苏科初二数学下册第二学期第3次月考数学试题
苏科初二数学下册第二学期第3次月考数学试题
一、解答题
1．自2009年以来，“中国?兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如表：批次123456
油菜籽粒
100400800100020005000数
发芽油菜
a31865279316044005
籽粒数
发芽频率0.8500.7950.8150.793b0.801
（1）分别求a和b的值；
（2）请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）；
（3）农业部门抽取的第7批油菜籽共有6000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数．
2．如图，平行四边形ABCD中，已知BC＝10，CD＝5．
（1）试用无刻度的直尺和圆规在AD边上找一点E，使点E到B、D两点的距离相等（不要求写作法，但要保留清晰的作图痕迹）；
（2）求△ABE的周长．
3．如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于F，连接CF．
（1）求证：AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
4．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n1001502005008001000
摸到黑球的次数
m233160*********
摸到黑球的频率m
n
0.230.210.300.260.253
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率
是；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数．
5．如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线
MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
6．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，
PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
7．计算：
（1）
2354535
?； （2）()22360,0x y xy x y ≥≥；
（3）
(
)
48274153-+÷．
8．已知23x =+，23y =-。求22x xy y ++的值。
9．已知：如图，AC 、BD 相交于点O ，且点O 是AC 、BD 的中点，点E 在四边形ABCD 的形外，且∠AEC ＝∠BED ＝90°．求证：四边形ABCD 是矩形．
10．在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=8．
（1）将矩形纸片沿BD 折叠，点A 落在点E 处（如图①），设DE 与BC 相交于点F ，求BF 的长；
（2）将矩形纸片折叠，使点B 与点D 重合（如图②），求折痕GH 的长．
11．如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 为正方形,已知点A(-6,0),D(-7,3)，点B 、C 在第二象限内．
(1)点B 的坐标 ；
(2)将正方形ABCD 以每秒1个单位的速度沿x 轴向右平移t 秒,若存在某一时刻t,使在第一象限内点B 、D 两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t 的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在(2)的情况下,问是否存在x 轴上的点P 和反比例函数图象上的点Q,使得以P 、Q 、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
12．某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒．当人或车随意经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？根据什么？
13．为更有效地开展“线上教学”工作，某市就学生参与线上学习的工具进行了电子问卷调查，并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数是人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中表示观点B的扇形的圆心角度数为度；
（4）在扇形统计图中表示观点E的百分比是．
14．如图，为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点均为格点，在图中已标出线段AB，A，B均为格点，按要求完成下列问题．
（1）以AB为对角线画一个面积最小的菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在（1）中该菱形的边长是，面积是；
（3）以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点，则可画个菱形．
15．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有两个实数根x 1和x 2． （1）求实数m 的取值范围； （2）当x 12﹣x 22=0时，求m 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）85a ，0.802b =；（2）0.8；（3）4800
【分析】
（1）用油菜籽粒数乘以发芽频率求得a 的值，用发芽油菜籽粒数除以油菜籽总数即可求得b 的值．
（2）观察大量重复试验发芽的频率稳定到哪个常数附近即可用哪个数表示发芽概率． （3）用油菜籽总数乘以发芽概率即可求得发芽粒数． 【详解】
（1）1000.85085a =?=，1604
0.8022000
b =
=； （2）∵观察表格发现发芽频率逐渐稳定到0.8附近， ∴该品种油菜籽发芽概率的估计值为0.8； （3）60000.8=4800?，
故估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为4800． 【点睛】
本题考查统计与概率，解题关键在于信息筛选能力，对频率计算公式的理解，其次注意计算仔细即可．
2．（1）见解析；（2）15；见解析． 【分析】
（1）连接BD 作线段BD 的垂直平分线MN 交AD 于点E ，点E 即为所求． （2）证明△ABE 的周长＝AB +AD 即可． 【详解】
解：（1）如图，点E 即为所求．
（2）解：连接BE
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ＝BC ＝10，AB ＝CD ＝5 又由（1）知BE ＝DE ∴15ABE
AB AE BE AB AE ED AB C
AD +++++＝＝＝＝．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的作法及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（1）见解析；（2）见解析 【分析】
（1）由AF ∥BC 得∠AFE ＝∠EBD ，继而结合∠AEF ＝∠DEB 、AE ＝DE 即可判定全等； （2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定证明即可． 【详解】
证明：（1）∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE ， ∵AF ∥BC ， ∴∠AFE ＝∠DBE ， ∵∠AEF ＝∠DEB ， ∴△AEF ≌△DEB ； （2）∵△AEF ≌△DEB ， ∴AF ＝DB ，
∵AD 是BC 边上的中线， ∴DC ＝DB ， ∴AF ＝DC ， ∵AF ∥DC ，
∴四边形ADCF 是平行四边形， ∵∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ＝DC ， ∴□ADCF 是菱形． 【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键． 4．（1）0.25；（2）3个． 【分析】
（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）列用概率公式列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）251÷1000＝0.251；
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
（2）设袋中白球为x个，
1
＝0.25，解得x＝3．
1x
答：估计袋中有3个白球，
故答案为：（1）0.25；（2）3个．
【点睛】
本题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
5．当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．证明见解析.
【分析】
当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于
OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．
【详解】
当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．
证明：如图，
∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠5=∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形的判定、矩形的判定．解题的关键是利用对角线互相平分的四边形是平行四边形开证明四边形AECF是平行四边形，并证明∠ECF是90°．
6．（1）AP=EF，AP⊥EF，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）正方形中容易证明∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，利用AAS证明
△AMO≌△FOE.(2) （3）按照（1）中的证明方法证明△AMP≌△FPE（SAS），结论依然成立.
【详解】
解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；
∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，
∴四边形OECF是正方形，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四边形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF,
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．
【点睛】
利用正方形，等腰三角形，菱形等含等边的特殊图形，不管其他条件如何变化，等边作为证明等边三角形的隐含条件，证明三角形的全等，是证明此类问题的关键.
7．（1）6；（2）32xy；（3）5
【分析】
（1）利用二次根式的乘法法则运算； （2）利用二次根式的乘法法则运算； （3）利用二次根式的除法法则运算． 【详解】
（1
＝
23×3
5
＝6； （2()260,0y
xy x y ≥≥
＝3
（3）
＝4﹣
＝ 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 8．15 【解析】 【分析】
先根据完全平方公式对代数式2
2
x xy y ++进行变形可得:()2
x y xy +-,
再根据2x =+2y =-可分别计算出4x y +=,
1xy =,代入变形后的代数式即可. 【详解】
因为2x =+2y =,
所以4x y +=,
1xy =, 所以()2
2224115x xy y x y xy ++=+-=-=. 【点睛】
本题主要考查代数式化简求值,二次根式加法和乘法计算,解决本题的关键是要熟练根据完全平方公式对代数式进行变形和二次根式加法乘法法则. 9．见解析 【分析】
连接EO，证四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EO＝1
2
AC，在Rt△EBD中，EO＝
1
2
BD，得到AC＝BD，即可得出结论．【详解】
证明：连接EO，如图所示：
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO＝1
2 BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC的中点，
∴EO＝1
2 AC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点睛】
此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
10．（1）25 4
（2）15 2
【分析】
（1）根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，再根据两直线平行，内错角相等可得
∠ADB=∠DBC，然后求出∠FBD=∠FDB，根据等角对等边可得BF=DF，设BF=x，表示出CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据折叠的性质可得DH=BH，设BH=DH=x，表示出CH，然后在Rt△CDH中，利用勾股定理列出方程求出x，再连接BD、BG，根据翻折的性质可得
【详解】
(1) 由折叠得，∠ADB=∠EDB，
∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ， ∴∠ADB=∠DBC ， ∴∠FBD=∠FDB ， ∴BF=DF ，
设BF=x ，则CF=8?x ，
在Rt △CDF 中，222+=CD CF DF 即2
2
2
6(8)x x +-= 解得x=
254
故答案：
254
(2)由折叠得，DH=BH ，设BH=DH=x ， 则CH=8?x ，
在Rt △CDH 中， 222+=CD CH DH 即2
2
2
6(8)x x +-= 解得x=
254
连接BD 、BG ，
由翻折的性质可得，BG=DG ，∠BHG=∠DHG ， ∵矩形ABCD 的边AD ∥BC ， ∴∠BHG=∠DGH ， ∴∠DHG=∠DGH ， ∴DH=DG ， ∴BH=DH=DG=BG ， ∴四边形BHDG 是菱形， 在Rt △BCD 中， S 菱形BHDG =1
2
BD ?GH=BH ?CD ， 即
12×10?GH=254×6，解得GH=152
.
故答案：
152
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键. 11．（1）（31-，）；（2）t=9，6
y x =；（3）点P 、Q 的坐标为：P （132
，0）、Q （
3
2
，4）或P （7，0）、Q （3，2）或P （-7，0）、Q （-3，-2）． 【分析】
（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE ≌△BAF ，从而得出DE=AF ，AE=BF ，再结合点A 、D 的坐标即可求出点B 的坐标；
（2）设反比例函数为k
y x
=
，根据平行的性质找出点B ′、D ′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 、t 的二元一次方程组，解方程组解得出结论；
（3）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），点Q 的坐标为（n ，6
n
）．分B ′D ′为对角
线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m 、n 的方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】
解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，如图1所示．
∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD=AB ，∠BAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF ． 在△ADE 和△BAF 中，有
90AED BFA ADE BAF AD BA ∠=∠=???
∠=∠??=?
， ∴△ADE ≌△BAF （AAS ）， ∴DE=AF ，AE=BF ．
∵点A （-6，0），D （-7，3）， ∴DE=3，AE=1，
∴点B 的坐标为（-6+3，0+1），即（-3，1）． 故答案为：（-3，1）． （2）设反比例函数为k
y x
=
， 由题意得：点B ′坐标为（-3+t ，1），点D ′坐标为（-7+t ，3）， ∵点B ′和D ′在该比例函数图象上，
∴33(7)k t k t =-+??=?-+?
，
解得：t=9，k=6，
∴反比例函数解析式为6y x
=
． （3）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），点Q 的坐标为（n ，
6
n
）． 以P 、Q 、B ′、D ′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①B ′D ′为对角线时，
∵四边形B ′PD ′Q 为平行四边形，
∴
6
31
62
n
m n
?
-=
?
?
?-=-
?
，解得：
13
2
3
2
m
n
?
=
??
?
?=
??
，
∴P（13
2
，0），Q（
3
2
，4）；
②当B′D′为边时．
∵四边形PQB′D′为平行四边形，
∴
62
6
031
m n
n
-=-
?
?
?
-=-
??
，解得：
7
3
m
n
=
?
?
=
?
，
∴P（7，0），Q（3，2）；
∵四边形B′QPD′为平行四边形，
∴
62
6
031
n m
n
-=-
?
?
?
-=-
??
，解得：
7
3
m
n
=-
?
?
=-
?
．
综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点
为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为：P（13
2
，0）、Q（
3
2
，
4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．
12．人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小．
【分析】
根据在这几种灯中，每种灯时间的长短，即可得出答案．
【详解】
因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短，所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小．
【点睛】
本题考查了事件发生的可能性的大小，根据时间长短确定可能性的大小是解答的关键．13．（1）5000；（2）条形统计图见解析；（3）18；（4）4%．
【分析】
（1）根据选A的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的总人数；
（2）根据（1）中的结果，可以求得选C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据选B的人数为250，调查的总人数为5000，即可计算出在扇形统计图中表示观
点B的扇形的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中表示观点E的百分比．【详解】
解：（1）本次调查的总人数是：2300÷46%＝5000（人），
故答案为：5000；
（2）选用C的学生有：5000×30%＝1500（人），
补充完整的条形统计图如图所示；
（3）在扇形统计图中表示观点B的扇形的圆心角度数为：360°×
250
5000
＝18°，
故答案为：18；
（4）在扇形统计图中表示观点E的百分比是：
200
5000
×100%＝4%，
故答案为：4%．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（1）见解析；（210，6；（3）3
【分析】
（1）根据菱形的定义以及已知条件画出满足条件的菱形即可．
（2）利用勾股定理，菱形的面积公式计算即可．
（3）画出满足条件的菱形即可判断．
【详解】
解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．
（2）AE22
3+1=10，菱形AEBF的面积＝1
2
×6×2＝6，
10，6．
（3）如图备用图可知：可以画3个菱形，故答案为3．
【点睛】
本题主要考查了格点作图和菱形的性质应用，涉及了勾股定理等，正确理解，准确利用网格的特点是解题的关键．
15．（1）m≤1
4
；（2）m＝
1
4
．
【分析】
（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）由x12-x22=0得x1+x2=0或x1-x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到-2m-1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．
【详解】
解：（1）由题意有△=（2m-1）2-4m2≥0，
解得m≤1
4
，
即实数m的取值范围是m≤1
4
；
（2）由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1?x2=m2，由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m＝1
2
，
∵1
2＞
1
4
，
∴m＝1
2
不合题意，舍去，若x1-x2=0，即x1=x2
∴△=0，由（1）知m＝1
4
，
故当x12-x22=0时，m＝1
4
．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握公式正确计算是本题的解题关键．