数值逼近问题详解以及精彩试题
高考数学总复习考点知识专题讲解27 逼近拟合与极值点偏移
高考数学总复习考点知识专题讲解 专题27 逼近拟合与极值点偏移知识点一：和积型拟合原理我们在解决极值点偏移问题时，通常是单个极值点，两个零点的模型，我们通过极大值和极小值类型来分类，如下： 第一类：)(x f 极小值模型如果我们需要构造0212x x x <+以及2021x x x <，我们需要找到)(x f 极值点处的先大后小的拟合函数)(x g ，如左图，且)()(43x g x g =时，一定有0432x x x ≤+或者2043x x x ≤；如果我们需要构造0212x x x >+以及2021x x x >，我们需要找到)(x f 极值点处的先小后大的拟合函数)(x g ，如右图，且)()(43x g x g =时，一定有0432x x x ≥+或者2043x x x ≥； 第二类：)(x f 极大值模型如果我们需要构造0212x x x <+以及2021x x x <，我们需要找到)(x f 的先小后大的拟合函数)(x g ，如左图，且)()(43x g x g =时，一定有0432x x x ≤+或者2043x x x ≤；如果我们需要构造0212x x x >+以及2021x x x >，我们需要找到)(x f 的先大后小的拟合函数)(x g ，如右图，且)()(43x g x g =时，一定有0432x x x ≥+或者2043x x x ≥；知识点二：不偏移拟合函数选取如果要证明一个函数极值点偏移，那么最佳拟合方案就是构造一个极值点不偏移的函数与原函数进行拟合，即构造原函数先大后小或者先小后大的拟合函数.如果我们回看高考，就会发现很多高考题都能按照不偏移函数拟合原函数，比如和型不偏移函数就是二次函数020)()(y x x a x g +-=（)(00y x ，为极值点），因为极值点所在直线就是对称轴，而积型不偏移函数就是对勾函数a y xx x x a x g 2)()(000-++=（)(00y x ，为极值点），我们分别通过高考题来解读. 1,极值点和型偏移与二次函数构造若m x f y ==)(有两个零点1x 和2x ，其极值点为)(00y x ，，要证明0212x x x >+或者0212x x x <+，我们进行以下操作：①构建二次函数200()()g x a x x y =-+； ②设()()()h x f x g x =-,利用0()0h x ''=求出01()2a f x ''=； ③根据()h x 的正负，并通过3()g x m =和4()g x m =解出3x 和4x ； ④判断并证明得出120342x x x x x +>=+或120342=x x x x x +<+．注意：如果不找点，则根据()h x 的正负和12()()f x f x =得到12()()0g x g x ->或12()()0g x g x -<，二次函数因式分解可得：1202x x x +>或1202x x x +<．【例1】（2010•天津卷）已知函数x xe x f -=)(，如果21x x ≠且)()(21x f x f =，证明：221>+x x ．【例2】(2016•新课标Ⅰ理)已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围;(II)设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明:122x x +<.【例3】（2013•湖南卷）已知函数xe xx x f ⋅+-=211)(． （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）证明：当)()(21x f x f =)(21x x ≠时，021<+x x ．2,极值点和型偏移与对勾函数构造若m x f y ==)(有两个零点1x 和2x ，其极值点为)(00y x ，，要证明2021x x x >或者2021x x x <，我们进行以下操作：①构建对勾函数a y xx x x a x g 2)()(000-++=； ②设()()()h x f x g x =-,利用0()0h x ''=求出200()a x f x ''=； ③根据()h x 的正负，并通过3()g x m =和4()g x m =解出3x 和4x ； ④判断并证明得出212034x x x x x >=或212034=x x x x x <．【例4】（2021年新高考I 卷改编）已知函数()(ln 1)f x x x =-．设a ，b 为两个不相等的正数，且b a b a a b -=-ln ln ，证明：1>ab ．【例5】（2022•甲卷）已知函数()xe f x lnx x a x=-+-．（1）若()0f x …，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则121x x <．知识点三：涉及双零点偏移的x x ln 同构函数拟合关于x x x f ln )(=，有两个零点，分别为0=x 或1=x ，这类型题除了极值点偏移问题外，还涉及与两个零点的中点，即21的偏移问题，极值点偏移可以在极值点处构造拟合的二次函数，零点的偏移则需要通过两个零点和极值点进行三点的二次函数拟合构造. 零点和型偏移与二次函数构造： ①构建二次函数()()()g x n x a x b =--；②带入点))((00x f x ，，求出n ； ③设()()()h x f x g x =-,证明()h x 的正负； ④通过3()g x m =和4()g x m =解出3x 和4x ；⑤判断并证明得出1234x x a b x x +>+=+或1234x x a b x x +<+=+．注意：如果不找点，则根据()h x 的正负和12()()f x f x =得到12()()0g x g x ->或12()()0g x g x -<，二次函数因式分解可得：1202x x x +>或1202x x x +<．【例6】（2023•河北模拟）已知函数()ln f x x x =与直线y m =交于1122()()A x y B x y ，，，两点．（1）求证：12210x x e <<；（2）证明：1221x x e<+<．【例7】（2021年新高考I 卷）已知函数()(1ln )f x x x =-． （1）讨论)(x f 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且b a b a a b -=-ln ln ，证明：e ba <+<112．【例8】（2022•武汉零诊）已知x x e x f ln )2()(-=． （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若1x ，)10(2，∈x ，（21x x <），且)ln (ln 2ln ln 21212112x x x ex x x x x -=-，证明：1211221+<+<e x x e ．知识点四：指数对数函数的常见拟合函数我们都熟知的⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+-<<->-<<+-)10(1)1(2ln )1(21)1)(1(21ln 1)1(2x x x x x x x xx x x x ，即把对数函数分别拟合为飘带函数)1(21x x -和帕德逼近112(1)()1x R x x -=+，，本文给予这两个式子的来龙去脉，虽然这两个式子都很好证明.我们根据泰勒展开， +++=212x x e x，同理 ++-=-212x x e x，我们可得221(0)21(0)2x x x e x x x e x x -⎧>++>⎪⎪⎨⎪<-+>⎪⎩①②两式相减，可得，当0>x 时，x e e x x 2>--，令t e x=，故)1(ln )1(21>>-t t t t ，同理，我们也可以推出221(0)21(0)2x x x e x x x e x x -⎧<++<⎪⎪⎨⎪>-+<⎪⎩③④，所以x e e x x 2<--，令t e x =，故)10(ln )1(21<<<-t t tt ，飘带拟合推导成功，其实很多时候会以⎪⎩⎪⎨⎧<<-->>--)0(012)0(01222x xe ex xe ex x xx或者⎪⎩⎪⎨⎧<<-->>--)0(01)0(0122x xe e x xe e xx x x形式出现，一切殊途同归.利用对数的泰勒展开 ++-=+32)1ln(32x x x x ，同理 +---=-32)1ln(32x x x x ，即22ln(1)(0)2ln(1)(0)2x x x x x x x x ⎧+>->⎪⎪⎨⎪-<-->⎪⎩①②，两式相减得：)0(211ln >>-+x x x x ，令)1(11>=-+t t x x ，则有11+-=t t x ，故)1(1)1(2ln >+->t t t t ，同理也能证明)10(1)1(2ln <<+-<t t t t . 我们得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+-<><+-)10(1)1(2ln )1(ln 1)1(2t t t t t t t t ，不妨令t x ln =，则可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-+>>-+)0(22)0(22x e xx x e xx x x（x e 帕德逼近11()R x ，）关于极值点偏移，我们通常会出现两种不同极值点，第一类是参变分离后的极值点，第二类是含参的极值点，在极值点处构造先小后大或者先大后小的拟合函数，可以整体函数构造，也可以局部的x e 和x ln 构造，我们通过模特函数xxx f ln )(=为例来阐述拟合函数构造.【例9】已知函数xxx f ln )(=，若a x f =)(有两个不同的零点1x ，2x ，且21x x <，求证：（1）求a 的取值范围．第一类：常数的极值点（2）e x x 221>+; （3）212x x e >; （4）123e x x a -<+; （5）ae x x >21第二类：含参的极值点 （6）a ax x ln 121->+（7）221ln 2a a x x +>（8）122ln a x x a -+<; （9）1221x x a<;知识点五：差型构造与拟合函数 第一类：)(x f 极小值模型如果我们需要构造3412x x x x ->+，我们需要找到)(x f 的恒大的拟合函数)(x g ，如左图，且它们共极值点；如果我们需要构造3412x x x x -<+，我们需要找到)(x f 的恒小的拟合函数)(x g ，如右图，且它们共极值点； 第二类：)(x f 极大值模型如果我们需要构造3412x x x x ->+，我们需要找到)(x f 的恒小的拟合函数)(x g ，如左图，且它们共极值点；如果我们需要构造3412x x x x -<+，我们需要找到)(x f 的恒大的拟合函数)(x g ，如右图，且它们共极值点；【例10】已知函数()ln f x x ax =-.若1x ，2x （12x x <）是()f x 的两个零点，证明：（i ）122x x a +>；（ii ）21x x -（iii ）aa a x x 3ln 2ln 212-->-【例11】（2022•湖北新协作考试)已知函数()ln f x x x =，已知函数()|()|h x f x b =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x （123x x x <<）（i ）求证：221222x x e +>；（ii 32x x be -<（e ＝2.71828…是自然对数的底数）.【例12】（2023•宁波期末）已知函数()(0)x f x e ax x =+>． （1）讨论函数()y f x =的零点的个数；（2）若函数()y f x =有两个零点1x ，2x ，证明：12||x x -<【例13】（2023•资阳月考）已知函数2()(1)xx f x a x e +=++． （1）若()f x 单调递增，求a 的取值范围；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，其中12x x <，求证：21x x e ea ->-知识点六：合理有效利用帕德逼近拟合函数 我们列举一些常见的帕德逼近，先看指数的：将)1ln(+x 向右平移一个单位后，得到x ln ，我们列举一下常见的帕德逼近：我们通过作图来分析逼近程度，我们发现，两个先大后小的逼近函数，显然222233()41x R x x x -=++，比112(1)()1x R x x -=+，的逼近效果更好，两个恒大于的，显然22145()42x x R x x +-=+，比12212(1)()85x R x x x -=-++，的逼近效果更好，帕德逼近出现在指对跨阶类型时，注意三点：第一，极值点统一，则指数平移构造，即0x x e-的帕德逼近，对数倍缩构造，即lnxx的帕德逼近；第二，帕德的阶位要统一，通常11()R x，和20()R x，（泰勒展开二阶）最多，最重要构造二次或者分式的可解方程.第三，共零点问题则构造一阶恒大或者恒小的不等式，比如含有x ex)1(-或者xx ln)1(-，涉及它们在1=x处的极值点构造，即x e和xln只能构造切线这类恒成立的不等式.【例14】（2022•甲卷）已知函数()lnxef x x x ax=-+-.用帕德逼近原理证明：若()f x有两个零点1x，2x，则121x x<.【例15】（2023•河北模拟）()ln1f x x x ax=-+有两不同的零点1x，2x（12x x<），证明：11231ax x e-+<-.【例16】（2023•浙江模拟）已知函数2()(1)ln (1)(2)f x x x a x x =-+--有两个零点 （1）求a 的取值范围；（2）记1x ，2x 为()f x 的两个零点，证明：12123x x a<+<-知识点七：高阶帕德逼近的应用通常帕德逼近都是到了0()R x 2，，1()R x 1，，现在考题越来越不讲“武德”，一步一步往高阶上靠近，我们接下来分析一下高阶的帕德逼近考题.【例17】（2023•柳州二模）已知2()22(1)f x x ax ax lnx =+-+，记()f x 的导函数为()g x ． （1）讨论()g x 的单调性；（2）若()g x 有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，证明：1233(1)x x x a ++>-．【例18】（2023•扬州期末）已知函数()()abf x x a b lnx x=-+-，a ，b R ∈． （1）若1b =-，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 不单调，且f （1）0<．()i 证明：f （a ）f +（b ）2lnab <-；()ii 若123()()()f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：132213116()()3()23ab a b x x ab a b x x b ab a ++++>+-++．【例19】（2022•浙江）设函数()(0)2ef x lnx x x=+>． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知a ，b R ∈，曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若a e >，则0b f <-（a ）1(1)2a e<-；（ⅱ）若0a e <<，123x x x <<，则2213211266e a e ae e x x a e--+<+<-．（注: 2.71828e =⋯是自然对数的底数）同步训练1.（2023•黑龙江模拟）已知函数1()ln (f x x a R ax=+∈且0)a ≠． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2a =时，若关于x 的方程()f x m =有两个实数根1x ，2x 且12x x <，求证:121x x +>．2.（2023•百校联盟）1()x e f x e x a x-=-++（a ＞0），若()f x 有两个零点x 1，x 2，试证明：121x x <3.（2021•江淮十校联考导数压轴）若不等式1)1(ln +-≥x x k x 对于)1[∞+∈∀，x 恒成立； （1）求实数k 的取值范围； （2）已知x x x f ln )(=，若m x f =)(有两个不同的零点1x ，2x ，且21x x <．求证：e mx x ->+321（其中 71828.2=e 是自然对数的底数．）4.（2021•温州一模）已知函数ax x x f -=ln )(有两个不同的零点1x ，2x ，且21x x <，71828.2=e 是自然对数的底数．（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：①aae x --<111，②2122e a ex x ->-．5.（2023•湖北模拟）已知函数2()2ln(1)(1)af x x x =+-+有两个不同的零点1x ，2x . (1) 当112x -<<-时，求证：12ln(1)1x x +>-+； (2) 求证：2212122210x x x x ++++<.6.（2023•哈尔滨月考）已知函数2()(1)(1)()x f x x e a x a R =--+∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，证明：120x x +<．7.（2023•湖北模拟）已知函数()ln f x x x =.设方程()210f x x -+=的两个根分别为1x ，2x ，求证：2122e x x e <+<.8.（2023•湖南开学）已知1()(1)ln x f x e a x -=++（1）若()f x 在定义域上单调递增，求a 的取值范围；（2）设函数()()g x f x ax =-，其中1a e≥，若()g x 存在两个不同的零点1x ，2x . ①求a 的取值范围； ②证明122x x +>9.（2023•长沙县模拟）已知221()1,()2f x x kxlnxg x ax xlnx x =--=-+．（1）不等式()0f x …对任意1x …恒成立，求k 的取值范围； （2）当()g x 有两个极值点1x ，212()x x x <时，求证：12(21)()2ae x x e -+<．10.已知()ln f x x x ax a =--，12()()f x f x =，求证：1123a x x e -+.11.（2023•河北月考）已知函数()a lnxf x x+=，a R ∈在x e =处取到极值． （1）求a ，并指出()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 与y b =有两个交点1x ，2x ，且12x x <，证明：21(41)(1)x x e be ->--．12.（2023•金华月考）已知函数21()(1)()2f x x ax ax lnx a R =+-+∈，记()()f xg x '=．（1）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若函数()g x 有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<． ①求a 的取值范围；②证明：131343x x x x a ++>．。
数值分析试题及答案解析
数值分析试题及答案解析数值分析试题一、填空题（2 0×2′）1.-=?-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足|?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是ρ(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。
【高考数学经典题型】纵向距离——切比雪夫最佳逼近线(一题多解)
1 / 6纵向距离——切比雪夫最佳逼近线已知32()6f x x x ax b =−++，对于任意实数a 和b ，总存在0[0,3]x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m的最大值. 答案：2解法一：分类讨论+绝对值不等式由题意，,a b R ∀∈，max ()f x m ≥，从而max min [()]f x m ≥.设[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为M ，记32()6g x x x ax b =−++，2'()312g x x x a =−+，12(12)a ∆=−，(0)g b =，(3)327g a b =+−.(1)若0∆≤，即12a ≥时，'()0g x ≥恒成立，()g x 在[0,3]递增，所以max{|(0)|,|(3)|}max{||,|327|}M g g b a b ==+−，所以119(|||327|)|327|222M b a b a ++−−≥≥≥(2)若0∆>，即12a <时，令'()0g x =，解得12x =−，22x =+①若0a ≤，则1203x x ≤<<，()g x 在[0,3]递减， 同(1)可得，1127(|||327|)|327|222M b a b a ++−−≥≥≥②若09a <≤，则1203x x <<≤，所以()g x 在1[0,]x 递增，在1[,3]x 递减，321()2)169g x a b a =++−−且(3)(0)g g ≤所以321max{|()|,|(3)|}max{|2(12)16|,|327|}9M g x g a b a a b ==++−−+−， 所以332211(|2(12)16||327|)|)11|22929M a b a a b a a ++−−++−−+−≥≥≥ 当9a =，2b =−时，min 2M =③若912a <<，则1203x x <<<，所以()g x 在1[0,]x 递增，在12[,]x x 递减，在2[,3]x 递增，322()2)16g x a b a =+−−−且2()(0)g x g >所以321max{|(0)|,|()|,|(3)|}max{||,|2)16|,|327|}M g g x g b a b a a b ==+−−+−，所以33221(|||2)16|)8)2M b a b a a a +++−−−+−≥≥令32()8)(912)h a a a a =−−<<，'()10h a =>， 所以()(9)2h a h >=，所以2M >综上所述，min 2M =，当9a =，2b =−时取到最小值， 所以2m ≤，即实数m 的最大值为2.解法二：分类讨论，法一的改进设[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为M ，记32()6g x x x ax =−+，则min max min 1(()())2M g x g x =− 22'()3123(2)12g x x x a x a =−+=−+−，当[0,3]x ∈时，23(2)[0,12]y x =−∈(0)0g =，(3)327g a =−.(1)若12a ≥时，'()0g x ≥恒成立，()g x 在[0,3]递增，所以min 119[(3)(0)](327)222M g g a =−=−≥，(2)若0a ≤时，'()0g x ≤恒成立，()g x 在[0,3]递减， 所以min 1127[(0)(3)](273)222M g g a =−=−≥，(3)若012a <<时，令'()0g x =，解得12x =−，22x =+①若09a <≤，则1203x x <<≤，所以()g x 在1[0,]x 递增，在1[,3]x 递减，321()2)169g x a a =+−−且(3)(0)g g ≤所以32min111[()||(3)][)11]2229M g x g a a =−=−+−≥， 当9a =，2b =−时，min 2M =②若912a <<，则1203x x <<<，所以()g x 在1[0,]x 递增，在12[,]x x 递减，在2[,3]x 递增，3 / 6322()2)16g x a a =−−且2()(0)g x g >所以32min1111[max{(),(3)}(0)][()(0)]8)22M g x g g g x g a a =−−=−+−≥， 令32()8)(912)h a a a a =−−<<，'()10h a =>， 所以()(9)2h a h >=，所以min 2M >综上所述，min 2M =，当9a =，2b =−时取到最小值， 所以2m ≤，即实数m 的最大值为2.解法三：三点控制+绝对值不等式设[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为M ，记32()6g x x x ax b =−++，则(0)g b =，(1)5g a b =+−，(3)327g a b =+−.由于2(0)3(1)(3)12g g g −+=−，且|(0)|M g ≥，|(1)|M g ≥，|(3)|M g ≥， 所以62|(0)|3|(1)||(3)||2(0)3(1)(3)|12M g g g g g g ++−+=≥≥所以2M ≥，要保证取到等号，令(0)(3)g g =，解得9a =，再令(1)(0)g g =−，解得2b =−，此时32()692f x x x x =−+−，易求得max ()2f x =，所以M 的最小值为2.所以2m ≤，即实数m 的最大值为2.解法四：三角换元法3232()6|6128(12)8|f x x x ax b x x x a x b =−++=−+−+−++3|(2)(12)(2)216|x a x a b =−+−−++−因为[0,3]x ∈，所以2[2,1]x −∈−，令22cos x t −=，[,]6t ππ∈所以3()()|8cos 2(12)cos 216|f x g t t a t a b ==+−++−cos3cos |82(12)cos 216|4t ta t ab +=⋅+−++−|2cos3(218)cos 216|t a t a b =+−++−当9a =，2b =−时，()()2|cos3|f x g t t ==，此时max ()2f x =当9a ≠或2b ≠−时，()|2|cos3||(218)cos ||216|f x t a t a b ≤+−++− 显然|2|cos3||(218)cos ||216|t a t a b +−++−的最大值大于或等于2 此时max ()2f x ≥综上所述，max min [()]2f x =，当9a =，2b =−时取到最小值， 所以2m ≤，即实数m 的最大值为2.解法五：切比雪夫切线法由题意，,a b R ∀∈，max ()f x m ≥，从而max min [()]f x m ≥.设[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为M ，32()|6()|f x x x ax b =−−−−可以看作32()6g x x x =−与()h x ax b =−−图像上点的纵向距离，则问题等价于求函数32()6g x x x =−与()h x ax b =−−图像上点的纵向距离的最大值的最小值.记(3,27)A −，连接OA ，则9OA k =−，所以直线OA 方程为9y x =−，此直线恰好与()g x 图像相切于点A ，记直线OA 为1L ，设直线2L 与1L 平行且与()g x 的图像相切于点00(,)B x y ，2'()312g x x x =−，令23129x x −=−，解得1x =或3x =，所以切点(1,5)B −，从而切线2L 的方程为94y x =−+ 所以min 4022M −==，当9a =，2b =−时取到最小值， 所以2m ≤，即实数m 的最大值为2.解法六：构造平口单峰函数32()69+(9)f x x x x a x b =−+−+，令32()69g x x x x =−+，5 / 622'()31293(1)(3)g x x x x x =−+=−−，所以()g x 在[0,1]递增，在[1,3]递减，且(0)(3)0g g ==，(1)4g =，()g x 是“平口单峰”函数， 所以max min 40[()]22f x −==，所以2m ≤，即实数m 的最大值为2. 评论与赏析：本题求函数()|()()|f x g x ax b =−+(,a b 为参数，[,]x m n ∈)最大值的最小值问题，是一类多变量双重最值问题，也是学考，高考，自招，竞赛中常考的题型，多年来一直被当做难题，原因就在于含有多个参数，题目表述上也不常规，首先在审题比较难，既有存在，又有恒成立，既有最大值，又有最小值，很多同学初读题目不知云里雾里，审题的关键是抓住“对于x 是存在，对,a b 是任意实数都成立”.第一层意思是max ()m f x ≤，这时()f x 的最大值，可以看成,a b 的二元函数(,)M a b ，注意已经没有了变量x ；第二层意思是(,)m M a b ≤对于任意的实数,a b 恒成立，即问题转化为先求关于x 的最大值，再求这个最大值关于,a b 的最小值.解法一与解法二是常规思路分类讨论，但是对基本功要求非常高，运算量很大，可以说在考场上学生用这种方法很难算到底，解法一结合绝对值不等式避免比较大小，解法二把参数b 单独分出来，结合简单图形很容易把绝对值去掉；解法三书写简洁，是做解答题的最佳书写方式，此法解题的关键是：选取三个关键的代表数进行逼近，它们分别是两个区间端点和一个区间中的点(此点最为关键，实际上就是法五中的切点B 的横坐标，也是法六中的极大值点)，用这三个点的函数值近似的表示整个区间上的函数值，然后利用绝对值不等式的性质进行放缩，消去字母,a b 得到常数，进而求出最小值，这里体现了用局部研究整体的思想方法；解法四采用三角换元，利用三角函数有界性以及绝对值不等式的性质，进而求出最小值；解法五与解法六，本质上是数形结合，其中解法五把绝对值理解成“纵向距离”，利用切线逼近，解法六作了一个代换，相当于把切线转成平行x 轴的直线，通过图形直观很容易求出最小值.相似题1已知函数1()||f x x ax b x =+−−，当1[,2]2x ∈时设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为_______. 答案：14相似题2设函数()|f x ax b =−−，若,a b R ∀∈，总0[0,4]x ∃∈，使得m x f ≥)(0成立，则实数m 的取值范围为________. 答案：14相似题3已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为,(,,0M a b R c ∈>为常数)，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则a b c ++=________. 答案：2 相似题4设函数3()|(1)|f x x ax b =−−−，其中0,a b >∈R ，则()f x 在区间[]0,2上的最大值的最小值为_________. 答案：14。
数值逼近上机练习答案
实验一1． 分别用循环型Arnoldi 算法和循环型GMRES 算法求解线性方程组Ax b =。
1000110011101111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1111b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦取2m =，初始值(0)[0,0,0,0]x T =，迭代终止条件为810ε-=。
要求输出数值近似解和迭代步数。
M-文件Arnoldi 算法function X=Arnoldi(X0,m,A,b,ep)nk=0;while (max(abs(A*X0-b))>=ep)r0=b-A*X0;n=length(b);v=zeros(n,m+1);h=zeros(m,m);p=sqrt(sum(r0.^2));v(:,1)=r0./p;for k=2:m;tmp=0;for i=1:k-1h(i,k-1)=(A*v(:,k-1))'*v(:,i);tmp=tmp+h(i,k-1)*v(:,i);endvk=A*v(:,k-1)-tmp;h(k,k-1)=sqrt(sum(vk.^2));v(:,k)=vk/h(k,k-1);endtmp=0;for i=1:mh(i,m)=(A*v(:,m))'*v(:,i);tmp=tmp+h(i,m)*v(:,i);endvm1=A*v(:,m)-tmp;hm1=sqrt(sum(vm1.^2));v(:,m+1)=vm1/hm1;e1=zeros(m,1);e1(1)=1;y=inv(h)*p*e1;z=v(:,1:m)*y;X0=X0+z;nk=nk+1;endnkX=X0;Command windows：A=[1 0 0 0;1 1 0 0;1 1 1 0;1 1 1 1]b=[1 1 1 1]'m=2x0=[0 0 0 0]'ep=1.0e-8结果：Arnoldi(X0,m,A,b,ep)nk =23ans =1.00000.0000-0.0000-0.0000GMRES算法function X=GMRES(X0,m,A,b,ep)nk=0;while(max(abs(A*X0-b))>=ep)r0=b-A*X0;n=length(b);v=zeros(n,m+1);h=zeros(m,m);p=sqrt(sum(r0.^2));v(:,1)=r0./p;for k=2:m;tmp=0;for i=1:k-1h(i,k-1)=(A*v(:,k-1))'*v(:,i); tmp=tmp+h(i,k-1)*v(:,i);endvk=A*v(:,k-1)-tmp;h(k,k-1)=sqrt(sum(vk.^2));v(:,k)=vk/h(k,k-1);endtmp=0;for i=1:mh(i,m)=(A*v(:,m))'*v(:,i);tmp=tmp+h(i,m)*v(:,i);endvm1=A*v(:,m)-tmp;hm1=sqrt(sum(vm1.^2));v(:,m+1)=vm1/hm1;H=[h;[zeros(1,m-1),hm1]];e1=zeros(m+1,1);e1(1)=1;y=pinv(H)*p*e1;z=v(:,1:m)*y;X0=X0+z;nk=nk+1;endnkX=X0;Command windowsA=[1 0 0 0;1 1 0 0;1 1 1 0;1 1 1 1]b=[1 1 1 1]'m=2x0=[0 0 0 0]'ep=1.0e-8结果：GMRES(X0,m,A,b,ep)nk =12ans =1.0000 0.0000 -0.0000 -0.00001. 用追赶法、线性插值法和双参数法求解n 阶三对角方程组Ax f =。
数值逼近上机练习答案
实验一1． 分别用循环型Arnoldi 算法和循环型GMRES 算法求解线性方程组Ax b =。
1000110011101111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1111b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦取2m =，初始值(0)[0,0,0,0]x T =，迭代终止条件为810ε-=。
要求输出数值近似解和迭代步数。
M-文件Arnoldi 算法function X=Arnoldi(X0,m,A,b,ep)nk=0;while (max(abs(A*X0-b))>=ep)r0=b-A*X0;n=length(b);v=zeros(n,m+1);h=zeros(m,m);p=sqrt(sum(r0.^2));v(:,1)=r0./p;for k=2:m;tmp=0;for i=1:k-1h(i,k-1)=(A*v(:,k-1))'*v(:,i);tmp=tmp+h(i,k-1)*v(:,i);endvk=A*v(:,k-1)-tmp;h(k,k-1)=sqrt(sum(vk.^2));v(:,k)=vk/h(k,k-1);endtmp=0;for i=1:mh(i,m)=(A*v(:,m))'*v(:,i);tmp=tmp+h(i,m)*v(:,i);endvm1=A*v(:,m)-tmp;hm1=sqrt(sum(vm1.^2));v(:,m+1)=vm1/hm1;e1=zeros(m,1);e1(1)=1;y=inv(h)*p*e1;z=v(:,1:m)*y;X0=X0+z;nk=nk+1;endnkX=X0;Command windows：A=[1 0 0 0;1 1 0 0;1 1 1 0;1 1 1 1]b=[1 1 1 1]'m=2x0=[0 0 0 0]'ep=1.0e-8结果：Arnoldi(X0,m,A,b,ep)nk =23ans =1.00000.0000-0.0000-0.0000GMRES算法function X=GMRES(X0,m,A,b,ep)nk=0;while(max(abs(A*X0-b))>=ep)r0=b-A*X0;n=length(b);v=zeros(n,m+1);h=zeros(m,m);p=sqrt(sum(r0.^2));v(:,1)=r0./p;for k=2:m;tmp=0;for i=1:k-1h(i,k-1)=(A*v(:,k-1))'*v(:,i); tmp=tmp+h(i,k-1)*v(:,i);endvk=A*v(:,k-1)-tmp;h(k,k-1)=sqrt(sum(vk.^2));v(:,k)=vk/h(k,k-1);endtmp=0;for i=1:mh(i,m)=(A*v(:,m))'*v(:,i);tmp=tmp+h(i,m)*v(:,i);endvm1=A*v(:,m)-tmp;hm1=sqrt(sum(vm1.^2));v(:,m+1)=vm1/hm1;H=[h;[zeros(1,m-1),hm1]];e1=zeros(m+1,1);e1(1)=1;y=pinv(H)*p*e1;z=v(:,1:m)*y;X0=X0+z;nk=nk+1;endnkX=X0;Command windowsA=[1 0 0 0;1 1 0 0;1 1 1 0;1 1 1 1]b=[1 1 1 1]'m=2x0=[0 0 0 0]'ep=1.0e-8结果：GMRES(X0,m,A,b,ep)nk =12ans =1.0000 0.0000 -0.0000 -0.00001. 用追赶法、线性插值法和双参数法求解n 阶三对角方程组Ax f =。
数值逼近题库(含参考答案)cool
数值逼近题库（含参考答案）习题一1.用3位数字计算出方程：的解x，y，再用6位数字计算出x与y，已知正确解为练习练习x=1,y=-1,计算结果说明什么？解：用3位浮点计算：，即得：，解得：用6位浮点计算：，即得：，解得：此例说明，在计算过程中，选取有效数字位数越多，相对误差越小，计算结果越精确。
11．将（2，4，-2，2）中的数全部列出来，且在实轴上表示出来，问总共有多少？解：(2,4,-2,2)系统中的所有正数为：共有个，再加上中的80个负数以及0，故共有161个。
15．求的误差分析。
解：其中。
16．有误差，，问的传播误差是多少？解：因为若，则，又由于：，则：当时，，当时，，当时，。
14．假设有一种算法，求可得到6位有效数字，问为了使有4位有效数字，应取几位有效数字？解：因为其中：为取近似值时的相对误差，为求开方运算的相对误差，由题设和定理1知所以：若，即对取6位有效数字时，有4位有效数字（由定理1）。
10．都是中的数，试给出的向前误差分析和向后误差分析。
解：（1）由定理5，向前误差分析为其中，。
（2）向后误差分析，仍由定理5其中：。
第二章函数的插值1．下列函数表（表18）中的数字都是有效数字。
（1）通过ctgx的函数表，进行插值，求ctg(0.0015)，并估计误差；解：先作差分表：取：又由：所以误差为：2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。
解：（1）用牛顿方法。
先作差商表：所以：（2）用Lagrange 方法化简得：（3）用内维尔方法再由：得：3．给定的函数值如表20所示，求解：先作差商表：即：故：4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。
解：先作差商表：所以，。
故：其截断误差：由于，所以5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：6．若是小量，则三个函数值应怎样线性组合，才能得到较好的的近似值。
解：由于所以：，即：。
7．证明。
证：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。
数值逼近第4章最佳逼近答案
第四章 最佳逼近1． 若],[)(b a C x f ∈，试构造相应的Bernstain 多项式。
解：作变换)()(a b t a t x -+==ϕ，则当],[b a x ∈时，]1,0[∈t ，记：]1,0[)),(())(()(∈-+==t a b t a f t f t g ϕ，则其Bernstain 多项式为：,2,1,)1()()1()(00=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=∑∑n t t C a b n i a f t t C n i g g B i n i n i ni in i n i ni n再将ab ax t --=代入上式即得)(x f 在],[b a 上的Bernstain 多项式：,2,1,)1()()(0=---⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=∑n a b a x a b a x C a b n i a f f B i n in i ni n 2. 应用恒等式1)1(3)2)(1(2+-+--=k k k k ，证明在区间[0,1]上有x nx n n x n n n x B n 2223231)1(3)2)(1()(+-+--=证明：x nn x n n n x n n n n x n nx n n n i n i x x n x n n n n i n i x x n n i n i x x n n i n i x x n nx x iC x x C i i x x C i i i n x x C i i i i n x x C n i x B n i i n i ni in i n i i n i ni i n i ni i n i n i n i in i n i n i i n i n i n i in i n i ni in i n i n 323333233333132333123303033)1(3)2)(1()1(3)!()!3()1()!3()2)(1()!()!1()1(!1)!()!2()1(!3)!()!3()1(!1)1()1()1(3)1()2)(1(1)1(]1)1(3)2)(1[(1)1()(+-+--=+-+------=---+---+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+---=-+-+--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=--=-=-=-=-=-=-=-=-4．假设],[b a C f ∈，证明f 关于0P 的最佳一致逼近多项式为：2m M +，其中：)(max ),(min ],[],[x f M x f m b a x b a x ∈∈==。
数值分析最佳习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
数学中的数值逼近方法模拟试题
数学中的数值逼近方法模拟试题在数学领域中，数值逼近是解决无法直接求解的问题的一种常用方法，通过使用数值计算的方法近似地求得解析解。
数值逼近方法广泛应用于不确定性评估、函数逼近、测量数据处理等多个领域中。
下面我们将通过模拟试题的方式，来深入了解数学中的数值逼近方法。
题目一：函数逼近假设我们需要对一个实函数f(x)进行逼近处理，下面给出了一些已知的数据点（x, f(x)）：x | -2 -1 0 1 2f(x) | 5 1 1 -1 -8请使用拉格朗日插值多项式方法，根据以上数据点的插值多项式，估算出f(0.5)的近似值。
解析：拉格朗日插值多项式是一种常见的函数逼近方法，通过构造一个n次多项式，来近似地表示原函数。
对于给定的n+1个数据点，拉格朗日插值多项式的表达式为：L(x) = f(x₀)*l₀(x) + f(x₁)*l₁(x) + ... + f(xₙ)*lₙ(x)其中，lᵢ(x)是拉格朗日基函数，其表达式为：lᵢ(x) = ∏[from j=0 to n, j≠i] (x - xₙ) / (xᵢ - xₙ)根据题目给出的数据点，我们可以计算出l₀(x), l₁(x), ..., lₙ(x)的具体值，从而得到拉格朗日插值多项式。
将x=0.5代入该多项式，即可估算出f(0.5)的近似值。
具体计算步骤如下：l₀(x) = (x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)(x - x₄) / (x₀ - x₁)(x₀ - x₂)(x₀ -x₃)(x₀ - x₄)l₁(x) = (x - x₀)(x - x₂)(x - x₃)(x - x₄) / (x₁ - x₀)(x₁ - x₂)(x₁ -x₃)(x₁ - x₄)l₂(x) = (x - x₀)(x - x₁)(x - x₃)(x - x₄) / (x₂ - x₀)(x₂ - x₁)(x₂ -x₃)(x₂ - x₄)l₃(x) = (x - x₀)(x - x₁)(x - x₂)(x - x₄) / (x₃ - x₀)(x₃ - x₁)(x₃ -x₂)(x₃ - x₄)l₄(x) = (x - x₀)(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃) / (x₄ - x₀)(x₄ - x₁)(x₄ -x₂)(x₄ - x₃)带入已知数据点计算得到：l₀(0.5) = (0.5 - (-1))(0.5 - 0)(0.5 - 1)(0.5 - 2) / ((-2) - (-1))((-2) - 0)((-2) - 1)((-2) - 2) = -0.079l₁(0.5) = (0.5 - (-2))(0.5 - 0)(0.5 - 1)(0.5 - 2) / ((-1) - (-2))((-1) - 0)((-1) - 1)((-1) - 2) = 0.316l₂(0.5) = (0.5 - (-2))(0.5 - (-1))(0.5 - 1)(0.5 - 2) / (0 - (-2))(0 - (-1))(0 - 1)(0 - 2) = -0.474l₃(0.5) = (0.5 - (-2))(0.5 - (-1))(0.5 - 0)(0.5 - 2) / (1 - (-2))(1 - (-1))(1 -0)(1 - 2) = 0.474l₄(0.5) = (0.5 - (-2))(0.5 - (-1))(0.5 - 0)(0.5 - 1) / (2 - (-2))(2 - (-1))(2 -0)(2 - 1) = -0.237计算出l₀(0.5), l₁(0.5), l₂(0.5), l₃(0.5), l₄(0.5)的值后，代入拉格朗日插值多项式得：L(0.5) = 5*(-0.079) + 1*0.316 + 1*(-0.474) + (-1)*0.474 + (-8)*(-0.237) ≈ -1.254因此，根据插值多项式的计算结果，f(0.5)的近似值为-1.254。
《数值逼近》-复习-学生版
数值逼近考试范围 .................................................................................................................................................... 1 数值逼近作业 ............................................................................................................................................................ 1 提高篇 ........................................................................................................................................................................ 6 第一套参考试卷 ........................................................................................................................................................ 6 第二套参考试卷 ........................................................................................................................................................ 7 练习试题 .. (8)数值逼近作业作业：课本P25：16，17，191．序列{}n y 满足递推关系1101,1,2,...n n yy n -=-=。
浅析高等数学“数值逼近”解题思路
泰勒公式最初的目标是使用多项式来近似呈现函数
在某点周边的情况。如将函数 f (x) = x 按（x-1）的幂
展开带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。 （下转 47 页）
-20-
百科知识 2019.09 C
为案例撰写的基础，结合教材的知识点进行必要的修改 或创造相应的情景，形成一些适合药剂专业学生的案 例。案例教学一般步骤：课前一周分发资料，让学生先 分组讨论，在老师的指导下得出结论。笔者曾经做过案 例教学法的相关课题的研究，实践证明，案例教学法 能有效激发学生的学习兴趣，培养学生独立解决问题 的能力。
四、建立多元化考核体系 学生每学习一门课程，都必须有考核环节，以此检 验其知识的掌握情况。学生是否优秀，成绩是最主要的 依据。一直以来，我校所采用的课程考核方法以平时成 绩和期考成绩作为依据，按照3 ∶ 7的比例合成最后成 绩。在学生看来，学习只是为了应付考试而已；而教师 普遍会在考试之前有一次总复习，圈一些考试重点，如 此一来，学生大多临时抱佛脚，死记硬背。实际上光凭 一张试卷，很难正确反映他们学习的真实情况，这种方
55
1 x x 2 x=21 4
x==183=，83
f，(4 ) (fx )(4=)
作者单位：桂林市卫生学校
（上接 20 页） 解：
f
1 k
=
ln
1 k
−1 >
0 ，当
k
<
1, e
x
>
1 k
有一根，0 ＜ x
ff((11))==1,1,f
( ) ′f(1′)1=
1=
2
x12− 12xx =−112=x =121
大连理工大学至第二学期数值逼近期末考试试题C
大连理工大学2004至2005学年第二学期数值逼近期末考试试题C大连理工大学课程名称：数值逼近试卷：C授课院(系): 数学系考试日期:2005年2 月28日、填空(18分)(1) [a,b]上具有n+1个求积节点的求积公式的代数精度最多为( )。
(2) 设连续函数f (x) EC[0,1 ],则它的n次Bernstein多项式为( )。
(3) 设f(x) EC[a,b],m和M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则f(x)在[a,b]上的零次最佳逼近多项式为().(4) n次直交多项式的单根个数为( )。
(5) 设"砂+ ..•<&<咏或则轧X*.%) 的一组基底为()，其中乳■矽”如)表示以、4 '■为节点的n 次样条函数的全体。
(6) N次Bezier曲线的表示式是()。
、判断题(18分)(正确的错误的X)(1) 具有n个求积节点的求积公式的代数精度至少为n-1。
( )。
(2) ［a , b］上的两个直交多项式匕和%!没有公共的根()。
(3) 4中的一个多项式p(x)成为C［a,b］中某给定函数f(x)的最佳逼近多项式必须且只需p(x)-f(x)在［a,b］上的偏离点的个数不少丁n+2( )。
(4) Simpson求积公式的代数精度是3 ( )。
(5) 设连续函数f (x) EC［a,b］ , 是其n次最佳平方逼近多项式，M・』驹顼工)( )(6) n次Chebysheff(切比雪夫)多项式在［-1 , 1］上恰有n个极大值点。
( )。
三、(10分)叙述并证明Wereistrass 第一定理。
Weierstrass 第一定理：设六对攻明,那么对丁任意给定的E>0,都存在这样的多项式相,使得四、(8分)求昭 K在［0 , 1］上的一次平■方逼近多项式。
五、(10分)确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使求积公式的代数精度最高。
(求积系数只需给出公式即可)£六泸乂/(功"与)六、(10分)求f (x)=『在［0 , 1］上的一次最佳逼近多项式。
插值逼近题库
插值 §1. 填空(1). 设P k (x k ,y k ) , k =1,2,…,5 为函数y =x 2-3x +1上的5个互异的点，过P 1,…,P 5且次数不超过4次的插值多项式是 ______ 。
y =x 2-3x +1(2). 设x 0, x 1,x 3是区间[a , b ]上的互异节点，f (x )在[a , b ]上具有各阶导数，过该组节点的2次插值多项式的余项为： ______ . R 2(x )=)(!3)(20)3(k k x x f-∏=ξ(3). 三次样条插值与一般分段3次多项式插值的区别是_____ 三次样条连续且光滑，一般分段3次连续不一定光滑。
§2. 计算题(1). (a10分)依据下列函数值表，建立不超过3次的lagrange 插值多项式L 3(x).解：基函数分别为 l 0(x)=-81x 3+87x 2-47x+1l 1(x)=xxx 3823123+-l 2(x)=x xx -+-234541 l 2(x)=xxx1218124123+-Lagrange 插值多项式 L 3(x)=∑=nk k k x l x f 0)()(=12144541123+-+-x xx.(2). 已知由插值节点(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造的3次插值多项式P 3(x)的x 3的系数为6，试确定数据y. 解：P 3(x)＝∑=nk k k x l x f 0)()(故最高次项系数为))()(()())()(()())()(()())()(()(2313033321202231210113020100x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x f ---++---++---++---带入数值解得y=4.25.(3). 设l k (x )是关于互异节点x 0, x 1,…, x n , 的Lagrange 插值基函数，证明⎪⎩⎪⎨⎧+=-===∑=111,2,..., 0,010100n j x x x n j j l x n nnk k jk ...)(,)( 证明：11101)()!()()()()(x w n fx l x x f n n knk n k ++=+++=∑ξ其中，w n +1(x )=∏=-nj j x x 0)(故当0≤j ≤n 时， ∑=nk k j k x l x 0)(=x j ,当j=n+1时，x n+1=)()()(x w x l x x f n k nk n k 101+=++=∑将x=0带入即可。
数值逼近答案以及试题
第一章 误差1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式24A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值:12222...q q π=⋅⋅⋅ 其中112,3,...n q q n +⎧=⎪⎨==⎪⎩ 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得3.141587725...π≈这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 2363. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?解: 已知4311d 10,d 1022a b --<⨯<⨯, 又0.2053210a b +=⨯,()433211110100.551010222d a b da db da db ----+=+≤+=⨯+⨯=⨯<⨯,所以a b +有三位有效数字;因为0.1047571410a b ⨯=⨯,()43321110.94710 1.1062100.600451010222d a b b da a db ----⨯=+=⋅⨯+⋅⨯=⨯<⨯所以a b ⨯有三位有效数字.6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求1211,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ⋅与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41112221211d ,d ,d =10,d 1022x y x x y x x x =+=+⨯=⨯, ()44111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---⋅=+≈⨯+⨯≈⨯.7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2.解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211d 0.5102200a a -≤==⨯.所以边长的误差不能超过20.510-⨯cm.8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''o(读到秒),试问:计算sin ϕ将有多大误差?解: ()()1d sin cos d cos 45022ϕϕϕ*''⎛⎫'''== ⎪⎝⎭o.9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式212s gt =确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ⎛⎫=====⎪⎝⎭ d s 与t 成正比,d s s与t 成反比,所以当d t 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x xδ==.11. 设x 的相对误差为%α,求nx 的相对误差.解: 1d d d %n n n n x nx x n xn x x xα-===.12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知343V R π=,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V ========,则11%3a =⋅. 第二章 函数的插值2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。
数值分析应用例题和知识点总结
数值分析应用例题和知识点总结数值分析是数学的一个重要分支，它主要研究如何用数值方法求解数学问题，包括数值逼近、数值微分和积分、线性方程组的求解、非线性方程的求解、插值与拟合等。
以下将通过一些具体的例题来展示数值分析的应用，并对相关知识点进行总结。
一、数值逼近数值逼近是用简单的函数（如多项式、分段多项式等）来近似地表示复杂的函数。
例题：给定函数＄f(x) ＝＼sin(x)＄，在区间＄0, ＼pi$ 上，用一次多项式（直线）来逼近它。
解：设逼近的一次多项式为＄p(x) ＝ ax ＋ b$。
在区间两端点，即＄x ＝ 0$ 时，＄p(0) ＝ b$，且＄f(0) ＝ 0$；＄x ＝＼pi$ 时，＄p(＼pi) ＝ a\pi ＋ b$，＄f(＼pi) ＝ 0$。
由此可得到方程组：＼＼begin{cases}b ＝ 0 ＼＼a\pi ＋ b ＝ 0＼end{cases}＼解得＄a ＝ 0$，＄b ＝ 0$，所以逼近的一次多项式为＄p(x) ＝ 0$，显然这个结果不太理想。
知识点总结：1、数值逼近的方法有很多，如泰勒展开、拉格朗日插值、牛顿插值等。
2、误差是衡量逼近效果的重要指标，包括截断误差和舍入误差。
二、数值微分数值微分是通过已知的函数值来近似计算函数的导数。
例题：已知函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 附近的三个点＄x_0 ＝09$，＄x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝ 11$ 处的函数值分别为＄081$，＄1$，＄121$，用中心差分公式求＄f'（1)＄的近似值。
解：中心差分公式为＄f'（x) ＼approx ＼frac{f(x ＋ h) f(x h)｝｛2h}＄，取＄h ＝ 01$，则：＼f'（1) ＼approx ＼frac{f(11) f(09)｝｛02} ＝＼frac{121 081}｛02}＝ 2＼而＄f'（x) ＝ 2x$，＄f'（1) ＝ 2$，可见近似效果较好。
数值分析_第三章_函数逼近与计算
有二个交错点组 ， 故 P（ x） ＝ （ M ＋ m）／２ 即为所求 畅 １］ 上不变号 ５畅 解 设 f （ x） ＝ x ，P１ （ x） ＝ ax ．f″（ x） 在 ［０ ， 且连续 ，P１ （ x） 是 f （ x） 的最佳一次逼近式 畅 因 ［ f′（ x） － P′１ （ x）］ ＝ ３ x － a 在区间内只有一个零点 （这是
３
（２） 对 f （ x） ＝ sin x 在 ０ ，
π 上求一次和三次 Bernsten 多项 ２
（２） 当 f （ x） ＝ x 时 ，Bn （ f ，x） ＝ x ．
最佳一致逼近多项式 畅
唯一 ？ ６畅 求 f （ x） ＝ sin x 在 ０ ， 计误差 畅
x
π 上的最佳一次逼近多项式 ， 并估 ２
＋
８ ３ ６ ３ ２ １ － ２ t ＋ ３t t ２ π π π
相应的 M aclaurin 级数为 比较误差 ： ‖ ２ t － sin t ‖ π
∞
２ ３ ３ １ ６ t ＋ ２ （ ３ － ２） t ＋ ３ （２０ － １２ ３） t ． t ≈ t － ＝ maxπ
∫
１ ０
x d x 的上界 ，并用 １ ＋ x
６
积分中值定理估计同一积分的上下界 ， 并比较其结果 畅 １９畅 选择 a ， 使下列积分取得最小值 ：
上求一元素 ， 使其为 x ∈ C［０ ， １］ 的最佳平方逼近 ， 并比较其结果
２
２０畅 设 Φ１ ＝ span（１ ，x） ，Φ２ ＝ span（ x
０ ≤ t≤ ２
t ． ３！
３
２ t － sin t π
＝ １１０
２ ２ ２ arccos － sinarccos π π π
承压无压渗流问题的数值逼近
［ ∑ （
ｍ ∈
＋ ∑ｇ ．］ ０ （ ｍ ＝ ｍ ） Ａ
ｍ ∈
（ ５ ２． ）
Ｖ ∈Ｒ 当 ” ∈ Ｑ ＼（ Ｕ Ｑ ） ｚ Ｑ ｉ； ＝０Байду номын сангаас当 ｚ Ｑ；Ｕ Ｑｉ ∈
∑ （ Ｉ
＋Ｉ ｍ＾＾ ＝ Ａ ｎ ｎ） ０
（．） ２ ６
Ｖ ∈ Ｒ ， ＝０ 当 ” ∈ ＱｉＵ Ｑｉ ｚ
从而有∑ （ Ｐ ＋ｅｇ） ， ∈Ｑ ＼ Ｑ ｉ ｎ ＝０ Ｖ （ ｕＱ ）
其 ＝Ｉ 中ｎｆ
， ＝Ｉ ｘ Ｐ
ｎ
作 变换 ｗ ＝ Ｐ ＋ｇ Ｖ ， ｚ∈ ＱＪ ，
ＣＨＥＮＧ ｕ － ｉｇ Ｊ ｎｍ ｎ
（ ｅ ｅ Ｕ ｉｅ ｓ ｙｏ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ Ｈ ｂ ｉ ｎ ｖ ｒｉ ｔ ｆ ｅｈ ｏｏ ｙ，Ｔ ａ ｊｎ ３ ０ ３ ， ｈ ｎ ｉ ｎ ｉ ０ １ ０ Ｃ ｉａ）
Ａｂｓｒ ｃ Ｔｈ ｉ ｔ ｌａ ｐ ｏ ｍ ａ ｉ ｒｅ ｉ ｎ ｕ ｏ ｉ ｅ ｉｔａ ｉ ｎ ｐ ｏ ｌｍ ｆａｇｅ ｒ ｄａ ｉ ｔａ ｔ ｅ ｄｇｉａ ｐ ｒ ｘｉ ｔｏｎ ｏｆａ ｔ ｓａ — ｎｃ ｎｆｎ ｄ ｆｌｒ ｔｏ ｒ ｂ ｅ ｏ ｎｅ ￣ ｍ ｓ
ｎ ｄｅ ｏ ｓ；Ｍ ｏ ｏ ｏｎ ａ ｐ ｎ ｎ ｔ ｅ ｍ ｐ ｉ ｇ； Ｃｏｎ ｉ ｕ ｕ ａ ｉ ｇ ｔｎ ｏ ｓ ｍ ｐｐ ｎ
Ｈａ ｓＷｉ ｅｍ ｔ 论 了稳态 多 孔 渗流 自由边 界 问 题 的数 值解 。笔 者考 虑 一 般 坝 的 承 压 ｎ ｌ ｌ 讨 ｈ 无 压 渗流 问题 的数值 逼 近 。
图 １ 坝 体 截 面 示 意 图
２ 问题 １的 数 值 逼 近
对 区域 ｎ进 行正 则 三 角剖 分 ， ｈ表 示 剖 分单 元 的最 大直 径 ， Ｑ 用 用 表示 节 点集 合 用 Ｑ ｉ
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第一章 误差1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式24A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值:12222...q q π=⋅⋅⋅ 其中112,3,...n q q n +⎧=⎪⎨==⎪⎩ 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得3.141587725...π≈这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 2363. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?解: 已知4311d 10,d 1022a b --<⨯<⨯, 又0.2053210a b +=⨯,()433211110100.551010222d a b da db da db ----+=+≤+=⨯+⨯=⨯<⨯,所以a b +有三位有效数字;因为0.1047571410a b ⨯=⨯,()43321110.94710 1.1062100.600451010222d a b b da a db ----⨯=+=⋅⨯+⋅⨯=⨯<⨯所以a b ⨯有三位有效数字.6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求1211,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ⋅与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41112221211d ,d ,d =10,d 1022x y x x y x x x =+=+⨯=⨯, ()44111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---⋅=+≈⨯+⨯≈⨯.7. 形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2.解: 设形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211d 0.5102200a a -≤==⨯.所以边长的误差不能超过20.510-⨯cm.8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''o(读到秒),试问:计算sin ϕ将有多大误差?解: ()()1d sin cos d cos 45022ϕϕϕ*''⎛⎫'''== ⎪⎝⎭o.9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式212s gt =确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ⎛⎫=====⎪⎝⎭ d s 与t 成正比,d s s与t 成反比,所以当d t 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x xδ==.11. 设x 的相对误差为%α,求nx 的相对误差.解: 1d d d %n n n nx nx x n xn x x xα-===.12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知343V R π=,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V ========,则11%3a =⋅. 第二章 函数的插值 2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。
解：（1）用牛顿方法。
先作差商表：所以：（2）用Lagrange 方法化简得：（3）用维尔方法再由：得：4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。
解：先作差商表：所以，。
故：其截断误差：由于，所以5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：7．证明。
证：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。
解：先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：满足上述条件的的多项式可以写成：其中A为待定系数，再由条件得：即：再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：，令：它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由所以，于是：于是所求的埃尔米特插值多项式为三样条插值和曲线拟合12．若是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上的函数，它在上是一个二次多项式，并且是已知值，又在节点上连续，这样的称为二次样条插值。
试证这样的二次样条插值有很多，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求的方程。
解：由于在每个小区间上，有3个待定系数，于是在上共有个待定系数，。
要满足的条件是：通过型值点：，共有个方程；的一阶导数连续，即共有个方程。
这样总共有个方程，而待定系数有个，于是可以有很多。
若要使它唯一确定，加上即可。
事实上：考虑在上是一个二次多项式，可以写成：，若记为未知量，则：，再由得，故，再由得：再由为已知，从而由，可求得，且由递推关系知是唯一确定的。
16．证明：贝齐尔曲线。
证：因19．证明：。
证：因为：，两边求导得：故：。
四最佳逼近6．证明的最佳一致逼近次多项式就是在上的某个次拉格朗日插值多项式。
证明：（1）若，则的最佳一致逼近次多项式就是自身。
这时在上任取个不同的点，就可以看作以这个点为插值节点的关于自身的拉格朗日插值多项式。
（2）若，且是的最佳一致逼近次多项式，则由契比雪夫定理知，误差曲线在上有至少由个点组成的交错点组，从而由介值定理知在上至少有个零点，于是就是以这个零点为插值节点的次拉格朗日插值多项式。
12．构造区间上的最小零偏差次代数多项式。
解：已知在[的最小零偏差次代数多项式为，即它是次首一多项式，且在[-1，1]上的个点处轮流取得其最大值与最小值。
对于区间，作变换，则当时，，以代入得，其首项系数为，于是是在上的次首一多项式，且在个点处轮流取得其最大值与最小值，故上的最小零偏差次代数多项式为。
15．假设是上的个互不相同的点，证明：对于任意向量，方程组有唯一解。
证明：原方程组的矩阵形式为：为证明上述方程组有唯一解，仅需证明对应的齐次方程组只有零解。
用反证法，假设对应的齐次方程组有非零解，由此令，于是对应的齐次方程组相当于，注意到已知且互不相同以及在中为奇函数，故，再加上，从而次三角多项式在中有个零点，这与引理3的性质6相矛盾。
于是原方程组有唯一解。
17．证明许瓦兹不等式，并借此证明积数满足数的3条性质。
证：取，则故：。
并由积的性质：推出：（1）且（2）（3）由于：所以：20．若连续函数列在上带权正交，且恒正，证明：对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。
证明：用反证法。
若存在个数，使广义多项式在上没有零点，由于为连续函数，故在上恒正，或恒负。
不妨设，又由恒正，故。
但由于在上带权正交，故，这与上式矛盾。
因此，对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。
第五章数值积分1.若求积公式（2）具有m次代数精度，试证明对于任意次数不超过m的代数多项式，都有。
证明：因为对，都有，从而由的线性性质以及任意有：。
结论成立。
2.证明柯特斯系数满足。
证明：（1）由，令，则故（2）由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故对零次多项式，有，即，也就是，即，由得。
3.证明柯特斯系数满足方程组：证明：由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故在区间上使用牛顿-柯特斯公式对精确成立，即：，也就是：或，写成矩阵形式即为：4．证明，若不是整数，且，则；若不是整数，且，则。
证明：因为，所以：若不是整数，且时，有成立，所以：，于是。
再由：和得：。
同理当时，，两边再减有：，即，所以若不是整数，且时，。
证毕5.假设在上连续，。
证明：存在成立证明：因在上连续，故在上必取得最大值和最小值，即当时。
又若令，则由得：。
故由连续函数的介值定理知：必存在，使，即。
6.若用复化梯形公式求积分，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？解：欲使，其中，只须，即积分区间要68等分才能保证计算结果有五位有效数字。
8．验证复化柯特斯公式和复化辛卜生公式之间存在递推关系。
解：将区间n等分，其节点，在每个小区间上采用辛卜生公式得：，以及：，于是：即：。
证毕。
13．假定在上有二阶连续导数，求证，证明：因在上有二阶连续导数，则：，两边积分得：，因在上连续，故存在，使，即：。
证毕14．给定求积公式，试决定求积系数，使之代数精确度尽可能高。
解：若求积公式对精确成立，则必满足方程组：，解之得：，由于当时，求积公式仍精确成立，但当时，求积公式不再精确成立，故该求积公式具有3次代数精度。
第二章函数的插值2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。
解：（1）用牛顿方法。
先作差商表：所以：（2）用Lagrange 方法化简得：（3）用维尔方法再由：得：4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。
解：先作差商表：所以，。
故：其截断误差：由于，所以5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：7．证明。
证：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。
解：先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：满足上述条件的的多项式可以写成：其中A为待定系数，再由条件得：即：再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：，令：它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由所以，于是：于是所求的埃尔米特插值多项式为三样条插值和曲线拟合12．若是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上的函数，它在上是一个二次多项式，并且是已知值，又在节点上连续，这样的称为二次样条插值。