一元二次方程知识点和易错点总结
人教版九年级上册第二十一章一元二次方程第1讲_一元二次方程 讲义(无答案)
初中九年级数学上册第1讲：一元二次方程一：思维导图 二：知识点讲解知识点一：一元二次方程的定义及一般形式➢ 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程➢ 一元二次方程的一般形式是()002≠=++a c bx ax ，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系统；c 是常数项 ➢ 构成一元二次方程的三个条件：✧ 是整式方程✧ 只含有一个未知数 ✧ 未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程➢ “0≠a ”是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的重要组成部分。
当0=a ，0≠b 时，它就成为一元一次方程。
若方程02=++c bx ax 未指明0≠a ，则它不一定是一元二次方程例1：下面关于x 的方程：①022=++x ax ；②()()119322=+--x x ；③xx x 1=+；④02=-a x (a 为任意实数)；⑤11-=+x x 。
其中，为一元二次方程的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个知识点二：一元二次方程的根➢ 概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
➢ 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根例2：若31-是方程022=+-c x x 的一个根，则c 的值为（ ）A.2-B.234-C.33- D. 31+知识点三：根据实际问题列出一元二次方程➢ 步骤1．正确理解题目的含义2．找出其中的数量关系和等量关系 3．列出一元二次方程例3：将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的地面长比宽多2米。
求该矩形铁皮的长和宽各是多少米。
初中数学一元二次方程易错题点拨
一元二次方程易错问题点拨
一元二次方程是初中数学的重点内容之一，也是学好其它知识的基础．初学这部分知识时，经常会现这样或那样的错误，现举例剖析如下，以防患于未然．
一、 忽视二次项系数的限制条件
【例1】关于x 的方程（m +2） +2（m -1）x -1=0．
m 为何值时，是一元二次方程？
错解 当222=-m ，即m =±2时原方程是一元二次方程
【点拨】 忽略了二次项系数不等于0这一隐含条件
【正解】 当222=-m 且m +2≠0即m =2时关于x 的方程（m +2） +2（m -1）x -1=0是一元二次方程
二、 忽略方程的同解原理，同时约去含未知数的代数式
【例2】解方程5x （x -2）=3（x -2）
错解：方程两边都除以（x -2），得5x =3，所以x =
【点拨】方程两边都除以（x -2），导致原方程在降次过程中产生失根，丢掉x =2这个根．正确的解法为移项后提公因式，然后再解．
【正解】移项，得5x （x -2）-3（x -2）=0 即（x -2）（5 x -3）=0，所以 =2， =
三、 利用公式法时不将方程化为一般形式
【例3】用公式法解方程2 +3x =1
错解 因为a =2，b =3，c =1，所以 -4ac =1
所以x = =
即 =-1， =-
【正解】将方程化为一般形式2 +3x -1=0，因为a =2，b =3，c =-1，所以 -4ac =17 所以x = = 3174-±，所以 = 3174-+， =
．。
一元二次方程根的判别及根与系数的关系易错点剖析
根与系数关系的应用错例示例一元二次方程中根与系数的关系为：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1 · x 2＝ca．此结论成立的条件是“原方程存在两个根x 1和x 2”.一、例1 判断正误：方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根之和为－ba．( )错解：对．正解：错误．因不知方程是否有根.二、例2 若方程x 2＋(m 2 - l)x ＋l ＋m ＝0的两根互为相反数，则m 的值 为( )(A)l 或一1； (B)l ； (C)－l ； (D)0. 错解：选A ．正解：选C ．因当m ＝l 时，原方程无实根.三、例3 下列方程中，两根之和为13的方程是( )(A)3x 2－x ＋2＝0； (B)3x 2＋x ＋2＝0； (C)x 2－13x ＋3＝0； (D)6x 2 -2x 一1＝0．错解：选A 或C ．正解：选D ．因方程A ，C 均无实根．四、例4 已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋ (m ＋l)2＝0的两个实数根的平方和为7，求m 的值．错解：设方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m ＋l ，x 1·x 2＝(m ＋1)2．∵x 12＋x 22＝7，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝7，(2m ＋l) 2 －2(m ＋l)2＝7．即2m 2＝8，m ＝±2．正解：设方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m ＋l ，x 1·x 2＝(m ＋1)2．∵x 12＋x 22＝7，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝7，(2m ＋l)，2 －2(m ＋l)2＝7．即2m 2＝8，m ＝±2．当m ＝2时，原方程b 2-4ac ＜0，∴m ＝－2．五、例5 已知方程x 2 ＋ 2(m -l)x ＋3m 2－11＝0，问m 为何实数时，方程有两个根x 1、x 2，且x 1x 2＋x 2x 1＝－1．错解：由根与系数的关系有x I ＋x 2＝－2(m －1) ，x 1·x 2＝3m 2－11，∵x 1x 2＋x 2x 1＝－1，∴x 12＋x 22x 1x 2＝－1，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝－1，∴[－2(m －1)]2－2(3m 2－11)3m 2－11＝－1，即 m 2－8m ＋15＝0，∴m 1＝3，m 2＝5．正解：由根与系数关系有x 1＋x 2＝－2(m －1) ，x 1·x 2＝3m 2－11，∵x 1x 2＋x 2x 1＝－1，∴x 12＋x 22x 1x 2＝－1，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝－1，∴[－2(m －1)]2－2(3m 2－11)3m 2－11＝－1，即 m 2－8m ＋15＝0，∴m 1＝3，m 2＝5．因m ＝3或5时，方程b 2-4ac ＜0，∴不存在m 使x 1x 2＋x 2x 1＝－1成立．六、忽视方程中的隐含条件例6 已知关于x 的方程(k －1)x 2＋3＝0有实数根，求k 的取值范围．错解： ∵方程有实数根，∴b 2－4ac ＝2－4(k －1)×3≥0，解得k ≤65． ∵k －1≠0，解得k ≠1．∴k 的取值范围是k ≤65且k ≠1．错解分析：一元二次方程的解题中考虑b 2－4ac ≥0及k －1≠0是必要的，但本题忽视了两点：一是方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，题中未明确是一元二次方程，因此应有k －1＝0；二是忽视了隐含条件2k ≥0．七、不能正确使用根的判别式例7不解方程，判断方程根的情况：4x2－3x＋1＝2．错解：∵a＝4，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×1＝9－16＝－7＜0．∴原方程没有实数根．错解分析：使用根的判别式时，必须先将方程整理成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．正解：整理，得4x2－3x－1＝0，∵a＝4，b＝－3，c＝－1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×(－1)＝9＋16＝25＞0．∴原方程有两个不相等的实数根．一元二次方程错解示例一、例1a为何值时，方程a2x2＋(2a－1)x＋1＝0有两个实数根？错解：∵ 方程有两个实数根∴ △≥0，即(2a－1)2－4a2≥0，．解得a≤14错解分析：当a＝0时，原方程为一元一次方程－x＋1=0，它只有一个实数根，不合题意．且a≠0．正确的答案应为a≤14二、例2已知a、b满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，则a b＝．b a错解：由题设可知a、b是方程x2－2x－1＝0的两根，∴a ＋b ＝2，ab ＝－1，∴a b b a +＝22a b ab +＝2()2a b ab ab +-＝421+-＝－6．错解分析：在a ≠b 时，a 、b 是方程x 2－2x －1＝0的两根；在a ＝b 时，ab b a+＝1+1＝2．故本题的正确答案应是－6或2．三、例3 已知α、β是方程x 2＋5x ＋3＝0的两个实数根，则的值为 ．错解：设A ＝，两边平方得A 2＝α2·βα＋2αβ＋β2·αβ＝4αβ，∴A ＝αβ＝3，∴所求式的值为错解分析：由题意可知．α＋β＝－5，αβ＝3，由此可知α＜0，β＜0，因此0．所以正确的结论应为－ 四、例4 已知关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋(m －3)2＝0的两个实数根的平方和为25，求m 的值．错解：设两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝2m －1，x 1x 2＝(m －3)2，∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2 x 1x 2＝(2m －1)2－2(m －3)2＝25，化简得m 2＋4m －21＝0，解得m 的值为3或－7．错解分析：当m ＝－7时，原方程为x 2＋15x ＋100＝0，此时，△＝152－400＜0，原方程无实数根，故m ＝－7应舍去，本题正确答案应为m ＝3．五、例5 已知x ＝－1是关于x k =的一个根，求以2k 和k ＋1为根的一元二次方程．错解：把x ＝－1=k ，解得k 1＝2，k 2＝－1．当k＝2时，2k＝4，k＋1＝3，以4、3为根的方程是y2－7y＋12＝0；当k＝－1时，2k＝－2，k＋1＝0，以－2、0为根的方程是y2＋2y＝0．错解分析：=k成立，显然k＝－1应舍去．故本题的答案只有一个，y2－7y＋12＝0．六、例6 x1、x2是关于x的方程x2－(2m－1)x＋(m2＋2m－4)＝0的两个实数根，求x12＋x22的最小值．错解：由已知得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋2m－4，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2 x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋2m－4)＝2m2－8m＋9＝2(m－2)2＋1．∴当m＝2时，x12＋x22的最小值是1．错解分析：解法中忽略了“方程有实数根”这一条件．当m＝2时，原方程为x2－3x＋4＝0，方程没有实数根．正确的解法还必须求出m的取值范围．∵原方程有两个实数根，∴△＝(2m－1)2－4(m2＋2m－4)≥0，即－12m＋17≥0，∴m≤1712．∴当m=1712时，x12＋x22的最小值是12172．七、例7 已知x1、x2是方程2x2－2kx＋12k(k＋4)＝0的两个实数根，且满足等式 (x1－1)(x2－1)＝109100，求k的值．错解： (x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝14k(k＋4)－k＋1＝14k2＋1，由已知条件得14k2＋1＝109100，k2＝36100，k＝±35．错解分析：∵x1、x2是方程的两个实数根，∴△≥0．即4k2－4k(k＋4)≥0，化简得k≤0．故正确的答案应是k＝－3．5与根的判别式有关的常见错解示例一、忽略二次项系数不为零例1已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有实数根，求m的取值范围．错解：∵ 方程有实数根，∴△＝(－4)2－4×m×4≥0，解得m≤1．错解分析：一元二次方程mx2－4x＋4＝0有实数根的条件是：（1）二次项系数m≠0；（2）△≥0．错解只考虑了（2），而忽视了（1），即忽视了二次项系数不为零这一条件．故正确结果是：m≤1且m≠0．值得说明的是，若题中没有条件“一元二次”四个字，则前面的解法是正确的．这是为什么？请大家思考.二、忽略根的判别式例2已知关于x的一元二次方程x2－2(m－2)x＋m2＝0．问是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值,若不存在，请说明理由．错解：设方程的两个实数根为x1,x2，则x1＋x2＝2(m－2)，x1x2＝m 2．∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4(m －2)2－2m 2＝2m 2－16m ＋16．若x 12＋x 22＝56，则有m 2－8m －20＝0． 解得m 1＝10,m 2＝－2．故符合题意的实数m 存在，它的值为10或－2．错解分析：当m ＝10时，原方程x 2－16x ＋100＝0，判别式△＝(－16)2－4×100＜0，故方程无实数根．因此，m ＝10应舍去．错误原因是忽视两根的判别式大于等于0这一条件．本题正确答案应为m ＝－2．三、忽略题设条件例3 当m 是什么整数时，关于x 的方程mx 2－4x ＋4＝0①与x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0②的解都是整数？错解：由已知，得12222=16-16m 0,=(-4m)-4(4m -4m-5)0,∆≥⎧⎨∆≥⎩解得－54≤m ≤1．因此，满足条件的整数m 为－1，0，1．错解分析： 当m ＝－1时，方程①的解不是整数；当m ＝0时，方程①不是一元二次方程，方程②的解不是整数；当m ＝1时，两个方程的解都为整数，方程①的解是x 1＝x 2＝2，方程②的解是x 1＝－1，x 2＝5．显然，m ＝－1与m ＝0不合题意，应舍去．忽视了m 的取值应使所给两个方程的“解都是整数”这个重要的题设条件，正确答案为m ＝1．四、忽视隐含条件例4 已知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2－x －1＝0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．错解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴ △＝(－)2＋4(1－2k )＞0， 解得k ＜2．∵ 1－2k ≠0，即k ≠12，∴ k 的取值范围是k ＜2且k ≠12．错解分析：这里忽视了一次项系数－须有意义，即k ＋1≥0这个隐含条件．正解：由题设可得2(4(12)0,10,120.⎧∆=-+->⎪+≥⎨⎪-≠⎩k k k 解得－1≤k ＜2且k ≠12．因此，k 的取值范围是－1≤k ＜2且k ≠12．五、忽略“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小例5.已知关于x 的方程22(1)10kx k x k -++-=，当k 为何值时，方程有实数根？ 错解：因为方程有实数根，所以Δ≥0，即[]22(1)4(1)0k k k -+--≥，解得k ≥－31.又因为0k ≠， 所以k ≥－31且0k ≠.错解分析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论:（1）当k ＝0时，原方程为一元一次方程-2x=1，其实根为x=12-，故k 可取0.（2）当k≠0时，原方程为一元二次方程，须满足Δ≥0，即k ≥－31且0k ≠，1. 综合（1）（2）知：k≥－3。
一元二次方程易错点
一元二次方程易错点
一元二次方程易错点主要有：
1. 未正确识别方程的形式：有时候题目给出的方程可能不是标
准的一元二次方程形式，容易误以为是其他类型的方程。
因此，要注
意检查方程中是否有二次项、一次项和常数项，确保正确识别方程类型。
2. 错误地标记未知数：在解一元二次方程时，常常用字母表示
未知数，如通常用x表示。
然而，在一些情况下，可能会错误地将其
他字母或符号当作未知数。
因此，应该仔细检查并确保正确标记未知数。
3. 求平方根时忽略正负号：在解一元二次方程时，通常需要使
用平方根。
但容易忽略平方根的正负号，导致忽略了可能存在的另一
个解。
解决这个问题的方法是在解方程时考虑两个解，一个是取正平
方根，另一个是取负平方根。
4. 运算错误导致计算结果出错：在解一元二次方程时，可能会
有繁琐的运算过程，容易出现计算错误。
例如，错误地计算平方项、
未正确对齐等。
为避免这些错误，应该仔细地进行每一步的运算、检
查计算过程和结果。
5. 未检查解是否符合题目条件：解一元二次方程后，得到的解
有时候需要符合题目中给出的条件。
如果未仔细检查解是否满足条件，可能会得到不正确的结果。
因此，在解完方程后，应该将解代入原方
程中检查是否成立。
以上就是一元二次方程易错点的一些常见问题，注意避免这些错误，能够提高解题的准确性。
一元二次方程知识点
一元二次方程知识点归纳1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. （重点）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
练习：知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由.(1)2x 2-x-3=0. (2)4y -y 2=0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21x-3=0.(7)x x 32 =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2. (9)3x 2-x 4+6=0. (10)3x 2=4x-3. 1、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ） （A ）2（B ）－2（C ）0（D ）不等于22、已知关于x 的方程()()03122=+-++p x n x m ，当 时，方程为一次方程；当 时，两根中有一个为零a 。
3、已知关于x 的方程()2220mm x x m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程； （2） m 为何值时方程为一元二次方程。
第07讲 一元二次方程(易错点梳理+微练习)(原卷版)
第07讲一元二次方程易错点梳理易错点梳理易错点01忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。
易错点02利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。
易错点03利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定c b a ,,，然后再代入公式。
易错点04根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定c b a ,,。
易错点05列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。
例题分析考向01一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 64+=，则另一个一元一次方程是（）A ．x 64-=-B ．x 64-=C ．x 64+=D ．x 64+=-例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820x x --=，配方后可形为（）A ．()2418x -=B ．()2414x -=C ．()2864x -=D ．()241x -=考向03一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022考向04列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．微练习一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（）A．0B．±3C．3D．－33．（2021·广西玉林·一模）关于x 的一元二次方程：24ax bx c ++=的解与方程2540x x -+=的解相同，则a b c ++=（）A．1B．2C．3D．44．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★，例如()2373372428=+⨯-+=★，若方程0x m =★的一个根是1-，则此方程的另一个根是（）A．2-B．3-C．4-D．5-5．（2021·广东·惠州一中一模）若m ，n 为方程2310x x --=的两根，则m n +的值为（）A．1B．1-C．3-D．36．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x 2﹣4x +3＝0B．x 2+4x ﹣1＝0C．x 2﹣2x ＝0D．3x 2＝5x ﹣27．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线222y x x a =++-与坐标轴有且仅有两个交点，则a 的值为（）A．3B．2C．2或3-D．2或38．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限，则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．以上都有可能9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（）A．0.2%B．－2.2%C．20%D．220%10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x 人，则下列方程正确的是（）A．2181x x ++=B．()2181x +=C．()21181x x +++=D．()()211181x x ++++=11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（）A．50元B．60元C．70元D．50元或70元12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1，则关于x 的值，下列说法正确的是（）A．不存在这样x 的值B．有两个相等的x 的值C．有两个不相等的x 的值D．无法确定二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解，则c 的值是___________．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，则26152a a ++=______．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解，求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________．16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为___．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数，则整数m 的最大值是________．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =321．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x ，请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时，代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时，求x 的值．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）取12k =-，用配方法解这个一元二次方程．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a%，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a%，黄冠梨的进价减少了2a%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a的值．25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x（元），日销售量为y（个）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？。
一元二次方程知识梳理和易错题
一元二次方程一、下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？如果不是，请在方程下写出理由。
1.（1）3522=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x2.关于x 的方程032)4()16(22=++++-m x m x m 当m______时，是一元二次方程，当m______时，是一元一次方程。
二、关于x 的方程()()02132=+----m x m x m 是一元二次方程，则二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
三、根的判别式的运用：1.若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，试判断方程2(1)220m x m x m +-+-=的根的情况。
2.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。
3.m 为何值时，关于x 的方程()0324122=-+++m mx x m 的根满足下列情况：（1）有两个不相等的实数；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根4.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m（1）有两个实数根。
（2）有实数根。
注意：题2、3的区别、题3与4的区别。
5.关于x 的一元二次方程032)1(22=--+++m m x x m 有一个根是0,求m 的值6.如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个实数根，求k 的取值范围7．当m 为何值时，方程032)1(2=+++-m mx x m 有两个实数根8.若一元二次方程02)12(22=+-+-x x x x k 有实数根, 求k 的取值范围小结：题5—8在解题中要注意什么？9.已知关于x 的一元二次方程20x m --=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围10.关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围上述两题要注意什么？四、综合运用：1.已知12)1)(3(2222=++-+b a b a ,求22b a +的值.2.已知多项式22x 2xy y x y 1-+-+-的值为0,求x-y 的值3.如果012=--x x ,求2009223++-x x 的值4.若二次三项式2542+-kx x 是完全平方式,则 k 值为________.5.已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______6.如果二次三项式k x x 2432+-在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，求k 的取值范围7.已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -8.如果m 是实数,且不等式1)1(+>+m x m 的解集是x<1,那么关于x 的一元二次方程041)1(2=++-m x m mx 的根的情况如何?9.三角形的两边的长是3和4,第三边的长是方程035122=+-x x 的根,求三角形的周长10. 等腰三角形的周长是12，它的一边长是关于x 的方程2x 6x 80-+=的一个实数根,求它的腰长和底边长？11. 等腰△ABC 中,BC=8,AB,BC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根,则三角形的周长是多少？12.已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-=⑴求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根； ⑵若等腰A B C ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．。
用公式法一元二次方程的解法(3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法)(原卷版)-初中数学9年级上册
专题06用公式法一元二次方程的解法（3个知识点9种题型2个易错点3种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：求根公式知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）【方法二】实例探索法题型1：不解方程判断方程根的情况题型2：用公式法解一元二次方程题型3：解系数中有字母的一元二次方程题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围题型5：利用一元二次方程根的情况讨论分式有无意义的问题题型6：新定义与一元二次方程综合题型7：一元二次方程与一次函数的综合题型8：用公式法解关于一元二次方程的实际应用题型9：利用根的判别式判断三角形的形状【方法三】差异对比法易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题【方法四】仿真实战法考法1：用公式法解一元二次方程考法2：根据根的判别式判断方程根的情况考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围【方法五】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：142b x a-+=，2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．知识点2：用公式法解一元二次方程（重点）用公式法解一元二次方程一般步骤1把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；2确定a 、b 、c 的值；3求出24b ac -的值（或代数式）；4若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．知识点3：一元二次方程的判别式（重难点）1.根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆-．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆->时，方程有两个不相等的实数根；当2=40b ac ∆-=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆-<时，方程没有实数根．2.根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．【方法二】实例探索法题型1：不解方程判断方程根的情况1.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x --=；（2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +-=．2.当m 取何值时，关于x 的方程221(2)104x m x m +-+-=，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？题型2：用公式法解一元二次方程3.用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．4.用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．5.用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．6.用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．7.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-=．题型3：解系数中有字母的一元二次方程8.用配方法解下列关于x 的方程：220ax x ++=（0a ≠）．9.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a --=．题型4：根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围10．（2023•罗山县三模）若关于x 的方程x 2+2x ＝c 无实数根，则c 的值可以是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．113.已知关于x 的方程()21230m x mx m +++-=总有实数根，求m 的取值范围．15．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a 、b 、c 、d 有[a ，b ]*[c ，d ]＝ac ﹣bd ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知关于x 的方程[x ，2x ﹣1]*[mx +1，m ]＝0有两个实数根，求m 的取值范围．题型7：一元二次方程与一次函数的综合18．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2210x x kb +++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（）．．．．2023春·山东济南·八年级统考期末）关于的一元二次方程axax b+的图象经过第一、二、四象限，设2a b=+，则t的取值范围是（．1142t<<B．1122t-≤<20.某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为了减少库存量，且在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？题型9：利用根的判别式判断三角形的形状21．（2022•天津模拟）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．求此时m 的值．【方法三】差异对比法易错点1：根据一元二次方程根的情况，求方程中所含字母的值或取值范围时，忽略二次项系数不为0这一隐含条件23．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程2(4)(21)0m x m x m ---+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足要求的最小正整数时，求方程的解．易错点2：考虑问题不全面，误认为方程问题就是一元二次方程问题24．（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）解关于x 的方程：()()2245260k x k x ---+=．25．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于x 的方程()()212110k x k x k +--+-=(1)当k 取什么值时，方程只有一个根？(2)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【方法四】仿真实战法考法：用公式法解一元二次方程26．（2021•无锡）（解方程：2x（x﹣2）＝1；27．（2020•无锡）解方程：x2+x﹣1＝0；考法2：根据根的判别式判断方程根的情况28．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根29．（2023•滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能判定30．（2023•广元）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定31．（2023•内江）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x 的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定32．（2023•广安）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断33．（2023•泸州）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．实数根的个数与实数a的取值有关考法3：由一元二次方程根的情况，求参数的值或取值范围34．（2023•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣9B．C．D．935．（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．436．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0 37．（2023•眉山）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．B．m＞3C．m≤3D．m＜338．（2023•辽宁）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．39．（2023•宁夏）方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．40．（2023•泰安）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【方法五】成功评定法一、单选题二、填空题三、解答题18．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程：2++=．240x x k k=时，解方程；(1)当1x-，求k．(2)若2++=的一个解是=1x x k24019．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）解方程：23270x x--=(1)当点E与点C重合时，求ME的长；(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长．(1)点B的坐标为，直线AB的表达式为．(2)点C在y轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点(3)当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点关系式表达出来；为等腰三角形时，直接写出点(4)点C在y轴上移动过程中，当OBP(1)求点C 的坐标；(2)连接AD ，在直线CD 上是否存在点E ，使得2EAC DAC S S = ．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，已知()7.5,0G -，()1,0H ，过B 作BF x ∥轴且 3.5BF =；若点G 沿GH 方向以每秒2个单位长度运动，同时，F 点沿FB 方向以每秒1个单位长度运动经过t 秒的运动，G 到达G '处，F 到达F '处，连接F H '、F G ''．问：F G ''能否平分FF H '∠？若能，请直接写出t 的值；若不能，请说明理由．。
一元二次方程
一元二次方程中考考点考点一：一元二次方程及其解法1.一元二次方程的相关概念2.一元二次方程的解法考点二：一元二次方程的判别式及根与系数的关系1.根的判别式2.根与系数的关系考点三：一元二次方程的应用1.列一元二次方程解应用题一元二次方程的概念一、知识点回顾1. 方程：含有未知数的等式叫做方程2. 一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。
二、主要内容1. 概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
2. 一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0），其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数。
3. 特殊形式：ax 2＝0；ax 2＋bx ＝0；ax 2＋c ＝0三、题型解析1. 题型一：判断是否为一元二次方程解题思路：根据定义进行判断，首先看是否为整式方程，然后再看方程的表现形式是否满足要求。
例1：下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)．①y 24－y ＝0；②2x 2－x －3＝0；③1x 2＝3； ④x 2＝2＋3x ；⑤x 3－x ＋4＝0；⑥t 2＝2；⑦x 2＋3x －3x＝0；⑧x 2－x ＝2.例2：下列方程中，不是一元二次方程的是（）A. 2x 2+7=0B. 2x 2+23x +1=0C. 5x 2+x1+4=0 D. 3x 2+(1+x ) 2+1=02. 题型二：根据一元二次方程的概念求字母的值解题思路：牢记一元二次方程的一般形式和定义。
例3：a 为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax 2－x ＝2x 2－ax －3；(2)(a －1)x |a |＋1＋2x －7＝0.例4：若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是（）A.2B. －2C. 0D. 不等于23 题型三：一元二次方程的一般形式解题思路：对方程进行整理，通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤将它们化为一般形式例5 (1) x(x－2)＝4x2－3x；(2)x23－x＋12＝－x－12；(3)关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p(m＋n≠0)．4.题型四：建立一元二次方程模型解题思路：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．例6：如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？四、总结牢记一元二次方程的概念，掌握4个主要题型，能够学会举一反三。
一元二次方程总复习全章知识点梳理.
一元二次方程总复习考点 1:一元二次方程的概念一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程.一般形式:ax 2+bx+c=0(a≠ 0 。
注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。
考点 2:一元二次方程的解法1. 直接开平方法2. 配方法:3.公式法:4. 因式分解法:因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法。
5.一元二次方程的注意事项:⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a ≠ 0.因当 a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定 a , b ,c 的值;②若 b 2 -4ac <0,则方程无解.★⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如-2(x+4 2 =3 (x +4中,不能随便约去 x +4。
⑷注意:解一元二次方程时一般不使用配方法 (除特别要求外但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是:开平方法→因式分解法→公式法.6.一元二次方程解的情况⑴ b 2-4ac ≥ 0⇔方程有两个不相等的实数根;⑵ b 2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根;⑶ b 2-4ac ≤ 0⇔方程没有实数根。
解题小诀窍:当题目中含有“两不等实数根” “两相等实数根” “没有实数根”时,往往首先考虑用b 2-4ac 解题。
主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。
考点 3:根与系数的关系 :韦达定理对于方程 ax 2+bx+c=0(a≠ 0 利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形。
解题小诀窍:当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理。
二、经典考题剖析:【易错】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是(A. 02=++c bx axB. 0652=++k x kC. 01232=++xx x D. 012 3(22=+++x x k 1、 (2009成都若关于 x 的方程 kx 2 -2x -1=0有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是(A.k>-1B. k>-1且k ≠ 0C. k<1D. k<1且k ≠ 02、解方程:(1 1(2 1(3-=-y y y y (20862=+-x x3、 (2009鄂州关于 x 的方程 kx 2+(k+2x+4k=0有两个不相等的实数根,(1求 k 的取值范围;(2是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在求出 k 的值;不存在说明理由。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
一元二次方程知识点和易错点总结
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。
专题01一元二次方程(3个知识点5大题型2个易错点中考2种考法)(原卷版)
专题01一元二次方程（3个知识点5大题型2个易错点中考2种考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）知识点2一元二次方程的一般形式（重点）知识点3一元二次方程的解（重点）【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值题型三：一元二次方程新定义问题题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论题型五：一元二次方程与完全平方公式综合【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件易错点2在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值考法2根据实际问题列一元二次方程【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．例1．（2022秋•镇江期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．B．x2+2x+3＝x（x+1）C．2x+3y＝6D．x2﹣2x+3＝0知识点2一元二次方程的一般形式（重点）（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．例2．（2022秋•建邺区期中）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0B．x2﹣2x﹣5＝0C．x2+2x﹣5＝0D．x2+2x+5＝0例3．（2022秋•镇江期中）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（）A．x2﹣x＝2B．x2+x+2＝0C．x2﹣x+2＝0D．x2﹣x﹣2＝0例4．（2022秋•新北区校级月考）将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）+8化为一般形式为．例5．（2022秋•海州区校级月考）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是．例6．（2022秋•常州期中）若关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于．例7．（2021秋•淮安区期中）若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常数项为0．求m的值．知识点3一元二次方程的解（重点）（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．例8．（2021春•射阳县校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值1．（2022秋•大丰区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（）A．m≠0B．m≠3C．m＝0D．m＝32．（2023•睢宁县校级开学）关于x的方程ax2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a≠0C．a＝1D．a≥0题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值3．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（）A．2023B．2022C．2021D．20204．（2022秋•邳州市期末）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣35．（2023•邗江区一模）若关于x的方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为3，则m的值为．6．（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为．7．（2022秋•江阴市校级月考）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．8．（2022•广陵区校级开学）已知x是一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0的实数根，求代数式÷（x+3﹣）的值．题型三：一元二次方程新定义问题9．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值．10．（2022秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．11．（2017秋•句容市月考）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝，把x＝，代入已知方程，得（）2+﹣1＝0．化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论12．（2022春•建邺区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．（1）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求证：m+n≥﹣2．13．（2020秋•鼓楼区期中）方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为0；（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．题型五：一元二次方程与完全平方公式综合14．（2020秋•句容市月考）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件15．（2021秋•襄城县期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为．易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式16．（2022秋•沭阳县校级期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值17．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是．18．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝．19．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝．20．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022B．0C．2022D．404421．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．考法2根据实际问题列一元二次方程22．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程2323x x -=的二次项系数、一次项系数、常2100px q +=，可列表如下：则方程A ． 1.073-B ． 1.089-C ． 1.117-D ． 1.123-二、填空题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2100ax bx a +-=≠有一根为三、解答题。
高中数学一元二次函数方程和不等式易错知识点总结
(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式易错知识点总结单选题1、关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是（）A．(−1,0]∪[2,3) B．[−2,−1)∪(3,4]C．[−1，0)∪(2,3] D．(−2，−1)∪(3，4)答案：C分析：分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.由x2−(a+1)x+a<0得(x−1)(x−a)<0，若a=1，则不等式无解．若a>1，则不等式的解为1<x<a，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=2，则2<a≤3．若a<1，则不等式的解为a<x<1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=0，则−1≤a<0．综上，满足条件的a的取值范围是[−1，0)∪(2,3]故选：C．2、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.3、已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，则下列说法正确的是（）A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+ bx+c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；由题得{a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.故选：B4、已知实数a,b满足a+b=ab(a>1,b>1)，则(a−1)2+(b−1)2的最小值为( )A．2B．1C．4D．5答案：A分析：将a-1和b-1看作整体，由a+b=ab(a>1,b>1)构造出(a−1)(b−1)=1，根据(a−1)2+(b−1)2≥2(a−1)(b−1)即可求解．由a+b=ab(a>1,b>1)得a+b−ab−1=−1，因式分解得(a−1)(b−1)=1，则(a−1)2+(b−1)2≥2(a−1)(b−1)=2，当且仅当a=b=2时取得最小值．故选：A．5、若a>0,b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当a>0,b>0时，a+b≥2√ab，则当a+b≤4时，有2√ab≤a+b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6、若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b>2√ab B．a+b<2√ab C．a2+2b>2√ab D．a2+2b<2√ab答案：A分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.因为a>b>0，则a+b−2√ab=(√a−√b)2>0，故a+b>2√ab，A对B错；a 2+2b−2√ab=a2+2b−2√a2⋅2b=(√a2−√2b)2≥0，即a2+2b≥2√ab，当且仅当a2=2b时，即当a=4b时，等号成立，CD都错.故选：A.7、若不等式(ax−2)(|x|−b)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则（）A．a>0，ab=12B．a>0，ab=2C．a>0，a=2b D．a>0，b=2a答案：B分析：由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，不满足题意，故b>0，再由二次函数的性质即可求解由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，显然不满足题意，故b>0，由二次函数的性质可知，此时必有2a=b，即ab=2，故选：B8、关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）A．−1B．−4C．−4或1D．−1或4答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案.∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根，∴Δ=[2(m−1)]2−4×1×(m2−m)=−4m+4⩾0，解得：m⩽1，∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，∴α+β=−2(m−1)，α⋅β=m2−m，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m−1)]2−2(m2−m)=12，即m2−3m−4=0，解得：m=−1或m=4(舍去).故选：A.9、若正数a,b满足a+b=ab，则a+2b的最小值为（）A．6B．4√2C．3+2√2D．2+2√2答案：C分析：由a+b=ab，可得1a +1b=1，则a+2b=(a+2b)(1a+1b)，化简后利用基本不等式可求得其最小值因为正数a,b满足a+b=ab，所以1a +1b=1，所以a+2b=(a+2b)(1a +1b)=3+ab+2ba≥3+2√ab ⋅2ba=3+2√2，当且仅当ab =2ba，即a=√2+1,b=2+√22时取等号，故选：C10、a,b,c是不同时为0的实数，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为（）A ．12B ．14C ．√22D ．√32答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.若要使ab+bc a 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c 均为正实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b +2b ≤2√22b ×2b =2√2(a 2+c 2)=12√a 2+2ac+c 22(a 2+c 2)=12√12+ac a 2+c 2≤12√12+2√a 2×c 2=12， 当且仅当a 2+c 2b =2b ，且a =c 取等，即a =b =c 取等号，即则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为12，故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.填空题11、若关于x 的不等式x 2−(m +2)x +2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为___________． 答案：(5，6]分析：不等式化为(x −m)(x −2)<0，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m 的范围.x2−(m+2)x+2m<0可化为(x−m)(x−2)<0，该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|2<x<m}，且5<m⩽6；所以答案是：(5，6]．12、正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.答案：[9,+∞)分析：由题得ab＝a＋b＋3≥2√ab＋3，解不等式ab−2√ab−3≥0即得解.∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2√ab＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，所以ab−2√ab−3≥0，所以(√ab−3)(√ab+1)≥0，所以√ab≥3或√ab≤−1，所以ab≥9.所以答案是：[9,+∞)小提示：本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13、函数y=x+1+4x+1(x>−1)的最小值为______.答案：4分析：利用基本不等式直接求解即可因为x>−1，所以x+1>0，所以y=x+1+4x+1≥2√(x+1)⋅4x+1=4，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时取等号，所以y=x+1+4x+1(x>−1)的最小值为4，所以答案是：414、函数y=2√x2+1的最小值是___________. 答案：4分析：根据基本不等式可求出结果.令t=√x2+1≥1，则y=2√x2+1=t+4t≥4，当且仅当t=2，即x=±√3时，y min=4.所以函数y=2√x2+1的最小值是4.所以答案是：4小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15、已知函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域是R，则m的取值范围为______．答案：[0,4]分析：根据函数的定义域为R可得mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，对参数m的取值范围分类讨论，分别求出对应m 的范围，进而得出结果.因为函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域为R，所以mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，当m=0时，mx2+mx+1=1>0，符合题意；当m>0时，由Δ=m2-4m≤0，解得0<m≤4；当m<0时，显然mx2+mx+1不恒大于或等于0．综上所述，m的取值范围是[0,4].所以答案是：[0,4].16、若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是__________．答案：{m|m≥9或m≤1}分析：根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1.所以答案是：{m|m≥9或m≤1}17、方程x2−(2−a)x+5−a=0的两根都大于2，则实数a的取值范围是_____．答案：−5<a≤−4分析：根据一元二次方程根的分布即可求解.解：由题意，方程x2－(2－a)x+5－a=0的两根都大于2，令f(x)=x2－(2－a)x+5－a，可得{△≥0f(2)>02−a 2>2，即{a2≥16a+5>02−a>4，解得－5<a≤－4．所以答案是：−5<a≤−4.18、函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域是________.答案：[−2,+∞)解析：先求出函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y =log 0.4(−x 2+3x +4)的单调性，从而可求出值域.解：由题可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)，则−x 2+3x +4>0，解得：−1<x <4，所以函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)， 则x ∈(−1,32)时，f (x )为增函数，x ∈(32,4)时，f (x )为减函数，可知当x =32时，f (x )有最大值为254，而f (−1)=f (4)=0，所以0<f (x )≤254，而对数函数y =log 0.4x 在定义域内为减函数，由复合函数的单调性可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)在区间(−1,32)上为减函数，在(32,4)上为增函数， ∴y ≥log 0.4254=−2，∴函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域为[−2,+∞).所以答案是：[−2,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.19、已知正实数x ，y 满足：x 2+xy +2x y =2，则3x +2y +2y 的最小值为_________． 答案：4√2分析：根据x 2+xy +2x y =2，可得(x +y)(x +2y )=4，再令{x +y =m x +2y =4m ，再利用基本不等式即可得出答案.解：因为x 2+xy +2x y =2， 所以x 2+xy +2x y +2=4，所以x(x +y)+2y (x +y)=4，所以(x +y)(x +2y)=4， 令{x +y =m x +2y =4m ，则3x +2y +2y =2(x +y)+(x +2y )=2m +4m ≥2√2m ⋅4m=2√8=4√2， 当且仅当2m =4m即m =√2时取等号， 所以3x +2y +2y 的最小值为4√2.所以答案是：4√2.20、若关于x 的一元二次不等式2x 2−kx +38>0对于一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为__________. 答案：(−√3,√3)分析：由判别式小于0可得．由题意Δ=k 2−4×2×38<0，−√3<k <√3．所以答案是：(−√3,√3)．解答题21、若x ,y 为正实数,且2x +8y −xy =0,求x +y 的最小值.答案：18解析：首先已知条件变形为8x +2y =1，再化简x +y =(x +y )(8x +2y )，利用基本不等式求最小值.2x +8y −xy =0⇒8x +2y =1 x +y =(x +y )(8x +2y )=8+8y x +2x y +2=10+(8y x +2x y)≥10+2×4=18 (当8y x =2x y 时取“=”)所以x +y 的最小值是18.小提示：本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意.22、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ．（1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值．答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34.解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得cosA =12，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；（1）∵ 2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴ 2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB ,∴ cosA =12,∵0<A <π,∴A =π3; （2）∵AC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ ΔABC 的周长为：5+8+7=20；（3）∵ b sinB =c sinC =a sinA =√32=2√3a 3，∴ sinB =√32b a ，sinC =√32c a， ∴ 2b ⋅√32⋅b a +2c ⋅√32⋅c a =bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a 2⇒√3⋅12=a 2⇒ a =√3，∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ，∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当b =c ， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max =3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式：ax²+bx+c=0（a,b，c为常数，x为未知数,且a≠0）。
顶点式：y=a（x—h）²+k（a≠0,a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）（a≠0）［有交点A(x₁，0）和B(x₂,0)的抛物线，即b²—4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如（x-m)²=n（n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1。
将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根）2。
将二次项系数化为13。
将常数项移到等号右侧4。
等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5。
将等号左边的代数式写成完全平方形式6。
左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。
化方程为一般式：ax²+bx+c=0 （a≠0）2。
确定判别式，计算Δ（=b²—4ac)；3。
若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根:x=若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根：x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0；2. 将方程左边分解为两个一次式的积；3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax²+bx+c（a≠0).（2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小）值时,可设解析式为顶点式：y=a(x—h）²+k（a≠0）。
第2章 一元二次方程 单元复习提升(易错与拓展)(原卷版)
第2章 一元二次方程 单元复习提升（易错与拓展）易错点01 一元二次方程的概念【指点迷津】注意a ≠0；化简到一元二次方程的一般式再做判断与解题． 典例1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．2213(2)x x x 2+=-C ．()()121x x +-=D ．23210x y -+=跟踪训练1．若关于x 的方程()22210mm x x --++=是一元二次方程，则m 的值是（ ）A ．3m =B ．2m =C ．2m =-D ．2m =±【指点迷津】因式分解法解一元二次方程时等式右边要为0.典例2．解下列方程： (1)(3)(1)3--=x x (2)2220x x -++=跟踪训练1．一元二次方程()11x x x -=-的根是（ ） A ．121x x == B ．121x x ==- C ．11x =，20x = D ．11x =-，20x =跟踪训练2．解方程： (1)23510x x -+=； (2)()()315x x +-=．易错点03 根据根的判别式求参数时忽视a ≠0【指点迷津】解一元二次方程及其相关应用时，不要忽视一元二次方程本身成立的条件，或者一些隐含条件.典例3．若关于 x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k ≥- B ．1k >- C ．1k ≥-且0k ≠ D ．1k >-且0k ≠跟踪训练1．已知关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有实数根，求a 的取值范围 ．跟踪训练2．已知关于x 的一元二次方程()21310m x x -+-=有实数根，则m 的取值范围是 ．【指点迷津】因式分解在解题时往往可以加快解题速度，节约考试时间.典例4．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数．跟踪训练1．某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为了减少库存量，且在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？跟踪训练2．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a 米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设AB x =米时，鸡舍面积为S平方米．(1)求S 关于x 的函数表达式及x 的取值范围．(2)在（1）的条件下，当AB 为多少时，鸡舍的面积为90平方米？ (3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？典例1．对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，下列说法：①若a ＋b ＋c ＝0，则方程必有一根为x ＝1；①若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=无实根；①若方程20(0)ax bx c a ++=≠两根为1x ，2x 且满足120x x ≠≠，则方程20(0)cx bx a c ++=≠，必有实根11x ，21x ；①若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（ ） A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①跟踪训练1．下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个①若方程()200ax bx c a ++=≠两根为-1和2，则20a c +=；①若2550a a -+=，则()211-=-a a ；①若240b ac -<，则方程()200ax bx c a ++=≠一定无解；①若方程20x px q ++=的两个实根中有且只有一个根为0，那么0p ≠，0q =．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个拓展02 根与系数的关系难点分析典例2．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）． ①方程220x x --=是“倍根方程”；①若(2)()0x mx n -+=是“倍根方程”，则22450m mn n ++=； ①若,p q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是“倍根方程”；①若方程20ax bx c ++=是“倍根方程”，则必有229b ac =．跟踪训练1．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实数根分别为12,x x ，则方程可写成()()12a x x x x 0--=，即()212120ax ak x x ax x -++=，容易发现根与系数的关系：1212,b cx x x x a a+=-=．设一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠三个非零实数根分别123,,x x x ，现给出以下结论：①123bx x x a++=-，①123bx x x a =-；①122331c x x x x x x a++=；①123111c x x x d ++=，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．典例3．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(80)，，点B 的坐标是(06)，，连接AB ．若动点P 从点B 出发沿着线段BA 以5个单位每秒的速度向终点A 运动，设运动时间为t 秒．(1)求线段AB 的长．(2)连接OP ，当OBP 为等腰三角形时，过点P 作线段AB 的垂线与直线OB 交于点M ，求点M 的坐标； (3)已知N 点为AB 的中点，连接ON ，点P 关于直线ON 的对称点记为P '(如图2)，在整个运动过程中，若P '点恰好落在AOB 内部(不含边界)，请直接写出t 的取值范围． 跟踪训练1．探索发现 如图（1），在正方形ABCD 中，E 为BC 边上不与,B C 重合的点，过点,,A B C 三点分别作DE 的垂线，垂足分别为,,F H G ．（1）求证：DF CG =；（2）求证：DF BH FH +=． 迁移拓展 如图（2），在正方形ABCD 中，E 为直线BC 上一点，过B 点作DE 的垂线，垂足为H ，若5,1AB BH ==，直接写出BE 的长．一、单选题1．下列是一元二次方程的是（ ）A ．2320x x x -+=B ．240x x -+=C ．20ax bx c ++=D ．2210y x --=2．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．1或1-C ．1-D ．0.53．解方程()()2243343x x -=-）最适当的方法是（ ）A ．直接开方法B ．配方法C ．公式法D ．分解因式法4．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A ．210x x -+= B ．2230x x -+= C ．210x x +-= D ．240x += 5．用配方法解一元二次方程22760x x -+=，下面配方正确的是（ ） A ．271416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．2797416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．273724x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．271416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭6．方程2230x x +-=的解为11x =，23x =-，若方程()()22322330x x +++-=，它的解是（ ）． A ．1213x x ==， B ．1213x x ==-，C ．1213x x =-=，D ．12=1=3x x --，7．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k ≥-且0k ≠B ．1k ≥-C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠8．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2020年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2022年销量为125.6万辆．设年平均增长率为x ，可列方程为（ ）A ．250.7(1)125.6x +=B ．2125.6(1)50.7x -=C ．50.7(12)125.6x +=D ．250.7(1)125.6x -=9．已知a ，b 是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111a b+=-，则m 的值是（ ） A ．﹣3或1B ．3或﹣1C ．3D ．110．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c -+=，则240b ac -≥；①若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ①若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立； ①若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+ 其中正确的：（ ）A ．只有①B ．只有①①C ．①①①D ．只有①①①二、填空题11．2570x x ++=的二次项系数是 、常数项是 ．12．关于x 的方程()222530m m x x --+-=是一元二次方程，则m ＝ ．13．已知x 2－6x +8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是 ． 14．已知x 2＝2x +15，则代数式22(2)(2)x x +--= ．15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有x 个，则可以列方程为 ．16．已知关于x 的方程()231210kx k x k +-+-=的解都是整数，则整数k 的值为 ．17．已知：关于x 的方程a (x +k )2+2022=0的解是x 1=-2，x 2=1(a 、k 均为常数，a ≠0)． （1）关于x 的方程a (x +k +2) 2+2022=0的根是 ； （2）关于x 的方程a (x +3k ) 2 +2022=0的根为 ．18．已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠和它的两个实数根为12,x x ，下列说法： ①若a ，c 异号，则方程()200ax bx c a ++=≠一定有实数根； ①若25b ac ＞，则方程()200ax bx c a ++=≠一定有两异实根； ①若b a c =+，则方程()200ax bx c a ++=≠一定有两实数根；①若123a b c ===-，，，由根与系数的关系可得121223x x x x +=-=， 其中正确的结论是： （填序号）．三、解答题19．用适当的方法解一元二次方程 （1）210.503x -=；（2）22()(2)2a x a x +=+；（3）22410x x --=；（4）2(12)(12)x x -=+．20．已知关于x 的方程()()232250m x m x m ---+-=.（1）当m 为何值时，方程只有一个实数根？ （2）当m 为何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ 21．已知关于x 的一元二次方程2(2)20(0)kx k x k +--=≠． (1)求证：不论k 为何值，这个方程都有两个实数根； (2)若此方程的两根均整数，求整数k 的值，22．已知：关于x 的方程()228440x m x m --+=，有两个不相等的实数根，(1)求实数m 的取值范围，(2)若方程的两个实数根12x x ，满足1212x x x x +=⋅，求出符合条件的m 的值．23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？24．阅读材料题：我们知道20a ≥，所以代数式a 2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用()2222a ab b a b ±+±＝来求一些多项式的最小值．例如：求263x x ++的最小值问题．解：①()2226369636x x x x x ++=++-=+﹣， 又①()230x +≥， ①()2366x +≥﹣﹣①263x x ++的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：246x x -+= ；(2)代数式28x x --有最 （填“大”或“小”）值为 ； (3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m ，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？25．当m ，n 为实数，且满足m nm n +=时，就称点,m P m n ⎛⎫⎪⎝⎭为“状元点”．已知点A （0，7）和点M 都在直线y x b =+上，点B ，C 是“状元点”，且B 在直线AM 上．(1)求b 的值及判断点F （2，6）是否为“状元点”； (2)请求出点B 的坐标；(3)若52AC ≤，求点C 的横坐标的取值范围．26．对于任意一个三位数k ，如果k 满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k ＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．(1)已知一个“喜鹊数”k ＝100a +10b +c （1≤a 、b 、c ≤9，其中a ，b ，c 为正整数），请直接写出a ，b ，c 所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；(2)利用（1）中“喜鹊数”k 中的a ，b ，c 构造两个一元二次方程ax 2+bx +c ＝0①与cx 2+bx +a ＝0①，若x ＝m 是方程①的一个根，x ＝n 是方程①的一个根，求m 与n 满足的关系式；(3)在（2）中条件下，且m +n ＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k 的值．。
《一元二次方程》 知识清单
《一元二次方程》知识清单一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在解决实际问题和进一步学习数学知识方面都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起详细了解一元二次方程的相关知识。
一、一元二次方程的定义只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
一般形式为：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝0$（＄a ≠ 0$），其中$a$、＄b$、＄c$分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
需要注意的是，方程必须是整式方程，也就是说分母中不能含有未知数。
同时，二次项系数$a$不能为 0，如果$a ＝ 0$，就变成了一元一次方程。
例如，＄x^2 3x ＋ 2 ＝ 0$是一元二次方程，而$＼frac{1}｛x^2} ＋2x ＝ 3$就不是一元二次方程，因为它的分母中含有未知数$x$。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法适用于形如$（x ＋ m)＾2 ＝ n$（＄n ≥ 0$）的方程。
例如，方程$（x 2)＾2 ＝ 9$，则$x 2 ＝ ±3$，解得$x_1 ＝ 5$，＄x_2 ＝－1$。
2、配方法将一元二次方程通过配方转化为$（x ＋ m)＾2 ＝ n$的形式，然后再用直接开平方法求解。
例如，对于方程$x^2 ＋ 6x 7 ＝ 0$，配方可得$（x ＋ 3)＾2 ＝ 16$，然后解得$x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝－7$。
3、公式法对于一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ≠ 0$），其求根公式为$x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。
在使用公式法时，需要先计算判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac$。
当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$＼Delta ＝ 0$时，方程有两个相等的实数根；当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
例如，对于方程$2x^2 5x ＋ 1 ＝ 0$，其中$a ＝ 2$，＄b ＝－5$，＄c ＝ 1$，＄＼Delta ＝（－5)＾2 4×2×1 ＝ 17 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，＄x_1 ＝＼frac{5 ＋＼sqrt{17}｝｛4}＄，＄x_2＝＼frac{5 ＼sqrt{17}｝｛4}＄。
(完整版)一元二次方程知识点和易错点总结
一元二次方程知识点总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式，2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或（3） 法（4） 法，其中求根公式是 根的判别式当 时，方程有两个不相等的实数根。
（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用 （2）（3）可用于解决实际问题的步骤 （4） （5）（6）知识点归类知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是一元二次方程2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
例1 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
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一元二次方程知识点总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或 （3） 法（4） 法，其中求根公式是根的判别式当 时，方程有两个不相等的实数根。
（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用（2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4）（5） 一元二次方程（6）知识点归类知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ ⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x 知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
例1 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点四 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。
注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。
例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场 ，鸡场一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为35m ，求鸡场的长和宽各为多少？鸡场因式分解法、直接开平方法知识点一 因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
例 用因式分解法解下列方程：（1）x x 452=； （2）025)32(2=--x ； （3）()222596x x x -=+-。
知识点二 直接开平方法解一元二次方程若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。
例 用直接开平方法解下列一元二次方程（1）01692=-x ； （2）()01652=-+x ； （3）()()22135+=-x x （因式分解）知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如()()002≥=-+k k b ax 的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。
例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。
（1）()036542=--x ； （2）()03212=--x知识点四 用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。
如：0201.02=-t t ，将原方程变形为()0201.0=-t t ，由此可得出200,0020.0021===-=t t t t ，即或注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。
知识点五 形如“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”的方程的解法。
对于形如“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为()()0+++b x a x ，则00=+=+b x a x 或，即b x a x -=-=21,。
注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”型方程的特征。
例 解下列方程：（1）0652=+-x x ； （2）0122=--x x配方法知识点一 配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程02=++q px x ，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
例 用配方法解下列方程：（1）0562=-+x x ； （2）02272=--x x知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；（2） 把原方程变为()n m x =+2的形式。
（3） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。
例 解下列方程：0342=+-x x知识点三 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为()n m x =+2的形式； （3）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。
例 用配方法解下列方程：（1）02932=+-x x ； （2）0342=+--x x公式法知识点一 一元二次方程的求根公式一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：a ac b b x 242-±-= 用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；（2）求出ac b 42-的值；（3）若042≥-ac b ，则.,b a 把及ac b 42-的值代人求根公式aac b b x 242-±-=，求出21,x x 。
例 用公式法解下列方程（1）01322=--x x ； （2）()0122=++x x ； （3）0252=++x x知识点二 选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。
注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。
例 用适当的方法解下列一元二次方程：（1）()()2232932+=-x x ； （2）0682=+-x x ； （3）()0)1(2=-+x x知识点三 一元二次方程根的判别式一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的判别式 △=ac b 42-运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1） △=ac b 42-﹥0⇒方程有两个不相等的实数根；（2） △=ac b 42-=0⇒方程有两个相等的实数根；（3） △=ac b 42-﹤0⇒方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况。
例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：（1）05322=--x x ；（2）253092-=x x ；（3）01062=++x x知识点四 根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。
例 m 为何值时，方程()0324122=-+++m mx x m 的根满足下列情况：（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；知识点五 一元二次方程的根与系数的关系若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有a b x x -=+21， ab x x =21 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）()2122122212x x x x x x -+=+ （2）21212111x x x x x x +=+ （3）()2212121))((a x x a x x a x a x ++++=++；（4）│21x x -│=()221x x -=()212214x x x x -+例 已知方程03522=--x x 的两根为21,x x ，不解方程，求下列各式的值。
（1）2221x x +； （2）()221x x -。
知识点六 根据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。