2017考研数学三真题及解析
2017年数三考研真题_附答案解析
2017年数三考研真题_附答案解析2017年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学三试题及参考答案⼀、选择题：1～8⼩题，每⼩题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.若函数1,0(),0x f x axb x ?->?=??≤?在0x =处连续，则（）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =2.⼆元函数(3)z xy x y =--的极值点（）(A)(0,0)(B)(0,3)(C)(3,0)(D)(1,1)3.设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（）(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()11f f >-(D)()()11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞=??--∑收敛，则k =()(A)1(B)2(C)-1(D)-25.设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则()(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆(D)2T E αα-不可逆6.已知矩阵200021001A=??210020001B =??100020002C ??=，则()(A)A 与C 相似，B 与C 相似(B)A 与C 相似，B 与C 不相似(C)A 与C 不相似，B 与C 相似(D)A 与C 不相似，B 与C 不相似7.设A B 、、C 为三个随机事件，且A 与C 相互独⽴，与C 相互独⽴，则A B ?与C 相互独⽴的充要条件是()(A)A 与B 相互独⽴(B)A 与B 互不相容(C)AB 与C 相互独⽴(D)AB 与C 互不相容8.设12,......(2)n X X X n ≥来⾃总体(,1)N µ的简单随机样本，记11nii X X n ==∑则下列结论中不正确的是()(A)21()ni i X µ=-∑服从2χ分布(B)212()n X X -服从2χ分布(C)21()n ii XX =-∑服从2χ分布(D)2()n X µ-服从2χ分布⼆、填空题：9～14⼩题，每⼩题4分，共24分。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。
（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。
2017考研数学三真题及答案解析
ln 2
ln 2
2
．
5
19．（本题满分 10 分）
设
a0
1, a1
0, an1
n
1
1
(na
n
a n 1 )(n
1, 2,3 ),
，
S(x)
为幂级数
n0
an xn
的和函数
（1）证明 an xn 的收敛半径不小于1． n0
（2）证明 (1 x)S(x) xS(x) 0(x (1,1)) ，并求出和函数的表达式．
0
2
10．差分方程 yt1 2 yt 2t 的通解为
．
【详解】齐次差分方程 yt1 2 yt 0 的通解为 y C 2x ；
设
yt 1
2 yt
2t
的特解为
yt
at 2t
，代入方程，得 a
1 2
；
所以差分方程
yt 1
2 yt
2t
的通解为
y
C 2t
1 t2t. 2
11．设生产某产品的平均成本 C(Q) 1 eQ ，其中产量为 Q ，则边际成本为
8．设
X1, X 2,, X n(n
2)
为来自正态总体 N (,1) 的简单随机样本，若
X
1 n
n i 1
Xi
，则下列结论中不
正确的是（ ）
n
（A） ( X i )2 服从 2 分布 i 1
（B） 2 X n X1 2 服从 2 分布
n
（C） ( X i X )2 服从 2 分布 i 1
时， g(x) g(0) 0 ，进一步得到当 x (0,1) 时， f (x) 0 ，也就是 f (x) 在 (0,1) 上单调减少．
2017年全国考研数学三真题
1．若函数 f ( x ) = ⎨（A ） ab = 1（B ） ab = -（C ） ab = 0 （D ） ab = 24． 若级数 ∑ ⎢sin - k ln(1- )⎥ 收敛，则 k = （）n =2 ⎣6．已知矩阵 A = 02 1 ⎪ ， B = 0 2 0 ⎪ ， C = 0 2 0 ⎪ ，则 0 0 1 ⎪ 0 0 1 ⎪ 0 0 2 ⎪2017 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题:1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．⎧1 - cos x⎪ ax, x > 0 在 x = 0 处连续，则 ⎪ ⎩b , x ≤ 01222．二元函数 z = xy(3 - x - y) 的极值点是（）（A ） (0,0)（B ） (0, 3) （C ） (3, 0) （D ） (1,1)3．设函数 f ( x ) 是可导函数，且满足 f ( x ) f '( x ) > 0 ，则（A ） f (1) > f (-1)（B ） f (1) < f (-1)（C ） f (1) > f (-1)（D ） f (1) < f (-1)∞ ⎡ 1 1 ⎤ n n ⎦ （A ）1 （B ） 2 （C ） -1 （D ） -25．设 α 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（A ） E - ααT 不可逆（B ） E + ααT 不可逆（C ） E + 2αα T 不可逆（D ） E - 2αα T 不可逆⎛ 2 0 0 ⎫ ⎛ 2 1 0 ⎫ ⎛ 1 0 0 ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（A ） A, C 相似， B, C 相似（B ） A, C 相似， B, C 不相似（C ） A, C 不相似， B, C 相似（D ） A, C 不相似， B, C 不相似7．设 A, B ， C 是三个随机事件，且 A, C 相互独立， B, C 相互独立，则 A B 与 C 相互独立的充分必要条件是（）1 ∑ X ，则n（A ） ∑ ( X - μ )2 服从 χ 2 分布 （B ） 2 (X - X（C ） ∑ ( X - X )2 服从 χ 2 分布（D ） n( X - μ )2服从 χ 2 分布13．设矩阵 A = 1 1 2 ⎪ ，α ,α ,α 为线性无关的三维列向量，则向量组 A α , A α , A α 0 1 1 ⎪（A ） A, B 相互独立（B ） A, B 互不相容（C ） AB, C相互独立（D ） AB, C 互不相容8．设 X , X , 12, X (n ≥ 2) 为来自正态总体 N (μ ,1) 的简单随机样本，若 X =nn i =1 i下列结论中不正确的是（）nin1)2 服从 χ 2 分布i =1 nii =1二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9． ⎰ π (sin 3 x + π 2 - x 2 )dx =．-π10．差分方程 y t +1- 2 y = 2t 的通解为 ．t11．设生产某产品的平均成本 C (Q) = 1 + e -Q ，其中产量为 Q ，则边际成本为.12．设函数 f ( x , y) 具有一阶连续的偏导数，且已知 df ( x , y) = ye y d x + x(1+ y)e y d y ，f (0,0) = 0 ，则 f ( x , y) =⎛ 1 0 1 ⎫⎪⎝ ⎭的秩为．1 2 3 1 2 314．设随机变量 X 的概率分布为 P {X = -2}=则 DX =．1 2，P {X = 1}= a ，P {X = 3}= b ，若 EX = 0 ，计算积分 ⎰⎰ dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 y = x 与 x 轴为边界的无界求 lim ∑ln 1 + ⎪三、解答题15．（本题满分 10 分）求极限 limx →0+⎰ xx - te t d tx 316．（本题满分 10 分）y 3 (1+ x 2 + y 4 )2D区域．17．（本题满分 10 分）n →∞ nk =1k ⎛ k ⎫ n 2 ⎝ n ⎭- = k 在区间 (0,1) 内有实根，确定常数 k 的取值范围．已知方程 1 1ln(1+ x) x=(na +a )(n =1,2,3),，S(x)为幂级数∑a x 的和函数n + 1 （1）证明 ∑ a x n 的收敛半径不小于 1 ．设 a = 1,a = 0, a1 1 ∞∞n n =0（2）证明 (1- x)S '( x ) - xS ( x ) = 0( x ∈ (-1,1))，并求出和函数的表达式．设三阶矩阵A=(α,α,α)有三个不同的特征值，且α=α+2α.123312（1）证明：r(A)=2；（2）若β=α+α,α，求方程组Ax=β的通解．12321．（本题满分11分）设二次型f(x,x,x)=2x2-x2+ax2+2x x-8x x+2x x在正交变换x=Qy下的标准形123123121323为λy2+λy2，求a的值及一个正交矩阵Q．1122P 设随机变量 X , Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P {X = 0}= P {X = 2} = 1，Y 的概率密度2⎧2 y ,0 < y < 1为 f ( y) = ⎨ ．⎩ 0, 其他（1）求概率 （Y ≤ EY ）；（2）求 Z = X + Y 的概率密度．某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量结果X,X,,X相互独立且均服从正态分布N(μ,σ2).该工12n程师记录的是n次测量的绝对误差Z=X-μ,(i=1,2,i iσ．（1）求Z的概率密度；i（2）利用一阶矩求σ的矩估计量；（3）求参数σ最大似然估计量．,n)，利用Z,Z,12,Z估计参数n1 - cos x= 1 ， lim f ( x ) = b = f (0) ，要使函数在 x = 0处连续，必须满足 = b ⇒ ab = ．所以应该选（A ）x →0+ ax = y(3 - x - y) - xy = 3 y - 2xy - y 2 ， = 3x - x 2 - 2 x y ，⎪⎪ ∂x = 3 y - 2 xy - y 2 = 0⎪ ∂z = 3x - x 2 - 2 x y = 0 解：iv n → ∞ 时 sin - k ln(1- ) = - k - - ⎪ ⎪ + o n 2 ⎝ n ⎭ ⎭ ⎪ = (1+ k ) + o ⎪ n n n n 2 n 2 ⎝ n 2 ⎭显然当且仅当 (1+ k ) = 0 ，也就是 k = -1 时，级数的一般项是关于 的二阶无穷小，级数2 2 ⎛ 1 1 ⎛ 1 ⎫2 ⎫ ⎛ 1 ⎫2017 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案一、选择题:1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．1x 1．解： lim f ( x ) = lim = lim 2 x →0+ x →0+ax 2a x →0- 1 12a 22．解： ∂z ∂x∂z∂y∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z= -2 y , = -2 x , = = 3 - 2 x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x⎧ ∂z解方程组 ⎨ ，得四个驻点．对每个驻点验证 AC - B 2 ，发现只有在点⎪⎩ ∂y(1,1) 处满足 AC - B 2 = 3 > 0 ，且 A = C = -2 < 0 ，所以 (1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．解：设g ( x ) = ( f ( x ))2 ，则 g '( x ) = 2 f ( x ) f '( x ) > 0 ，也就是( f ( x ) )2 是单调增加函数．也就得到 ( f (1))2 > ( f (-1))2 ⇒ f (1) > f (-1) ，所以应该选（C ）4．1 1 1 1 k 1 ⎛ 1 ⎫ ⎝1n收敛，从而选择（C ）．5．解：矩阵 αα T 的特征值为1 和 n - 1 个 0 ，从而 E - αα T , E + αα T , E - 2αα T , E + 2αα T 的特征值分别为 0,1,1, 1； 2,1,1, ,1 ； -1,1,1, ,1 ；3,1,1, ,1 ．显然只有 E - αα T 存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．对于矩阵 A ， 2E - A = 0 0 -1⎪ ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 λ = 2 存在两对于矩阵 B ， 2E - B = 0 0 0 ⎪ ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值 λ = 2 只有一⎝ ⎭ ⎝ ⎭ （2） ∑ ( X - X )2 = (n - 1)S 2 =σ 2 ~ χ 2 (n - 1) ，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意 X ~ N (μ, ) ⇒ n ( X - μ) ~ N (0,1) ⇒ n ( X - μ)2 ~ χ 2 (1)，所以（D ）结论也是6．解：矩阵 A, B 的特征值都是 λ = λ = 2, λ = 1 ．是否可对解化，只需要关心λ = 2 的情1 23况．⎛ 0 0 0 ⎫⎪0 0 1 ⎪ 个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．⎛ 0 -1 0 ⎫⎪0 0 1 ⎪个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然 B, C 不相似故选择（B ）．7．解：P(( A B)C ) = P( AC + AB) = P( AC ) + P( B C ) - P( A BC ) = P( A ) P (C ) + P( B ) P (C ) - P( ABC )P( A B)P(C ) = (P( A ) + P(B) - P( A B))P(C ) = P( A )P(C ) + P(B)P(C ) - P( A B)P(C )显然， A B 与 C 相互独立的充分必要条件是 P( A BC ) = P( A B) P (C ) ，所以选择（C ）．8．解 ：（ 1 ） 显 然 ( X - μ ) ~ N (0,1) ⇒ ( X - μ)2 ~ χ 2 (1),i = 1,2,iin 且相互独立，所以n ∑ i =1 ( X - μ )2 服从 χ 2 (n ) 分布，也就是（A ）结论是正确的；in i =1i (n - 1)S 21n正确的；（4）对于选项（B ）： ( X - X ) ~ N (0, 2) ⇒n1X - X n 21 ~ N (0,1) ⇒ 12 ( X - X )2 ~ χ 2 (1)，所n 1以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）2．- 2 y = 2t 的通解为 y = C 2t + t 2.t213．解：对矩阵进行初等变换 A = 1 1 2 ⎪ → 0 1 1⎪ → 0 1 1 ⎪ ，知矩阵 A 的秩0 1 1 ⎪ 0 1 1⎪ 0 0 0 ⎪ EX = -2 ⨯ + 1⨯ a + 3 ⨯ b = a + 3b - 1 = 0 ，解得 a = , b =EX 2 = 2 + a + 9b = ， DX = EX 2 - E 2 ( X ) = ．⎰⎰x 3 3 x →0+二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9．解：由对称性知 ⎰π (sin 3 x + π 2 - x 2 )dx = 2⎰π π 2 - x 2 dx =-ππ 310．解：齐次差分方程 y t +1- 2 y = 0 的通解为 y = C 2x ；t设 y t +1- 2 y = 2t 的特解为 y = at 2t ，代入方程，得 a = t t 12；所以差分方程 y t +1 t 111．解：答案为1 + (1- Q)e -Q ．平均成本 C (Q) = 1 + e -Q ，则总成本为 C (Q) = QC (Q) = Q + Qe -Q ，从而边际成本为C '(Q) = 1 + (1- Q)e -Q .12．解：df ( x , y) = ye y d x + x(1+ y)e y d y = d ( x ye y ) ，所以 f ( x , y) = xye y + C ，由 f (0,0) = 0 ，得 C = 0 ，所以 f ( x , y) = xye y ．⎛ 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 0 1⎫ ⎛ 1 0 1 ⎫⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭为 2，由于 α ,α ,α 为线性无关，所以向量组 A α , A α , A α 的秩为 2．12312314．解：显然由概率分布的性质，知 a + b + 1= 121 1 12 4 49 92 2三、解答题15．（本题满分 10 分）解：令 x - t = u ，则 t = x - u , dt = -du ， ⎰ x x - te t d t = ⎰ x ue x -u d ulimx →0+x 0x - te td tx 3 = lim ex ⎰ x ue-ud ux 3= limx →0+x 0ue -u d ux 3xe - x 2= lim =x →0+ 216．（本题满分 10 分）dxdy=⎰+∞dx⎰x⎰dx⎰x d(1+x2+y4)⎰ 1-1⎫⎪dx=π⎛1-2⎫⎪⎪lim∑ln 1+⎪=lim∑ln 1+⎪=⎰1x ln(1+x)dx⎰ln(1+x)dx2=1-，f(1)=-1，也就是得到-1<k<．x→0+=1解：⎰⎰Dy3y3(1+x2+y4)200(1+x2+y4)2dy==1+∞40(1+x2+y4)21+∞⎛40⎝1+x21+2x2⎭8⎝2⎭17．（本题满分10分）解：由定积分的定义n→∞nk=1k⎛k⎫1n k⎛k⎫n2⎝n⎭n→∞n n⎝n⎭0k=1=1120418．（本题满分10分）解：设f(x)=11,x∈(0,1)，则ln(1+x)x11(1+x)ln2(1+x)-x2f'(x)=-+=(1+x)ln2(1+x)x2x2(1+x)ln2(1+x)令g(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2，则g(0)=0,g(1)=2ln22-1 g'(x)=ln2(1+x)-2ln(1+x)-2x,g'(0)=0g''(x)=2(ln(1+x)-x)<0,x∈(0,1)，所以g'(x)在(0,1)上单调减少，1+x由于g'(0)=0，所以当x∈(0,1)时，g'(x)<g'0)=0，也就是g(x)g'(x)在(0,1)上单调减少，当x∈(0,1)时，g(x)<g(0)=0，进一步得到当x∈(0,1)时，f'(x)<0，也就是f(x)在(0,1)上单调减少．⎛11⎫x-ln(1+x)1 lim f(x)=lim -⎪=lim=x→0+x→0+⎝ln(1+x)x⎭x ln(1+x)2 11ln2219．（本题满分10分）1 ln2解：（1）由条件an+1(na+a)⇒(n+1)an n-1n+1=na+an n-1(n + 1)!+ (a - a ) + a = ∑ (-1)k +1n →∞ n →∞ （2）所以对于幂级数 ∑ a x n ， 由和函数的性质，可得 S '( x ) = ∑ na x n -1 ，所以 (1- x)S '( x ) = (1- x)∑ na xn -1 = ∑ na x n -1 - ∑ na x n = ∑ (n + 1)a x n - ∑ na x n= a + ∑ ((n + 1)a= ∑ a x n = ∑ a x n +1 = x ∑ a x n = xS ( x ) 解微分方程 (1- x)S '( x ) - xS ( x ) = 0 ，得 S ( x ) = ，由于 S (0) = a = 1 ，得 C = 1 1 - x 所以 S ( x ) = ．也就得到 (n + 1)(an +1- a ) = -(a - a ) ，也就得到 n n n -1a- a a -a n n -1n +1 n = - 1 n + 1, n = 1,2,a - a n +1 a - a 10 n = a - aa - a nn -1n +1 n ⨯ a - a a- a n-1n -2n n -1 ⨯⨯ a 2 - a 1 = (-1)n a - a1 0 1 (n + 1)!也就得到 a n +1 - a = (-1)n +1 1, n = 1,2,nan +1= (an +1- a ) + (a - a ) +n n n -12 1 1n k =21 k !ρ = lim n a ≤ lim n n 1 1 + +2! 3! + 1 n ! ≤ lim n e = 1 ，所以收敛半径 R ≥ 1 n →∞∞∞nnn =0 n =1∞ ∞∞nnnn =1n =1n =1∞ ∞n +1n n =0 n =11n +1∞- na ) x nnn =1 ∞ ∞∞n -1nnn =1n =0n =0也就是有 (1- x)S '( x ) - xS ( x ) = 0( x ∈ (-1,1))．e-x1-x20．（本题满分11分）解：（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是r(A)≥1．假若r(A)=1时，则r=0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r(A)≥2，又因为α-α+2α=0，也就是α,α,α线性相关，r(A)<3，也就只有r(A)=2．312123（2）因为r(A)=2，所以Ax=0的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于第13页共16页-1⎪ 又由 β = α + α ,α ，得非齐次方程组 Ax = β 的特解可取为 1⎪ ；1⎪ 方程组 Ax = β 的通解为 x = k 2 ⎪ + 1⎪ ，其中 k 为任意常数． -1⎪ 1⎪ 解：二次型矩阵 A = 1 -1 1 ⎪ ⎝ ⎭ -1⎪ ， 3 ⎪ 0 ⎪ ， λ = 0 的特征向量 ξ =2 ⎪ ， 2 6 ⎪ ⎭ 3所以 Q = (ξ , ξ , ξ ) = - 36 ⎪ ⎪ 为所求正交矩阵． ⎝ 3 6 ⎭解：（1） EY = ⎰ +∞ yf ( y)dy = ⎰12 y 2dy =. 3Y⎛ 1 ⎫ α3 - α1 + 2α2 = 0 ，所以基础解系为 x = 2 ⎪ ；⎝ ⎭⎛1⎫⎪ 1 2 3⎝ ⎭⎛ 1 ⎫ ⎛1⎫⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭21．（本题满分 11 分）⎛ 2 1 -4 ⎫ ⎪-4 1 a ⎪因为二次型的标准形为 λ y 2 + λ y 2 ．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A = 0 ，故a = 2.1 12 2λ - 1-1 4λ E - A = 1λ + 1 1 = λ(λ + 3)(λ - 6) 4-1 λ - 2令 λ E - A = 0 得矩阵的特征值为 λ = -3, λ = 6, λ = 0 ．1 23通过分别解方程组 (λ E - A) x = 0 得矩阵的属于特征值 λ = -3 的特征向量 ξ = i 1 1⎛ 1 ⎫ 1 ⎪ ⎝ 1 ⎭属于特征值特征值 λ = 6 的特征向量 ξ = 2 2⎛ -1⎫ ⎛ 1 ⎫ 1 ⎪ 1 ⎪ 3 3 ⎝ 1 ⎪⎝ 1 ⎭ 1 2 3⎛ 111- 120 1 2 1 ⎫⎪ 2 ⎪6 ⎪ 1 ⎪ ⎪ 22．（本题满分 11 分）2 -∞⎧ 2 ⎫ 4 所以 P {Y ≤ EY }= P ⎨Y ≤ ⎬ = ⎰ 3 2 ydy = .P {Y ≤ z } + 1= [F ( z ) + F ( z - 2)]2 f ( z ) = F ' ( z ) = [ f ( z ) + f ( z - 2)]2 = ⎨ z - 2, 2 ≤ z <3 ⎪0, 其他 F ( z ) = P {Z ≤ z }= P {X - μ ≤ z }= P ⎨ ⎩ σ σ ⎭≤ z }= P {X - μ ≤ z }= P ⎧⎨ X≤⎬ = 2Φ⎩ σσ ⎭⎝ σ ⎪ - 1 ；⎧ 2e 2σ2 , z ≥ 0 ⎪ 所以 Z 的概率密度为f ( z) = F ' ( z) = ⎨ 2πσ ．⎪ 0, z < 0 （2）数学期望 EZ = ⎰ 0z f ( z )dz = ⎰ 2 2σze 2σ2 dz =n 2 2n n Z ，解得 σ 的矩估计量 σ = 2π Z = n 似然函数为 L(σ ) = ∏ f ( z ,σ ) =1∑ 2e 2σ2 i =1i ，2 ⎩3 ⎭ 0 9（2） Z = X + Y 的分布函数为F ( z ) = P {Z ≤ z }= P {X + Y ≤ z }= P {X + Y ≤ z, X = 0}+ P {X + Y ≤ z, X = 2}Z= P {X = 0,Y ≤ z }+ P {X = 2,Y ≤ z - 2}= 1 P {Y ≤ z - 2} 2 21 Y Y故 Z = X + Y 的概率密度为1Z Z⎧ z ,0 ≤ z ≤ 1 ⎪ ⎩23．（本题满分 11 分）解：（1）先求 Z 的分布函数为i⎧ X - μ z ⎫i ≤ ⎬ Z i i当 z < 0 时，显然 F ( z ) = 0 ；Z当 z ≥ 0 时， FZ( z ) = P {Ziii - μ z ⎫ ⎛ z ⎫⎭z 2 - i Z Z ⎩i+∞ +∞0 z 2 -2πσ 2π，令 EZ = Z = 1 ∑ 2π ∑ ii =1 i =1Z ．i（3）设 Z , Z , , Z 的观测值为 z , z , 12n12, z ．当 z > 0, i = 1,2,n in 时ni =1i2n( 2πσ )nln(2π)-n lnσ-n=-n+n n取对数得：ln L(σ)=n ln2-n1∑22σ2i=1z2i令d ln L(σ)1∑dσσσ3i=1z2=0，得参数σ最大似然估计量为σ=i1∑ni=1z2．i。
2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版
1 0 0
因为
3
r(2E
A)
1，∴A
可相似对角化，且
A
~
0 0
2 0
0 2
由 E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 r(2E B) 2 ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A ~ C ，且 B 不相似于 C
1) n
1 n
1 6n 3
o(
1 n3
)
k
1 n
k 2n 2
o(
1 n2
)
(1
k)
1 n
k 2n2
1 6n3
o(
1 n2
)
因为原级数收敛，所以1 k 0 k 1 .选 C.
（5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）
（ A ） E T 不可逆 （ B ） E T 不可逆 （ C ） E 2 T 不可逆 （ D ） E 2 T 不可逆
【答案】B 【解析】
（D） n( X )2 服从 2分布
X N (,1), X i N (0,1)
n
( Xi )2 2(n), A正确 i 1 n
(n 1)S 2 ( X i X )2 2(n 1)，C 正确， i 1
X ~N (, 1), n (X ) N (0,1), n(X ) 2 ~ 2(1), D 正确, n
（A） f (1) f (1) （B） f (1) f (1) （C） f (1) f (1) （D） f (1) f (1)
【答案】C 【解析】
方法
1：
f
(x)
f
'(x)
2017年考研数学三真题与解析
20XX 年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a+++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ∂=---=--∂，232zx x xy y∂=--∂， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()nii Xμ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布 （C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sinx dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰．10．差分方程122t t t y y +-=的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e-+-．平均成本()1Q C Q e -=+，则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0limt x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 3xtxuu x x x x dt edu du ++++--→→→→==== 16．（本题满分10分）计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)111141128Dy y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-= ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数 （1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!nn n n n n n n n n n a a aa a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ 1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分） 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x a x x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ． 【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a = 114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为21121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017年考研数学三真题和解析
2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂，2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T TE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）． 7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ．【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰02limlim limlim 3t x u u x x x x dt e du du ++++--→→→→====计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数（1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ lim1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析 .doc
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。
（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。
2017年考研数学三真题及答案解析
2017全国研究生入学考试考研数学三试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若函数0,(),0,x f x b x >=⎪≤⎩在0x =，处连续，则（ ）（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =（2）二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0)（B ）(0,3)（C ）(3,0)（D ）(1,1)（3）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则（ ） （A ）(1)(1)f f >- （B ）(1)(1)f f <-（C ）(1)(1)f f >- （D ）(1)(1)f f <-（4）设级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2TE αα-不可逆（6）设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 （A ）A 与C 相似，B 与C 相似（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似 （C ）A 与C 不相似，B 与C 相似（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,,A B C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是（A ）A 与B 相互独立（B ）A 与B 互不相容（C ）AB 与C 相互独立（D ）AB 与C 互不相容（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是 （A ）21()nii Xμ=-∑服从2χ分布（B ）212()n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）3(sin x dx ππ-=⎰_______。
2017年考研数学三真题与解析
1 2017年考研数学三真题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数1cos ,0(),0xx f x ax b x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】00011cos 12lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a+++®®®-===，0lim ()(0)x f x b f -®==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =Þ=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0)（B ）03(,)（C ）30(,)（D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ¶=---=--¶，232z x x xy y¶=--¶，2222222,2,32z z z z y x xxyx yy x¶¶¶¶=-=-==-¶¶¶¶¶¶解方程组22320320z y xy y xz x x xy y¶ì=--=ï¶ïí¶ï=--=¶ïî，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x ¢>，则（A ）(1)(1)f f >-（B ）11()()f f <-（C ）11()()f f >-（D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ¢¢=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-Þ>-，所以应该选（C ）4．若级数211sin ln(1)n k nn ¥=éù--êúëûå收敛，则k =（）（A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-【详解】iv n ®¥时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n æöæöæöæö--=---+=++ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设a 为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则阶单位矩阵，则（A ）T E aa -不可逆不可逆 （B ）TE aa +不可逆不可逆（C ）2TE aa +不可逆不可逆 （D ）2TE aa -不可逆不可逆【详解】矩阵Taa 的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T TE E E E aa aa aa aa -+-+的特征值分别为0,1,1,1 ；2,1,1,,1 ；1,1,1,1,1,1,,,1- ；3,1,1,,1 ．显然只有TE aa -存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A æöç÷=ç÷ç÷èø，210020001B æöç÷=ç÷ç÷èø，100020002C æöç÷=ç÷ç÷èø，则，则 （A ）,A C 相似，,B C 相似相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似相似 （D ）,A C 不相似，,B C不相似不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1l l l ===．是否可对解化，只需要关心2l =的情况．的情况．对于矩阵A ，0002001001E A æöç÷-=-ç÷ç÷èø，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -æöç÷-=ç÷ç÷èø，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（条件是（ ）（A ）,A B 相互独立相互独立 （B ）,A B 互不相容互不相容 （C ）,AB C 相互独立相互独立 （D ）,AB C 互不相容互不相容 【详解】【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ³ 为来自正态总体(,1)N m 的简单随机样本，若11n i i X X n ==å，则下列结论中不正确的是（正确的是（ ）（A ）21()ni i X m =-å服从2c 分布分布 （B ）()212nX X -服从2c 分布分布 （C ）21()ni i X X =-å服从2c 分布分布（D ）2()n X m -服从2c 分布分布 解：（1）显然22()~(0,1(0,1))()~(1(1),),1,2,iiX N X i n m m c -Þ-= 且相互独立，所以21()nii X m =-å服从2()n c 分布，也就是（A ）结论是正确的；）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)ni i n S X X n S n c s=--=-=-å，所以（C ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N n X N n X nm m m c Þ-Þ-，所以（D ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22n n n X X X X N N X X c --ÞÞ-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） 9．322(sin )x x dx ppp -+-=ò．解：由对称性知332222(sin )22xx dxx dx ppppp p -+-=-=òò． 10．差分方程122tt t y y +-=的通解为的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =；设122t t tyy +-=的特解为2tty at =，代入方程，得12a =；所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2t t y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e-=+，其中产量为Q ，则边际成本为，则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为，从而边际成本为()1(1).QC Q Q e -¢=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A æöç÷=ç÷ç÷èø，123,,a a a 为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A a a a 的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A æöæöæöç÷ç÷ç÷=®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø，知矩阵A 的秩为2，由于123,,a a a 为线性无关，所以向量组123,,A A A a a a 的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-´+´+´=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题三、解答题15．（本题满分10分）分）求极限03lim xtx x te dtx+®-ò【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，xxtx ux te dtuedu --=òò3332limlim lim lim 332xxxtxuuxx x x x x te dt eue du ue du xexxxx ++++---®®®®-====òòò计算积分3242(1)Dydxdy xy ++òò，其中D 是第一象限中以曲线y x =与x 轴为边界的无界区域．轴为边界的无界区域．【详解】【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)11121411282xDxyydxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x p +¥+¥+¥=++++++=++æöæö=-=-ç÷ç÷ç÷++èøèøòòòòòòò 17．（本题满分10分）分）求21lim ln 1nn k k k n n ®¥=æö+ç÷èøå 【详解】由定积分的定义【详解】由定积分的定义 120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx ®¥®¥==æöæö+=+=+ç÷ç÷èøèø=+=ååòò18．（本题满分10分）分） 已知方程11ln(1)k x x -=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x =-Î+，则，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-¢=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ¢¢=+-+-= 2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-¢¢=<Î+，所以()g x ¢在(0,1)上单调减少，上单调减少，由于(0)0g ¢=，所以当(0,1)x Î时，()0)0g x g ¢¢<=，也就是()g x ()g x ¢在(0,1)上单调减少，当(0,1)x Î时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x Î时，()0f x ¢<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．上单调减少．0011ln(1)1lim()lim lim ln(1)ln(1)2x x xx x f x x x x x +++®®®æö-+=-==ç÷++èø，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+ ，()S x 为幂级数nnn a x ¥=å的和函数的和函数（1）证明nn n a x ¥=å的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-，并求出和函数的表达式．，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+Þ+=++也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n nn n aa n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=´´´=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!nn n aa n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n nnn k aaa aa aa ak +++-==-+-++-+=-å111lim lim lim 12!3!!nnnn n n n a e n r ®¥®¥®¥=£+++£= ，所以收敛半径1R ³（2）所以对于幂级数nnn a x ¥=å， 由和函数的性质，可得11()n n n S x na x¥-=¢=å，所以，所以111111011111110(1)()(1)(1)((1))()n n nn n nn n n n n n nn n nn n n nn nn nnn n n x S x x na xna xna xn a x na x a n a na xa x a xx a x xS x ¥¥¥--===¥¥+====¥+=¥¥¥+-===¢-=-=-=+-=++-====ååååååååå也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-．解微分方程(1)()()0x S x xS x ¢--=，得()1xCeS x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C = 所以()1xeS x x-=-．设三阶矩阵()123,,A a a a =有三个不同的特征值，且3122.a a a =+（1）证明：()2r A =；（2）若123,b a a a =+，求方程组Ax b =的通解．的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ³．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ³，又因为31220a a a -+=，也就是123,,a a a 线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220a a a -+=，所以基础解系为121x æöç÷=ç÷ç÷-èø；又由123,b a a a =+，得非齐次方程组Ax b =的特解可取为111æöç÷ç÷ç÷èø；方程组Ax b =的通解为112111x k æöæöç÷ç÷=+ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèø，其中k 为任意常数．为任意常数．21．（本题满分11分）分） 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x a x x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y l l +，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141Aa -æöç÷=-ç÷-èø因为二次型的标准形为221122y y l l +．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A l l l l l l l ---=+=+--- 令0E A l -=得矩阵的特征值为1233,6,0l l l =-==．通过分别解方程组()0i E A x l -=得矩阵的属于特征值13l =-的特征向量111131x æöç÷=-ç÷ç÷èø，属于特征值特征值26l =的特征向量211021x -æöç÷=ç÷èø，30l =的特征向量311261x æöç÷=÷çèø， 所以()12311132612,,036111326Q x x x æö-ç÷ç÷ç÷==-ç÷ç÷ç÷ç÷èø为所求正交矩阵．为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<ì=íî其他．（1）求概率P Y EY £（）； （2）求Z X Y =+的概率密度．的概率密度．【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy+¥-¥===òò所以{}230242.39P Y EYP Y ydy ìü£=£==íýîþò（2）Z X Y =+的分布函数为的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z YY F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =£=+£=+£=++£===£+=£-=£+£-=+-故Z X Y =+的概率密度为的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,ZZf z F z f z f z z z z z ¢==+-££ìï=-£<íïî其他23．（本题满分11分）分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量m 是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N m s 该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n m =-= ，利用12,,,n Z Z Z 估计参数s ． （1）求i Z 的概率密度；的概率密度；（2）利用一阶矩求s 的矩估计量；的矩估计量； （3）求参数s 最大似然估计量．最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P m m ss ì-ü=£=-£=£íýîþ当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ³时，{}{}()21i Z i i X z z F z P Z z P X z P m m s s sì-üæö=£=-£=£=F -íýç÷èøîþ； 所以i Z 的概率密度为2222,0()()20,0z Z Z e z f z F z z s ps-ì³ï¢==íï<î．（2）数学期望22222()22z iEZ z f z dzze dzss psp-+¥+¥===òò， 令11ni i EZ Z Z n ===å，解得s 的矩估计量12222ni i Z Z np ps ===å．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >= 时 似然函数为2211212()(,)(2)n ii nnz i n i L f z ess s ps =-=å==Õ，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22ni i n L n n z s p s s ==---å令231ln ()10ni i d L n z d s s s s ==-+=å，得参数s 最大似然估计量为211ni i z n s ==å．。
2017考研数学三真题及答案解析
2017年考研数学三真题及解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂，解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）T E αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵T αα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】 显然，AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ．【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，0t x u dt du -=⎰⎰16．（本题满分10分）计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域． 【详解】17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义 18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<． 19．（本题满分10分）设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数（1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+1lim1!n n n n ρ→∞=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为故Z X Y =+的概率密度为 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为 当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量122ni i Z nσ===∑．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
(完整版)2017年全国考研数学三真题
2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题:1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）12ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <-（C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-4． 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T E αα-不可逆6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容（C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()n i i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()n i i X X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．3(sin x dx ππ-+=⎰ ．10．差分方程122t t t y y +-=的通解为 ．11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→16．（本题满分10分） 计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域．17．（本题满分10分） 求21lim ln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数 （1）证明0n n n a x ∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+（1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）； （2）求Z X Y =+的概率密度．某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量；（3）求参数σ最大似然估计量．2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案一、选择题:1—8小题．每小题4分，共32分．1．解：0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．解：2(3)32z y x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．解：设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4．解：iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）． 5．解：矩阵T αα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．解：矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．解：(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+- 显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()n ii X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的； （2）222221(1)()(1)~(1)n i i n S X X n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．解：由对称性知330(sin 22x dx ππππ-+==⎰⎰．10．解：齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2x y C =； 设122t t t y y +-=的特解为2t t y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2t ty C t =+11．解：答案为1(1)Q Q e -+-．平均成本()1Q C Q e -=+，则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．解：(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．13．解：对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2． 14．解：显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）解：令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，0t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 3t x u u x x x x dt e du du ++++--→→→→==== 16．（本题满分10分）解：33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 解：由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 解：设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<． 19．（本题满分10分） 解：（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a aa a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ lim 1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数0nn n a x ∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n n n S x na x ∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．20．（本题满分11分）解：（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥． 假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）解：二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分） 解：（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分） 解：（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量122ni i Z Z nσ===∑．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017数三考研真题
2017数三考研真题2017数学三考研真题（正文开始）一、选择题考点：数列与级数1. 设等差数列 {$a_n$} 初项为 3，公差为2. 若 $a_9=10$，则$S_{10}+$ 为（）A. 35B. 37C. 40D. 45解析：根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 可知，$a_n=3+2(n-1)=2n+1$。
所以 $a_9=2 \cdot 9 + 1=19$。
由于 $S_n=n(a_1+a_n)/2$，代入公式可得 $S_{10}=10(3+19)/2=110$，所以 $S_{10}+$ 为 $110+10=120$，故选项为 D。
2. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$，则 $f(x-1)-f(x)$ 的值为（）A. 1B. $x$C. $\dfrac{1}{x}$D. $\dfrac{1}{x(x-1)}$解析：将 $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$ 带入得 $f(x-1)-f(x)=\dfrac{1}{1-(x-1)}-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{x}$，故选项为 C。
考点：微分3. 曲线 $y=x^3$ 在点 $(2,8)$ 的切线方程为（）A. $y=4x-8$B. $y=4x$C. $y=2x-2$D. $y=2x+4$解析：根据切线的定义，其斜率等于曲线在该点的导数值。
求导得$y'=3x^2$，将 $x=2$ 带入得 $y'=12$。
因此，曲线在点 $(2,8)$ 的切线斜率为 12。
由点斜式得出切线方程为 $y-8=12(x-2)$，即 $y=12x-16$，故选项 A。
考点：概率论与数理统计4. 设随机变量 $X$ 的期望 $E(X)=3$，方差 $Var(X)=4$，则 $E[(X-2)^2-(X+1)^2]$ 的值为（）A. 10B. 11C. 12D. 13解析：根据数理统计的知识，$E(X-2)^2=E(X^2-4X+4)=E(X^2)-4E(X)+4=E(X^2)-12+4=E(X^2)-8$。
2017考研数学三真题及答案
2017考研数学三真题及答案、选择题1 —8小题.每小题4分，共32分.1 cos . x 01 .若函数f(x) ax ,x 0在x 0处连续，则b, x 0…11 . 一 . 一(A) ab — (B) ab — (Q ab 0 (D) ab 22 2_ 11 cos 、x ox 1【详斛】lim f (x) lim ------- lim — — , lim f (x) b f(0),要使函数在x 0 x 0 ax x 0 ax 2a x 0八……r 11 〜，…，x 0处连续，必须满足——b ab -.所以应该选(A2a 222z z2x, 3 2x x y y xz 2 八 一 3y 2xy y 0 x2解方程组 x ，得四个驻点.对每个驻点验证AC B 2,发现只有在z 2一 3x x 2xy 0 y应该选(D(A) f (1) f( 1) (B) f (1) f( 1)(C) f (1) |f( 1) (D) |f(1)| |f( 1)-11 一，一.22f(x)f (x) 0,也就是f(x)是单调增加函数.也3.设函数f(x)是可导函数，且满足f(x)f (x) 0,则【详解】设g(x) (f (x))2,则g (x)、.一 一2就得到f(1) f ( 1) f(1) |f( 1),所以应该选(C)2.二元函数z xy(3 x y)的极值点是((A) (0,0)(B) (0,3)(C) (3,0)(D) (1,1)【详解】—y(3 x y) xy x2 Z c 23y 2xy y ,——3x x y2z 2y, 2 点(1,1)处满足ACB 22 0,所以(1,1)为函数的极大值点，所以4.右级数sin - kln(1 —)收敛，则k n 2 n n26 .已知矩阵A 0情况.7 .设A,B, C 是三个随机事件，且 A,C 相互独立，B,C 相互独立，则AUB 与C 相互独 立的充分必要条件是【详解】(A)iv n(B) 2 (C)(D) 21sin 一 nk ln(1 1~2n(11 k)-n 显然当且仅当 (1 k) 0, 也就是k 1时，级数的一般项是关于 1 ,,人一—的二阶无穷小,n收敛，从而选择(C).5.设为n 单位列向量, E 为n 阶单位矩阵，则(A) ET 不可逆(B) E T 不可逆(C) E 2 T 不可逆(D) ET 不可逆【详解】矩阵T 的特征值为1和n 1个0,从而ET,ET,E 2 T ,E的特征值分别为 0,1,1,L 1; 2,1,1,L ,1 ;1,1,1L ,1 ； 3,1,1,L ,1 .显然只有E T 存在零特征值，所以不可逆, 应该选(A).(A) A,C 相似，B,C 相似(B) A,C 相似，B,C 不相似 (C) A,C 不相似，B,C 相似(D) A,C 不相似，B,C 不相似【详解】矩阵 A, B 的特征值都是22,31 .是否可对解化，只需要关心对于矢I 阵A, 2E A 0,也就是矩阵A 属于特征值2存在两个线性无关的特征向量, 也就是可以对角化，也就是A~C.,也就是矩阵A 属于特征值2只有个线性无关的特征向量, 也就是不可以对角化，当然B,C 不相似故选择(B).(A) A, B 相互独立 (B) A,B 互不相容(C) AB,C 相互独立(D) AB,C 互不相容【详解】P((AUB)C) P(AC AB) P(AC) P(BC) P(ABC) P(A)P(C) P(B)P(C) P(ABC)P(AUB)P(C) (P(A) P(B) P(AB))P(C) P(A)P(C) P(B)P(C) P(AB)P(C)是正确的;【详解】齐次差分方程 y t 1 2 y t 0的通解为y C2x ；显然，AU B 与C 相互独立的充分必要条件是P(ABC) P(AB)P(C),所以选择(C ).8.设X I ,X 2,L ,X n (n 2)为来自正态总体N( ,1)的简单随机样本,卜列结论中不正确的是n(A) (X ii 1 )2服从2分布(B)2 X n X 1 2服从2分布n(X ii 1(3)n(C) (X ii 1显然(X iX)2服从 2分布)~N(0,1) (X i)2服从2(n)分布，也就是(A)(X i X)2 (n i 11)S 27(D)n(X 22)~结论是正确的;2)2服从1,2,L 2(n 1),所以(C),n(X ) ~ N(0,1) n(X )2 ~2分布n 且相互独立，所以结论也是正确的;2 ,(1),所以(D)结论也(4)对于选项(B): (X nX I )~ N(0,2)X n -X 1 ~ N(0,1)所以(B)结论是错误的，应该选择(B) 二、填空题(本题共 6小题，每小题4分, 满分24分.把答案填在题中横线上)9. (sin 3x2 2x )dx 解：由对称性知(sin 3x 2x 2)dx 10.差分方程y t 12 y t 2t 的通解为t _ t1 设y t 1 2y t 2的特解为y at2 ,代入方程，得a —；2t+ 1 +所以差分万程y t i 2y t 2t的通解为y C2t5 t2.Q11 .设生广某广品的平均成本 C(Q) 1 e ，其中产量为Q,则边际成本为.【详解】答案为1 (1 Q)e Q.平均成本C(Q) 1 e Q ,则总成本为C(Q) QC(Q) Q Qe Q,从而边际成本为C (Q) 1 (1 Q)e Q .df(x,y) ye y dx x(1 y)e y dy ,f(0,0) 0,则 f(x,y)f(0,0) 0,得 C 0,所以 f(x, y) xye y.114.设随机变量 X 的概率分布为 PX 2- , P X 1 a,PX 3 b,若 2 EX 0 ,则 DX .…1 1^ , , _ __ ____ _1【详解】显然由概率分布的性质，知 a b - 121 …1 1EX 2 — 1 a 3 b a 3b 1 0,解得 a — ,b 一2 4412.设函数 f (x, y)具有一阶连续的偏导数，且已知【详解】df (x, y)ye y dx x(1 y)e y dy d(xye y ),所以 f (x, y) xye y C ,由1 0 113.设矩阵A1 12 01 1的秩为.【详解】对矩阵进行初等变1, 2, 3为线性无关的三维列向量, 则向量组A 1, A 2, A 31 0 11 0 1 A 1 1 20 1 1 0 1 10 1 11 0 10 11,知矩阵A 的 0 0 0秩为2,由于1, 2, 3为线性无关，所以向量组A 1,A 2, A 3的秩为 2.求极限lim x 0 ° x te t dt【详解】令 ,dt du,、.ue x u duli m x 0 x te t dt 16.(本题满分 计算积分 (1x 3limx 0,ue u dux 3 li mx 0ue u dux 3limx 0、,xe x2时3 2 10分)3y~24T2x y)•dxdy,其中D 是第一象限中以曲线 yJx 与x 轴为边界的无界区域. 【详解】 3y D (1 x 2 y亍dxdyxdx 03ydy (1 x 2 y 4)2V17.(本题满分 10分)求limn kn'n 1 n 1k n由定积分的定义 li m n Fn k 1 n 18.(本题满分10分) 1 已知方程一1— ln(1 x) 1 一 k 在区间 x 【详解】设f (x)1 ln(1 x) f(x) (1 x) ln 2(1 x)人 2令 g(x) (1 x)ln (1 x)li m n(0,1)1 一,x xdx24、xd(1 x y )(1)21 2x 2dxn k 1 n1 01n(1 x)dxln(1x)dx内有实根，确定常数 k 的取值范围. (0,1),则(1 x)ln 2(1 x) x 2x 2(1 x)ln 2(1 x) g(0) 0,g(1) 2ln 22g (x) ln2(1 x) 2ln(1 x) 2x, g (0) 0g (x) 2(1n(1 x) x) 0,x (0,1),所以g(x)在(0,1)上单调减少,1 x由于g (0) 0 ,所以当x (0,1)时，g(x) g0) 0, 也就是g(x) g (x)在(0,1)上单调减少，当x (0,1)时，g(x) g(0) 0,进一步得到当(0,1)时，f(x)0,也就是f (x) 在(0,1)上单调减少.1 lim f (x) lim 一x 0 - x 0 ln(1x)x ln(1 x) limx 0xln(1 x),也就是得到1 1-1k-ln219.(本题满分10分)设a0 1,a1 0,a n 1 (na n a n 1)(n 1,2,3L ),,S(x)为哥级数a n x n的和函数(1)证明a n x n的收敛半径不小于1 .n 0(2)证明(1 x)S(x) xS( x) 0(x (1,1)),并求出和函数的表达式.(1)由条件a n1 ,21 n1(n a na n 1) (n 1)a n 1 na n a n 1也就得到(n 1)(a n 1 a n ) (a n a n 1),也就得到a n 1 a n也就得到a n a n 1 (a n 1limvn 'a n 1 a n a n 1 a n a n a n 1a1 a0 a n a n 1 a n 1 a n 21 a na n )(a na na n a n 1a2 a1a1 a0——,n 1,2,Ln 11K11)!,n 1,2,La n 1) L (a2 a1) a1 1)k工k!lim n1 1n■ 2! 3!1n!lim Ven 1,所以收敛半径(2)所以对于哥级数a n x nn 0 由和函数的性质,可得S (x) na n x n 1,所以(1 x)S (x) (1 x) na n x n 1na n x n 1na n x nn 1n 1n 1n n(n 1)a n 1xna n xn 0n 1a 1((n 1)a n 1 na n )x nn 1nn 1na n 〔xa n xx a 「xxS(x)n 1n 0n 0也就是有(1 x}S(x) xS(x) 0(x ( 1,1)).Ce x解微分万程(1 x)S(x) xS(x) 0,得S(x)由于S(0)% 1,得1 xxe 所以S(x) ——. 1 x20 .(本题满分11分)设三阶矩阵A 1, 2, 3有三个不同的特征值，且(1)证明：r(A) 2；⑵若 12, 3,求方程组Ax 的通解.【详解】(1)证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是 假若r(A) 1时，则r 0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 r(A)3 12 2 0,也就是1, 2, 3线性相关，r(A) 3,也就只有r(A) 2(2)因为r(A) 2 ,所以 Ax 0的基础解系中只有一个线性无关的解向量. 331220,所以基础解系为x 2 ;11又由 12, 3,得非齐次方程组 Ax 的特解可取为 11113122.r(A) 1 . 2,又因为21 .（本题满分11分）222设一次型 f(X i ,X 2,X 3) 2x i X 2 ax 3 2x 1X 2 8x 1X 3 2x 2X 3在正交变换 x Qy 下的标22 -傕形为112 y 2 ,求a 的值及一个正交矩阵Q .21 4 【详解】二次型矩阵A 11 1 41 a1y 22y2.也就说明矩阵A 有零特征值，所以 A 0,故a 2.1 41 1 (3)(6)12令 E A0得矩阵的特征值为13, 2 6, 3 0.,, 3通过分别解方程组（i E A ）x 0得矩阵的属于特征值〔方程组Ax 的通解为x k 2 1 ,其中k 为任意常数.因为二次型的标准形为 3的特征向量1属于特征值特征值26的特征向量30的特征向量31 .6 21所以Q 1, 2, 31 20 121 -6 276为所求正交矩阵.22.（本题满分11分）设随机变量X,Y 相互独立，且X 的概率分布为P X 0〜、,… 1 、，P{ X 2} - , Y 的概率密度为 f(y)2y,0 y 1 0,其他(1)求概率P(Y EY)；（2）求Z X Y的概率密度.「，、, J 2 . 2 【详解】（1）EYyf Y(y)dy 02ydy -.3(2) Z X Y 的分布函数为F Z (z)PZz P X Y z PXYz,X0PXYz,X2P X0,Y zP X 2,Y z 21 ， 、 1 —P{Y z} -P Y z 22 2 1-F Y (Z ) F Y (Z 2) 2故Z X Y 的概率密度为1f Z (z) F Z (Z ) - f(z) f(z 2)2z, 0 z 1 z 2,2 z 30,其他用该天平对一物体的质量做了 n 次测量，该物体的质量2.是已知的，设n 次测量结果 X 1,X 2,L , X n 相互独立且均服从正态分布 N(,).该工程师(1)求Zi 的概率密度； (2)利用一阶矩求的矩估计量;(3)求参数 最大似然估计量. 【详解】(1)先求Z i 的分布函数为当z 0时，显然F Z (z) 0 ;当 z 0时，F Z (z) P Z i z P X iF z (z) P Z i z P X iX i所以Z i 的概率密度为f z (z) F z (z)所以P YEY P Y -3 2032 ydy23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,记录的是n 次测量的绝对误差乙X i ,(i 1,2,L ,n),利用 乙，Z 2,L ,Z n 估计参数X i zz z P ———-2 -z2(2)数学期望EZ i zf (z)dz _2_ ze 2^dz ,i 0 0 ..2 21 n.修......... ..令EZ Z - Z i,解得的矩估计量n i 129 2 29(3)设乙，Z2,L ,Z n的观测值为Z I,Z2,L ,Z n .当Z i 0,i 1,2,L n 时似然函数为L()2nf(Z i，) n e(.2 )1n z2 升i j取对数得: lnL() n In2 nln(2 ) nln2 2Z i i 1令dlnL(d Z20 ,得参数最大似然估计量为：2. n i 1n。
2017年考研数学三真题及解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒= (2)二元函数(3)z xy x y =--的极值点（）(A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【答案】D【解析】(3)设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（）(A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C) ()()11f f >- (D)()()11f f <-【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
(4)若级数2111n sin kln nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛，则()k =(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 【解析】(5)设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（）(A) T E αα-不可逆 (B) TE αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2TE αα-不可逆 【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=T E .即αα-TE 不可逆.选项B,由()1ααα=Tr 得ααT的特征值为n-1个0，1.故αα+TE 的特征值为n-1个1，2.故可逆.其它选项类似理解.(6)已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似 【答案】B【解析】由()0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1.因为3(2)1r E A --=，∴A 可相似对角化，且100~020002A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.由0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.因为3(2)2r E B --=，∴B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化， ∴~A C ，且B 不相似于C.(7)设A B 、、C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是 (A) A 与B 相互独立 (B)A 与B 互不相容 (C)AB 与C 相互独立 (D)AB 与C 互不相容 【答案】C 【解析】(8)设12,......(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是： (A)21()nii Xμ=-∑服从2χ分布 (B) 212()n X X -服从2χ分布 (C)21()nii XX =-∑服从2χ分布(D) 2()n X μ-服从2χ分布 【答案】B【解析】2212221222211(,1),(0,1)()(),(1)()(1)C 1~(,)(0,1),()~(1),()~(0,2),~(1),B 2i ni i ni i n n XN X N X n A n S X X n X N X N n X D nX X X X N μμμχχμμμχχ==-⇒-⇒-=--⇒---⇒-∑∑正确，正确，正确,故错误.由于找不正确的结论，故B 符合题意.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分。
2017年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)
2017年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若函数f(x)=在x=0处连续，则( )A．ab=1／2B．ab=-C．ab=0D．ab=2正确答案：A解析：=1／2a，∵f(x)在x=0处连续，1／2a=bab=1／2，选A．2．二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是( )A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：=-1，从而AC-B2＞0，从而(1，1)为极值点．3．设函数f(x)可导，且f(x)f’(x)＞0，则( )A．f(1)＞f(-1)B．f(1)＜f(-1)C．|f(1)|＞f(-1)|D．|f(1)|＜|f(-1)|正确答案：C解析：举特例，设f(x)=ex，可排除BD；设f(x)=-ex，可排除A，故选C．4．若函数收敛，则k=( )A．1B．2C．-1D．-2正确答案：C解析：因为原级数收敛，所以1+k=0k=-1．选C．5．设α为n维单位向量，E为n阶单位矩阵，则( )A．E-ααT不可逆B．E+ααT不可逆C．E+2ααT不可逆D．E-2ααT不可逆正确答案：A解析：选项A，由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解，故|E-ααT|=0．即E-ααT不可逆，选项B，由r(ααT)=1得ααT的特征值为n-1个0，1故E-ααT的特征值为n-1个1，2，故可逆．6．已知矩阵A=，则( )A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C不相似正确答案：B解析：由(λE-A)=0可知A的特征值为2，2，1因为2E-A=得r(2E-A)=1，∴A可相似对角化。
且A～由|λE-B|=0可知B特征值为2，2，1因为2E-B=得r(2E-B)=2，∴B不可能相似对角化，显然C可相似对角化，∴A～C，且B不相似于C．7．设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A∪B与C相互独立的充分必要条件是( )A．A与B相互独立B．A与B互不相容C．AB与C相互独立D．AB与C互不相容正确答案：C解析：由题设知，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，由A∪B与C相互独立知，P(A∪B)C=P(A∪B)P(C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)而P[(A∪B)∩C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)P(ABC)=P(AB)P(C)，即AB与C相互独立．8．设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记Xi，则下列结论不正确的是( )A．(X1-μ)2服从χ2分布B．2(Xn-x1)2服从χ2分布C．)2服从χ2分布D．n(-μ)2服从χ2分布正确答案：B二、填空题9．∫-ππ(sin3x+)dx=_______．正确答案：π3／2解析：∫-ππ(sin3x+)dx=2∫0π(2∫0π／2πcost．πcostdt=2π2∫0π／2πcos2tdt=2π22．=π3／2．10．差分方程yt+1-2yt=2t通解为yt=_______．正确答案：φt=C．2t+t．2t解析：由yt+1-2y1=2tλ=2，∴=C2t设y1*=C1t21，则y1+1*=C1(t+1)2i+1=2tt2i(C∈R)．11．设生产某产品的平均成本(Q)=1+e-Q，其中产量为Q，则边际成本为_______．正确答案：1+(1-Q)e-Q解析：C=Q=Q(1+e-Q)C’(Q)=1+e-Q-Qe-Q=1+(1-Q)e-Q．12．设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_______．正确答案：xyey解析：f’k=yey，f’y=x(1+y)ey，f(x，y)=∫yeydx=xyey+c(y)，故f’y=xey+xyey+c’(y)=xey+xyey，故c’(y)=0，由f(0，0)=0，即f(x，y)=xyey．13．设矩阵A=，α1、α2、α3为线性无关的三维向量组，则向量组Aα1、Aα2、Aα3的秩为_______．正确答案：2解析：由a1，a2，a3，线性无关，可知矩阵a1，a2，a3，可逆，故r(Aa1，Aa2，Aa3)=r(A(a1，a2，a3))=r(A)再由r(A)=2得r(Aa1，Aa2，Aa3)=2．14．设随机变量X的概率分布为P{X=-2}=1／2，P={X=1}=a，P{X=3}=b，若EX=0，则DX=_______．正确答案：9／2解析：由归一性得+a+b=1，再由EX=0得-1+a+3b=0故a=b=1／4，故EX2=(-2)2×=9／2，DX=EX2-(EX)2=9／2．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17年考研数三真题
17年考研数三真题2017年考研数学三真题分为两节，第一节为选择题，第二节为填空题。
本文将对这两部分进行详细分析和解答。
一、选择题解析选择题共15道，涵盖了数学三各个知识点，包括概率论、随机变量、极限等。
下面将分析其中几道典型题目。
1. 题目描述：设随机变量X与Y的概率密度函数分别为fX(x), fY(y)，fX(x) > 0, fY(y) > 0；若对任意函数g(z)有E[g(X)h(Y)] = E[h(Y)]E[g(X)]对任意可测函数h(y)成立，则下列结论正确的是（）。
(A) 随机变量X与Y独立(B) X与Y的相关系数为0(C) fX(x)是常数(D) fY(y)是常数解析：根据题目描述，E[g(X)h(Y)] = E[h(Y)]E[g(X)]，可以得到E[Xh(Y)] = E[h(Y)]E[X]，这满足协方差的定义。
所以X与Y是不相关的，即选项B正确。
2. 题目描述：已知α_1, α_2, α_3是一组两两不相等的实数，设f(x)为下列随机变量的概率密度函数，其中α_i ( i = 1, 2, 3) 为已知常数，则常数a的值为........................（）(A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 16解析：根据题目描述，积分求和必须等于1。
根据已知条件，可列出方程f(x) = a(x - α_1)(x - α_2)(x - α_3) = ax^3 - a(α_1 + α_2 + α_3)x^2 + a(α_1α_2 + α_1α_3 + α_2α_3)x - aα_1α_2α_3。
将上式积分求和，得到∫f(x)dx = a(1/4)x^4 - a(α_1 + α_2 + α_3) / 3 * x^3 + a(α_1α_2 + α_1α_3 + α_2α_3) / 2 * x^2 - aα_1α_2α_3 * x = 1。
根据积分求和结果，可以得到方程组:1/4 = 1- (α_1 + α_2 + α_3) / 3 = 0(α_1α_2 + α_1α_3 + α_2α_3) / 2 = 0-aα_1α_2α_3 = 0解方程组得到α_1α_2α_3 = 0，将其带入最初方程组得到1/4 = 1，解得a = 4。
2017年数学三真题答案解析
所以Z的概率密度为
O<z <L
几(z)�r-- 2, 2<z<3,
(23)解
0'
其他．
CI) Z1 的分布函数为
厂王） -], F(z)�P{Z,,s;;z}�P{IX,-pl,s;;z}�
z�o.
o,
z < 0,
所以Z1 的概率密度为 f(z)�{f•';';,'
z歹o,
z<O.
=厂叮 z 厂 C II) EZ1
已AB与C相互独立，故应选C. (8) B
解 因为X, �NCµ ,1),
所以X,
— µ
�N(O,l),
�ex, 则
—µ尸～贮(n), 故A正确；
,-1
一｀ (n — 1)S 2
�(X,
,-1
因为 z =
�X气n — 1)'
C,
1
故C正确；
因为
X
�N(
µ
,—1 )， n
X—µ
所以
�N(O,l),
1
石
(z)dz =
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z z a
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卢
�1 n
EZ1, 令Z=亡让，得
6
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/
产
0
—
过 了arctan,/2x
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(17)解
2 —迈 = 16 兀
n (--;;) --;; 杻心： -杻心： n k
2017年考研数学真题(数三)试题+解析
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2017年考研数学真题一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上. (1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x =0连续，则 (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =【答】应选（A ）【解】由连续的定义可知：0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==，其中0(0)lim ()x f f x b -→==，20001112lim ()lim lim 2x x x f x ax ax a +++→→→-===，从而12b a =，也即12ab =，故选（A ）。
(2) 二元函数(3)z xy x y =--的极值点（ ）(A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【答】应选(D).【解】(3)(32)xz y x y xy y x y '=---=-- (3)(32)y z x x y xy x x y '=---=--2xx z y ''=-，322xy z x y ''=--，2yy z x ''=-验证可得（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个选项均满足00x yz z '=⎧⎨'=⎩,其中(D)选项对应(1,1)2xx A z ''==-，(1,1)1xy B z ''==-，(1,1)2yy C z ''==-满足230AC B -=>，所以该点为极值点.(3) 设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则(A)()()11f f >- (B)()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <-【答】应选(C).【解】令2()()F x f x =，则有()2()()F x f x f x ''=，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即22[(1)][(1)]f f >-，即(1)(1)f f >-，故选C .(4) 若级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则()k =(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2【答】（C ） 【解】由332211111111sinln(1)()()62k k o k o n n n n n n n n--=-++++232111(1)()26k k o n n n n=++-+，又211[sinln(1)]n k n n∞=--∑收敛，故有10k +=，即1k =-，故选C 。
(5) 设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则(A) T -E αα不可逆 (B) T+E αα不可逆 (C) T 2+E αα不可逆 (D)T2-E αα不可逆 【答】应选(A).【解】因为Tαα的特征值为0（1n -重）和1，所以T-E αα的特征值为1（1n -重）和0,故T-E αα不可逆.(6) 已知矩阵200021001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，210020001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，100020002⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ，则 (A)A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D)A 与C 不相似，B 与C 不相似【答】应选(B).【解】由()λ-=E A O 可知A 的特征值为2,2,1.又3(2)1r --=E A ,故A 可相似对角化,且⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A100020002 . 由()λ-=E B O 得B 的特征值为2,2,1.又3(2)2r --=E B ,故不可相似对角化,显然BC 可相似对角化,~A C ,且B 不相似于C 。
(7) 设A B C 、、为三个随机事件,且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是( )(A) A 与B 相互独立 (B) A 与B 互不相容 (C) AB 与C 相互独立 (D) AB 与C 互不相容 【答】应选（C ）【解】由A B ⋃与C ，独立得(())()()()(()()())()()()()(()()())()P A B C P A B P C P AC BC P A P B P AB P C P AC P BC P ABC P A P B P AB P C +=++=+-+-=+-，又由A 与C ，B 与C 独立得()()()()P ABC P A P B P C =。
由此验证（A ）（B ）（C ）（D ）四项，又（C ）选项可得()()()()P ABC P A P B P C =。
(8) 设12,......(2)n X X X n 来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是： (A)21()nii Xμ=-∑服从2χ分布(B) 212()n X X -服从2χ分布(C)21()ni i X X =-∑服从2χ分布 (D) 2()n X μ- 服从2χ分布 【答】应选（B ） 【解】（A ）(0,1)i X N μ-故221()()ni i X n μχ=-∑；（B ）11(0,2)(0,1)2nn X X N N -⇒22(1)χ⇒即221()(1)2n x x χ-。
（C ）由22222111(),(1)()(1)1n ni i i i S X X n S X X n n χ===--=---∑∑。
（D ）1()0,X N nμ⎛⎫- ⎪⎝⎭)(0,1)X N μ-，所以22()(1)n X μχ-。
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)3(sinx x ππ-+=⎰___ ___.【答】应填32π.【解】由对称区间上积分的性质可知,33(sin2x dx πππππ--+==⎰⎰.(10) 差分方程122tt t y y +-=的通解t y = .【答】122,2tt t y C t C R =+⋅∈。
【解】由122tt t y y +-=可得齐次特征方程为20r -=，得2r =，故其齐次方程的通解为2t y C =⋅，设*2t y at =，代入得12a =，故通解为122,2t tt y C t C R =+⋅∈. (11) 设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中Q 为产量,则边际成本为 .【答】()1(1)QC Q e Q -'=+-。
【解】()1Q C Q e Q-=+得()(1)QC Q Q e -=+， 则边际成本为：()1(1)QC Q e Q -'=+-。
(12) 设函数(),f x y 具有一阶连续偏导数，且()()d ,d 1d y y f x y ye x x y e y =++，()0,00f =则(),f x y == .【答】应填y xye .【解】由题可知，y x f ye '=，()1y y f x y e '=+，(),()y y f x y ye dx xye c y ==+⎰，()y y y y y f xe xye c y xe xye ''=++=+，即()0c y '=，即()c y c =，()0,00f =，故0c =，即(),yf x y xye =.(13) 设矩阵101112011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A αA αA α的秩为_ _____.【答】应填2.【解】因为123123(,,)(,,)A A A A αααααα=，101101101112011011011011000A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故()2r A =，所以123(,,)A A A ααα秩为2. (14) 设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}{}1,3P X a P X b ====,若()0E X =,则()D X =___________.【答】应填92【解】由分布律的归一性可知112a b ++=，，，，0EX =，，， 121302a b -⨯+++=，，，11,44a b ==，，，22221119(2)132442EX =-++⨯+⨯=,229(EX)2DX EX =-=.三、解答题：（15～23小题，共94 分.） (15) （本题满分10分）求0d lim t x t +→【解】先对变上限积分t dt ⎰作变量代换u x t =-，得()tx uxu xdt du edu --=-=⎰⎰⎰则由洛必达法则可知： 原式=0lim 3xu x edu +-→+⎰=022lim 33u x du +-→+=022lim 33x x x +→--++=022lim 1332x x x xxe xe e +-→--+-+23=. (16) （本题满分10分）计算积分324(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，，，D，，，，，，，，，y =x ，，，，，，，，，，【解】积分区域如图所示，选用直接坐标计算该积分，先对y ，，，，，x ，，，3242(1)y dy dx x y +∞=++⎰原式42420014(1)dy dx x y +∞=++⎰2420114(1)x y +∞=-++⎰ 220111()4112dx x x +∞=-++⎰01(arctan )|4x +∞=-(18π=-.(17) （本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n→∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.【解】由定积分的定义式可知原式=()1011lim ln 1ln 1n n k k k x x dx n nn →∞=⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∑⎰，再由分部积分法可知：()()()112001ln 1ln 112x x dx x d x +=+-⎰⎰ ()()22110011ln 1|ln 122x x x d x --=+-+⎰()()1210011111|244x dx x =--=--=⎰. (18) （本题满分10分）已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根确定常数k 的取值范围。
【解】，11()ln(1)f x x x=-+，222222111()ln (1)1(1)ln (1)(1)ln (1)f x x x x x x x x x x '=-⋅+++++-=++，22()(1)ln (1)g x x x x =++-，，，2()ln (1)2ln(1)2ln(1)()20,(0,1)1g x x x xx xg x x x'=+++-+-''=<∈+ ，()g x '，[0,1]，，，，，，，，(0,1)x ∈，()(0)0g x g ''<= ，()g x ，[0,1]，，，，，，，，(0,1)x ∈，()(0)0g x g <= ，，，()0f x '<，，，()f x ，(0,1]，，，，，，，，1(1)1ln 2f =-，00111lim ()lim ln(1)2x x f x x x ++→→⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭，，，，，()f x k =，(0,1)，，，，，，，111ln 22k -<<， (19) （本题满分10分）若01a =,0n a =,111()(1,2,3....)1n n n a na a n n +-=+=+,()S x 为幂级数1nn n a x∞=∑的和函数.(，)证明:幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1;(，)证明:(1)()()0x S x xS x '--= ((1,1))x ∈-,并求()S x 的表达式. 【解】(，)由111()1n n n a na a n +-=++，两边同时减去n a 可知 111()1n n n n a a a a n +---=-+ 进而有1121011(1)(1)()()1(1)!(1)!n n n n n n a a a a a a n nn n +-------=⋅-==-=+++ 从而有1211121(1)(1)(1)(1)!(1)!!!n n n k nn n n k aa a n n n k ------=----=+=++==-∑则1!n n n n ≤++≤=，故收敛半径1R ≥； (，)由逐项求导定理可知11()n nn S x na x∞-='=∑故11111(1)()(1)n n n nn n n n n x S x x na xna xna x ∞∞∞--==='-=-=-∑∑∑[]111011(1)(1)nnn n n n n n n n n a x na x n a na x a x ∞∞∞++====+-=+-+∑∑∑1101()n n n n n n xS x a xa x ∞∞+-====∑∑则[]1111(1)()()(1)n n n n n x S x xS x n ana a x a x ∞+-='--=+--+∑由111()1n n n a na a n +-=++可知11(1)0n n n n a na a +-+--=， 又由于10a =，故(1)()()0x S x xS x '--=解此微分方程可得()1xce S x x-=-又由于0(0)1S a ==，可知1c =，从而()1xe S x x-=-。