主成分的意义解释

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代谢组学数据处理方法主成分分析

代谢组学数据处理方法主成分分析一、本文概述1、代谢组学概述代谢组学，作为一门新兴的交叉学科，致力于系统性地研究生物体系内所有低分子量代谢物（分子量通常小于1000 Da）的定性和定量分析。

代谢组学的主要目标在于理解生物系统在受到内部遗传和外部环境因素扰动时，其代谢产物的动态变化规律。

这些代谢物不仅是基因表达调控的终端产物，而且是环境因子对生物体产生影响的直接体现。

因此，代谢组学的研究在疾病诊断、药物研发、营养学、环境科学等多个领域具有广泛的应用前景。

代谢组学的研究方法主要包括样本的采集与预处理、代谢物的提取与分离、代谢物的检测与鉴定，以及代谢数据的处理与分析。

其中，数据处理与分析是代谢组学研究中不可或缺的一环。

由于代谢组学数据通常具有高通量、高维度、小样本、多噪声等特点，因此如何有效地处理和分析这些数据，从中提取出有用的信息，是代谢组学研究的关键所在。

主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）作为一种经典的数据降维和可视化方法，在代谢组学数据处理中得到了广泛的应用。

PCA通过正交变换将原始数据转换为一系列线性无关的表示，即主成分。

这些主成分按照方差大小进行排序，能够反映原始数据中的主要变化和趋势。

通过PCA分析，研究者可以在降低数据维度的保留数据中的主要信息，从而更加直观地理解数据的内在结构和规律。

PCA还可以用于识别数据中的潜在模式、异常值以及不同样本之间的相似性和差异性。

在代谢组学数据处理中，PCA的应用不仅有助于降低数据维度、消除噪声和冗余信息，还可以提高数据分析的准确性和效率。

PCA还可以与其他多变量统计分析方法相结合，如聚类分析、判别分析等，以进一步挖掘代谢组学数据中的潜在价值和意义。

因此，掌握PCA方法在代谢组学数据处理中的应用，对于深入理解代谢组学数据的内在规律和推动代谢组学研究的发展具有重要意义。

2、代谢组学数据的特点与挑战代谢组学，作为系统生物学的一个重要分支，旨在全面、定量地分析生物体系内所有小分子代谢物的动态变化。

主成分分析

引言：主成分分析也称主分量分析，是由霍特林于1933 年首先提出的。

主成分分析是利用降维的思想，在损失很少信息的前提下，把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法。

通常把转化生成的综合指标称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分之间互不相关，使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能。

这样在研究复杂问题时就可以只考虑少数几个主成分而不至于损失太多信息，从而更容易抓住主要矛盾，揭示事物内部变量之间的规律性，同时使得问题得到简化，提高分析效率。

本文用主成分分析的方法对某市14 家企业的经济效益进行分析。

[1] 在处理涉及多个指标问题的时候，为了提高分析的效率可以不直接对p 个指标构成的P维随机向量X=(X1, X2, X3, , Xp)进行分析，而是先对向量x进行线性变换，形成少数几个新的综合变量，使得个综合变量之间相互独立且能解释原始变量尽可能多的信息，这样在意损失很少部分信息为代价的前提下，达到简化数据结构，提高分析效率的目的。

主成分的基本思想就是在保留原始变量尽可能多的前提下达到降维的目的，从而简化问题的复杂性并抓住问题的主要矛盾。

而这里对于随机变量X1，X2，X3,……,Xp而言，其协方差矩阵或相关矩阵正是对各变量离散程度与变量之间的相关程度的信息的反映，而相关矩阵不过是将原始变量标准化后的协方差矩阵我们所说的保留原始变量尽可能多的信息，也就是指生成的较少的综合变量 (主成分)的方差和尽可能接近原始变量方差的总和。

因此在实际求解主成分的时候，总是从原始变量的协方差矩阵或相关矩阵的结构分析入手。

一般来说从原始变量的协方差矩阵出发求得的主成分与从原始变量的相关矩阵出发求得的主成分是不同的本文我们用从原始变量的相关矩阵出发求得的主成分进行分析。

[5]一、材料与方法1.1数据材料表1 14 家企业的利润指标的统计数据1.2分析方法本文采用多元统计学方法，选取14家企业作为样本收集每家企业的8个不同的利润指标，利用spss统计软件做主成分分析，给出载荷阵，并通过载荷阵给出主成分系数表，写出主成分表达式以此给出14个企业的得分值，最后根据主成分构造一个综合性评价指标，对14个企业进行综合排名。

主成分分析

什么是主成分分析法主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。

它是一个线性变换。

这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。

主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。

这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。

这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。

但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。

[编辑]主成分分析的基本思想在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。

因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。

在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。

主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。

同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。

科普效果是很难具体量化的。

在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。

如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。

因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。

根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。

这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。

主成分分析和聚类分析的比较

主成分分析和聚类分析的比较摘要：主成分分析和聚类分析方多元统计中两种重要的分析方法，但却容易在使用中混淆。

本文从基本思想，应用的优缺点、应用实例中讨论两者的异同，并简述两种方法在实际问题中的应用。

关键词：主成分分析；聚类分析一、引言主成分分析是利用降维的思想，在缺失很少信息的前提下，把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法。

聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。

其主要依据是聚到同一个数据集的样本应该性质相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。

两种方法既有区别又有联系，本文将两者的异同进行比较，并举例说明两者在实际应用中的联系，以便更好地理解这两种统计方法而为实际所应用。

二、基本思想的异同相同点：主成分分析方法是用少数的几个变量来综合反映原始变量的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85%以上，因此其可信度很高。

通过主成分分析，可以将事物之间错综复杂的关系中找出一些主要成分，从而能有效利用大量统计数据进行定量分析，解释变量之间的内在关系。

因此主成分变量比原始变量少了很多，从而起到了降维的作用。

聚类分析的基本思想是采用多变量的统计值，定量的确定相互之间的亲疏关系，考虑对象多因素的联系和主导作用。

按它们亲疏差异程度，归类不同的分类中的一元。

使分类更具有客观实际并能反映事物的内在必然联系。

聚类分析是通过一种大的对称矩阵来探索相关关系的一种数学分析方法。

对变量分类后，我们对数据的处理难度也降低，所以从某种意义上说，聚类分析也起到了降维的作用。

不同点：主成分分析是研究如何通过原来变量的少数几个变量组合来解释原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法。

主成分分析

2.主成分的总方差由于
tr ( A ) = tr ( T′ΣT ) = tr ( ΣTT′ ) = tr ( Σ )
故
∑ λ = ∑σ
i =1 i i =1
p
p
ii
或
∑V ( y ) = ∑V ( x )
i =1 i i =1 i
p
p
总方差中属于第 i 主成分 yi（或被 yi 所解释)的比例为
ˆ 三、从R 出发求主成分
ˆ ˆ* ˆ* ˆ R 的 p 个特征值为λ1* ≥ λ2 ≥ L ≥ λ p，设样本相关阵 ˆ* ˆ 2 ˆ t1 , t * ,L , t *p 为相应的正交单位特征向量，则第 i 样本
主成分
ˆ ˆi yi* = t*x* , i = 1, 2,L , p
其中 x* 是各分量经（样本）标准化了的向量，即
S
主成分得分在实际应用中，我们常常让 x j 减去 x ，使样本数据中心化。这不影响样本协差阵 S ，在前面的论述中惟一需要变化的是，将第 i 主成分改写成中心化的形式，即
ˆ ˆi yi = t′ ( x − x ) , i = 1, 2,L , p 若将各观测值 x j 代替上式中的观测值向量 x ，则第i
现比较本例中从R 出发和例7.2.2中从 Σ 出发的主成分计算结果。从R 出发的 y1* 的贡献率0.705明显小于从 Σ 出发的 y1的贡献率0.938，事实上，原始变量方差之间的差异越大，这一点也就倾向于越明显， * * * （7.2.15）式有助于我们理解之。 y1 , y2 , y3 可用标准化前的原变量表达如下： x3 − µ3 x1 − µ1 x2 − µ2 *
主成分的值
ˆi ˆ y ji = t′ ( x j − x ) , i = 1, 2,L , p

主成分与因子分析-新版分解

x11 x12 x x21 x22
x1 p x2 p =(X1，X2，…，Xp)
xn1 xn2
xnp
则因子分析的一般数学模型为
X1 a11F1 a12 F2 X 2 a21F1 a22 F2 X p ap1F1 ap2 F2
a1m Fm 1
a2m Fm
2
apm Fm
p
矩阵形式为
X AF
F (F1, F2 , , Fm )T 称为公共因子
8.2 因子分析
8.2.1 因子分析的数学模型 1．因子分析的含义因子分析是主成分分析的推广，它是探讨存在相关关系的变量之间，是否存在不能直接观测到但对可观测指标的变化起支配作用的潜在因子(factor)的分析方法。 2．因子分析的基本原理因子分析就是通过变量的相关系数矩阵内部结构的研究，找出能控制所有变量的少数几个公共因子去描述多个变量之间的相关关系，然后根据相关性的大小把变量分组.
这样，二维问题即可以降为一维问题，只取一个综合变量
P1(主成分)即可。
X2
F1
F2
**
*
**
**
**
** θ
X1
相当于在平面上做一个坐标变换，即按逆时针方向旋转角度θ，根据旋转变换公式，新旧坐标之间有如下关系
P1 X1 cos X 2 sin u11 X1 u12 X 2
P2
X1 sin X 2 cos u21 X1 u22 X 2
u1p X p u2 p X p
u pp X p
若令式中U=(u1,u2,…,up)T, X=(X1,X2,…,XP)T
模型可简写为
P=u1X1+u2X2+…+upXp =UTX

主成分分析

空气污染和径赛纪录问题分析摘要本文运用主成分分析法，主要讨论空气污染和女子径赛纪录的数据分析问题，并解释主成分的实际意义。

针对问题一，以中午12点的7个空气污染因子为变量，建立总体样本。

分别从样本协方差矩阵和相关矩阵出发，运用MATLAB 的princomp 函数作主成分分析。

再比较二者的特征向量和相关系数，可知由相关矩阵所得的前三个主成分更能够反映原始数据的变化情况。

针对问题二，以径赛项目上的7个女子纪录为变量，建立总体样本。

首先将数据标准化，运用MATLAB 中的cov 函数得出相关矩阵；并利用princomp 函数求出矩阵的特征值、特征向量、累计贡献率和主成分得分。

其次结合权重和相关系数，得出第一主成分综合反映了各个国家和地区的运动员优秀程度，第二主成分反映国家的相对实力。

最后，根据第一主成分得分对各个国家排序，结果与原始数据中的直观看法基本吻合。

关键词空气污染；径赛纪录；主成分分析一、问题重述生活中往往会遇到涉及众多变量的问题，如某省的居民生活质量分析、机械类各企业的经济效益、体育成绩统计分析等问题。

一般来说，每个变量都可以提供一定的信息，但其重要性有所不同，因此会选择基于降维的主成分分析法来解决此类问题，现根据主成分分析法解决以下问题：问题一：已知某城市在42天中的中午12点的7项空气污染数据（见附录表1），分别为风速、太阳辐射、CO 、NO 、2NO 、3O 及HC 。

试利用尽可能少的变量提取原数据集的信息，分别利用样本协方差矩阵和样本相关矩阵做主成分分析，并说明二者结果的差异。

结合原始数据的变化可否由三个或者更少的主成分反映并对所选取的主成分作出解释。

问题二：已知世界上55个国家和地区1984年前在7个径赛项目上的女子纪录（见附录表2）。

试分析以下问题：1.求女子记录的样本相关矩阵R 及它的特征值和相应正交单位化特征向量。

2.求前两个标准化样本主成分及累计贡献率。

3.解释2中的两个主成分的意义（事实上，第一主成分近似于各变量的等权重之和，它反映了个国家和地区的运动员的优秀程度，第二主成分可用于度量个国家和地区在各径赛项目上的相对实力）。

主成分分析

第八章主成分分析与因子分析一、学习目的与要求主成分分析也称为主分量分析，是由霍特林于1933年首先提出的．主成分分析是利用降维的思想，在尽量少损失信息的前提下将多个指标转化为几个综合指标的应用统计方法．通常把转化生成的几个综合指标称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，它们不仅能综合反映原有指标的信息，而且使各个主成分之间互不相关，因此使得每个主成分比原始变量具有某些更优越的性能．这样在研究复杂问题时就可以只考虑少数几个主成分而不致于损失太多信息，从而更容易抓住主要矛盾，揭示事物内部变量间的规律性，同时使问题得以简化，提高分析效率．本章主要讨论主成分分析及因子分析的基本思想和方法．学习本章要密切联系实际，着重理解主成分分析及因子分析的基本思想方法，了解主成分的性质，了解主成分分析和因子分析的求解方法、实现步骤及其异同．二、内容提要（一）主成分分析1．主成分分析的基本思想日常生活和科学研究中，人们为了更全面、准确地反映出事物的特征及其变化规律，往往需要考虑与其有关的多个指标，这些指标在应用统计中也称为变量．这样就产生了如下的问题：一方面为了避免遗漏重要的信息而考虑尽可能多的指标，而另一方面随着考虑指标的增多增加了问题的复杂性．同时由于各指标均是对同一事物的反映，不可避免的造成信息的大量重叠，这种信息的重叠有时甚至会抹杀事物的真正特征与内在规律．因此有必要在尽可能少丢失信息的前提下减少指标的个数（降维），即从所研究的多个指标中，求出几个新指标，它们能综合原有指标的信息，用这几个新指标进行分析仍应用统计方法学习指导能达到我们的目的．主成分分析正是研究如何通过原始变量的少数几个线性组合来解释原来变量绝大多数信息的一种统计方法．既然所研究问题涉及各个变量之间存在一定的相关性，就必然存在着起主导作用的共同因素．据此可通过对原始变量相关矩阵或协方差矩阵内部结构关系研究，利用原始变量的线性组合形成几个综合指标（主成分），在保留原始变量主要信息的前提下起到降维与化简问题的作用，使得在研究复杂问题时更容易抓住主要矛盾．总之，利用主成分分析得到的主成分与原始变量之间有如下基本关系：（1）每一个主成分都是某些原始变量的线性组合．（2）主成分的数目大大少于原始变量的数目．（3）主成分保留了原始变量绝大多数信息．（4）各主成分之间互不相关．通过主成分分析，可以从事物之间错综复杂的关系中找出一些主要成分，从而能有效利用大量统计数据进行定量分析，揭示变量之间的内在关系及统计规律．2．主成分分析的基本理论设某研究涉及个指标，分别用表示，这个指标构成的随机向量为．设随机向量m m x x x ,,,21"m ),,,(′=x x x X 21m "X 的均值为µ，协方差阵为．Σ对X 进行线性变换，可以形成新的综合变量，用Y 表示，即新的综合变量可以由原始变量线性表示如下：（8-1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=mmm m m m mm mm x l x l x l y x l x l x l y x l x l x l y """""22112222121212121111由于可以任意地对原始变量进行线性变换，由不同的线性变换得到的新的综合变量Y 的统计特性也不尽相同．因此为了取得较好的效果，我们总是希望的方差尽可能的大且各之间不相关，由于X l i i y ′=i y i i i i D Dy l l X l Σ′=′=)(而对任意的常数，有c第八章主成分分析与因子分析i i i i i c c c c D l l l l X l ΣΣ′=′=′2)(因此对不加限制时，可使任意增大，问题将变得没有意义．我们将线性变换约束在下面的原则下：i l i Dy （1），即（2）； 1=′i i l l 122221=+++im i i l l l "（2）与不相关，（i y j y m j i j i ,,2,1,;"=≠）；（3）是的一切满足（1）的线性组合1y m x x x ,,,21"X l ′=y 中方差达最大者；是与不相关的的所有线性组合中方差达最大者；以此类推，是与均不相关的的所有线性组合中方差达最大者；2y 1y m x x x ,,,21"m y 121,,,−m y y y "m x x x ,,,21"基于以上三条原则决定的综合变量分别为原始变量的第一、第二、"、第m 个主成分．其中，各综合变量在总方差中占的比重依次递减．在实际应用中通常只挑选前几个方差较大的主成分，从而达到简化系统结构、抓住问题实质的目的．m y y y ,,,21"3．主成分分析的几何意义我们以两个指标为例说明主成分的直观意义．设有个样品，每个样品有两个指标，，其平面n 1x x 2数据散点图如图8-1所示，显然两指标存在相关关系．这n 个样品无论沿轴方向还是沿1x 2x 轴方向均有较大的分散性，其分散程度可分别用变量的 1x 方差和的方差定量的表示，2x 显然，若只考虑和中的任 1x 2x 何一个，原始数据中的信息均会有较大的损失．我们的目的是考虑和的线性组合，使原始样品数据可有新的变量和来刻画．在几何上表示就是将坐标轴按逆时针方向旋转1x 2x 1y 2y θ角度，得到新坐标轴和，坐标旋转公式如下：1y 2y应用统计方法学习指导112212cos sin sin cos y x x y x x θθθθ=+⎧⎨=−+⎩其矩阵形式为：1122cos sin sin cos y x y x θθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦UX 式中，U 为旋转变换矩阵，由上式可知它是正交的，即满足，1−′=U U ′=U U I 经过这样的旋转之后，n 个样品点在轴上的分散程度最大，变量代表了原始数据绝大部分信息，这样，即使不考虑变量也无损大局．因此，经过上述旋转变换就可以把原始数据的信息集中到轴上，对数据中包含的信息起到了浓缩的作用．进行主成分分析的目的就是找出旋转矩阵U ，进而求的新的综合指标，即可依据实际问题的具体情况选择主成分．1y 1y 2y 1y 4．主成分及其性质设为维随机向量，则),,,(21′=m x x x "X m X 的第1，2，…，主成分定义为m X l i i y ′=，1=′i i l l （m i ,,2,1"=），它们满足（1）第一主成分是一切形如1y X l ′=y ，1=′l l 使的方差达极大者； y （2）第二主成分是一切形如2y X l ′=y ，1=′l l 且与不相关使的方差达极大者；1y y （3）第i 主成分是一切形如)(m i y i ≤X l ′=y ，1=′l l 且与不相关使的方差达极大者；121,,,−i y y y "y 由协方差矩阵求解主成分：设),,,(21′=m x x x "X 为m 维随机向量，协方差阵为，Σ的m 个特征值为Σ021≥≥≥≥m λλλ"，相应的标准正交化特征向量为，则m l l l ,,",21X 的第i 主成分X l i ′=i y ，且i λ=i Dy （）． m i ,,2,1"=充要条件：设Y 为维随机向量，m Y 的分量依此是m y y y ,,,21"X 的第一、第二、…、第主成分的充分必要条件为m第八章主成分分析与因子分析（1）X T Y ′=，为正交阵；),,,(21m l l l T "=（2）Y 的协方差矩阵为对角阵),,,(21m diag λλλ"=Λ；（3）m λλλ≥≥≥"21．主成分的目的是为了减少变量的个数，因此一般不用个主成分，而是用个主成分，在应用中我们自然要考虑k 应取多大．为此，我们引入累计贡献率．m m k <累计贡献率：称为主成分的贡献率，为主成分的累计贡献率．∑=mj j i 1/λλi y ∑∑==mj j ki i 11/λλk y y y ,,,21"通常取使累计贡献率达70%~80%以上．累计贡献率表达了个主成分提取原来指标的多少信息，这需要用到下面的概念．k k m x x x ,,,21"因子负荷量：称jkj k j k Dx Dy x y x y ),(Cov ),(=ρ为因子负荷量；而称为主成分对原变量的贡献率．∑==ki j i j x y 12),(ρνk y y y ,,,21"j x 主成分具有如下性质：（1），其中∑∑===mi ii mi i 11σλm m ij ×=)(σΣ ．（2）jj jk k j k t x y σλρ/),(=，其m m ×中ij t =)(T 阵．（3）．（4）．（5）2=∑为充要条件中的正交jj jk ki i j t σλν/21∑==∑==mi k i k ii x y 12),(λρσ1),(1=mx y ρ．指出的是：为了消除不同量纲可能带来的影响，通常将变量标准化． k i k 需要令iii Dx Ex x x −=* ),,2,1(m i "=，应用统计方法学习指导这时的协方差阵就是),,,(**2*1*′=m x x x "X X 的相关阵，由相关阵出发去求主成分．R R 5．样本主成分上面讨论的主成分是在Σ（或R ）已知的情况下，但在实际问题中（或）往往是未知的，这就需要用样本去估计．ΣR 设总体的组观察值为，．令),,,(21′=m x x x "X N ),,,(21′=im i i i x x x "X ),,2,1(N i "= ∑=−−−=Nl j lj i li ij x x x x N 1))((11σ，（8-2）jjii ij ij r σσσ=，（8-3）其中∑==Nl li i x Nx 11．则有样本协方差阵 m m ij ×=)(σS ，（8-4）样本相关阵，（8-5） m m ij r ×=)(R 它们分别为总体协方差阵和总体相关阵的估计．有（或S R ）出发求得的个标准正交化的特征向量，则S m m l l l ,,,21"X l i ′=i y ),,2,1(m i "=，称为个样本主成分．将m X 的观察值代入，可得样本主成分数据j ji y X l i ′=),,2,1;,,2,1(m i N j ""==．（二）因子分析在科学研究中，往往需要从多个角度对反映事物现象进行观测，也就设计出多个观测变量，从多个变量收集大量数据以便进行分析寻找规律．多变量大样本虽然会为我们的科学研究提供丰富的信息，但确增加了数据采集和处理的难度．更重要的是在大多数情况下，许多变量之间存在一定的相关关系，从而增加了问题分析的复杂性．因子分析就是将大量的彼此可能存在相第八章主成分分析与因子分析关关系的变量转换成较少的，彼此不相关的综合指标的一种多元统计方法．因子分析最初是从心理学和教育学发展起来的，它也是多元统计分析中数据降维的一种．1. 因子分析模型设X 为维向量，其均值为m µ，协方差阵为Σ．如果X 可以表示为U Λf X ++=µ，（8-6）其中()ij m k λ×=Λ为常数矩阵，为维向量，可以是随机的，也可以是非随机的，U 为维向量；则称f k m X 有k 个因子的模型，称为公共因子，U 称为特殊因子，称为因子载荷矩阵． f Λ 当为随机向量时，通常假定 f 0=f E ，k I f =)(Cov ，，，（8-7）0=U E ψU ==ˆ),,()(Cov 221m diag ψψ" ，0),(Cov =U f 满足（8-9），（8-10）的因子模型称为正交因子模型，此时的分量是相互正交的．f 由上述假设，可得))(()(Cov ′−−==µµX X X ΣE )()(′++=U Λf U Λf EΛf f Λ′′=E =′+U U E ΛΛ′ψ+，（8-8）上式等价于212i kj ij ij ψλσ+=∑= ，（8-9） 22i i h ψ+=),,2,1(m i "=式中，∑==kj ij i h 122λ应用统计方法学习指导它反应了公共因子对的影响，称为共性方差．i x 需要指出的是：对于一个给定的协方差阵Σ和均值向量µ，如果可分解为（8-8）式，那么即可得到因子模型（8-6）．因子分析的目的就是由样本出发给出和ΣΣµ的估计，然后确定分解式（8-8），并给公共因子以实际背景解释，最后得到因子模型．2．建立因子模型——主因子法因为ΛΛψ′=−Σ为非负定阵，秩为，故存在一个正交矩阵，使得 k P ΦΣ==−′ˆ)0,,0,,,,()(21""k diag ϕϕϕP ψP ，且),,2,1(0k i i "=>ϕ．设为的前k 列，1P P ),,,(211k diag ϕϕϕ"=Φ，，则有),,,(2/12/122/112/11k diag ϕϕϕ"=Φ ，)(2/1112/111′=′=−ΦΦΦΣP P P P ψ故为一个解．如果我们能给出ψ的一个合适的估计，则我们可用的前个标准正交化的特征向量来得到的一个估计，这种估计称为主因子法．2/111Φ=P Λ1ˆψ1ˆˆψ−Σk Λ2/111ˆˆˆΦ=P Λ设为来自总体N X X X ,,,21"X 的长度为N 的样本．µ、的估计分别采用Σ ∑===Ni i N11ˆX X µ，（8-10）()(11ˆ1′−−−=∑=X X X X i Ni i N Σ，（8-11）估计ψ的方法很多，常用的方法如下：，（8-12）)ˆ,,ˆ(ˆ221m diag ψψ"=ψ其中，，（8-16）ii i σψ/1ˆ2=m m ij ×−=)(ˆ1σΣ 主因子法的关键是的选择．尽管k ψ−Σ的特征值都是非负的，但的ψˆˆ−Σ第八章主成分分析与因子分析特征值有可能是负的．这时选择满足：k （1）使k ϕϕϕˆˆˆ21+++"与m ϕϕϕˆˆˆ21+++"比较接近，这里m ϕϕϕˆˆˆ21≥≥≥"为的特征值； ψˆˆ−Σ （2）不超过正特征值k j ϕˆ的个数．主因子法的具体步骤如下：（1）计算Σ的估计、的初始估计，公式有（8-11）、（8-12）给出；Σˆψψˆ （2）求的个特征值ψˆˆ−Σm m ϕϕϕˆˆˆ21≥≥≥"及相应的为的标准正交化的特征向量；选择使ψˆˆ−Σm 21l ,,l ,l "k k ϕϕϕˆˆˆ21+++"与m ϕϕϕˆˆˆ21+++"很接近，同时不超过正特征值k j ϕˆ的个数，令，，)(ˆk l ,,l ,l P 21"=1)ˆ,,ˆ,ˆ(ˆ2/12/122/112/11k diag ϕϕϕ"=Φ则的初始估计为； Λ2/111ˆˆˆΦ=P Λ （3）令， )ˆˆˆ(ˆΛΛ′−=Σdiag ψ要求ψˆ的元素非负（负值取为零）；以ψˆ代替（2）的ψˆ，重复步骤（2）的计算，直到、ΛˆΦˆ稳定为止．由于，所以由（8-13）估计等价于估计共性方差：22i i ii h ψσ+=2i ψ2i h 22ˆˆˆi ii i h ψσ−=iiii σσ1ˆ−=．（48-1）在实际问题中，有时需要由相关阵出发讨论，这时只要将代替作上述分析即可．共性方差常用下面的估计：R R Σ ijij i r h ≠=max ˆ2．（8-15）此时．（8-16） 22ˆ1ˆii h −=ψ应用统计方法学习指导三、问题与思考1.主成分分析的基本思想是什么？如何选择主成分？2.什么是主因子法？四、例题析解例8-1设),,(321′=x x x X 的协方差阵为，试求： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=Σ220242022 （1）第一、二主成分贡献率和累计贡献率，并计算的第一、二主成分．21,y y )1,2,1(′=X （2）第一、二主成分对原变量的因子负荷量和贡献率． 21,y y 2x 解: （1）求特征值，由0)6)(2(2224222=−−=−−−−−−−λλλλλλ解得三个特征值分别为61=λ，22=λ，03=λ．（2）求特征向量，由 022242022=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−ζηξλλλi ii将61=λ代入上式得 0420222024=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−ζηξ解得1=ξ， 2−=η，1=ζ，即得相应的标准化特征向量为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−≈⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−++=4082.08165.04082.01216112114111l 同理解得22=λ相应的特征向量（标准化）为第八章主成分分析与因子分析⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−≈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=7071.007071.0101212l 得第一主成分的贡献率为%75)026/(6=++ 第二主成分的贡献率为%25)026/(2=++ )1,2,1(′=X 的第一、二主成分分别为()8166.01214082.0,8165.0,4082.011−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=′=X l y()01217071.0,000.0,7071.022=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=′=X l y （2）由jj jk k j k t x y σλρ/),(=∑==ki j i j x y 12),(ρν得第一、二主成分对原变量的因子负荷量和贡献率为:21,y y 2x 141626/),(2221121−=×−×==σλρt x y0/),(2222222==σλρt x y ，1),(2122==∑=i j i x y ρν五、自测练习1．设的协方差阵为),,(321′=x x x X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Σ14/14/14/114/14/14/11应用统计方法学习指导（1）试讨论主成分对原变量的贡献率和累计贡献率，并计算的第一、二主成分；321,,y y y )3,2,1(′=X （2）)3,1,21(′−==EX µ，试利用主因子法建立因子模型．2. 下表中是10名男中学生的身高（1x ）、胸围（2x ）、体重（3x ）、的数据，试进行主成分分析．身高（1x ）胸围（2x ）体重（3x ）149.5 162.5 162.7 162.2 156.5 156.1 172.0 173.2 159.5 157.769.5 77.0 78.5 87.5 74.5 74.5 76.5 81.5 74.5 79.038.5 55.5 50.8 65.5 49.0 45.5 51.0 59.5 43.5 53.53．举一个应用因子分析方法的实例．。

主成分分析

主成分分析专题§1引言我们在作数据分析处理时，涉及的样品往往包含有多个测量指标（比如p 个指标），较多的指标会带来分析问题的复杂性。

然而，这些指标彼此之间常常存在着一定程度的、有时甚至是相当高的相关性，这就使含在观测数据中的信息在一定程度上有所重叠。

主成分分析就是一种通过降维技术把多个指标约化为少数几个综合指标的统计分析方法。

这些综合指标能够反映原始指标的绝大部分信息，它们通常表示为原始p 个指标的某种线性组合。

为了使这些综合指标所含的信息互不重叠，应要求它们互不相关。

例如，考虑p ＝2的情形，假设共有n 个样品，每个样品都测量了两个指标),(21x x ，它们大致分布在一个椭圆内。

如图所示。

显然，在坐标系21Ox x 中，n 个点的坐标1x 和2x 呈现某种线性相关性。

我们将该坐标系按逆时针方向旋转某个角度变成新坐标系21Oy y ，这里1y 是椭圆的长轴方向，2y 是短轴方向。

旋转公式为易见，n 个点在新坐标系下的坐标1y 和2y 几乎不相关。

1y 和2y 称为原始变量1x 和2x 的综合变量，n 个点在1y 轴上的方差达到最大，即在此方向上所含的有关n 个样品间差异的信息是最多的。

因此，若欲将二维空间的点投影到某个一维方向，则选择1y 轴方向能使信息的损失降低到最小。

我们称1y 轴为第一主成分，而与1y 轴正交的2y 轴，有着较小的方差，称为第二主成分。

第一主成分的效果与椭圆的形状有很大关系，椭圆越是扁平，n 个点在1y 轴上的方差就相对越大，在2y 轴上的方差就相对越小。

考虑这样两种极端的情形：一种是椭圆的长轴与短轴的长度相等，即椭圆变成圆，第一主成分只含有二维空间点的约一半信息，若仅用这一个综合变量，则将损失约50％的信息，这显然是不可取的。

造成它的原因是，原始变量1x 和2x 的相关程度几乎为零，也就是说，1x 和2x 所包含的信息几乎互不重叠，因此无法用一个一维的综合变量来代替它们。

主成分分析和因子分析

第八讲主成分分析和因子分析
一、概述
意义和作用：
➢ 解决变量间多重共线性。在社会经济研究工作中经常会遇到多指标的问题，这些指标间往往存在一定的相关，直接纳入分析不仅复杂，变量间难以取舍，而且由于分析前提不满足，得出错误结论。
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1
➢ 变量压缩。主成分分析通过线性变换，在尽可能保留原始变量的信息的基础，降低维度，将原来的多个变量组合成相互独立的少数的、新的综合变量。
7
2、适用条件
为了找出变量间内在结构，要求因子分析满足
以下条件：
➢样本量
样本量与变量数的比例应在5: 1以上
总样本量最好大于100，而且原则上越大越
好
➢各变量间必须有相关性
KMO统计量:在（0，1）之间，大于0.9最佳，
0.9-0.7尚可， 0.7-0.6很差，0.5以下放弃
Bartlett’s球形检验：对变量间的独立性
在“旋转”按钮对话框，“方法”设定为“最大方差法”
在“得分”按钮对话框，选择“保存为变量”、“方法”设定为“回归”，选择“显示因子得分系数矩阵”
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15
7、输出结果阅读
➢说明的总方差表：包括特征根，旋转前/后的
方差贡献率、累计贡献率
➢变量共同度
➢旋转前/后因子载荷矩阵
➢因子得分模型系数：求出公因子后，可以用
➢因子得分函数系数
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5、公因子数的确定
公因子数量的确定
➢主成分的累积贡献率：85%以上 ➢ 特征根：大于1 ➢ 综合判断。因子分析时更重要的是因子的
可解释性，必要时保留特征根小于1的因子
➢利用碎石图帮助确定因子数量
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主成分分析完整版

2 0.84,e2 (0.999, 0.040)T .
X的两个主成分分别为第一主成分的贡献率为
Y1 0.040X1 0.999X2, Y2 0.999X1 0.040X2.
1 100.16 99.2% 1 2 101
R 型分析
R型分析的概念
为消除量纲影响，在计算之前先将原始数据标准化。标准
4. 由此我们可以写出三个主成分的表达式：
F1 0.56(x1 161 .2) 0.42(x2 77.3) 0.71(x3 51.2) F2 0.81(x1 161 .2) 0.33(x2 77.3) 0.48(x3 51.2) F3 0.03(x1 161 .2) 0.85(x2 77.3) 0.53(x3 51.2)
主旋转坐标轴
x 2
F 1
成分分析的几何解
F 2
•
•••
•••
• •
•
•••••••••••••••••••••••
• •
F1 x1 cos x2 sin
F2 x1 sin x2 cos
F1
F2
cos sin
sin x1
cos
x2
x2
旋转变换的目的是为了使得n个
很显然，识辨系统在一个低维空间要比在一个高维空间容易得多。
在力求数据信息丢失最少的原则下，对高维的变量空间降维，即研究指标体系的少数几个线性组合，并且这几个线性组合所构成的综合指标将尽可能多地保留原来指标变异方面的信息。这些综合指标就称为主成分。要讨论的问题是：
(1) 基于相关系数矩阵/协方差矩阵做主成分分析？ (2) 选择几个主成分？ (3) 如何解释主成分所包含的实际意义？
2. 求解协方差矩阵的特征方程 S I 0

数据分析知识：数据分析中的因子分析和主成分分析

数据分析知识：数据分析中的因子分析和主成分分析数据分析是一门应用数学的新兴学科，在大数据、人工智能和互联网技术的推动下，日益受到企业和科学家的青睐。

数据分析的基本任务是研究数据间的关系，找出隐藏在数据背后的规律和模式，为决策提供支持和指导。

因子分析和主成分分析是常用的数据分析方法，在广泛的领域中得到了应用和发展。

因子分析和主成分分析是两种线性变换技术，即将多维数据降维，从而减少数据冗余和噪声，提取数据的本质信息，简化数据的处理和分析。

它们的具体实现方式不同，但是目标相同：寻找数据背后的共性因素，构建潜在变量模型，提高数据的可解释性和预测性。

一、因子分析因子分析是一种结构方程模型，旨在研究一组观测变量之间的关系，找出其中的基本因素，以便于描述和解释数据中的变化。

它可以用于数据降维、变量筛选、因果推断、模式识别、分类聚类、信用评估、意见调查等方面。

因子分析的基本思路是将若干观测变量表示成少数几个共同的因素，从而减少变量的数量和复杂度。

这些因素具有一定的统计意义和实际意义，反映了数据中的基本结构和变化。

因子分析的前提是变量之间存在相关性和模式，但是不了解具体的本质方式和机制。

因子分析的方法流程如下：1、确定因子个数：可以通过特征值、平行分析、KMO检验等方法，来选择合适的因子个数。

2、提取因子：可以使用主成分分析和极大似然估计等方法，将原始变量投影到因子空间中。

3、旋转因子：可以使用正交旋转和斜交旋转等方法，来调整因子间的关系，使因子间的相关性更清晰和明确。

4、解释因子：可以使用重载矩阵、公共度、因子载荷、因子得分等方法，来识别每个因子的内涵和实际意义，并解释数据中的变化。

基于以上步骤，因子分析可以将原始数据转化为因子得分并展示数据的本质结构和变化，从而更好地理解数据的特点和规律。

同时，因子分析可以消除冗余信息和噪声，提高数据的清晰度和稳定性，有利于数据清洗、预测和模型构建。

二、主成分分析主成分分析是一种多元统计技术，在数据分析领域中具有重要的应用和价值。

主成分分析完整ppt课件

的系数向量。对于多维的情况，上面的结论依然成立。
这样，我们就对主成分分析的几何意义有了一个充分的了解。主成分分析的过程无非就是坐标系旋转的过程，各主成分表达式就是新坐标系与原坐标系的转换关系，在新坐标系中，各坐标轴的方向就是原始数据变差最大的方向。
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其中，U为旋转变换矩阵，由上式可知它是正交阵，即满足
U'U1 , U'UI
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§2 主成分分析的几何意义
经过这样的旋转之后，N个样品点在 Y 1 轴上的离散程度最
大，变量 Y 1 代表了原始数据绝大部分信息，这样，有时在研
究实际问题时，即使不考虑变量 Y 2 也无损大局。因此，经过
指标转化为几个综合指标的多元统计方法。通常把转化生成

的综合指标称之为主成分，其中每个主成分都是原始变量的
线性组合，且各个主成分之间互不相关，这就使得主成分比
原始变量具有某些更优越的性能。这样在研究复杂问题时就可以只考虑少数几个主成分而不至于损失太多信息，从而更
容易抓住主要矛盾，揭示事物内部变量之间的规律性，同时
上述旋转变换就可以把原始数据的信息集中到
Y
轴上，对数
1
据中包含的信息起到了浓缩的作用。进行主成分分析的目的
就是找出转换矩阵 U ，而进行主成分分析的作用与几何意义
也就很明了了。下面我们用遵从正态分布的变量进行分析，
以使主成分分析的几何意义更为明显。为方便，我们以二元
正态分布为例。对于多元正态总体的情况，有类似的结论。
1.每一个主成分都是各原始变量的线性组合；

主成分分析

求第一主成分，构造目标函数为：
1(T1, ) T1ΣT1 (T1T1 1)
对目标函数 1(T1, ) 求导数有：
1
T1
2ΣT1
2T1
0
即
(6.5) (6.6)
(Σ I)T1 0
(6.7)
由 6.7 式两边左乘 T1 得到
T1ΣT1
(6.8)
由于 X 的协差阵 Σ 为非负定的，其特征方程(6.7)的根均大于零，
p
变量 Y1,Y2 , ,Yp 的方差之和 k 。主成分分析的目的是 k 1
减少变量的个数，所以一般不会使用所有 p 个主成分的，
忽略一些带有较小方差的主成分将不会给总方差带来太
大的影响。这里我们称
p
k k
k
k 1
(6.23）
为第k 个主成分 Yk 的贡献率。第一主成分的贡献率最大，这表
明 Y1 T1X 综合原始变量 X1, X 2 , , X p 的能力最强，而
图6.1 主成分的几何意义
如标果系我y1们Oy将2 ，该这坐里标y系1 是按椭逆圆时的针长方轴向方旋向转，某y2个是角椭度圆的变短成轴新方坐向。
旋转公式为
YY21
X1 cos X1 sin
X2 sin X2 cos
(6.1）
我们看到新变量 Y1 和 Y2 是原变量 X1 和 X 2 的线性组合，它的
主成分分析的基本思想
人们为了避免遗漏重要的信息而考虑尽可能多的指标
随着考虑指标的增多增加了问题的复杂性由于各指标均是对同一事物的反映，不可
避免地造成信息的大量重叠，这种信息的重叠有时甚至会抹杀事物的真正特征与内在规律。希望在定量研究中涉及的变量较少，而得到的信息量又较多。主成分分析正是研究如何通过原来变量的少数几个线性组合来解释原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法。

tamol_60224_主成分_解释说明

tamol 60224 主成分解释说明1. 引言1.1 概述在工业和科学领域，化学品的性能和成分分析是非常重要的工作。

对于某些特定化学品而言，TAMOL 60224是一个非常有代表性的成分之一。

因此，深入了解并解释TAMOL 60224的主要成分就变得至关重要。

1.2 文章结构本文旨在对TAMOL 60224的主要成分进行详细解释。

首先，将介绍TAMOL 60224的概述，并解释为什么它被广泛使用。

接下来，将详细讲解主成分分析的原理和方法，以便读者更好地理解和应用这种分析技术。

最后，在文章的最后部分进行对主要成分进行解释，并展示它们在化学领域中的意义与作用。

1.3 目的本文的目标是通过对TAMOL 60224主要成分的彻底探讨，使读者能够更全面地了解该化学品及其特性。

通过这篇文章，读者将了解到如何使用主成分分析来揭示TAMOL 60224中各个组成部分之间的关系，并且进一步理解这些组成部分所扮演的角色及其在实际应用中的重要性。

2. TAMOL 60224 主成分解释说明2.1 TAMOL 60224 简介TAMOL 60224是一种广泛应用于各个领域的化学物质。

它具有多种特性和功能，并且在许多工业过程中起着重要作用。

作为一种高效的阻垢剂和缓蚀剂，TAMOL 60224可以有效地降低金属表面的腐蚀速率，延长设备的使用寿命。

此外，它也可用于润滑剂、表面活性剂、染料分散剂等方面。

2.2 主成分分析的原理和方法主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的多变量数据降维方法，通过线性变换将原始数据转换为新的主成分空间。

在这个新空间中，每个主成分都是原始数据中相关变量线性组合得到的，在保留尽可能多信息的同时减少维度。

主成分之间彼此无关且按照方差大小排列。

对于TAMOL 60224来说，我们可以利用主成分分析来从其复杂的化学结构中提取出最具代表性和解释效果好的主要特征。

主成分的意义解释

主成分的意义解释首先，主成分可以用于数据压缩和降维。

在实际应用中，我们常常面对高维数据，而高维数据的处理会给计算和存储带来很大的困难。

主成分分析通过提取数据中的主要特征，可以将原始数据降维到较低的维度上，从而减少数据集的复杂性和冗余。

由于主成分是按照方差的大小排序的，所以在保持数据信息损失最小的前提下，可以通过保留前k个主成分来实现数据压缩和降维。

其次，主成分可以用于发现数据中的规律和相关性。

主成分分析的核心思想是通过线性变换将原始数据转换为一组无关的特征向量。

这些特征向量对应于数据中的主要特征，反映了各个维度之间的相关性。

根据主成分的性质，每个主成分都是数据特征的线性组合，且各个主成分之间是正交的。

因此，我们可以通过主成分的权重系数来评估每个数据特征对主成分的贡献大小。

通过分析这些权重系数，我们可以揭示数据特征之间的内在规律和相关性，有助于进一步理解和解释数据背后的隐藏结构。

最后，主成分还可以用于数据可视化和解释。

由于主成分分析将原始数据转换到新的坐标系上，每个主成分都可以看作是一个新的特征维度。

在二维或三维空间中，我们可以通过绘制主成分之间的散点图或散点矩阵，来观察数据中的聚类、离散、异常等情况。

通过观察主成分的特征向量和权重系数，我们可以对原始数据的特性和分布进行解释和理解。

主成分分析的可视化和解释特性使其在数据探索和分析中得到广泛应用，有助于挖掘数据中的潜在信息和知识。

综上所述，主成分的意义在于：数据压缩和降维、发现数据中的规律和相关性、数据预处理和去噪、数据可视化和解释等方面。

主成分分析是一种强大的工具，可以帮助我们提取数据的主要特征，减少数据的复杂性，发现数据中的隐藏结构和规律，提高数据的质量和准确性，从而为后续的数据分析和建模打下良好的基础。

主成分分析的意义

主成分分析的意义
主成分分析（Principal component analysis，PCA）是一种常用的数
据分析方法，它使数据空间中的一部分重要特征得到突出体现，降低
数据空间的维数，并捕获可能存在的内在模式和结构。

因此，它广泛
用于解决不同领域的复杂问题，尤其是在机器学习、数据挖掘、聚类
分析和人脸识别等领域中。

主成分分析的基本原理是将原始数据转换为一组新的表示，称为主成分。

这些主成分可以表示原始数据的最重要特征，它们之间最大限度
地减少了相关性。

由于主成分重要特征之间的相关性最小，它可以有
效地简化数据空间。

主成分分析还可以用于对数据进行缺失值的填补，以及归一化和改善
数据质量。

此外，它还可以用于预先建模，即在不了解数据的情况下
使用原始数据建立模型，从而降低误差的传播。

最后，它也可用于提取数据中的有用信息，例如可以提取不同数据列
或属性之间的关系，以及数据列中存在的共同特征。

它可以有效地预
测结果，有助于改善预测模型的准确性。

总而言之，PCA是一种极其强大的数据分析方法，它可以用于解决复杂数据集所面临的不同挑战。

由于它可以有效地提取数据中的重要特征，所以被广泛用于机器学习、数据挖掘和人脸识别等领域，帮助研究者
更��有效地了解数据，提高结果的准确性。