曲线拟合

例：电阻和温度的关系数据如下
• • • • • • • • • 求60度时的电阻. 温度 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻 765 826 873 942 1032 >> T=[20.5 32.7 51 73 95.7]; >> R=[765 826 873 942 1032]; >> a=polyfit(T,R,1); >> y=poly2str(a,'t') y= 3.3987 t + 702.0968
fitoptions fittype cflibhelp
disp
get set
数据拟合函数表
excludedata
smooth confint differentiate
指定不参与拟合的数据
平滑响应数据
计算拟合系数估计值的置信区间边界
对于拟合结果求微分
integrate
predint datastates feval plot
• • • •
[y,delta]=polyval(p,x,s) 产生置信区间y±delta。如果误差结果服从 标准正态分布，则实测数据落在y±delta区 间内的概率至少为50%。
• • • •
例 >> x=[0 0.0385 0.0963 0.1925 0.2888 0.385]; >> y=[0.042 0.104 0.186 0.338 0.479 0.612]; >> [p,s,mu]=polyfit(x,y,5)
• 最简单的插值方法是先根据基准数据，调用 MATLAB的绘图命令获得数据的图形表现，然 后估计所需点处的值。
6.8.1分段插值
• 算法分析：所谓分段插值就是通过插值点用折 线或低次曲线连接起来逼近原曲线。 • MATLAB实现 可调用内部函数。
– 命令1 interp1 格式1 yi = interp1(x,y,xi,’method’) 功能 ：输入参数为原始数据点（x，y），xi为指定插 值点的横坐标，yi是在xi指定位置计算出的插值结果。
•[p,s,mu]=polyfit(x,y,n) •返回多项式的系数，mu是一个二维向量 [u1,u2],u1=mean(x),u2=std(x),对数据进行预处理 x=(x-u1)/u2 例： x=1:20; y=sqrt(x)+sin(x); p=polyfit(x,y,5) [p,S]=polyfit(x,y,5) Plot(x,y,’o’,x,polyval(p,x),’-’)
• >> x1=[17:2:29]; • >> x=[x1 x1]; • >> y=[20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3]; • >> plot(x,y,'r+')
32
30
28
26
• 算例： >> years=1950:10:1990; >> service=10:10:30; >> wage = [150.697 199.592 187.625 179.323 195.072 250.287 203.212 179.092 322.767 226.505 153.706 426.730 249.633 120.281 598.243]; >> w = interp2(service,years,wage,15,1975) w= 190.6288
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22
20
18 16
18
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22
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数据拟合函数表
cfit
fit
产生拟合的目标
用库模型、自定义模型、平滑样条或 内插方法来拟合数据 产生或修改拟合选项 产生目标的拟合形式 显示一些信息，包括库模型、三次样 条和内插方法等。 显示曲线拟合工具的信息 返回拟合曲线的属性 对于拟合曲线显示属性值
曲线拟合方法
• Matlab提供曲线拟合方法：
• 可以函数的形式，使用命令对数据进行拟 合。 • Matlab系统设计polyfit函数采用最小二乘法 原理对给定的数据组进行多项式的曲线拟 合，最后给出拟合的多项式的系数。
1.多项式拟合函数
•(1)Polyfit函数 •P=polyfit(x,y,n) •用最小二乘法对数据进行拟合，返回n次多项式的系数 向量P，并用降序排列的向量表示，长度为n+1.
24
22
20
18 16
18
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26
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• • • • • • • • •
>> a=polyfit(x,y,2) a= -0.2003 8.9782 -72.2150 >> poly2str(a,'x') ans = -0.20031 x^2 + 8.9782 x - 72.215 >> x1=17:0.1:29; >> y1=-0.20031*x1.^2+8.9782*x1-72.215; >> hold on;plot(x1,y1,'b')
•输出结果为： •p = • Columns 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱhrough 5 • 0.0193 -0.0110 -0.0430 0.0073 0.2449 • Column 6 • 0.2961 •说明拟合的多项式为：
0.0193x 5 0.0110x 4 0.043x 3 0.0073x 2 0.2449x 0.2961
对于拟合结果求积分
对于新的观察量计算预测区间的边界
返回数据的描述统计量
估计一个拟合结果结果或拟合类型
画出数据点、拟合线、预测区间、异 常值点和残差
6.8 插值和样条（非参数拟合）
有时我们对拟合参数的提取或解释不感兴趣，只想得到一个平滑的 通过各数据点的曲线，这种拟合曲线的形式称之为非参数拟合。 • 非参数拟合的方法包括 • （1）插值法Interpolants • （2）平滑样条内插法Smoothing spline • 在多项式曲线拟合并不要求拟合曲线通过这些测量数据点。 而插值是在原始数据点之间按照一定的关系插入新的数据点，以 便更准确的分析数据的变化规律。他是在假定所给的基准数据完 全正确的情况下，研究如何“平滑”的估算出“基准数据”之间 其它函数值。
• • • • • • • • • •
>> y=polyval(a,T) %计算多项式在某一点处的值 y= 1.0e+003 * 0.7718 0.8132 0.8754 0.9502 1.0274 >> plot(T,R,'k+',T,y,'r*') >> hold on >> plot(T,y,'b') >> polyval(a,60) ans = 906.0212
x=[1 3 4 5 6 7 8 9 10]; y=[10 5 4 2 1 1 2 3 4]; [p,s]=polyfit(x,y,4); y1=polyval(p,x); plot(x,y,'go',x,y1,'b--')
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
>> poly2str(p,'t') ans = -0.0049945 t^4 + 0.11461 t^3 0.61143 t^2 - 1.1005 t + 11.5499
5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16
18
20
• 例： >> x=[1.1,2.3,3.9,5.1]; >> y=[3.887,4.276,4.651,2.117]; >> a=polyfit(x,y,length(x)-1) a= -0.2015 1.4385 -2.7477 5.4370 >> poly2sym(a) ans = -403/2000*x^3+2877/2000*x^2-27477/10000*x+5437/1000
s=
R: [6x6 double] df: 0 normr: 2.3684e-016 mu = 0.1669 0.1499
自由度为 0 标准偏差为 2.3684e-016
例:根据表中数据进行4阶多项式拟合
X 1 3 4 4 5 2 6 1 7 1 8 2 9 3 10 4 F(x) 10 5
>> >> >> >> >>
p( x) p1x p2 x
n
n 1
pn x pn1
• [p,s]=polyfit(x,y,n) • 返回多项式系数向量p和矩阵s。 s与polyval函数一起用 时，可以得到预测值的误差估计。如数据y的误差服从 方差为常数的独立正态分布，polyval函数将生成一个误 差范围，其中包含至少50%的预测值.
1050
1000
950
900
850
800
750 20
30
40
50
60
70
80
90
100
• 例：已知年龄和运动能力的一组数据，试确定 二者的关系(根据图形指定次数)
• 年龄 17 19 21 23 25 27 29 • 第一人20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 • 第二人24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3
y 0.2015x3 1.4385x2 2.7477x 5.4370
(2)Polyval函数
• • • • • 利用该函数进行多项式曲线拟合评价 y=polyval(p,x) 返回n阶多项式在x处的值，x可以是一个矩 阵或者是一个向量，向量p是n+1个以降序 排列的多项式的系数。
• 例:已知的数据点来自函数
根据生成的数据进行插值处理，得出较平滑的曲线 直接生成数据。 >> x=0:.12:1; >> y=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x); >> plot(x,y,x,y,'o')
>> temp=[300,400,500,600]'; >> beta=1000*[3.33,2.50,2.00,1.67]'; >> alpha=10000*[0.2128,0.3605,0.5324,0.7190]'; >> ti=[321,400,571]'; >> propty=interp1(temp,[beta,alpha],ti); ％propty=interp1(temp,*beta,alpha+,ti ,’linear’); >> [ti,propty] 例 对于temp，beta 、 ans = alpha分别有两组数据与 1.0e+003 * 之对应，用分段线性插值 0.3210 3.1557 2.4382 法计算当t=321, 440, 571 0.4000 2.5000 3.6050 时beta 、alpha的值。 0.5710 1.7657 6.6489
– 命令2 interp2
• 功能 二维数据内插值（表格查找） :是对两个变量的函数 z=f（x，y）进行插值。 • 格式 ZI = interp2(x,y,z,xi,yi,’method’) • 功能：输入参数为原始数据点（x，y，z）；x，y为两个独 立向量，z为矩阵，是由x，y确定的点上的值。 • Z（i，：）=f（x，y（i））和Z（：，i）=f（x（i），y） • method计算二维插值： ’linear’：双线性插值算法（缺省算法）； ’nearest’：最临近插值； ’spline’：三次样条插值； ’cubic’：双三次插值。
Method：用于指定插值的方法，linear：线性插值（默认方 法)。Cubic三次多项插值。Spline：三次样条插值。Nearst： 最近邻插值。
• 例
>> year=1900:10:2010; >> product=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.669,... 150.697,179.323,203.212,226.505,249.633,256.344,267.893]; >> p1995 = interp1(year,product,1995) p1995 = 252.9885 >> x = 1900:10:2010; >> y = interp1(year,product,x,'cubic'); >> plot(year,product,'o',x,y)
6.7 曲线拟合
曲线拟合定义
• • • • • • • • 在实际工程应用和科学实践中，经常需要寻求 两个（或多个）变量间的关系，而实际去只能 通过观测得到一些离散的数据点。针对这些分 散的数据点，运用某种拟合方法生成一条连续 的曲线，这个过程称为曲线拟合。 曲线拟合可分为： （1）参数拟合 ---- 最小二乘法 （2）非参数拟合 ---- 插值法