∴∠EMC=180°﹣∠C﹣∠EMC=90°，在Rt△ADN中，AD=1，tan∠A=tan60°==，∴DN=，∴S△ADN=AD•DN=×1×=，在△BDE中，DB=AB﹣AD=3+﹣1=2+，∵∠EDG=45°，∴∠DEG=45°，∴DG=EG，∵tan∠B=tan60°==，设EG=x，则DG=x，BG=x，∴x+x=2+，解得：x=，∴EG=DG=，∴S△BDE=BD•EG=×（2+）×=，∵∠B=∠C=∠F=60°，∴BE==+1，∴EC=BC﹣BE=2，∵∠BED=∠FED=180°﹣∠B﹣∠BDE=75°，∴∠FNM=∠MEC=30°，∴∠FMN=∠EMC=90°，∴EM=EC•cos30°=，∴FM=EF﹣EM=BE﹣EM=1，∴MN=FM•tan60°=，∴S四边形MNDE=S△DEF﹣S△MNF=S△BDE﹣S△MNF=﹣×1×=．点评：此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是抓住数形结合思想的应用．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON=（）10．考点：等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：利用正三角形的性质和正三角形的边长求得OC的长，然后逆时针旋转30°后可以求得OE的长，直至线段ON与线段OA重合，一共旋转了12次，从而可以求得ON的长．解答：解：∵OC为等边三角形的高，且等边三角形的边长为1，∴NC=，∵△OCD为等边三角形，∴∠OCD=60°，∴OE⊥CD，∴OE==（）2，以此类推，当ON与OA重合时，一共旋转了10次，∴ON的长为（）10，故答案为（）10点评：本题考查了正三角形的性质，解题的关键是正确地得到一共旋转了多少次．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有1个；△PAB的面积是．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据三角形面积的计算和△PAB、△PBC、△PCA的面积相等可得P到AB、BC、AC的距离相等，故P点为等边三角形三个角平分线的交点，故P点只有一个，且△PAB的面积为等边△ABC面积的．解答：解：∵△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，AB=BC=AC，∴P到AB、BC、AC的距离相等，故点P为等边三角形三角平分线的交点，等边三角形三角平分线交于一点，故点P只有一个，且△PAB的面积为．故答案为：1，．点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，三角形面积的计算，本题中求得P点是等边三角形三个角平分线的交点是解题的关键．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：作AM⊥BC，根据等边三角形的面积计算可以求得AM=PE+PD+PF，再根据等边三角形的高线长可以计算等边三角形的边长，即可解题．解答：解：过A作AM⊥BC，则AM为BC边上的高，连接PA、PB、PC，则△ABC的面积S=BC•AM=（BC•PD+AB•PF+AC•PE），∴BC•AM=BC•PD+AB•PF+AC•PE，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴BC•AM=BC•PD+BC•PF+BC•PE=BC•（PD+PF+PE），∴PD+PE+PF=AM，∴△ABC的高为：1+3+5=9，∴△ABC的边长为：AB===9×=6，故答案为6．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形边长和高线长的关系，本题中求AM=PD+PE+PF是解题的关键．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=240°．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：根据OM=ON=MN即可判定△OMN为等边三角形，根据等边三角形各内角为60°的性质，可求得∠OPQ+∠OQP的值，进而根据∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）即可解题．解答：解：∵OM=ON=MN，∴三角形OMN为正三角形，所以∠APQ+∠CQP=（180°﹣∠OPQ）+（180°﹣∠OQP），=360°﹣（∠OPQ+∠OQP），=360°﹣（180°﹣∠POQ），=180°+60°，=240°．故答案为：240°．点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了外角的定义，本题中求得∠APQ+∠CQP=360°﹣（∠OPQ+∠OQP）是解题的关键．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=60°．考点：等边三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据可以证明AD=BE，即AE=CD，即可证△ACE≌△BCD，可得∠DBC=∠ACE，根据∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°即可求得∠BPE=∠ACB，即可解题．解答：解：∵△ABD的面积=四边形ADPE的面积+△BPE的面积△BCE的面积=三角形BPC的面积+△BPE的面积四边形ADPE与△BPC的面积相等，∴AD=BE，即AE=CD，又∵AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°∴△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠ACE又∵∠BPE=∠BCE+∠DBC，∠ACE+∠BCE=60°，∴∠BPE=∠ACB=60°，故答案为60°．点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．22．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是4：3．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：设=n，根据平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形和△AMN和四边形MBCN 的周长相等，得出3AM=AM+BC+2BM，然后整理此等式即可得出答案．解答：解：设==n，∵3AM=AM+BC+2BM，△ABC为等边三角形，∴BM=AB﹣AM=BC﹣AM，∴2AM=+2（BC﹣AM），即2AM=+2（﹣AM），∴2AM=+2AM（﹣1），即2=+﹣2，4=．∴BC与MN的长度之比是4：3．故答案为：4：3．点评：此题主要考查等边三件形的性质这一知识点，解答此题的关键是设=n 利用等边三角形的性质和△AMN和四边形MBCN的周长相等，列出3AM=AM+BC+2BM这样一个等式，然后整理即可．此题有一定的拔高难度，属于难题．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为3．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求正方形的面积，即可解题．解答：解：∵等边三角形三线合一，∴D为BC的中点，即BD=DC=1，∴AD==，∴正方形的面积为×=3．故答案为3．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，正方形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？存在（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=2．若不存在，请说明理由．考点：等边三角形的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质．分析：（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．解答：证明：（1）连接AP，BP，CP．（2分）则S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，（4分）即，（6分）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴r1+r2+r3=h（定值）；（8分）（2）存在．（10分）r=2．（12分）点评：此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．考点：等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：连接OE，OF构建等腰三角形BOE和CFO，利用等腰三角形的“三线合一”推知的性质BE=OE、OF=CF，然后等边三角形ABC中，根据等边三角形的三个内角都是60°的性质、角平分线的性质证得△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）；最后由等边三角形OEF的三条边都相等、等量代换证明BE=EF=FC即E，F是BC的三等分点．解答：解：E，F是BC的三等分点．理由：连接OE，OF，∵DE垂直平分OB∴BE=OE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），同理OF=CF，∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠FOC，∵等边三角形ABC中，∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形各角相等且为60°）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠EBO=∠ABC=30°，∠FCO=∠ACB=30°∴∠BOE=∠EBO=30°，∠FOC=∠FCO=30°∴∠OEF=∠BOE+∠EBO=60°，∠OFE=∠FOC+∠FCO=60°，∴△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）∴OE=OF=EF（等边三角形各边相等）∴BE=EF=FC，即E，F是BC的三等分点．点评：本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质．解答该题时，充分利用了等腰三角形的底边上的高线、中线、对角的角平分线三线合一的特性．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．。

八年级三角形的证明题

八年级三角形的证明题一、等腰三角形性质相关证明题（8题）1. 已知：在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线。

求证：AD⊥BC。

- 证明：- 因为AB = AC，AD是BC边上的中线，所以BD = DC（中线的定义）。

- 在△ABD和△ACD中，AB = AC（已知），BD = CD（已证），AD = AD（公共边）。

- 所以△ABD≌△ACD（SSS）。

- 则∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。

- 又因为∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。

2. 已知：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，求证：∠B = 72°。

- 证明：- 因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。

- 又因为∠A+∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 36°。

- 设∠B = x，则∠C = x，可得方程36°+x + x = 180°。

- 2x=180° - 36°，2x = 144°，解得x = 72°，即∠B = 72°。

3. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且AD = BD = BC。

求∠A的度数。

- 证明：- 设∠A=x，因为AD = BD，所以∠ABD = ∠A=x（等边对等角）。

- 则∠BDC=∠A + ∠ABD = 2x（三角形外角性质）。

- 因为BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x。

- 又因为AB = AC，所以∠ABC = ∠C = 2x。

- 根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠C = 180°，即x + 2x+2x = 180°。

- 5x = 180°，解得x = 36°，所以∠A = 36°。

等边三角形专题含详解析

..《等边三角形》专题2.(2017天津第 9 题) 如图，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60 0 得 DBE ，点 C 的对应点 E 恰好落在 AB 延伸线上，连结 AD . 以下结论必定正确的选项是（）A ．ABD EB ．CBE CC.AD // BCD． AD BC3. (2017 天津第 11 题 ) 如图，在ABC 中， AB AC ， AD, CE 是 ABC 的两条中线， P是 AD 上一个动点，则以下线段的长度等于BP EP 最小值的是（）A ． BCB． CEC.ADD． AC17. （ 2017 河池第 12 题）已知等边ABC 的边长为 12， D 是 AB 上的动点，过 D 作DEAC 于点 E ，过 E 作 EF BC 于点 F ，过 F 作 FGAB 于点 G . 当 G 与 D 重合时， AD 的长是（） A ． 3B． 4C.8D ． 9..10.（2008·菏泽中考）如图， C 为线段 AE 上一动点（不与点 A， E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC和正三角形 CDE，AD与 BE交于一点 O，AD与 BC交于点 P，BE 与 CD交于点Q，连结 PQ．以下五个结论：①AD=BE；② PQ∥ AE；③ AP=BQ；④ DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒建立的有 ________（把你以为正确的序号都填上）．16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4 的正三角形 ABC中， AD BC于点 D，以 AD为一边向右作正三角形 ADE。

（1）求△ ABC的面积 S；（2）判断 AC、 DE的地点关系，并给出证明。

.下载可编写 ...《等边三角形》练习题1．（ 2012? 深圳）如，已知：∠MON=30°，点 A1、 A2、 A3⋯在射 ON上，点 B1、 B2、 B3⋯在射 OM上，△ A1B1A2、△ A2B2 A3、△ A3B3A4⋯均等三角形，若OA1=1，△ A6B6A7的（）A． 6 B． 12 C． 32 D． 642．（ 2012? 凉山州）如，一个等三角形片，剪去一个角后获得一个四形，中∠α+∠β的度数是（）A． 180°B． 220°C． 240°D． 300°3．（ 2012? ）如，△ ABC是等三角形， P是∠ ABC的均分 BD上一点， PE⊥ AB于点E，段 BP的垂直均分交 BC于点 F，垂足点 Q．若 BF=2， PE的（）A． 2 B． 2 C．D． 34．（ 2011? 南平） 4 的正三角形的高（）A． 2 B． 4 C．D． 25．（ 2010? 随州）如， 1 的等△ ABC的 AB上一点 P，作 PE⊥AC于 E， QBC延上一点，当PA=CQ， PQ交 AC于 D， DE的（）A．B．C．D．不可以确立6．（ 2009? 攀枝花）如所示，在等△ABC中，点 D、 E 分在 BC、 AB 上，且 BD=AE，AD与 CE交于点 F，∠ DFC的度数（）A． 60°B． 45°C． 40°D． 30°7．（ 2007? 阳）如，在正方形ABCD的外，作等△ADE， BE、 CE分交 AD于 G、 H，△ CDH、△ GHE的面分 S1、S2，（）A． 3S1=2S2 B． 2S1=3S2 C． 2S1= S2 D．S1=2S2 8．（ 2007? 娄底）如，△ ABC是 6cm 的等三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三均分，中暗影部分的面（）A． 4cm2 B． 2cm2 C． 3 cm2 D． 3cm29．（ 2006? 天津）如， A、C、 B 三点在同一条直上，△ DAC和△ EBC都是等三角形，AE、 BD分与CD、CE交于点 M、N，有以下：①△ ACE≌△ DCB；② CM=CN；③ AC=DN．其中，正确的个数是（）A． 3 个B． 2 个C． 1 个D． 0 个10．（ 2006? 南宁）如是一个等三角形木框，甲虫 P 在框 AC上爬行（ A，C 端点除外），甲虫 P 到此外两的距离之和 d，等三角形 ABC的高 h， d 与 h 的大小关系是（）A． d＞ h B． d＜ h C． d=h D．没法确立11．（ 2007? 南充）一艘船由海平面上 A 地出向南偏西40°的方向行 40 海里抵达 B地，再由 B 地向北偏西 20°的方向行40 海里抵达 C 地， A、 C两地相距（）A． 30 海里B． 40 海里C． 50 海里D． 60 海里12．（ 2006? 曲靖）如，CD是 Rt △ ABC斜 AB上的高，将△BCD沿 CD折叠， B 点恰巧落在 AB的中点 E ，∠ A 等于（）A． 25°B． 30°C． 45°D． 60°13．（2011? 茂名）如，已知△ ABC是等三角形，点 B、C、D、E 在同向来上，且 CG=CD，DF=DE，∠ E= _________度．14．（ 2008? 日照）如， C段 AE上一点（不与点 A， E 重合），在 AE同分作正三角形 ABC和正三角形 CDE，AD与 BE交于点 O，AD与 BC交于点 P， BE 与 CD交于点 Q，接PQ．以下五个：① AD=BE；② PQ∥ AE；③ AP=BQ；④ DE=DP；⑤∠ AOB=60度．恒建立的有_________ ．（把你正确的序号都填上）15．（ 2005? 州）如，将 4 的等△ ABC，沿 x 向左平移 2 个位后，获得△ A′ B′ C′，点 A′的坐 _________ ．16．（ 2004? 茂名）如，正三角形A1B1C1的 1，△ A1B1C1的三条中位成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中又成△ A3 B3C3，⋯，这样推，获得△ A n B n C n．：（1）△ A3B3C3的 a3 = _________ ；（2）△ A n B n C n的 a n = _________（此中n正整数）．17．（ 2006? 嘉峪关）△ ABC为等边三角形，D、 E、 F 分别在边BC、 CA、 AB上，且AE=CD=BF，则△ DEF为 _________三角形．18．（ 1999? 广州）如图，以 A，B 两点为此中两个极点作地点不一样的等边三角形，最多能够作出 _________ 个．19．以下图， P 是等边三角形ABC内一点，将△ ABP绕点 B 顺时针方向旋转60°，获得△ CBP′，若 PB=3，则 PP′ = _________ ．20．（ 2009? 浙江）如图，在边长为 4 的正三角形 ABC中， AD⊥ BC于点 D，以 AD为一边向右作正三角形 ADE．（1）求△ ABC的面积 S；（ 2）判断 AC、DE的地点关系，并给出证明．21．（ 2009? 辽阳）如图，△ ABC为正三角形， D为边 BA延伸线上一点，连结 CD，以 CD为一边作正三角形 CDE，连结 AE，判断 AE与 BC的地点关系，并说明原因．22．（ 2008? 绍兴）附带题，学完“几何的回首”一章后，老师部署了一道思虑题：如，点 M，N 分在正三角形 ABC的 BC， CA上，且 BM=CN， AM，BN交于点 Q．求：∠ BQM=60度．（1）你达成道思虑；（2）做完（ 1）后，同学在老的启下行了反省，提出了多，如：①若将中“ BM=CN”与“∠BQM=60°”的地点交，获得的能否还是真命？②若将中的点 M，N 分移到 BC，CA的延上，能否还能获得∠ BQM=60°？③若将中的条件“点 M， N 分在正三角形 ABC的 BC， CA上”改“点 M，N 分在正方形 ABCD的BC， CD上”，能否还能获得∠ BQM=60°？⋯你作出判断，在以下横上填写“是”或“否”：①_________；②_________；③_________ ．并②，③的判断，一个出明．23．（ 2007? 河北）在△ ABC中， AB=AC， CG⊥ BA交 BA的延于点G．一等腰直角三角尺按如 1 所示的地点放，三角尺的直角点F，一条直角与AC在一条直上，另一条直角恰巧点B．（1）在 1 中你通察、量 BF 与 CG的度，猜想并写出 BF与 CG足的数目关系，而后明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到 2 所示的地点，一条直角仍与AC在同向来上，另一条直角交BC于点 D，点 D 作 DE⊥ BA于点 E．此你通察、量DE、 DF 与 CG的度，猜想并写出DE+DF与 CG之足的数目关系，而后明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基上沿AC方向平移到 3 所示的地点（点 F 在段 AC上，且点 F 与点 C 不重合），（2）中的猜想能否仍旧建立（不用明原因）．24．（ 2004? 苏州）已知：如图，正△ ABC的边长为 a，D 为 AC边上的一个动点，延伸 AB 至E，使 BE=CD，连结 DE，交 BC于点 P．（1）求证： DP=PE；（2）若 D为 AC的中点，求 BP的长．25．（ 2002? 黑龙江）已知等边△ABC和点 P，设点 P 到△ ABC三边 AB、 AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ ABC的高为 h．“若点 P 在一边 BC上（如图 1），此时 h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直策应用上述信息解决以下问题：（1）当点 P 在△ ABC内（如图 2），（ 2）点 P 在△ ABC外（如图 3）这两种状况时，上述结论能否还建立？若建立，请赐予证明；若不建立，h1、 h2、 h3与 h 之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．26．（ 2000? 河南）如图，点C、 D 在线段 AB 上，△ PCD是等边三角形．（1）当 AC、 CD、 DB知足如何的关系时，△ ACP∽△ PDB；（2）当△ ACP∽△ PDB时，求∠ APB的度数．27．（ 2010? 雅安）如图，点 C是线段 AB 上除点 A、B 外的随意一点，分别以 AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ ACD和等边△ BCE，连结 AE 交 DC于 M，连结 BD交 CE于 N，连结 MN．（1）求证： AE=BD；（2）求证： MN∥ AB．28．（ 2005? 临沂）如图，已知AD和 BC交于点 O，且△ OAB和△ OCD均为等边三角形，以OD 和OB为边作平行四边形 ODEB，连结 AC、 AE和 CE， CE和 AD订交于点F．求证：△ ACE为等边三角形．29．已知：如图，△ ABC、△ CDE都是等边三角形， AD、BE订交于点 O，点 M、N 分别是线段AD、 BE的中点．（1）求证： AD=BE；（ 2）求∠ DOE的度数；（3）求证：△ MNC是等边三角形．30．如图，等边△ ABC的边长为10，点 P 是边 AB 的中点， Q为 BC延伸线上一点，CQ：BC=1：2，过 P 作 PE⊥ AC于 E，连 PQ交 AC边于 D，求 DE的长？《全等三角形》练习参照答案与试题分析1．C 2．C 3．C 4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13 ．∠ E= 15 度． 14．①②③⑤ ．15．.16 ． a 3= ；△ A n B n C n的边长 a n = （或 21﹣n）17．等边三角形． 18． 2 个． 19 PP′ = 3 ．20．解：（ 1）在正△ ABC中， AD=4×，（ 2 分）∴ S= BC× AD= × 4× 2 =4 ．（3 分）（ 2） AC、DE的地点关系：AC⊥ DE．（ 1 分）在△ CDF中，∵∠ CDE=90°﹣∠ ADE=30°，（ 2 分）∴∠ CFD=180°﹣∠ C﹣∠ CDE=180°﹣ 60°﹣ 30° =90°．∴AC⊥ DE．（ 3 分）（注：其余方法酌情给分）．21．解： AE∥ BC．原因以下：∵△ ABC与△ CDE为正三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ ACB=∠ DCE=60°，∴∠ ACB+∠ACD=∠ DCE+∠ ACD，即∠ BCD=∠ACE，∴△ BCD≌△ ACE，∴∠ B=∠ EAC，∵∠ B=∠ ACB，∴∠ EAC=∠ACB，∴AE∥ BC．22．请你作出判断，在以下横线上填写“是”或“否”：① 是；② 是；③ 否．并对②，③的判断，选择一个给出证明．（1）证明：在△ ABM和△ BCN中，，∴△ ABM≌△ BCN，∴∠ BAM=∠ CBN，∴∠ BQM=∠ BAQ+∠ ABQ=∠MBQ+∠ ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ ACM和△ BAN中，，∴△ ACM≌△ BAN，∴∠ AMC=∠ BNA，∴∠ NQA=∠ NBC+∠ BMQ=∠NBC+∠ BNA=180°﹣ 60° =120°，∴∠ BQM=60°．③的证明：如图，在Rt △ABM和 Rt△ BCN中，，∴Rt △ABM≌ Rt △BCN，∴∠ AMB=∠ BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠ QBM+∠ QMB=90°，∴∠ BQM=90°，即∠ BQM≠60°．23解：（ 1） BF=CG；证明：在△ ABF和△ ACG中∵∠ F=∠ G=90°，∠ FAB=∠ GAC， AB=AC∴△ ABF≌△ ACG（ AAS）∴BF=CG；（2） DE+DF=CG；证明：过点D作 DH⊥ CG于点 H（如图 2）∵DE⊥BA于点 E，∠ G=90°， DH⊥ CG∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG， DH∥ BG∴∠ GBC=∠ HDC∵AB=AC∴∠ FCD=∠ GBC=∠ HDC又∵∠ F=∠ DHC=90°， CD=DC∴△ FDC≌△ HCD（ AAS）∴DF=CH∴GH+CH=DE+DF=CG，即 DE+DF=CG；（ 3）仍旧建立．证明：过点 D作 DH⊥ CG于点 H（如图 3）∵ DE⊥BA于点 E，∠ G=90°， DH⊥ CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG， DH∥BG，∴∠ GBC=∠HDC，∵ AB=AC，∴∠ FCD=∠ GBC=∠ HDC，又∵∠ F=∠ DHC=90°， CD=DC，∴△ FDC≌△ HCD（ AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．（1）证明：过点 D 作 DF∥AB，交 BC于 F．∵△ ABC为正三角形，∴∠ CDF=∠ A=60°．∴△ CDF为正三角形．∴DF=CD．又 BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠ PDF．∵在△ DFP和△ EBP中，∵，∴△ DFP≌△ EBP（ AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（ 1）得△ DFP≌△ EBP，可得FP=BP．∵ D为 AC中点， DF∥ AB，∴BF= BC= a．∴BP= BF= a．25．解：（1）当点P在△ ABC内时，结论h1 +h2+h3=h 仍旧建立．原因以下：过点 P 作 BC的平行线，交 AB于 G，交 AC于 H，交 AM于 N，则可得结论h1+h2 =AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即 h3=MN．∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即 h1+h2+h3 =h．（ 2）当点 P 在△ ABC外时，结论 h1+h2+h3=h 不建立．此时，它们的关系是h1+h2﹣ h3=h．原因以下：过点 P 作 BC的平行线，与 AB、 AC、 AM分别订交于 G、 H、 N，则可得结论h1+h2 =AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即 h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣ MN=AM=h，即h1+h2﹣ h3=h．226．解：（1）当CD=AC? DB时，△ ACP∽△ PDB，∵△ PCD是等边三角形，∴∠ PCD=∠ PDC=60°，∴∠ ACP=∠ PDB=120°，2若 CD=AC? DB，由 PC=PD=CD可得： PC? PD=AC? DB，即=，则依据相像三角形的判断定理得△ACP∽△ PDB（2）当△ ACP∽△ PDB时，∠ APC=∠ PBD∵∠ PDB=120°∴∠ DPB+∠ DBP=60°∴∠ APC+∠ BPD=60°∴∠ APB=∠ CPD+∠ APC+∠BPD=120°即可得∠ APB的度数为120°．27．证明：（1）∵△ ACD和△ BCE是等边三角形，∴AC=DC， CE=CB，∠ DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠ DCA=∠ ECB=60°，∴∠ DCA+∠ DCE=∠ ECB+∠DCE，∠ ACE=∠ DCB，在△ ACE与△ DCB中，∵，∴△ ACE≌△ DCB，∴AE=BD；（2）∵由（ 1）得，△ ACE≌△ DCB，∴∠ CAM=∠ CDN，∵∠ ACD=∠ ECB=60°，而 A、 C、 B 三点共线，∴∠ DCN=60°，在△ ACM与△ DCN中，∵，∴△ ACM≌△ DCN，∴MC=NC，∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠ NMC=∠ DCN=60°，∴∠ NMC=∠ DCA，∴MN∥AB．28．证明：∵△ OAB和△ OCD为等边三角形，∴CD=OD， OB=AB，∠ ADC=∠ABO=60°．∵四边形 ODEB是平行四边形，∴OD=BE， OB=DE，∠ CBE=∠ EDO．∴CD=BE， AB=DE，∠ ABE=∠CDE．∴△ ABE≌△ EDC．∴AE=CE，∠ AEB=∠ ECD．∵BE∥AD，∴∠AEB=∠ EAD．∴∠EAD=∠ ECD．在△ AFE和△ CFD中又∵∠ AFE=∠ CFD，∴∠ AEC=∠ ADC=60°．∴△ ACE为等边三角形．29．解：（1）∵△ ABC、△ CDE都是等边三角形，∴AC=BC， CD=CE，∠ ACB=∠ DCE=60°，∴∠ ACB+∠ BCD=∠ DCE+∠BCD，∴∠ ACD=∠ BCE，在△ ACD和△ BCE中，∴△ ACD≌△ BCE，∴AD=BE．（2）解：∵△ ACD≌△ BCE，∴∠ ADC=∠ BEC，∵等边三角形 DCE，∴∠ CED=∠ CDE=60°，∴∠ ADE+∠ BED=∠ ADC+∠CDE+∠ BED，=∠ ADC+60° +∠BED，=∠ CED+60°，=60° +60°，=120°，∴∠ DOE=180°﹣（∠ ADE+∠ BED）=60°，答：∠ DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ ACD≌△ BCE，∴∠ CAD=∠ CBE，AD=BE，AC=BC又∵点 M、 N 分别是线段AD、 BE 的中点，∴AM= AD， BN= BE，∴AM=BN，在△ ACM和△ BCN中，∴△ ACM≌△ BCN，∴CM=CN，∠ACM=∠ BCN，又∠ ACB=60°，∴∠ ACM+∠ MCB=60°，∴∠ BCN+∠ MCB=60°，∴∠ MCN=60°，∴△ MNC是等边三角形．30．解：过P点作PF∥ BC交AC于F点，∵等边△ ABC的边长为10，点 P 是边 AB 的中点， CQ：BC=1： 2，∴AB=BC，∠ B=∠ACB=∠ A=60°，∴AP=CQ，∵PF∥AB，∴∠ APF=∠ B=60°，∠ AFP=∠ ACB=60°，∴∠ A=∠ APF=∠AFP=60°，∴△ APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴ EF= AF，∵△ APF是等边三角形，AP=CQ，∴PF=CQ∵PF∥AB，∴∠ Q=∠ FPD，在△ PDF和△ QDC中∵，∴△ PDF≌△ QDC，∴DF=CD，∴ DF= CF，∴DE=EF+DF=AF+ CF= AC，∴ED=5．双基训练1.如图 14-45 ，在等边 ABC中，O是三个内角均分线的交点， OD∥ AB，OE∥ AC，则图中等腰三角形的个数是。

(完整)等腰三角形和等边三角形习题例题

等腰三角形的性质应用及判定【例1】如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O 。

给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD.(1) 上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形） (2) 选择第(1)小题中的一种情形,证明△ABC 是等腰三角形【例2】如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E,使AE=BD,连接CE,DE 。

求证：△CDE 为等腰三角形【例3】如图,将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（） ①DC '平分∠BDE②BC 长为(22 ）a③△BC 'D 是等腰三角形 ④△CED 的周长等于BC 的长 A 。

1个 B.2个 C 。

3个 D.4个【例4】如图，△ABC 是边长为1的正三角形,△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠MDN,点M,N分别在AB ，AC 上，则△AMN 的周长是【例5】已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为（） A 。

20° B.120° C 。

20°或120° D.36°AEBCO D EA BCDD BE CDBC '. E ACB A MNDBC【例6】等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为【例7】如图，点O 事等边△ABC 内一点,∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ，则△COD 是等边三角形；（1）当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？(2）求证：△COD 是等边三角形（3）当α=150°时，试判断△AOD 的形状,并说明理由等边三角形的性质应用及判定【例8】如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，BD=AE,AD 与CE 交于点F.求证：(1）AD=CE;(2）求∠DFC 的度数。

[数学]-必考点10 等边三角形的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学

【例题4】（2021秋•庄浪县期末）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
【例题5】（2020秋•环江县期中）如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD．求证：MB＝ME．
【解题技巧提炼】
等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝，BQ＝．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
【解题技巧提炼】
解决与等边三角形相关动态探究题的问题时，主要是“化动为静”，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
◆◆◆题型一等边三角形的性质
1．（2022春•保山期末）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠DEC的度数为（）
（2）（类比探究）
当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想AD与DE
之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）（拓展应用）
当点D在BC的延长线上时，满足CD＝BC，其他条件不变，连接AE，请在图③中补全图形，并直接写出∠AED的大小．
◆◆◆题型七与等边三角形相关动态探究题
14．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？

专题1.2 等边三角形的性质与判定【十大题型】(举一反三)(北师大版)(原卷版)

专题1.2 等边三角形的判定与性质【十大题型】【北师大版】【题型1 利用等边三角形的性质求值】 (1)【题型2 利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】 (2)【题型3 等边三角形的证明】 (4)【题型4 等边三角形在坐标系中的运用】 (5)【题型5 等边三角形中的折叠问题】 (7)【题型6 与等边三角形有关的规律问题】 (9)【题型7 等边三角形中的动态问题】 (10)【题型8 等边三角形中求最值】 (12)【题型9 等边三角形中的多结论问题】 (13)【题型10 确定等边三角形中的线段之间的关系】 (14)【知识点等边三角形】（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°. （3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.【题型1利用等边三角形的性质求值】【例1】（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知等边三角形ABC中，BD=CE，AD 与BE交于点P，则∠APE=°．【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期末）已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．(1)求证：△DBE≌△CBE；(2)求∠BDE的度数．(3)若∠ABE=45°，试判断BD与AC的位置关系，并说明理由．【变式1-2】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C 的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=2，则DE+DF=．【变式1-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为m，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM 的长为．【题型2利用等边三角形的性质证明线段或角度相等】BC，点【例2】（2023春·河南周口·八年级校考期中）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=12D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．(1)求证：EF⊥AB；(2)连接BD，求证：BD=DE．【变式2-1】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是高线，延长BC到E，使CE=AD．证明：BD=DE．【变式2-2】（2023春·四川巴中·八年级统考期末）已知，将等边△ABC和一块含有30°角的直角三角板DEF (∠F=30°)如图1放置，点B与点E重合，点A恰好落在三角板的斜边DF上．（1）利用图证明：EF=2AC；（2）△ABC在EF所在的直线上向右平移，当AB、AC与三角板斜边的交点为G、H时，如图2．判断线段EB=AH是否成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【变式2-3】（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．(1)以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB的位置关系，并证明你的结论；(2)若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连接AF、DF，使得∠ADF=60°，试猜想△ADF的形状，直接写出你的结论．【题型3等边三角形的证明】【例3】（2023春·河南周口·八年级校考期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE=AD．(1)如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；(2)如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．【变式3-1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，E是CD的中点，EC=EB，∠CDA=120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA．求证：△BEC是等边三角形．补全下面的证明过程及理由．证明：∵DF平分∠CDA（已知），∠___________（___________）．∴∠FDC=12∵∠CDA=120°（已知），∴∠FDC=__________°．∵DF∥BE（已知），∴∠FDC=∠__________（___________），∴∠BEC=60°．又∵EC=EB（已知），∴△BCE是等边三角形（____________）．【变式3-2】（2023春·甘肃天水·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足．求证：(1)DE=DF；(2)△DEF是等边三角形．【变式3-3】（2023春·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC 边上的中线，且BD=BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M．(1)求∠ADE的度数．(2)证明：△ADF是等边三角形．【题型4等边三角形在坐标系中的运用】【例4】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC>1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．(1)求证：OC=AD；(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标．【变式4-1】（2023春·辽宁铁岭·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点(OC>1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．(1)求证：OC=AD；(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？【变式4-2】（2023春·北京·八年级北京市广渠门中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A0 ， 2，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC，延长CA交x轴于点E．（1）求证：OB=AC；（2）∠CAP的度数是；（直接写出答案，不需要说明理由．）（3）当B点运动时，猜想AE的长度是否发生变化？如不变，请求出AE的长度；若改变，请说明理由．【变式4-3】（2023春·湖北黄石·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中．A点在y轴上，B（b，0），C（c，0）在x轴上，∠BAC=60°，且b、c满足等式b2+2bc+c2＝0．(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如图1，F为AB延长线上一点，连FC，若∠GFC+∠ACG=60°．求证：FG平分∠AFC；(3)如图2，△BDE中，DB=DE，∠BDE=120°，M为AE中点，试确定DM与CM的位置关系．【题型5等边三角形中的折叠问题】【例5】（2023春·四川成都·八年级校考期末）如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G.若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为度．【变式5-1】（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（）cmA．1B．2C．3D．4【变式5-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D 落在BC边上，其中折痕分别交边AB,AC于点E，F，连接DE,DF．若DF⊥BC，则∠AEF的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【变式5-3】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）在△ABC中，∠B=60°，D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F．(1)如图1，若点F恰好落在边BC上，判断△BDF的形状，并证明；(2)如图2，若点F落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的度数；(3)若AB=9，当△BDF是直角三角形时，直接写出AD的长．【题型6与等边三角形有关的规律问题】【例6】（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3 C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n C n C n+1的周长和为．【变式6-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是0，4，以为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（）A B C D【变式6-2】（2023·四川·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形A1B1C1D1（记为第1个正方形）的顶点A1与原点重合，点B1在y轴上，点D1在x轴上，点C1在第一象限内，以C1为顶点作等边△C1A2B2，使得点A2落在x轴上，A2B2⊥x轴，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2（记为第2个正方形），点D2在x轴上，以C2为顶点作等边△C2A3B3，使得点A3落在x轴上，A3B3⊥x轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为．【变式6-3】（2023春·广西柳州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1=1,∠ODB1=60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，按此规律进行下去，则点A6的横坐标是．【题型7等边三角形中的动态问题】【例7】（2023春·河南濮阳·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为v P=2cm/s，v Q=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【变式7-1】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同．连接AQ、CP交于点M．(1)求证：△ABQ≌△CAP；(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M，则△ABQ和△CAP 还全等吗？说明理由；【变式7-2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，点P，Q是等边△ABC边AB，BC上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接AQ,CP,PQ，其中AQ与CP交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（）A．BQ=AP B．△ABQ≌△CAPC．△BPQ的形状可能是等边三角形D．∠CMQ的度数随点P，Q的运动而变化【变式7-3】（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)当D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；(2)当CE∥AB时．①若D在线段BC上，判断△ABC的形状，并说明理由；②若△ABD中的最小角为20°，直接写出∠ADB的度数．【题型8等边三角形中求最值】【例8】（2023春·广东深圳·八年级校联考开学考试）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D 是BC边的中点，点P是AC边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方做等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是（）A B．1C D．2【变式8-1】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，点B为线段AQ上的动点，AQ=8，以AB为边作等边△ABC，以BC为底边作等腰△PCB，则PQ的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC平分线上一动点连接PC、PD，则PC＋PD的最小值为．【变式8-3】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（）A．8B．10C．12D．14【题型9等边三角形中的多结论问题】【例9】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市北雅中学校考开学考试）如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB=AE；②∠AMC=∠DNC；③∠AOB=60°；④DN=AM．其中，正确的有．【变式9-1】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE=CD；②FA平分∠EFC；③∠BFD=60°；④FE+FC=FA．其中一定正确的结论有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【变式9-3】（2023春·全国·八年级期末）如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AD=CE，连接AE、BD交于点F，∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．下列说法：①△ABD≅△CAE；②∠BGE=30°；③∠ABG=∠BGF﹔④AB=AH+FG﹔⑤S△AGE︰S△BGC=DG∶GC，其中正确的说法有．【题型10确定等边三角形中的线段之间的关系】【例10】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）已知线段AB⊥l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．(1)当点F在线段BD上时，如图①，直接写出DF，CE，CF之间的关系．(2)当点F在线段BD的延长线上时，如图②，当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明．(3)在（1）、（2）的条件下，若BD=2BF，EF=6，请直接写出CF的值．【变式10-1】（2023春·山东青岛·八年级校考期中）已知：如图，等边△ABC中，D，E分别在BC，AC边上运动，且始终保持BD=CE，点D、E始终不与等边△ABC的顶点重合，连接AD、BE，AD，BE交于点F．(1)试说明△BEC≌△ADB；(2)直接写出运动过程中，AE、AB、BD三条线段长度之间的等量关系；(3)运动过程中，∠BFD的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出∠BFD的度数，再说明理由．【变式10-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，过等边△ABC的顶点A作直线l∥BC，点D在直线l上，（不与点A重合），作射线BD，把射线BD绕着点B顺时针旋转60°后交直线AC于点E．(1)如图1，点D在点A的左侧，点E在AC上，请写出线段AB、AD、AE之间的数量关系，并说明理由．(2)（2）如图2，点D在点A的右侧，点E在AC的延长线上，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，证明你的结论，若不成立，写出你认为正确的结论，并证明．。

等边三角形手拉手模型10个结论及证明

等边三角形手拉手模型10个结论及证明问题要求回答10个关于等边三角形手拉手模型的结论及证明，下面给出10个结论及其证明。

结论1：等边三角形的三边相等。

证明：等边三角形的定义是三边相等，因此这一结论是显然成立的。

结论2：等边三角形的三个内角相等。

证明：等边三角形的三边相等，根据三角形内角和定理可知，三个内角相等，即每个内角都是60度。

结论3：等边三角形的中线相等。

证明：设等边三角形的顶点为A，底边上的中点为M。

则AM为等边三角形的一条中线，即AM=AB。

同时，因为三角形ABC是等边三角形，所以CM=CB=AC。

因此AM=CM=AB=AC。

结论4：等边三角形的高线相等。

证明：设等边三角形的顶点为A，底边上的垂足为D。

则AD为等边三角形的一条高线，即AD=AB。

同时，由等边三角形的性质可知，底边BC和高线AD垂直，所以BD=DC=AC。

因此AD=BD=DC=AB=AC。

结论5：等边三角形的高线是底边上的中线。

证明：设等边三角形的顶点为A，底边上的垂足为D，底边上的中点为M。

则AM和AD分别是等边三角形的一条中线和一条高线。

由结论4可知AD=AB，由结论3可知AM=AB。

因此AM=AD，即高线和中线相等。

结论6：等边三角形的外接圆半径等于边长。

证明：设等边三角形的边长为a，外接圆的半径为R。

根据等边三角形的性质，三角形的高线等于边长。

所以，等边三角形的高线等于2R，而高线等于边长，所以2R=a。

因此，R=a/2。

结论7：等边三角形的内切圆半径等于边长乘以根号3除以6。

证明：设等边三角形的边长为a，内切圆的半径为r。

根据等边三角形的性质，三角形的高线等于边长，所以r=a。

另外，等边三角形的内切圆的半径与边长之间的关系可以由三角形的内切圆半径和三角形的面积之间的公式r=S/p得出，其中S是等边三角形的面积，p是等边三角形的半周长。

由等边三角形的性质得到，等边三角形的面积为S=(√3/4)a^2，半周长p=3a/2。

等边三角形的判定和性质

证明:因为∠ABE+∠CBE=60°,∠CAD+∠ADC=60°,∠EBC=∠DAC,所以 ∠ABE= ∠ADC.因为CE∥AB,所以∠BEC=∠ABE.所以∠BEC=∠ADC.因为 BC=AC,∠EBC= ∠DAC,所以△BCE≌△ACD.所以CE=CD,∠BCE=∠ACD,即 ∠ECD=∠ACB=60°.所以△CDE是等边三角形.
【变式】直线AB,CD相交,求证:AB,CD只有一个交点.用反证法证明时,我们可先
假设AB,CD相交于两个交点O与O′, 那么过O,O′两点就有两条直线,这与
“过两点有且只有一条直线
”矛盾,所以假设不成立,则原命题成立.
1.(2018福建)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD 上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( A ) (A)15° (B)30° (C)45° (D)60°
等边三角形的判定方法的选择 (1)若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定; (2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判定; (3)若已知该三角形是等腰三角形,则可再寻找一个内角等于60°即可.
【变式】如图,已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点,∠EBC=∠DAC, CE∥AB. 求证:△CDE是等边三角形.
知识点二等边三角形的有关性质【例2】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作 EF ⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.
解:(1)因为△ABC为等边三角形,所以∠B=60°.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B= 60°.因为EF⊥DE,所以∠DEF=90°,所以∠F=90°-∠EDC=30°. (2)因为∠ACB=60°,∠EDC=60°,所以△EDC为等边三角形.所以ED=DC=2,因为∠DEF=90°,∠F=30°,所以DF=2DE=4.

证明等边三角形的方法

证明等边三角形的方法证明一个三角形是等边三角形主要有以下几种方法:三边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

下面通过具体的例题来说明这三种判定方法的应用.例1 如图1，已知等腰△ABC，BA=BC，BD⊥AC，延长BC至E，CE=CD，BD=CE.求证：△ABC是等边三角形.分析：根据已知△ABC是等腰三角形，要证明其为等边三角形，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以只要证明其中的一个内角为30°即可.证明：∵CE=CE，∴∠CDE=∠CED，∵BD=ED，∴∠DBE=∠DEB，∵∠DCB=∠CDE+∠CED=2∠E=2∠DBC，图1又BD⊥AC，∴∠DCB+∠DCB=90°，∴3∠DBC=90°，∠DBC=30°，∴∠DCB=60°，∴△ABC为等边三角形.例2 如图2，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB、AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.分析：根据△ABC是等边三角形可得∠A=∠B=∠C=60°，根据DE//BC可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，这样可通三个角都相等的三角形是等边三角形来证明.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，图2∴∠A=∠ADE=∠AED=60°，∴△ADE是等边三角形.例3 如图3，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得到一个新的三角形△DEF，△DEF是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？请证明你的结论.分析：要判断△DEF是不是等边三角形，根据已知条件，只要判断D、F、E三个角是否都相等.由△ABC是等边三角形，DF//AB可以得到∠BAC=∠ACF=60°，∠ABC=∠BCD=60°，同样的方法可以得到∠FAC=∠EAB=60°，∠ABE=∠DBC=60°，这样可得∠E=∠D=∠F=60°，从而可得△DEF是等边三角形，△ACF，△BCD，△EBA都是等边三角形.解：△DEF是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，图3 ∴∠BAC=∠ABC=∠CBA=60°，∵AB//DF，∴∠ACF=∠ BAC =60°，∠DCB=∠ABC=60°，同样的方法根据AC//DE，BC//EF，可得到∠ABE=∠DBC=60°，∠BAE=∠CAF=60°，∴∠E=∠F=∠D=60°，∴△DEF是等边三角形.根据三个角都相等的三角形是等边三角形可知△AFC，△CDB，△BEA都是等边三角形.。

【精品】等边三角形

【关键字】精品第八讲等边三角形一．知识回顾1等边三角形的性质和判定.2,含30°RT三角形的性质二．讲解与练习1．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是．①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．2．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE 与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=．3．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为．3 44．如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是正三角形；④．其中正确的结论是（填所有正确答案的序号）．5．用一块等边三角形的硬纸片（如图甲）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图乙），在△ABC的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN 中，∠MDN的度数为．6．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=度．7．下列条件：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点各取一个外角）都相等的三角形；④有一条边上的高和中线重合的三角形，其中是等边三角形的有（填序号）．8．如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是三角形．8 99．如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么DE的长是．10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=60cm，DE=2cm，则BC=cm．11．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．12．在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于点F，（1）请你量一量∠BFD的度数，并证明你的结论；（2）若D、E分别在边BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，请画图证明你的结论．13．已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．14．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．15．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．16．如图，△ABC是边长为9cm的等边三角形，D、E是边BC、BA上的动点，D点由B 点开始以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，D、E 同时出发，设运动时间为t，当其中一点到达边的端点时，运动便停止，在运动过程始终保持∠EDF=60°．（1）求证：∠EDB=∠DFC；（2）当t=3秒时，求BE+CF的值；（3）是否存在这样的t值，使得CF=cm？若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．17．△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，过点D作DF⊥BE 于F．探究FC与BE间的数量关系，并证明．18．如图，在等边三角形ABC中，AD为BC边上的中线，以AD为一边作等边三角形ADE，DE与AC交于点F（1）试探究线段AC与线段DE的位置关系，并说明理由；（2）连线CE，试探究线段CE与BC的数量关系，并说明理由．19．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？20．如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°﹣∠DBC．求证：AC=AD．三．作业1．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2012次，点P依次落在点p1、p2、…p2012的位置，则点p2012的横坐标为．2．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=．3．△ABC是等边三角形，把∠A按如图折叠，则∠1+∠2=．4．两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C，如图所示．已知AC=6，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．5．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是．6．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．7．已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ②∠APB=60°．（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB 的大小为（直接写出结果，不证明）8．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点0为坐标原点，B点坐标为（4，0），且△OAB的面积为4，点P从A点出发沿射线AB运动．点Q从B点出发沿x轴正半轴运动，点P、点Q同时出发，速度均为每秒2个单位长度．运动时间为t秒，过点P作PH⊥x轴于点H．（1）求A点的坐标；（2）当点P在线段AB上运动时，用含t的式子表示线段BQ的长度．（3）在点P0、点Q的运动过程，当∠PQB=30°时，求点P、点Q运动时间t的值．9．如图，已知等边三角形ABC中，AG⊥BC，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB．求证：PD+PE+PF=AG．10．如图，在△ABC中，AB=AC，D是三角形外一点，且∠ABD=60°，BD+DC=AB．求证：∠ACD=60°．第八讲等边三角形参考答案与试题解析1．①②③④．2．．3．6．4．①②④）．5．120°．6．30度．7．①②③（填序号）．8．等边．9．1．10．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=60，DE=2，∴DM=58，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=29，∴BN=31，∴BC=2BN=62，故答案为62．11．证明：（1）如图1，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．∴∠DAE﹣∠CAD=∠BAC﹣∠CAD．即∠CAE=∠BAD．△CAE≌△BAD（SAS）．∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；∴CE+CD=DB+CD=BC=AB，即CE+CD=AB；（2）CE+CD=AB；理由如下：如图2，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE．即∠CAE=∠BAD．△CAE≌△BAD（SAS）．∴EC=DB（全等三角形的对应边相等）；∴CE+AB=DB+BC=CD，即CE+AB=CD．12．解：（1）∠BFD=60°在等边三角形ABC与三角形CDA中，AB=AC，∠BAE=∠C=60°，AE=CD，∴△AEB≌△CDA．•∴∠AEB=∠CDA，又∠DAC+∠ADC=180°﹣∠C=120°，∴∠AEB+∠DAC=120°，∴∠AFE=∠BFD=60°（2）∵∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠ACD=120°，△ABE≌△ACD，∴∠E=∠D，∵∠EAF=∠CAD，∠CAD+∠D=60°，∴∠EAF+∠E=60°，∴∠BFD=60°．13．猜想：AP=BP+PC，（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，∵∠BPC=120°，∴∠CPE=60°，又PE=PC，∴△CPE为等边三角形，∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BCA=60°，∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：∠ACP=∠BCE，∴△ACP≌△BCE（SAS），∴AP=BE，∵BE=BP+PE，∴AP=BP+PC．（2）证明：在AD外侧作等边△AB′D，则点P在三角形ADB′外，连接PB'，B'C，∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD，在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，∴PA+PD+PC＞CB′，∵△AB′D、△ABC是等边三角形，∴AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DAB′=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：∠BAD=∠CAB′，∴△AB′C≌△ADB，∴CB′=BD，∴PA+PD+PC＞BD．14．解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，（2）成立．连接DF，NF，证明△DBM和△DFN全等（AAS），∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN，∴△DBM≌△DFN，∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，∵E，F分别为边AC，BC 的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BD，∴F在直线NE上，∵BF=EF，∴MF=EN．（3）如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．连接DF、DE，由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，∴△DNE≌△DMF，∴MF=NE．15．16．证明：（1）∵∠EDF=60°，∴∠CDF+∠EDB=120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∴∠CDF+∠DFC=120°，∴∠EDB=∠DFC；（2）∵D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，∴t=3秒，BE=6，BD=3，∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6，∵△EBD∽△DFC，∴=，即=，∴CF=3，∴BE+CF=6+3=9．（3）存在，理由如下．∵△EBD∽△DFC，∴==，∵CF=cm，∴CD=，∴BD=9﹣=，∴BE=9，即t=，∴当t=时，使得CF=cm．17．证明：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠DBE=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB是△CDE的外角，∴∠ACB=∠E+∠CDE=60°，∴∠E=30°，∴∠E=∠DBE=30°，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形，∵DF⊥BE，∴BF=EF，即BF=BE，∵∠DFC=90°，∠ACB=60°，∴∠FDC=30°，∴CF=CD=CE，∴CF=EF，∴CF=BE．18．（1）解：AC⊥DE；理由如下：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，∠BAD=∠DAC=∠BAC=30°，∴∠CAE=60°﹣30°=30°，∴∠DAC=∠CAE，∴AC垂直平分DE，即AC⊥DE；（2）解：BC=2CE；理由如下：∵AC垂直平分DE，∴CD=CE，∵BD=CD，∴BC=2CE．19．解：（1）∵△OCD是等边三角形，∴OC=CD，而△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD，△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC，而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=150°﹣60°=90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠CAO=50°，①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°．所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．20．证明：以AB为轴作△ABC的对称△ABC′，如图：则AC=AC′，∠C=∠C′=60°，∠ABC′=∠ABC，因为∠ABD=90°﹣∠DBC所以2∠ABD+∠DBC=180°所以∠ABD+∠DBC+∠ABD=180°即∠ABC+∠ABD=180°所以∠ABC′+∠ABD=180°所以D、B、C′共线又因为∠D=60°所以∠DAC=180°﹣∠C′﹣∠D=60°=∠D=∠C′所以△ADC′是等边三角形，所以AD=AC′=AC．【作业】1．2011．2．．3．120°．4．解：连接AA′，∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC=6，∴M=MC=A′M=MC′=3，∵∠MA′C=30°，∴∠MCA′=∠MA′C=30°，∴∠MCB′=180°﹣30°=150°，∴∠C′MC=360°﹣（∠MCB′+∠B′+∠C′）=180°﹣（150°+60°+90°）=60°，∴∠AMA′=∠C′MC=60°，∴△AA′M是等边三角形，∴AA′=AM=3，故答案为：3．5．①②③6．解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．7．解：（1）①证明：∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD．△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD；②证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB，∴∠APB=60°；（2）AC=BD，∠APB=α．8．解：（1）如图1，过A作AD⊥OB于D，∵B点坐标为（4，0），∴OB=4，∵△AOB是等边三角形，∴OD=OB=2，∵△OAB的面积为4，∴=4，∴AD=2，∴A点的坐标为：（2.2）；（2）BQ=2t；（3）如图2，当点P在线段AB上时，∵△ABO是等边三角形，∴∠ABO=60°，∵∠PQB=30°，∴∠BPQ=30°，∴∠PQB=∠BPQ，∴PB=BQ，即4﹣2t=2t，∴t=1，当P在射线AB上时，如图3，连接PQ，∵△ABO是等边三角形，∴∠ABO=60°，∴∠PBQ=∠ABO=60°，∵∠PQB=30°，∴∠BPQ=90°，∴BQ=2PB，即2t=2（2t﹣4），∴t=4，∴当t=1或4时，∠PQB=30°．9．10．证明：延长BD至E，使CD=DE，连接AE，AD，∵BD+CD=AB，BE=BD+DE，∴BE=AB，∵∠ABD=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=AC，∠E=60°，在△ACD和△ADE中，，∴△ACD≌△ADE（SSS），∴∠ACD=∠E=60°．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

证明等边三角形的方法

证明等边三角形的方法证明一个三角形是等边三角形主要有以下几种方法:三边都相等的三角形是等边三角形 ;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形 ;(3)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

下边经过详细的例题来说明这三种判断方法的应用.例1 如图 1，已知等腰△ ABC ，BA=BC ，BD ⊥AC ，延伸 BC 至 E，CE=CD，BD=CE.求证：△ ABC 是等边三角形 .剖析：依据已知△ ABC 是等腰三角形，要证明其为等边三角形，依占有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以只需证明此中的一个内角为30°即可 .证明：∵ CE=CE，∴∠ CDE=∠CED，∵BD=ED ，∴∠ DBE=∠ DEB，∵∠ DCB= ∠CDE+∠ CED=2∠E=2∠DBC ，图1又BD⊥AC ，∴∠ DCB+ ∠ DCB=90°，∴ 3∠ DBC=90°，∠DBC=30°，∴∠ DCB=60°，∴△ ABC 为等边三角形 .例2 如图 2，△ ABC 是等边三角形， DE//BC ，分别交 AB 、 AC 于点 D，E. 求证：△ ADE 是等边三角形 .剖析：依据△ ABC 是等边三角形可得∠A= ∠ B=∠ C=60°，依据DE//BC 可得∠ADE= ∠ B，∠AED= ∠ C，这样可通三个角都相等的三角形是等边三角形来证明 .证明：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ A= ∠B=∠C=60°，∵DE//BC ，∴∠ ADE= ∠B，∠AED= ∠C，图2∴∠ A= ∠ADE= ∠AED=60°，∴△ ADE 是等边三角形 .例 3如图3，△ABC是等边三角形，过它的三个极点分别作对边的平行线，得到一个新的三角形△ DEF，△ DEF 是等边三角形吗？你还可以找到其余的等边三角形吗？请证明你的结论 .D、F、E 三剖析：要判断△ DEF 能否是等边三角形，依据已知条件，只需判断个角能否都相等. 由△ ABC 是等边三角形，DF//AB能够获得∠BAC= ∠ ACF=60°，∠ ABC= ∠BCD=60°，相同的方法能够得到∠ FAC=∠EAB=60°，∠ABE= ∠DBC=60°，这样可得∠E=∠ D=∠ F=60°，进而可得△ DEF 是等边三角形，△ ACF ，△BCD ，△ EBA 都是等边三角形 .解：△ DEF 是等边三角形.证明：∵△ABC 是等边三角形，图3 ∴∠ BAC= ∠ABC= ∠ CBA=60°，∵AB//DF ，∴∠ ACF=∠ BAC =60°，∠ DCB= ∠ABC=60°，相同的方法依据AC//DE ， BC//EF，可获得∠ ABE= ∠DBC=60°，∠ BAE= ∠CAF=60°，∴∠ E=∠F=∠ D=60°，∴△ DEF 是等边三角形 .依据三个角都相等的三角形是等边三角形可知△ AFC ，△CDB ，△BEA 都是等边三角形 .。

等边三角形的证明例题

等边三角形的证明例题本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1：如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则△DEF是等边三角形.请说明理由.E变式1：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.试说明△DEF是等边三角形.E23A CB A ′′B ′.cBADCE变式2：△ABC 为正三角形,∠1=∠2=∠3，△DEF 为等边三角形吗？说明理由.变式3：如图,△ABC 是等边三角形.分别延长CA 、AB 、BC 到A ′、B ′、C ′，使AA ′=BB ′=CC ′，则△A ′B ′C ′是等边三角形.请说明理由.2：如图所示，已知：AB=BC=AC ，CD=DE=EC ，求证：AD=BE ．1：如图，等边△ABD和等边△CBD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．(1)E、F移动时，△BEF的形状如何?(2)当E、F运动到什么位置时，△BEF面积的最小？2：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF是等边三角形；41.如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是55CD 延长线上一点，连接EF ，若BE =DF ，点P 是EF 的中点．(1) 求证：AE = AF ；(2) 若75AEB ∠=︒, 求CPD ∠的度数．2．如图，正方形ABCD 中，P 在对角线BD 上，E 在CB 的延长线上，且PE=PC ，过点P 作PF ⊥AE 于F ，直线PF 分别交AB 、CD 于G 、H ，(1)求证： DH =AG+BE ；(2)若BE=1，AB=3，求PE 的长．3．如图1，菱形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连接CE 、CF ．（1）求证：CE=CF ；（2）如图2，若H 为AB 上一点，连接CH ，使∠CHB=2∠ECB ，求证：CH=AH+AB ．HPG F EDCBA4. 已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，DE交AB于F。

等边三角形找规律题

等边三角形找规律题等边三角形是初中数学中的一种基本图形，它由三条边等长的直线组成。

在学习等边三角形的过程中，我们经常需要研究一些关于等边三角形的问题，比如找规律题。

本文将对等边三角形找规律题进行详细解析，以帮助广大学生更好地理解等边三角形。

一、等边三角形的定义及性质等边三角形是由三条边长都相等的直线段组成的三角形。

它的定义可以用公式表示为：ABC为等边三角形，AB=BC=AC等边三角形具有以下性质：1. 三条边的长度相等，即AB=BC=AC。

2. 三个内角均为60度。

3. 等边三角形的外接圆是正三角形。

4. 等边三角形的内接圆和垂心都在重心上。

二、等边三角形找规律题的基本概念等边三角形找规律题是初中数学中的常见问题，它要求根据一些已知条件，找出其中隐藏的规律，并用规律来解题。

在解决等边三角形找规律题时，我们通常需要掌握以下基本概念：1. 边长：等边三角形的三条边长均相等，通常用S表示。

2. 高：等边三角形的高是从一个顶点到对边的垂线段，高固定为S*sqrt(3)/2（其中sqrt(3)表示根号3）。

3. 周长：等边三角形的周长是三条边长的和，固定为3S。

4. 面积：等边三角形的面积可以通过两种方式求解，一种是使用公式S^2*sqrt(3)/4，另一种是使用高S*sqrt(3)/2直接计算。

三、等边三角形找规律题的解题方法当我们遇到等边三角形找规律题时，我们通常需要掌握以下解题方法：1. 利用等边三角形的性质对于一个等边三角形，它的三边长、三个内角以及高、周长、面积均有固定的值。

因此，在解决找规律题时，我们可以首先根据等边三角形的性质来进行推断和计算。

例如，如果已知等边三角形的面积S1，要求另一个等边三角形的面积S2，那么我们就可以利用面积公式S^2*sqrt(3)/4来进行计算。

2. 利用数列的性质通过将等边三角形的边长或高等参数视为数列，我们可以从中寻找规律，并进行计算。

例如，如果已知等边三角形的边长S1，要求另一个等边三角形的边长S2，那么我们就可以通过构造一个等差数列来计算。