自贡市九年级上册期中试卷检测题

自贡市九年级上册期中试卷检测题

一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）

1．已知二次函数y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）

①求a的值；

②求当a≤x≤b时，一次函数y＝ax+b的最大值及最小值；

【答案】①a的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9

【解析】

【分析】

①根据题意解一元二次方程即可得到a的值；

②根据a≤x≤b，b＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y＝﹣4x﹣3，根据函数的性质当x＝﹣4时，函数取得最大值，x＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.

【详解】

解：①∵y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）

∴4＝9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3，

解得，a1＝﹣2，a2＝﹣4，

∴a的值是﹣2或﹣4；

②∵a≤x≤b，b＝﹣3

∴a＝﹣2舍去，

∴a＝﹣4，

∴﹣4≤x≤﹣3，

∴一次函数y＝﹣4x﹣3，

∵一次函数y＝﹣4x﹣3为单调递减函数，

∴当x＝﹣4时，函数取得最大值，y＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13

x＝﹣3时，函数取得最小值，y＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.

【点睛】

此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a、b的关系得到函数解析式是解题的关键.

2．阅读下列材料

计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝

在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：

（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×

（+）

（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4

（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3

【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2

【解析】

【分析】

（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．

（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．

（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．

【详解】

（1）令+＝t，则：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝

（2）令a2﹣5a＝t，则：

原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2

（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：

（t+1）（t+3）＝3

t2+4t+3＝3

t（t+4）＝0

∴t1＝0，t2＝﹣4

当x2+4x＝0时，

x（x+4）＝0

解得：x1＝0，x2＝﹣4

当x2+4x＝﹣4时，

x2+4x+4＝0

（x+2）2＝0

解得：x3＝x4＝﹣2

【点睛】

本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

3．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．

【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；

（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣

2-6a a ，x 1x 2=-6a a ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣

66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2．

【详解】

（1）∵原方程有两实数根，

∴260(2)4(6)*0

a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩， ∴a≥0且a≠6．

（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，

∴x 1+x 2=﹣26a a -，x 1x 2=6

a a -， ∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=

-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数，

∴﹣

66a -是负整数，即66

a -是正整数． ∵a 是整数，

∴a ﹣6的值为1、2、3或6，

∴a 的值为7、8、9或12．

【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．

4．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0．

（1）当a=﹣11时，解这个方程；

（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；

（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．

【答案】（1）123,4x x =-=（2）54

a ≤

（3）-4 【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；