自控原理(08J-12)

7．根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根 s=±jω ，此时系统处于临界稳定状态，令此时的 Kg=Kl。由此可计算对应的临界放大系数Kl值。
300
60

C
34
6. 根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角）
当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什 么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所 谓的起始角和终止角问题。 确定起始角（终止角）的依据 — 根轨迹的幅角条件 ⑴ 起始角 θ p (出射角) 根轨迹离开开环复数极点处切线方向与实轴正方向的 夹角。 起始角计算公式（第K个极点的出射角）:
11
由于S是复变量： s
j
此方程是一个复方程，可表示成幅值和辐角的形式。 根轨迹方程又可分别表示成幅值（条件）方程和辐角（条
件）方程。
12
或表示为：
开环零点矢量模乘积 Kg ＝1 开环极点矢量模乘积
13
■
■
同时满足幅值条件和辐角条件的s，就是特征方程式的 根，也就是闭环极点。 根轨迹上的任一点，同时满足幅值条件和辐角条件。
解： 该系统的开环极点:
p1 2, p2 2
无开环零点。 s1 , s2 若s1、s2 是系统的闭环极点， 则 s1、s2 应满足相角方程.
16
以 s1为试验点，观察图2，可得
( s1 p1 ) ( s1 p2 ) 900 900

2


2
(2k 1)
a 分别为:
a
P Z
j 1 j i 1
n
m
i
nm
（Pj是极点）
2 k 1 a n m
k 0,1,2, , n m 1
32
例 已知系统的开环传递函数为:
K r (s 2) G(s) H(s) 2 s (s 1)(s 4)
试画出该系统根轨迹的渐近线。 解 对于该系统有n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与实轴交点 位置为: 1 4 2
（k=-1)
以 s2 为试验点，可得
( s1 p1 ) ( s2 p2 ) 900 900 1 2

2


2
(2k 1)
(k=0) 图2
s1 , s2 都满足相角条件， 所以，s1 , s2 点是闭环极点（根轨迹上的点）。
由于
17
例3
已知系统开环传递函数 G(s) H (s) K /(s 1)4 当 K 0 变化时其根轨迹如图3，求根轨迹上点 s1 0.5 j 0.5 所对应的K* 值。 解 根据模值方程求解 K *值 令模值方程为：
A
分离点
d1
d2
p2
p1
0
-4
-3
-2
-1
0

B

实轴上根轨迹的分离点
p4
复平面上的分离点
分离点表示特征方程式出现重根
27
实轴上分离点(会合点)的判断:
1. 若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则在这 两个极点之间至少存在一个分离点； 2. 若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一 个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一 个会合点。 3. 若根轨迹位于实轴上一个开环零点和一个开环极点之 间，则在这两个点之间不存在分离点或会合点,或既存在 一个分离点又存在一个会合点。
第4章 根轨迹法
引言
根 —— 系统特征方程的根，即系统的闭环极点。 系统闭环极点对系统特性起着决定性作用： (1) 决定系统的稳定性
(2) 决定系统瞬态响应的模式及性能指标
（单极点响应、共轭极点响应）
1
闭环极点的位置决定系统瞬态响应各分量的模式：
● 若极点是在左半S平面,则对应的响应各分量是
收敛的;
■ 复平面上的所有零、极点是共轭的，它们到实轴上根轨迹
（任意试验点）的矢量辐角之和总为零。 ■ 根轨迹（任意试验点）左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量 辐角总为零； ■ 根轨迹（任意试验点）右侧的实数零点、极点到根轨迹的矢 量辐角均为180°。
24
证明：设实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目为Nz， 实轴上根轨迹右侧的开环极点数目为Np，由辐角条件:
j 1
n
s pj
说明当 Kg = 0时，闭环极点就是开环极点， 因此根轨迹始于各开环极点。
22
根轨迹终点条件: Kg = ∞ 当 Kg =∞时，闭环系统的特征方程式等效为
N ( s) ( s z i ) 0
i 1
m
s zi
可见，当 Kg=∞时，闭环极点就是开环有限零点。 说明根轨迹的终点是开环传递函数的各个零点-zi 。
K ( s 2 j )(s 2 j ) G( s) H ( s) ( s 1 j 2)( s 1 j 2)
*
试绘制系统概略根轨迹。
36
解：将开环零、极点画在图4－12的根平面上，逐步画图：
1、两个开环极点、两个开环零点, n=2，有两条根轨迹。
2、两条根轨迹分别
14
例1：某系统开环传递函数有1个零点，4个极点（m=1,n=4 ）， S平面上某试验点对应的各矢量幅值和相角关系如图所示。
图（a）、图（b）各矢量幅值和相角关系都满足幅值方程和相角方程
15
例2 已知系统的开环传递函数： G(s) H (s) 2K /(s 2)2 试证明复平面上点 s1 2 j 4, s2 2 j 4 是该系统的闭环极点（是根轨迹上的点）。
30
分离点的坐标d可由下面方程求得：
m 1 1 d p d z i 1 j 1 i j n
式中： z j 为各开环零点的数值，
pi 为个开环极点的数值。
31
5．根轨迹的渐近线
—— 研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远 当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止 于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线为根轨迹的 渐近线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。 渐近线与实轴的交点位置 σ a 和与实轴正方向的交角(渐进线倾角)
28
分离点（会合点）位置的计算：
产生分离点（会合点）的实质是：特征方程在一定K下 出现重根。分离点与会合点必须满足方程: dK 并由此可以计算分离点（会合点）的位置。
ds
0
29
例 已知系统的开环传递函数为
K G(s) H(s) (s 1)(s 2)(s 3)
试求出系统根轨迹与实轴的交点（分离点）。
K 1 解：此系统特征方程为： (s 1)(s 2)(s 3) dK 整理后令: 0 ds 2
得到求解交点α的辅助方程:
3α 12α 11 0
解得: α 1 1.42 α 2 2.58 由于实轴上的根轨迹为-1到-2线段和-3到-∞线段, α 2 2.58 不在上述两线段上，应舍去。 α 1 1.42是实轴根轨迹上的点，它就是根轨迹在实轴上的 分离点。

物理可实现系统:
n ≥ m .

当n = m时, 根轨迹有n 个起点,n个终点,根轨迹有n条. 当n > m时, 根轨迹有n 个起点,有m个终点在开环零点,另 外(n-m)个终点在S平面无限远处零点.根轨迹仍然为n条.
23
3. 实轴上的根轨迹
判断准则: 若实轴上某点右侧线段的开环零、极点的个数之 和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。否则该线段不是根 轨迹。 用相角条件证明这个规则，基于以下事实：
20
1.
根轨迹关于实轴对称
特征方程是关于变量S的实系数代数方程,它的
根是实根或共轭复根，因此根轨迹必然关于实轴对 称.
21
2. 根轨迹始于开环极点, 终于开环零点, 分支数为n.
根轨迹起点条件: Kg = 0
Kg = 0 时， 闭环系统特征方程
等效为：
D( s ) ( s p j ) 0
K 1 4 | 0.5 j 0.5 1|
得：
1 K 4
图3
18
4.2
4.2.1
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
根轨迹方程
19
绘制根轨迹的一般法则
1. 2. 3. 4． 5． 6. 7． 根轨迹关于实轴对称 根轨迹始于开环极点, 终于开环零点, 分支数为n. 实轴上的根轨迹 分离点和会合点 根轨迹的渐近线 根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角） 根轨迹与虚轴的交点
0
p2 p1 2070
z 1 180 0 [( z1 p1 ) ( z1 p2 ) ( z1 z 2 )]
180 0 [135 0 108 .45 0 90 0 ] 63 0
z 2 z1 63
0
39
40
的变化轨迹。
5
研究开环放大系数K与闭环特征根的关系
6
当取不同K值时，算得闭环特征根如下：
7
K由0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动 的轨迹如下图所示，这就是该系统的根轨迹。
根轨迹决定的响应模式：过阻尼、临界阻尼、欠阻尼
8
4.1-2
根轨迹方程 （绘制根轨迹图的依据）
R(s)
+ _
G(s)
C(s)
σa
2k 1 它们与实轴正方向的交角分别是: a 3 渐近线如图所示:
3
1
k 0,1,2
5π π 60, (k 0); 180 , (k 1); 60, (k 2) π 3 3
33
j
A
a
B -4 -3
180
60
a 0 -2 -1

i 1 i j 1
m
n
j
N z N p (1 2 )
整理得
( Nz Nz Nz ) Np 2 Nz ( Nz Np) (1 2 )
所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足
Nz Np 1 2
即实轴上根轨迹右侧的开环零、极点的个数之和为奇数.
起始于开环极点：
(-1-j2), (-1+j2) 终止于开环零点：
(-2-j) ,(-2+j)
图4－12
37
3、确定起始角、终止角计算（如图所示）
图4－13
38
p1 180 [( p1 p2 ) ( p1 z1 ) ( p1 z2 ຫໍສະໝຸດ Baidu]
0
4 1 3 180 [arctg arctg arctg ] 0 1 1 1800 [900 450 71.560 ] 2070
p 180 [ ( pk pi ) ( pk z j )]
k
n
m
i 1 i k
j 1
35
终止角计算公式（第K个零点的入射角）:
z 180 [ ( zk pi ) ( zk z j )]
k
n
m
i 1
j 1 jk
例
设系统开环传递函数
● 若极点是在负实轴上, 则对应的响应分量是指
数衰减的;
● 若极点是左半S平面的复共轭极点对, 则对应的
响应分量是衰减振荡的。
2
1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了根轨迹法。
根轨迹法是一种基于 S 域的一种图解分析法，它
是在系统的开环零、极点分布基础上，用作图的方法 简便地确定系统的闭环极点及其变化轨迹，进而对系 统的特性进行定性分析和定量计算。
25
例: 已知实轴上的根轨迹如图所示 对于根轨迹A，Nz+Np=1, ( Np=1，Nz=0 ) ； 对根轨迹B，Nz+Np=3； 对根轨迹C，Nz+Np=5。它们都是奇数。
26
4．分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分
开的点称为分离点（或会合点）。
j
p3
j
[s]
3
本章讨论:
■ 根轨迹方程 － 绘根轨迹的依据
■ 常规根轨迹的绘制规则
■ 特殊根轨迹的绘制 ■ 用根轨迹法分析系统的动态特性 ■ 用MATLAB绘制系统的根轨迹
4
4.1
根轨迹法的基本概念
4.1-1 什么是根轨迹 系统开环传递函数的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程的根在 S 平面上
H(s)
系统的开环传递函数：G ( s ) H ( s ) 系统的闭环传递函数：( s )
G( s) 1 G( s) H ( s)
系统的特征方程： 1 G( s ) H ( s ) 0
9
本教材采用的符号形式
10
该方程的解即为闭环特征根，当Kg在可能范围连续变化时， 特征根变化形成轨迹，因此该式又称为根轨迹方程。 此方程也揭示了闭环传递函数极点（即闭环极点）与开环 传递函数极点、零点的联系。