函数图像与自变量取值
函数类型及图像
函数类型及图像函数是一种数学概念，它是描述一种关系的方式。
比如，它可以用来表示两个变量之间的关系，也可以用来表示一个变量随另一个变量的变化而变化的程度。
函数的种类有很多，在不同的情况下使用不同的函数类型可以更好地描述变量之间的关系。
首先从直观上描述函数，函数可以用一个图象表示，一般称之为函数图像。
在函数图像中，每个点处函数值的变化可以用它的颜色和大小来表示，而不同的函数类型可以用不同的颜色和大小来表示它们之间的关系。
一元函数是一个最常见的函数类型，即只存在一个自变量的函数。
一元函数的图像只有一个轴，这个轴代表自变量的取值，而函数值对应的是另一个轴。
一元函数的函数图像可以用不同的颜色和大小来表示其函数值的变化。
二元函数可以用两个自变量表示，其函数图像是一个二维平面，两个变量分别用两个轴表示，而函数值则用不同的颜色和大小来表示。
多元函数可以用多个自变量表示，其函数图像则为多维空间，每个变量对应一个轴，而函数值可以用它的颜色和大小来表示。
函数的种类很多，可以将函数分为离散函数和连续函数两大类。
离散函数指函数值只能是一个值或一组值，而连续函数指函数值可以任意取值。
函数还可以分为线性函数、非线性函数、多项式函数等等。
线性函数就是可以用一条直线表示的函数，而非线性函数则不能用直线表示。
多项式函数是一种特殊的非线性函数，它由多个多项式构成。
此外，函数还可以分为可逆函数和不可逆函数两类。
可逆函数指的是函数值可以通过改变自变量的取值而得到反函数，而不可逆函数则不能。
总之，函数是一种数学概念，它可以用不同的函数类型来描述变量之间的关系，可以用函数图像来表示每个点处函数值的变化，如一元函数、二元函数、多元函数等。
离散函数和连续函数、线性函数和非线性函数、多项式函数等也是函数的类别。
此外，函数还分为可逆函数和不可逆函数。
可以利用这些函数类型，根据不同的情况来描述变量之间的关系，以达到更好的效果。
二次函数自变量取值范围
二次函数自变量取值范围
（实用版）
目录
1.二次函数的定义与性质
2.自变量的取值范围
3.函数图像与自变量的关系
4.实际问题中的应用
正文
二次函数是数学中的一种重要函数类型，其定义为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。
二次函数具有一些特殊的性质，如它的图像是一个抛物线，抛物线开口方向由二次项系数 a 的正负决定，当 a>0 时，开口向上，a<0 时，开口向下。
在二次函数中，自变量 x 的取值范围是所有实数，因为二次函数可以无限延伸，无论 x 取何值，函数都有定义。
然而，在实际问题中，我们往往需要考虑自变量的有效取值范围，即能够使函数有意义的 x 的取值范围。
这个有效取值范围通常由题目中的实际问题决定，比如在物理问题中，自变量可能代表时间，此时 x 的取值范围可能为 [0, +∞)，在化学问题中，自变量可能代表浓度，此时 x 的取值范围可能为 (0, 1]。
二次函数的图像与自变量的关系也非常重要。
二次函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质，如开口方向、顶点位置等。
同时，我们也可以通过图像来确定自变量的取值范围，比如当二次函数的图像在 x 轴上方时，我们可以确定 x 的取值范围为使得函数值大于 0 的 x 值。
在实际问题中，二次函数常常被用来描述各种现象，如物体的自由落体运动、化学反应的浓度与时间的关系等。
对于这些实际问题，我们需要先确定自变量的取值范围，然后通过二次函数来描述现象，最后通过函数的性质来解释现象。
总的来说，二次函数的自变量取值范围是所有实数，但在实际问题中，我们需要根据问题的实际情况来确定自变量的有效取值范围。
数学公式知识：函数图像的性质与特点
数学公式知识：函数图像的性质与特点函数图像是数学中比较重要的一个概念，它具有多种性质和特点。
在本文中，我们将重点论述函数图像的性质与特点。
一、函数图像的定义和基本形态函数是一个规定了自变量与因变量之间关系的集合。
当自变量取遍不同的值时，函数的值也会随之变化。
函数的图像就是由函数的自变量和因变量构成的点的集合，每个点的坐标是(x,y)，其中x表示自变量的值，y表示函数的值。
函数图像的基本形态包括以下几种：1.直线函数图像：直线函数的图像是一条直线，表现出自变量和因变量之间的线性关系。
2.二次函数图像：二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线，表现出自变量和因变量之间的二次关系。
3.反比例函数图像：反比例函数的图像是一个双曲线，表现出自变量和因变量之间的反比例关系。
4.正弦函数图像：正弦函数的图像是一条波浪线，表现出自变量和因变量之间的正弦函数关系。
二、函数图像的性质函数图像具有多种性质，这些性质不仅能够帮助我们更好地理解函数图像，还能够帮助我们解决一些函数相关的问题。
以下是函数图像的一些常见性质：1.奇偶性：如果一个函数图像在x轴上的任意一点(x,f(x))处满足f(-x)=f(x)，那么该函数就是偶函数；如果函数图像在x轴上的任意一点(x,f(x))处满足f(-x)=-f(x)，那么该函数就是奇函数。
2.周期性：如果函数图像在x=a处存在一个正数T，使得f(a+x)=f(a+x+T)，那么该函数就是具有周期性的。
3.对称性：函数图像可以具有多种对称性，其中最常见的有x轴对称和y轴对称。
4.单调性：如果函数图像随着自变量的增加而单调递增或递减，那么该函数就是具有单调性的。
5.渐近线：函数图像可能会逐渐接近某个数值或者一条直线，我们称其为渐近线。
6.极值点：函数图像可能会在某些点处取得最大值或最小值，我们称其为极值点。
三、函数图像的特点除了上述常见的函数图像性质外，函数图像还有很多独特的特点。
函数图像的基本特征与应用
函数图像的基本特征与应用函数图像是数学中的重要内容之一，函数通常是指一个变量集合与另一个变量集合之间的映射关系。
在我们日常生活中，很多经济、科学和技术问题都可以用函数来描述。
通过观察函数图像的形态，我们可以发现很多特征，了解函数的性质，对于问题的解决有极大的帮助。
本文将介绍函数图像的基本特征与应用。
一、函数的基本特征函数图像的基本特征有：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和渐近线等。
1. 定义域和值域函数的定义域和值域是该函数的两个基本元素。
其中，定义域是指函数所能取到的所有自变量的取值范围，值域是指函数在定义域内所能取到的所有因变量的取值范围。
在函数图像中，定义域通常是横轴上的一段区间，值域通常是纵轴上的一段区间。
2. 单调性函数的单调性是指当定义域内的自变量增大时，函数值是单调递增还是单调递减。
如果函数单调递增，其图像将呈现出从左向右逐渐上升的曲线形态，如果函数单调递减，则图像将呈现出从左向右逐渐下降的曲线形态。
3. 奇偶性函数的奇偶性是指，当自变量变为相反数时，函数值是否改变。
如果函数在变化后值不变，则称函数为偶函数，反之为奇函数。
偶函数的图像通常呈现出轴对称的形状，奇函数的图像通常呈现出中心对称的形状。
4. 周期性函数的周期性是指，如果存在一个正数T，使得对于所有自变量x，都有f(x+T) = f(x)，那么函数就具有周期T。
周期函数的图像通常呈现出一段重复出现的形态，可以用周期推断函数的性质。
5. 渐近线当函数的定义域趋于无穷时，函数图像可能会趋于一条直线，这个直线称为函数的渐近线。
函数的渐近线可以判断函数的增长趋势和极限值。
二、函数图像的应用函数图像的应用非常广泛，既可以用于科学和工程领域中的建模，也可以用于纯数学研究。
以下是几个常见的应用。
1. 数值计算我们可以用函数图像的形态来计算函数在某些特定点的值。
当自变量x取某一具体值时，函数图像的纵坐标即是函数的值。
同时，我们还可以用函数图像的单调性、奇偶性等特征来进行加速计算，这对于数据密集的计算任务有很大的优化效果。
函数的图像与性质分析方法
函数的图像与性质分析方法函数是数学中的重要概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
通过分析函数的图像和性质，我们可以深入理解函数的行为和特点。
本文将介绍一些常用的函数图像与性质分析方法。
一、函数的图像分析方法1. 函数的定义域和值域分析：首先确定函数的定义域，即自变量的取值范围。
然后通过对函数进行计算，确定其对应的值域，即函数的取值范围。
这样我们可以得到函数的定义域和值域的范围，从而有利于后续的图像分析。
2. 函数的奇偶性分析：对于定义在对称区间上的函数，可以通过奇偶性来判断其图像是否对称。
若函数满足$f(x)=f(-x)$，则函数为偶函数，其图像关于y轴对称；若函数满足$f(x)=-f(-x)$，则函数为奇函数，其图像关于原点对称。
3. 函数的单调性分析：通过计算函数的导数或利用函数的增减性质，可以判断函数在定义域上的单调性。
若函数的导数恒大于0，则函数在该区间上单调递增；若函数的导数恒小于0，则函数在该区间上单调递减。
4. 函数的极值点和拐点分析：通过计算函数的导数和二阶导数，可以确定函数的极值点和拐点。
函数的极值点对应函数图像上的局部最大值或最小值，而拐点则对应函数图像上的转折点。
5. 函数的渐近线分析：函数的渐近线是指函数图像在无穷远处的趋势。
常见的渐近线包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
通过计算函数在无穷大或无穷小处的极限值，可以确定函数的渐近线。
二、函数的性质分析方法1. 函数的周期性分析：对于周期函数，可以通过计算函数的周期来确定其周期性。
周期函数的图像在一个周期内重复出现，具有明显的重复性。
2. 函数的对称性分析：函数的对称性可以分为轴对称和中心对称两种情况。
轴对称函数的图像关于某条直线对称，而中心对称函数的图像关于某个点对称。
3. 函数的增减性分析：通过计算函数的导数或利用函数的增减性质，可以判断函数在定义域上的增减情况。
函数的增减性对应函数图像上的上升和下降趋势。
4. 函数的凹凸性分析：通过计算函数的二阶导数或利用函数的凹凸性质，可以判断函数在定义域上的凹凸情况。
函数的定义域、值域、最值
对于一些单调函数，可以通过求反函数，然后在反函数的定义域内求 最值。
常见函数的最值
一次函数
一次函数的最值出现在端点处 ，其最值为常数项。
二次函数
二次函数的最值出现在顶点处 ，其最值为顶点的纵坐标。
指数函数
指数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷 大或无穷小。
对数函数
对数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷
最值
函数在定义域内的最大值和最小值，是函数在特定条件下达到的极值。
如何在实际问题中灵活运用函数的性质
实际问题建模
将实际问题转化为数学模型，利用函数性质 进行分析和求解。
优化问题解决
利用函数最值性质，解决最优化问题，如最 大利润、最小成本等。
动态规划
利用函数性质进行动态规划，解决多阶段决 策问题。
数据分析
函数的定义域、值域、最值
• 函数的定义域 • 函数的值域 • 函数的最值 • 函数的最值在实际问题中的应用 • 总结与思考
01
函数的定义域
定义域的概念
定义域是函数中自变量x的取值范围， 它决定了函数中x可以取哪些值进行计 算。
定义域是函数存在的前提，没有定义 域的函数是不存在的。
确定定义域的方法
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最短路径问题
确定起点和终点
最短路径问题通常涉及从起点到终点的最短路径寻找。
定义路径函数
路径函数表示从起点到终点的所有可能路径，以及每 条路径的长度。
求解最短路径
通过比较所有可能的路径长度，可以找到最短路径， 即最小化路径函数值的路径。
最佳投资问题
确定投资目标和约束
01
最佳投资问题通常涉及在一定时间内实现最大的投资回报或最
函数自变量取值范围的确定方法
函数自变量取值范围的确定策略金山初级中学 庄士忠 201508函数是初中数学一个十分重要的内容，为保证函数式有意义或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。
函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。
一、 函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。
典型例题：例1：函数y=x 1-的自变量x 的取值范围在数轴上可表示为【 】A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出y=x 1-的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使y=x 1-在实数范围内有意义，必须x 10-≥ x 1⇒≥。
故在数轴上表示为：。
故选D 。
例2：函数y =1x 2- 中自变量x 取值范围是【 】A ．x =2 B ．x ≠2 C ．x ＞2 D ．x ＜2 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使1x 2-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠。
故选B 。
例3：函数2y=x+2中自变量x 的取值范围是【 】A ．x ＞﹣2 B ．x ≥2 C ．x ≠﹣2 D ．x ≥﹣2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使2x+2在实数范围内有意义，必须x+20x 2x >2x+20x 2≥≥-⎧⎧⇒⇒-⎨⎨≠≠-⎩⎩。
函数图像总结
函数图像总结函数图像是数学中的重要概念，它反映了数学函数在坐标系中的表现形式。
通过观察函数图像，我们可以了解函数的性质、特征以及与其他函数的关系。
本文将对常见的函数图像进行总结，以便读者更好地理解和掌握函数的图像特点。
一、线性函数图像线性函数是最简单也是最容易理解的函数之一。
它的图像即一条直线。
线性函数的一般形式为：y = kx + b，其中k和b为常数。
当k大于0时，直线是向上倾斜的，当k小于0时，直线是向下倾斜的。
b则表示直线与y轴的交点，称为截距。
通过改变k和b的取值，我们可以观察到直线的斜率和截距对图像的影响。
二、二次函数图像二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个抛物线。
抛物线的开口方向由a的正负决定，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
同时，b和c的取值也会对抛物线的位置产生影响。
通过调整a、b、c的值，我们可以观察到抛物线的顶点、焦点以及与x轴和y轴的交点等特征。
三、指数函数图像指数函数的一般形式为：y = aⁿ，其中a为常数且a > 0，n为自变量。
指数函数图像的特点是随着自变量的增大，函数值呈现出迅速增长或迅速衰减的趋势。
当a大于1时，指数函数图像是递增的；当a位于0和1之间时，指数函数图像是递减的。
指数函数还可以通过调整a的值来改变函数增长或衰减的速度。
四、对数函数图像对数函数的一般形式为：y = logₐx，其中a为底数，x为自变量。
对数函数图像的特点是随着自变量的增大，函数值的增长速度逐渐减缓。
当底数a大于1时，对数函数图像是递增的；当底数a位于0和1之间时，对数函数图像是递减的。
不同底数的对数函数之间在图像形状上有所差异，但都满足递增或递减的特点。
五、三角函数图像三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像都是一条曲线，周期性地在坐标轴上反复出现。
函数及其图像知识点
《函数及其图像》知识点一、函数的概念、变量〔自变量、因变量〕、常量的概念。
①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。
③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。
此时，我们也称因变量是自变量的函数④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。
练习：在函数r cπ2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做的函数。
二、函数的三种表示方法：①解析法：②列表法：三、函数自变量的取值范围：平面直角坐标系。
水平的数轴叫做横轴〔x 轴〕，取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴〔y 轴〕，取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。
x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限〔如图〕:五、平面内点的坐标：〔横坐标，纵坐标〕如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为〔2 , 3〕 六、平面内特殊位置的点的坐标情况：〔连线〕第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 〔- ，-〕 〔- ，+〕 〔+ ，+〕 〔+ ，-〕 〔0 ，a 〕 (b , 0) 七、点的表示〔横坐标，纵坐标〕注意： ①不要丢了括号和中间的逗号；②表示的意思：当___x =时，___y =如点A 〔2，1〕 表示：当2x =时，1y =③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。
概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。
八、对称点的坐标关系：⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
y xO 第四象限第三象限第二象限第一象限⑵关于y 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
⑶关于原点对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
二次函数自变量取值范围
二次函数自变量取值范围（实用版）目录1.引言2.二次函数的定义和性质3.自变量的取值范围4.结论正文【引言】二次函数是数学中常见的一种函数形式，其图像通常为抛物线。
在解决二次函数问题时，我们经常需要考虑自变量的取值范围。
本文将介绍二次函数自变量的取值范围及其相关性质。
【二次函数的定义和性质】二次函数是指形如 y=ax^2+bx+c（其中 a≠0）的函数，其中 a、b、c 为常数，x 为自变量，y 为因变量。
二次函数的性质包括开口方向、对称轴和顶点坐标等。
- 开口方向：当 a>0 时，二次函数图像向上开口；当 a<0 时，二次函数图像向下开口。
- 对称轴：二次函数的对称轴为 x=-b/2a。
- 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为 (-b/2a, c - b^2/4a)。
【自变量的取值范围】在实际问题中，我们需要确定自变量 x 的取值范围，以满足二次函数有意义的条件。
二次函数有意义的条件是 a≠0，因此我们需要讨论 a 的正负性。
- 当 a>0 时，二次函数图像开口向上。
此时，自变量 x 的取值范围是全体实数，因为对于任何实数 x，二次函数都有意义。
- 当 a<0 时，二次函数图像开口向下。
此时，自变量 x 的取值范围需要满足函数值非负，即 ax^2+bx+c≥0。
我们可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0 的根来确定 x 的取值范围。
【结论】综上所述，二次函数自变量的取值范围取决于函数的性质和 a 的正负性。
当 a>0 时，自变量 x 的取值范围是全体实数；当 a<0 时，自变量 x 的取值范围需要满足函数值非负。
初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材
初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材在初中数学中，函数是一个非常重要的概念和工具。
在考试中，经常会出现关于函数定义域和值域的问题。
函数的自变量取值范围的确定方法是关键的一部分。
下面就是一些关于函数自变量取值范围的确定方法的素材，供你参考。
一、基本概念1.函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个集合的每个元素对应到另一个集合的唯一元素上。
2.定义域：函数中自变量的取值范围。
3.值域：函数中因变量的取值范围。
二、常见函数类型的自变量取值范围确定方法1. 一元一次函数：y = kx + b，自变量取值范围通常为所有实数。
2. 一元二次函数：y = ax^2 + bx + c，自变量取值范围通常为所有实数。
3.绝对值函数：y=，x，自变量取值范围通常为所有实数。
4.平方函数：y=x^2，自变量取值范围通常为所有实数。
5.倒数函数：y=1/x，自变量取值范围通常不能为0。
6. 正比例函数：y = kx，自变量取值范围通常为所有实数。
7.反比例函数：y=k/x，自变量取值范围通常不能为0。
三、常用方法1. 对于给定的函数表达式，通过观察函数的性质来确定自变量的取值范围。
例如，对于一元一次函数y = kx + b，由于直线延伸到无穷远，自变量的取值范围为所有实数。
2.对于一些特定函数，可以通过图像来确定自变量的取值范围。
例如，对于平方函数y=x^2，我们可以观察到图像在x轴左侧和右侧都有延伸，因此自变量的取值范围为所有实数。
3.对于一些函数，可能存在自变量取值的限制条件。
例如，对于正方形的面积函数S=x^2，自变量x的取值范围通常是非负实数，因为面积不可能为负值。
4. 对于一些应用题，需要根据题目的实际情况来确定自变量的取值范围。
例如，对于一个长方形的长和宽分别为x和y，而面积要求为100平方米，那么自变量x和y的取值范围需要满足条件xy=100。
四、常见错误1.将定义域和值域混淆。
定义域是自变量的取值范围，而值域是函数结果的取值范围。
函数概念的知识点
一、函数的概念
1、函数
如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，此时称y是x的函数
2、自变量的取值范围
（1）函数关系式是整式，自变量取值是全体实数(2)函数关系式是分式，自变量的取值应使分母不等于0（3）函数关系式是偶次根式，自变量取值应使被开方数为非负数（4）实际问题的函数式，使实际问题有意义
3、常量与变量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，在这个过程中保持同一数值的量叫做常量
4、函数的表示法和函数的图像
（1）函数的表示法有三种：图像法，列表法和解析法
（2）画函数图像的一般步骤：列表、描点、连线。
连线是按x从小到大的顺序用光滑的曲线连接所描各点。
画函数图像时应
注意自变量的取值范围。
二、一次函数
1、一次函数的定义
（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x 的一次函数
（2）正比例函数：当b=0时，一次函数y=kx+b就成了y=kx(k
是常数，k≠0)这时那么y叫做x的正比例函数
2、一次函数的图像
（1）图像的特征
b，0）一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图像是经过点（-
k
和点（0，b）的一条直线
正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图像是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线
（2）图像的性质
待定系数法及一次函数的应用
先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法，其中，未知的系数也叫做待定系数。
函数及其图像分析详解
函数及其图像分析详解函数是高中数学中非常重要的一个概念，它可以描述两个变量之间的关系，或者将一个自变量的值映射到一个因变量的值上。
在实际应用中，各种函数及其图像都有着非常重要的作用，本文将对常见的函数及其图像进行详细的分析。
一、常见的函数类型1.线性函数线性函数是最简单的一类函数，它的定义域为全体实数集合R，表达式为：y=kx+b（其中k和b为常数）。
直线y=kx+b就是它的图像，这条直线在坐标系中的位置由直线的斜率和截距决定。
斜率表示函数在一定区间内自变量变化时因变量的变化幅度，截距表示函数与y轴的交点。
2.二次函数二次函数是一类带有平方项的函数，也是非常常见的函数类型。
它的定义域为全体实数集合R，表达式为：y=ax^2+bx+c（其中a,b,c为常数）。
二次函数的图像是一个抛物线，抛物线开口的方向由a的正负号决定。
当a>0时，抛物线开口朝上，当a<0时，抛物线开口朝下。
3.指数函数指数函数是一类用x的幂作为自变量的函数，自变量为x，因变量为y，通式为y=a^x，其中a为大于0且不等于1的常数。
指数函数的图像是一条右侧开口的曲线，曲线在x轴上向右无限延伸，当x趋近于负无穷大时，曲线趋近于y轴。
4.对数函数对数函数是指数函数的反函数，它的定义域为(0,+∞)，值域为全体实数集合R，通式为y=loga x，其中a为大于0且不等于1的常数。
对数函数的图像是一条带左侧开口的曲线，曲线在y轴上向上无限延伸，当x趋近于正无穷大时，曲线趋近于x轴。
5.三角函数三角函数是用角度作为自变量的函数，它是解决几何问题中经常使用的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义域为全体实数集合R，值域为[-1,1]。
三角函数的图像是一条在[-1,1]区间内振荡的波形，波形周期的长度由函数的周期决定。
二、函数图像分析的相关概念1.函数的极值函数的极值是函数在定义域内的最大值和最小值。
在一段区间内，如果函数的导数在该区间内始终大于0，则该函数在这段区间内单调递增，在这段区间内的最大值即为函数的极大值。
函数与图像关系与性质
函数与图像关系与性质函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了数值之间的依赖关系。
在数学中，函数可以用图像来表示，这种图像有助于我们更直观地理解函数的性质和特点。
本文将探讨函数与图像之间的关系以及函数的性质。
一、函数的定义函数是将一个或多个数值映射到另一个数值的规则。
数值之间的关系可以用函数的符号形式来表示，例如f(x) = x^2，其中x是自变量，f(x)是函数值。
二、函数与图像的关系函数与图像之间存在密切的关联。
将函数的自变量和函数值分别表示在坐标系的x轴和y轴上，可以得到函数的图像。
图像使得我们可以更清晰地观察函数的性质和变化趋势。
三、函数与图像的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
通过观察图像，我们可以确定函数的定义域和值域。
2. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
通过观察图像的对称性，可以推断函数的奇偶性。
3. 最值与极值：函数的最值指的是函数在定义域内的最大值和最小值。
函数的极值是函数在极值点处的值。
通过观察图像的高低点，可以找到函数的最值和极值。
4. 单调性：函数可以是增函数或减函数。
增函数指的是当x增大时，对应的函数值也增大；减函数指的是当x增大时，对应的函数值减小。
通过观察图像的上升趋势或下降趋势，可以判断函数的单调性。
5. 凹凸性：函数可以是凹函数或凸函数。
凹函数指的是在定义域上，任意两点之间的连线位于函数图像的上方；凸函数指的是在定义域上，任意两点之间的连线位于函数图像的下方。
通过观察图像的弯曲程度，可以判断函数的凹凸性。
6. 零点和交点：函数的零点指的是函数值为0的点，也称为方程f(x) = 0的解。
函数的交点指的是与其他图像相交的点。
通过观察图像的交点和与x轴的交点，可以找到函数的零点和交点。
通过对函数与图像的关系和性质的观察和分析，我们可以更全面地理解函数的行为和变化。
函数及其图像总结知识点
函数及其图像总结知识点函数的图像是函数表示的一种形式，它是函数在坐标系中的图形表示。
函数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的特点和性质。
在学习函数的过程中，函数的图像是一个非常重要的知识点。
本文将总结函数的相关知识点，以帮助读者更好地掌握这一重要的数学概念。
一、函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系。
如果存在一种依赖关系，使得除了x以外，对每个x都只有唯一的y和y唯一对应某个x，那么就称这种依赖关系为函数。
函数的符号表示通常是f(x)或者y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。
二、常见函数1. 线性函数：y=ax+b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率，常数b决定了直线的截距。
线性函数是最简单的函数之一，它们在数学建模中有着广泛的应用。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数且a不等于0。
二次函数的图像是一条抛物线，开口向上或向下取决于a的正负。
二次函数在物理学、工程学等领域有着重要的应用。
3. 指数函数：y=a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像是一条逐渐增长或逐渐减小的曲线。
指数函数在自然科学和经济学中有着广泛的应用。
4. 对数函数：y=loga(x)，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条渐进线，对数函数能够将指数函数的性质转化为更容易理解的形式。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数在物理学、工程学和天文学中有着重要应用。
以上函数是常见的、在数学教育中重点研究的函数。
这些函数具有各自的特点和性质，通过学习这些函数，我们可以更好地理解数学中的各种问题，并且为进一步学习高等数学课程打下扎实的基础。
三、函数的性质1. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
通过奇偶函数的性质，我们可以推导出一系列关于函数图像的对称性质，以及某些函数值的简化表示。
高中数学函数图像的绘制与分析方法
高中数学函数图像的绘制与分析方法在高中数学的学习中，函数是一个非常重要的概念，而函数图像则是直观理解函数性质的有力工具。
掌握函数图像的绘制与分析方法，对于解决函数相关的问题具有重要意义。
一、函数图像的绘制1、列表取值首先，我们需要选取一些自变量的值，计算出相应的函数值，列出一个表格。
取值时要注意涵盖函数的关键部分，比如零点、极值点等，同时要保证取值有一定的代表性和规律性。
2、描点连线根据列表中的数值，在平面直角坐标系中描出对应的点。
然后，用平滑的曲线将这些点依次连接起来。
需要注意的是，如果函数在某个区间内是连续的，那么连接的曲线应该是连续的；如果函数在某个点处不连续，比如分段函数，那么在不连续点处要分开绘制。
3、考虑函数的性质在绘制函数图像时，要充分考虑函数的性质，比如奇偶性、单调性、周期性等。
如果函数是偶函数，其图像关于y 轴对称；如果是奇函数，图像关于原点对称。
如果函数是单调递增的，图像是上升的；单调递减的，图像是下降的。
周期性函数的图像会在一定的区间内重复出现。
以最简单的一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 为例，我们可以先取 x ＝－2，－1，0，1，2 等值，计算出对应的 y 值，列出表格：｜ x ｜－2 ｜－1 ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜｜｜ y ｜－3 ｜－1 ｜ 1 ｜ 3 ｜ 5 ｜然后在坐标系中描点（－2，－3），（－1，－1），（0，1），（1，3），（2，5），最后用直线连接这些点，就得到了一次函数 y＝ 2x ＋ 1 的图像。
再比如二次函数 y ＝ x² 2x 3，我们可以通过配方法将其化为顶点式 y ＝（x 1)² 4，由此可知其顶点坐标为（1，－4），对称轴为 x ＝1。
然后取一些点，如 x ＝－1，0，2，3 等，计算出对应的 y 值，列表并描点连线，就能得到二次函数的图像。
二、函数图像的分析方法1、观察定义域和值域定义域是函数自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
函数自变量的取值范围六种类型
函数自变量的取值范围六种类型
函数的自变量取值范围可以分为以下六种类型：
1.实数范围（R）：自变量可以是任意实数，即包括所有正数、负数
和零。
在实数范围内，自变量可以取任何实数值，例如-3.5、2.1、π等等。
实数范围是最一般的自变量取值范围。
2.正数范围（R+）：自变量只能取正数。
正数范围常用于表示物理世
界中的非负量，例如时间、质量等。
一般来说，时间、质量等都不能取负值，所以在表示这类量时，自变量的取值范围应限定为正数范围。
3.负数范围（R-）：自变量只能取负数。
负数范围常用于表示物理世
界中的负数量，例如负电荷、负温度等。
这些量在现实生活中并不常见，
但在数学模型中有时需要考虑。
4.非负数范围（R≥0）：自变量只能取非负数，即包括零和所有正数。
非负数范围常用于表示正比例关系、欧氏空间中的距离等问题。
在这些问
题中，自变量的取值范围不包括负数，因为负数在实际问题中没有意义。
5.非正数范围（R≤0）：自变量只能取非正数，即包括零和所有负数。
非正数范围在一些数学问题中有用，例如一些函数的图像关于y轴对称。
6.整数范围（Z）：自变量只能取整数。
整数范围通常用于离散数学
中的问题，例如排列组合、整数划分等。
在这类问题中，自变量通常被建
模为整数，因为整数对问题的描述更为自然。
综上所述，函数的自变量取值范围可以根据具体问题的需求进行设定，并可以是实数范围、正数范围、负数范围、非负数范围、非正数范围以及
整数范围。
定义清楚自变量的取值范围有助于具体问题的分析和解决。
八年级下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的,在某个变化过程中有两个变量x和y,对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应,我们说x叫做自变量,y叫做因变量,y叫做x的函数; 2．自变量的取值范围：1能够使函数有意义的自变量的取值全体;2确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义;3不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数;②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数;③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数;3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值;这里有三种类型的问题：1当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值;2当已知函数值求自变量的值就是解方程;3当给定函数值的一个取值范围,欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组;二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：1点px,y在第一象限→x＞0,y＞0.2点px,y在第二象限→x＜0,y＞0.3点px,y 在第三象限→x ＜0,y ＜04点px,y 在第四象限→x ＞0,y ＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：1点px,y 在x 轴上→x 为任意实数,y=02点px,y 在y 轴上→x=0,y 为任意实数3 ．关于x 轴,y 轴,原点对称的点的坐标的特征：1点px,y 关于x 轴对称的点的坐标为x,-y.2点px,y 关于y 轴对称的点的坐标为-x,y.3点px,y 关于原点对称的点的坐标为-x,-y4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：1点px,y 在第一、三象限夹角平分在线→x=y.2点px,y 在第二,四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：1位于平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同;2位于平行于y 轴的直线上的所有点的横坐标相同;6．点到坐标轴及原点的距离：1点px,y 到轴的距离为 ｜y ︱.2点px,y 到y 轴的距离为∣x ∣.3点px,y 到原点的距离为22y x4同在x 轴上的两点Ax 1,0与Bx 2,0之间的距离为AB=|x 1-x 2|5同在y 轴上的两点C0,y 1与D0,y 2之间的距离为CD=|y 1-y 2|三．函数的图像函数图像上的点与其解析式的关系1．函数图像上任意一点p﹙x,y﹚中的x、y满足函数关系式,满足函数关系式的一对对应值﹙x,y﹚都在函数的图像上;2．判断点p﹙x,y﹚是否在函数图像上的方法,将这个点的坐标﹙x,y﹚代入函数关系式,如果满足函数关系式,那么这个点就在函数的图像上,如果不满足函数关系式,那么,这个点就不在函数的图像上;四．一次函数一一次函数的定义1．定义:含有自变量的式子为一次整式,即形如式子y＝kx+b其中k和b为常数,k ≠0叫做一次函数;正比例函数：在一次函数y=kx+b中如果b=0即变为y=kx其中k≠0,这样的函数叫做正比例函数;2．注意：1由一次函数和正比例函数的定义可知;①函数是一次函数→解析式为y＝kx+b的形式;②函数是正比例函数→解析式为y=kx的形式;2一次函数解析式y=kx+b的结构特征：①k≠0 ②x的次数是1 ③常数b为任意实数3正比例函数解析式y=kx的结构特征①k≠0 ②x的次数是1 ③常数b=03．说明：在y=kx+b中若k=0则y=b﹙b为常数﹚这样的函数叫做常数函数,它不是一次函数;4．正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数;一次函数y=kx+b,当b=0时为正比例函数一次函数y=kx+b,当b ≠0时一般的一次函数二 一次函数的图像1．一次函数图像的形状：一次函数y=kx+b 的图像是一条直线,通常称为直线y=kx+b正比例函数y=kx 的图像也是一条直线,称为直线y=kx2．一次函数图像的主要特点:一次函数y=kx+b 的图像经过点﹙0,b ﹚的直线,正比例函数y=kx+b 的图像是经过原点﹙0,0﹚的直线注意：点﹙0,b ﹚是直线y=kx+b 与y 轴的交点;① 当b ＞0时,此时交点在y 轴的正半轴上,② 当b ＜0时,此时交点在y 轴的负半轴上,③ 当b=0时,此时交点在原点,这时的一次函数就是正比例函数;3．一次函数图像的画法：根据两点能画一条直线并且只能画一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图像时,只要先描出两点,在连成直线即可;那么,先描出哪两点比较好呢选两点应以计算和描点简单为原则,一般来说,当b ≠0时,一般的一次函数y=kx+b 的图像,应选取它与两个坐标轴的交点﹙0,b ﹚与﹙-kb ,0﹚；当b=0时,画正比例函数y=kx 的图像,通常取﹙0,0﹚与﹙1,k ﹚两点,个别情况下可以做些变通,例如画函数y=32x 的图像,可以取﹙0,0﹚与﹙1,32﹚两点,也可以取﹙0,0﹚与﹙3,2﹚两点;4．直线y=kx+b 与坐标轴的交点1 令x=0,则y=b 所以直线y=kx+b 与y 轴的交点坐标为﹙0,b ﹚2 令y=0,则kx+b=0所以x=-k b所以直线y=kx+b 与x 轴的交点坐标为﹙-k b ,0﹚注意：此时直线y=kx+b 与x 轴,y 轴围成的三角形面积S=21×∣-k b ∣×∣b ∣5．两直线在直角坐标系内的位置关系:1两直线的解析式中当k 相同时,其位置关系是平行,其中一条直线可以看作是另一条平移得到的,平移规律是“左减右加,上加下减”2两直线的解析式中当b 相同时,其位置关系是相交,交点坐标为﹙0,b ﹚. 三一次函数的性质1．正比例函数的性质1当k ＞0时,图像经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大,直线y=kx 从左到右上升;2当k ＜0时,图像经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小,直线y=kx 从左到右下降;2．一次函数y=kx+b 的性质1当k ＞0时,直线y=kx+b 从左到右上升,此时y 随x 的增大而增大;2当k ＜0时,直线y=kx+b 从左到右下降,此时y 随x 的增大而减小;3当b ＞0时,直线y=kx+b 与y 轴正半轴相交;4当b ＜0时,直线y=kx+b 与y 轴负半轴相交;3．直线y=kx+b的位置与k、b的符号之间的关系直线y=kx+b的位置是由k与b的符号决定的,其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势,b决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴,还是负半轴,还是原点;k和b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置共有六种情况：①当k＞0,b＞0时,直线经过第一、二、三象限,不经过第四象限；②当k＞0,b＜0时,直线经过第一、三、四象限,不经过第二象限；③当k＜0, b＞0时,直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限；④当k＜0,b＜0时,直线经过第二、三、四象限,不经过第一象限；⑤当k＞0,b=0时,直线经过第一、三象限；⑥当k＜0,b=0时,直线经过第二、四象限;四正比例函数与一次函数解析式的确定1．确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式y=kx﹙k≠0﹚中的常数k;确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式y=kx+b﹙k≠0﹚中的常数k 和b,解这类问题的一般方法是待定系数法;2．待定系数法：先设出待求函数关系式﹙其中含有未知的系数﹚,再根据已知条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法;其中的未知系数也称待定系数,如正比例函数y=kx中的k,一次函数y=kx+b中的k和b都是待确定的系数;3．用待定系数法求函数解析式的一般步骤：1设出含有待定系数的解析式；2把已知条件﹙自变量与函数的对应值﹚代入解析式,得到关于待定系数的方程或方程组；3解方程或方程组,求出待定系数；4将求得的待定系数的值代回所设的解析式;注意：通常正比例函数解析式设y=kx,只有一个待定系数k,一般只需一对x 与y 的对应值即可；一次函数解析式设y=kx+b,其中有两个待定系数k 和b,因而需要两对x 与y 的对应值,才能求出k 和b 的值;五．反比例函数一反比例函数定义1．一般的,函数y=xk ﹙k 是常数,k ≠0﹚叫做反比例函数,反比例函数的解析式也可以写成y=kx -1的形式,其中k 叫做比例系数;2．反比例函数解析式的主要特征：1等号左边是函数y,右边是一个分式,分子是不为零的常数k,分母中含有自变量x,且x 的指数是1,若写成y=kx -1的形式,则x 的指数是-1;2比例系数“k ≠0”是反比例函数定义的重要组成部分;3自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数;二反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限,它们关于原点成中心对称;由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以它的图像与x 轴和y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交;三反比例函数的性质1．当k ＞0时,图像在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左到右下降,也就是在每个象限内y 随x 的增大而减小;2．当k ＜0时,图像在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左到右上升,也就是在每个象限内y 随x 的增大而增大;四反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法,由于反比例函数y=x k 中只有一个待定系数,因此只需要一对x 与y 的对应值或图像上一个点的坐标,即可求出k 的值,从而确定其解析式;五“反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系反比例关系是小学学过的概念：如果xy=k ﹙k 是常数k ≠0﹚,那么x 与y 这两个量成反比例关系,这里x 与y 既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式,例如y+3与x 成反比例则有y+3=x k ,y 与x2成反比例,则y=2x k ,成反比例关系不一定是反比例函数,但是反比例函数y=x k中的两个变量必定成反比例关系;六反比例函数y=xk ﹙k ≠0﹚中的比例系数k 的几何意义1．如图,过双曲线上一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,所得矩形PMON 面积为|k|;2．连结PO,则S △POM=21S 矩形=21|k|;六． 函数的应用1．利用图像比较两个函数值的大小在同一直角坐标系中的两个函数图像,如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方,则该函数值就比另一个函数值大,若在下方,则该函数值就比另一个函数值小,而其交点的横坐标就是分界点;2．两个一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系如果两个一次函数的图像相交,则交点坐标必定同时满足两个函数解析式,故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解;3．一次函数与方程、不等式的关系1一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的纵坐标等于0,反映在函数解析式就是函数值等于0,则其横坐标也就是自变量的值为方程kx+b=0的解;2一次函数y=kx+b在x轴上方的图像,任意一点的纵坐标都大于0,反映在函数解析式就是函数值y＞0,则对应的横坐标,也就是自变量的值即为不等式kx+b＞0的解集;3一次函数y=kx+b在x轴下方的图像,任意一点的纵坐标都小于0,反映在函数解析式就是函数值y＜0,则对应的横坐标,也就是自变量的值即为不等式kx+b＜0的解集;。
求函数自变量的取值范围的方法总结
求函数自变量的取值范围的方法总结函数自变量的取值范围是指函数中自变量可以取的所有实数值的集合。
确定函数自变量的取值范围有多种方法，以下总结了几种常见的方法：1.根据函数的定义域确定自变量的取值范围：-如果函数的定义域是实数集（即没有限制），则自变量的取值范围也是实数集。
-如果函数的定义域有限制，需要根据这个限制来确定自变量的取值范围。
例如，如果一个函数的定义域是正实数集（即大于零的实数），则自变量的取值范围也是正实数集。
2.根据函数的图像确定自变量的取值范围：-观察函数的图像，确定自变量在图像上的取值范围。
例如，如果一个函数的图像是一个上升的直线，那么自变量的取值范围是整个实数集。
-需要注意的是，函数图像的性质可能会给出一些限制，例如函数图像是一个分段函数，那么需要根据每个分段函数的定义域确定自变量的取值范围。
3.使用代数方法确定自变量的取值范围：-对于一些特殊的函数，可以使用代数方法来确定自变量的取值范围。
例如，对于有分母的函数，需要考虑分母不能等于零的条件。
这样就可以通过求解不等式来确定自变量的取值范围。
-另一个例子是要求函数的值在一定范围内，可以通过解方程或者不等式来确定自变量的取值范围。
例如，对于一个二次函数，如果要求函数的值在大于等于0的范围内，可以通过求解不等式来确定自变量的取值范围。
4.使用函数性质确定自变量的取值范围：-函数的一些性质可以给出自变量取值范围的一些限制。
例如，对于奇函数来说，只有在定义域的一些小范围内，自变量的正负不同，才能保证函数是奇函数。
在具体问题中，需要根据函数性质来确定自变量的取值范围。
总结起来，确定函数自变量的取值范围需要根据函数的定义域、图像、代数方法和函数性质等多方面的因素综合考虑。
根据具体的问题，选择合适的方法来确定自变量的取值范围，可以帮助我们更好地理解函数的特性和解决相关的数学问题。
求函数自变量的取值范围的确定方法
求函数自变量的取值范围的确定方法确定一个函数自变量的取值范围是数学和实际问题中的一个重要部分。
它可以帮助我们确保函数在给定范围内有定义，避免产生错误或无意义结果。
在确定函数自变量的取值范围时，我们需要考虑函数的定义域、实际问题的限制以及常见的数学规则。
首先，我们需要了解函数的定义域。
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。
定义域可以通过函数的数学表达式来确定，也可以通过实际问题的限制来确定。
例如，对于函数f(x)=√x，由于平方根只对非负数有定义，因此函数的定义域是x≥0。
其次，我们需要考虑实际问题的限制。
在解决实际问题时，函数的自变量通常具有一些限制条件。
这些限制条件可以是来自实际问题的物理、经济或几何约束。
例如，如果我们正在解决一个关于时间的问题，函数的自变量可能被限制在一些时间段内，如t≥0。
通过考虑这些限制条件，我们可以确定函数自变量的取值范围。
此外，我们还需要考虑数学规则。
在数学中，有一些常见的规则可以帮助我们确定函数自变量的取值范围。
例如，对于分式函数，我们需要排除分母为零的情况，因为分母为零会导致函数无定义。
又如，对于对数函数log(x)，由于对数只对正数有定义，因此函数的自变量需要满足x>0。
通过应用这些数学规则，我们可以确定函数自变量的取值范围。
在实际问题中，我们还可以利用图像来帮助确定函数自变量的取值范围。
通过绘制函数的图像，我们可以观察函数的趋势和特征，从而确定自变量的取值范围。
例如，对于一个上升趋势的函数，自变量的取值范围可以是负无穷到正无穷。
最后，我们需要根据具体问题的要求来确定函数自变量的取值范围。
不同的问题可能对函数的自变量有不同的要求，如非负、整数或实数。
通过仔细阅读和分析问题的描述，我们可以得出函数自变量的取值范围的具体要求。
在数学和实际问题中，确定函数自变量的取值范围是解决问题和避免错误的关键步骤。
通过了解函数的定义域，考虑实际问题的限制，应用数学规则，利用图像和根据问题要求确定自变量的取值范围，我们可以确保函数在给定范围内有定义，从而有效地解决问题。
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函数图象
一、基础知识
1、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量， y 称为因变量，y 是x 的函数。
2、确定函数自变量取值范围：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
二、例题讲解
考点一、函数图象问题
1、下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是： （ ）
2、三峡工程在2003年6月1
日至2003
年6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106
米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h （米）随时间t （天）变化的是：
（ ）
A
B
D
3、如图，图像（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（）
A、第3分时汽车的速度是40千米/时
B、第12分时汽车的速度是0千米/时
C、从第3分到第6分，汽车行驶了120千米
D、从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
4、小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到家．则下列图像能表示小明离家距离与时间关系的是（）
A、B、
C、D、
5、如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行，那么蚂蚁爬行的高度h 随时间t变化的图像大致是（）
A、B、
C、D、
6、图1是韩老师早晨出门散步时，离家的距离（y）与时间（x）之间的函数图像。
若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）
图1
7、小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车．设小明骑车的时间为t（秒），骑车的路程为s（米），则s关于t的函数图像大致是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
8、向高为10cm的容器中注水，注满为止，若注水量Vcm3与水深hcm之间的关系的图像大致如下图，则这个容器是下列四个图中的（）
A 、
B 、
C 、
D 、
9、将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用﹣注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图像大致为（）
A、B、
C、D、
10、有一个装有进、出水管的容器，单位时间进、出的水量都是一定的．已知容器的容积为600升，又知单开进水管10分钟可把空容器注满，若同时打开进、出水管，20分钟可把满容器的水放完，现已知水池内有水200升，先打开进水管5分钟后，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量Q（升）随时间t（分）变化的图像是（）
A、B、
C、D、
11、如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小， 乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。
在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为x ，瓶中水位的高度为y ， 下列图象中最符合故事情景的是：（ ）
12、某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ）
A 、20kg
B 、25kg
C 、28kg
D 、30kg
13、如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ）
A 、乙比甲先到终点
B 、乙测试的速度随时间增加而增大
C 、比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇
D 、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快
14、 汽车由重庆驶往相距400千米的成都。
如果汽车的平均速度是100千米/小时，那么汽车距离成都的路程S （千米）与行驶时间t (小时)的函数关系永图像表示为（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
15、一辆汽车由A 地匀速驶往相距300千米的B 地，汽车的速度是100千米/小时，那么汽车距离A 地的路程S （千米）与行驶时间t （小时）的函数关系用图像表示为（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
16、在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x (h)时，汽车与甲地的距离为y (km)，y 与x 的函数关系如图所示． 根据图像信息，解答下列问题：
（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由； （2
）求返程中y 与x 之间的函数表达式； （3）求这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离．
17、由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t （h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系．
（1）甲、乙两地之间的距离为km，乙、丙两地之间的距离为km；
（2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？
（3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
考点二、函数自变量取值范围
例1:指出下列各函数的自变量取值范围:
①y = x2-1 ；②y = 3x -2；③ y =-5x .
例2:确定下列函数的自变量取值范围:①y=
2
x
-；②y=
2
1
x+
；③ y =
2
1
1
x-
例3：确定下列函数的自变量取值范围:
①②；③；④ y ；⑤
例4：函数y=x的取值范围是。
例5：确定下列函数的自变量取值范围:
(1)y= ()02
x- (2)y= )31-
例6：一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，请写出油箱剩余油量Q （升）与行驶路程s（千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围。
例7：已知等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。
练习:
1.求下列函数中自变量x的取值范围：
⑴ y = 2x+3 ⑵ y = - 3x2⑶ y =
2
1 x-
⑷⑸
2.分别写出下列函数关系式，并指出函数自变量的取值范围。
⑴设一个长方体盒子高为10cm，底面是正方形，求这个长方形的体积V（cm3)与底面边长a(cm)的关系.
⑵设地面气温是200C，如果每升高1km，气温下降60C，求气温t(0C)与高度h(km)的关系
⑶一个三角形的底边长为5cm，高h可以伸缩，求面积S与高h的关系
⑷买一支笔，单价为0.5元/枝，求总价y与笔枝数x的关系
3、拖拉机的油箱最多可装油56千克，装满后耕地，平均每小时耗油6千克。
（1）写出油箱剩油量Q（千克）与耕地时间t（时）之间的函数关系式
（2）求自变量t的取值范围。
4、某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每排比前一排多一个座位，写出每排的座位数 M与这排的排数n的函数关系式，并求自变量n的取值范围。
5、如图,矩形ABCD中,AB=6cm, AC=10cm, 有一动点P,从点B开始,沿由B向A,再由A向C,再由C向D的方向运动,已知每秒钟点P的运动距离为2cm, 试求△PBC的面积S(cm2)与运动时间t (秒)的函数关系式.并写出自变量t 的取值范围.
A。