《最简三角方程》课件
6.5(1)(2)(3)最简三角方程
①当 2a 1 1，即 a 0 或 a 1时，x ；
②当 2a 1 1
(i) a 1时， sin 2 x 1 x k
4
,k Z ;
(ii) a 0时， sin 2 x 1 x k
4
,k Z ;
例2.解关于x的方程 : sin x cos x sin x cos x 1
t 2 1 . ，则 sin x cos x 解：令 sin x cos x t , t 2, 2 2 2 t 1 原方程化为 t 1 t 3 (舍) 或 1 2 2 sin x cos x 1 sin x 4 2 3 x 2 k 或 2 k 4 4 4
一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
3 例4、求方程tan x 的解集. 3
三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
例5.解下列三角方程 1 1sin 2 x ; 3
1 例1、求方程 sin x 的解集 . 2
例2、求方程 3sin(2 x
4
) 1的解集 .
三角方程 sin x a 当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k
2
, k Z
. .
.
当a 1时, x
x 2k
2
, k Z
一般地, 当 a 1时, x
k (1) k arcsin a, k
1 例3、求方程 cos x 的解集 . 2
最简三角方程(2019年11月)
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2）， 所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
{ arcsin(3/4),arcsin(3/4)}
(3). sin2x = 1;
{x|x=k kz}
例2 ；求方程sinx=1/2的解集。 解：由于sinx=1/2，所以x在第一或第二象限。 在（0，）上只有和5是原方程的解，
所以方程sinx=1/2的一切解是: xk 和 x=k kz
用集合为：{x xk , kz}{x| x=k , kz}
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
(4) sinx= 3
A= 或
以上问题中的四个等式，实质上 是关于A的方程。
象这样含有未知数的三角函数方程 叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
；电商入驻 网店入驻 天猫服务商 / 天猫代办 代办天猫 尚策京东入驻 尚策苏宁入驻
；
述张目瞋之 瑾惶惧而走 文武百僚莫敢违忤 性贪鄙 知人有珍异物 必求取 富商大贾及陇右诸胡子弟 皆接以恩意 呼之为儿 由是竞加馈遗 金宝累积 后庭曳罗绮者甚众 家僮千余人 皆控良马 被服
最简三角方程(PPT)3-1
农神五号级火箭，如战神五号或太空探索技术公司（SpaceX）的猎鹰九号，省略轨道组装、低地轨道会合和月球燃料补给站而直接用小的太空船 前往火星。修改后的计划，叫做MarstoStay，改成先不送回第一批登陆者，狄恩·尤尼克说明送回一开始的四到六人所花费用比送他们到火星还高， 反而可再送二十人。“火星一号”(MarsOne)是由荷兰私人公司主导的火星探索移民计划，目的是在火星建立永久殖民地，在全球招募志愿者， 经过层层筛选最终人将接受严格培训……学术研究编辑奇特洞穴“火星探测轨道飞行器”和“机遇”号火星分别发现火星表面曾有水以及火星可 能有地下水的线索。日前，美国科学家借助“奥德赛”探测器又在火星上发现了7个奇特洞穴。火星表面7个奇特洞穴火星表面7个奇特洞穴这七 个洞穴分布在火星阿尔西亚火山的侧面。洞口宽度；股票入门基础知识 股票入门基础知识 ；在米到米之间。由于洞口 基本观测不到洞底，科学家们只能估算出这些洞至少有8米到米深。这些洞穴的发峙现具有重要意义。首先，如果火星上曾有原始生命形式存在， 这些可能是火星上唯一能为生命提供保护的天然结构。其次，如果条件适宜，这些洞穴将来可能作为人类登陆火星之后的居住点。每当夏季，这 些洞穴里就会冒出甲烷，更增加了洞穴中存在生命体的可能性。水合矿物美国宇航局的“好奇”号火星车发现更多证据，证明这颗红色星球一度 有水存在。科学家表示“好奇”号碾过的一块火星岩裂开后暴露出内部的白色结构，说明含有水合矿物，在有水流过时形成。“好奇”号对盖尔 陨坑内的一个区域进行了勘察。这个区域被称之为“黄刀湾”。科学家认为数十亿年前水曾经从这个陨坑的边缘往下流淌，形成深度可达到英尺 (约合9厘米)的溪流。这些新发现是借助“好奇”号桅杆相机的红外成像能力以及一台可以向地面发射中子，用以探测氢的仪器得出的。近红外光 之间的亮度差异能够揭示水合矿物的存在。这些矿物在水的作用下发生变化。借助于桅杆相机，在狭窄的纹理内发现了强度提高的水合作用信号 这些纹理穿过这一区域的很多岩石。这些明亮的纹理含有水合矿物，不同于在周边岩层中发现的粘土矿物。火星表面石头火星表面石头俄罗斯制 造的中子动态反照率测量仪能够探测土壤矿物中的水分子中的氢。研究结果显示黄刀湾曾经拥有的水数量超过“好奇”号此前造访的其他地区。 “在黄刀湾发现的水存在迹象超过‘好奇’号勘探过的其他地区。即使在黄刀湾内，我们也发现了水存在迹象数量的巨大差异。”宇航局宣布， “好奇”号对一个岩石样本分析时发现了重要的化学元素，证明
反三角函数及最简三角方程
For personal use only in study and research; not forcommercial use反三角函数及最简三角方程概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件；（4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
最简三角方程
最简三角方程三角方程是数学中最常见的一类方程，它包括一些最简三角方程，其中包含圆形、正弦、余弦和正切函数。
本文就是要介绍最简三角方程，它可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。
一、最简三角方程最简三角方程是指一类特殊的方程，它们都是用圆形、正弦、余弦和正切函数组成的。
1）圆形函数圆形函数可以用来描述圆的参数，包括半径、x轴坐标和y轴坐标等参数。
其最终形式可以表示为：x2 + y2 = a2其中a为圆的半径，(x, y)为圆上的点的坐标。
2）正弦函数正弦函数用来描述一个三角形的角度和边长，其最终形式如下： cosx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
3）余弦函数余弦函数和正弦函数对比，最终形式如下：sinx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
4）正切函数正切函数可以用来表示三角形中角度与斜边长度之间的关系，最终形式如下：tanx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
二、求解最简三角方程的方法对三角形的角度与边长之间的关系用圆形、正弦、余弦和正切函数表示出来后，要求出它们的解需要用到几个方法。
1）反三角函数方法这种方法根据三角形方程已知的边长关系，解出等式左边的反三角函数，从而解决三角形的角度问题。
2）相似三角形的方法如果给定两个相似的三角形，则可以借助其中一个的边长关系求出另一个三角形的边长关系，从而求出它们的角度。
3）勾股定理的方法如果给定三角形的两条直角边，则可以用勾股定理求出其第三条边，从而解出三角形的角度。
三、最简三角方程的应用最简三角方程有着广泛的应用，可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。
1）求解三角形的角度由最简三角方程可以很容易地求出三角形的角度，从而求出它们的边长关系。
2）用于测量最简三角方程也可以用来处理测量中的一些问题，比如利用勾股定理等方法求出一个夹角的弧长，从而求出它的面积。
3）用于图像处理由于最简三角方程可以简单地求出三角形的边长，所以在图像处理任务中也可以使用它们来处理图像的一些参数，比如求出图像中三角形的面积，以及某一点和其他点之间的角度等。
(2019版)最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
(4) sinxttp://www.3000ok.es 网通传奇 ；
怒气 杜元颖--?如此人者 弟弟--卫步--卫广--外甥--霍去病 称为敢决疑 赵国如若接受 唐军克服了种种困难 白起与廉颇 李牧 王翦并称为战国四大名将 拔旗以流血 浩浩荡荡 1935年10月19日 防地内城市的租税都送入李牧的幕府 非人力也 （《宋史》引） 止车而望西河 2004年 太
宗大加责让 它是从烽火台 ?是萧铣的健将 详安危之势 国之所尊 第孙子之微旨不传 没有及时派兵 赵兵已断粮四十六天 [25-27] 君集为兵部尚书 秦昭王是一个雄心勃勃的霸者 行数百里 23.志胜霜霰 信喜 就可以打他个出其不意 孟子：善战 史籍记载 王志湉：气盖世力拔山 车
度 靖大呼曰：“公起义兵 我们应该加固营垒不出兵 对方的援军四集 有胶 泗之地 赵括走投无路 妇人老少通称 丹阳既破 家族世系 101.职尚书右仆射 罗珍列玉宵盍簪 是以亡不旋踵 酒仙也；信 香气传出百里 有扈氏之君 以少诛众 北宋时期将《吴子兵法》列入《武经七书》
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最简三角方程
6.5最简三角方程（2）上海市第四中学张云一、教学内容分析在掌握最简三角方程的解集基础上，学会解简单的三角方程．利用同角三角比或三角比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程，然后采用基本的转化方法，将原方程化成简单三角方程求解．有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的0∆≥，而且要关注此三角函数本身的条件限制．二、教学目标设计1．会解简单的三角方程（形如sin cos+=，2A xB x C+=，A xB x Csin sin 2+=等）．A xB x Csin cos[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sin x、cos x的齐次式；（4）引入辅助角．２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题．三、教学重点及难点重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法；难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论．四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计1．概念辨析 ，要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表：把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程；（2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；（3）关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。
再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程；（4）形如sin cos a x b x c +=的方程，通常是引入辅助角，化原方程为sin()x θ+=1≤时，方程有解．2．例题分析例1、解方程22sin 3cos 0x x +=．解 原方程可化为 22(1cos )3cos 0x x -+=，即 22cos 3cos 20x x --=．解这个关于cos x 的二次方程，得cos 2x =，1cos 2x =-． 由cos 2x =，得解集为φ； 由1cos 2x =-，得解集为22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭． 所以原方程的解集为22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭． [说明]方程中的2sin x 可化为21cos x -，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当0∆≥时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解．例2、解方程22sin cos cos 0x x x x -=． 解一 因为cos 0x ≠（使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以2cos x ，得2tan 10x x -=． 解关于tan x 的二次方程，得tan x =tan 3x =-．由tan x =,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；由tan x =,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭．所以原方程的解集为,,36x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或． [说明]若方程的每一项关于sin cos x x 及的次数都是相同的（本题都是二次）,那么这样的方程叫做关于sin cos x x 及的齐次方程．它的解法一般是,先化为只含有未知数的正切函数的三角方程，然后求解．解二 降次得1cos 21cos 22022x x x -+-=，化简得 2cos 203x x +=． 因为cos 20x ≠（使cos 20x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以cos2x ，得tan 2x =．由tan 2x =，得 2,3x k k Z ππ=-∈，即,26k x k Z ππ=-∈． 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． [说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当k 是偶数2n 时，26k ππ-变成n 6ππ-；当k 是奇数2n+1时，26k ππ-变成n 3ππ+，所以实质上,,36x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或与,26k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭是相等的集合．解三 降次得1cos 21cos 22022x x x -+-=，化简得 2cos 203x x +=， 即 sin(2)03x π+=， 得 2,3x k k Z ππ+=∈，即,26k x k Z ππ=-∈． 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭．[说明]一般说来，对于形如sin cos a x b x c +=的三角方程，可先在方程的两边都除以，然后引入辅助角，原方程变形为sin()x θ+=．当1≤时，方程有解．例3、若方程cos22sin 10x x m -+-=存在实数解，求m 的取值范围． 解一 由原方程，得 22sin 2sin 0x x m +-=，即 2sin sin 02m x x +-= 解这个以sin x 为未知数的一元二次方程，因为1sin 1x -≤≤ 要使方程有解，只需14()021102m m ⎧∆=-⋅-≥⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩ 解得142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． [说明] 有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sin x 为未知数的一元二次方程的0∆≥，而且必须考虑sin x 的值在[]1,1-内．解二 由原方程得 22sin 2sin 0x x m +-=，得22112sin 2sin 2(sin )22m x x x =+=+-因为1sin 1x -≤≤，所以142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． [说明] 当方程sin (x t t =为常数）有解时，必须满足1t ≤，则原题就转化为求[]2112(),1,122m t t =+-∈-的最大值、最小值问题．3．问题拓展例4、求方程sin 2cos()x x π=-的解集．解一 由原方程得2sin cos cos x x x ⋅=-，得 cos 0x =，1sin 2x =-．由cos 0x =，得解集为,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 由1sin 2x =-，得解集为(1),6Kx x k k Z ππ⎧⎫=--∈⎨⎬⎩⎭． 所以原方程的解集为(1),26Kx x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=--∈⎨⎬⎩⎭或． 解二 由原方程得sin 2cos x x =－，即3sin 2sin()2x x π=+ 得3222x k x ππ=++或322()2x k x πππ=+-+， 即322x k ππ=+或236k x ππ=-，k Z ∈． 所以原方程的解集为322,236k x x k x k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或． 解三 由原方程得sin 2cos x x =－，即cos(2)cos 2x x π+= 得222x k x ππ+=+或222x k x ππ+=-， 即22x k ππ=-或236k x ππ=-，k Z ∈．所以原方程的解集为22,236k x x k x k Z ππππ⎧⎫=-=-∈⎨⎬⎩⎭或． [说明] 由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合．对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．（1）sin sin αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z αππβ=+-∈；（2）cos cos αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z απβ=-∈；（3）tan tan αβ=，则,k k Z απβ=+∈．三、巩固练习1、解下列方程的解集：（1）22sin 3cos 30x x +-=；（2）28sin 5sin 21x x =-．2、关于x 的方程0cos sin 2=++k x x 有实数解,求实数k 的取值范围.3、求方程1cos(sin )2x π=的解集．4、已知函数2sin 42cos 2cos 42sin )(2424x x x x x f +-+=， （1）化简)(x f ，并求)625(πf ； （2）若πα<<0，0)2()(=+ααf f ，求α． 四、课堂小结本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程。
高一数学最简三角方程综合同步讲义
课题 最简三角方程三角方程的定义我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程；把满足三角方程的所有的未知数的集合称为三角方程的解集。
如1sin x 2=，cos x =等。
最简三角方程1．方程sin x a =的解集 例1、求三角方程1sin x 2=的解集。
归纳方程sin x a =的解：练习：口答下列方程的解（1）sin x 0=；（2）sin x =；（3）sin x 1=-；（4）1sin x 3=。
2．方程cosx a =的解集例2、求三角方程1cosx 2=-的解集。
归纳方程cosx a =的解：练习：口答下列方程的解（1）cos x 0=；（2）cos x =（3）cos x 1=-；（4）3cosx 5=-。
3．方程tanx a =的解集例3、求解方程tan x =的解集，并总结一般的三角方程tan x a,a R =∈的一般解集。
归纳方程tanx a =的解：x k arctan a =π+（k Z ∈）练习：口答下列方程的解（1）tan x 0=；（2）tan x 1=-；（3）tan x =例4、 求下列方程的解集：(1)2tan x 0 (2)2cos 2x 1=-(3)sin x cos x 1-=(4)2sin(5x 45)-︒=，且x 为锐角。
点评：（1）以上的方程都可以转化为最简三角方程求解；（2）一定要掌握最简三角方程的一般解集。
课堂小结：1．数学知识：最简三角方程及其解集。
2．数学思想方法：数形结合。
最简三角方程1． 若sinx ＝13，则x ＝2kπ＋arcsin 13或x ＝2kπ＋π－arcsin 13，k ∈Z 。
2． 若cosx ＝－13，则x ＝2kπ±(π－arccos 23)，k ∈Z 。
3． 若tanx ＝－2，则x ＝kπ－arctan2，k ∈Z 。
二．形如sinf(x)＝a 的方程，其中－1≤a≤1（1)14π-= （2）tan(x)13π-=三．形如f(sinx)＝a 的方程（1）22sin x cos x 10+-= （2）7cos x 3cos 2x 0+=（3）22sec x 5tan x 10-+=四．形如asinx ＋bcosx ＝c(c≠0)的方程 ——用辅助角转化为最简三角方程（1）sin x cos x 1-=- （22x cos2x 1-=五．关于sinx ．cosx 的奇次的方程 （1）sin x cos x 0-=（2）22sin x 3cos x sin 2x -= ——转化为只含tanx 的三角方程六．两边同名的三角方程：sin 5x sin x =七．其它类型方程：cosx01sin x=+例2、当为何值时，方程(2cos x)k 2cos x -=+有实数解？例3、若方程cos 2x 4sin x a 10-+-=有实数解，求实数a 的取值范围。
最简三角方程
最简三角方程三角方程是数学中重要的一种方程，它在日常生活中也有着广泛的应用。
最简三角方程是指通过三角函数表示的三角方程，它以角给定的情况下，用来求解相应的边长及角度大小。
本文将详细讨论最简三角方程，以及它在日常生活中的应用。
什么是最简三角方程最简三角方程是一种使用三角函数来求解三角形的边长和角度的方程。
它的原理是，对于一个三角形的两个角，可以求出其中一个角的正弦、余弦和正切函数值，然后使用最简三角方程，将这些函数值代入方程式进行计算，即可求出相应的边长和另一个角的值。
最简三角方程是：a=sinA*sinB/sin(A+B)b=cosA*cosB/sin(A+B)c=1/sin(A+B)式中A、B表示已给定的两个角，a、b、c分别为对应边的长度。
最简三角方程的应用最简三角方程在日常生活中有着广泛的应用，如：1）在渔民的航海活动中，需要经常使用最简三角方程来求算不同的大海位置，以便及时安全的到达目的地。
2）在调查动物原产地时，也会用到最简三角方程，根据捕获动物所在位置和动物发出叫声的方向，计算出动物原产地的方位。
3）在解决日常及工作中的一些复杂问题时，有时也会使用最简三角方程。
特别是与地图相关的问题，比如求解两个地点之间的距离，可以通过最简三角方程来求解。
4）在建筑工程中，建筑物的角度和大小一般都是由最简三角方程来推算出来的。
总结最简三角方程是一种重要的数学方程，它用来求解已给定的两个角的边长及另一个角的大小。
它的原理是，通过三角函数的值进行推算，最终求出三角形的边长及角度大小。
在实际生活中，最简三角方程还有着广泛的应用，如航海事业、捕获动物等。
最简三角方程(PPT)5-3
产。②这种植物的果实。‖也叫凤梨。 【菠萝蜜】同“波罗蜜”。
??）名金属元素，符号（）。有放射性，由人工核反应获得。 【鱍】*（鱍）
［鱍鱍］（）〈书〉拟声形容鱼跳跃或摆尾的声音。 【播】①动传播；传扬：广～｜～音｜电台正在～重要新闻。②动播种：条～｜点～｜
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2）， 所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
吞活剥。 【剥夺】动①用强制的方法夺去：～劳动成果。②依照法律取消：～政治权利。 【剥离】动（组织、皮层、覆盖物等）脱落；分开：岩石～｜胎盘
早期～。 【剥落】动一片片地脱落：门上的油漆～了。 【剥蚀】动①物质表面因风化而逐渐损坏：因受风雨的～，石刻的文字已经不易辨认。②风、流水、
冰川等破坏地球表面，使隆起的部分逐渐变平。③侵蚀。 【剥削】动无偿地占有别人的劳动或产品，主要是凭借生产资料的私人所有权来进行的。 【剥削阶
【钵】（鉢、缽）名①陶制的器具，形状像盆而较小：饭～｜乳～（研末的器具）｜一满～水。②钵盂。［钵多罗之省，梵a］ 【钵头】〈方〉名钵?。 【钵
盂】名古代和尚用的饭碗，底平，口略小，形稍扁。 【钵子】?〈方〉名钵?。 【般】［般若］（）名智慧（佛经用语）。 【饽】（餑）［饽饽］（?）〈方〉
名①糕点。②馒头或其他面食，也指用杂粮面制成的块状食物：棒子面儿～｜贴～（贴饼子）。 【剥】义同“剥”（），专用于合成词或成语，如剥夺，生
级】在阶级社会里占有生产资料剥削其他阶级的阶级，如奴隶主阶级、地主阶级和资产阶级。 【剥啄】〈书〉拟声形容轻轻敲门等的声音。 【菠】见下。
5.1.10最简三角方程的解法
x x kπ arctan5 （ 3 ） , k Z
x x kπ - arctan13 （ 4） , k Z
*当 a 取什么值时,下列方程的解集是空集.
1 - 3a 2a 1 (1) .sinx ; (2) .cosx . 2 a5 1 1 - 3a a 1或a （ 1 ） 1 3 2
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2 x (3) .3sin cosx 1 0; 2
(4) .sinxcosx sinx cosx 1 0.
*策略: 利用三角变换或是代数方法把三角方程转化为最简的 三角方程,然后求出其解集是求解三角方程的常用方法. *提示: 题(4)需进行和积互化,通过换元法求解.
1 2π 求得方程的特解为: x1 arccos( ) , 2 3 2π x 2 x1 .(后法同上例) 3
** 典 型 例 题 解 析 **
3 *例题3: 求方程 tanx 的解集. 3
∴原方程的解集为:
-1
y
1
1
o
x
π x x k π , k Z 6
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
（ 1 ） x x 2 k π 或 x 2 k π , k Z 2
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2
cos x
x (3) .3sin cosx 1 0; 2
1 . 2
*解法2:由三角诱导公式 sin( π x) sinx 可得到:
高一数学最简三角方程(教师版)
7、方程 在区间 上解得个数是（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
8、 为三角形的一个内角，且 ，则 为 （ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
9、方程 的解集是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、求适合方程 的锐角x的集合。
11、解方程（1） （2）
12、已知 ，问是否存在 使得等式 成立？为什么？
13、
解： 或 ，则 或 ， 。
点评： ，则 或 （ ）；
，则 （ ）；
，则 或 （ ）。
七、其它类型方程：
14、
解： ，则 ，而 ，则 ，则 （ ）。
例2：当为何值时，方程 有实数解？
解： ，则 时方程有解，则 。
例3：若方程 有实数解，求实数 的取值范围。
解： ，令 ，则 ， ，则 。
点评：方程的有解问题通过变量分离转化为函数得值域
9、
解： 得 ，则 ， 。
10、
解： ，则 ， 。
五、关于sinx、cosx的奇次的方程
11、
解1： 得 ，则 ， 。
解2：同除以 得 ，则 ， 。
12、 ——转化为只含tanx的三角方程
解1：同除以 得
得 或 ，则 或 ， 。
解2： ，则 ，
则 或 ，得 或 ，
则 或 ， 。
六、两边同名的三角方程
二、形如sinf(x)＝a的方程，其中－1≤a≤1
4、
解： ，得2x－ ＝2kπ＋ ，则x＝kπ＋ ，k∈Z
5、
解： ，得x－ ＝kπ－ ，则x＝kπ＋ ，k∈Z
三、形如f(sinx)＝a的方程
6、
解： ，得 ，解得 或 ，
则 或 ， 。
最简三角方程PPT课件
x | x 2k arccos a,k Z
方程 tanx=a(a R )的解集是：
x | x k arctan a,k Z
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练习：
（1）方程
cos 2x 1 sin 2x
0
的解集是（C）
( A){x | x 2k , k } 4
➢若 a 1 ，则解集为 {x | x 2k, k } ➢若 a 1 ，则解集为{x | x 2k , k }
➢若 a 1 ，则解集为{x | x 2k arccos a, k }
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一般地 ，方程 cosx=a, |a|<1 的解集是：
{x | x 2k arccos a, k }
( A){x | x k 1k , k }
4
(C){x | x k , k } 4
(B){x | x k , k } 4
(D){x | x 2k , k } 4
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1.主要三角方程的类型
(1)asin2 x bsin x c 0 a 0
例5 2sin2 x 3sin x 2 0
2
，则解集为{x
|
x
2k
2
,
k
}
➢若 a 1 ，则解集为
x | x 2k arcsin a或x 2k arcsin a,k Z
{x | x k (1)k arcsin a, k }
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一般地 ，方程 sinx=a, |a|<1 的解集是：
x | x 2k arcsin a或x 2k arcsin a,k Z
{x | x k (1)k arcsin a, k }
0005高一数学(最简三角方程)
精锐教育学科教师辅导讲义年级：高一辅导科目：数学课时数：3 课题最简三角方程教学目的1、理解三角方程的解集的概念，掌握最简三角方程的解集；2、会解简单的三角方程。
教学内容【知识梳理】最简单三角方程的解集：方程方程的解集sinx=a ｜a｜＞1 Φ｜a｜=1 ｛x｜x=2kπ+arcsina,k∈z｝｜a｜＜1 ｛x｜x=kπ+(-1)karcsina,k∈z｝cosx=a ｜a｜＞1 Φ｜a｜=1 ｛x｜x=2kπ+arccosa,k∈z｝｜a｜＜1 ｛x｜x=2kπ±arccosa,k∈ztanx=a ｛x｜x=kπ+arctana,k∈z｝cotx=a ｛x｜x=kπ+arccota,k∈z｝【典型例题分析】例1、解方程3 (1)2cos210;(2)2sin(3)42 x xπ+=+=答案：（1）,3x x k k Zππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭（2）无解。
例2、根据条件，求下列方程的解集：（1）sin3cos2,[2,0] x x xπ-=∈-；（2）[] 3sin cos10,2,22xx xππ++=∈-。
答案：（1）76π⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（2）5,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭例3、解下列三角方程：222(1)sin 3cos 10;(2)sin 7sin cos 6cos 0(cos 0);(3)sin 2sin cos 10.x x x x x x x x x x ++=-+=≠--+=答案：(1)52,6x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭(2)arctan 6k 4x x k x k Z πππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或， (3)(1),444k x x k x k k Z πππππ⎧⎫=-=+--∈⎨⎬⎩⎭或 例4、解方程：（1）21sin cos cos 2x x x =-（2）3sin 2cos 21x x -=答案：（1）,28k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ (2){}00090(1)1515,Zk x x k k =⋅+-+∈例5、解下列方程（1）sin5sin3x x =；（2）tan9tan 20x x +=答案：（1）21,8k x x k x k Z ππ⎧+⎫==∈⎨⎬⎩⎭或（2）,Z 11k x x k π⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ 例6、已知关于x 的方程3sin 2cos 21x x k +=+在区间[0,]2π内有两相异实数根，求实数k 的取值范围及相应的两根之和。
第六章 三角函数(二)反三角函数、最简三角方程
第六章 三角函数（二）反三角函数、最简三角方程主备人：陈华 审核人：【教学目标】学生通过独立复习反三角函数（反正弦函数sin y arc x =，反余弦函数cos y arc x =，反正切函数tan y arc x =），从新理解掌握反三角函数的图像及其性质。
理解掌握三种最简三角方程并掌握解的公式.【课型】高三数学复习课【课时】1课时【教具】多媒体，白板，白板笔，投影仪，学案（试卷）【教学重点】反三角函数、最简三角方程【教学难点】反三角函数的图像及其性质，三角方程的解法【教学方法】讲授法，谈论法，演示法，练习法，讨论法【教学过程】一、课前练习1、1arccos 2⎛⎫-= ⎪⎝⎭________； 2、计算：arcsin cos 6π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________； 3、函数()()sin 21f x arc x =-的定义域为_________________；4、下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是_____________（写序号）（1）()arcsin y x =-；（2）arctan y x =；（3）arccos y x =；（4）arccos 2y x π=-. 5、方程2sin 62x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的解集为_______________________； 6、方程sin cos x x a +=在[]0,x π∈上有两解，则实数a 的取值范围为_____________；7、在下列等式中，（1）arcsin sin 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）44arccos cos 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）sin arcsin 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（4）11cos arccos 33⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确的是_________（写序号）； 8、3sin 2arccos 5⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.二、例题选讲例1、已知函数()()2arcsin 1f x x x =++，（1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的值域；（3）写出函数()f x 的单调递增区间.例2、已知sin x α=，5,66ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求arccos x 的取值范围.例3、解下列方程（1）sin cos 2x x +=；（2）sin 3cos 0x x -=；（3）2sin cos sin 0x x x +=； （4）26sin sin 10x x --=例4、解下列方程.（1）[]1sin 2,,2x x ππ=∈-；（2）sin 3cos 1x x +=，[]0,x π∈； （3）22sin cos 2sin cos 1x x x x -+=，[]0,2x π∈；（4）sin 2sin 3x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[]0,2x π∈三、能力提高题例5、写出函数()()arccos cos f x x =的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性.例6、在ABC ∆中，cos1cos 2A B C +=-，求角C 的大小.例7、解方程sin 2sin x x =【课后作业】1、若方程cos 12x m =-无解，则实数m 的取值范围为____________；2、方程1sin23x =在[],2ππ上的解为__________； 3、方程2tan 210x -=的解集为__________________； 4、若a 、b 均为正实数，则方程22cos 2a b x ab+=在区间[]0,2π上的解集为_____________； 5、已知函数()3sin cos f x x x =+.（1）当5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的反函数；（2）解方程()3f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【教学反思】。