巩固练习数列求和数列的综合应用提高 (1)

【巩固练习】 一、选择题

1．已知函数2

2

()n n f n n n =-???当为奇数时当为偶数时

，且()(1)n a f n f n ＝＋＋

，则123100a a a a ?＋＋＋＋等于( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．10200

2．如果数列{}n a 满足12=2=1a a ，，且()11

11

2n n n n n n a a a a n a a -+-+--=≥，则这个数列的第10项等于( ) A.

101

2

B.

912 C.110

D.1

5

3．数列{}n a 中，1(1)n a n n =+，其前n 项和为9

10

，则在平面直角坐标系中，直线(1)=0n x y n +++在y

轴上的截距为( )

A ．－10

B ．－9

C ．10

D ．9

4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a ＞，80a ＜，则下列结论正确的是( ) A ．78S S ＜

B ．1516S S ＜

C ．130S ＞ S 13＞0

D ．150S ＞

5．数列{}n a 是等差数列，若11

10

1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n ＝( )

A ．11

B ．17

C ．19

D ．21

二、填空题

6. 已知数列{}n a 中22n n a =+，求前n 项和n S = . 7．求数列

114?，147

?，…，1(32)(31)n n -+，…的前n 项和n S = . 8．已知函数()232f x x x ＝

－，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，n S )(n∈N *

)均在函数f(x)的图象上，13n n n b a a +=

，T n 是数列{}n b 的前n 项和，则使得20

n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m 等于________． 9．设函数()21123n n f x a a x a x a x -?＝＋＋＋＋，若已知1

(0)2

f =，且数列{a n }满足()2*1()n f n a n ∈N ＝，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝________.

10．已知函数()2log f x x ＝，若数列{}n a 的各项使得()()()1222+4n f a f a f a n ，，，，，

成等差数列，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝________. 三、解答题

11. 求下列各数列的前n 项和n S ：

⑴ 12，34，5

8

，…，212n n -，；

⑵ 1，3a ，25a ，…，()1(21)n n a a --∈R ，；

⑶ 222212...1(2)3(4)(1)n n ----，，，，，，

.

12.等比数列{}n a 的各项均为正数，且2

12326231,9.a a a a a +==

（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??

?

???

的前n 项和. 13. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2

2n n n a a S +=.

(1) 求证：22

14

n n n a a S ++<；

(2) 11222

n n n S S S +<

14. 已知数列{}n a 的前n 项的和n S 满足1lg lg(2)(1)lg n n S b n n b +=+---(1)b >. （1） 求通项n a ；

（2）当4n ≥时，对任意的n *∈N 都有不等式1n n a a +>成立，求实数b 的取值范围； （3）当4n ≥时，存在0n *∈N 使得不等式1n n a a +≤成立，求实数b 的取值范围. 【答案与解析】

1. 【答案】B

【解析】由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.

2. 【答案】D 【解析】∵1111n n n n a a a a -+-

=-，∴11

2n n n n a a

a a -++=， 11211

n n n a a a -+=+

，∴1n a ??????

是首项为12， 公差为1

2

的等差数列，∴112n n a =，∴1015

a =. 3. 【答案】B

【解析】数列{a n }的前n 项和为11

1111

1111223

(1)223

1n n n n +++

=-+-+

+-??++ 19

1110

n =-=

+，所以n ＝9，于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0，所以其在y 轴上的截距

为－9. 4. 【答案】C

【解析】因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{a n }是递减的，且S 7最大即S n ≤S 7对一切n ∈N *恒成立．可见选项A 错误；易知a 16＜a 15＜0，S 16＝S 15＋a 16＜S 15，选项B 错误；15115815()1502S a a a =

+=<，选项D 错误；13113713

()1302

S a a a =+=>. 5. 【答案】C

【解析】由题意可知，数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以公差小于零，故a 11＜a 10，又因为

11

10

1a a <-，

所以a 10＞0，a 11＜－a 10，由等差数列的性质有a 11＋a 10＝a 1＋a 20＜0，a 10＋a 10＝a 1＋a 19＞0，所以S n 取得最小正值时n ＝19.

6.【答案】1222n n ++-

【解析】12121(22)(22)...(22)(22...2)2222n n n n S n n +=++++++=++++=+- 7．【答案】

31n

n + 【解析】111

1447

(32)(31)

n S n n =

+++

??-+

8. 【答案】10

【解析】由S n ＝3n 2－2n ，得a n ＝6n －5， 又∵13111

()26561

n n n b a a n n +=

=--+， ∴1111

11111

(1)()(

)(1)27713

65612612

n T n n n ??=-+++

+-=-

m

n -<

+对所有n ∈N *成立， 只需

1

202

m ≥，∴m ≥10，故符合条件的正整数m ＝10. 9. 【答案】

1

n n + 【解析】由1(0)2f =得11

2

a =.由f (1)＝n 2a n 得a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝n 2a n ，① 所以当n ≥2时，

S n －1＝(n －1)2a n －1②，

①－②得a n ＝n 2a n －n 2a n －1－a n －1＋2na n －1，(n 2－1)a n ＝(n 2－2n ＋1)a n －1，于是(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， 即

111

n n a n a n --=

+. 因此324

1123

11123

11

2345

1(1)

n n n a a a a n a a a a a a n n n --=?????

=?????

=

++， 而111

(1)1

n a n n n n =

=-

++， 所以111

11122311

n n

S n n n =-+-+

+-=

++. 10. 【答案】

16(41)3

n

- 【解析】设等差数列的公差为d ，则由题意，得2n ＋4＝2＋(n ＋1)d ，解得d ＝2，于是log 2a 1＝4，log 2a 2

＝6，log 2a 3＝8，…，从而a 1＝24，a 2＝26，a 3＝28，….易知数列{a n }是等比数列，其公比2

1

4a q a ==，所以424116(41)413

n n

n S ?-==--．

11. 【解析】

⑴∵1357

21

24816

2n n n S -=++++

+

， ∴111

11222

2211121

1224816

22222

n n n n n n n n S S +-+---=++++

+

-=+--， 故2

121

322n n n

n S --=-

-

. ⑵21135(21)n n S a a n a -=++++-， ①

当0a =时，1n S =

当1a =时，2[1(21)]

135(21)2

n n n S n n +-=+++

+-=

=.

当0a ≠且1a ≠时，23135(23)(21)n n n a S a a a n a n a -??=++++-+- ②

由①-②得：

∴2

2()1(21)1(1)n n

n a a n a S a a ?---=+--.

⑶ 当n 为奇数时， 当n 为偶数时， 22

n n

+=-. 12. 【解析】

（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32

349a a =所以2

19

q =

. 由条件可知0n a >,故13q =

.由12231a a +=得11231a a q +=，所以113

a =. 故数列{}n a 的通项式为n a =1

()3

n .

（Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++

(12...)(1)2

n n n =-++++=-

.

故

12112()(1)1

n b n n n n =-=--++,

12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++.

所以数列1{

}n b 的前n 项和为21n n -+.

13. 解：（1）在条件中，令1n =，得2111122a a S a +==，

1101a a >∴= ，

又由条件22n n n a a S +=有2

1112n n n a a S ++++=， 上述两式相减，注意到11n n n a S S ++=-得 100n n n a a a +>∴+> ∴11n n a a +-=

所以， 11(1)n a n n =+?-=，(1)

2

n n n S +=

所以22

221(1)1(1)2224

n n n a a n n n n S +++++=

（2）因为(1)1n n n n ++(1)222

n n +<<

，所以 121223(1)

222n n n S S S ??+=+++222L <21222n +==； 12222222

n

n S S S >+++=. 14. 【解析】（1）21

111(1)2,2(3)(2)n n n n n b n b n S a n n b

b n b +--?-=+-?

=∴=?---≥?

?

， （2）当4n ≥，1b >时，1n n a a +>恒成立

12

133

n b n n -?>

=+

--恒成立， ∴3b >.

（3）当4n ≥时，存在0n N *∈使得不等式1n n a a +≤成立

? (1)[(3)(1)]0b n b n ----≤有解

1,b >∴

11,3n n ->-故2

113b n <≤+

-有解 2

1(1)33

Max b n ?<≤+

=-.