无穷限的反常积分课件

当 p≤1 时, 反常积分发散 .
a

f ( x ) dx F ( x) F () F (a) a
b f ( x) dx F ( x) F (b) F () f ( x) dx F ( x) F () F ()
b
无穷限的反常积分的几何意义-----求开口曲边梯形面积 1 例 求曲线y 2 和直线x 1及x轴所围成的开口曲边梯形的面积 x 利用定积分曲边梯形的面积的求法， 可记作
A
dx
1
x
2
其含义可理解为
A lim
b 1

b
dx 1b lim 2 b x 1 x
1 y 2 x A
1
b
1 lim 1 1 b b
dx . 例1. 计算反常积分 2 1 x

0 dx dx dx 解: 1 x 2 1 x 2 0 1 x2 2[ arctan x ] 2 0 2
箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初
速度 v0 至少要多大？
解 设地球半径为 R,火箭质量为 m,地面上的重 力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心 x R 处火箭所受的引力为
mgR2 F , 2 x
于是火箭从地面上升到距地心为 r R 处需作功
mgR2 1 2 1 . R x 2 dx mgR R r

f ( x ) dx b a
b
这时称反常积分 就称反常积分
b
a
f ( x) dx 收敛 ; 如果上述极限不存在,
a
f ( x) dx 发散 .
b
类似地 , 若 f ( x) C ( , b] , 则定义
f ( x ) dx f ( x) dx alim a
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
若 F ( x) 是 f ( x)的原函数 , 引入记号
F () lim F ( x) ;
x
F () lim F ( x)
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
y
y
1 1 x 2
o
x
思考:
x dx 1 x 2 0 对吗 ?


x dx 1 2 ln(1 x ) 分析: 2 1 x 2
= - 原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
例2. 讨论第一类 p 积分 a
1 2 mv0 mgR. 2
r百度文库
R
O
v0 2gR 11.2 (km / s).
定义1. 设 f ( x) C [a , ),取 b a , 若
f ( x ) dx b a lim
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
b
a

f ( x) dx lim
a
当 p ≠ 1 时有 1 p b dx x
b1 p a1 p lim lim [ ] b b 1 p 1 p 1 p a xp
1 p a p 1 , p 1
, p 1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 ,
r
当r
时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地
r
球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为
的积分
2 r mgR mgR 2 dx lim dx mgR. 2 2 R r x x

R
r dr
由机械能守恒定律可求初速度 v0 至少应使
用g 9.81(m/ s2 ), R 6.371106 (m)代入，得
第四节 反常积分
无穷限的反常积分
第十二章
熟悉常义积分
b
a
积分区间是有限 f ( x)dx 被积函数是有界的
将这两种限制曲线
积分区间是无限
反常积分 (广义积分)
被积函数是无界的
很多实际问题往往需要突破这些限制，考虑无 穷限上的“积分”或无界函数的“积分”.
引例(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火

证:由反常积分的定义有 b 1 p dx x
dx p a 0 的敛散性. x
a
a
lim p b 1 p a x
当 p = 1 时有

b dx b dx lim lim ln x lim[ln b ln a] a b x b a x b
若 f ( x) C ( , ) , 则定义
f ( x) dx lim f ( x) dx f ( x) dx alim a b c
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称

c b
f ( x) dx 发散 .