高数大一复习总结

高等数学（本科少学时类型）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）

○邻域（去心邻域）（★）

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列{}n x ，证明

{}lim n x x a →∞

=

【证明示例】N -ε语言

1．由n x a ε-<化简得()εg n >，

∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦

2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞

→lim

第三节 函数的极限

○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明

()A x f x x =→0

lim

【证明示例】δε-语言

1

．

由

()f x A ε

-<化简得

()00x x g ε<-<，

∴()εδg =

2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当

00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0

lim

○∞→x 时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明

()A x f x =∞

→lim

【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>，

∴()εg X =

2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，

∴()A x f x =∞

→lim

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★）

函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大

【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或

∞→x ）

1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U

内是有界的；

（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；）

2．()0lim 0

=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的

无穷小；

（()0lim =∞

→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的

无穷小；）

3．由定理可知()()0

lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦

（()()lim 0x f x g x →∞

⋅=⎡⎤⎣⎦）

第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★）

（定理一）加减法则

（定理二）乘除法则

关于多项式()p x 、

()x q 商式的极限运算

设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--n

n n m

m m b x b x b x q a x a x a x p 1

101

10 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0

lim 0

b a x q x p x m n m n m n >=<

（特别地，当()()0

lim

x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值2

3

3

lim

9

x x x →-- 【求解示例】解：因为3→x ，从而可得

3

≠x ，所以原式

()()23

33331lim

lim lim 9333x x x x x x x x x →→→--====-+-+

其中3x =为函数()2

3

9

x f x x -=-的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第

二节）：

解：()()00

2

33323311

lim lim lim 926

9x L x x x x x x x '→→→'--===-'

- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数()x f 是定义域上的

连续函数，那么，

()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦

【题型示例】求值：9

3

lim

23

--→x x x 【

求解示例】

3

6

x →=== 第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★）

第一个重要极限：1sin lim

0=→x

x

x

∵⎪⎭

⎫

⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴