2021年初中物理竞赛及自主招生专题讲义第三讲功和能第一节功与功率含解析.docx

第三讲 功和能我们解决物理问题时，往往从两个观点入手：力的观点和能量的观点。

力的观点，即分析物体受力情况与运动情况，运用力与运动的规律来求解问题；能量的观点，即从做功与能量转化、能量守恒的角度来求解问题。

本讲将介绍功、功率以及机械能的相关知识。

第一节 功与功率一、功（一）功的概念如果一个力作用在物体上，且物体沿着力的方向移动了一段距离，我们就说这个力对物体做了功。

因此，做功有两个必不可少的要素：作用在物体上的力、物体沿力方向移动的距离。

功的计算公式为W Fs =，其中s 为物体沿力的方向移动的距离，也可理解为物体实际前进的距离沿F 方向的分量。

功的单位为焦耳，简称焦，符号为J ，1J 1N m =⋅。

对于更一般的情况，如图5.1所示，如果力F 与物体移动的距离s之间有夹角θ，则可以这样求解力F 所做的功：将力F 分解为沿着移动距离方向的分力1cos F F θ=和垂直于移动距离方向的分力2sin F F θ=，由于分力2F 与移动方向垂直，不做功，所以力F 做的功实际上等于其分力1F 做的功，有1cos W F s Fs θ==。

因此：（1）当0θ=︒时，cos 1θ=，W Fs =。

（2）当90θ=︒时，cos 0θ=，0W =，即力对物体不做功。

（3）当180θ=︒时，cos 1θ=-，W Fs =-，即力对物体做负功，或说物体克服力F 做功Fs 。

比如，5J W =-，我们可以说“力F 对物体做功5J -”，或“物体克服力F 做功5J ”。

力对物体做正功，表明这个力促进物体的运动；力对物体做负功，表明这个力阻碍物体的运动。

例1 如图5.2所示，斜面高度为h ，长度为l ，用一个平行于斜面的力把重力为G 的物体匀速拉到斜面顶端，拉力所做的功为W ，则斜面对物体的摩擦力大小为多少？摩擦力对物体做的功是多少？分析与解 设拉力为F ，斜面倾角为θ，则拉力F 做功为W Fl =，所以W F l =。

将重力G 正交分解，则重力沿斜面向下的分力为1sin Gh G G lθ==，则拉力1F G f =+，解得1W Gh f F G l -=-=。

考虑到摩擦力方向与物体移动方向相反，摩擦力做功f W fl Gh W =-=-。

（二）变力做功的求解 功的计算公式为W Fs =，只适用于恒力做功，即F 的大小、方向均不变。

当力F 的大小、方向发生变化时，不能再简单地套用公式W Fs =来求解功的大小。

下面介绍几种常见的求解变力做功的方法。

1．等值法所谓等值法，即找到某个与变力做功相同的恒力，求出该恒力做的功，便可得到变力做功的值。

例2 如图5.3所示，定滑轮到滑块顶端的高度为H ，定滑轮摩擦不计，用恒力F 作用于细线末端，滑块在A ，B 位置时细绳与水平方向的夹角分别为α和β。

求将滑块由A 点拉至B 点的过程中，绳的拉力对滑块做的功。

分析与解 作用在绳子末端的拉力为F ，则绳子对滑块的拉力大小也恒为F ，但是在滑块移动的过程中，绳子拉力的方向时刻改变，因此不能直接套用功的计算公式来求绳子对滑块做的功。

考虑到绳子不可伸长，绳子只是把拉力F 做的功“传递”给物块，因此，绳子拉力对物块做的功等于恒力F 对绳子端点做的功。

由几何关系，绳端移动的距离等于sin Hs α=sin H β-，拉力F 做功11sin sin W Fs FH αβ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即绳子对滑块做功为11sin sin FH αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

2．图像法 对于恒力做功，在力与距离同向时，除了可以应用公式W Fs =来求解功外，还可以画出恒力F 与物体移动距离s 的图像，这是一条平行于横轴的直线，如图5.4（a ）所示，力1F 做的功可以用图像下方的面积来表示。

对于随距离变化的力，例如5.4（b ）所示，F s -图像下方的面积表示变力F 所做的功。

若力与距离的关系满足F ks =或()0F ks b k =+≠，则图像下方的面积为三角形、梯形，我们便可以方便地求得变力做功的值。

例3 用铁锤把小钉钉入木板，设木板对小钉的阻力与钉进的深度成正比，已知铁锤第一次对钉子做功W ，将钉子钉进的深度为d ，如果第二次敲钉子时将钉子钉进的深度又为d ，问：第二次做功为多少？分析与解 如图 5.5（a ）所示，设钉子所受木板的阻力为f kx =，其中x 为钉入木板的深度，k 为比例系数。

画出钉子所受阻力与钉入深度x 的图像如图5.5（b ）所示，则钉入深度为d时，所做的功W 等于图像下方0~d 范围内的三角形面积，而继续钉入d 深度的过程中，所做的功为图像下方d ~2d 范围内的梯形面积，由几何知识可得，第二次做功为3W 。

例4 如图5.6所示，一长为L 、质量为m 的木板，自光滑水平面滑向粗糙区域。

粗糙区域的动摩擦因数为μ，问：木板从开始进入粗糙区域到木板右端前进2L 的过程中，木板克服摩擦力做的功是多少？分析与解 木板在逐渐进入粗糙区域的过程中，其在粗糙区域的长度越来越大，对粗糙区域的压力也越来越大，所受摩擦力也逐渐增加。

为了确定木板所受摩擦力与前进距离的关系，不妨设木板在粗糙区域内的长度为x ，对应的质量为x m ，如图5.7（a ）所示，则当x L ≤时，结合木板质量均匀分布，应有x m m x L =，解得x m m x L=，粗糙区域对x 长度部分的摩擦力大小为x f m g μ=mgx L μ=。

可见，当x L ≤时，f 与x 是正比例关系，当x L =时，f 取得最大值mg μ；当x L >时，木板已经全部进入粗糙区域，摩擦力恒为f mg μ=。

据此画出整个过程的f x -图像如图5.7（b ）所示，则在木板前进2L 的过程中，f x -图像下方为一梯形，其面积等于木板克服摩擦力做功的值，即2322f L L mgL W mg μμ+=⨯=。

3．平均力法当力的方向不变、而大小随距离均匀改变（即在任意相等距离内力的变化量相同，F s -图像为倾斜的直线）时，可用平均值法求出全过程中力的平均值，将变力做功等效为恒力做功。

所谓力的平均值，即若一个恒力在一段距离内做的功与变力在同一段距离内做的功相同，我们就说这个恒力是变力在这一段距离内的平均值。

如图5.8所示，AB 段为变力随距离变化的F s -图像，0~s 距离内变力F 的功为图中梯形OABC 的面积，图中与时间轴平行的直线DE 表示物体受恒力F 作用时的F s -图像，矩形ODEC 的面积表示物体在移动s 距离内恒力做的功。

若矩形ODEC 的面积等于梯形OABC 的面积，则根据平均力的定义，该恒力就等于变力的平均值。

当矩形ODEC的面积与梯形OABC 的面积相等时，容易得出，ADH △与BEH △全等，此时H 为AB 的中点，有122F F F +=，则变力F 的功()122W F F s Fs ==+。

例5 已知汽车质量为5110kg m =⨯，由静止开始运动，阻力0.05f mg =，牵引力与汽车前进距离x 满足310F x f =+，求当车前进100m x =时，牵引力做的功。

分析与解 由题可知牵引力为随距离均匀变化的变力（一次函数），则可考虑采用平均力来求解牵引力的功。

汽车刚启动时，牵引力510.050.510N F f mg ===⨯，当汽车前进距离为100m x =时，牵引力35210 1.510N F x f =+=⨯，平均力512110N 2F F F +==⨯，牵引力做的功为7110J W Fx ==⨯。

4．微元法在力的大小、方向，位移的方向都发生变化时，可将整个过程分成n 个微小的过程，只要每个过程足够小，就可以认为在微小的位移s ∆内，力可以看成恒力，这样变力做功的问题就转变为若干个恒力做功的求和问题，这种方法叫做微元法。

例6 如图5.9所示，物体沿曲线从A 运动到B ，大小恒定的力F 始终与曲线相切，已知AB 曲线的长度为s ，则此过程中力F 做功为多少？分析与解 由于力F 的方向时刻变化，不能用功的计算公式来直接求功。

考虑到力F 始终与曲线相切，我们可以将曲线分割成n 段，每一段的长度为1s ∆，2s ∆，…，n s ∆都非常小，因此在每一段微小的距离内，都可认为力F 与距离同向，有12n F s F W s F s =∆+∆+⋅⋅⋅+∆，考虑到12n s s s s ∆+∆+⋅⋅⋅+∆=，可得W Fs =。

可见，大小不变而方向始终与物体运动方向相同（或相反）的力所做的功等于力的大小与路程的乘积。

二、功率（一）功率的概念功率是表示物体做功快慢的物理量。

物体在单位时间内做功的多少，叫做功率，公式为W P t =，功率的单位是“瓦特”，符号为“W ”，1W 1J/s =。

在一般情况下，功的计算公式为cos W Fs θ=，因此功率也可以用公式cos cos W Fs P Fv t tθθ===来计算，其中，θ为力F 与物体速度v 的夹角，速度v 可以是平均速度，也可以是瞬时速度，所对应的功率分别是平均功率和瞬时功率。

特殊地，当F 与v 同向，即0θ=︒时，cos 1θ=，则功率可以直接用P Fv =来计算。

例7 （上海第30届大同杯初赛）如图5.10所示，水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ，木箱在与水平夹角为θ的拉力F 的作用下做匀速直线运动。

θ从0°逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度始终保持不变，则拉力F 的功率（ ）。

A ．一直减小B ．一直增大C ．先减小后增大D ．先增大后减小分析与解 判断一个物理量随另一个物理量的变化情况，最常见的方法是写出两者之间的表达式，再根据表达式的增减情况判断。

解法一 由于木箱的速度v 始终不变，所以木箱受力平衡，可将拉力在竖直与水平方向上分解，可得cos F θ始终等于木箱受到的滑动摩擦力，即()cos sin F mg F θμθ=-，解得cos sin mg F μθμθ=+︒。

拉力的功率cos cos cos sin 1tan mgv mgv P Fv μθμθθμθμθ===++。

又由于θ从0°到90°变化，tan θ单调递增，因此P 逐渐减小。

选项A 正确。

当然，由于本题物体的速度恒定，因此我们也可以找到拉力F 的水平分力cos F θ的变化情况，根据cos P Fv θ=来判断功率的变化情况。

解法二 如图5.11所示，画出物体所受摩擦力与支持力的合力，即全反力R ，设摩擦角为ϕ，则可知R 与竖直方向的夹角为ϕ，R 方向不变。

画出全反力R 、重力G 、拉力F 所围成的封闭三角形，可知，当θ从0°逐渐增大时，拉力F 先减小后增大，但是拉力F 的水平分力cos F θ逐渐减小，所以拉力的功率逐渐减小。