7.2二次根式的加减法
二次根式的加减法知识讲解
二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.同类二次根式与整式中的同类项类似.2、二次根式的加减法法则二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意:(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行,第一步化简;第二步合并;(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的;在合并时类似于以前学过的合并同类项,只需将根号外的因式进行加减,被开方数和根指数不变.3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去掉括号).注意:(1)在运算过程中,每一个根式可以看作是一个“单项式”,多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”;(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用;(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式.二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式,在进行二次根式的加减法时,注意先把各个二次根式化为最简二次根式,再把同类项合并,合并同类二次根式的方法与合并同类项类似.2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较,使二次根式的混合运算易于理解和掌握,并能合理应用运算律及技巧进行计算.二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题,同时可避免错误地使用运算律.三、典型例题讲解例1、计算:.分析:本组题中各个加数都不是最简二次根式,因此需先进行化简,然后再把被开方数相同的根式进行合并.解:.例2、计算:分析:先根据去括号的法则,去掉括号,再进行二次根式的加减运算.总结:解此类问题分为三个步骤:一是去括号,二是化简,三是合并,但在去括号时应注意符号的处置.例3、计算下列各题:.思路:(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算;(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算;(4)题可套用完全平方公式计算.例4、计算下列各题.解:例5、化简:总结:在计算过程中要注意各个式子的特点,能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的,又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置,如,结果为-1,继续运算易出现符号上的差错,而把变为,这样则为1,继续运算可避免错误.例6、已知x、y都为正整数,且.求x+y的值.分析:因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并,而,易知化简后的被开方数必为222,故可设.由此求出正整数a、b即可求出x、y.解:,于是即a+b=3∴a=2,b=1或a=1,b=2,故x=222,y=888或x=888,y=222.∴x+y=1110,总结:几个二次根式化简后被开方数相同,则它们可以合并,本题则是逆用该结论,即几个二次根式能合并成一个二次根式,则它们化简后的被开方数必相同.课外拓展:例、已知a、b是实数,且,问a、b之间有怎样的关系?请推导.思路分析:由特殊探求一般,在证明一般性的过程中,由因导果,从化简条件等式入手,而化简的基本方法是有理化.解:原等式两边分别乘以,得两式相加得,所以.A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A.B.C.D.2、下列计算正确的是( )A.B.C.D.3、下列各式化简结果不正确的是()A.B.C.D.4、下列计算正确的是()A.B.C.D.5、计算等于()A.·1 B.3C.D.6、在数轴上点A表示实数,点B表示,那么离原点较远的点是()A.A B.BC.A、B的中点D.不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c,且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______.8、若成立,则xy的值为______.9、若,则______.10、已知正数a、b,有下列结论:(1)若a=1,b=1,则;(2)若,则;(3)若a=2,b=3,则;(4)若a=1,b=5,则.根据以上几个命题提供的信息,请猜想:若a=6,b=7,则______.三、解答题11、计算或化简下列各题:12、计算:13、已知,求代数式的值.14、计算.[15、先观察下列等式,再回答问题:(1)根据上面三个等式提供的信息,请猜想的结果,并进行验证;(2)请按照上面各等式反映的规律,试写出n(n为正整数)表示的等式,并加以验证.一.选择题DDCBDB二.填空题7、△ABC的周长大于6且小于10.8、由题意有x=2,y=3,∴x y=8.9、.10、=13.三.解答题11.12.13..14. 解:(1)配方法:本题中的根式不符合型,我们可根据分式的基本性质,分子、分母都乘以2,将原式变形为(2)换元法:设,两边同时平方得,所以x2=10,又因为x>0,所以,即.15.。
二次根式的加减法 Microsoft Word 文档
§7.2二次根式的加减法数学 学科 八 年级 下 册 诸城市辛兴初中 臧运建 学习目标:1、理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则2、会进行简单的二次根式的加减运算3、经历同类二次根式概念及加减法法则的发现过程,体验类比、猜想的思想方法。
课前延伸计算下列各式.(1)2x+3x ; (2)2x 2-3x 2+5x 2; (3)x+2x+3y ; (4)3a 2-2a 2+a 3 教学过程一、自主探究 计算下列各式.(先自主学习,然后小组合作交流) (1)3233-;(2)a a a 423+-.规律总结:与整式中同类项的意义相类似,我们把像33与32-,a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式,称为 .归纳:是同类二次根式二次根式的加减,与整式的加减相类似,关键是 .例1计算:(1)2454+(2)43932aa +二.合作探究(独立完成后小组合作交流并纠错)计算:54520290+-归纳二次根式的加减法则:三.应用提升(1)451227+-;(2)x x x916425-+.(3))12)(12(-+; (4))2)(2(b a b a -+四.谈一谈谈一谈本节课的收获和体会五.比一比(独立完成后组长批阅并指导纠错)当堂小测验1.下列各组里的二次根式是不是同类二次根式?(1)122,27;(2)50,83; ;(3)nmn m 2,2; (4)yxx y 2527,43. (5)ab 2,ab 83; (6)b a 23,227ab .2.计算: (1)433332+-; (2)75335-.(3)245253-+-;(4)12273752+-;(5)2231872-+.3.计算:(1))23)(23(-+;(2))32)(32(-+a a .六.课后拓展.已知二次根式12+a 与7是同类二次根式,试写出三个a 的可能取值.。
7.2二次根式加减
7.2二次根式的加减(1)密州街道朱解初中 王表昌 审阅 初二数学组学习目标:1、能够正确进行简单的二次根式加减法的运算.2、通过对二次根式加减法的探究,激发学生的探索热情,让学生充分参与到数学学习的过程中来,使他们体验到成功的乐趣。
重点:二次根式加减法的运算难点:探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法的运算。
学习过程:活动一提出问题一个运动场要修两块长方形草坪,第一块草坪的长是10米,宽是5米,第二块草坪的长是20米,宽也是5米。
你能告诉运动场的负责人要准备多少面积的草皮吗?问题:105+205是什么运算?活动二探究活动下列3个小题怎样计算? ①5+5; ②5-125; ③5-50+20.问题:1)53-25还能继续往下合并吗?2)看来二次根式有的能合并,有的不能合并,通过对以上几个题的观察,你能说说什么样的二次根式能合并,什么样的不能合并吗?二次根式加减时,先将二次根式化简成最简二次根式后,再将被开方数相同的进行合并. 活动三应用练习练习1指出下列每组的二次根式中,哪些是可以合并的二次根式?(字母均为正数)(1)8,12,27;(2)72,7521,501; (3)38ab ,b a 2,5332b a例1计算:(1)a a 259+;(2)4580-解:(1)a a 259+a a a 853=+=(2)4580-55354=-=例2计算:(1)323814182+-;(2))7581()31232(--- 解:(1)原式=212226+-=217(2)原式=+--2413322435=33132415+ 练习2 计算:(2)()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+6815.024 活动四课堂小结通过今天的学习你有何收获?1.二次根式加减法的运算方法和步骤是什么?2.二次根式加减法应注意先化简成最简二次根式,以及运算的准确性.3.在学习过程中运用了类比的学习方法.作业:计算:(1)223-;(2)27122+;(3)2918-; (4)x x 2242+;(5)3222x a x -;(6)23218+-;(7)108965475-+-;(8))272(43)32(21--+(1)()279818-+;7.2二次根式的加减(2)学习目标:1、利用二次根式加减法解决一些实际问题.2、培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.获得把实际问题转化为数学问题的体验3、通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度,以及自我意识.重点:将实际问题抽象为数学问题是本节课的重点难点:被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简。
二次根式的加减法
概念
例子
异类二次根式是指根指数或被开方数不同 的二次根式。
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是异类二次根式 。
减法运算
加法运算
两个异类二次根式相减,先进行化简,再 进行减法运算。
两个异类二次根式相加,先将它们化成最 简二次根式,再进行加法运算。
运算结果化为最简二次根式
概念
最简二次根式是指被开方数不含分母,被开方数不含能开得尽方的因数或因式 。
乘法运算
$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$在$ab \geq 0$ 时成立。
减法运算
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$在a=b或ab=0时成立 。
除法运算
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$在$ab \geq 0$ 且$a \neq 0$时成立。
二次根式的加减法
总结词
掌握含加减法的二次根式混合运算法则,能 够准确进行运算。
详细描述
含加减法的二次根式混合运算涉及到根式和 整式的加减法,运算顺序是先乘方,再乘除 ,最后加减。在运算中,需要注意各项均需 乘以平方数,根式外的数要移到根号内,相
加减时根式部分不变。
复杂二次根式混合运算的步骤和技巧
总结词
掌握复杂二次根式混合运算的步骤和技巧,能够准确 快速地进行运算。
02
同类二次根式的加减法
概念
同类二次根式是指根指数相同且被开 方数相同的二次根式。
例子
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是同类二 次根式。
减法运算
两个同类二次根式相减,直接进行减 法运算。
加法运算
两个同类二次根式相加,先将它们化 成最简二次根式,再进行加法运算。
7.2二次根式的加减法教学设计
7.2二次根式的加减法【学习目标】1、通过自主探究概括同类二次根式的概念及二次根式加减法法则。
2、了解同类二次根式的概念,会识别同类二次根式。
3、会利用法则进行二次根式的加减运算。
【学习重点】同类二次根式的概念及二次根式加减运算法则。
【学习难点】熟练进行二次根式加减法的运算。
【教学过程】一、复习回顾1、同类项的特点?如何合并同类项?2、如何进行整式的加减运算?3、计算:(1)a +2b -b +2a , (2)2223a b ba ab +-二、自主学习(一)问题:1、什么是同类二次根式?2、判断是否同类二次根式时应注意什么?3、如何进行二次根式的加减运算?根据上面三个问题,自学课本第10页至11页例1以上的内容。
三、合作探究根据自学内容,完成下面的题目,未解决的小组合作解决。
1、试观察下列各组式子,哪些是同类二次根式:(1)2322与 (2)32与(3)205与 (4)1218与2、判断:被开方式不同的几个二次根式,一定不是同类二次根式。
( )3、下列二次根式中,哪些是同类二次根式?4、几个二次根式化成_______________后,如果它们的________相同,那么这几个二次根式称为同类二次根式。
同类二次根式可以像________那样进行合并。
5、二次根式相加减,应先把各个二次根式化成___________,然后把_____________分别合并。
四、自主学习(二)例1、计算:例2、五、有效训练1、做课本第11页练习2.2、计算:(1)((2)2(3六、精讲点拨1、判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。
2、二次根式的加减分三个步骤:①化成最简二次根式;②找出同类二次根式;③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并。
七、拓展提升教师节到了,为了表达对老师的敬意,八(一)班做了两张大小不同的正方形壁画送给老师,其中一张面积为800平方厘米,另一张面积为450平方厘米,该班团支书小芳想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮,她现在有一条长1.2米的金彩带,请你帮忙算一算,她的金彩带够用吗?若不够用,还需要购买多长的金彩带?八、总结反思学生总结本节课主要学习了哪些内容?并说出应注意什么问题,解决问题的步骤是什么?九、达标测试:1、选择题(1中,与是同类二次根式的是().A.①和② B.②和③ C.①和④ D.③和④(2与3m-)1.414,≈结果保留整数位)A.m=2,n=2 B.m=2,n=1 C.m=1,n=2 D.m=6,n=1(3)若x y==则x+y的值为().A..C.a+b D.a-b(4)下列计算:=;②2+=;③=;④=)A.1 B.2 C.3 D.42、计算:(1)38550(2)112130.5327十、作业A组(必做):课本11习题A组1、2、3题。
7.2 二次根式的加减法导学案
4、若 x= 6 + 5 ,y= 6 - 5 ,则( x 18 0.5
1 3
4、一个长方形两边为 a+ b , a b ,求这个长方形的面积和周长。
六、课后作业: 1、课本 11 页习题 1、2、3 题。 2、若最简二次根式 x y 与 3x 2 y 的被开方式相同,则
1 2 1
x = y
3、若 x=
,则 x2-2x+1= 。
探究点二:同类二根式的加减法 法则:二次根式相加减,应先 后 例 2、计算: (1) 54 + 24 (2) 2 3
,然 。
9a +3
a 4
(3) 90 -2 20 +5
4 5
变式练习二: 1、计算: (1)2 3 -3 3 +6 3 (2)2 12 +3 48 -4 75
(3)2 6 。 。 叫做同类二次根式。
7.2《二次根式的加减法》导学案 初二数学备课组 时间:2011.02
一、学习目标: 1、了解同类二次根式的概念,会识别同类二次根式。 2、经历二次根式的加减法运算法则的形成过程,感悟类比思想。 3、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。 二、学习重点、难点: 重点:同类二次根式的概念、识别。 会运用二次根式的加减运算法则进行计算。 难点:会运用二次根式的加减运算法则进行计算。 三、探究新知: 知识储备: 1、 计算: (1)3a+3a= (2)4ab-ab= 2、自主预习课本 P10-P11 内容,独立完成课本练习 1、2 题后与 小组同学交流(课前完成) 。 探究点一;同类二次根式 通过预习课本 P10-P11,回答下列问题: (1)最简二次根式的定义: (2)化简 27 、 48 (3) 例 1、下列根式中,与 3 是同类二次根式的是( )
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是代数中常见的一种运算形式,它包含有平方根,即对一个数的平方根进行运算。
在数学中,对于一个非负实数a,它的平方根可以表示为√a。
在这篇文章中,我们将讨论二次根式的运算及其相关性质。
1. 加法和减法运算二次根式的加法和减法运算可以通过合并同类项的方法来进行。
考虑以下两个二次根式:√a + √b 和√c - √d如果a和b是非负实数,那么√a + √b可以简化为√(a + b)。
同样地,如果c和d是非负实数,那么√c - √d可以简化为√(c - d)。
例如:√5 + √3 = √(5 + 3) = √8√7 - √2 = √(7 - 2) = √52. 乘法运算二次根式的乘法运算可以通过展开式来进行。
考虑以下两个二次根式:√a * √b如果a和b是非负实数,那么√a * √b可以简化为√(a * b)。
√3 * √2 = √(3 * 2) = √63. 除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化分母的方法来进行。
考虑以下两个二次根式:√a / √b如果a和b是非负实数且b不等于0,那么√a / √b可以简化为√(a / b)。
例如:√8 /√2 = √(8 / 2) = √4 = 24. 乘方运算二次根式的乘方运算可以通过提取根号的方法来进行。
考虑以下二次根式:(√a)^n如果a是非负实数且n是正整数,那么(√a)^n可以简化为√(a^n)。
例如:(√2)^3 = √(2^3) = √8 = 2√25. 分式运算二次根式可以通过分式的形式来进行运算。
考虑以下二次根式:如果a是非负实数且a不等于0,那么1 / √a可以简化为√a / a。
例如:1 / √3 = √3 / 3综上所述,二次根式的运算涉及加法、减法、乘法、除法、乘方以及分式运算等多种形式。
正确运用这些运算规则可以简化二次根式,使其更易于计算。
理解并掌握二次根式的运算方法对于解决数学问题和理解更高级的代数内容是非常重要的。
二次根式的加减法
二次根式的加减法二次根式是数学中的一种特殊类型,由一个根号和一个数构成。
在这篇文章中,我们将讨论二次根式的加减法运算。
通过理解二次根式的性质和运算规则,我们能够有效地计算和简化这类数学表达式。
一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a的数学表达式,其中a为一个非负实数。
根号下的数称为被开方数,√a读作a的二次根。
例如,√4和√9分别等于2和3,因为2²等于4,3²等于9。
这些数都是被开方数的平方根。
二、二次根式的加法与减法原则1. 加法原则:当两个二次根式具有相同的根号下数时,我们可以将它们合并为一个根号下,然后在对应的系数上进行加法运算。
例如,√5 + 2√5 = 3√5解释:这里的√5和2√5具有相同的根号下数5,所以可以将它们合并为3√5。
2. 减法原则:与加法类似,在两个二次根式具有相同的根号下数时,我们可以将它们合并为一个根号下,然后在对应的系数上进行减法运算。
例如,3√7 - √7 = 2√7解释:这里的3√7和√7具有相同的根号下数7,所以可以将它们合并为2√7。
三、示例与应用让我们通过几个示例来进一步了解二次根式的加减法运算。
示例1:计算:√8 + 3√2解答:√8 = √4 × 2 = 2√2所以,√8 + 3√2 = 2√2 + 3√2 = 5√2示例2:计算:5√10 - 2√10解答:5√10 - 2√10 = 3√10示例3:计算:√18 + 4√3 - 2√12解答:√18 = √9 × 2 = 3√2√12 = √4 × 3 = 2√3所以,√18 + 4√3 - 2√12 = 3√2 + 4√3 - 2√3 = 3√2 + 2√3四、简化与合并在进行二次根式的加减法运算后,我们可以进一步将结果进行简化与合并。
具体而言,可以将相同根号下数的二次根式合并为一个根号下,并且对应的系数进行加减运算。
例如,2√5 + 3√5 = (2+3)√5 = 5√5在这个步骤中,我们将2√5和3√5合并为5√5,并对应的系数2和3进行加法运算。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是高中数学中的重要概念,它们在各种数学问题中起着重要的作用。
本文将介绍二次根式的定义、运算法则,以及一些常见的计算方法和运用技巧。
一、二次根式的定义在代数学中,二次根式是指形如√a的表达式,其中a为一个非负实数。
它的特点是其值是满足a≥0的正实数x,使得x²=a。
二次根式是一种特殊的无理数。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的加减运算:对于同类项的二次根式,可以进行加减运算。
即,如果√a和√b是同类项,则有:√a ± √b = √(a ± b)。
2. 二次根式的乘法运算:对于任意的实数a和b,有:√a × √b =√(ab)。
3. 二次根式的除法运算:对于任意的实数a和b(其中b≠0),有:√(a/b) = √a / √b。
需要注意的是,二次根式的运算法则不同于常规的有理数运算法则,需要根据具体情况进行变形和化简。
三、二次根式的计算方法1. 化简二次根式:当二次根式的被开方数具有完全平方因子时,可以进行化简。
例如,√(4x²y²) = 2xy。
2. 合并同类项:对于同类项的二次根式,可以进行合并运算。
例如,√5 + √7 - √5 = √7。
3. 运用分式化简:对于含有二次根式的分式,可以运用分式化简法则进行化简。
例如,化简√(x+1) / (√(x-1) + 1)。
四、二次根式的运用技巧1. 消去根号:在一些问题中,可以通过消去根号的方法简化计算。
例如,对于√(x+1) + √(x-1) = 2,可以通过平方等式的性质消去根号。
2. 使用代换:在一些复杂的问题中,可以使用代换的方法简化计算。
例如,对于含有二次根式的方程,可以令√a = t进行变量代换,从而降低问题的复杂性。
3. 运用二次根式性质解决问题:二次根式具有一些特殊性质,如平方等式、分式等式等,可以通过运用这些性质解决一些相关问题。
例如,根据二次根式性质解决面积、体积等几何问题。
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算一、教材分析1、内容分析:本节内容共一课时。
主要内容是学习二次根式的加减运算。
2、地位与作用:二次根式属于“数与代数”领域的内容,它是在学生在学习了勾股定理、平方根、立方根、实数等概念的基础上进行的,是对“实数”“代数式”内容的延伸和补充。
在进行二次根式的加减时,所采用的方法与合并同类项类似;这说明了前后知识之间的内在联系。
同时本部分内容还是后面学习“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”的基础.二、学情分析学生已经学习了二次根式的概念及性质等知识,已具备了学习二次根式加减运算的知识基础和心理基础,本节课主要是采用类比的思想来学习二次根式的加减运算,难度不大。
班级学生课堂上能积极参与、有一定的自学能力,好奇心、求知欲、表现欲都非常强;在前面学习的基础上,他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力,学习新知识速度快模仿能力强,具备一定的探索知识自主创新的能力,但经常因为粗心而出错,同时课后复习巩固的效果较差。
结合以上分析,为了加强他们的自学能力,提高课堂学习效率,根据他们的特点,本节课采用启发引导,讲练结合的方式完成学习,选择联系生活中的实际问题,适合学生的习题,由浅入深的引导,注重培养学生的自学能力,通过一定练习,激发学生的求知欲和提高学生的自信心。
三、目标分析1、了解同类二次根式的概念,会辨别同类二次根式。
2、经历探索二次根式的加法和减法运算法则的过程,理解二次根式的加法和减法算理,进一步发展学生的类比推理能力。
3、能熟练地进行二次根式的加法和减法运算。
四、教学重难点【重点】会辨别同类二次根式,熟练掌握二次根式的加减运算。
【难点】探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算。
五、教具准备多媒体投影、实物展台、课件、学案、六、活动流程《数学课程标准》明确指出:“数学教学是数学活动的教学,学生是数学学习的主人。
”为了向学生提供更多从事数学活动的机会,我将本节课的教学过程设定为以下六个环节:活动3:探索交流活动4:例题分析活动5:随堂练习活动6:课堂小结,活动7:达标测试先独立完成,再探索交流,得出新的概念和法则运用法则进行计算,加深对运算法则的理解通过练习,巩固所学知识学生归纳小结,教师评价,形成系统学生测试,检验本节课的掌握情况教学过程问题与情境师生行为设计意图【活动一】情境引入如图,两个长方形的宽都是a m,它们的长分别是2 m和3 m,用不同的方法求这两个长方形的面积的和。
二次根式的基本运算
二次根式的基本运算二次根式是高中数学中的重要内容,它在数学中发挥着重要的作用。
在这篇文章中,我们将讨论二次根式的基本运算。
对于二次根式的加减乘除,我们将逐一探讨其运算规则和示例。
一、二次根式的加法运算要进行二次根式的加法运算,首先要保证根号下的数相同。
如果根号下的数相同,我们可以直接将系数相加。
例如:√2 + √2 = 2√2√3 + 2√3 = 3√3对于不同的根号下的数相加,我们无法简化,只能保留原样,表达为:√2 + √3二、二次根式的减法运算二次根式的减法运算与加法类似,也要保证根号下的数相同。
如果根号下的数相同,我们可以直接将系数相减。
例如:√5 - √2 = √5 - √22√3 - √3 = √3对于不同的根号下的数相减,我们同样无法简化,保留原样即可,表达为:√5 - √3三、二次根式的乘法运算要进行二次根式的乘法运算,我们可以运用分配律的规则,将系数和根号下的数分别相乘。
例如:√2 * √3 = √62√5 * 3√2 = 6√10对于相同根号下的数相乘,我们可以将系数相乘,根号下的数保持不变。
例如:2√5 * 3√5 = 6 * 5 = 30四、二次根式的除法运算二次根式的除法运算需要运用到有理化的方法。
具体方法是将分母有理化,即乘以分母的共轭式,并利用乘法法则进行运算。
例如:√6 / √2 = (√6 * √2) / (√2 * √2) = √12 / 2 = √12 / 2√2 = √32√10 / √5 = (2√10) / (√5) = (2√10 * √5) / (√5 * √5) = 2√50 / 5 = 2 *√(25 * 2) / 5 = 2 * √50 / 5 = 2 * 5√2 / 5= 2√2综上所述,二次根式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
对于加法和减法,我们只需保证根号下的数相同,将系数相加或相减即可。
对于乘法和除法,我们要运用分配律和有理化的方法进行计算。
二次根式的运算
二次根式的运算在数学中,二次根式是指具有形如√a的表达式,其中a为一个非负实数。
二次根式在代数计算和几何问题中经常出现,因此正确地进行二次根式的运算是很重要的。
本文将介绍二次根式的基本概念和运算规则,以帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的定义二次根式是由一个非负实数的平方根构成的表达式。
表达式√a中,a为非负实数。
根据二次根式的定义,我们可以得出以下性质:1. 非负实数的平方根为一个实数,记为√a,其中a ≥ 0。
2. 非负实数的平方根有两个值,一个为正数,一个为负数。
我们通常将正数平方根表示为√a,将负数平方根表示为-√a。
二、二次根式的运算规则1. 二次根式的相加减:当二次根式的底数相同时,可直接进行相加减运算,并保持底数不变。
如√a ± √a = 2√a。
当二次根式的底数不同时,无法直接进行运算,需要进行合并或化简。
2. 二次根式的乘法:将二次根式写成指数形式,再利用指数法则进行运算。
如√a × √b = √(a × b)。
3. 二次根式的除法:将二次根式写成指数形式,再利用指数法则进行运算。
如√a ÷ √b= √(a ÷ b)。
4. 二次根式的分式运算:对于一个分式,其中分子或分母是二次根式时,可以使用有理化的方法进行运算。
有理化的方法是将分母的根式进行合并或化简,使得表达式中不再有分母为二次根式的情况。
三、二次根式的应用举例接下来,我们通过几个具体的例子,来演示二次根式的运算。
1. 例子1:计算√18 + √50 - √32。
解:根据二次根式的相加减规则,我们可以合并相同底数的根式:√18 + √50 - √32 = 3√2 + 5√2 - 4√2合并相同底数的根式后,进行系数的相加减运算,得到:3√2 + 5√2 - 4√2 = 4√22. 例子2:计算(√7 + √3) × (√7 - √3)。
解:根据二次根式的乘法规则,我们可以将此表达式视为两个二次根式的乘积:(√7 + √3) × (√7 - √3) = (√7)² - (√3)²根据乘积公式和平方根的定义,我们得到:(√7)² - (√3)² = 7 - 3 = 43. 例子3:计算√(5/12) ÷ (√3/6)。
2.7.2二次根式的运算(教案)
-教学策略:引导学生将实际问题转化为数学模型,明确每个参数在数学表达式中的意义,进而解决问题。
四、教学流程
(一)导入学习的是“2.7.2二次根式的运算”这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过需要计算不规则图形面积或体积的情况?”(如计算花园的面积、不规则物体的体积等)这个问题与我们将要学习的二次根式运算密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索二次根式运算的奥秘。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解二次根式的概念及其运算规则。二次根式是含有平方根的表达式,它在几何图形的面积和体积计算中有广泛应用。它是我们解决实际问题的重要工具。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。例如,计算一个边长为√5的正方形面积,通过这个案例,展示二次根式在实际中的应用,以及如何帮助我们解决问题。
-化简二次根式乘除表达式的方法。
3.能够解决实际问题时,运用二次根式运算。
-生活实例中的二次根式运算;
-应用题目的分析及解答。
4.了解二次根式运算的性质,如乘方、开方等。
-二次根式的乘方运算;
-二次根式的开方运算。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理与数学思维能力,通过二次根式的运算,理解数学运算的基本规律,提高学生的抽象思维和推理能力。
-教学策略:引导学生发现根号内数的因数分解,进而进行化简。
-二次根式的乘除运算:在乘除过程中,如何正确处理根号内外数的运算,是学生容易出错的地方。
-难点举例:计算(3√2) / (√6);
-教学策略:通过分步骤演示,让学生理解乘除运算中根号内外数的处理方法。
7.2-2二次根式的加减法课件 (青岛版八年级下)
注意:
1.同类二次根式是相对于一组二次根 式而言的.判断几个二次根式是否为同 类二次根式,首先要把这几个二次根式 化为最简二次根式,然后再看它们的被 开方数,如果被开方数相同,那么原来 的几个二次根式就是同类二次根式. 2.同类二次根式不一定是最简二次根 式.如: 2 8 50 等.
(3)几个二次根式相加减先把各个二次 根式化成最简二次根式,再把同类二次 根式分别合并.
课堂检测:
1.下列各组根式中,是同类二次根式的是(
)
A . 2 , 12
2
B.
a 1, a 1
1 C. 4ab , ab D. 2, 2 2、若最简二次根式 5x与 x 8x 2 7 是同类二次 根式,则x 的值为多少? 3、 (1)5 2 45 7 18
( 2) 2 3 9x 6 x 4 2x 1 x
7.2二次根式的加减
将下列二次根式化成最简二次根式
75 = 5 3 27 = 3 3 48 = 4
1 3
3 3
3
3 4
=
3
2
=
归纳: 几个二次根式化成最简二次根 式后,如果被开方数相同,这几个二次根 式就叫做同类二次根式.
1、说出 2 5
的三个同类二次根式;
2、下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
2 2 x 5 是同类二次根 2 x 4 若最简二次根式 和
式,则 x 的值是多少?
a 1 与 若如果最简根式 次根式,求a和b的值
a 2b
b 2 是同类二
一、口算: 1、 2 x 3 x 2、 4 x 2 y 2 x 3 y
二次根式加减法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
3
4
x
解:1.2 12 6 1 3 48 4 3 2 3 12 3 14 3
2. 12
3 20
3 5 2 32 5
3
5
3 3 5
3. 2
3
9x 6
x 2x 4
1 x
2
x 3
x 2
x
3
x
问题1 既有一块长7.5 dm、宽5 dm旳木板, 能否采用如图所示旳方式,在这块木板上截出 两个面积分别是8 dm2和18 dm2旳正方形木板?
63, 28 (2) 12, 27 (3) 18, 50 (4) 2与 2
怎样进行二次根式旳加减运算? (1)三列火车分别运煤2x吨和3x吨5x吨,问
这三列火车共运多少?_______________
(2)三列火车分别运煤2x吨和3y吨5x吨,问 这三列火车共运多少?_______________
八年级(下 册)
青岛版 7.2二次根式旳加减法
二 次根 式
【学习目旳】
1、熟练进行二次根式旳化简。
2、了解同类二次根式旳概念,会辨认同 类二次根式。
3、会利用二次根式旳加减运算法则进行 计算。
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、复习回忆
1、怎样判断一种二次根式是否是最 简二次根式?
2、什么是同类项?
3、怎样进行整式旳加减运算?
一化 二找 三合并
二次根式加减运算旳环节: (1)把各个二次根式化成最简二次根式
(2)把各个同类二次根式合并. 注意:不是同类二次根式旳二次根式
(如 2 )3不能合并
练习 1.判断:下列计算是否正确?为何?
1 2 3 5 ;22 2 2 2 ;
3 8 18 4 9 2 3 5
初三数学《二次根式的加减》知识点
初三数学《二次根式的加减》知识点
(一)知识要点:
知识点1:同类二次根式
(Ⅰ)几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式,如这样的二次根式都是同类二次根式。
(Ⅱ)判断同类二次根式的方法:(1)首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后,再看被开方数是否相同。
(2)几个二次根式是否是同类二次根式,只与被开方数及根指数有关,而与根号外的因式无关。
知识点2:合并同类二次根式的方法
合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律,合并同类二次根式,只把它们的系数相加,根指数和被开方数都不变,不是同类二次根式的不能合并。
知识点3:二次根式的加减法则
二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式合并,合并的方法为系数相加,根式不变。
知识点4:二次根式的混合运算方法和顺序
运算方法是利用加、减、乘、除法则以及与多项式乘法类似法则进行混合运算。
运算的顺序是先乘方,后乘除,最后加减,有括号的先算括号内的。
知识点5:二次根式的加减法则与乘除法则的区别
乘除法中,系数相乘,被开方数相乘,与两根式是否是同类根式无关,加减法中,系数相加,被开方数不变而且两根式须是同类最简根式。
二次根式的加减教学设计
青岛版八年级(下)7.2《二次根式的加减法》教学设计山东临朐县辛寨镇初级中学 刘爱玲一、教材分析:本节课是在学习了二次根式的概念及化简之后,继续学习二次根式的加减法运算。
教材首先介绍了同类二次根式的概念,然后又通过类比整式加减法的合并同类项,探究得出二次根式加减法的运算法则。
学习本节课的关键是能对二次根式进行化简并找出同类二次根式进行合并,二次根式的加减法运算,其实质就是合并同类二次根式。
二、学情分析:在学习本节课之前,学生已经学习了实数、二次根式的概念及性质,把“式”的研究范围由有理式扩展到无理式。
在学生对“有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然成立”和“合并同类项”的体验基础上,学习二次根式的加减运算,其实就是知识的正迁移。
三、教学目标:1、了解同类二次根式的概念,会识别同类二次根式。
2、经历二次根式的加减运算法则的形成过程,感悟类比思想。
3、会利用二次根式的加减运算法则进行运算。
四、教学重难点:重点:同类二次根式的概念及二次根式的加减法运算。
难点:二次根式的加减运算。
五、教学过程:(一)温故知新:1、怎样合并同类项?2、请化简下列二次根式:27,12,98,18,31,234a思考:你能试着把这些二次根式进行合理的分类吗?(由此导入新课) 设计意图:加强新旧知识的联系,同时也为导入新课做好准备。
(二)自学探究:学习课本第10页完成下面问题:1、如何求栅栏的总长度?请列出算式。
2、所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能直接相加减,把式中各个二次根式化成最简二次根式后,再试一试。
(说出每步运算的依据)3、你能说出什么是同类二次根式吗?学生在自学的基础上,小组交流,形成统一结论,并展示。
归纳总结:1、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果它们的被开方式相同,那么,这几个二次根式称为同类二次根式.2、识别同类二次根式的方法:一化简: 把几个二次根式化成最简二次根式;二观察:化简后的二次根式被开方式是否相同。
(完整版)二次根式的加减法
二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.同类二次根式与整式中的同类项类似.2、二次根式的加减法法则二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意:(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行,第一步化简;第二步合并;(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的;在合并时类似于以前学过的合并同类项,只需将根号外的因式进行加减,被开方数和根指数不变.3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去掉括号).注意:(1)在运算过程中,每一个根式可以看作是一个“单项式”,多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”;(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用;(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式.二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式,在进行二次根式的加减法时,注意先把各个二次根式化为最简二次根式,再把同类项合并,合并同类二次根式的方法与合并同类项类似.2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较,使二次根式的混合运算易于理解和掌握,并能合理应用运算律及技巧进行计算.二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题,同时可避免错误地使用运算律.三、典型例题讲解例1、计算:.分析:本组题中各个加数都不是最简二次根式,因此需先进行化简,然后再把被开方数相同的根式进行合并.解:.例2、计算:分析:先根据去括号的法则,去掉括号,再进行二次根式的加减运算.总结:解此类问题分为三个步骤:一是去括号,二是化简,三是合并,但在去括号时应注意符号的处置.例3、计算下列各题:.思路:(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算;(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算;(4)题可套用完全平方公式计算.例4、计算下列各题.解:例5、化简:总结:在计算过程中要注意各个式子的特点,能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的,又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置,如,结果为-1,继续运算易出现符号上的差错,而把变为,这样则为1,继续运算可避免错误.例6、已知x、y都为正整数,且.求x+y的值.分析:因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并,而,易知化简后的被开方数必为222,故可设.由此求出正整数a、b即可求出x、y.解:,于是即a+b=3∴a=2,b=1或a=1,b=2,故x=222,y=888或x=888,y=222.∴x+y=1110,总结:几个二次根式化简后被开方数相同,则它们可以合并,本题则是逆用该结论,即几个二次根式能合并成一个二次根式,则它们化简后的被开方数必相同.课外拓展:例、已知a、b是实数,且,问a、b之间有怎样的关系?请推导.思路分析:由特殊探求一般,在证明一般性的过程中,由因导果,从化简条件等式入手,而化简的基本方法是有理化.解:原等式两边分别乘以,得两式相加得,所以.A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A.B.C.D.2、下列计算正确的是( )A.B.C.D.3、下列各式化简结果不正确的是()A.B.C.D.4、下列计算正确的是()A.B.C.D.5、计算等于()A.·1 B.3C.D.6、在数轴上点A表示实数,点B表示,那么离原点较远的点是()A.A B.BC.A、B的中点D.不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c,且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______.8、若成立,则xy的值为______.9、若,则______.10、已知正数a、b,有下列结论:(1)若a=1,b=1,则;(2)若,则;(3)若a=2,b=3,则;(4)若a=1,b=5,则.根据以上几个命题提供的信息,请猜想:若a=6,b=7,则______.三、解答题11、计算或化简下列各题:12、计算:13、已知,求代数式的值.14、计算.[15、先观察下列等式,再回答问题:(1)根据上面三个等式提供的信息,请猜想的结果,并进行验证;(2)请按照上面各等式反映的规律,试写出n(n为正整数)表示的等式,并加以验证.一.选择题DDCBDB二.填空题7、△ABC的周长大于6且小于10.8、由题意有x=2,y=3,∴x y=8.9、.10、=13.三.解答题11.12.13..14. 解:(1)配方法:本题中的根式不符合型,我们可根据分式的基本性质,分子、分母都乘以2,将原式变形为(2)换元法:设,两边同时平方得,所以x2=10,又因为x>0,所以,即.15.。
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诸城市初中数学导学稿(八下)
7.2二次根式的加减法
学习目标:1.了解最简二次根式的概念,会识别同类二次根式。
2、会用二次根式加减运算法则进行计算。
重点:二次根式的加减运算。
难点:二次根式的化简及同类二次根式的判断方法.
教学过程:
【温故知新】
(1)最简二次根式的概念
(2)化简:3818(3)整式加减法的运算法则是什么?
【探索新知】(一)自主学习
1.同类二次根式的概念:
2.判断下列二次根式是不是同类二次根式
3818总结:判断同类二次根式的方法:
(1)
(2)
3.尝试计算
-23+3+ 3
5.0x+x2
总结(二次根式的加减运算法则):
(二)合作交流
1.最简二次根式2
a与8是同类二次根式,则a的值是()A.4B.6C.8D.10
2. 计算:(1)2132
2181238-+-+-; (2))0,0(23
3>>-+-b a ab a b b a a b b a
【巩固提升】
(1)下列二次根式中,与32是同类二次根式的有( )
271
,50,54,48,3.0.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(2)已知二次根式是同类二次根式,则的α值可以是(
). A.5 B.6 C.7 D.8
(3)计算:31
8-+
【课堂小结】
【达标检测】
1、下列计算正确的是( ) A.752=+ B. 34372=+ C. 5225=- D. 24812==-
2、 )
A .
B .3-
C
D .-3、计算:(1)x x x x 132
4296-+; (2)(23-2)2.
4.先化简,再求值:)6()3)(3(--+-a a a a ,其中21
5+=a
【我的反思】。