高考函数大题训练高三
高考数学专题《对数与对数函数》习题含答案解析
专题3.6 对数与对数函数1．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数()ln ||f x x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由0x >时的单调性排除一个选项，得正确选项．【详解】易知()ln ||f x x x =+是非奇非偶函数，所以排除选项A ，C ；当x >0时，()f x 单调递増､所以排除选项B.故选：D ．2．（2021·江西南昌市·高三三模（文））若函数()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩．则()0f f ⎡⎤=⎣⎦（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()0f f ⎡⎤⎣⎦的值.练基础()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩，则()0021f ==，因此，()()301log 10f f f ===⎡⎤⎣⎦.故选：A.3．（2021·浙江高三其他模拟）已知a 为正实数，则“1a >”是“32212log log a a ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用充分、必要条件的定义，即可推出“1a >”与“32212log log a a ->”的充分、必要关系.【详解】因为32212log log a a ->等价于3222log log a a >，由a 为正实数且1a >，故有32a a >，所以3222log log a a >成立；由a 为正实数，3222log log a a >且函数2log y x =是增函数，有32a a >，故()210aa ->，所以1a >成立.故选：C ．4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．5．（2021·江苏南通市·高三三模）已知1331311log 5,,log 26a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．c a b>>【答案】D 【解析】由于1331log g 66lo c ==，再借助函数3log y x =的单调性与中间值1比较即可.【详解】1331log g 66lo c ==，因为函数3log y x =在()0,∞上单调递增，所以333131log 31log 5log 6log 6a c =<=<<=，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10312112b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，所以c a b >>故选：D6．（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（ ）（已知lg 20.3≈，结果取整数）A ．42小时B ．53小时C ．56小时D ．67小时【答案】D 【解析】利用指数的运算得出1202a =，再利用对数的运算即可求解.【详解】由题意可得200010m a =⋅，①400020m a =⋅，②②÷①可得202a =，解得1202a =，所以0050t m a =⋅，③ ③÷①可得205t a -=，所以202025t -=，即20lg 2lg 51lg 20.720t -==-=，解得67t ≈（小时）.故选：D7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知2log 3a =，34b =，22log 31c =+，则下列结论正确的是（ ）A ．a c <B ．2ab =C ．1abc a =+D ．22bc b =+【答案】BCD 【解析】先判断1a >，即可判断A ； 利用222log 3b a==判断B ；利用B 的结论判断C ；利用C 的结论判断D.【详解】因为2log 31a =>，所以22log 3112c a a c a =+=+<⇒<，即A 不正确；因为33222log 42log 2log 3b a====，所以2ab =，即B 正确；由2ab =可知，21abc c a ==+，C 正确；由1abc a =+可知，2ab c ab b =+，则22bc b =+，即D 正确．故选：BCD.8．【多选题】（2021·山东日照市·高三一模）已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（ ）A ．2101x x <<<B ．1201x x <<<C ．2112lg lg 0x x x x -<D ．2112lg lg 0x x x x ->【答案】BC 【解析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误.【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<，因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x<所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确；因为1201x x <<<，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误.故选：BC9．（2021·浙江高三期末）已知2log 3a =，则4a =________．【答案】9【解析】把2log 3a =代入4a 可得答案.【详解】因为2log 3a =，所以222log 3log 34429a ===.故答案为：9.10．（2021·河南高三月考（理））若41log 32a =，则39a a +=___________；【答案】6【解析】首先利用换底公式表示3log 2a =，再代入39a a +求值.【详解】由条件得331log 4log 22a ==，所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=.故答案为：61．（2021·浙江高三专题练习）如图，直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得ABC V 为等边三角形，则t 的值为（ ）ABCD．3+【答案】C 【解析】由题意得()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =，根据等边三角形的性质求得C点的横坐标x t =-，结合A ，B两点的纵坐标和中点坐标公式列方程t =，解方程即可求得t 的值.【详解】由題意()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =.设()3,log C x x ，因为ABC V 是等边三角形，所以点C 到直线AB所以t x -=，x t =-根据中点坐标公式可得练提升33333log log 11log log log 22t t t t ⎛+-==-= ⎝，所以t -=，解得t =故选：C2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数()()14,12ln 1,1xx f x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+>-⎩，若()0f f x <⎡⎤⎣⎦，则x 的取值范围为（ ）A ．()2,0-B ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．212,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()212,11,0e ⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】先由()0f f x <⎡⎤⎣⎦可得出()20f x -<<，然后再分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()20f x -<<，即可得解.【详解】若()1f x ≤-，则()()1402f x f f x ⎛⎫=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得()2f x >-，此时，()21f x -<≤-；若()1f x >-，则()()ln 10f f x f x =+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可得()011f x <+<，解得()10f x -<<.综上，()20f x -<<.若1x ≤-，由()20f x -<<可得12402x ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得1242x⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得21x -<<-，此时21x -<<-；若1x >-，由()20f x -<<可得()2ln 10x -<+<，可得2111x e <+<，解得2110x e -<<，此时，2110x e -<<.综上，满足()0f f x <⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围为()212,11,0e ⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭.故选：D.3．（2021·全国高三三模）已知函数()xxf x e e-=+，若()()4561log ,log 6,log 45a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较法进行判断即可.【详解】因为()()xx f x ee f x --=+=，所以()f x 为偶函数，()21x xxxe x ee f e --=='-，当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，当0x <时，()0f x '<，函数单调递减，()()()()444561log log 5log 5,log 6,log 45a f f f b f c f ⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，因为lg4lg6+>故2222lg4lg6lg 24lg25lg4lg6(lg5)242+⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭245lg5lg6lg 5lg4lg6log 5log 60lg4lg5lg4lg5-⋅-=-=>⋅所以456log 5log 61log 40>>>>，则.a b c >>故选：B.4．【多选题】（2021·辽宁高三月考）若1a b >>，则（ ）A ．log 3log 3a b <B ．33a b <C ．11log ()log 21ab ab a b+≥-D ．11+11a b <+【答案】ACD 【解析】由已知，A 选项，借助对数换底公式及对数函数单调性可判断；B 选项，利用幂函数单调性可判断；C 选项，利用对数函数单调性可判断；D 选项，利用反比例函数单调性可判断.【详解】对于A 选项：3log y x =在(0,+∞)上单调递增，1a b >>，则333311log log 0log log a b a b>>⇒<，即log 3log 3a b <，A 正确；对于B 选项：函数y =x 3在R 上递增，则33a b >，B 错误；对于C 选项：1a b >>，则ab >1，a +b >2，11log ()log log ()1ab ab ab a ba b a b ab++==+-log 21ab >-，有11log (log 21ab ab a b+≥-成立，即C 正确；对于D 选项：1112a b a b >>⇒+>+>，而函数1y x =在(0,+∞)上递减，则有11+11a b <+，即D 正确.故选：ACD5．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知0a b >>，且4ab =，则（ ）A ．21a b ->B ．22log log 1a b ->C ．228a b +>D ．22log log 1a b ⋅<【答案】ACD 【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.【详解】因为0a b >>，且4ab =，对A ，0a b ->，所以0221a b ->=，故A 正确；对B ，取83,32a b ==，所以2222216log log log log log 219a ab b -==<=，故B 错误；对C，22a b ≥+，当且仅当a b =取等号，又因为4a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以228a b ≥≥=+，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故C 正确；对D ，当10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 1a b ⋅<；当1a b >>，22log 0,log 0a b >>，所以()()2222222log log log log log 144a b ab a b +⋅≤==，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故D 正确.故选：ACD.6．【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>，下列不等式恒成立的是（ ）A ．log 2log 2a b >B ．ln ln a a b b ⋅>⋅C ．122ab a b ++>D ．log 0a b >【答案】CD 【解析】由已知不等式，求出,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可．【详解】由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ，对于选项A ，当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ，选项A 错误；对于选项B ，比如当11,24a b == 时，有211111111ln ln 2ln ln 44424222⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立，选项B 错误；对于C ，因为()()1110ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+ ，则122ab a b ++> ，选项C 正确；对于选项D ，因为ln ln 0a b ⋅>，所以ln log 0ln a bb a=>，选项D 正确，故选：CD ．7．【多选题】（2021·山东临沂市·高三二模）若5log 2a =，1ln 22b =，1ln 55c =，则（ ）A ．a b >B ．b c>C ．c a>D ．2a b>【答案】AB 【解析】对四个选项一一验证：对于A ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于B ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于C ：利用不等式的传递性比较大小；对于D ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；【详解】对于A ：522221111ln o 21l g 2,log 522log log a b e e ====⨯=，又25e >，且2log y x =为增函数，所以222l l g 5og o e <，所以22251l og 1l og e <，即a b >.故A 正确；对于B：1ln 22b ==，1ln 55c ==因为101052232,525,ln y x =====为增函数，所以b c >；故B 正确；对于C ：因为a b >，b c >，所以a c >，故C 错误；对于D ：因为1ln 22b =，所以212ln 2log b e ==，而521log 2,log 5a ==又5e <，所以22log log 5e <，所以2211log log 5e >，所以2b a >，故D 错误.故选：AB.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，则13(log 19)f =__________．【答案】2719-【解析】由()(1)f x f x =-+得函数的周期为2，然后利用周期和()(1)f x f x =-+对13(log 19)f 化简可得13(log 19)f 33927(log 1)(log 1919f f =-+=-，从而可求得结果【详解】解：由题意，函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，化简可得()(2)f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，且()(1)f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log 19f f f f =-=-+=327log 193392727(log 1)(log 3191919f f =-+=-=-=-．故答案为：2719-．9．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为___________.【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据分段函数的定义，分段讨论即可求解.【详解】解：()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或130log 1x x >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得10-<≤x 或103x <<，即113x -<<，∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<，则a 的取值范围是__________.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】通过作差将()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<转化为(1)log (1)log 0++-<a a a a ，利用换底公式计算可得[][](1)lg(1)lg lg(1)lg log (1)log lg lg(1)++-+++-=+a a a a a a a a a a ，分别判断每个因式的正负，最终转化为211()124+->a 成立，结合二次函数图像，即可求得a 的取值范围.【详解】∵(1)lg(1)lg log (1)log lg lg(1)a a a aa a a a +++-=-+22lg (1)lg lg (1)a aalg a +-=+[][]lg(1)lg lg(1)lg lg lg(1)a a a a a a +-++=+而当01a <<时，lg 0a <，g(0)l 1a +>，1lg(1)lg lglg10a a a a++-=>=211lg(1)lg lg (1)lg (24a a a a a ⎡⎤++=+=+-⎢⎥⎣⎦，所以()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<即为211lg ()024⎡⎤+->⎢⎥⎣⎦a ，由于lg u 单调递增，所以211(124+->a .211()24u a =+-的图象如图，当1u =时，0a =，1a <<时，12u <<，lg 0u >，可得()()log 1log 10a a a a a +-+<.故答案为：⎫⎪⎪⎭1.（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a-=（ ）练真题A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·天津高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．c a b<<【答案】D 【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.4.（2019年高考全国Ⅲ卷理）设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．5.（2020·全国高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ）()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x R 331(log (log 4)4f f ∴=223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>> ()f x 23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A 【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t t f t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.6.（2019·天津高考真题（文））已知a =log 27，b =log 38，c =0.30.2，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b【答案】A 【解析】c =0.30.2<0.30=1；log 27>log 24=2；1<log 38<log 39=2.故c <b <a .故选A.。
高三数学(文)三角函数大题20道训练(附详答)
文数20道三角大题1.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且Aa cbsin )(222.cos 3A bc （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）求C B cos cos 的取值范围。
2如图,平面四边形ABCD 中,13AB ,三角形ABC的面积为25ABCS,3cos 5DAC,120ACAB ,求: (1)AC 的长; (2)cos BAD3已知函数.cos 212cos 2sin )(xx x x f （I ）求f(x)的值域；（II ）若x x f x2cos ,523)(),4,4(求且的值.4.已知函数2()sin cos 3cos f x x x x ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62上的最大值和最小值5. 已知：a R aa x x x f ,.(2sin 3cos 2)(2为常数）（1）若R x，求)(x f 的最小正周期；（2）若)(x f 在[,]66上最大值与最小值之和为3，求的值；（3）在（2）条件下)(x f 经过怎样的变换后得到x ysin ，写出其变换步骤6. 已知)1),6cos(2(),sin 2,1(xb x a ，函数)()(R xb c x f （1）求函数)(x f 的单调递减区间；（2）若)32cos(,58)(x x f 求的值。
7. 已知：在△ABC 中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，向量m =（23sin2B ，23），n =（sin2B +2π，1）且m ·n =3.（1）求角B 的大小;（2）若角B 为锐角，a=6,S △ABC =63,求b 的值.8. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量(1,3),(cos ,sin ),mnA A 且 1.m n（1）求角A ；（2）若221sin 23,tan sin cos BCBB求的值。
9.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且acbca 21222（Ⅰ）求B cos 的值；（Ⅱ）求B CA 2cos 2sin 2的值.10.已知ABC 中，内角A B C 、、的对边的边长为a b c 、、，且co s (2)c o s .b C a c B （1）求角B 的大小；（2）若22cos cos ,yA C 求y 的最小值.11. 如图，已知平面四边形ABCD 中，BCD 为正三角形，AB ＝AD=1，∠BAD=，记四边形ABCD 的面积为S.(I)将S 表示为的函数；(Ⅱ)求S 的最大值及此时的大小．12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab bac222．（Ⅰ）若3tan tan (1tan tan )3A BA B ，求角B ；（Ⅱ）设(sin ,1)mA ，(3,cos 2)n A ，试求n m 的最大值．13.设函数333()sincos (0),22f x xx xR，且以2为最小正周期。
压轴题01 函数性质的综合运用(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题01函数性质的综合运用函数是高中数学的主干，也是高考考查的重点，而函数的性质是函数的灵魂，它对函数概念的理解以及利用函数性质来解决相关函数问题起到十分重要的作用．此外在高考试题的考查中函数的性质也是常见题型．考向一：利用奇偶性、单调性解函数不等式考向二：奇函数+M 模型与奇函数+函数模型考向三：周期运用的综合运用1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x ；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x是增函数，则()f x-为减函数；若()f x是减函数，则()f x-为增函数；②若()f x和()g x均为增(或减)函数，则在()f x和()g x的公共定义域上()()f xg x+为增(或减)函数；③若()0f x>且()f x为增函数，1()f x为减函数；④若()0f x>且()f x为减函数，1()f x为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x是偶函数⇔函数()f x的图象关于y轴对称；函数()f x是奇函数⇔函数()f x的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()y f x=在0x=处有意义，则有(0)0f=；偶函数()y f x=必满足()(||)f x f x=.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x的定义域关于原点对称，则函数()f x能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x=+-，1()()()]2h x f x f x=--，则()()()f xg xh x=+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f xg x f x g x f x g x f x g x+-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x=的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1xm f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知函数()222e e 287x x f x x x --=++-+则不等式()()232f x f x +>+的解集为（）A．1(1)3--，B．1(,1)(,)3-∞--+∞ C．1(1)3-，D．1(,(1,)3-∞-⋃+∞2．（2023·安徽宣城·统考二模）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=．若()3f x +为奇函数，322g x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()03g =-，()12g =，则()20231i g i ==∑（）A．670B．672C．674D．6763．（2023·甘肃定西·统考一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，则不等式()()22530f x f x x -+-<的解集为（）A．5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B．51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C．()5,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知函数()()lg 122x xf x x -=-++，则不等式()()12f x f x +<的解集为（）A．()(),11,-∞-⋃+∞B．()2,1--C．()(),21,-∞-+∞ D．()()1,1,3-∞-⋃+∞5．（2023·内蒙古·模拟预测）已知()f x 是定义在[]4,4-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1对称，则关于x 的不等式()()23350f x f x x +-+->的解集为（）A．(),1-∞B．()1,+∞C．(]1,7D．(]1,26．（2023·广西梧州·统考一模）已知定义在R 上的函数()f x 在(,1]-∞上单调递增，若函数(1)f x +为偶函数，且(3)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（）A．(1,3)-B．(,1)(3,)-∞-⋃+∞C．(,1)(0,3)-∞-⋃D．(1,0)(3,)-+∞ 7．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2ln 1f x x x =++，则不等式()211ln2f x +>+的解集为（）A．{1}∣<x x B．{0}x x <∣C．{1}xx >∣D．{0}xx >∣8．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（）A．](2-∞，B．[)2，+∞C．[]24-，D．[]14，9．（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知函数()(32e log e 1xx f x x =++在[],(0)k k k ->上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M m +=（）A．2-B．0C．2D．410．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数()()35112=-+f x x ，若对于任意的[]2,3x ∈，不等式()()21+-≤f x f a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．(),2-∞B．(],2-∞C．(),4-∞D．(],4∞-11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e e 2x xf x x x -=-++在区间[]22-,上的最大值与最小值分别为,M N ，则M N +的值为（）A．2-B．0C．2D．412．（2023·全国·高三专题练习）若对x ∀，R y ∈．有()()()4f x y f x f y +=+-，则函数22()()1xg x f x x =++在[2018-，2018]上的最大值和最小值的和为（）A．4B．8C．6D．1213．（多选题）（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数()f x （x ∈R ）是奇函数，()()2f x f x +=-且()12f =，()f x '是()f x 的导函数，则（）A．()20232f =B．()f x '的一个周期是4C．()f x '是偶函数D．()11f '=14．（多选题）（2023·安徽滁州·统考二模）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1g x +均为奇函数，则（）A．()00f =B．()00g =C．()()14f f -=D．()()14g g -=15．（多选题）（2023·吉林·统考三模）设定义在R 上的可导函数()f x 与()g x 导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x x =-+，()1f x +与()g x 均为偶函数，则（）A．()11g '=B．()20220323g =-'C．()24f '=-D．991198100i f i =⎛⎫= ⎪⎝'⎭∑16．（多选题）（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 在(],2-∞上单调递增，且()2f x +为偶函数，则（）A．()f x 的对称中心为()2,0B．()f x 的对称轴为直线2x =C．()()14f f -<D．不等式()()34f x f x +>的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 17．（多选题）（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）设函数()y f x =的定义域为R ，且满足(1)(1)f x f x +=-，(2)()0f x f x -+-=，当[]1,1x ∈-时，()1f x x =-+，则下列说法正确的是（）A．()1y f x =+是偶函数B．()3y f x =+为奇函数C．函数()lg =-y f x x 有8个不同的零点D．()202311k f k ==∑18．（2023·江西吉安·统考一模）已知函数()f x 的定义域为R ,其导函数为()g x ,若函数(22)f x +为偶函数,函数(1)g x -为偶函数,则下列说法正确的序号有___________.①函数()f x 关于2x =轴对称;②函数()f x 关于(1,0)-中心对称;③若(2)1,(5)1f f -==-,则(26)(16)=3g f +-;④若当12x -≤≤时,1()e 1x f x +=-,则当1417x ≤≤时,17()e 1x f x -=-.19．（2023·陕西榆林·统考一模）已知函数()f x 是定义在()2,2-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,2-对称，则关于x 的不等式()()240f x f x +++>的解集为__________.20．（2023·全国·校联考模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数a ，b 都有()()()1a a b b f f f +=+-，且当0x >时，()1f x >．若()23f =，则不等式()212f x x --<的解集为______．21．（2023·江西赣州·高三统考阶段练习）已知()f x 是定义在[]4,4-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1对称，则关于x 的不等式()()23350f x f x x +-+->的解集为______.22．（2023·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知()f x 是定义在()5,5-上的增函数，且()f x 的图象关于点()0,1-对称，则关于x 的不等式()()211320f x f x x ++-++>的解集为_________．23．（2023·江苏常州·高三校联考开学考试）已知函数()2e e e ex xx x f x x ---=++，则不等式()()21122f x f x x ++-<+的解集为__________.24．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +是奇函数，且()()12f x g x -+=，()()32f x g x +-=，则下列结论正确的是______．（只填序号）①()f x 为偶函数；②()g x 为奇函数；③()20140k f k ==∑；④()20140k g k ==∑.25．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数()(32e log e 1xxf x x =++在[](),0k k k ->上的最大值与最小值分别为M 和m ，则函数()()()31g x M m x M m x -=+++-⎡⎤⎣⎦的图象的对称中心是___________.26．（2023·全国·高三专题练习）设函数()())221ln1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +的值为________。
2023届新高考数学复习：专项(分段函数零点问题 )经典题提分练习(附答案)
2023届新高考数学复习：专项（分段函数零点问题）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ天津南开ꞏ高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3．（2023ꞏ陕西西安ꞏ高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．54．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x = ()22122,2212,sin x a x ax a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()11,0,1,0,1x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩若函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){}1,10,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．(){}1,10,14⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()1,10,4⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭D ．(){}14,10,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．（2023ꞏ四川绵阳ꞏ四川省绵阳南山中学校考一模）已知0a >，函数()=f x 22,43,x x a x ax x a -+≤⎧⎨-+>⎩，若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A．[)2,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭B ．()[)0,12,+∞C．[)7,2,28⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭D．7,228⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭ 8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．11e k -<< C ．e 0k -<< D ．10e k -<<9．（2023ꞏ广东广州ꞏ高三广州市真光中学校考期末）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．21a -B ．12a -C ．21a --D ．12a --10．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、多选题11．（2023ꞏ河南郑州ꞏ高三郑州市第七中学校考期末）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点12．（2023ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳一高校考期中）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有2个零点，则b 的值可以是（ ）A ．1B ．74C ．2D ．313．（2023ꞏ江西ꞏ高三校联考阶段练习）已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（ ）A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点14．（2023ꞏ广东佛山ꞏ高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，令()()g x f x a =-，则下列结论正确的有（ ）A ．若()g x 有1个零点，则0a =B ．()0f x >恒成立C ．若()g x 有3个零点，则102a <<D ．若()g x 有4个零点，则112a ≤< 15．（2023ꞏ黑龙江绥化ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()(())1g x f f x =+，则下说法正确的是（ ）A ．当0a >时，()g x 有4个零点B ．当0a >时，()g x 有5个零点C ．当a<0时，()g x 有1个零点D ．当a<0时，()g x 有2个零点16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤ B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中N k ∈；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；17．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数lg ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()[2()]g x f f x a =+有7个零点，则实数a 的可能取值是（ ）A ．0B ．14-C ．13-D ．15-18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数f (x )＝4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩…恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ）A ．1B ．2C ．15D ．16三、填空题19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）知函数()3223,015,1x x m x f x mx x ⎧++≤≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_____________.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数24,()1,x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________．21．（2023ꞏ上海黄浦ꞏ高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为____________．22．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有()()44f x f x +=，(]0,4x ∈时()222x f x -=-；若函数()()()2g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为______．23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 2e 1,0,0x x ax x a x ⎧-≥=⎨++<⎩，恰有2个零点，则=a __________．24．（2023ꞏ北京ꞏ高三专题练习）已知函数ln ,0()e 1,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________.25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =-的零点为________．26．（2023春ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()y f x =的定义域是[0,)+∞，满足2201()4513,?2834x x f x x x x x x ≤<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎩且(4)()f x f x a +=+，若存在实数k ，使函数()()g x f x k =+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____27．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）若函数()()()2210,10k x f x x x kx x ⎧-<⎪=⎨⎪-->⎩恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______．28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩ 则()()6g x xf x =-在*1,2,n n N ⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点之和为：__________．29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ天津南开ꞏ高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,0- B ．[)1,-+∞ C ．(),0∞- D ．(],1-∞【答案】A【答案解析】()()0()g x f x m f x m =+=⇔=-Q()g x ∴存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足01m <-≤，解得：[)1,0m ∈- 故选：A.2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】A【答案解析】设()(2)ln(1)g x x x =-+，()cos 34h x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，求导()23ln(1)ln(1)111x g x x x x x -'=++=++-++ 由反比例函数及对数函数性质知()g x '在(]1,,0m m ->上单调递增，且102g ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()10g '>，故()g x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内必有唯一零点0x ，当()01,x x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(]0,x x m ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；令()0g x =，解得0x =或2，可作出函数()g x 的图像， 令()0h x =，即3,42x k k Z πππ+=+∈，在(]0,π之间解得12x π=或512π或34π， 作出图像如下图数形结合可得：π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，故选：A3．（2023ꞏ陕西西安ꞏ高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】D【答案解析】当0x >时，0x -<，()3f x x -=当0x <时，0x ->，()e xf x --=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x -⎧->⎪∴=--==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x -=--=-，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =->，()3e 0x g x '=->，令()3e 0x g x '=->，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln 3)3ln 330g =->，而()226e 0g =-<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞-上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x = ()22122,2212,sin x a x a x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【答案解析】当0a ≤时，对任意的0x ≥，()()22212f x x a x a =-+++在[)0,∞+上至多2个零点，不合乎题意，所以，0a >.函数()22212y x a x a =-+++的对称轴为直线12x a =+，()()22214247a a a ∆=+-+=-. 所以，函数()f x 在1,2a a ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()2f a a =-.①当470a ∆=-<时，即当704a <<时，则函数()f x 在[),a +∞上无零点， 所以，函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有5个零点，当0x a ≤<时，111222a x a -≤-+<，则()11222a x a πππ⎛⎫-≤-+< ⎪⎝⎭，由题意可得()5124a πππ-<-≤-，解得532a ≤<，此时a 不存在；②当Δ0=时，即当74a =时，函数()f x 在7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上只有一个零点， 当70,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()2cos 2f x x π=-，则7022x ππ≤<，则函数()f x 在70,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有3个零点，此时，函数()f x 在[)0,∞+上的零点个数为4，不合乎题意；③当()20Δ470f a a a ⎧=-≥⎨=->⎩时，即当724a <≤时，函数()f x 在[),a +∞上有2个零点，则函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有3个零点，则()3122a πππ-<-≤-，解得322a ≤<，此时724a <<； ④当()20Δ470f a a a ⎧=-<⎨=->⎩时，即当2a >时，函数()f x 在[),a +∞上有1个零点，则函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有4个零点，则()4123a πππ-<-≤-，解得522a ≤<，此时，522a <<.综上所述，实数a 的取值范围是75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()11,0,1,0,1x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩若函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){}1,10,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．(){}1,10,14⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()1,10,4⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭D ．(){}14,10,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】B【答案解析】()()11,111,1x x x f x x x ⎧--≤⎪-=⎨->⎪⎩，故()()1,11111,1x x x f x x x ⎧-≤⎪-+=⎨-+>⎪⎩，则函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点等价于()11f x ax -+=有两个不同的解， 故()11,y f x y ax =-+=的图象有两个不同的交点，设()()()()1,01111,011,1x x x g x f x x x x x x ⎧⎪-≤≤⎪=-+=--<⎨⎪⎪-+>⎩又(),y g x y ax ==的图象如图所示，由图象可得两个函数的图象均过原点，若0a =，此时两个函数的图象有两个不同的交点， 当0a ≠时，考虑直线y ax =与()()201g x x x x =-≤≤的图象相切，则由2ax x x =-可得()2100a ∆=--=即1a =， 考虑直线y ax =与()11(1)g x x x=-+≥的图象相切，由11ax x =-+可得210ax x -+=，则140a ∆=-=即14a =.考虑直线y ax =与()2(0)g x x x x =-≤的图象相切，由2ax x x =-可得()2100a ∆=+-=即1a =-， 结合图象可得当114a <<或1a <-时，两个函数的图象有两个不同的交点， 综上，114a <<或1a <-或0a =， 故选：B.6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【答案解析】令()2t f x =+，当1x <-时，1()(,2)f x x x =+∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞，当10x -<<时，1()(,2)f x x x=+∈-∞-且递减，此时(,0)t ∈-∞，当210e <<x 时，()ln (,2)f x x =∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞， 当21e x >时，()ln (2,)f x x =∈-+∞且递增，此时(0,)t ∈+∞， 所以，()g x 的零点等价于()f t 与=2y -交点横坐标t 对应的x 值，如下图示：由图知：()f t 与=2y -有两个交点，横坐标11t =-、201t <<： 当11t =-，即()3f x =-时，在(),1x ∈-∞-、(1,0)-、21(0,)e上各有一个解；当201t <<，即2()1f x -<<-时，在21,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭有一个解.综上，()g x 的零点共有4个. 故选：B7．（2023ꞏ四川绵阳ꞏ四川省绵阳南山中学校考一模）已知0a >，函数()=f x 22,43,x x ax ax x a -+≤⎧⎨-+>⎩，若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ）A．[)2,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭B ．()[)0,12,+∞C．[)72,8⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭D．7,28⎫⎡⎤⋃⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭ 【答案】A【答案解析】①若2x =是一个零点，则需要2()43()f x x ax x a =-+> 只有一个零点， 即有2a ≥，且此时当x a >时，需要2430()x ax x a -+=>只 有一个实根， 而221612162120a ∆=-≥⨯-> ，解方程根得2x a =±，易得2a 2a <<<2a 即当2a ≥ 时， ()f x 恰有 2个零点，122,2x x a ==. ②若2x =不是函数的零点，则2x a =为函数的 2 个零点，于是22Δ161202a a a a ⎧<⎪=->⎨⎪<⎩ ，解得：1.2a << 综上:[)2,2a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．11e k -<< C ．e 0k -<< D ．10e k -<<【答案】D【答案解析】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10e x <<时，ln 0x x <；当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞； 当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则10ek -<<，故选：D ．9．（2023ꞏ广东广州ꞏ高三广州市真光中学校考期末）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．21a -B ．12a -C ．21a --D ．12a --【答案】B【答案解析】由题设，画出[0,)+∞上()f x 的大致图象，又()f x 为奇函数，可得()f x 的图象如下：()F x 的零点，即为方程()0f x a -=的根，即()f x 图像与直线y a =的交点.由图象知：()f x 与y a =有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为12344,,,,x x x x x ， 1、12,x x 关于3x =-对称，126x x +=-；2、30x <且满足方程()()()333f x a f x a f x a =⇒-=-⇒-=-即()132log 1x a -+=，解得：312a x =-；3、45,x x 关于3x =轴对称，则456x x +=；1234512∴++++=-a x x x x x 故选：B10．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【答案解析】令(),()0t f x F x ==，则3()202f t t --=， 作出()y f x =的图象和直线32+2y x =，由图象可得有两个交点，设横坐标为12,t t ，∴120,(1,2)t t =∈.当1()f x t =时，有2x =，即有一解；当2()f x t =时，有三个解， ∴综上，()0F x =共有4个解，即有4个零点. 故选：A 二、多选题11．（2023ꞏ河南郑州ꞏ高三郑州市第七中学校考期末）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD【答案解析】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解， 由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．12．（2023ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳一高校考期中）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有2个零点，则b 的值可以是（ ） A ．1B ．74C ．2D ．3【答案】BD【答案解析】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()222,02,0x x f x x x ⎧--≥-=⎨<⎩ ， ∵函数()()y f x g x =-恰好有两个零点，∴方程()()0f x g x -=有两个解，即()(2)0f x f x b +--=有两个解， 即函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象有两个交点，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩ ，作函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象如下， 当12x =-和52x =，即115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，结合图象可知，当724b <≤时，有不止两个交点， 当2b >或74b =时，满足函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象有两个交点， 当74b <时，无交点， 综上，2b >或74b =时满足题意，故选：BD.13．（2023ꞏ江西ꞏ高三校联考阶段练习）已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（ ）A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点【答案解析】当0,x ≤()22211y x x x =--=++-，故()221,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩的图像如图所示，对AC ，函数()()g x f x m =-有3个零点，相当于()y f x =与y m =有3个交点，故m 的取值范围是()0,1，直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点，AC 对； 对B ，函数()f x 在(),0∞-上先增后减，B 错；对D ，如图所示，联立222y x y x x =+⎧⎨=--⎩可得解得20x y =-⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，由图右侧一定有一个交点，故函数()f x 的图象与直线2y x =+不止一个公共点，D 错.14．（2023ꞏ广东佛山ꞏ高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，令()()g x f x a =-，则下列结论正确的有（ ）A ．若()g x 有1个零点，则0a =B ．()0f x >恒成立C ．若()g x 有3个零点，则102a <<D ．若()g x 有4个零点，则112a ≤< 【答案】AD【答案解析】()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，作出()f x 的图象，如图所示：因为()()g x f x a =-，所以()g x 的零点个数即为函数()y f x =与y a =的图象的交点的个数，对于A ：若()g x 有1个零点，则函数()y f x =与y a =的图象仅有一个公共点，由图象得0a =，故A 正确；对于B ：由图象得()0f x ≥恒成立，故B 错误；对于C ：若()g x 有3个零点，则函数()y f x =与y a =的图象有三个公共点，由图象得1a =或者102a <<，故C 错误；对于D ：若()g x 有4个零点，则函数()y f x =与y a =的图象有四个公共点，由图象得112a ≤<，故D 正确. 故选：AD ．15．（2023ꞏ黑龙江绥化ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()(())1g x f f x =+，则下说法正确的是（ ）A ．当0a >时，()g x 有4个零点B ．当0a >时，()g x 有5个零点C ．当a<0时，()g x 有1个零点D ．当a<0时，()g x 有2个零点【答案】AC【答案解析】当0a >时，令()f x t =，由()10f t +=，解得13t =或3t =或2t a=-. 作出函数()f x 的图象，如图1所示，易得()f x t =有4个不同的实数解， 即当0a >时，()g x 有4个零点.故A 正确，B 错误； 当a<0时，令()f x t =，所以()10f t +=，解得13t =或3t =或2t a=-（舍） 作出函数()f x 的图象，如图2所示，易得()f x t =有1个实数解， 即当a<0时，()g x 有1个零点.故C 正确，D 错误. 故选：AC.16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中N k ∈；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；【答案】ACD【答案解析】作出函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩的图象如图所示.所以max min ()1,()1f x f x ==-.对于A ：任取12,[1,)x x ∈+∞，都有()12max min 13()()()()122f x f x f x f x -≤-=--=.故A 正确； 对于B ：因为151111,,222222kf f f k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111?121511*********k k f f f k +⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- .故B 错误； 对于C ：由1()(2)2f x f x =-，得到1(2)()2kf x k f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()2(2)k f x f x k =+.故C 正确；对于D ：函数()ln(1)y f x x =--的定义域为()1,+∞.作出()y f x =和ln(1)y x =-的图象如图所示：当2x =时,sin2ln10y π=-=;当12x <<时,函数()y f x =与函数()ln 1y x =-的图象有一个交点;当2x >时,因为2111s 49422in 41f f π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,971ln 1ln 1224⎪->⎛⎫ ⎝>=⎭，所以函数()y f x =与函数()ln 1y x =-的图象有一个交点,所以函数()ln(1)y f x x =--有3个零点.故D 正确.故选：ACD17．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数lg ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()[2()]g x f f x a =+有7个零点，则实数a 的可能取值是（ ） A ．0B ．14-C ．13-D ．15-【答案】BD【答案解析】在0x ≤上()f x 单调递增且值域为(,1]-∞； 在01x <≤上()f x 单调递减且值域为[0,)+∞； 在1x >上()f x 单调递增且值域为(0,)+∞； 故()f x 的图象如下：由题设，()[2()]g x f f x a =+有7个零点，即[2()]f f x a =-有7个不同解，当0a -<时有2()1f x <-，即1()2f x <-，此时()g x 有1个零点；当0a -=时有2()1f x =±，即1()2f x =±，∴1()2f x =-有1个零点，1()2f x =有3个零点，此时()g x 共有4个零点；当0lg 2a <-≤时有12()lg 21f x -<≤-或12()12f x ≤<或12()2f x <≤， ∴1lg 21()022f x --<≤<有1个零点，11()42f x ≤<有3个零点，1(1)2f x <≤有3个零点，此时()g x 共有7个零点；当lg 21a <-≤时有lg 212()0f x -<≤或102()2f x <<或22()10f x <≤， ∴lg 21()02f x -<≤有1个零点，10()4f x <<有3个零点，1()5f x <≤有2个零点，此时()g x 共有6个零点；当1a ->时有102()10f x <<或2()10f x >， ∴10()20f x <<有3个零点，()5f x >有2个零点，此时()g x 共有5个零点； 综上，要使()g x 有7个零点时，则lg 20a -≤<，(lg 20.30103≈) 故选：BD18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数f (x )＝4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩…恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ）A ．1B ．2C ．15D ．16【答案】AD【答案解析】函数f (x )的零点即为方程f (x )＝0的解．当m ＝1时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣1＝0，解得：x ＝0； 当x ≥2时，2021（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x ＝1或3，只取x ＝3． ∴函数有两个零点0或3．∴A 对；当m ＝2时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣2＝0，解得：x ＝12； 当x ≥2时，2021（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，解得：x ＝2或6． ∴函数有三个零点12或2或6．∴B 错；当m ＝15时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣15＝0，解得：x ＝log 415＜2； 当x ≥2时，2021（x ﹣15）（x ﹣45）＝0，解得：x ＝15或45． ∴函数有三个零点log 415或15或45．∴C 错；当m ＝16时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣16＝0，解得：x ＝2不成立； 当x ≥2时，2021（x ﹣16）（x ﹣48）＝0，解得：x ＝16或48． ∴函数有两个零点16或48．∴D 对； 故选：AD ．三、填空题19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）知函数()3223,015,1x x m x f x mx x ⎧++≤≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_____________. 【答案】50m -<<【答案解析】由答案解析式知：在[0,1]上()f x 为增函数且()[,5]f x m m ∈+， 在(1,)+∞上，0m ≠时()f x 为单调函数，0m =时()5f x =无零点， 故要使()f x 有两个不同的零点，即1x =两侧各有一个零点，所以在(1,)+∞上()f x 必递减且()(,5)f x m ∈-∞+，则050m m <⎧⎨+>⎩，可得50m -<<.故答案为：50m -<<20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数24,()1,x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】)⎡⎡⎣⎣【答案解析】令()t f x =，则()()g x f t =，由于函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，所以()()0g x f t ==必有两解，所以20a -≤<或2a ≥.当20a -≤<时，()f x 的图像如下图所示，由图可知，()y f t =必有两个零点122,0t t =-=，由于()2f x t =有两个解，所以()1f x t =有一个解，即242a -≤-，解得0a ≤<.当2a ≥时，()f x 的大致图像如下图所示，()y f t =必有两个零点342,2t t =-=，由于()3f x t =有两个解，所以()4f x t =有一个解，所以242a -<，解得2a ≤<综上所述，实数a 的取值范围是)⎡⎡⎣⎣ .故答案为：)⎡⎡⎣⎣21．（2023ꞏ上海黄浦ꞏ高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为____________．【答案】1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案解析】因为函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，所以,0()ln ,0ax x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，-,0()ln(-),0ax x f x x x ≥⎧-=⎨<⎩， 因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点， 所以函数()y f x =与()y f x =-恰有5个交点，如图，因为y ax =-与y ax =交于原点，要恰有5个交点，,0y ax x =->与ln y x =必有2个交点， 设,0y ax x =->与ln y x =相切，切点为(,)m n ， 此时切线斜率为1100n y x m m -'===-，解得1,ln 1n m ==， 解得e m =，所以切点为(e,1)，所以e 1a -=，解得1a e =-，所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1(,0)ea ∈-.故答案为：1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.22．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有()()44f x f x +=，(]0,4x ∈时()222x f x -=-；若函数()()()2g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为______． 【答案】[]32,28--【答案解析】设(]4,8x ∈，则(]40,4x -∈，则[]6()(4)44(4)422x f x f x f x -=-+=-=-，设(]8,12x ∈，则(]80,4x -∈，则[][]()(4)44(4)4(8)4f x f x f x f x =-+=-=-+1016(8)1622x f x -=-=-，则(](](]2610220,4()4224,816228,12x x x x f x x x ---⎧-∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈⎪⎩，，，，则(3)(7)(11)0f f f ===，函数()f x 图象如下：由2()()()0g x f x t f x =+⋅=，可得()0f x =，或()f x t =-， 由()0f x =，可得3x =，或7x =，或11x =，则()f x t =-仅有一根，又(8)f =810162228--=，(12)f =1210162232--=， 则2832t ≤-≤，解之得3228t -≤≤-， 故答案为：3228t -≤≤-.23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 2e 1,0,0x x ax x a x ⎧-≥=⎨++<⎩，恰有2个零点，则=a __________．【答案】12【答案解析】当0x ≥时，令()e 10xf x =-=，解得0x =，故()f x 在[)0+∞，上恰有1个零点，即方程20ax x a ++=有1个负根.当0a =时，解得0x =，显然不满足题意；当0a ≠时，因为方程20ax x a ++=有1个负根，所以2Δ140.a =-≥ 当2Δ140a =-=，即12a =±时，其中当12a =时，211022x x ++=，解得=1x -，符合题意；当12a =-时，211022x x -+-=，解得1x =，不符合题意； 当2140a ∆=->时，设方程20ax x a ++=有2个根1x ，2x ，因为1210x x =>，所以1x ，2x 同号， 即方程20ax x a ++=有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，12a =．故答案为：0.5.24．（2023ꞏ北京ꞏ高三专题练习）已知函数ln ,0()e 1,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】12m <≤【答案解析】由()0g x =得()f x m =，即函数()g x 的零点是直线y m =与函数()y f x =图象交点横坐标， 当0x ≤时，()e 1x f x =+是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当0x >时，()ln f x x =是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当12m <≤时，直线y m =与函数()y f x =图象有2个交点，即函数()g x 有2个零点， 所以实数m 的取值范围是：12m <≤. 故答案为：12m <≤25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =-的零点为________．【答案】14322---，，， 【答案解析】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解．由方程②可得320t t -=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x ---=解得4x =-或2x =-；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x ---=，解得3x =-．综上，函数()h x 的零点为14322---，，，，共四个零点． 故答案为：14322---，，，. 26．（2023春ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()y f x =的定义域是[0,)+∞，满足2201()4513,?2834x x f x x x x x x ≤<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎩且(4)()f x f x a +=+，若存在实数k ，使函数()()g x f x k =+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____ 【答案】11(,)505504-【答案解析】由函数在[0,4)x ∈上的答案解析式作出如图所示图像，由(4)()f x f x a +=+知，函数()f x 是以4为周期，且每个周期上下平移|a |个单位的一个函数，若使[0,2021]x ∈时，存在R k ∈，方程()()g x f x k =+在[0,2021]x ∈上恰有2021个零点，等价于()f x k =-在[0,2021]x ∈上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即(1,2)k -∈时满足条件，且必须每个周期内均应使k -处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点， 则当0a ≥时，需使最后一个完整周期[2016,2020)中的极小值(2018)2f <， 即(2018)(2)50415042f f a a =+=+<，解得1504a <，即1[0,504a ∈ 当a<0时，需使最后一个极大值(2021)1f >， 即(2021)(1)50525051f f a a =+=+>，解得1505a >-，即1(,0)505a ∈-， 综上所述，11(,505504a ∈-故答案为：11,505504⎛⎫- ⎪⎝⎭27．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）若函数()()()2210,10k x f x x x kx x ⎧-<⎪=⎨⎪-->⎩恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案解析】当0x <时，令()0f x =可得：21k x =， 当0x >时，令()0f x =可得：21x k x-=，令()()()221010x x g x x x x ⎧<⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩， 若01x <<，()21x g x x -+=， ()320x g x x -'=<，()g x 为减函数， 若1x ≥，()21x g x x -=， ()320x g x x -+'==，2x =， 若[)1,2x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数， 若()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数，()124g = 画出()g x 的图像，如下图：如要()f x 有4个零点，则104k <<， 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩则()()6g x xf x =-在*1,2,n n N ⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点之和为：__________． 【答案】3(21)2n - 【答案解析】当312x ≤≤时，f （x ）＝8x ﹣8， 所以()218()82g x x =--，此时当32x =时，g （x ）max ＝0； 当322x ≤＜时，f （x ）＝16﹣8x ，所以g （x ）＝﹣8（x ﹣1）2+2＜0； 由此可得1≤x ≤2时，g （x ）max ＝0．下面考虑2n ﹣1≤x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）的最大值的情况． 当2n ﹣1≤x ≤3•2n ﹣2时，由函数f （x ）的定义知()11112222n n x x f x f f --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为13122n x-≤≤， 所以()22251(2)82n n g x x --=--， 此时当x ＝3•2n ﹣2时，g （x ）max ＝0；当3•2n ﹣2≤x ≤2n 时，同理可知，()12251(2)802n n g x x --=--+＜．由此可得2n ﹣1≤x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）max ＝0． 综上可得：对于一切的n ∈N *，函数g （x ）在区间[2n ﹣1，2n ]上有1个零点， 从而g （x ）在区间[1，2n ]上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，因此，所有这些零点的和为()3212n -． 故答案为()3212n -． 29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数1,0()42,0x x x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________【答案】23a <≤.【答案解析】函数()f x 当0x >时是对勾函数，因为112x x x x -+=+≥=，当且仅当10x x x ⎧=⎪⎨⎪>⎩即1x =时，取最小值．所以函数最小值为2，且在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数．当0x ≤时，2x y -= 是减函数，且21x -≥，所以2x y -=-为增函数，且21x --≤-，所以函数()42x f x -=-为增函数，且()3f x ≤，函数图像如图所示．令32t x =-，函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，可以看成函数()y f t a =-恰有三个不同的零点，函数()f t 的图像与直线y a =有三个交点．由图像可知23a <≤．30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.【答案】01m ≤<【答案解析】当0x ≥时,2'()121212(1)f x x x x x =-=-，在区间()0,1上，()()'0,f x f x <单调递减，在区间()1,+∞上，()()'0,f x f x >单调递增，故函数在1x =处取得极小值()11f =-，据此绘制函数()f x 的图像如图所示，结合函数图像和题意可知原问题等价于函数232y x x =-与函数y m =有两个交点，且交点的横坐标的范围分别位于区间(]1,0-和区间()0,1内，观察二次函数的图像可得m 的范围是01m ≤<.。
高三数学函数专题练习 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校高三数学函数专题练习函数图象与性质 1、 二次函数),1()0()(),2()2()(f f a f x f x f x f <≤-=+且满足那么实数a 的取值范围是〔 〕2、 A ．a ≥0B ．a ≤0C ．0≤a ≤4D ．a ≤0或a ≥43、函数f 1(x)=x, f 2(x)=121-⎪⎭⎫⎝⎛X ,f 3(x)=4-x,函数g(x)取f 1(x)、f 2(x)、f 3(x)中的最小值，那么函数g(x)的最大值是〔 〕4、A. 2B. 1C.21D. 不存5、 函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞]上递增，那么实数a 的取值范围是〔 〕6、 A.(－∞，4) B.(－4，4) C.(－∞，－4)∪[2，＋∞]D.[－4，2]7、 假设函数y =f (x ) (x R )满足f (x +2)=f (x )，且x－1,1]时，f (x )=|x |．那么函数y =f (x )的图象与函数y =log 4|x |的图象的交点的个数为〔 〕8、 A ．3 B ．4 C ．6 D ．85..函数y=f(x) (R x ∈)满足)1()1(-=+x f x f 且[]2x f(x ) 1,1=-∈时x ，那么y=f(x)与y=x 2log 的图象的交点个数为〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 4 6.函数()yf x =的图象与函数21x y -=-的图象关于直线y x =对称，那么(3)f 的值为〔 〕A ．1B ．1-C ．2D ．2- 7.设0<a <1，实数x ,y 满足x +y alog =0，那么y 关于x 的函数的图象大致形状是〔 〕A B C D8.将函数y=3x m+的图像按向量a =(-1,0)平移后，得到y=f(x)的图像C 1，假设曲线C 1关于原点对称，那么实数m 的值为〔 〕 〔A 〕1〔B 〕－1 〔C 〕0〔D 〕－39．(2005年高考·卷·理4文4)函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是〔 〕10．(2005年高考·卷·文9)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，那么a ＝( )A ．18B ．41 C ．21 D ．111．(2005年高考·卷·理10)假设函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，那么a 的取值范围是( )〔 B 〕A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞ D ．)49,1( 12．(2005年高考·卷·文10)设f (x )是定义在R 上以6为周期的函数，f (x )在(0,3)内单调递增，且y =f (x )的图象关于直线x=3对称，那么下面正确的结论是( )A ． f ()<f ()<f ()B ． f ()<f ()<f ()C ． f ()<f ()<f ()D ． f ()<f ()<f ()13．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理7)设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象以下之一：那么a的值为( )A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 函数的解析式与反函数1. 如果45)1(2+-=+x x x f ，那么f(x)是〔 〕2. A.x 2－7x+10B.x 2－7x －10C.x 2+7x －10D.x 2－4x+63.2 x (x>0)() e (x=0)0 (x<0)f x ⎧⎪=⎨⎪⎩那么()()()-2f f f 的值是〔 〕4. A.0B.eC.e2D.43．(2005年高考·卷·理3)设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，那么f [f (21)]＝( )A ．21 B ．413C ．－95D ．25414．(2005年高考·卷·文4)设f (x )＝|x －1|－|x |，那么f [f (21)]＝( )A ．－21 B ．0 C ．21 D ． 15.假设函数f(x)的图像经过点〔0，1〕，那么函数f(x+4)的反函数的图像必经过点〔 〕 A.〔－1，－4〕B.〔4，－1〕C.〔－4，－1〕D.〔1，－4〕6、函数y ＝f(x)的反函数f －1(x)＝2x ＋1，那么f(1)等于( )A.－1B.0C. 1D.47．(2005年高考·卷5)函数1ln(2++=x x y 的反函数是( )A ．2xx e e y -+=B ．2xx e e y -+-=C ．2xx e e y --=D ．2xx e e y ---=8．(2005年高考·卷2)函数)(321R x y x ∈+=-的反函数的解析表达式为( )A ．32log 2-=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2xy -=D ． xy -=32log 29．(2005年高考·卷·理14文14)设函数f (x )的图象关于点〔1，2〕对称，且存在反函数f －1(x )，f (4)＝0，那么f －1(4)＝10.函数()y f x =的图象与函数21x y -=-的图象关于直线y x =对称，那么(3)f 的值为( 〕A ．1B ．1-C ．2D ．2-9．(2005年高考·卷9)在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于直线x y =对称. 现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线〔如图2所示〕，那么函数)(x f 的表达式为〔 〕A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x xx x x f B ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=20,2201,22)(x xx x x f C ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x xx x x f D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x xx x x f 导数局部1.函数f (x )＝x 2－2 ln x 的单调递减区间是 ( )A ．(0，1]B ．(－∞，－1] 、(0，1]C ．[－1，1]D ．[1，+∞]2.曲线2)(3-+=x x x f 在P 点处的切线平行直线14-=x y ，那么P 点坐标为〔 〕A ．〔1，0〕B ．〔2，8〕C ．〔2，8〕和〔－1，4〕D ．〔1，0〕和〔－1，－4〕3.32()26f x x x a =-+〔a 是常数〕，在[]2,2-上有最大值3，那么在[]2,2-上的最小值是〔 〕 A ．－5B ．－11C ．－29D ．－374.点P 的曲线323+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，那么α的取值范围是〔 〕A ．]2,0[πB ．),43[)2,0[πππ C ．),43[ππ D ．]43,2(ππ 不等式局部1．(2005年高考·卷·文5)不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为( C )A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(2．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理8文8)设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，那么使x x f 的0)(<取值范围是〔 B 〕A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a-∞D ．),3(log +∞a3.f(x)=42++-ax x在区间(]1,∞-上递增，那么不等式0log )32(2<+-x xa 的解集是)23,1()21.0(⋃。
高三数学：2024届高考数学导数大题精选30题(解析版)(共31页)
2024届新高考数学导数大题精选30题1(2024·安徽·二模)已知函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x .(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间和极值.【答案】(1)y =4x -13；(2)递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为2,3 ，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.【分析】(1)求出函数f (x )的导数，赋值求得f (1)，再利用导数的几何意义求出切线方程.(2)由(1)的信息，求出函数f (x )的导数，利用导数求出单调区间及极值.【详解】(1)函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x ，求导得f(x )=2x -10+3f (1)x，则f (1)=-8+3f (1)，解得f (1)=4，于是f (x )=x 2-10x +12ln x ，f (1)=-9，所以所求切线方程为：y +9=4(x -1)，即y =4x -13.(2)由(1)知，函数f (x )=x 2-10x +12ln x ，定义域为(0,+∞)，求导得f (x )=2x -10+12x =2(x -2)(x -3)x，当0<x <2或x >3时，f (x )>0，当2<x <3时，f (x )<0，因此函数f (x )在(0,2),(3,+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，当x =2时，f (x )取得极大值f (2)=-16+12ln2，当x =3时，f (x )取得极小值f (3)=-21+12ln3，所以函数f (x )的递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为(2,3)，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.2(2024·江苏南京·二模)已知函数f (x )=x 2-ax +ae x，其中a ∈R ．(1)当a =0时，求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，求a 的值．【答案】(1)x -ey =0(2)a =1【分析】(1)由a =0，分别求出f (1)及f (1)，即可写出切线方程；(2)计算出f (x )，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，分类讨论a 的范围，得出f (x )的单调性，由f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，列出方程求解即可．【详解】(1)当a =0时，f (x )=x 2e x ，则f (1)=1e ，f (x )=2x -x 2ex，所以f (1)=1e ，所以曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为：y -1e =1e(x -1)，即x -ey =0．(2)f(x )=-x 2+(a +2)x -2a e x =-(x -2)(x -a )ex，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，当0<a <2时，x ∈[0,a ]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,a ]上单调递减，所以f (x )min =f (a )=a ea =1e ，则a =1，符合题意；当a >2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，x ∈(2,a ]时，f (x )>0，则f (x )在(2,a ]上单调递增，所以f (x )min =f (2)=4-a e2=1e ，则a =4-e <2，不合题意；当a =2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，所以f (x )min =f (2)==2e 2≠1e ，不合题意；综上，a =1．3(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知f x =ae x -x ，g x =cos x . (1)讨论f x 的单调性.(2)若∃x 0使得f x 0 =g x 0 ，求参数a 的取值范围.【答案】(1)当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)-∞,1【分析】(1)对f x =ae x -x 求导数，然后分类讨论即可；(2)直接对a >1和a ≤1分类讨论，即可得到结果.【详解】(1)由f x =ae x -x ，知f x =ae x -1.当a ≤0时，有f x =ae x -1≤0-1=-1<0，所以f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，对x <-ln a 有f x =ae x -1<ae -ln a -1=1-1=0，对x >-ln a 有f x =ae x -1>ae -ln a -1=1-1=0，所以f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.综上，当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)当a >1时，由(1)的结论，知f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增，所以对任意的x 都有f x ≥f -ln a =ae -ln a +ln a =1+ln a >1+ln1=1≥cos x =g x ，故f x >g x 恒成立，这表明此时条件不满足；当a ≤1时，设h x =ae x -x -cos x ，由于h -a -1 =ae -a -1+a +1-cos -a -1 ≥ae-a -1+a ≥-a e-a -1+a =a 1-e-a -1≥a 1-e 0=0，h 0 =ae 0-0-cos0=a -1≤0，故由零点存在定理，知一定存在x 0∈-a -1,0 ，使得h x 0 =0，故f x 0 -g x 0 =ae x 0-x 0-cos x 0=h x 0 =0，从而f x 0 =g x 0 ，这表明此时条件满足.综上，a 的取值范围是-∞,1 .4(2024·福建漳州·一模)已知函数f x =a ln x -x +a ，a ∈R 且a ≠0．(1)证明：曲线y =f x 在点1,f 1 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)先利用导数的几何意义求得f x 在1,f 1 处的切线方程，从而得证；(2)分类讨论a <0与a >0，利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】(1)因为f x =a ln x -x +a x >0 ，所以f (x )=a x -1=a -xx，则f (1)=a ln1-1+a =a -1，f (1)=a -1，所以f x 在1,f 1 处的切线方程为:y -(a -1)=(a -1)(x -1)，当x =0时，y -(a -1)=(a -1)(0-1)=-(a -1)，故y =0，所以曲线y =f (x )在点1,f 1 处切线的方程过坐标原点.(2)由(1)得f (x )=ax -1=a -xx，当a<0时，a-x<0，则f x <0，故f(x)单调递减；当a>0时，令f (x)=0则x=a，当0<x<a时，f (x)>0，f(x)单调递增；当x>a时，f (x)<0，f(x)单调递减；综上：当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减.5(2024·山东·二模)已知函数f x =a2xe x-x-ln x．(1)当a=1e时，求f x 的单调区间；(2)当a>0时，f x ≥2-a，求a的取值范围．【答案】(1)f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞(2)a≥1【分析】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，求导得f x =x+1xxe x-1-1，令g x =xe x-1-1，求g x 确定g x 的单调性与取值，从而确定f x 的零点，得函数的单调区间；(2)求f x ，确定函数的单调性，从而确定函数f x 的最值，即可得a的取值范围．【详解】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，则f x =x+1e x-1-1-1x=x+1xxe x-1-1，设g x =xe x-1-1，则g x =x+1e x-1>0恒成立，又g1 =e0-1=0，所以当x∈0,1时，f x <0，f x 单调递减，当x∈1,+∞时，f x >0，f x 单调递增，所以f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞；(2)f x =a2x+1e x-1-1x=x+1xa2xe x-1，设h x =a2xe x-1，则h x =a2x+1e x>0，所以h x 在0,+∞上单调递增，又h0 =-1<0，h1a2=e1a2-1>0，所以存在x0∈0,1 a2，使得h x0 =0，即a2x0e x0-1=0，当x∈0,x0时，f x <0，f x 单调递减，当x∈x0,+∞时，f x >0，f x 单调递增，当x=x0时，f x 取得极小值，也是最小值，所以f x ≥f x0=a2x0e x0-x0-ln x0=1-ln x0e x0=1+2ln a，所以1+2ln a≥2-a，即a+2ln a-1≥0，设F a =a+2ln a-1，易知F a 单调递增，且F1 =0，所以F a ≥F1 ，解得a≥1，综上，a≥1.6(2024·山东·一模)已知函数f(x)=ln x+12a(x-1)2．(1)当a=-12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)-2x+1有两个极值点x1,x2，且g(x1)+g(x2)≥-1-32a，求a的取值范围．【答案】(1)增区间(0,2)，减区间(2,+∞)(2)[1,+∞)【分析】(1)将a=-12代入求导，然后确定单调性即可；(2)求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入g(x1)+g(x2)≥-1-32a，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围．【详解】(1)当a=-12时，f(x)=ln x-14(x-1)2，x>0，则f (x)=1x-12(x-1)=-(x-2)(x+1)2x，当x∈(0,2)，f (x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,+∞)，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+∞)；(2)g(x)=f(x)-2x+1=ln x+12a(x-1)2-2x+1，所以g (x)=1x+a(x-1)-2=ax2-(a+2)x+1x，设φ(x)=ax2-(a+2)x+1，令φ(x)=0，由于g(x)有两个极值点x1,x2，所以Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0x1+x2=a+2a>0x1x2=1a>0，解得a>0．由x1+x2=a+2a，x1x2=1a，得g x1+g x2=ln x1+12a x1-12-2x1+1+ln x2+12a x2-12-2x2+1=ln x1x2+12a x1+x22-2x1x2-2x1+x2+2-2x1+x2+2=ln1a +12a a+2a2-2a-2⋅a+2a+2-2⋅a+2a+2=ln1a +a2-2a-1≥-1-32a，即ln a-12a-1a≤0，令m(a)=ln a-12a-1a，则m (a)=1a-12-12a2=-(a-1)22a2≤0，所以m(a)在(0,+∞)上单调递减，且m(1)=0，所以a≥1，故a的取值范围是[1,+∞)．7(2024·湖北·二模)求解下列问题，(1)若kx-1≥ln x恒成立，求实数k的最小值；(2)已知a，b为正实数，x∈0,1，求函数g x =ax+1-xb-a x⋅b1-x的极值．【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】(1)求导，然后分k≤0和k>0讨论，确定单调性，进而得最值；(2)先发现g0 =g1 =0，当a=b时，g x =0，当0<x<1，a≠b时，取ab=t，L x =tx+1-x-t x，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.【详解】(1)记f x =kx-1-ln x x>0，则需使f x ≥0恒成立，∴f x =k-1xx>0，当k≤0时，f x <0恒成立，则f x 在(0,+∞)上单调递减，且在x>1时，f x <0，不符合题意，舍去；当k >0时．令f x =0，解得x =1k，则f x 在0,1k 上单调递减，在1k ,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 1k =-ln 1k=ln k ，要使kx -1≥ln x 恒成立，只要ln k ≥0即可，解得k ≥1，所以k 的最小值为1；(2)g (x )=ax +(1-x )b -a x ⋅b 1-x ，x ∈[0,1]，a >0，b >0，易知g 0 =g 1 =0，当a =b 时，g x =ax +a -ax -a =0，此时函数无极值；当0<x <1，a ≠b 时，g (x )=ax +(1-x )b -b ⋅a b x =b a b x +1-x -a b x，取ab=t ，t >0，t ≠1，L x =tx +1-x -t x ，t >0，t ≠1，x ∈0,1 ，则L x =t -1-t x ln t ，当t >1时，由L x ≥0得x ≤ln t -1ln tln t，由(1)知t -1≥ln t ，当t >1时，t -1ln t>1，因为x -1≥ln x ，所以1x -1≥ln 1x ，所以ln x ≥1-1x ，即x >0，当t >1时，ln t >1-1t，所以t >t -1ln t ，则ln t >ln t -1ln t >0，所以ln t -1ln tln t<1，即L x 在0,ln t -1ln t ln t 上单调递增，在ln t -1ln tln t,1单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =ab，a ≠b ，当0<t <1时，同理有ln t -1lntln t∈0,1 ，由Lx ≥0得x ≤ln t -1lntln t，即(x )在0,ln t -1lntln t上单调递增，在ln t -1lntln t,1上单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =a b，a ≠b ，综上可知，当a =b 时，函数g x 没有极值；当a ≠b 时，函数g x 有唯一的极大值g ln t -1lntln t，其中t =ab，没有极小值．【点睛】关键点点睛：取ab=t ，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.8(2024·湖北武汉·模拟预测)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2,g (x )=sin n x -x n cos x ,x ∈0,π2,n ∈N +．(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )>0恒成立，求n 的最大值．【答案】(1)极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2；(2)3.【分析】(1)判断函数f (x )为奇函数，利用导数求出f (x )在区间0,π2上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.(2)利用导数证明当n =1时，g (x )>0恒成立，当n >1时，等价变形不等式并构造函数F (x )=x -sin x cos 1nx,0<x <π2，利用导数并按导数为负为正确定n 的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】(1)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2，f (-x )=tan (-x )+sin (-x )-92(-x )=-f (x )，即函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，当0<x <π2时，f (x )=sin x cos x +sin x -92x ，求导得：f(x )=1cos 2x +cos x -92=2cos 3x -9cos 2x +22cos 2x =(2cos x -1)(cos x -2-6)(cos x -2+6)2cos 2x，由于cos x ∈(0,1)，由f (x )>0，得0<cos x <12，解得π3<x <π2，由f (x )<0，得12<cos x <1，解得0<x <π3，即f (x )在0,π3 上单调递减，在π3,π2上单调递增，因此函数f (x )在0,π2 上有极小值f π3 =3(3-π)2，从而f (x )在-π2,π2 上的极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2.(2)当n =1时，g (x )>0恒成立，即sin x -x cos x >0恒成立，亦即tan x >x 恒成立，令h (x )=tan x -x ,x ∈0,π2 ，求导得h (x )=1cos 2x -1=1-cos 2x cos 2x=tan 2x >0，则函数h (x )在0,π2上为增函数，有h (x )>h (0)=0，因此tan x -x >0恒成立；当n >1时，g (x )>0恒成立，即不等式sin xn cos x>x 恒成立，令F (x )=x -sin x cos 1n x ,0<x <π2，求导得：F (x )=1-cos x ⋅cos 1nx -1n⋅cos1n-1x ⋅(-sin x )⋅sin xcos 2nx=1-cos1+n nx +1n⋅sin 2x ⋅cos1-n nxcos 2nx=1-cos 2x +1n ⋅sin 2xcos n +1nx =cosn +1nx -cos 2x -1n (1-cos 2x )cos n +1nx =cosn +1nx -1n -n -1ncos 2x cosn +1nx令G (x )=cos n +1nx -1n -n -1n cos 2x ，求导得则G (x )=n +1n cos 1nx ⋅(-sin x )-n -1n⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin x n (2n -2)cos x -(n +1)cos 1n x =2n -2n ⋅sin x cos x -n +12n -2cos 1n x=2n -2n ⋅sin x ⋅cos 1n x cos n -1n x -n +12n -2，由n >1,x ∈0,π2 ，得2n -2n⋅sin x ⋅cos 1nx >0，当n +12n -2≥1时，即n ≤3时，G (x )<0，则函数G (x )在0,π2上单调递减，则有G (x )<G (0)=0，即F (x )<0，因此函数F (x )在0,π2 上单调递减，有F (x )<F (0)=0，即g (x )>0，当n +12n -2<1时，即n >3时，存在一个x 0∈0,π2 ，使得cos n -1n x 0=n +12n -2，且当x ∈(0,x 0)时，G (x )>0，即G (x )在(0,x 0)上单调递增，且G (x )>G (0)=0，则F (x )>0，于是F (x )在(0,x 0)上单调递增，因此F (x )>F (0)=0，即sin xn cos x<x ，与g (x )>0矛盾，所以n 的最大值为3.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9(2024·湖北·模拟预测)已知函数f x =ax 2-x +ln x +1 ，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数x 1，x 2，均有f x 1 f x 2x 1x 2>0，求a ；(2)记t n =1+12+⋅⋅⋅+1n ，证明：t n -56<ln n +1 <t n ．【答案】(1)a =12(2)证明见解析【分析】(1)求导可得f 0 =0，再分a ≤0与a >0两种情况分析原函数的单调性，当a >0时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；(2)由(1)问的结论可知，1n -12n2<ln 1n +1 <1n ，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】(1)f x 的定义域为-1,+∞ ，且f 0 =0；f x =2ax -1+1x +1=2ax -x x +1=x 2a -1x +1，因此f 0 =0；i.a ≤0时，2a -1x +1<0，则此时令f x >0有x ∈-1,0 ，令f x <0有x ∈0,+∞ ，则f x 在-1,0 上单调递增，0,+∞ 上单调递减，又f 0 =0，于是f x ≤0，此时令x 1x 2<0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；ii .a >0时，f x 有零点0和x 0=12a-1，若x 0<0，即a >12，此时令f x <0有x ∈x 0,0 ，f x 在x 0,0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 >0，令x 1>0，x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0>0，即0<a <12，此时令f x <0有x ∈0,x 0 ，f x 在0,x 0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 <0，令-1<x 1<0,x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0=0，即a =12，此时fx =x 2x +1>0，f x 在-1,+∞ 上单调递增，又f 0 =0，则x >0时f x >0，x <0时f x <0；则x ≠0时f x x >0，也即对x 1x 2≠0，f x 1 f x 2x 1x 2>0，综上，a =12(2)证：由(1)问的结论可知，a =0时，f x =-x +ln x +1 ≤0；且a =12时x >0，f x =12x 2-x +ln x +1 >0；则x>0时，x-12x2<ln x+1<x，令x=1n，有1n-12n2<ln1n+1<1n，即1n-12n2<ln n+1-ln n<1n，于是1n-1-12n-12<ln n-ln n-1<1n-11-12<ln2<1将上述n个式子相加，t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2<ln n+1<t n；欲证t n-56<ln n+1<t n，只需证t n-56<t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2，只需证1+122+⋅⋅⋅+1n2<53；因为1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1，所以1+122+⋅⋅⋅+1n2<1+213-15+15-17+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=53-22n+1<53，得证：于是得证t n-56<ln n+1<t n.【点睛】方法点睛：(1)此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；(2)对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.10(2024·湖南·一模)已知函数f x =sin x-ax⋅cos x,a∈R．(1)当a=1时，求函数f x 在x=π2处的切线方程；(2)x∈0,π2时；(ⅰ)若f x +sin2x>0，求a的取值范围；(ⅱ)证明：sin2x⋅tan x>x3．【答案】(1)πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)a≤3(ⅱ)证明见解析【分析】(1)令a=1时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.(2)(ⅰ)设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,由g x >0得a≤3，再证明此时满足g x >0.(ⅱ)根据(ⅰ)结论判断出F x =sin2x⋅tan x-x3在0,π2上单调递增，∴F(x)>F(0)=0,即sin2x tan x >x3.【详解】(1)当a=1时，f(x)=sin x-x⋅cos x,f (x)=cos x-(cos x-x⋅sin x)=x⋅sin x,fπ2=π2,fπ2=1.所以切线方程为：y-1=π2x-π2,即πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)f(x)+sin2x=sin x-ax⋅cos x+sin2x>0,即tan x-ax+2sin x>0,x∈0,π2，设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,g (x )=2cos x +1cos 2x -a =1cos 2x(2cos 3x -a cos 2x +1).又∵g (0)=0,g (0)=3-a ,∴g (0)=3-a ≥0是g (x )>0的一个必要条件，即a ≤3.下证a ≤3时，满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,又g (x )≥1cos 2x(2cos 3x -3cos 2x +1)，设(t )=2t 3-3t 2+1,t ∈(0,1),h (t )=6t 2-6t =6t (t -1)<0,h (t )在(0,1)上单调递减，所以h (t )>h (1)=0，又x ∈0,π2 ,cos x ∈(0,1),∴g (x )>0,即g (x )在0,π2 单调递增.∴x ∈0,π2时，g (x )>g (0)=0；下面证明a >3时不满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,，g (x )=2cos x +1cos 2x-a ，令h (x )=g (x )=2cos x +1cos 2x -a ，则h (x )=-2sin x +2sin x cos 3x =2sin x 1cos 3x-1，∵x ∈0,π2 ,∴sin x >0,1cos 3x-1>0，∴h (x )>0,∴h (x )=g (x )在0,π2为增函数，令x 0满足x 0∈0,π2,cos x 0=1a ，则g x 0 =2cos x 0+1cos 2x 0-a =2cos x 0+a -a >0，又g (0)=3-a <0,∴∃x 1∈0,x 0 ,使得g x 1 =0，当x ∈0,x 1 时，g (x )<g x 1 =0，∴此时g (x )在0,x 1 为减函数，∴当x ∈0,x 1 时，g (x )<g (0)=0，∴a >3时，不满足g (x )≥0恒成立.综上a ≤3.(ⅱ)设F (x )=sin 2x ⋅tan x -x 3,x ∈0,π2 ,F (x )=2sin x ⋅cos x ⋅tan x +sin 2x ⋅1cos 2x-3x 2=2sin 2x +tan 2x -3x 2=2(sin x -x )2+(tan x -x )2+2(2sin x +tan x )x -2x 2-x 2-3x 2.由(ⅰ)知2sin x +tan x >3x ,∴F (x )>0+0+2x ⋅3x -6x 2=0,，F x 在0,π2上单调递增，∴F (x )>F (0)=0,即sin 2x tan x >x 3.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．11(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=ln (1+x )-11+x．(1)求曲线y =f (x )在(0,f (0))处的切线方程；(2)若x ∈(-1,π)，讨论曲线y =f (x )与曲线y =-2cos x 的交点个数．【答案】(1)y =32x -1；(2)2．【分析】(1)求导，即可根据点斜式求解方程，(2)求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】(1)依题意，f x =11+x +121+x 32，故f 0 =32，而f 0 =-1，故所求切线方程为y +1=32x ，即y =32x -1．(2)令ln 1+x -11+x =-2cos x ，故ln 1+x +2cos x -11+x=0，令g x =ln 1+x +2cos x -11+x ，g x =11+x -2sin x +121+x -32，令h x =g x =11+x -2sin x +121+x -32，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52．①当x ∈-1,π2时，cos x ≥0,1+x 2>0,1+x-52>0，∴h x <0,∴h x 在-1,π2上为减函数，即gx 在-1,π2 上为减函数，又g 0 =1+12>0,g1 =12-2sin1+12⋅2-32<12-2⋅sin1+12<1-2×12=0，∴g x 在0,1 上有唯一的零点，设为x 0，即g x 0 =00<x 0<1 ．∴g x 在-1,x 0 上为增函数，在x 0,π2上为减函数．又g 0 =2-1>0,g -π4 =ln 1-π4 +2cos -π4 -11-π4=ln 1-π4+2-11-π4<0,g π2=ln 1+π2 -11+π2>0，∴g x 在-1,x 0 上有且只有一个零点，在x 0,π2上无零点；②当x ∈π2,5π6 时，g x <11+x -1+121+x-32<0,g x 单调递减，又g π2 >0,g 5π6 =ln 1+5π6 -3-1+5π6-12<ln4-3<0，∴g x 在π2,5π6内恰有一零点；③当x ∈5π6,π 时，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52为增函数，∴hx =h 5π6 =-11+5π62+1-34⋅1+5π6-52>0，∴g x 单调递增，又g π >0,g 5π6 <0，所以存在唯一x 0∈5π6,π ,g x 0 =0，当x ∈5π6,x 0 时，g x <0,g x 递减；当x ∈x 0,π 时，g x >0,g x 递增，g x ≤max g 5π6 ,g π <0，∴g x 在5π6,π内无零点．综上所述，曲线y =f x 与曲线y =-2cos x 的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.12(2024·广东佛山·二模)已知f x =-12e 2x +4e x -ax -5.(1)当a =3时，求f x 的单调区间；(2)若f x 有两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；(2)借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，可得t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，借助韦达定理可得t 1+t 2=4，t 1t 2=a ，即可用t 1、t 2表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，进而用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.【详解】(1)当a =3时，f x =-12e 2x +4e x -3x -5，f x =-e 2x +4e x -3=-e x -1 e x -3 ，则当e x ∈0,1 ∪3,+∞ ，即x ∈-∞,0 ∪ln3,+∞ 时，f x <0，当e x ∈1,3 ，即x ∈0,ln3 时，f x >0，故f x 的单调递减区间为-∞,0 、ln3,+∞ ，单调递增区间为0,ln3 ；(2)f x =-e 2x +4e x -a ，令t =e x ，即f x =-t 2+4t -a ，令t 1=e x 1，t 2=e x 2，则t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，则Δ=-4 2-4a =16-4a >0，即a <4，有t 1+t 2=4，t 1t 2=a >0，即0<a <4，则f x 1 +f x 2 +x 1+x 2=-12e 2x 1+4e x 1-ax 1-5-12e 2x2+4e x 2-ax 2-5+x 1+x 2=-12t 21+t 22 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1+ln t 2 -10=-12t 1+t 2 2-2t 1t 2 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1t 2-10=-1216-2a +16-a -1 ln a -10=a -a -1 ln a -2，要证f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0，即证a -a -1 ln a -2<00<a <4 ，令g x =x -x -1 ln x -20<x <4 ，则g x =1-ln x +x -1x =1x-ln x ，令h x =1x -ln x 0<x <4 ，则h x =-1x 2-1x <0，则g x 在0,4 上单调递减，又g 1 =11-ln1=1，g 2 =12-ln2<0，故存在x 0∈1,2 ，使g x 0 =1x 0-ln x 0=0，即1x 0=ln x 0，则当x ∈0,x 0 时，g x >0，当x ∈x 0,4 时，g x <0，故g x 在0,x 0 上单调递增，g x 在x 0,4 上单调递减，则g x ≤g x 0 =x 0-x 0-1 ln x 0-2=x 0-x 0-1 ×1x 0-2=x 0+1x 0-3，又x 0∈1,2 ，则x 0+1x 0∈2,52 ，故g x 0 =x 0+1x 0-3<0，即g x <0，即f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，从而可结合韦达定理得t 1、t 2的关系，即可用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.13(2024·广东广州·模拟预测)已知函数f x =x e x -kx ,k ∈R .(1)当k =0时，求函数f x 的极值；(2)若函数f x 在0,+∞ 上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.【答案】(1)极小值为-1e，无极大值(2)e ,+∞【分析】(1)求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；(2)把原函数有两个零点转化为g x =e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】(1)当k =0时，f x =xe x (x ∈R )，所以f x =1+x e x ，令f x =0，则x =-1，x -∞,-1-1-1,+∞f x -0+f x单调递减极小值单调递增所以f (x )min =f -1 =-e -1=-1e，所以f x 的极小值为-1e，无极大值.(2)函数f x =x e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，令g x =e x -kx ，则问题等价于g x 在0,+∞ 上仅有两个零点，易知g x =e x -k ，因为x ∈0,+∞ ，所以e x >1.①当k ∈-∞,1 时，g x >0在0,+∞ 上恒成立，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，所以g x >g 0 =1，所以g x 在0,+∞ 上没有零点，不符合题意；②当k ∈1,+∞ 时，令g x =0，得x =ln k ，所以在0,ln k 上，g x <0，在ln k ,+∞ 上，g x >0，所以g x 在0,ln k 上单调递减，在(ln k ,+∞)上单调递增，所以g x 的最小值为g ln k =k -k ⋅ln k .因为g x 在0,+∞ 上有两个零点，所以g ln k =k -k ⋅ln k <0，所以k >e.因为g 0 =1>0,g ln k 2 =k 2-k ⋅ln k 2=k k -2ln k ，令h x =x -2ln x ，则h x =1-2x =x -2x，所以在0,2 上，h x <0，在2,+∞ 上，h x >0，所以h x 在0,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，所以h x ≥2-2ln2=ln e 2-ln4>0，所以g ln k 2 =k k -2ln k >0，所以当k >e 时，g x 在0,ln k 和(ln k ,+∞)内各有一个零点，即当k >e 时，g x 在0,+∞ 上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是e ,+∞ .【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：(1)确定f x 的定义域.(2)计算导数f x .(3)求出f x =0的根.(4)用f x =0的根将f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内f x 的符号，进而确定f x 的单调区间.f x >0，则f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；f x <0，则f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.14(2024·江苏南通·二模)已知函数f x =ln x -ax ，g x =2ax，a ≠0.(1)求函数f x 的单调区间；(2)若a >0且f x ≤g x 恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)2e 3.【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a >0与a <0分类讨论即可得；(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】(1)f x =1x -a =1-axx(a ≠0)，当a <0时，由于x >0，所以f x >0恒成立，从而f x 在0,+∞ 上递增；当a >0时，0<x <1a ，f x >0；x >1a ，fx <0，从而f x 在0,1a 上递增，在1a,+∞ 递减；综上，当a <0时，f x 的单调递增区间为0,+∞ ，没有单调递减区间；当a >0时，f x 的单调递增区间为0,1a ，单调递减区间为1a ,+∞ .(2)令h x =f x -g x =ln x -ax -2ax，要使f x ≤g x 恒成立，只要使h x ≤0恒成立，也只要使h x max ≤0.h x =1x -a +2ax 2=-ax +1 ax -2 ax 2，由于a >0，x >0，所以ax +1>0恒成立，当0<x <2a 时，h x >0，当2a<x <+∞时，h x <0，所以h x max =h 2a =ln 2a -3≤0，解得：a ≥2e 3，所以a 的最小值为2e3.15(2024·山东济南·二模)已知函数f x =ax 2-ln x -1,g x =xe x -ax 2a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：f x +g x ≥x .【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】(1)求导可得fx =2ax 2-1x，分a ≤0和a >0两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；(2)构建F x =f x +g x -x ,x >0，h x =e x -1x,x >0，根据单调性以及零点存在性定理分析h x 的零点和符号，进而可得F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】(1)由题意可得：f x 的定义域为0,+∞ ，fx =2ax -1x =2ax 2-1x，当a ≤0时，则2ax 2-1<0在0,+∞ 上恒成立，可知f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，令f x >0，解得x >12a；令f x <0，解得0<x <12a；可知f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增；综上所述：当a ≤0时，f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增.(2)构建F x =f x +g x -x =xe x -ln x -x -1,x >0，则F x =x +1 e x -1x -1=x +1 e x -1x，由x >0可知x +1>0，构建h x =e x -1x ,x >0，因为y =e x ,y =-1x在0,+∞ 上单调递增，则h x 在0,+∞ 上单调递增，且h 12=e -20,h 1 =e -1 0，可知h x 在0,+∞ 上存在唯一零点x 0∈12,1 ，当0<x <x 0，则h x <0，即Fx <0；当x >x 0，则h x >0，即F x >0；可知F x 在0,x 0 上单调递减，在x 0,+∞ 上单调递增，则F x ≥F x 0 =x 0e x 0-ln x 0-x 0-1，又因为e x 0-1x 0=0，则e x 0=1x 0,x 0=e -x 0，x 0∈12,1 ，可得F x 0 =x 0×1x 0-ln e -x-x 0-1=0，即F x ≥0，所以f x +g x ≥x .16(2024·福建·模拟预测)已知函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线在y 轴上的截距为-2．(1)求a 的值；(2)若f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．【答案】(1)2(2)b ∈0,2e 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；(2)借助函数与方程的关系，可将f x 有且仅有两个零点转化为方程b =2ln xx有两个根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.【详解】(1)f (x )=ax-b ，f 1 =a -b ，f (1)=a ×0-b =-b ，则函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线为：y +b =a -b x -1 ，即y =a -b x -a ，令x =0，则有y =-a =-2，即a =2；(2)由a =2，即f (x )=2ln x -bx ，若f x 有且仅有两个零点，则方程2ln x-bx=0有两个根，即方程b=2ln xx有两个根，令g x =2ln xx，则gx =21-ln xx2，则当x∈0,e时，g x >0，则当x∈e,+∞时，g x <0，故g x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，故g x ≤g e =2ln ee=2e，又x→0时，g x →-∞，x→+∞时，g x →0，故当b∈0,2 e时，方程b=2ln x x有两个根，即f x 有且仅有两个零点.17(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x =a ln x+2-12x2a∈R．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若函数f x 有两个极值点，(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)证明：函数f x 有且只有一个零点．【答案】(1)答案见解析；(2)(ⅰ)-1<a<0；(ⅱ)证明见解析【分析】(1)求出函数的导函数，再分a≤-1、-1<a<0、a≥0三种情况，分别求出函数的单调区间；(2)(ⅰ)由(1)直接解得；(ⅱ)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【详解】(1)函数f x =a ln x+2-12x2a∈R的定义域为-2,+∞，且f x =ax+2-x=-x+12+a+1x+2，当a≤-1时，f x ≤0恒成立，所以f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时，令f x =0，即-x+12+a+1=0，解得x1=-a+1-1，x2=a+1-1，因为-1<a<0，所以0<a+1<1，则-2<-a+1-1<-1，所以当x∈-2,-a+1-1时f x <0，当x∈-a+1-1,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时，此时-a+1-1≤-2，所以x∈-2,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．综上可得：当a≤-1时f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．(2)(ⅰ)由(1)可知-1<a<0．(ⅱ)由(1)f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减，所以f x 在x=a+1-1处取得极大值，在x=-a+1-1处取得极小值，又-1<a<0，所以0<a+1<1，则1<a+1+1<2，又f x极大值=f a+1-1=a ln a+1+1-12a+1-12<0，又f-a+1-1<f a+1-1<0，所以f x 在-a+1-1,+∞上没有零点，又-1<a<0，则4a<-4，则0<e4a<e-4，-2<e4a-2<e-4-2，则0<e 4a-22<4，所以f e 4a-2=4-12e4a-22>0，所以f x 在-2,-a+1-1上存在一个零点，综上可得函数f x 有且只有一个零点．18(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数f(x)=ln x-ax+1，a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)若∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)-∞,2．【分析】(1)利用导数分类讨论判断函数f x 的单调性，即可求解；(2)先利用导数证明不等式e x≥x+1，分离变量可得a≤e2x-ln x+1x恒成立，进而e 2x-ln x+1x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，即可求解.【详解】(1)函数f x =ln x-ax+1，a∈R的定义域为0,+∞，且f (x)=1x-a．当a≤0时，∀x∈0,+∞，f (x)=1x-a≥0恒成立，此时f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，令f (x)=1x-a=1-axx=0，解得x=1a，当x∈0,1 a时，f x >0，f x 在区间0,1a上单调递增，当x∈1a,+∞时，f x <0，f x 在区间1a,+∞上单调递减．综上所述，当a≤0时，f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，f x 在区间0,1 a上单调递增，在区间1a,+∞上单调递减．(2)设g x =e x-x-1，则g x =e x-1，在区间(-∞,0)上，g x <0，g x 单调递减，在区间0,+∞上，g x >0，g x 单调递增，所以g x ≥g0 =e0-0-1=0，所以e x≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)．依题意，∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，即a≤e2x-ln x+1x恒成立，而e2x-ln x+1x=xe2x-(ln x+1)x=e2x+ln x-(ln x+1)x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，当且仅当2x+ln x=0时等号成立．因为函数h x =2x+ln x在0,+∞上单调递增，h1e=2e-1<0，h(1)=2>0，所以存在x0∈1e,1，使得2x0+ln x0=0成立．所以a ≤e 2x -ln x +1xmin =2，即a 的取值范围是-∞,2 ．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.19(2024·广东·二模)已知f x =12ax 2+1-2a x -2ln x ,a >0.(1)求f x 的单调区间；(2)函数f x 的图象上是否存在两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 (其中x 1≠x 2)，使得直线AB 与函数f x 的图象在x 0=x 1+x22处的切线平行？若存在，请求出直线AB ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)不存在，理由见解析【分析】(1)求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；(2)求出直线AB 的斜率，再求出f (x 0)，从而得到x 1,x 2的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.【详解】(1)由题可得f(x )=ax +1-2a -2x =ax 2+(1-2a )x -2x =(ax +1)(x -2)x(x >0)因为a >0，所以ax +1>0，所以当x ∈(0,2)时，f (x )<0，f (x )在(0,2)上单调递减，当x ∈(2,+∞)时，f (x )>0，f (x )在(2,+∞)上单调递增.综上，f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)由题意得，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1=12ax 22+(1-2a )x 2-2ln x 2 -12ax 21+(1-2a )x 1-2ln x 1 x 2-x 1=12a (x 22-x 21)+(1-2a )(x 2-x 1)-2ln x 2x 1x 2-x 1=a 2(x 1+x 2)+1-2a -2ln x2x 1x 2-x 1，f x 1+x 22 =a (x 1+x 2)2+1-2a -4x 1+x 2,由k =f x 1+x22 得，ln x2x 1x 2-x 1=2x 1+x 2，即ln x 2x 1=2(x 2-x 1)x 1+x 2，即ln x 2x 1-2x2x 1-1 x 2x1+1=0令t =x 2x 1，不妨设x 2>x 1，则t >1，记g (t )=ln t -2(t -1)t +1=ln t +4t +1-2(t >1)所以g(t )=1t -4t +1 2=t -1 2t t +1 2>0，所以g (t )在(1,+∞)上是增函数，所以g (t )>g (1)=0，所以方程g (t )=0无解，则满足条件的两点A ,B 不存在.20(2024·广东深圳·二模)已知函数f x =ax +1 e x ，f x 是f x 的导函数，且f x -f x =2e x ．(1)若曲线y =f x 在x =0处的切线为y =kx +b ，求k ，b 的值；(2)在(1)的条件下，证明：f x ≥kx +b ．【答案】(1)k =3，b =1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意，求导可得a 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，利用导数研究函数g (x )的单调性从而求出最小值大于0，可得证.【详解】(1)因为f x =ax +1 e x ，所以f x =ax +a +1 e x ，因为f x -f x =2e x ，所以a =2．则曲线y =f (x )在点x =0处的切线斜率为f 0 =3．又因为f 0 =1，所以曲线y =f (x )在点x =0处的切线方程为y =3x +1，即得k =3，b =1．(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，x ∈R ，则g x =2x +3 e x -3，设h x =g x ，则h x =e x 2x +5 ，所以，当x >-52时，h x >0，g x 单调递增．又因为g0 =0，所以，x >0时，g x >0，g x 单调递增；-52<x <0时，g x <0，g x 单调递减．又当x ≤-52时，g x =2x +3 e x -3<0，综上g x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以当x =0时，g x 取得最小值g 0 =0，即2x +1 e x -3x -1≥0，所以，当x ∈R 时，f x ≥3x +1．21(2024·辽宁·二模)已知函数f x =ax 2-ax -ln x .(1)若曲线y =f x 在x =1处的切线方程为y =mx +2，求实数a ,m 的值；(2)若对于任意x ≥1，f x +ax ≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)a =-1，m =-2(2)12,+∞ 【分析】(1)根据导数几何意义和切线方程，可直接构造方程组求得结果；(2)构造函数g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，将问题转化为g x ≥0恒成立；求导后，分别在a ≤0、a ≥12和0<a <12的情况下，结合单调性和最值求得符合题意的范围.【详解】(1)∵f x =2ax -a -1x，∴f 1 =2a -a -1=a -1，∵y =f x 在x =1处的切线为y =mx +2，∴f 1 =a -1=mf 1 =0=m +2 ，解得：a =-1，m =-2.(2)由f x +ax ≥a 得：ax 2-ln x -a ≥0，令g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，则当x ≥1时，g x ≥0恒成立；。
高常考题—函数的性质(含解析)
函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析
专题3.1 函数的概念及其表示1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（ ）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【答案】B 【解析】当0x =时，f （1）2(0)1f +=①；当1x =时，(0)2f f +（1）2=②，由此进行计算能求出f （1）的值．【详解】定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，∴当0x =时，f （1）2(0)1f +=，①当1x =时，(0)2f f +（1）2=，②②2⨯-①，得3f （1）3=，解得f （1）1=．故选：B2．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩…则(3)f =（ ）A ．7B ．2C ．10D ．12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意2(3)3312f =+=．故选：D ．3．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（ ）A ．16B ．18C ．21D ．24练基础【解析】根据分段函数解析式直接求解.【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=.故选：B.4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（ ）A ．1B ．3C ．3-D ．1或3【答案】B 【解析】根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.【详解】因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b ，所以min ()(1)f x f =1=，2max 13()()22f x f b b b b ==-+=，解得3b =或1b =（舍），故选：B5．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为( ).A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．6．（广东高考真题）函数()f x =的定义域是______．【答案】[)()1,00,∞-⋃+由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞；故答案为[)()1,00,-⋃+∞．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.【答案】3【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ，再利用交集运算法则即可求出结果.【详解】若()()0f g x =，则()0g x =或1-或1，∴{}1,0,1,2A =-，若()()0g f x =，则()0f x =或2，∴{}1,0,1B =-，∴{}1,0,1=- A B .故答案为：3.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.【答案】1或【解析】分别令212a +=，212a=，解方程，求出方程的根即a 的值即可.【详解】当0a ≥，令212a +=，解得：1a =，当0a <，令212a =，解得：a =故1a =或，故答案为：1或.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤-⎥⎦【解析】用n 表示出m ，结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围.【详解】画出()f x 图象如下图所示，3114⨯+=，令()2140x x -=>，解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-，223n m -=，且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤，结合二次函数的性质可知，当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭，当n =时，t取得最小值为212133-⨯=-.所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为：171,12⎤⎥⎦1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（ ）A ．t 没有最小值B ．t1-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值.【详解】如图，作出函数()f x 的图象，()()f n f m = 且n m >，则1m £，且1n >，练提升2311m n ∴+=-，即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得1n <≤.222211317(32)(333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又1n <≤ ∴当n =时，()min 1n m -=-.故选：B.2．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（ ）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案.【详解】若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得02x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去，综上可得：02x =-.故选：A.3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.【详解】A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤，所以函数值域为(,6]-∞，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,)+∞，值域为[0,)+∞，定义域是值域的真子集；D.定义域为{|0}x x ≠，值域为{|1}x x ≠-，两个集合只有交集；故选：AC4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（ ）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】因为f (x )= 2211x x+-，所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x+-()f x =，即不满足A 选项；1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -，即满足B 选项，不满足C 选项，1(f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1()()f f x x -=-，即满足D 选项．故选：BD5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=；令()f x u =，因为方程()2f u =没有实根，即()2g x =没有实根；令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，通过化简与计算即可判断C ；当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，即可判断D ．【详解】对于A 选项，由题意知()10f -=，则()()()()1100g f f f -=-==，所以A 选项正确；对于B 选项，令()f x u =，则求()()()2g x f f x ==的根，即求()2f u =的根，因为方程()2f u =没有实根，所以()2g x =没有实根，所以选项B 错误；对于C 选项，令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，得112,03u u u +=-<⇒=-，2222,01u u u u -+=-≥⇒=+，由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥，解得4x =-或3x =，易知方程2()f x u =，没有实数根，所以方程()2g x =-的所有根之和为－1，选项C 正确；对于D 选项，当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，当0x <时，函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方，所以D 选项正确，故选：ACD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（ ）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误；令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x -∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确；令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫>⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞U ，故D 错误；故选：AC7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（ ）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈【答案】ABD 【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确；对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点，如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确.故选：ABD8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.1a ≤<【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x=，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =，即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+，构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（()22a a x a +≤<+），所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+，由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<，由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤，即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21110a a a a a a ⎛=+--=--≤ ⎝，由于01a <<1a ≤<.1a ≤<9. （2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析.【解析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.【详解】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x图象如下图所示：10. （2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞ .【解析】（1）化简函数()f x 、()g x 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；（2）根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数()min x 的解析式；（3）根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集.【详解】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.则对应的图象如图：（2）函数()min x的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B 点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-，即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞ .1.（山东高考真题）设f (x )=<x <1―1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由x ≥1时f (x )=2(x ―1)是增函数可知,若a ≥1,则f (a )≠f (a +1),所以0<a <1,由f (a )=f (a+1)得a =2(a +1―1),解得a =14,则=f (4)=2(4―1)=6,故选C.2.（2018上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（ ）A ．3B ．32 C ．33 D ．0【答案】B 【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）=3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当练真题x=32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选：B ．3. （2018年新课标I 卷文）设函数f (x )=2―x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A. (―∞ ， ―1]B. (0 ， +∞)C. (―1 ， 0)D. (―∞ ， 0)【答案】D【解析】将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知会有2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(―∞ ， 0)，故选D.4.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5. （2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。
高三数学函数试题答案及解析
高三数学函数试题答案及解析1.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知如图是“优美图”，则点A，B与边a所对应的三个数分别为________．【答案】3、6、3【解析】观察图中编号为4的边，由于6－2＝5－1＝4，而数字2已为一端点的编号，故编号为4的边的左、右两端点应为5、1，从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边，易知点A对应的数为3，点B对应的数为6.故应填3、6、3.2.对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数．例如，[π]＝3，[－1.08]＝－2.如果定义函数f(x)＝x－[x]，那么下列命题中正确的一个是()A．f(5)＝1B．方程f(x)＝有且仅有一个解C．函数f(x)是周期函数D．函数f(x)是减函数【答案】C【解析】f(5)＝5－[5]＝0，故A错误；因为f()＝－[]＝，f()＝－[]＝，所以B错误；函数f(x)不是减函数，D错误；故C正确．3. [2012·江苏高考]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．【答案】9【解析】通过值域求a，b的关系是关键．由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋)2＋b－.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.∴f(x)＝(x＋)2.又∵f(x)＜c，∴(x＋)2＜c，即－－＜x＜－＋.∴②－①，得2＝6，∴c＝9.4.下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x【答案】C【解析】若f(x)＝|x|，则f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；若f(x)＝－x，则f(2x)＝－2x＝2f(x)；若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，不满足f(2x)＝2f(x)．5.（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1B．2C．3D．6【答案】D【解析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故答案选D．点评：关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．6.如果函数在上的最大值和最小值分别为、，那么.根据这一结论求出的取值范围（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】函数在区间上最大值为1，最小值为，即，所以，，即取值范围为，选B.【考点】新定义概念与函数的最值.7.设函数，其中，为正整数，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求，，的值；（2）求函数的最大值；（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）【答案】（1）;（2）;（3）见解析.【解析】（1）在切点处的的函数值，就是切线的斜率为，可得；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得，.（2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值.（3）本小题有多种思路，一是要证对任意的都有只需证；二是令，利用导数确定，转化得到．令，证明．（1）因为， 1分所以，又因为切线的斜率为，所以 2分，由点（1,c）在直线上，可得，即 3分4分（2）由（1）知，，所以令，解得，即在（0，+上有唯一零点 5分当0<<时，，故在（0，）上单调递增； 6分当>时，，故在（，+上单调递减； 7分在（0，+上的最大值=== 8分（3）证法1：要证对任意的都有只需证由（2）知在上有最大值，=，故只需证 9分，即① 11分令，则，①即② 13分令，则显然当0<t<1时，，所以在（0，1）上单调递增，所以，即对任意的②恒成立，所以对任意的都有 14分证法2：令，则． 10分当时，，故在上单调递减；而当时，，故在上单调递增．在上有最小值，．，即. 12分令，得，即，所以，即.由（2）知，，故所证不等式成立． 14分【考点】导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，转化与化归思想，分类讨论思想，应用导数研究恒成立问题.8.对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选B．9.设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q【答案】D【解析】对A选项，存在满足条件，故是“保序同构”. 对B选项，存在满足条件，故是“保序同构”.对C选项，存在满足条件，故是“保序同构”.选D.【考点】1、新定义；2、函数.10.设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=.【答案】-9【解析】f(a)+f(-a)=a3cosa+1+(-a)3cos(-a)+1=2,而f(a)=11,故f(-a)=2-f(a)=2-11=-9.11.对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(-,0)B．{-1,-}C．(-1,-)D．(-∞,-1)∪[-,0)【答案】A【解析】由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,∴f(x)=函数f(x)的图象如图所示,由图象知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.12.如果f()=,则当x≠0且x≠1时,f(x)=()A．B．C．D．-1【答案】B【解析】令=t,t≠0且t≠1,则x=,∵f()=,∴f(t)=,化简得:f(t)=,即f(x)=(x≠0且x≠1).13.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.【答案】2【解析】设e x＝t，则x＝ln t(t>0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.14.是R上以2为周期的奇函数，当时，则在时是（）A．减函数且B．减函数且C．增函数且D．增函数且【答案】D【解析】因为是R上的奇函数，故，由复合函数单调性知，当时为增函数，故此时；当时，为增函数，又因为是以2为周期的，故在上函数性质和取值完全一样，即时，为增函数，选D.【考点】函数奇偶性、函数单调性.15.直线是函数的切线，则实数．【答案】1【解析】先对函数求导，即，由于切线方程为，所以，，解得：，因此，切点为（2，）或（－2，－），代入切线方程，可得＝ 1.【考点】函数的导数求法，函数导数的几何意义.16.已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】如下图所示，作出函数的图象如下图所示，当直线与函数的图象有两个不同的交点，则.【考点】分段函数的图象、函数的零点17.设函数.（1）若x＝时，取得极值，求的值；（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；（3）设，当=－1时，证明在其定义域内恒成立，并证明（）．【答案】（1）．（2）.（3）转化成.所以.通过“放缩”，“裂项求和”。
高考数学复习基础知识专题讲解与练习04 函数的性质综合应用(解析版)
高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题04函数的性质综合应用一、单选题1．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（文））已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（） A ．(－1,0) B ．(－2,0) C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由题设函数的定义域，应用换元法求出()f t 的定义域，进而求(21)f x -的定义域即可. 【详解】由题设，若1t x =+，则(1,1)t ∈-，∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-，故其定义域为(0,1). 故选：C.2．（2021·湖南·高三月考）已知函数()f x 满足22()()326f x f x x x +-=++，则（） A ．()f x 的最小值为2B ．x R ∃∈，22432()x x f x ++>C ．()f x 的最大值为2D ．x R ∀∈，22452()x x f x ++>【答案】D 【分析】先求得()f x ，然后结合二次函数的性质确定正确选项.【详解】因为22()()326f x f x x x +-=++（i ），所以用x -代换x 得22()()326f x f x x x -+=-+（ii ）. （i ）×2-（ii ）得23()366f x x x =++， 即22()22(1)1f x x x x =++=++，从而()f x 只有最小值，没有最大值，且最小值为1.()2222222221243243122()222222x x x x x x f x x x x x x x ++-++++===-<++++++， ()2222222221245245122()222222x x x x x x f x x x x x x x +++++++===+>++++++. 故选：D.3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,1] D ．[1,1]-【答案】A 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可 【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--， 所以()f x 是奇函数，所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-， 因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数， 所以()f x 在R 上为增函数， 所以142x x +≥-，解得1x ≥， 故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x 2+1）＝x 4，则函数y ＝f （x ）的解析式是（ ）A ．()()21,0f x x x =-≥B ．()()21,1f x x x =-≥C ．()()21,0f x x x =+≥D ．()()21,1f x x x =+≥【答案】B 【分析】利用凑配法求得()f x 解析式. 【详解】()()()2242211211f x x x x +==+-++，且211x +≥，所以()()22211,1f x x x x x =-+=-≥. 故选：B.5．（2021·湖南省邵东市第一中学高三月考）已知函数()f x 满足()()()222f a b f a f b +=+对,a b ∈R 恒成立，且(1)0f ≠，则(2021)f =（） A ．1010 B ．20212C ．1011D ．20232【答案】B 【分析】利用赋值法找出规律，从而得出正确答案. 【详解】令0a b ==，则()()()()20020,00f f f f =+=，令0,1a b ==，则()()()()()221021,121f f f f f =+=，由于()10f ≠，所以()112f =.令1a b ==，则()()()221211f f f =+=， 令2,1a b ==，则()()()2133221122f f f =+=+=，令3,1a b ==，则()()()23144321222f f f =+=+=，以此类推，可得()202120212f =.故选：B.6．（2021·安徽·六安二中高三月考）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21x f x =-，则当0x <时，()f x =（） A ．21x -- B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+【答案】D 【分析】根据题意，设0x <，则0x ->，由函数的解析式可得()21x f x --=-，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【详解】根据题意，设0x <，则0x ->， 则()21x f x --=-，又由()f x 为奇函数，则()()21x f x f x ---=-+=，故选：D.7．（2021·河南·高三月考（理））||||2()x x x e f x e-=的最大值与最小值之差为（）A ．4-B ．4eC ．44e-D ．0【答案】B 【分析】利用函数为奇函数，且其图像的对称性，利用导数可得函数的单调性和最值. 【详解】22()1xx xx e x f x ee-==-，设2()xx g x e=，则()()1g x f x =+则()g x 为奇函数，图像关于原点对称，其最大值与最小值是互为相反数，max max ()()1g x f x =+min ()()1min g x f x =+ max min ()()0g x g x +=max min max min max min max ()()(()1)(()1)()()2()f x f x g x g x g x g x g x ∴-=---=-=即()f x 的最大值与最小值之差为max 2()g x ， 当0x >时2()xxg x e =，222(1)()x x x x g x e e --'==， 故2()xxg x e =的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞， 所以max 2()(1)g x g e==，所以()f x 的最大值与最小值之差为4e故选：B.8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞- D ．()3,-+∞【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减， 由()()320f m f m -+-<，得()()()322f m f m f m -<--=， 于是得32m m ->，解得3m <-. 故选:C.9．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数()(1ln 31xx a x f x x a +=++++-（0a >，1a ≠），且()5f π=，则()f π-=（） A ．5- B ．2 C ．1D ．1-【答案】C 【分析】令()()3g x f x =-，由()()0g x g x -+=，可得()g x 为奇函数，利用奇函数的性质即可求解. 【详解】解：令()()(1ln 13x x a x g x f x x a +++=--+=，因为()()((11ln ln 011xxx x a a g x x x x x x aa g --++-++-++++=---+=，所以()g x 为奇函数，所以()()0g g ππ-+=，即()()330f f ππ--+-=， 又()5f π=， 所以()1f π-=， 故选：C.10．（2021·北京通州·高三期中）已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <【答案】B 【分析】根据条件可得()f x 关于直线3x =对称，()f x 在[)3,+∞上单调递增，结合()54f =可判断出答案. 【详解】由()3f x +是偶函数可得()f x 关于直线3x =对称 因为[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[)3,+∞上单调递增因为()54f =，所以()()064f f =>，()()154f f ==，()()244f f =< 无法比较()3f 与0的大小 故选：B.11．（2021·北京朝阳·高三期中）若函数()()221x f x a a R =-∈+为奇函数，则实数a =（）.A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D【分析】由奇函数的性质()00f =求解即可 【详解】因为函数()()221x f x a a R =-∈+为奇函数，定义域为R ，所以()00f =，即02021a -=+，解得1a =，经检验符合题意，故选：D.12．（2022·上海·高三专题练习）函数()2020sin 2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．[2,)+∞ B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C 【详解】∵()2020sin 2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x x f t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤， 故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故选：C.13．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()4f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时，()2f x '>恒成立，若不等式()()()1221f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【分析】由题意可得()()()f x x f x x -=---，令()()2F x f x x =-，根据奇偶性的定义，可得()F x 为偶函数，利用导数可得()F x 的单调性，将题干条件化简可得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-，根据()F x 的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.【详解】由()()4f x f x x --=，得()2()2()f x x f x x -=---， 记()()2F x f x x =-，则有()()F x F x =-，即()F x 为偶函数， 又当(0,)x ∈+∞时，()()20F x f x ''=->恒成立， 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以由()()()1221f a f a a --≥-，得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---， 即()(1)F a F a ≥-(||)(|1|)F a F a ⇔-，所以|||1|a a -，即2212a a a ≥+-，解得12a ，故选：D.14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【答案】B【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象，把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案． 【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知，函数()1y f x =-的零点的个数为2个． 故选：B ．15．（2020·广东·梅州市梅江区嘉应中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足1(2)()f x f x +=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+，则()2021f 等于（） A ．4 B ．2C ．2-D ．2log 7【答案】C 【分析】求得()f x 是周期为4的周期函数，从而求得()2021f . 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()11(4)(2)2()1(2)()f x f x f x f x f x +=++===+， 其最小正周期为4，所以()()2021450511)()1(f f f f ⨯+===--.因为31,02⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+， 所以()2()log 13)1(12f -=--+=⨯，所以()202112()f f =--=-. 故选：C.16．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数()f x 是定义在[3,2]a --上的奇函数，且在[3,0]-上单调递增，则满足()()0f m f m a +->的m 的取值范围是（）A ．5,82⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．[]2,3D ．[]3,3-【答案】B 【分析】根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得320a -+-=，即可解出a ，由奇函数的性质可得函数()f x 在[]3,3-上递增，再将()()0f m f m a +->等价变形为()()f m f a m >-，然后根据单调性即可解出． 【详解】依题意可得320a -+-=，解得5a =，而函数f x （）在[3,0]-上单调递增，所以函数()f x 在[0,3]上单调递增，又函数()f x 连续，故函数()f x 在[]3,3-上递增，不等式()()0f m f m a +->即为()()5f m f m >-，所以333535m m m m-≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩，解得532m <≤．故选：B ．17．（2021·浙江·高三期中）已知0a >，0b >，则“2ln 39b a a b>-”是“a b >”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】构造函数，利用函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】解：由()22ln ln 2ln 33b a a a b b=->-，得()2ln 23ln 3a b a b +>+，令()ln 3x f x x =+，()f x 在()0,∞+上单调递增，又()()2f a f b >，则2a b >．即当0a >，0b >时，2ln 392b a a a b b>-⇔>．显然，2a b a b >⇒>，但由2a b >不能得到a b >． 故选：B ．18．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()f x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a 的不等式组，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩在R 上为减函数，所以()213112011312a a a a +⎧≥⎪⎪<<⎨⎪-++≥⎪⎩，解得1132a ≤≤，所以实数a 的取值范围为11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：B.19．（2021·全国·高三期中）已知()2f x +是偶函数，当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3b f =，()4c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A 【分析】分析可知函数()f x 在()2,+∞为增函数，由已知条件可得1722a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数()f x 的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则()()12f x f x <， 所以()f x 在()2,+∞为增函数.又因为()2f x +是偶函数，所以，()()22f x f x -+=+，即1722a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()7342f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<.故选：A.20．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（文））已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()13f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（）A ．2022B ．0C ．3D ．2022-【答案】C 【分析】由条件可得()f x 是周期为4的周期函数，然后利用()()()()()()()()()()1232022505123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦算出答案即可.【详解】因为()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，所以()()f x f x -=-，()00f = 因为()()11f x f x -=+，所以()()()2f x f x f x -=+=-所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数 因为()13f =，()()200f f ==，()()()3113f f f =-=-=-，()()400f f == 所以()()()()()()()()()()12320225051234123f f f f f f f f f f ++++=+++++=⎡⎤⎣⎦故选：C.21．（2021·河北·高三月考）已知函数()3()21sin f x x x x =+++，则()(32)4f x f x -+-<的解集为（） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】A 【分析】设3()()222sin g x f x x x x =-=++，然后可得函数()g x 为奇函数，函数()g x 在R 上单调递增，然后不等式()(32)4f x f x -+-<可化为()(32)g x g x -<-+，然后可解出答案. 【详解】设3()()222sin g x f x x x x =-=++，可得函数()g x 为奇函数，2()62cos 0g x x x '=++>，所以函数()g x 在R 上单调递增，()(32)4()2(32)2()f x f x f x f x g x -+-<⇒--<--+⇒-(32)()(32)g x g x g x <--⇒-<-+，所以321x x x -<-+⇒<． 故选：A.22．（2021·河南·高三月考（文））已知函数()()12x x f x e e －＝+，记12a fπ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝，1log 2b f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，()c f π＝，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，然后根据导函数的符号求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为()()()12x x f x e e f x --=+=，所以函数()f x 为偶函数，()()12x xf x e e -'=-， 当0x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,∞+上递增，则()1log log 22b f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以10log 212πππ<<<<， 所以b a c <<. 故选：C ．23．（2021·安徽·高三月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则92f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．无法确定【答案】B 【分析】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，可得函数()f x 的周期4T =， 由此即可求出结果. 【详解】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-； 所以()(2)f x f x =--，所以(+2)()f x f x =-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期4T =，911334211222222f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-成立，且函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，(1)4f =，则(2020)(2021)(2022)f f f ++=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】根据函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，得到函数是奇函数，然后结合(2)()f x f x +=-，得到函数的周期为4T =求解. 【详解】因为函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称， 所以函数()y f x =的图象关于点()0,0对称， 即()()f x f x -=-， 又因为(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=， 所以函数的周期为4T =， 又(1)4f =，所以(2020)(2021)(2022)(0)(1)(0)4f f f f f f ++=++=. 故选：D.25．（2021·江西·高三月考（文））若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且()30f =，则满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为（）A ．(][),15,-∞-+∞B ．[][]3,05,-+∞C ．[][]1,02,5-D ．(][),10,5-∞-【答案】C 【分析】根据函数的单调性、奇偶性、函数图象变换，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞递增，且()30f =，所以()f x 在(),0-∞递增，且()30f -=.()2f x -的图象是由()f x 的图象向右平移2个单位得到，画出()2f x -的大致图象如下图所示，由图可知，满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为[][]1,02,5-.故选：C.26．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（） A ．f 3()2<f 1()4-<f 1()4B ．f 1()4<f 1()4-<f 3()2C ．f 3()2<f 1()4<f 1()4-D ．f 1()4-<f 3()2-<f 1()4【答案】C 【分析】首先判断函数的周期，以及对称性，画出函数的草图，即可判断选项. 【详解】因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为4，并且()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 关于1x =对称，作出f (x )的草图(如图)，由图可知3()2f <1()4f <1()4f -，故选：C.27．（2022·全国·高三专题练习）函数()342221x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，则不等式()1f x ≥的解集是（ ）A ．()513⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，，B ．(]5133⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦，，C ．513⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．533⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【分析】将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()1f x ≥的解集. 【详解】()342221x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，443,3434,232,21x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪-⎩， 当43x <时，431,11x x x -≥≤⇒≤，当423x ≤≤时，55341,233x x x -≥≥⇒≤≤，当2x >时，10x ->，则21,21,3231x x x x ≥≥-≤⇒<≤-，综上所述，不等式()1f x ≥的解集为(]5,1,33⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦.故选：B.28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））函数()f x 满足()()4f x f x =-+，若()23f =，则()2022f =（）A ．3B ．-3C ．6D ．2022【答案】B 【分析】根据函数()f x 满足()()4f x f x =-+，变形得到函数()f x 是周期函数求解. 【详解】因为函数()f x 满足()()4f x f x =-+，即()()4f x f x +=-， 则()()()84f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期函数，周期为8，所以()()()()202225286623f f f f =⨯+==-=-．故选：B ．29．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））函数2()ln(231)f x x x =-+的单调递减区间为（）A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞【答案】B【分析】先求出函数()f x 的定义域，再求出函数2231u x x =-+在所求定义域上的单调区间并结合复合函数单调性即可作答.【详解】在函数2()ln(231)f x x x =-+中，由22310x x -+>得12x <或1x >，则()f x 的定义域为1(,)(1,)2-∞+∞， 函数2231u x x =-+在1(,)2-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又ln y u =在(0,)u ∈+∞上单调递增，于是得()f x 在1(,)2-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调递减区间为1(,)2-∞. 故选：B.30．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】A【分析】 根据两个偶函数得()f x 的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数．【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，(7)(7)f x f x +=-+，所以()f x 图象关于2x =，7x =轴对称，所以()f x 为周期函数，且2(72)10T =⋅-=，所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组，所以2012402N =⨯=，在[2010,2013]中，含有零点(2011)(1)0f f ==，(2013)(3)0f f ==共2个，所以一共有404个零点.故选：A.31．（2021·安徽·池州市江南中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x 1<2<x 2，且x 1＋x 2>4，则f (x 1)＋f (x 2)的值（）A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0【答案】B【分析】首先根据条件()(4)f x f x -=-+转化为(4)()f x f x -=-，再根据函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，将1x 转换为14x -，从而14x -，2x 都在(2,)+∞的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断12()()f x f x +的值的符号．【详解】解：定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，将x 换为x -，有(4)()f x f x -=-，122x x <<，且124x x +>，2142x x ∴>->，函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，21()(4)f x f x ∴>-，(4)()f x f x -=-，11(4)()f x f x ∴-=-，即21()()f x f x >-，12()()0f x f x ∴+>，故选：B ．32．（2021·河南·模拟预测（文））已知非常数函数()f x 满足()()1f x f x -=()x R ∈，则下列函数中，不是奇函数的为（）A ．()()11f x f x -+ B ．()()11f x f x +- C ．()()1f x f x - D ．()()1f x f x + 【答案】D【分析】根据奇函数的定义判断．【详解】因为()()1f x f x -=()x R ∈，所以()1()()1f x g x f x -=+，则11()11()()()()1()11()1()f x f x f xg x g x f x f x f x -----====--+++，()g x 是奇函数， 同理()()1()1f x h x f x +=-也是奇函数，1()()()()()p x f x f x f x f x =-=--，则()()()()p x f x f x p x -=--=-，是奇函数， 1()()()()()q x f x f x f x f x =+=+-，()()()()q x f x f x q x -=-+=为偶函数， 故选：D ．33．（2021·四川郫都·高三月考（文））已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2log 3B ．1C ．1-D ．0【答案】D【分析】 根据函数的奇偶性和(1)()f x f x -=可得函数的周期是2，利用周期性进行转化求解即可．【详解】 解：奇函数满足(1)()f x f x -=，()(1)(1)f x f x f x ∴=-=--，即(1)()f x f x +=-，则(2)(1)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的周期函数， 所以225111()()log ()log 102222f f ==+==． 故选：D.34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f ≠，则()2021f =（）．A ．2021B ．1C ．0D ．1-【答案】C【分析】 分别令0x y ==，令12x y ==得到()()110f x f x ++-=，进而推得函数()f x 是周期函数求解． 【详解】令0x y ==，则()()()()00200f f f f +=，故()()()20010f f -=，故()01f =，（()00f =舍） 令12x y ==，则()()1110222f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()10f =．∴()()()()11210f x f x f x f ++-==，即()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=，故()f x 的周期为4，即()f x 是周期函数．∴()()202110f f ==．故选：C ．二、多选题35．（2021·全国·高三月考）()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()()2log 2f x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．()20221f =C ．当[]2,3x ∈时，()()2log 4f x x =--D ．函数()f x 在[]0,2021内有1010个零点【答案】AC【分析】 由()()2 x f f x +=-可判断A ，()()()2022450()5220f f f f =⨯+==-，可判断B ，当[]2,3x ∈时，[]20,1x -∈，结合条件可判断C ，易知()()()()()1 35201920210f f f f f ===⋯===，可判断D.【详解】()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2 x f f x +=-，()()4 (2,f x f x f x ∴+=-+=）故函数的周期为4，故选项A 正确；()()()2022452(05201)f f f f =⨯+==-=-，故选项B 错误；当[]2,3x ∈时，[]20,1x -∈，则()()()()222log 2 2log 4f x f x x x ⎡=--=---=-⎤⎦-⎣，故选项C 正确；易知()()()()()1 35201920210f f f f f ===⋯===，于是函数()f x 在[]0,2021内有1011个零点，故选项D 错误，故选：AC ．36．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）关于函数()321x f x x +=-，正确的说法是（） A ．()f x 有且仅有一个零点B ．()f x 在定义域内单调递减C ．()f x 的定义域为{}1x x ≠D ．()f x 的图象关于点()1,3对称【答案】ACD【分析】将函数()f x 分离系数可得5()31f x x =+-，数形结合，逐一分析即可； 【详解】 解：323(1)55()3111x x f x x x x +-+===+---，作出函数()f x 图象如图：由图象可知，函数只有一个零点，定义域为{}|1x x ≠，在(),1-∞和()1,+∞上单调递减，图象关于()1,3对称，故B 错误，故选：ACD ．37．（2021·福建·三明一中高三月考）下列命题中，错误的命题有（）A ．函数()f x x =与()2g x =是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，2001x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<”C ．函数4sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值为4 D ．设函数22,0()2,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 在R 上单调递增 【答案】ACD【分析】 求出两函数的定义域，即可判断A ；命题的否定形式判断B ；函数的最值判断C ；分段函数的性质以及单调性判断D ；【详解】解：函数()f x x =定义域为R ，函数2()g x =的定义域为[)0,+∞，所以两个函数的定义域不相同，所以两个函数不是相同函数；所以A 不正确；命题“0[0x ∃∈，1]，2001x x +”的否定为“[0x ∀=，1]，21x x +<”，满足命题的否定形式，所以B 正确； 函数4sin sin y x x =+(0)2x π<<，因为02x π<<，所以0sin 1x <<，可知4sin 4sin y x x =+>，所以函数没有最小值，所以C 不正确； 设函数22,0,()2,0,x x x f x x +<⎧⎪=⎨⎪⎩两段函数都是增函数，并且0x <时，0x →，()2f x →，0x 时，函数的最小值为1，两段函数在R 上不是单调递增，所以D 不正确；故选：ACD ．38．（2021·福建·高三月考）已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()13f x f x +=-，()()13f x f x +=-，当02x ≤≤时，()2f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为4B ．()f x 的图象关于直线2x =对称C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最大值为2D ．当68x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12- 【答案】ABC【分析】根据抽象函数关系式，可推导得到周期性和对称性，知AB 正确；根据()f x 在[]0,2上的最大值和最小值，结合对称性和周期性可知C 正确，D 错误.【详解】对于A ，()()13f x f x +=-，()()4f x f x ∴+=，()f x ∴的最小正周期为4，A 正确； 对于B ，()()13f x f x +=-，()()22f x f x ∴+=-，()f x ∴的图象关于直线2x =对称，B 正确；对于C ，当02x ≤≤时，()()max 22f x f ==，()f x 图象关于2x =对称，∴当24x ≤≤时，()()max 22f x f ==； 综上所述：当04x ≤≤时，()()max 22f x f ==，C 正确；对于D ，()f x 的最小正周期为4，()f x ∴在[]6,8上的最小值，即为()f x 在[]2,4上的最小值，当02x ≤≤时，()min 1124f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又()f x 图象关于2x =对称， ∴当24x ≤≤时，()min 711224f x f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴在[]6,8上的最小值为14-，D 错误. 故选：ABC.39．（2022·全国·高三专题练习）设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（）A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称.【答案】BC【分析】根据偶函数的对称性，结合函数图象变换性质、函数图象关于直线对称的性质进行逐一判断即可.【详解】A ：中由y ＝f (x )关于y 轴对称，得y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，所以结论错误；B ：因为y ＝f (x ＋2)为偶函数，所以函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以结论正确；C ：因为f (2＋x )＝f (2－x )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，因此结论正确；D ：由f (2－x )＝f (x )，得f (1＋x )＝f (1－x )，所以y ＝f (x )关于直线x ＝1对称，因此结论错误，故选：BC.40．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知函数sin ()()x f x e x R =∈，则下列论述正确的是（）A ．()f x 的最大值为e ，最小值为0B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是周期函数，且最小正周期为2πD ．不等式()f x ≥5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【答案】BD【分析】由|sin |[0,1]x ∈，得到函数的值域，可判定A 错误；由函数奇偶性的定义，可判定B 正确； 由函数周期的定义，可得判定C 错误；由()f x ≥，得到1|sin |2x ≥，结合三角函数的性质，可判定D 正确.【详解】由|sin |[0,1]x ∈，可得的sin [1,]x e e ∈，故A 错误； 由sin()|sin |()()x x f x e e f x --===，所以()f x 是偶函数，故B 正确；由|sin()||sin ||sin |(=e )()x x x f x e e f x ππ+-+===，所以π是()f x 的周期，故C 错误； 由()f x ≥，即1sin 2x e e ≥，可得1|sin |2x ≥， 解得x 的取值范围是5,66xk x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故D 正确. 故选：BD. 41．（2021·全国·模拟预测）已知函数()21x f x x =-，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 在(),1-∞上是增函数B ．函数()f x 的图象关于点()1,2中心对称C ．函数()f x 的图象上存在两点A ，B ，使得直线//AB x 轴D ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称【答案】AC【分析】()2,112,11x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩，然后画出其图象可得答案. 【详解】()2,112,11x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩，其大致图象如下，结合函数图象可得AC 正确，BD 错误.故选：AC.42．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD【分析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-=，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题43．（2021·广东·高三月考）请写出一个函数()f x =__________，使之同时具有如下性质：①图象关于直线2x =对称；②x R ∀∈，(4)()f x f x +=． 【答案】()cos 2f x x π=（答案不唯一）. 【分析】根据性质①②可知()f x 是以4为周期且图象关于2x =对称点的函数，即可求解.【详解】解：由题可知，由性质①可知函数()f x 图象关于直线2x =对称；由性质②x R ∀∈，(4)()f x f x +=，可知函数()f x 以4为周期， 写出一个即可，例如：()cos 2f x x π=， 故答案为：()cos 2f x x π=（答案不唯一）. 44．（2021·湖南·高三月考）已知偶函数()f x 满足()()416f x f x +-=，且当(]0,1x ∈时，()[]222()f x f x =，则()3f -=___________.【答案】12【分析】利用函数的奇偶性及赋值法，可以解决问题.【详解】由()()416f x f x +-=，令2x =，可得()28f =.因为[]22(2)(1)16f f ==，212(1)02f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥，所以()10f ≥，所以()14f =，由()()416f x f x +-=，令1x =，可得()312f =.因为()f x 是偶函数，所以()()3312f f -==.故答案为：12.45．（2021·北京·中国人民大学附属中学丰台学校高三月考）定义在R 上的函数f (x )满足()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+，则23(log 8)2f +＝___． 【答案】74【分析】 由条件可得2233(log 8)(log )22f f +=，然后可算出答案. 【详解】因为()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+， 所以23log 222331317(log 8)(log )2224244f f +==+=+= 故答案为：74. 46．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，2(2),[3,1)(),[1,3)x x f x x x ⎧-+∈--⎪=⎨∈-⎪⎩，数列{}n a 满足(),n a f n n N =∈*，{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =_________．【答案】337【分析】先判断出周期为6，再求出126a a a ++⋅⋅⋅+的值，最后求出2021S 的值【详解】因为函数()f x 满足(6)()f x f x +=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，()()()()12311,22,331a f a f a f f ======-=-，()()()()()456420,511,00a f f a f f a f ==-===-=-==，()()7711a f f ===，1261210101a a a ++⋅⋅⋅+=+-+-+=，因为202163365=⨯+，所以()2021126125336336112101337S a a a a a a =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯++-+-=故答案为：337.47．（2021·辽宁沈阳·高三月考）若函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅⎪-⎝⎭为偶函数，则m 的值为________． 【答案】12- 【分析】先根据()()11f f =-求出m 的值，再根据奇偶性的定义证明即可.【详解】解：由已知210x -≠，即0x ≠，故函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，因为函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅⎪-⎝⎭为偶函数， 则()()11f f =- 即1112121m m -⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭， 解得12m =-， 当12m =-时， ()()()()333331111212221211221x x x x x f x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫--=+⋅--+⋅=⋅--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭3332102121x x x x x x =⋅--=--. 故12m =-时，函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭为偶函数 故答案为：12-. 48．（2021·全国·高三月考（理））已知函数2()sin f x x x x =-，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为______.【答案】(0,2)【分析】利用导数可判断函数在(0,)+∞为增函数，再利用函数奇偶性的定义可判断函数为偶函数，从而将(21)(1)f x f x -<+转化为|21||1|x x -<+，进而可求出不等式的解集【详解】定义域为R ，由题意，()2sin cos (2cos )sin f x x x x x x x x '=--=--，当0x >时，()1sin 0f x x x '≥⋅->，故()f x 在(0,)+∞为增函数.因为22()()()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=----=-=，所以()f x 为偶函数，故(21)(1)f x f x -<+即(|21|)(|1|)f x f x -<+，则|21||1|x x -<+，故22(21)(1)x x -<+，解得02x <<，故原不等式的解集为(0,2).故答案为：(0,2).49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定.【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+- 222sin cos sin 2x x x x x =-=-，函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点，即f (x )的零点个数为2.故答案为：2.50．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359x f x g x x x +=-++，则()()13f g -+=______．【答案】223【分析】先用列方程组法求出()f x 和()g x 的解析式，代入即可求解.【详解】因为()()224359x f x g x x x +=-++……① 所以()()224359x f x g x x x -+-=+++ 因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()224359x f x g x x x -=+++……② ①②联立解得：()235f x x =+，()249x g x x =-+， 所以()()()22431331532392f g ⨯-+=-+-=+. 故答案为：223.。
专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类-(原卷 版)
专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类目录一、热点题型归纳【题型一】三角函数求解析式：“识图”................................................................................................. 1 【题型二】图像与性质1：单调性与值域................................................................................................ 3 【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型 ................................................................................ 4 【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数 ................................................................................ 5 【题型五】图像与性质4：零点与对称轴................................................................................................ 6 【题型六】解三角形1：面积与周长常规................................................................................................ 8 【题型七】解三角形2：计算角度与函数值 ............................................................................................ 9 【题型八】解三角形3：求面积范围（最值） ...................................................................................... 10 【题型九】解三角形4：周长最值 ......................................................................................................... 11 【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型 ...................................................................... 11 【题型十一】解三角形6：最值范围综合.............................................................................................. 12 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟测试 .. (14)【题型一】三角函数求解析式：“识图”【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥.2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：(1)求()f x ；(2)若2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,πα∈，求cos2α的值．3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A ωϕωϕπ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式； (2)将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【题型二】图像与性质1：单调性与值域【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值.【变式演练】1.（2022·湖北·高三开学考试）已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期;(2)若[0,]x π∈，求出()f x 的单调递减区间.2.（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2sin cos cos 04f x x x x ππωωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求()f x 图象的对称轴方程；(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在①sin α=①2tan 40αα-=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知角a 是第一象限角，且___________. (1)求tan α的值；(2)3)cos()cos(3)2πααπαπ+++-的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式演练】1.（2022·北京·二模）已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围． 条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件①：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin cos 0,0f x a x x a ωωω=＞＞．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定．条件①：π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件①：()f x 为偶函数；条件①：()f x 的最大值为1；条件①：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()22cos 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2sin cos f x a x x x x =∈R ，若__________．条件①：0a >，且()f x 在x ∈R 时的最大值为1条件①：6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭请写出你选择的条件，并求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分．【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()π2sin()3f x x =+．(1)若不等式()3f x m -≤对任意ππ[,]63x ∈-恒成立，求整数m 的最大值；(2)若函数()π()2g x f x =-，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到函数()y h x =的图象，若关于x 的方程()102h x k -=在π5π[,]1212x ∈-上有2个不同实数解，求实数k 的取值范围．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象.（i ）若0m >，当[0,]x m ∈时，()g x 的值域为[2]，求实数m 的取值范围；（ii ）若不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.3.（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调递减区间；(3)若函数()()g x f x k =-在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，写出实数k 的取值范围．（只写结论）【题型五】图像与性质4：零点与对称轴【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.【题型六】解三角形1：面积与周长常规【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）在ABC 中，点,M N 分别在线段,BC BA 上，且,BM CM ACN BCN =∠=∠，3,22AB AM AC ===．(1)求BM 的长;(2)求BCN △的面积．【变式演练】1.（2022·北京·高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,sin2sin =a b c C C ． (1)求C ∠；(2)若1b =，且ABCABC 的周长．2.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，)tan tan tan tan 1+=B C B C . (1)求角A 的大小；(2)若1a =，21)0c b -=，求ABC 的面积.3.（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 0B b A -=. (1)求A ；(2)若c =a =ABC 的面积.【题型七】解三角形2：计算角度与函数值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.【变式演练】1.（2021·天津静海·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=. (1)求角C 的大小；(2)若c =4a b +=，求ABC 的面积.(3)若cos =A ，求()sin 2A C -的值.2.（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c ，周长为1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．3.（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)222S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若2a c =，求sin C ．【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）【典例分析】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A B C B C -=. (1)求A ；(2)若a =ABC 面积的最大值.【变式演练】1.（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC 面积的最大值.2.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径R =tan tan B C +=．(1)求B 和b 的值；(2)求ABC 面积的最大值．3.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin cos sin (2cos )A B B A =-．(1)若b c +，求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【题型九】解三角形4：周长最值【典例分析】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=. (1)求角C 的大小；(2)若ABCABC 周长的取值范围.【变式演练】1.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()2cos cos 0a c B b C --=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的最大值.2.（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件①12=，条件①：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．3.（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，= (1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型【典例分析】（2022·四川成都·模拟预测（理））①ABC 中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，tan tan 2tan tan A AB C bc，cos cos 1b C c B +=．(1)求角A 及边a ； (2)求2b c +的最大值．【变式演练】1.（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos2B C B C A -=+． (1)求角A 的大小；(2)若a =2b c +的最大值．2..（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin B c a C b c a b -=+-，①23cos cos cos 24A C A C --=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．【题型十一】解三角形6：最值范围综合【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）记ABC 内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知tan tan 2tan tan tan B CB A A=-.(1)求证：2222b c a +=；(2)求2abc 的取值范围.【变式演练】1.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已cos sin B b C =+． (1)求C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形且c =22a b +的取值范围．2.（2022·湖南湘潭·高三开学考试）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，且tan bB a =．(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论； (2)求cos cos cos A B C ++的取值范围．1．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值. 2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ． 3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+4．（·浙江·高考真题（理））已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c 1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．6．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7．（山东·高考真题）已知函数()2sin 2y x ϕ=+，x ∈R ，π02ϕ<<，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值： （2）函数的单调递增区间．8．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．10．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件①：ABC 的周长为4+条件①：ABC11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．1.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()()sin y f x A x B ωϕ==++（其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，且0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的值域．2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量(sin a x =，(1,cos )b x =．(1)若a b ⊥，求sin 2x 的值；(2)令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x 轴向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件①：()00f =；条件①：()f x 图象的一条对称轴为4x π=. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()3,sin 26f x x x a a a g x x π⎛⎫=--+∈=+ ⎪⎝⎭R ．(1)若()f x 为奇函数，求实数a 的值；(2)若对任意[]10,1x ∈，总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值； 6、（2022·安徽·高三开学考试）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,2b c B C ==.(1)求cos C ;(2)若5a =，求c .7.（2022·广西·模拟预测（文））设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=． (1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=； (2)若3A B =，求B 的值．8.（2022·全国·高三专题练习）在①2cos cos c b B a A -=；①sin cos 2AA =；()sin a C C =，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若__________．（填条件序号） (1)求角A 的大小；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．9.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）在①π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①sin (sin sin )sin a A c C A b B +-=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =______________. (1)求角B ；(2)求a c +的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 10.（2022·山东烟台·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos cos 2cos b a A C c A =+. (1)求角A ；(2)若4a =，求2c b -的取值范围.11.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边BC 上，3AB =，2AC =． (1)若AD 是BAC ∠的角平分线，求:BD DC ；(2)若AD 是边BC 上的中线，且AD =，求BC ．12.（2022·全国·模拟预测（文））在①3cos210cos 10A A +-=，①sin cos A A -=①tan 2A =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分． 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______ (1)求cos A ；(2)sin sin B C 的最大值．。
高三数学 导数大题20道训练
高三数学导数大题20道训练II）若函数f(x)在[0,1]上单调递增，求a的取值范围；III）若函数f(x)的最小值为-2，求a的取值范围.10.已知函数f(x)=x3-3x2+2x+1.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,1]上单调递增，求函数在[0,1]上的最小值.11.已知函数f(x)=x2e-x.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,1]上单调递减，求函数在[0,1]上的最大值.12.已知函数f(x)=x3-3x2+3x-1.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递增，求函数在[0,2]上的最小值.13.已知函数f(x)=x3-6x2+9x-2.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[1,3]上单调递减，求函数在[1,3]上的最大值.14.已知函数f(x)=x3-3x+2.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递增，求函数在[0,2]上的最小值.15.已知函数f(x)=x3-3x2+4.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递减，求函数在[0,2]上的最大值.16.已知函数f(x)=x3-6x2+12x-8.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[1,3]上单调递增，求函数在[1,3]上的最小值.17.已知函数f(x)=x3-9x2+24x-16.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[2,4]上单调递减，求函数在[2,4]上的最大值.18.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[1,3]上单调递增，求函数在[1,3]上的最小值.19.已知函数f(x)=x3-3x2+3.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递减，求函数在[0,2]上的最大值.20.已知函数f(x)=x3-3x+1.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递增，求函数在[0,2]上的最小值.Ⅱ) 当 $a>0$ 时，若过原点与函数 $f(x)$ 的图像相切的直线恰有三条，求实数 $a$ 的取值范围。
2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题三角函数的图像和性质1含解析
三角函数的图像和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.函数的定义域为A. B.C. D.2.函数的定义域是（）A. (0,]B. (0,)C. [0，]D. (0,]3.已知f（x）=cos x（cos x +sin x）在区间[-，m]上的最大值是，则实数m的最小值是（）A. B. C. D.4.若f(x )=(x -)在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为（）A. B. C. D.5.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋)(ω>0)在区间[－，]上单调递增，则ω的取值范围为( )A. (0，]B. (0，]C. [，]D. [，2]6.函数f(x )=(4x +)+的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。
在每小题有多项符合题目要求）7.函数f(x)=A (x +)(A >0,>0,||<)的部分图象如图所示,则（）1A. f(x)的图象的最小正周期为B. f(x)的图象的对称轴方程为x=+2k(k Z)C. f(x)的图象的对称中心为(+2k,0)(k Z)D. f(x)的单调递增区间为[4k-,4k+](k Z)8.已知函数，现给出下列四个命题，其中正确的是（）A. 函数的最小正周期为B. 函数的最大值为1C. 函数在上单调递增D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）9.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0≤φ＜π）关于直线对称，则f（0）= ．10.筒车是我国古代独创的一种水利浇灌工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的状况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车的半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中出现即时的位置时起先计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系设盛水筒M从点运动到点P时所经过的时间为单位：，且此时点P距离水面的高度为单位：，则h 与t的函数关系式为，点P第一次到达最高点须要的时间为四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。
高三数学专项训练：函数与导数,解析几何解答题(二)(理科)
（2）过右焦点 的直线与椭圆交于不同的两点 、 ，则 内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
35．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中 、 是过抛物线 焦点 的两条弦，且其焦点 ， ，点 为 轴上一点，记 ，其中 为锐角．
（3）求证： .
4．已知函数 .
（Ⅰ）若函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为 ，求 的值；
（Ⅱ）当 时， 为常数，且 ， ，求 的取值范围.
5．已知函数 ，函数 ．
(I)试求f(x)的单调区间。
(II)若f(x)在区间 上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：
(III)设数列 是公差为1．首项为l的等差数列，数列 的前n项和为 ，求证：当 时， .
41．（13分） 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点，
①若直线ＡＢ的斜率为 ，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；
②当Ａ、B运动时，满足 ＝ ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
(2)点Q(x0，y0)(－2<x0<2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为 ，点P的坐标是(0，－1)， 与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．
27．已知两点 及 ，点 在以 、 为焦点的椭圆 上，且 、 、 构成等差数列．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)如图，动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，点 是直线 上的两点，且 ，
． 求四边形 面积 的最大值．
历年高三数学高考考点之〈函数与方程〉必会题型及答案
历年高三数学高考考点之〈函数与方程〉必会题型及答案体验高考1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a的取值范围是________. 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 函数g (x )有两个零点， 即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根， 则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点. ①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增； 当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点. ③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点. 综上，a <0或a >1.2.设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2； ④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2. 答案 ①③④⑤解析 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要有一根，f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，②错误.所有正确条件为①③④⑤.3.(2016·课标全国甲)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )等于( )A.0B.mC.2mD.4m 答案 B解析 方法一 特殊函数法，根据f (－x )＝2－f (x )可设函数f (x )＝x ＋1，由y ＝x ＋1x，解得两个点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝2此时m ＝2，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m ，故选B.方法二 由题设得12(f (x )＋f (－x ))＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))关于点(0，1)对称，则y ＝f (x )的图象关于点(0，1)对称. 又y ＝x ＋1x ＝1＋1x，x ≠0的图象也关于点(0，1)对称. 则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对，且关于点(0，1)对称.则∑i ＝1m (x i ，y i )＝∑i ＝1m x i ＋∑i ＝1my i ＝0＋m2×2＝m ，故选B.高考必会题型题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4a －3x ＋3a ，x <0，log ax ＋1＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 答案 C解析 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1. 又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧02＋4a －3·0＋3a ≥f 0＝1，3－4a2≥0⇒13≤a ≤34. 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象.由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解. 故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解.当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0， 解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.点评 函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象的交点个数问题也可转化为方程根的问题.变式训练1 已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1，2－x 2，x ∈[－1，0，且f (x＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5，1]上的所有实根之和为( )A.－5B.－6C.－7D.－8 答案 C解析 g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2x ＋2＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，由题意知函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5，1]上的图象如图所示：由图象知f (x )、g (x )有三个交点，故方程f (x )＝g (x ) 在x ∈[－5，1]上有三个根x A 、x B 、x C ，x B ＝－3，x A ＋x C2＝－2，x A ＋x C ＝－4，∴x A ＋x B ＋x C ＝－7.题型二 函数与方程思想在不等式中的应用例2 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f xex<1的解集为( )A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.(－∞，2)D.(2，＋∞) 答案 B解析 构造函数g (x )＝f xex，则g ′(x )＝e x·f ′x －e x ·f xex2＝f ′x －f xex.由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f xex在R 上单调递减.又g (0)＝f 0e＝1，所以f xex<1，即g (x )<1，所以x >0，所以不等式的解集为(0，＋∞).故选B.点评 不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.变式训练2 已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2，16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( ) A.(－∞，－2]B.[2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 D解析 ∵x ∈[2，16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1，4]， 即m ∈[1，4].不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立， 即为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立， 设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2， 则此函数在[1，4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，g 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －22>0，4x －2＋x －22>0，解得x <－2或x >2.题型三 函数与方程思想在数列中的应用例3 已知数列{a n }是首项为2，各项均为正数的等差数列，a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n(其中S n 是数列{a n }的前n 项和)，若对任意n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值. 解 因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )， 得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . 因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3.令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.点评 数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为： 第一步：分析数列式子的结构特征.第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式.第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题.变式训练3 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *).若a 8a 7＜－1，则( ) A.S n 的最大值是S 8 B.S n 的最小值是S 8 C.S n 的最大值是S 7 D.S n 的最小值是S 7答案 D解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n a 1＋a n 2n ＜n ＋1a 1＋a n ＋12n ＋1，所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列.又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例4 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2， 由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22. 故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，也满足AP →＝3PB →，此时m ＝±12.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0，Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.则3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0，即3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0， 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋2m 2－2＝0， 当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0， 所以k 2＝2－2m24m 2－1>0，解得－1<m <－12或12<m <1，综上，所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 点评 利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程.第二步：求解判别式Δ.第三步：代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换.第四步：下结论.将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围. 第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节.变式训练4 已知点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y ) ＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式解得x 2＝2c 2－b2a 2c 2＝3c 2－a2a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.高考题型精练1.关于x 的方程3x ＝a 2＋2a ，在(－∞，1]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A.[－2，－1)∪(0，1] B.[－3，－2)∪[0，1] C.[－3，－2)∪(0，1] D.[－2，－1)∪[0，1]答案 C解析 当x ∈(－∞，1]时，3x∈(0，3]，要使3x ＝a 2＋2a 有解，a 2＋2a 的值域必须为(0，3]， 即0<a 2＋2a ≤3，解不等式可得－3≤a ＜－2或0＜a ≤1，故选C.2.设函数f (x )＝e x(x 3－3x ＋3)－a e x－x ，若不等式f (x )≤0有解，则实数a 的最小值为( ) A.2e －1 B.2－2e C.1＋2e 2D.1－1e 答案 D解析 因为f (x )≤0有解，所以f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x －x ≤0，a ≥x 3－3x ＋3－xex ＝F (x )，F ′(x )＝3x 2－3＋x －1ex ＝(x －1)(3x ＋3＋e －x )，令G (x )＝3x ＋3＋e －x，G ′(x )＝3－e －x，3－e －x＝0，x ＝－ln 3，G (x )最小值G (－ln 3)＝6－3ln 3>0， F (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增， F (x )的最小值为F (1)＝1－1e ，所以a ≥1－1e，故选D.3.已知f (x )＝x 2－4x ＋4，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，函数y ＝f n (x )的零点个数记为a n ，则a n 等于( ) A.2n B.2n －1C.2n ＋1D.2n 或2n －1答案 B解析 f 1(x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，有1个零点2，由f 2(x )＝0可得f 1(x )＝2，则x ＝2＋2或x ＝2－2，即y ＝f 2(x )有2个零点，由f 3(x )＝0可得f 2(x )＝2－2或2＋2，则(x －2)2＝2－2或(x －2)2＝2＋2，即y ＝f 3(x )有4个零点，以此类推可知，y ＝f n (x )的零点个数a n ＝2n －1.故选B.4.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0，2)，x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围为____________. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142 解析 问题等价于f (x )min ≥g (x )max .f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2， 令f ′(x )>0得x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是(1，3)，单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4，x ∈[1，2]. 当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时；g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b <1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解. 综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142. 5.满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________. 答案 2 2解析 可设BC ＝x ，则AC ＝2x ， 根据面积公式得S △ABC ＝x 1－cos 2B ， 由余弦定理计算得cos B ＝4－x24x ，代入上式得S △ABC ＝x1－4－x 24x2＝128－x 2－12216.由⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，得22－2<x <22＋2.故当x ＝23时，S △ABC 有最大值2 2.6.已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点.若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________. 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋y －a2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1.7.设函数f (x )＝ln x ＋ax －1(a 为常数).(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行，求实数a 的值； (2)若函数f (x )在(e ，＋∞)内有极值，求实数a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，由f (x )＝ln x ＋a x －1得f ′(x )＝1x －ax －12，由于曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(2)＝0，即12－a2－12＝0，所以a ＝12.(2)因为f ′(x )＝1x －ax －12＝x 2－2＋a x ＋1x x －12，若函数f (x )在(e ，＋∞)内有极值，则函数y ＝f ′(x )在(e ，＋∞)内有异号零点， 令φ(x )＝x 2－(2＋a )x ＋1.设x 2－(2＋a )x ＋1＝(x －α)(x －β)，可知αβ＝1， 不妨设β>α，则α∈(0，1)，β∈(1，＋∞)， 若函数y ＝f ′(x )在(e ，＋∞)内有异号零点， 即y ＝φ(x )在(e ，＋∞)内有异号零点，所以β>e ，又φ(0)＝1>0，所以φ(e)＝e 2－(2＋a )e ＋1<0，解得a >e ＋1e －2，所以实数a 的取值范围是(e ＋1e －2，＋∞).8.已知f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＝e x －ax －1(x ∈R )，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0，得e x ≥a ，当a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a .综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞).(2)由(1)知f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x 在R 上恒成立.∵当x ∈R 时，e x>0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]. 9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值. 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2. 所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝21＋k 24＋6k21＋2k 2.又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. 所以k 的值为1或－1.10.已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值. 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2a 3＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 12＋q 2＝3a 1q ， ①a 1q ＋q 3＝2a 1q 2＋4. ② 由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2.当q ＝1时，不合题意.舍去；当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n.(2)b n ＝a n ＋log 21a n＝2n ＋log 212n ＝2n －n .所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋ (2)－n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝21－2n 1－2－n 1＋n2＝2n ＋1－2－12n －12n 2.因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0，即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10.因为n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。
高考数学专题《函数的单调性与最值》习题含答案解析
专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ） A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2+a )<f (a ) D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确. 【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确； 因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>， 因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减， 由()()320f m f m -+-<， 得()()()322f m f m f m -<--=， 于是得32m m ->，解得3m <-． 故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（ ）A ．(5,2)(0,)--+∞ B ．(,5)(0,1)-∞- C ．(3,0)(3,)-⋃+∞ D ．(5,0)(1,)-+∞【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增， 所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =， 所以(3)(3)0f f -==． 作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>， 所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩ 解得1x >或5x 0-<<， 即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（ ）A ．是奇函数，0,单调递增B ．是奇函数，0,单调递减C ．是偶函数，0,单调递减D ．是偶函数，0,单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可 【详解】解：定义域为{}0x x ≠， 因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1)x x x x x x =-++， 因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(1)0x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在0,单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数， 所以(4)(4)0f f -=-=， 所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数， 所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数． 作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<． 综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-， D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断； 【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减， 故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性. 【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-， 所以，函数()f x 为偶函数， 当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x 、1y x=在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______. 【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】练提升根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3， 故选：D.2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 所以()()()()1221f x f x f x f x -=-， 因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数， 故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =， 因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题． 故选：A3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（ ） A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C ．(D ．(11--+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围. 【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b b d a a -==-±2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-±20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<， 所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-==∈， 因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-()0,1上单调递增， 当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣； 当[)0,1t ∈时，2d t =-，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =-[)0,1上单调递减， 当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈---， 故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内单调递减 B ．()f x 的值域为R C ．()f x 在定义城内有两个零点 D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数 【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解. 【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞， 而1x和11x +在各段定义域内均为减函数， 故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误； 当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+， 当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确； 令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-， 令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数， 所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确， 故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数 【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -<，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误. 故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()0f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定. 【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数； （2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ， 则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A ．2()f x x =； B ．1()f x x=； C ．1()f x x x=+； D ．23()1x f x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”． 【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m=⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n m mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在； 对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增， 若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，2n =， 即存在“倍值区间”[0,2； 故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3 【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦， ∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，． 【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题． 【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >． 即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，. 故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，. 10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3- 【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+， 当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+， 此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±； ③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-，解得3a =-3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3-.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==， 练真题1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D.5.(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③。
高考高三数学测试题—函数
高考高三数学测试题—函数高三数学测试题—函数（1）一、选择题（本题每小题5分，共60分）（1）若},4,2,0{},2,1,0{,,==⊆⊆Q P Q M P M 则满足上述条件的集合M 的个数是（ ）（A ）4（B ）3 （C ）2（D ）1 （2）已知,141)4(22--=-x x f 则)(x f 的定义域是（ ）（A ）[－2，2] （B ）[0，2]（C ）]2,1()1,0[ （D ）]2,3()3,2[--- （3）已知210)(1-=-x x f ，则=-)8(1f（ ）（A ）12（B ）8（C ）4（D ）2 （4）函数21x x y -+=的最大值和最小值分别是（ ） （A ）0,2 （B ）1，－1（C ）1,2- （D ）2,2- （5）函数)1(||log >=a a y x a 的图象是（ ）（6）关于x 的方程3log 4log23a x a = 的解集是（ ）（A ）φ（B ）{－2}（C ）{2}（D ）{－2，2}（7）关于x 方程)1,0(22≠>++-=a a a x x a x 且 的解的个数是（ ）（A ）1（B ）2（C ）0（D ）视a 的值而定（8）)(x f 定义域为R 的增函数，且值域为R +，则下列函数中为减函数的是（ ）（A ）)()(x f x f -+ （B ）)()(x f x f -- （C ）)()(x f x f -⋅（D ）)()(x f x f -（9）设02lg lg 22=--x x 的两根是α、β，则βααβlog log +的值是（ ）（A ）－4（B ）－2（C ）1（D ）3（10）设),()(+∞-∞是x f 上的奇函数，)5.7(,)(,10),()2(f x x f x x f x f 则时当=≤≤-=+=（ ）（A ）0.5（B ）－0.5（C ）1.5（D ）－1.5（11）函数),2[log +∞=在x y a 上恒有|y|＞1，则a 的取值范畴是（ ） （A ）)2,1()1,21( （B ）)2,1()21,0( （C ）（1，2）（D ）),2()21,0(+∞（12）函数|,12|)(-=x x f 若a ＜b ＜c ，且)()()(b f c f a f >>，则下面四个式子中成立的是（ ）（A ）0,0,0<<<c b a （B ）0,0,0>≥<c b a （C ）c a22<-（D ）222<+ac二、填空题（本题每小题4分，共16分）（13）函数)(x f 的图象与x x g )41()(= 的图象关于直线y=x 对称，则)2(2x x f -的递减区间是 ．（14）若)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且,11)()(-=+x x g x f 则)(x f = ． （15）若)(x f =∑=-nk k x 12)(，则)(x f 的最小值是 ．（16）函数mxy 2log =当10<<x 时图象在直线x y =上方，则m 的取值范畴是 ．三、解答题（本题17—21小题每题12分，22小题14分，共74分） （17）已知a ＞0，且a ≠1，解不等式 ).1(log )4(log 14121-≥-+xxa a（18）已知a ＞0，b ＞0，x ∈R ，且.,22cos sinb a N b a M x x+=⋅=试比较M 与N 的大小，并说明理由．（19）设y x u xy y x y x 4,,0,0+==+>>求且的取值范畴．（20）一家报刊摊点从报社进报的价格是每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的报纸还能够以每份0.04元的价格退回报社，在一个月（以30天运算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天能卖出250份．但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并运算他一个月最多赚得多少元．（21）求函数)(log )1(log 11log )(222x p x x x x f -+-+-+=的定义域和值域． 。
高考数学《函数》专题复习
函数一、17届 一模一、填空、选择题1、（宝山区2017届高三上学期期末） 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为2、（崇明县2017届高三第一次模拟）设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，则((1))f f -= ．3、（虹口区2017届高三一模）定义{}()f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{}2.13=，{}44=．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）．①(2)2()f x f x =； ②若12()()f x f x =，则121x x -<； ③任意12,x x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=．.A ①② .B ①③ .C ②③ .D ②④4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知函数()y f x =是奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+．若函数()y g x =是()y f x =的反函数，则(3)g -= ．5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，且当0>x 时，⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是 【 】A ．]1,21[；B ．]1,21(；C ．]2log ,21(3；D ．]2log ,21[3．6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）函数()1f x =的反函数是_____________．7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有()*f n N ∈，且()()3f f n n =恒成立，则()()20171999f f -=____________．8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）函数x x f 2log 1)(+=（1≥x ）的反函数=-)(1x f .9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4m 和(012)am a <<，不考虑树的粗细．现用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ．设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()u f a =（单位2m ）的图像大致是……………………（ ）.A ．B ．C ．D ．10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知函数()1xf x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=▲ ．11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若函数22,0(),0xx f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(],1-∞，则实数m 的取值范围是____________12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-，则a =________．13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点)1,4(，则实数=a __________．14、（崇明县2017届高三第一次模拟）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．tan y x =B ．3xy =C ．13y x =D ．lg y x =15、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，则函数()y f x =-与()1y f x -=-的图像（ ）． A ．关于y 轴对称 B ．关于原点对称C ．关于直线0x y +=对称D ．关于直线0x y -=对称16、（普陀区2017届高三上学期质量调研）设∈m R ，若函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则)(x f 的单调递增区间是 .17、（普陀区2017届高三上学期质量调研）方程()()23log 259log 22-+=-x x 的解=x .18、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+，且11<≤-x 时，21)(x x f -=；函数⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,lg )(x x x x g ，若)()()(x g x f x F -=，则[]10,5-∈x ，函数)(x F 零点的个数是 .19、（奉贤区2017届高三上学期期末）方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________ 20、（金山区2017届高三上学期期末）函数()2xf x m =+的反函数为1()y fx -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =二、解答题1、（崇明县2017届高三第一次模拟）设12()2x x af x b+-+=+（,a b 为实常数）．（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ，都有2()33f x c c <-+成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．2、（虹口区2017届高三一模）已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断此函数在2,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域．3、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)f t +()(2)f t f =+．（1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围；（3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．4、（静安区2017届向三上学期期质量检测）设集合|)({x f M a =存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+．(1) 若22)(x x f x-=，试判断)(x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；(2) 若341)(3+-=x x x g ，且a M x g ∈)(，求a 的取值范围； (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h （R ∈k ），且2)(M x h ∈，求)(x h 的最小值．5、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知∈a R ，函数||1)(x a x f += （1）当1=a 时，解不等式x x f 2)(≤；（2）若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解，求实数a 的取值范围.6、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知函数2()2(0)f x x ax a =->. (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；(2)对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0 ()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 的解析式；(3)函数()y f x =在[ 2]t t +，的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值.7、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知函数21()(21x xa f x a ⋅-=+为实数) ． （1）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由； （2）若对任意的1x ≥ ，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围.8、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？参考答案：一、填空、选择题1、解析：1＋log 8a ＝4，log 8a ＝3，化为指数：3a ＝8，所以，a ＝221log y x =+，即：12y x -=，所以反函数为12x y -=2、－23、C4、－75、C6、()()211(1)fx x x -=-≥ 7、548、【解析】∵x ≥1，∴y=1+2log x ≥1，由y=1+2log x ，解得x=2y ﹣1，故f ﹣1（x ）=2x ﹣1（x ≥1）．故答案为：2x ﹣1（x ≥1）． 9、B 10、211、01m <≤ 12、2a =13、【解析】函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图象经过点（4，1）， 即函数a x x f ++=)1(log )(2的图象经过点（1，4）， ∴4=log 2（1+1）+a ∴4=1+a ， a=3．故答案为：3． 14、C 15、D16、【解析】由题意：函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则mx=0，故得m=0， 那么：f （x ）=23x +1，根据幂函数的性质可知：函数f （x ）的单点增区间为（0，+∞）． 故答案为：（0，+∞）． 17、【解析】由题意可知：方程log 2（9x ﹣5）=2+log 2（3x ﹣2）化为：log 2（9x ﹣5）=log 24（3x ﹣2） 即9x ﹣5=4×3x ﹣8 解得x=0或x=1；x=0时方程无意义，所以方程的解为x=1． 故答案为1． 18、【解析】定义域为R 的函数y=f （x ）满足f （x +2）=f （x ）， 可得f （x ）的周期为2， F （x ）=f （x ）﹣g （x ），则令F （x ）=0，即f （x ）=g （x ）， 分别作出y=f （x ）和y=g （x ）的图象， 观察图象在[﹣5，10]的交点个数为14．x ＝0时，函数值均为1，则函数F （x ）零点的个数是15． 故答案为：15．19、5 20、1二、解答题1、解：（1）证明：511212)1(2-=++-=f ，412121)1(=+-=-f ，所以)1()1(f f -≠-，所以)(x f 不是奇函数............................3分（2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，即bab a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数x 都成立即0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x ，对定义域内任意实数x 都成立...........................................5分所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a ．经检验都符合题意........................................8分（2）当⎩⎨⎧==21b a 时，121212212)(1++-=++-=+x x x x f ，因为02>x ，所以112>+x ，11210<+<x， 所以21)(21<<-x f .......................................10分 而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立；所以可取D =R 对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立........12分当⎩⎨⎧-=-=21b a 时，)0211212212)(1≠-+-=---=+x x f xx x （， 所以当0>x 时，21)(-<x f ；当0<x 时，21)(>x f .............14分1）因此取),0(+∞=D ，对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立． 2）当0<c 时，3332>+-c c ，解不等式321121≤-+-x 得：75log 2≤x ．所以取]75log ,(2-∞=D ，对任何属于D 的x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立.....16分2、解：（1）由二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞，得0a >且41604ac a-=，解得4ac =．……………………2分(1)4f a c =+-，(1)4f a c -=++，0a >且0c >，从而(1)(1)f f -≠，(1)(1)f f -≠-，∴此函数是非奇非偶函数．……………………6分（2）函数的单调递增区间是2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．设1x 、2x 是满足212x x a >≥的任意两个数，从而有21220x x a a->-≥，∴222122()()x x a a ->-．又0a >，∴222122()()a x a x a a ->-，从而22212424()()a x c a x c a a a a-+->-+-，即22221144ax x c ax x c -+>-+，从而21()()f x f x >，∴函数在2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增．……………………10分（3）2()4f x ax x c =-+，又0a >，02x a=，[)1,x ∈+∞ 当021x a =≥，即02a <≤时，最小值0()()0g a f x == 当021x a =<，即2a >时，最小值4()(1)44g a f a c a a==+-=+-综上，最小值002()442a g a a a a <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩……………………14分 当02a <≤时，最小值()0g a = 当2a >时，最小值4()4(0,)g a a a=+-∈+∞ 综上()y g a =的值域为[0,)+∞……………………16分3、解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+ ……2分 此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+，故()32f x x =+不属于集合M ． ……………………………4分（2）由2()lg2af x x =+属于集合M ，可得 方程22lg lg lg (2)226a a ax x =++++有实解22[(2)2]6(2)a x x ⇔++=+有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解，………7分若6a =时，上述方程有实解；若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥，解得1212a -≤+故所求a的取值范围是[1212-+． ……………………………10分 （3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔+2222(2)244x x b x bx b ++=+++⇔32440x bx ⨯+-=， ………………12分令()3244x g x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图像是连续的，当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点；当0b <时，(0)10g =-<，11()320bg b =⨯>，故()g x 在1(,0)b内至少有一个零点；故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x M ∈． ………………………16分 4、解：（1）∵1)0()1(==f f ， ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分（2）由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a ， ……………………………3分 故 1>a . ……………………………1分（3）由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分 即：)(log ]2)2[(log 33xkx x k x +>+++∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k xk x x k ……………………………3分 当01≤<-k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当10<<k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当31<≤k 时，)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分 综上：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33min k k k k x h ……………………………1分5、【解】（1）当1=a 时，||11)(x x f +=，所以x x f 2)(≤x x 2||11≤+⇔……（*） ①若0>x ，则（*）变为，0)1)(12(≥-+x x x 021<≤-⇔x 或1≥x ，所以1≥x ；②若0<x ，则（*）变为，0122≥+-xx x 0>⇔x ，所以φ∈x 由①②可得，（*）的解集为[)+∞,1。
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高考函数大题训练一．解答题（共13小题）1．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线程；（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．2．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值围．3．已知函数．（1）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，1）有极值，试求a的取值围．4．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x（a∈R），直线l：是曲线y=f（x）的一条切线．（1）求a的值；（2）设函数g（x）=xe x﹣2x﹣f（x﹣a）﹣a+2，证明：函数g（x）无零点．5．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的定义域的极值点的个数；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，数b的最大值．6．已知函数，a∈R．（1）试讨论函数f（x）极值点个数；（2）当﹣2＜a＜ln2﹣2时，函数f（x）在[1，+∞）上最小值记为g（a），求g （a）的取值围．7．已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）当a≥1时，求证：程f（x）=g（x）有唯一实根．8．已知函数f（x）=klnx﹣1+，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴垂直．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞ax 对0＜x＜1恒成立，数a的取值围．9．函数f（x）=ax2﹣（1+a）x+lnx（a≥0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=0时，程f（x）=mx在区间[1，e2]有唯一实数解，数m的取值围．10．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）≥x2恒成立，数a的取值围．11．已知函数f（x）=2lnx﹣ax2（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）=2x3图象的下，数a的取值围．12．已知函数f（x）=﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有，求a的取值围．13．已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线x﹣y﹣1﹣ln2=0相切，数a的值；（Ⅱ）若不等式（x+1）f（x）≤lnx﹣在定义域恒成立，数a的取值围．高考函数大题训练参考答案与试题解析一．解答题（共13小题）1．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线程；（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．【解答】解：（1）=﹣．∴f′（0）=2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=2，∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线程程为y﹣（﹣1）=2x．即2x﹣y﹣1=0为所求．（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，可得=﹣．令f′（x）=0，可得，当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0函数g（x）的图象如下：∵a≥1，∴，则≥﹣e，∴f（x）≥﹣e，∴当a≥1时，f（x）+e≥0．2．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x．由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，解得a=1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x=（x﹣2）（ax﹣1）e x，若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．x=2处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x=2处取得极小值；若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意．综上可得，a的围是（，+∞）．3．已知函数．（1）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，1）有极值，试求a的取值围．【解答】解：（1）求导，f′（x）=﹣a（1﹣）=，当a≤0时，对于∀x∈（0，+∞），e x﹣ax＞0恒成立，∴f′（x）＞0，x＞1；f′（x）＜0，0＜x＜1，∴单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；（2）若f（x）在（0，1）有极值，则f′（x）=0在x∈（0，1）有解，令f′（x）=0，e x﹣ax=0，a=，设g（x）=，x∈（0，1），则g′（x）=，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0恒成立，g（x）单调递减，又g（1）=e，又当x→0时，g（x）→∞，即g（x）在（0，1）上的值域为（e，+∞），∴当a＞e时，f′（x）=0，设H（x）=e x﹣ax，则H′（x）=e x﹣a，x∈（0，1），∴H（x）在x∈（0，1）单调递减，由H（0）=1＞0，H（1）=e﹣a＜0，∴H（0）=0，在x∈（0，1），有唯一解x0，∴当a＞e时，f（x）在（0，1）有极值且唯一，当a≤e时，若x∈（0，1），则f′（x）≥0恒成立，f（x）单调递增，不成立，综上，a的取值围为（e，+∞）．4．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x（a∈R），直线l：是曲线y=f（x）的一条切线．（1）求a的值；（2）设函数g（x）=xe x﹣2x﹣f（x﹣a）﹣a+2，证明：函数g（x）无零点．【解答】解：（1）函数f（x）=ln（x+a）﹣x（a∈R）的导数为f′（x）=﹣1，设切点为（m，n），直线l：是曲线y=f（x）的一条切线，可得﹣1=﹣，ln（m+a）﹣m=﹣m+ln3﹣，解得m=2，a=1；（2）证明：函数g（x）=xe x﹣2x﹣f（x﹣a）﹣a+2=xe x﹣2x﹣f（x﹣1）﹣2+2=xe x﹣x﹣lnx，x＞0，g′（x）=（x+1）e x﹣1﹣=（x+1）（e x﹣），可设e x﹣=0的根为m，即有e m=，即有m=﹣lnm，当x＞m时，g（x）递增，0＜x＜m时，g（x）递减，可得x=m时，g（x）取得极小值，且为最小值，则g（x）≥g（m）=me m﹣m﹣lnm=1﹣m+m=1，可得g（x）＞0恒成立，则函数g（x）无零点．5．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的定义域的极值点的个数；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，数b的最大值．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．f．当a≤0时，f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．f（x）在（0，+∞）上没有极值点．当a＞0时，由f′（x）＞0得x，所以，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，即f（x）在x=处有极小值．综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上没有极值点；当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．（2）∵函数f（x）在x=1处取得极值，f′（1）=a﹣1=0，则a=1，从而f（x）=x﹣1﹣lnx．因此f（x）≥bx﹣2 即1+，令g（x）=1+﹣，则，由g′（x）≥0得x≥e2则g（x）在（0，e2）上递减，在（e2，+∞）上递增，，故实数b的最大值是1﹣．6．已知函数，a∈R．（1）试讨论函数f（x）极值点个数；（2）当﹣2＜a＜ln2﹣2时，函数f（x）在[1，+∞）上最小值记为g（a），求g （a）的取值围．【解答】解：（1）根据题意，函数，则f'（x）=（x﹣1）lnx﹣2﹣a，记h（x）=（x﹣1）lnx﹣2，则，∴h'（x）在（0，+∞）上递增且h'（1）=0．∴当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x＞1时，h'（x）＞0．∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，则h（x）min=h（1）=﹣2，∴当a≤﹣2时，f'（x）≥0，f（x）在定义域上递增，∴函数f（x）无极值点，当a＞﹣2时，y=f'（x）有两变号零点，∴函数f（x）有两极值点，（2）由（1）知，f'（x）在[1，+∞）上递增，又∵f'（1）=﹣2﹣a＜0，f'（2）=ln2﹣2﹣a＞0．∴存在唯一实数t∈（1，2）使f'（t）=0，此时有a=（t﹣1）lnt﹣2，∴f（x）在（1，t]上递减，在[t，+∞）上递增，∴=，又明显a=（t﹣1）lnt﹣2在[1，+∞）上递增，∴对任意一个a∈（﹣2，ln2﹣2），都存在唯一t∈（1，2）与之对应，反之亦然．设u（t）=，t∈（1，2）∵u'（t）=﹣t（lnt+1）+1＜0∴u（t）在（1，2）上递减，∴u（2）＜u（t）＜u（1），即，∴g（a）的取值围为．7．已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）当a≥1时，求证：程f（x）=g（x）有唯一实根．【解答】解：（1）a=1时，函数f（x）=lnx﹣x，，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=﹣1．（2）程f（x）=g（x）的根⇔的根，令h（x）=，（x＞0，a≥1），①当a=1时，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，函数h（x）单调递增，程f（x）=g（x）有唯一实根．②当a＞1时，x∈（0，1）时，h′（x）＞0，x∈（1，a）时，′（x）＜0，x∈（a，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1），（a，+∞）单调递增，在（1，a）单调递减，而h（1）=﹣a﹣，x→+∞时，h（x）→+∞，函数h（x）与x轴只有一个交点，∴程f（x）=g（x）有唯一实根．综上所述：程f（x）=g（x）有唯一实根．8．已知函数f（x）=klnx﹣1+，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴垂直．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞ax 对0＜x＜1恒成立，数a的取值围．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣=，∵y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，∴f′（1）=0，即k=1，∴f′（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．（II）f（x）=lnx﹣1+，∵f（x）＞ax 对0＜x＜1恒成立，∴a＜在（0，1）上恒成立，设g（x）==（0＜x＜1），则g′（x）==，令h（x）=2x﹣xlnx﹣2（0＜x＜1），则h′（x）=2﹣lnx﹣1=1﹣lnx＞0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）=0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减，∴g（x）＞g（1）=0，∴a≤0．9．函数f（x）=ax2﹣（1+a）x+lnx（a≥0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=0时，程f（x）=mx在区间[1，e2]有唯一实数解，数m的取值围．【解答】解：（I）f′（x）=，（x＞0），（1分）（i）当a=0时，f′（x）=，令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减；（2分）（ii）当0＜a＜1时，令f′（x）=0，得x1=1，x2=＞1 （3分）令f′（x）＞0，得0＜x＜1，x＞，令f′（x）＜0，得1＜x＜，函数f（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递增，（1，）上单调递减；（4分）（iii）当a=1时，f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（5分）（iv）当a＞1时，0＜＜1 （6分）令f′（x）＞0，得0＜x＜，x＞1，令f′（x）＜0，得＜x＜1，（7分）函数f（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递增，（，1）上单调递减；（8分）综上所述：当a=0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（，+∞），单调递减区间为（1，）；当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，）和（1，+∞），单调递减区间为（，1）（9分）（II）当a=0时，f（x）=﹣x+lnx，由f（x）=mx，得﹣x+lnx=mx，又x＞0，所以m=﹣1，要使程f（x）=mx在区间[1，e2]上有唯一实数解，只需m=﹣1有唯一实数解，（10分）令g（x）=﹣1，（x＞0），∴g′（x）=，由g′（x）＞0得0＜x＜e；g′（x）＜0得x＞e，∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数．（11分）g（1）=﹣1，g（e）=﹣1，g（e2）=﹣1，故﹣1≤m＜﹣1或m=﹣1 （12分）10．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）≥x2恒成立，数a的取值围．【解答】解：（1）f'（x）=e x﹣a，①当a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，②若当a＞0，当x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，综上所述：当a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a＞0，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，（2）当x＞0时，f（x）≥g（x）恒成立，即e x﹣ax﹣1≥x2，即a≤﹣x﹣恒成立．令h（x）=﹣x﹣（x＞0），则h′（x）=．令φ（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），则φ'（x）=e x﹣1＞0在（0，+∞）恒成立，∴φ（x）在（0，+∞）单调递增，∴φ（x）＞φ（0）=0，令h′（x）=0，解得x=1，∴当x∈（0，1）时，即h'（x）＜0，则h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，即h'（x）＞0，即h'（x）＞0，则h（x）单调递增，∴h（x）min=h（1）=e﹣2，∴a∈（﹣∞，e﹣2]．11．已知函数f（x）=2lnx﹣ax2（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）=2x3图象的下，数a的取值围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2lnx﹣x2，定义域为（0，+∞），=，令f'（x）=0，则x=1，∵x∈（0，1）时，f'（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，∴x=1时，f（x）极大值=f（1）=﹣1；无极小值．（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=2x3﹣2lnx+ax2，由题意，函数f（x）的图象始终在函数g（x）=2x3图象的下，等价于F（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即2x3+ax2﹣2lnx＞0恒成立，得到（x∈（0，+∞））．令（x＞0），，显然h'（1）=0，又函数y=2﹣2x3﹣4lnx在（0，+∞）上单调递减；所以当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，则h（x）≤h（1）=﹣2，因此a＞﹣2，所以a∈（﹣2，+∞）．12．已知函数f（x）=﹣ax+（a﹣1）lnx，其中a＞2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，恒有，求a的取值围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），f′（x）=x﹣a+=，令f'（x）=0，则x2﹣ax+a﹣1=0，即（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]=0，x=1或x=a﹣1，因为a＞2，所以a﹣1＞1当x∈（0，1），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（1，a﹣1），f'（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x∈（a﹣1，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）为增函数；（Ⅱ）设x1＞x2，则不等式等价于f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1，整理得到f（x1）+x1＞f（x2）+x2，令g（x）=f（x）+x=x2﹣ax+（a﹣1）lnx+x，即函数g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，g′（x）=x﹣（a﹣1）+，不等式x﹣（a﹣1）+≥0恒成立，而x+≥2，所以2≥a﹣1，因为a＞2，所以≤2⇒2＜a≤5．13．已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线x﹣y﹣1﹣ln2=0相切，数a的值；（Ⅱ）若不等式（x+1）f（x）≤lnx﹣在定义域恒成立，数a的取值围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由f（x）=lnx﹣ax，得，设切点横坐标为x0，依题意得，解得，即实数a的值为1．（Ⅱ）由在定义域恒成立，得在定义域恒成立，令，则，再令，则，即y=h（x）在（0，+∞）上递减，又h（e）=0，所以当x∈（0，e）时，h（x）＞0，从而g'（x）＞0，g（x）在x∈（0，e）递增；当x∈（e，+∞）时，h（x）＜0，从而g'（x）＜0，g（x）在x∈（e，+∞）递减，所以g（x）在x=e处取得最大值，所以实数a的取值围是．。