3第三讲2009-假设检验和判决准则

x
H1
)
−
(C10 (C01
− −
C00 )q C11) p
⎤ p(x H0 )⎥dx
⎦
X1判决域必须满足下面规则：
p(x
H1) −
(C10 (C01
− C00 )q − C11 ) p
p(x
H0)
≥
0
似然比： l(x) = p(x H1) p(x H0)
门限： 判决规则：
l0
(x)
=
(C10 (C01
第三讲
假设检验和判决准则
第三章
信号的检测
主要解决在受噪声 干扰的观测中信号有 无的判决问题。
通信与测量系统（包括雷达系 统）的基本任务，就是在噪声背景 下检测信号的存在并估计信号的参 量。在统计学上都属于统计决策问 题，我来自百度文库希望所做出的判决引起的 损失最小。
z 门限, 后验概率,似然函数 z 最大后验概率准则 z 贝叶斯准则 z 最小错误概率准则 z 极大极小准则 z 涅曼-皮尔逊准则
检测系统的组成
l(x)
由两部分组成:一是似然比计算装置,二是门限装置。 由于存在门限,因此处理器必定是非线性的。
在后面的学习中,将引入不同的优化准则,但不 管采用哪种优化准则,检测系统的基本环节都与上 图类似:
似然比计算(或似然比计算的等效形式)+门限比较.
四种情况：
1. H0为真，判决H0 成立； 2. H1为真，判决H1 成立； 3. H0为真，判决H1 成立； 4. H1为真，判决H0 成立；
l(x) =
H1
p (x H 1) > p(x H 0) <
q p
=
l0
H0
从上面的判决式看出,在最大后验概率
准则下,门限电平的大小由 和 两
个假设的先验概率 和
决定.
从直观上可以知道, 的先验概率
越大,即 s1 (t ) 存在的机会越多,检测到 s1(t)
的机会也就越多.而判决式也说明了这一
点,当
exp[
2π σ
2σ 2
]
H0: Z=n,
f (Z / H0) =
1
2π σ
exp[
−Z
2σ
2 2
]
解: 假定先验概率相等P(H1)=P(H0)=1/2,采用似然比检测准则:
l(Z) =
f f
(Z (Z
/ /
H1) H0)
=
2mZ − m2
exp[ 2σ 2
]
因此判决规则为:
H1
l(Z )
=
exp[
问题,漏警与虚警虽然在原则上也要受到损失,但要定量地规定它们的代
价是极其困难的,甚至不可能的.但是代价函数的设定可以方便理论研究,
从这点上来说,还是有实际意义的。
在给出各种判决的代价之后,就可以评估错误判决的总平均代价。
所以对应有4种代价,如下表所示:
风险类型
代价 发生概率
代价的含义
假设为 真,且判为 假设为 真,且判为 假设为 真,且判为 假设为 真,且判为
∫ β = X 0 p ( x H 1 )dx ∫ PD = X 1 p ( x H 1 )dx
在信号检测中,当依据门限来判决时,有可能 造成两种错误判决:第1类错误虚警和第2类错 误漏警.这两类错误判决会造成的多大的损失? 怎样来评估损失?是一个必须分析研究的问题.
贝叶斯准则的原理
(1) 首先按照判决总平均损失最小的原 则,确定一个信号检验的门限; (2) 利用这个门限来判定信号有无.
总错误概率
Pe = p β + q α
不只与两类错误概率有关,而且与先验概率有关。
α + PC = 1
β + PD = 1
Pe = p (1 − PD ) + q (1 − PC )
后面的分析指出,如果限定正确判决无代价, 错误判决代价相等,为1个单位,则按最大后验概 率准则得到的最优处理器的总错误概率最小。因 此，最大后验概率准则又称为最小总错误概率准 则或理想观测器准则。
1、2为正确判决，3、4为错误判决
虚警、漏报
第1类错误: 信号不存在时,判为信号存在.在雷达信号检测
中,这种错误称为虚警,用虚警概率α度量。
∫ α = X 1 p ( x H 0 )dx
在统计学中,虚警概率称为检验尺度。 第2类错误:
信号存在条件下,判为信号不存在.这种错误在雷 达信号检测中称为漏警,用漏警概率β度量。
si (t) : s0 (t)
s1 (t )
n(t):加性噪声
假设 s0 (t) 存在；（原假设）
假设 s1(t) 存在。（备择假设）
二元假设检验
H0 : x(t) = s0 (t) + n(t) H1 : x(t) = s1(t) + n(t)
观测波形x(t)在观测空间是一维。 H 0 : x(t) = s0 + n H 1 : x (t ) = s1 + n
代价和代价函数
在许多事例中,各类错误的后果并非同等严 重,不同类型的错误所造成的损失或者说所要 付出的代价是不相同的。
例如雷达信号的检测问题,虚警和漏警的损 失就大不相同.一般虚警的损失要比漏警小得 多.因为虚警至多多一次战斗戒备,而漏警有可 能自己被消灭。
在假设检验理论中,对各类错误的概率分别 规定不同的代价,即用代价函数来评估错误判 决所造成的损失。
的解答,例如根据优化准则来选择。
这是一种统计处理的方法,由于存在干扰,判决选择是不会绝 对正确的,可能会发生错判.但是利用假设检验的方法可以得到一 个明确的答案,而且对解答还可以给出可信程度的概率度量.
二元数字通信(二元假设检验):
观测波形： x(t) = si (t) + n(t) 0 ≤ t ≤ T
− C00)q − C11) p
H1 p ( x H 1 ) > ( C 10 − C 00 ) q p ( x H 0 ) < ( C 01 − C 11 ) p
∫ β = X 0 p ( x H 1 )dx
两类错误概率的表示
X0
X1
发现概率
对于信号存在条件下正确判为信 号存在概率称为检测概率.雷达信号 检测中又称为发现概率. 发现概率:指示雷达接收机的性能。
在统计学中,发现概率称为检验势。
∫ PD = X 1 p ( x H 1 )dx
正确检测
∫ Pc = X 0 p ( x H 0 )dx
总错误概率又称为平均错误概率.
例题1: 假设H1条件下,观测信号由一等幅信号m和高斯噪声n组 成,高斯噪声为N(0,σ2);假设H0条件下,观测信号仅是噪声n.
当我们获得一个观测值Z后,根据观测值Z,做出两种假设H1 /H0 的判断.
观测信号模型为:
H1:
Z=m+n,
f (Z / H1) =
1
− (Z − m)2
H1
p(x H 1) > p(x H 0) <
q p
=
l0
H0
l0
=
q p
门限值
通过分析与变换,得到了一个与最大后验概率准则等价 的判决规则.这个判决规则利用了一个新的统计量:似然比, 判决的规则也便于便于计算和处理.
似然比性质
1. 似然比是非负的； 2. 似然比是一维的标量,是随机量；x则可
能是多维的,例如包括信号的幅度,相角 等等； 3. 由于x是观测得到的值,所以 p ( x H 1 ) 和 p ( x H 0 ) 是可以通过统计得到。
P(H1 x) ≥ 1 P(H0 x)
P(H1 x) < 1 P(H0 x)
判决H1成立
判决 H 0成立
H1
P (H 1 x)
> 1
P (H 0 x) <
H0
由于上面的判决准则涉及两个后验概率,而 且选择对应最大后验概率的假设,所以这个判决 的优化准则称为最大后验概率准则.
先验概率（已知）： P(H0 ) = q P(H1) = p 二元假设检验：P(H0 )＋P(H1) = p + q = 1
判决域 X0 X1
l( x ) = l0
⇒
p(x H0)
H1
l(x) = p(x H 1) > p(x H 0) <
q p
=
l0
H0
x = λ0
p(x H1)
X0
X1
λ0
判决方式：
λ 0 把x横坐标分成X0和X1 两部分.如果使用 l 0 作门限 判决,判决的方式是：
如果观察值x处于X0范围 内,判决 成立,反之,x处 于X1范围内,判决 成立.
Pc
正确判决(有得益,或无损失)
PD
正确判决(有得益,或无损失)
β
漏警损失(有损失)
α
虚警损失(有损失)
总平均代价R
R = (C 00 PC + C10α )q + (C 01 β + C11 PD ) p
贝叶斯准则的基本思想是: 使各种错判付出的统计平均代价(经
济风险)R最小,这一准则称为最小平均风 险准则.
假设检验的基本方法：
z 对所要检测对象的可能状态或情况作出相应的假设: 例如假设受扰观察信号只有两种状态,(只包含噪声),或(包含
了信号与噪声). z 确定信号判决的优化准则(即判决信号有无的依据):
例如使用后面介绍的贝叶斯优化准则。 z 观察信号,观察时间假设为 z 对进行分析处理,根据确定的优化准则判决假设中的哪一个是所要
2mZ −
2σ 2
m
2
> ]<
H0
P(H 0 ) P(H1)
两端取对数,化简得
H1
2mZ − m2
2σ 2
> <
H0
ln[ P(H0 ) ] P(H1)
根据假定先验概率相等P(H1 )=P(H0 )=1/2,则有
H1
>m
Z
<
H0
2
贝叶斯准则
∫ α = X 1 p ( x H 0 )dx
∫ Pc = X 0 p ( x H 0 )dx
大时,门限电平就小,似然比
超过门限的可能性就大,就有更多的机会
判决 s1 (t) 存在.
注：
z 当时
,门限电平为1,此时最
大后验概率准则称为最大似然比准则,是
最大后验概率准则的特例.
z 对于二元通信系统 (传输的信号或为1,
或为0),信号存在的先验概率有时无法知
道,不妨假设
,此时可以使
用最大似然比准则.
贝叶斯准则表达式
R = C 00 q + C11 p + (C10 − C 00 )qα + (C 01 − C11 ) pβ = 最小
R/ = (C10 −C00)qα + (C01 −C11) pβ = 最小
贝叶斯准则的判决规则
假设：
贝叶斯准则等效：
R/ = (C10 −C00)qα + (C01 −C11) pβ = 最小
代价函数（因子）
定义 ：
是假设 的代价。
为真,但实际上选择了假设
① 代价函数是有正负的.通常错误的判决代价为正,
.正确
的判决代价函数一般是代价函数
,如果正确判决没有代价,
则
,如果正确判决还有得益,则可以设
,即代价小于0。
对于某些特殊的判决,例如地震,即使是正确的判决也要付出费用的,
这时候,
。
② 在许多实际问题中,各类错误的代价函数是难以规定的.例如雷达检测
假设检验
z 假设:一个可能判决的陈述。
原假设
备选假设1 备选假设2
: 备选假设n
根据观测数据和判决准则对各个假设进 行统计检验，判决哪个假设成立。
3·2 二元假设检验和判决准则
z 假设检验的目的: 在受扰观察中判别有无（是否包含）有用信号。
由于受扰观察中包含了噪声,而噪声是随机的,就 是说它的取值带有偶然性,因此,就不能肯定地说它是 否包含信号,也不能肯定地说它包含哪一个信号,更不 好说它包含有什么样参量的信号.在这种情况下,必须 使用统计学中的假设检验理论实现信号的正确判决.
贝叶斯公式
P(Hi
x)＝
p(x
Hi )P(Hi ) p(x)
P(H1 x) = p(x H1)P(H1) = p(x H1) p P(H 0 x) p(x H 0)P(H 0) p(x H 0)q
p ( x H 1 ), p ( x H 0 ) 是条件概率密度,称为似然函数
似然比：l(x)
l(x) =
§3·1 引言
{ 判断
二选一
多选一
信源
观测空间
混合
判决规则
判决
噪声
(1) 信号和噪声之间允许有复杂的关系；
(2) 但噪声的概率密度是已知的；
(3) 允许非线性处理。
在这些条件下,信号有无的判决是一个一般化的 信号检测问题.这可以应用统计学中的假设检验理论来 解决.假设检验理论不但可以解决象雷达,通信等信号 发现问题的优化处理,也可以解决信号参量的最优估值 问题.这一章将利用假设检验理论,给出判断信号有无 的方法。
s0 s1代表两个已知的常数；x、n是随机变量
最大后验概率准则
条件概率：(后验概率 )
在x存在的条件下：H
的概率
0
P(H0 x)
在x存在的条件下：H1的概率 P(H1 x)
只需在两个假设或中选择一个,而或假设是互不相容的(二 者必居其一) 。
合理的判决准则是: 观察结果与哪一个假设同时存在 的概率大,就选择哪一个假设 。
R// = (C10 − C00 )q α + β = 最小
(C01 − C11) p
α + PC = 1 β + PD = 1
即下式最小：
∫ ∫ R// = (C10 − C00 )q (C01 − C11) p
X1 p(x H0 )dx +
X0 p(x H1)dx
∫ = 1−
X1
⎡ ⎢ ⎣
p(