工程数学2

则u,v随x,y确定 – 因此， f (z) 又常写为：
f (z) u(x, y) iv(x, y) 二元实函数
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1、复变函数的概念
• n次多项式函数
– 若a0, a1, , anan 0为复常数，n为非负整数，
则函数P(z) a0 a1z a2z2 anzn称为n次多项式函数 – 定义域：整个复平面
(3)区域：复杂多连通区域右图
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复变函数
• 主要内容
– 1、复变函数的概念 – 2、复变函数的几何解释——映照 – 3、反函数与复合函数
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1、复变函数的概念
• 定义
– 设某一给定复数集D，若有一法则f，对于每一个数z D 总有确定的复数 和它相对应，则称f是定义在D上 的复变数函数（简称复数函数）
在G中总有确定的复数 和它相对应
– 反过来，在G中任取一点 ，通过法则f (z) ，总有 确定的 z D 与之对应。
此时，z 与
该新函数z
之间具有了函数的对应关系，记做z f 1( f 1()就被称为函数 f (z) 的反函数。
)
，
• 举例 az b z d b
cz d
主要内容
• 平面点集 • 复变函数 • 初等函数
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平面点集
• 1、区域 • 2、曲线 • 3、单连通域和多连通域
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1、区域
• 邻域：
– 平面上以z0为圆心， 为半径的圆内部的点的集合：z z0
称为点z0的邻域或圆盘
– 点z0的去心邻域： 0 z z0 确定的点集
• 内点： – 对于某点集E，若某z0的邻域的所有点都在E内，则z0就是E的内点
c a
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3、反函数与复合函数
• 复合函数
设 f (h)
定义域 D1
h (z)
定义域 D2
若： h G D1
值域G
o
x
0 / 2, 0 4
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2、复变函数的几何解释
• 例 z 1 将z平面上的圆周|z|=R映照成平面上的什么图形
z
设 z Rei u iv
Rei
1 Rei
R(cos i sin ) 1 (cos i sin )
R
u
当
R
a
cos
1时，
R
1 R
cos
v b sin
– 在z平面上，当z取遍点集D时，在 平面上，有点集G与之对应
• 映照
复变函数 f (z)表示了z平面点集D到 平面上的点集G之间的
一种变换，即映照
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2、复变函数的几何解释
• 举例
– (1) z2
y
y
2ei / 4
o
0 / 4,
x 0r2
– (2) z 1 – (3) iz – (4) z
1
z2
是定义在整个复平面上的多值函数
arg z 是定义在除原点外整个复平面上的单值函数
1
z
是定义在除原点外整个复平面上的单值函数
注 以后如不特别说明，所提函数均指单值函数。
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1、复变函数的概念
• 表示形式
– 设 f (z) 是定义域为D的复变函数，其中 z x iy, u iv
u2 a2
v2 b2
1
i
R
a
1 R
sin
R
1
R
,b
R
1 R
长轴为2a，短轴为2b的椭圆线
当 R = 1 时， 2cos 平面上பைடு நூலகம்轴的一段 2 u 2
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2、复变函数的几何解释
y
y
o
x
x
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3、反函数与复合函数
• 反函数
– 函数定义：
• 设某一给定复数集D，若有一法则f，对于每一个数 z D
• 开集：
– 若点集E的每一个点都是内点，则E就被称为开集
• 边界点： – 若z0的邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则z0就是E的边界
点
• 边界：
– 点集E的全部边界点组成的点集，称为E的边界
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1、区域
• 连通的：
– 设开集E，对于E内任何两点，若（1）都可用折线连接起来； （2）该折线上的点都属于E 则称E是连通的
• 分段光滑曲线
– 几段光滑曲线衔接而成，就是分段光滑曲线
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3、单连通域和多连通域
• 单连通区域
– 设D为平面上任一区域 若在D内任作一条简单闭曲线，而曲线所围部分总属于D， 则称D为单连通区域
• 多连通区域
– 不是单连通的区域称为多连通区域或复连通区域
举例：(1)区域 z z 1 和区域 z Im( z) 0 (2)区域 z r1 z z0 r2
有界闭区域
有界开区域 无界开区域 无界区域
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2、曲线
• 简单曲线、简单闭曲线
设x(t)和y(t)是闭区间 , 上连续的两个实函数
– 连续曲线
• 由方程 x x(t)
y
y(t)
( t )
或由复数方程 z = z(t) = x(t) + iy(t) ( t )
确定的点集C
▪ 起点：z ▪ 终点：z
– 记做 f (z) – 定义域：D
• 是复变数z所能取的使得 f (z) 有意义的值的集合
• 函数值0 f (z0)z0 D
– 多值函数
• 任取 z D ， f (z) 有多个 值与之对应
– 单值函数
• 任取 z D ， f (z) 有唯一的值与之对应 10
1、复变函数的概念
• 举例：
• 有理函数
– P(z)/Q(z) – 定义域：除去Q(z) = 0的点z之外的所有点的集合
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2、复变函数的几何解释
• 实平面中，f(x,y)用x轴和y轴表示
• 复平面上 f (z)
z x iy
z平面
f (z) u(x, y) iv(x, y)
平面
在 通z过平面上f，(函z)与数平面f 上(z的) 定点义域0 对D内应任。意一点z0，
• 开区域：
– 连通的开集
• 闭区域：
– 开区域连同边界一起，称为闭区域
• 有界、无界集： – 若集E可以包含在原点的一个邻域内（即 z M，M为任意正
数），则集E有界，否则无界
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1、区域
• 举例：
圆盘
z z0 r
圆环
r1 z z0 r2
上半平面 Im( z) 0
角形域 0 arg z
– 简单曲线
• 若是任简取单曲t1,线t2（无重, 点曲，线且）t1 t2 ， 有 z(t1) z(t2) ，则该曲线就
– 简单闭曲线
• z( ) z( ) 的简单曲线就是简单闭曲线
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2、曲线
• 光滑曲线
– 设曲线C的方程是：z(t) = x(t) + iy(t) ( t ) 若x’(t)和y’(t)连续且不全为零， 则称曲线C是光滑曲线