沪教版数学九年级上册【学案】锐角的三角函数正弦与余弦

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沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计2

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计2一. 教材分析《锐角的三角函数》是沪科版数学九年级上册第23.1节的内容。

本节主要介绍锐角三角函数的定义及性质，包括正弦、余弦、正切函数。

这部分内容是学生对三角函数的初步认识，为后续学习三角函数的图像和性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了代数、几何等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和探究能力。

但是，对于三角函数这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和操作来加深理解。

三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义及性质；2.能够运用锐角三角函数解决简单问题；3.培养学生的合作探究能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义及性质；2.难点：理解三角函数的概念，并能运用解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究锐角三角函数的定义及性质；2.运用多媒体辅助教学，直观展示三角函数的图像；3.采用合作学习法，鼓励学生分组讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.相关教案、课件；3.练习题及答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中常见的三角函数实例，如建筑物的倾斜角度、运动员投篮的抛物线等，引导学生思考：这些现象与数学中的三角函数有何关系？2.呈现（10分钟）介绍锐角三角函数的定义及性质，包括正弦、余弦、正切函数。

通过示例和讲解，使学生初步理解三角函数的概念。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用三角函数解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。

教师选取部分答案进行讲解，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：三角函数在实际生活中的应用有哪些？如何运用三角函数解决复杂问题？6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调锐角三角函数的定义及性质。

7.家庭作业（5分钟）布置适量作业，让学生巩固所学知识。

8.板书（5分钟）绘制三角函数的图像，展示关键知识点。

【教案】锐角的三角函数——正弦与余弦

锐角的三角函数——正弦与余弦教课目的【知识与技术】认识锐角三角函数的观点, 可以正确应用 sinA 、cosA 表示直角三角形中两边的比 .【过程与方法】经过锐角三角函数的学习进一步认识函数 , 领会函数的变化与对应的思想 , 领会数学在解决实质问题中的应用 .【感情、态度与价值观】1.经过学习培育学生的合作意识 .2.经过研究提升学生学习数学的兴趣 .要点难点【要点】锐角三角函数的观点【难点】锐角三角函数观点的理解.教课过程一、创建情境 , 导入新知师：前方我们学过在一个直角三角形中，假如一个锐角等于30o，那么这个角的对边与斜边的比值都等于如图，随意画一个o o，计算∠ A 的对边与斜边的比，Rt△ABC，使∠ C=90，∠A=45能获得什么结论？生：由勾股定理得，故结论：在一个直角三角形中，假如一个锐角等于45o，那么不论三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于师：回答的很对，一般地，当∠A取其余必定度数的锐角时，它的对边与斜边的比能否也是一个固定值？二、共同研究 , 获得新知教师多媒体课件出示 :师: 在这个图中 , 这些直角三角形都是相像的 , 当锐角 A 的大小确立后 , 不单∠A 的对边与邻边的比随之确立 , 还有一些量也是确立的 , 你知道还有哪些量也是确立的吗 ?学生思虑、沟通 .教师提示 : 还有哪两条边的比值也是确立的 ?生甲 : ∠ A的对边与斜边的比值也是确立的 .生乙 : 邻边与斜边的比值也是确立的 .师: 对.教师画一个图形 :师: 在这个直角三角形 ABC中, 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦 , 记作 sinA, 即 sinA===. 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦 , 记作 cosA,即 cosA===.锐角 A 的正弦、余弦、正切称为锐角 A 的三角函数 . 我们介绍了正弦、余弦 , 下边我们经过详细的实例加深对这些函数的印象 .三、举例应用 , 稳固新知老师多媒体课件出示 :【例 1】如图 , 在 Rt △ABC中, 两直角边 AC=12,BC=5求.∠ A 的各个三角函数值 .师: 要求这三个三角函数的值, 需要知道几条边的长 ?生: 三条.师: 此刻已知了哪几条边的长?生:AC、 BC两条边的长 .师: 那么我们需要求什么才能求出三个三角函数的值?生: 还要求出 AB的长 .师: 如何求呢 ?生: 用勾股定理 .师: 很好 ! 此刻请同学们求出AB的长 , 并进一步求出∠ A 的各个三角函数的值 .学生做题 .师: 请同学们将你的步骤和结果与课本上的解答相对比 , 对不正确的地方加以纠正 .学生比较 .教师多媒体课件出示 :【例 2】如图 , 在平面直角坐标系内有一点P(3,4), 连结 OP.求 OP与 x 轴正方向所夹锐角α的各个三角函数 .教师读题 , 学生思虑 .师: 从前是在直角三角形中 , 用直角三角形的边长之比求三角函数的 , 此刻没有直角三角形怎么办 ?学生思虑 .生: 作协助线 .师: 如何作 ?生: 过点 P 向 x 轴作垂线 , 垂足为 Q.这样在直角三角形 OPQ中求角α的三角函数值就行了 .师: 很好 ! 作出这样的协助线就方便了 , 就变为了我们从前碰到过的种类 , 同学们能求出吗 ?生: 能.师: 好! 此刻请同学们画出协助线, 并求出角α的三角函数值 .学生作图 , 计算 .师: 请同学们将结果与课本上的解答比较, 加以修正 .学生比较 , 修正 .四、练习新知师: 请同学们看课本第116 页练习的第 1、2 题.学生看题 .教师找两生疏别板操练习第1、2 题, 其余同学在下边做 , 而后集体校正。

沪科版九年级数学上册23.1.1锐角的三角函数导学案

23．1 锐角的三角函数1．锐角的三角函数目标导航1、经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系。

2、能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算。

3、体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力。

4、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。

【实例讲解】［例1］如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?分析：本题中就用到坡度的知识，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）tanA 的值越大，梯子越陡；反过来，梯子越陡，tanA 的值越大.sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡；所以本题应先求出甲、乙两个图的坡度。

解：甲梯中， tanα=125513522=-=∠∠的邻边的对边αα.乙梯中， tanβ=4386==∠∠的邻边的对边ββ.因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.［例2］如图在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.分析：本题用到直角三角形中的正弦的定义，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠解：在Rt △ABC 中， ∵ sinA ＝ACBC，即sinA ＝ACBC＝0.6， ∴BC ＝200×0.6=120.［例3］在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要构造∠B 所在的直角三角形.根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.解：过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足。

∴AB=AC ，∴BD=DC=21BC=3. 在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD=3， ∴AD ＝4. sinB ＝54=AB AD cosB ＝53=AB BD ，［例4］如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是BC 边上一点，AC =2，CD =1，设 ∠CAD =α.(1)求sin α、cos α、tan α的值；(2)若∠B =∠CAD ，求BD 的长.A B C Dα分析：本题就要用到勾股定理，先求得AD 的长，就可以求出α的三角函数值。

沪科版数学九年级上册《正弦和余弦》教学设计2

沪科版数学九年级上册《正弦和余弦》教学设计2一. 教材分析《正弦和余弦》是沪科版数学九年级上册的一个重要内容，主要介绍了正弦和余弦的概念、性质及其在实际问题中的应用。

本节课的内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初中的难点之一。

教材通过丰富的例题和习题，帮助学生理解和掌握正弦和余弦的概念，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数的概念和性质有一定的了解。

但是，正弦和余弦的概念较为抽象，学生理解和掌握起来有一定的难度。

因此，在教学过程中，需要教师通过生动的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握正弦和余弦的概念，并能够运用到实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握正弦和余弦的概念，能够熟练运用正弦和余弦解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。

四. 教学重难点1.重点：正弦和余弦的概念及其在实际问题中的应用。

2.难点：正弦和余弦的性质和公式的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体的问题情境，引导学生观察、思考和解决实际问题。

2.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.激励评价法：注重对学生的过程性评价，激发学生的学习兴趣和自信心。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关的教学材料和教具。

2.学生准备：预习相关内容，了解正弦和余弦的概念，准备参与课堂讨论和练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置一个实际问题，引导学生思考和讨论，引出正弦和余弦的概念。

例如：在直角三角形中，角A的对边与邻边的比值叫做角A的正弦，用符号sinA表示。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现正弦和余弦的定义和性质，引导学生观察和思考。

沪科版-数学-九年级上册- 23.1.1锐角的三角函数(第2课时) 教学教案1

23.1锐角三角函数（第2课时）【教学目标】1、理解正弦和余弦的意义，能够用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比。

2、了解直角三角形中锐角三角函数的概念，3、会求锐角的三角函数值。

【教学重点】理解正弦、余弦的意义．会求锐角的三角函数值。

【教学难点】构造直角三角形，求出锐角的三角函数值．【教学过程】一、回顾交流，迁移导入问题：下图是两个不同商场的自动扶梯，依据图形数据探讨下列问题．（1）哪一个自动扶梯陡？为什么？（2）甲、乙两个自动扶梯的倾斜程度是通过什么数学公式计算的？（3）如图（甲），当Rt△ABC中的锐角∠ABC确定时，∠ABC•的对边与邻边的比便随之确定，此时其他边之间的比确定吗？二、新课1、正弦、余弦定义在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边之比也就确定．（注意引导学生类比正切的定义，得出正、余弦定义）正弦定义：在Rt△ABC中，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin=.A BC aAAB c∠==的对边斜边余弦定义：在Rt△ABC中，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A CA∠A的邻边b∠A的对边aB斜边c的余弦，记作cosA ，即cos =.A AC b A AB c∠==的邻边斜边 2、三角函数锐角∠A 的正弦、余斜、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数。

注意：①引导学生体会对于锐角A 的每个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是锐角A 的函数。

同样地，cosA 、tanA 也是锐角A 的函数。

②引导学生从定义得到锐角的三角函数值都是正实数，而且0<sinA<1，0<cosA<1．三、例题例1 、（课本P115例2）在Rt △ABC 中，两直角边AC=12，BC=5，求∠A 的各个三角函数值。

巩固练习：（课本P116练习1）在Rt △ABC 中,∠C ＝90°，AB=10，AC=6.求sinA 、cosA 、tanA 、sinB 、cosB 、tanB 。

沪科版九年级数学上册锐角的三角函数教案

锐角三角函数教学目标1．知识与技能．理解锐角三角函数中的正弦、余弦的概念，并能够举例说明．2．过程与方法．经历探索正弦、余弦概念的过程，掌握运用sinA、cosA表示直角边的比．3．情感、态度与价值观．培养良好的数形结合的能力，体会三角函数在现实生活中的应用价值．教学重点与难点1．重点：理解正弦、余弦的概念．2．难点：怎样运用已学过的正余切，以及正余弦概念解决实际问题． 3．关键：要注意正切、余切、正弦、余弦的特性，把握应用的方法．教学过程一、回顾交流，迁移导入1．专题讨论．（投影显示）问题牵引1：下图是两个不同商场的自动扶梯，依据图形数据探讨下列问题．（1）哪一个自动扶梯陡？为什么？（2）甲、乙两个自动扶梯的倾斜程度是通过什么数学公式计算的？（3）如图（甲），当Rt△ABC中的锐角∠ABC确定时，∠ABC•的对边与邻边的比便随之确定，此时其他边之间的比确定吗？教师活动：操作投影仪，显示“问题牵引”，组织学生讨论．学生活动：四人小组讨论，交流解决方法，上讲台演示．思路点拨：问题（1）的解决方法是通过计算∠ABC和∠DEF的正切值来比较，tan∠ABC>tan∠DEF，因此，甲梯较乙梯陡．这道题复习了正切的概念．问题（2）•实际上是在问题（1）的基础上进一步明确倾斜程度是正切定义来确定的，即斜面的铅直高度与水平宽度的比．问题（3），在锐角∠ABC的三角函数概念中，如图甲∠ABC是自变量，•其取值范围是0°<∠ABC<90°，三个比值是因变量，当∠ABC确定时，三个比值分别唯一确定，当∠ABC 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．答案：（1）甲梯中：tan∠ABC=2，乙梯中，tan∠DEF=7tan∠ABC>tan∠DEF，•所以甲梯更陡．（2）甲、乙两梯的倾斜程度分别为2：17，（3）略．2．发展认知．在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边之比也就确定．斜边∠A的邻边∠A的对边BA正弦定义：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=A∠的对边斜边余弦定义：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=A∠的邻边斜边评析：锐角∠A的正弦、余斜、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数，这些函数值都是正实数，而且0<sinA<1，0<cosA<1．定义拓展：sin2A+cos2A=1，tanA·cosA=1．二、激情促思，多种思维教师提问：请同学们思考：梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗？学生活动：与同桌交流，得出探究思路：思路1：甲梯中，sin∠==；乙梯中，sin∠DEF=10由于sin ∠ABC>sin ∠DEF ，因此，甲梯较乙校更陡．规律：sinA 的值越大，梯子越陡．思路2：甲梯中，cos ∠乙梯中，cos ∠DEF=710．由于cos ∠ABC<cos ∠DEF ，因此甲梯较乙梯更陡．规律：cosA 的值越小，梯子越陡．评析：从理论上来讲，正弦和余弦都可以用来刻画梯子的倾斜程度，但是，一般情况下还是使用正切最好．三、范例学习，类比领悟 1．例1：见课本2．例2：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC 的长．思路点拨：可以从sinA=0.6，找到解题途径，由于定义sinA=BCAC，又因为AC=200，可以求出BC 的值．CBA教师板书：在Rt △ABC 中， ∵sina=BC AC =200BC=0.6， ∴BC=200×0.6=120．学生活动：参与例2分析，探讨不同解法，上台演示．学生板书：在Rt △ABC 中， ∵sinA=0.6=35， ∴可以设BC=3x ，AC=5x ，由于AC=200，因此5x=200，x=40． ∴BC=120．评析：例2中的解法一是运用正弦定义求对边长度，而解法二也是一种常见的方法，引入参数x，将比值转化成具体的线段（舍x），再运用已知量求解．四、丰富联想，拓展延伸问题牵引2：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=1213，Ac=10，求AB；sinB的值．思路点拨：首先应用余弦定义cosA=ACAB，又因为AC=100，cosA=1213，建立等式10 AB =1213，•可求出AB的值，再应用正弦定义sinB=ACAB，求出si nB值，sinB=1213．学生活动：先独立思考，再与同伴交流，在解题中探寻规律．教师活动：帮助学生归纳“正、余弦”互化公式．sin（90°-A）=cosAcos（90°-A）=sinA．评析：在有关三角函数计算的某些习题中，常常遇到三角函数的互化，实现这种转化，需要灵活运用上述几个公式．五、随堂练习，巩固深化1．课本练习第1、2、3题．2．探研时空．直角三角形的一条直角边为8cm，这条直角边所对锐角的余弦是方程5x+7x-•6=0的两个根，求出这个三角形的斜边长．（10cm）六、课堂总结，提高认识1．正弦和余弦的概念是什么？（学生回答）2．正弦、余弦、正切、余切这四个三角函数在定义上有哪些异同点？•（学生回答）教师归纳：上述四个定义把锐角三角函数值与图形融合在一起，充分体现了数形结合的思想，这里角是图形，边的比是数值．锐角A•的任一三角函数值可以是实数，这个数值的大小不仅由锐角A的大小确定，而且与直角三角形大小无关，•角与边的比是一一对应．七、课后反馈1．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=34，则tanA=_____，cosA=_____．CBA2．在△ABC 中，∠C=90，则cotB=________． 3．在△ABC 中，∠C=90°，tanA=0.85，b=4，则a=______．4．汽车在坡度为1：7的斜坡路上行进200米，则它垂直上升了____米． 5．在△ABC 中，∠C=90°，C=16，，则△ABC 面积（） A ．．．64 D ．32 6．菱形ABCD 中，对角线AC=24，BD=10，则sintan 22B C等于（） A ．1.cos.sin .tan 22tan2D D B C DD A7．方程4x 2-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，•那么这时的m 值应取多少呢？8．如图，甲城市气象台测得台风中心在甲城正东300•千米时，•以每小时26.5千米的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200米范围内将受到台风影响，请问甲城市是否会受到台风影响？为什么？甲北OF B。

沪科版数学九年级上册《正弦和余弦》教学设计3

沪科版数学九年级上册《正弦和余弦》教学设计3一. 教材分析《正弦和余弦》是沪科版数学九年级上册的教学内容，这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行学习的。

教材通过引入正弦和余弦的概念，使学生能够更好地理解直角三角形的性质，并能运用正弦和余弦解决实际问题。

本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，因此需要教师在教学过程中给予充分的引导和帮助。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数有一定的了解。

但是，对于正弦和余弦的概念以及它们的性质和运用可能还不够清晰。

因此，在教学过程中，需要教师关注学生的认知水平，通过合理的教学设计，帮助学生理解和掌握正弦和余弦的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握正弦和余弦的概念，能够运用正弦和余弦解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，培养学生的动手能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：正弦和余弦的概念及其性质。

2.难点：正弦和余弦在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

2.互动法：通过小组讨论、实验等活动，促进学生之间的交流与合作。

3.示例法：通过具体的例子，使学生更好地理解和掌握正弦和余弦的概念和性质。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，以便在课堂上进行展示和讲解。

2.实验材料：准备一些直角三角形、量角器等实验材料，以便学生在课堂上进行实验和观察。

3.练习题：准备一些相关的练习题，以便学生在课堂上进行操练和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式，引导学生回顾锐角三角函数的概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示正弦和余弦的定义，让学生观察和思考，引导学生自己总结出正弦和余弦的概念。

3.操练（10分钟）学生分组进行实验，用量角器测量直角三角形的角度，计算正弦和余弦的值，从而加深对正弦和余弦概念的理解。

沪科九年级数学上册第23章1 1 第2课时正弦和余弦

cos·A，tan·A；
4 当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，
如tan∠ABC.
做一做 C
如图，已知在Rt△ABC中， ∠C=90°，
CD是Rt△ABC斜边上的高，则
sin
( A=
CD) AC =(
BC
AB
)，
sin
B=
CD
( BC
)=
(
AC
AB
)
，
cos∠DCB= CD ，
BC
A
D
B
AB 10 5
BC 6 3
正弦：
如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与斜边
正
的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sin A，即
弦
sin
A
∠A的对边斜边
BC AB
a. c
B
c
a
、
余
余弦：
A
b
C
同理，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A
弦
的余弦(cosine)，记作cos A，即
cos A
∠A的邻边斜边
tan
QP
4 .
OQ 3
5
4
α
O 3Q
x
1.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍， sin A的值( C )
A.扩大
B.缩小
C.不变
D.不能确定
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则下列选项正确的是( B )
A.sin A= 12
5 12
C.tan A= 5
从而提高学习数学的兴趣．
复习回顾
还记得上节课学习的正切吗？

沪科初中数学九上《锐角的三角函数》教案_2

锐角的三角函数教学目标1．理解锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)的定义．2．会求直角三角形中各锐角的三角函数值．3．了解坡度、坡角的定义，掌握坡度、坡角与三角函数之间的关系．教学重难点正切、正弦、余弦函数的概念及其应用；使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是固定值．教学过程导入新课杂志上有过这样的一篇报道：始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜.1972年比萨发生地震，这座高54.5 m的斜塔大幅度摇摆22分之多，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m增加至5.2 m，而且还以每年倾斜1 cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm.根据上面的这段报道中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m增加至5.2 m”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了！推进新课一、合作探究1．问题引入梯子是我们日常生活中常见的物体，你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？学生交流：如可用角的大小，梯子斜靠墙的高度等．给学生以发表意见的机会，教师予以引导．【问题1】探究梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？请说出你的判断方法？学生可由铅直高度相等，水平长度不同进行判断．【问题2】当水平长度和铅直高度都不相等时，又如何判断呢？设计意图：引发学生的争论，激发学生的求知欲．从而教师可提出能否用铅直高度与水平长度的比值进行衡量呢？【问题3】如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子AB 1的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子AB 1的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？【问题4】如图，在锐角A 的一边上任取一点B ，自点B 向另一边作垂线，垂足为C ，得到Rt△ABC ；再任取一点B 1，自点B 1向另一边作垂线，垂足为C 1，得到Rt△AB 1C 1……，这样，我们可以得到无数个直角三角形．在这些直角三角形中，锐角A 的对边与邻边之比BCAC，B 1C 1AC 1，B 2C 2AC 2……有怎样的关系？引导学生独立证明：易知，BC ∥B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3∥…， ∴△ABC ∽△AB 1C 1∽△AB 2C 2∽△AB 3C 3∽…， ∴BC AC ＝B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2＝….因此，在这些直角三角形中，∠A 的对边与邻边的比值是一个固定值．通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到教学目标，同时培养学生的能力，进行了德育渗透．2．正切函数概念的提出在日常生活和数学活动中，上面所得出的结论是非常有用的．为了叙述方便，作出如下规定：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A=A aA b∠=∠的对边的邻边.注意：正切的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，实质是两条线段长度的比，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关．3．坡度和坡角对于问题2中“当水平长度和铅直高度都不相等时，判断坡度的大小”，你现在能判断了吗？结合图形，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或叫做坡比)，一般用i 表示，即i ＝hl，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角(或称倾斜角)．引导学生结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？答：i ＝h l＝tan α. 4．正弦、余弦的概念我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，当锐角A 确定时，∠A 的对边与邻边的比就随之确定了．问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？教师引导学生自己作出结论，其证明方法与上面证明对边比邻边为定值的方法相同，都是通过两个三角形相似来证明．学生证明过后教师进行总结：类似于正切的情况，当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比、∠A 的邻边与斜边的比也分别是确定的．正弦：我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝a c.余弦：我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝b c.锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．对于锐角A 的每一个确定的值，sin A 有唯一确定的值与它对应，所以sin A 是A 的函数．同样地，cos A ，tan A 也是A 的函数．二、巩固提高如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝35，求cos A ，tan B 的值．分析：我们已经知道了直角三角形中一条直角边的值，要求余弦值、正切值，就要求斜边与另一条直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．解：sin A ＝BCAB， ∴AB ＝BCsin A ＝6×53＝10. 又∵AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8，∴cos A ＝AC AB ＝45，tan B ＝AC BC ＝43.三、达标训练 1．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α，则下列结论中正确的是( )．A ．s in α＝45B ．cos α＝35C ．tan α＝43D ．tan α＝342．在R t△ABC 中，各边长度都同时缩小为原来的一半，则锐角A 的余弦值和正切值( )．A ．都扩大2倍B ．都缩小一半C ．都不变D ．正切值扩大2倍，余弦值缩小一半3．一段坡面的坡角为60°，则坡度i ＝_____________________.4．已知直角三角形中较长的直角边长为30，这边所对角的余弦值为817，则此三角形的周长为__________，面积为__________．本课小结1．在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．2．能利用锐角三角函数的概念求锐角三角函数值，或利用锐角三角函数值求边的长度． 3．对锐角三角函数概念的理解要准确，不要混淆正弦函数、余弦函数和正切函数，特别是正弦函数和余弦函数易混淆，正弦函数是对边比斜边，而不是邻边比斜边(余弦).1．对三角函数概念的理解(1)正切、正弦、余弦的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度的比，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关．(2)在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以有如下结论：tan A ＞0,0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1.(3)“tan A”“sin A”“cos A”都是整体符号，不能写成“tan ·A”“sin ·A”“cos ·A”，对于用三个大写字母，如∠AOB ，应写成“tan∠AOB”“sin∠AOB”“cos∠AOB”．(4)由tan A ＝ab ，sin A ＝ac ，cos A ＝b c，变形可以得到a ＝b ·tan A，a ＝c ·sin A，b ＝c ·cos A，或者b ＝a tan A ，c ＝a sin A ，c ＝bcos A .(5)(sin A)2常写成sin 2A ，不能写成sin A 2. 2．三角函数的产生和发展三角学开创之初，希腊人思考的是定圆各中心角所对应的弦长．如托勒密把圆心角分成360份，把直径分为120份，然后对圆心角求对应弦的长．而印度人则不同，他们研究一个角的倍角所对弦的一半，即角对应的半弦长.1631年邓玉函、汤若望和徐光启编译的《大测》一书，将sin us 译成正半弦或前半弦，简称正弦，此即为我国正弦一词的来源．正弦、余弦的现代定义起源于欧拉．正弦和余弦的符号也是经过长期的发展才成为我们现在所看到的这样．数学家毛罗利科早在1558年就已采用三角函数符号，但当时并无函数的概念，于是只称作三角线.1753年，生于瑞士的欧拉开始使用sin 和cos 表示正弦和余弦，这两个符号才算基本定型．公元727年，唐朝卓越的天文学家、高僧一行受唐玄宗之命撰写《大衍历》．为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切函数．希腊科学家海伦在计算正多边形面积时，就已经用到了余切三角函数值了．3．一般三角形中正弦函数的应用在锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c .过A 作AD ⊥BC 于D ，如图，则sin B=AD c ，sin C=AD b ，即AD=c sin B ，AD=b sin C ．于是c sin B=b sin C ，即sin sin b cB C.同理有sin sin c a C A =，sin sin a bA B =. 所以sin sin sin a b c A B C==.(*) 即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．解决以下问题：在锐角三角形中，若已知三个元素a ，b ，∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c ，∠B，∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a ，b ，∠A――――→用关系式__________――→求出∠B；第二步：由条件∠A，∠B――――→用关系式__________――→求出∠C；第三步：由条件__________――――→用关系式__________――→求出c .分析：灵活运用结论a sin A ＝b sin B ＝csin C .解：第一步：∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B＝bsin Aa.第二步：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)．第三步：a ，∠A，∠C 或b ，∠B，∠C，c sin C ＝a sin A 或b sin B ＝csin C.奥赛链接如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8，BC ＝10，则tan∠EFC 的值为( )．A ．34B ．43C ．35D ．45 解析：AF ＝AD ＝10，∴BF＝102－82＝6.又∵∠AFE＝∠D＝90°， ∴∠AFB＋∠EFC＝90°. ∴∠BAF＝∠EFC．∴tan∠EFC＝tan∠BAF＝BF AB ＝68＝34.答案：A。

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4一. 教材分析《锐角的三角函数》是沪科版数学九年级上册第23.1节的内容。

本节主要介绍了锐角三角函数的定义及应用。

通过本节的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数的计算方法，并能够运用锐角三角函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基础知识，对函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于锐角三角函数的具体定义和应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解和掌握锐角三角函数的概念和计算方法。

三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义及计算方法。

2.能够运用锐角三角函数解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.锐角三角函数的定义及计算方法。

2.运用锐角三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。

2.案例教学法：通过具体的案例，讲解和演示锐角三角函数的计算方法。

3.小组合作学习：学生分组讨论和解决问题，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示锐角三角函数的定义和计算方法。

2.案例材料：准备一些实际的案例，用于讲解和演示锐角三角函数的应用。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习成果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际的例子，如建筑物的角度测量、滑翔机的起飞角度等，引导学生思考这些例子与三角函数的关系，从而引出锐角三角函数的概念。

2.呈现（10分钟）讲解锐角三角函数的定义和计算方法，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。

3.操练（10分钟）学生分组讨论和解决一些实际的案例，如滑翔机的起飞角度问题、房屋建筑的倾斜度问题等，巩固学生对锐角三角函数的理解和应用。

4.巩固（10分钟）学生独立完成一些练习题，检测学生对锐角三角函数的掌握程度。

沪科版数学九年级上册《正弦和余弦》教学设计1

沪科版数学九年级上册《正弦和余弦》教学设计1一. 教材分析《正弦和余弦》是沪科版数学九年级上册的一部分，主要介绍了正弦和余弦的概念、性质及其在实际问题中的应用。

这部分内容是初等数学中的重要组成部分，为学生进一步学习高中数学和相关专业打下基础。

本节课的内容主要包括正弦和余弦的定义、单位圆的引入、正弦和余弦函数的图像和性质等。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角函数的基本概念和一些基本的性质，具备了一定的数学基础。

但是，对于正弦和余弦的深入理解和应用还需要进一步引导和培养。

此外，学生对于实际问题中涉及到的正弦和余弦函数的解决能力还需要加强。

三. 教学目标1.了解正弦和余弦的定义和性质；2.掌握正弦和余弦函数的图像和性质；3.能够应用正弦和余弦解决实际问题；4.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.正弦和余弦的定义和性质；2.正弦和余弦函数的图像和性质；3.应用正弦和余弦解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：通过讲解正弦和余弦的定义和性质，引导学生理解和掌握相关概念；2.案例分析法：通过实际问题引导学生应用正弦和余弦解决问题；3.小组讨论法：引导学生分组讨论，共同探索正弦和余弦函数的图像和性质；4.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。

六. 教学准备1.正弦和余弦的PPT课件；2.相关实际问题的案例；3.课堂练习题和课后作业；4.板书设计。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习三角函数的基本概念，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）教师讲解正弦和余弦的定义和性质，通过PPT课件和板书，展示正弦和余弦的概念和图像，让学生直观地了解正弦和余弦的性质。

3.操练（10分钟）教师提出一些实际问题，引导学生应用正弦和余弦解决问题。

学生分组讨论，共同探索解决问题的方法。

4.巩固（10分钟）教师通过课堂练习题，让学生巩固所学知识。

教师及时给予解答和指导，确保学生掌握正弦和余弦的概念和性质。

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计2

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计2一. 教材分析《锐角的三角函数》是沪科版数学九年级上册第23.1节的内容。

本节主要介绍锐角三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦、正切函数。

通过本节的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握三角函数的定义域和值域，了解三角函数的图像和性质。

教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生巩固所学知识，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的数学基础知识，对函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于锐角三角函数的理解和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出三角函数的概念，通过观察和实验，发现三角函数的性质，从而加深学生对锐角三角函数的理解。

三. 教学目标1.理解锐角三角函数的概念，掌握三角函数的定义域和值域。

2.了解三角函数的图像和性质，能够运用三角函数解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念，三角函数的定义域和值域，三角函数的图像和性质。

2.难点：理解和应用三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和实际问题，引导学生从实际中抽象出三角函数的概念。

2.数形结合法：通过观察和实验，引导学生发现三角函数的性质。

3.问题驱动法：通过提问和思考，引导学生深入理解三角函数的内涵和外延。

六. 教学准备1.准备相关的实例和实际问题，用于引导学生学习三角函数的概念。

2.准备三角函数的图像和性质的资料，用于帮助学生理解和应用三角函数。

3.准备练习题和测试题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出三角函数的概念。

例如，一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长度。

引导学生思考，如何通过已知的直角边长求解斜边长。

2.呈现（10分钟）介绍锐角三角函数的定义和性质。

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4一. 教材分析《锐角的三角函数》是沪科版数学九年级上册第23.1节的内容，这一节主要介绍了锐角三角函数的定义和性质。

在本节内容中，学生将学习到正弦、余弦和正切函数的定义，以及它们在直角三角形中的运用。

教材通过具体的例题和练习题，帮助学生理解和掌握锐角三角函数的知识，为后续的学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数和几何基础，能够理解和运用一些基本的数学概念和运算方法。

但是，对于锐角三角函数这一较为抽象的概念，学生可能存在一定的理解难度。

因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握锐角三角函数的知识。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦和正切函数的性质，并能运用它们解决实际问题。

2.过程与方法：学生通过观察、操作和思考，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学在实际生活中的运用，增强对数学的兴趣和信心。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义和性质。

2.难点：正弦、余弦和正切函数在直角三角形中的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。

2.直观教学法：利用图形和模型，帮助学生直观地理解锐角三角函数的概念和性质。

3.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作和思考，自主发现锐角三角函数的规律。

4.练习法：通过适量的练习题，巩固学生对锐角三角函数知识的理解和运用。

六. 教学准备1.教学PPT：制作含有生动实例和图形的PPT，辅助教学。

2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固学生的学习效果。

3.教学模型：准备一些直角三角形模型，帮助学生直观地理解锐角三角函数。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节内容，例如：“在建筑行业中，如何利用锐角三角函数测量一个建筑物的高度？”引导学生思考锐角三角函数的运用。

九年级数学上册《正弦和余弦》教案、教学设计

-设计意图：培养学生从具体实例中抽象出数学概念的能力。
3.计算方法：
-结合计算器，让学生动手计算具体角度的正弦和余弦值，总结数值变化规律，并引导学生运用这些规律解决实际问题。
-设计意图：提高学生的实际操作能力，培养学生的计算技巧。
4.图像教学：
-引导学生绘制正弦和余弦的图像，观察图像特点，发现图像与数值之间的联系。
3.提出问题：教师提出与正弦和余弦相关的问题，如：“正弦和余弦的定义是什么？”“它们在直角三角形中如何应用？”激发学生的求知欲通过直观演示和实际例子，引导学生理解正弦和余弦的定义，并强调其本质含义。
2.正弦和余弦的计算方法：教师结合计算器，讲解如何计算具体角度的正弦和余弦值，以及数值变化规律。
-设计意图：帮助学生梳理知识结构，提高学生的概括能力。
7.课后作业：
-设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识，同时注重培养学生的拓展思维。
-设计意图：巩固课堂所学，提高学生的自主学习能力。
8.教学评价：
-采用课堂提问、课后作业和阶段测试等多种方式，全面评价学生的学习情况，关注学生的个体差异，给予针对性的指导。
（四）课堂练习
1.教师设计具有针对性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：
-计算具体角度的正弦和余弦值；
-利用正弦和余弦解决实际问题；
-分析正弦和余弦图像的特点。
3.教师对学生的练习情况进行反馈，及时解答学生的疑问。
（五）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的正弦和余弦的定义、计算方法、数值变化规律、图像特点及其应用。
1.概念理解：对于正弦和余弦的定义，部分学生可能难以理解其本质含义，需要通过具体实例和直观演示来帮助学生加深理解。

沪教版版九年级数学教案-余弦、正切函数(第2课时)

【繁體轉換簡體方法】打開文檔---功能表列---審閱---繁轉簡---轉換完成【簡體轉換繁體方法】打開文檔---功能表列---審閱---簡轉繁---轉換完成余弦、正切函數(第2課時)複習引入教師提問：我們是怎樣定義直角三角形中一個銳角的正弦的？為什麼可以這樣定義它．學生回答後教師提出新問題：在上一節課中我們知道，如課本圖28．1-6所示，在Rt △ABC中，∠C=90°，當銳角A確定時，∠A的對邊與斜邊的比就隨之確定了．現在我們要問：其他邊之間的比是否也確定了呢？為什麼？探究新知（一）余弦、正切概念的引入教師引導學生自己作出結論，•其證明方法與上一節課證明對邊比斜邊為定值的方法相同，都是通過兩個三角形相似來證明．學生證明過後教師進行總結：類似於正弦的情況，在課本圖28．1-6中，當銳角A的大小確定時，∠A的鄰邊與斜邊的比、∠A的對邊與鄰邊的比也分別是確定的．我們把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA=A∠的邻边斜边=cb；把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA=AA∠∠的对边的邻边=ab．教師講解並板書：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．對於銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是A的函數．同樣地，cosA，tanA也是A的函數．（二）余弦正切概念的應用教師解釋課本第78頁例2題意：如課本圖28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，求cosA、tanB的值．∠A的邻边b∠A的对边a斜边cCBA教師對解題方法進行分析：我們已經知道了直角三角形中一條邊的值，要求余弦，正切值，就要求斜邊與另一個直角邊的值．我們可以通過已知角的正弦值與對邊值及畢氏定理來求．教師分析完後要求學生自己解題．學生解後教師總結並板書．解：sinA=BC AB， ∴AB=sin BC A =6×53=10，又∵， ∴cosA=AC AB =45，tanB=AC BC =43．隨堂練習學生做課本第78頁練習1、2、3題．課時總結在直角三角形中，當銳角A 的大小確定時，∠A 的鄰邊與斜邊的比叫做∠A 的余弦，記作cosA ，把∠A 的對邊與斜邊的比叫做∠A 的正切，記作tanA ．教後反思____________________________________________________________________ __________________________________________________________________________第2課時作業設計課本練習做課本第82頁習題28．1複習鞏固第1題、第2題．（只做與余弦、正切函數有關的部分）6C BA。

沪科版九年级数学上册学案-正弦和余弦

1.锐角的三角函数第2课时正弦和余弦［学习目标］1、理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。

2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。

［学习重点与难点］在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。

［学习过程］一、情景创设1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m 后，他的相对位置升高了5m ，如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？二、探索活动1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________；它的邻边与斜边的比值________。

（根据是__________________。

）2、正弦的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________.3、余弦的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。

（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.___________.4、牛刀小试根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。

5、思考与探索怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？20m13m（1）如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度时，他的位置升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。

根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？sin75°、cos75°呢？sin30°＝_____，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。

沪科版数学九年级上册正弦和余弦1教案与反思

第2课时正弦和余弦祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。

《老子·五十八章》原创不容易，【关注】，不迷路！1．理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算；(重点、难点) 2．在直角三角形中求正弦值、余弦值．(重点)一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB)．斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得．你能求出它的高度(AB)吗？二、合作探究探究点一：正弦的定义【类型一】求正弦值在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sin A和tan A的值．解析：先根据勾股定理求出b的长，再根据锐角三角函数的定义求解．解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，∴b＝c2－a2＝52－32＝4，∴sin A＝ac＝35，tan A＝ab＝34.方法总结：解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值．【类型二】已知锐角三角形的一个三角函数值，求其他三角函数的值已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为( ) A.43B.45C.54D.34解析：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则sin A ＝a c ，tan B ＝b a，a 2＋b 2＝c 2；由sin A ＝35知，若设a ＝3x ，则c ＝5x .结合a 2＋b 2＝c 2，得b ＝4x .所以tan B ＝b a ＝4x 3x ＝43.故选A. 方法总结：解决此类问题的关键是要正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值．探究点二：余弦的定义【类型一】求余弦值如图所示，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB ＝________.解析：如图所示，连接AB ，设每个小正方形网格边长为1，则OA ＝22＋42＝25，OB ＝AB ＝32＋12＝10，所以AB 2＋OB 2＝20，OA 2＝20，AB ＋OB 2＝OA 2，故∠ABO ＝90°，cos ∠AOB ＝OB OA ＝1025＝22. 方法总结：在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题．【类型二】构造直角三角形求余弦值如图，已知点P 在第一象限其坐标是(a ，b )，则cos α等于( )A.a bB.b aC.f (a,a 2＋b 2)D.ba 2＋b 2解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解．过点P 作P ⊥y 轴于点M ，注意点P (a ，b )到x 轴的距离是|b |，到y 轴的距离是|a |，若点不在第一象限，则要注字母的符号．三、板书设计正弦和余弦⎩⎪⎨⎪⎧正弦：sin A ＝∠A 的对边斜边＝BC AB ＝a c 余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝AC AB ＝b c注重学生对锐角正弦、余弦概念的理解．加强学生对学思想方法的理解和应用，注意数形结合思想的应用．培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力．通过数学建模把一些实际问题抽象为数学模型，从而提高分析问题、解决问题的能力．【素材积累】每个人对未来都有所希望和计划，立志是成功的起点，有了壮志和不懈的努力，就能向成功迈进。

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