三角函数的参数问题
三角函数中的参数问题的解决
三角函数中的参数问题的解决
三角函数中的参数问题是一个常见的问题类型，通常涉及到给定某些参数，如角度、边长等，然后要求解其他参数。
解决这类问题通常需要使用三角函数的性质和公式，以及一些基本的代数和几何知识。
解决三角函数中的参数问题的步骤如下：
1. 识别问题类型：首先需要确定问题属于哪种类型，例如求解角度、边长、高度等。
2. 建立数学模型：根据问题类型，建立相应的数学模型。
这通常涉及到设置变量、建立方程或不等式等。
3. 使用三角函数性质和公式：根据问题类型和建立的数学模型，选择适当的三角函数性质和公式进行计算。
例如，如果要求解角度，可以使用三角函数的定义和性质；如果要求解边长，可以使用正弦定理、余弦定理等公式。
4. 解方程或不等式：根据建立的数学模型和选择的三角函数性质和公式，解方程或不等式，得出所需参数的值。
5. 验证答案：最后，需要验证所得答案是否符合实际情况。
这可以通过代入原问题或进行一些简单的检验来完成。
下面是一个具体的例子：
题目：在直角三角形ABC中，已知∠A=30°，BC=2，求AC的长。
分析：这是一个求解边长的问题，可以通过使用三角函数的性质和公式来解决。
解答：
1. 设AC为x。
2. 根据三角函数的基本性质，我们知道sin30°=1/2。
因此，我们可以建立方程：sin30°=BC/AC，即2/x=1/2。
3. 解这个方程，我们得到x=4。
4. 验证答案：将x=4代入原问题，我们可以发现这是一个符合实际情况的答案。
因此，AC的长为4。
三角函数的值域问题
y sin x
y cos x
2
(k∈z)
2
时y min 1 x 2k 时y min 1
(k∈z)
二、新课讲解
• 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出 取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出 最大值、最小值分别是什么？ • (1)y=2sinx, xR • (2)y=-3sinx,xR • (3)y=asinx,xR(a>0) • (4)y=asinx,xR(a<0) • (5)y=asinx,xR(a≠0)
类型二：求y A sin( x )型函数的的值域与最值
例3：求函数y 2 sin( 2 x )的最值，并求取得最值时 3 自变量x的集合。
1 变式1：函数y 3 2 sin( x )的值域为 ______ . 2 3 变式2：已知y a sin( 2 x ) b(a 0)的最大值为3, 3 最小值为 1, 求a, b的值.
当题目中有出现自变量x属于某个小区间，那么
要用换元 2 x )的范围。 3
类型三：值域与最值的应用
延伸:
0 (2014 湖北高考改编)某实验室一天的温度(单位： C)
随时间t (单位：h)的变化近似满足函数： t )，t 0,24 12 6 求实验室一天的最大温差。 f (t ) 10 2 sin(
1.在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx和 y= cosx， x[0, 2]的简图：
y
1
一.复习
y=cosx，x[0, 2]
2
o
-1
2
3 2
三角函数中的参数w的范围问题
三角函数中的参数问题三角函数中的参数范围问题是三角函数中中等偏难的问题，很多同学由于思维方式不对，导致问题难解。
此类问题主要分为四类，它们共同的方法是将相位看成整体，结合正弦函数或余弦函数的图像与性质进行求解。
【题型示例】1.已知,0ω函数在上单调递减，则ω的取值范围是（）A. B. C. D.2.已知函数在上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为（）A. B. C. D.3.已知函数，若的图象的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间，则ω的取值范围是（）A、 B. C. D.4.已知函数，其中，，若且恒成立在区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（）A.11B.13C. 15D.17【专题练习】1.已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（）A. B. C. D.2.已知函数，若方程在上有且只有四个实根数，则实数ω的取值范围为（）A. B. C. D.3.将函数的图像向右平移个单位后,所得图像关于y轴对称,则ω的最小值为（）A.2B. 1C.D.4.已知函数的图象过点,若对恒成立，则ω的最小值为（）A. 2B.10C.4D.165.已知函数，若对满足的，有，若对任意恒成立，则φ的取值范围是（）A. B. C. D.6.将函数的图象向右平移个单位,得取函数的图象,若在上为减函数,则ω的最大值为（）A.2B. 3C.4D.57.函数在内的值域为,则ω的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知函数，若且在区间上有最小值，无最大值，则ω的值为（）A. B. C. D.。
三角函数中的参数求值或求范围问题
三角函数中的参数求值或求范围问题
1、等式恒成立型
这一类型包括奇偶性概率、周期性概念、存在性问题三种，解决方法有一般定义法或先用特值求解再进行证明两个思路。
例1、若是奇函数，求θ的值。
若是偶函数呢？
解法1：（定义法）因为是奇函数，所以对恒成立，即
恒成立，所以为所求。
解法2：（特值法）因为是奇函数，所以f(0)=0，得，故，此时，而
，故为所求。
解法3：因为是奇函数，所以对恒成立，即
恒成立，进而恒成立，所以，即为所求。
2、不等式恒成立型
这类问题的理论依据是：若将含参数t的关于x的不等式分离
，通过求g(x)的最值，再求t的取值范围。
（1）；
（2）。
例2、已知函数
恒成立，求实数a的范围。
解析：
，由，由对。
3、函数最值型
此类问题主要是分离变量转换为求函数值域或者转换为二次函数分类讨论求最值。
例3、若函数
的最小值是－6，求实数a的值。
解析：令。
（1）上递增，所以
，得a=－7。
（2）当时，g(t)在[－1，1]上递减，所以
，得a=7；
（3）当
时，g(t)在
递增。
所以，舍去；综上所述，得。
三角函数的性质求解参数问题
应用三角函数的性质求解参数问题知识拓展 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ,ω≠0),则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．3．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2,k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π,k ∈Z 确定其横坐标． 题型分析(一) 与函数最值相关的问题【例1】已知函数2()2cos 2f x x x m =--． （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间；（2）若53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值． 【分析】（1）()f x 化为1sin(2)62x m π---,可得周期22T ππ==,由222262k x k πππππ-+≤-≤+可得单调递增区间；（2）因为53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以42,643x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,进而()f x 的最大值为1102m --=,解得12m =.（2）因为53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以42,643x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,则当262x ππ-=,3x π=时,函数取得最大值0, 即1102m --=,解得12m =． 【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最值；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值.【小试牛刀】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考】若方程22sin sin 0x x m +-=在[)0,2π上有且只有两解，则实数m 的取值范围_____．【答案】()11,38⎧⎫⋃-⎨⎬⎩⎭【解析】[]221122,sin 1,148m t t t t x ⎛⎫=+=+-=∈- ⎪⎝⎭所以当(]11,38m m =-∈或时， y m = 与22y t t =+ 只有一个交点，当3m =时1t =，方程22sin sin 0x x m +-=只有一解所以要使方程22sin sin 0x x m +-=在[)0,2π上有且只有两解，实数m 的取值范围()11,38⎧⎫⋃-⎨⎬⎩⎭(二) 根据函数单调性求参数取值范围如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.【例2】已知ω＞0,函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减,则ω的取值范围是________． 【分析】根据y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减,列出关于ω的不等式组 【解析】 由π2＜x ＜π,ω＞0得,ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4,又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减,所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.【答案】⎣⎡⎦⎤12，54【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．【小试牛刀】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若函数sin y x ω=在区间[]0,2π上单调递增，则实数ω的取值范围是________．【答案】10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得][0,0,2,22x ππωωωπ⎡⎤>∈⊂-⎢⎥⎣⎦ ，所以102024πωπω<≤⇒<≤ 5．(三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围 【例3】已知函数2()[2sin()sin ]cos 3sin 3f x x x x x π=++-．(1)若函数)(x f y =的图像关于直线(0)x a a =>对称,求a 的最小值; (2)若存在05[0,],12x π∈使0()20mf x -=成立,求实数m 的取值范围. 【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将)(x f 化为)32sin(2)(π+=x x f ,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出a 的最小值即可；(2)根据05[0,],12x π∈的范围求出320π+x 的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f (x 0)的值域,从而可求出＝00021()20()sin(2)3mf x m f x x π-=⇒==+的取值范围． (2)00021()20()sin(2)3mf x m f x x π-=⇒==+0057[0,],212336x x ππππ∈≤+≤Q 01sin(2)123x π∴-≤+≤故(,2][1,)m ∈-∞-⋃+∞．【点评】对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断．【小试牛刀】【2018届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,所得的图象关于y 轴对称,则ϕ的最小值是 【答案】8π【解析】函数()sin2cos22sin 24f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,得到2sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 图象关于y 轴对称,即()242k k Z ππϕπ+=+∈,解得1=28k πϕπ+,又0ϕ>,当0k =时,ϕ的最小值为8π.(四) 等式或不等式恒成立问题在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围.【例4】已知不等式262sin cos 6cos 0444x x x m +--≥对于,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数m的取值范围是 【答案】22m ≤【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 的最小值大于A ；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 最大值小于B ．【小试牛刀】【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,若对任意的实数5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,都存在唯一的实数[]0,m β∈,使()()0f f αβ+=,则实数m 的最小值是__________．【答案】2π【解析】函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,若对任意的实数5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦, 则：f （α）∈[﹣2,0],由于使f （α）+f （β）=0,则：f （β）∈[0, 2]．sin 06πβ⎡⎛⎫-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦, 0β63ππ≤-≤,β=2π,所以：实数m 的最小值是2π．故答案为： 2π(五) 利用三角代换解决范围或最值问题由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的范围,达到解决问题的目的.【例5】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是他们的一个公共点,且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为__________． ABC .3D .2 【解析】设椭圆方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0),双曲线方程为222211x y a b-=(a ＞0,b ＞0),其中a＞a 1,半焦距为c ,于是|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|PF 1|－|PF 2|＝2a 1, 即|PF 1|＝a ＋a 1,|PF 2|＝a －a 1, 因为123F PF π∠=,由余弦定理：4c 2＝(a ＋a 1)2＋(a －a 1)2－2(a ＋a 1)(a －a 1)即4c 2＝a 2＋3a 12,即221()3()4a a cc+= 令ac ＝2cosθ＝2sinθ所以11112cos 3a a e e c c θθ+=+=≤【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁. 【小试牛刀】已知实数,x y 满足221x y +=,则()()11xy xy -+的最小值为【答案】43【解析】由221x y +=,可设cos ,sin x y θθ== ,则()()11xy xy -+=111sin 21sin 222θθ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2131sin 244θ=-≥.五、迁移运用1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的图像与x 轴的交点A ， B ， C 满足2OA OC OB +=，则ϕ=________.【答案】34π【解析】不妨设0x ωϕ+=， πx ωϕ+=， 2πx ωϕ+=，得π2π,,B A C x x x ϕϕϕωωω--=-==，由2OA OC OB +=，得3π22ϕϕωω-=，解得3π4ϕ=. 2．【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】若函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π， 3π， 23π，则实数ω的值为____． 【答案】4 【解析】2362T πππ=-=，所以4ω=。
专题10 三角函数性质、最值和ω题型归类(解析版)
专题10 三角函数性质、最值和ω题型归类一、重点题型目录【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域 【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数 【题型】六、五点法求三角函数的解析式 【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数 二、题型讲解总结【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在56x π=时取得最大值，则()f x 在[π,0]-上的单调增区间是（ ） A ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】D【分析】根据题意可得5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则可求出ϕ，由于0A >，所以利用正弦函数的性质可求出答案.【详解】解：因为函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在5π6x =取最大值所以5πsin 6A A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 62k k ϕ+=+∈，得ππ,Z 3k k ϕ=-+∈ 又因为π02ϕ-<< 所以π3ϕ=-， 所以π()sin (0)3f x A x A ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由πππ2π2π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，得5ππ22,Z 66ππk x k k -+≤≤+∈， 所以()f x 的递增区间为()π5π2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[π,0]-上的单调增区间是π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：D ．例2．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是（ ）A ．,112π⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据余弦型函数，求出其对称中心即可判断作答.【详解】在函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭中，由2,Z 62x k k πππ-=+∈得，,Z 23k x k ππ=+∈， 所以函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是(,1)(Z)23k k ππ+∈，显然B ，D 不满足，A 不满足，当0k =是，对称中心为(,1)3π，C 满足.故选：C例3．（2022·湖北·宜都二中高三期中）已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象可由()cos g x A x ω=图象向右平移π9个单位长度得到B ．()f x 图象的一条对称轴的方程为5π9x =-C ．()f x 在区间29π17π,3636⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()2f x ≥的解集为2k π2π2k π,()393k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】ABD【分析】根据函数的振幅、周期、及过点4,49π⎛⎫-⎪⎝⎭可求得π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 对于选项A ：利用函数图象的平移检验即可；对于选项B ：令ππ3π,62x k k +=+∈Z 可解得()f x 图象对称轴的方程,检验是否能取到5π9x =-即可. 对于选项C ：求出π9π5π3,644x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，验证正弦函数在9π5π,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭是否单调增.对于选项D ： 直接解三角不等式π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即可获得答案.【详解】由题意知34ππ4,4918A T ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，解得2π3T =，所以2π3T ω==， 所以()4sin(3)f x x ϕ=+.又点4,49π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()f x 的图象上， 所以4π4sin 349ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以4π3π2π,32k k ϕ+=+∈Z ， 解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，又||2ϕπ<，所以ϕ=π6， 所以π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将π()4cos34sin 32g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向右平移π9个单位可得πππ4sin 34sin 3()926y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；令ππ3π,62x k k +=+∈Z ，解得ππ,93k x k =+∈Z ，令2k =-得5π9x =- 所以()f x 图象的对称轴的方程为5π9x =-.故B 正确； 当29π17π,3636x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π9π5π3,644t x ⎛⎫=+∈-- ⎪⎝⎭，sin y t =在9π5π,44t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不是单调递增的，故C 错误；令()2f x ≥，即π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π32π,666k x k k +≤+≤+∈Z ，解得2π2π2π,393k k x k ≤≤+∈Z ，即()2f x ≥的解集为2π2π2π,()393k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故D 正确. 故选：ABD.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()[]π4sin 2,π,03f x x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是________．【答案】7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用正弦函数的单调性以及整体代入的方法，求出()f x 的单调递增区间，结合[]π,0x ∈-，得出答案．【详解】由()πππ2π22πZ 232k x k k -+≤-≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈，当1k =-时，13π7π,1212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；又因为[]π,0x ∈-，所以()f x 的单调递增区间为7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心例5．（2023·全国·高三专题练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】先根据辅助角公式得到三个式子的和小于得到在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+三个值中，，再举出例子，得到三个值中，有2个值符合要求，故得到答案.【详解】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cos sin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=>sin cos βγ+=+>sin cos 1γα+=<的个数最多有2个. 故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知()1cos cos 2222x x x f x ⎫=+-⎪⎭，若存在0ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】先化简()f x 的解析式，不等式()205122f x m m ≤--在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上能成立等价于()2min 51,22f x m m -≤-求得()f x 的最小值后解不等式即可求解【详解】()21sin cos 2222x x xf x =+-1cos 11cos 222x x x x +=+-=+ cossin sin cos 66xx x π=+. sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0π ,33x π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解则 ()2min 51,22f x m m -≤-π,33x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ πππ,662x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦1sin 126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭ 当3x π=-时，()f x 取得最小值，ππ1sin 362f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以 2511,222m m --≥-解之得：52m或0m m ∴的取值范围是(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：B例7．（2022·湖南·高三开学考试）若函数()22cos f x x x m ++在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6，则下列结论正确的是（ ） A ．5π512f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2π是函数()f x 的一个周期C ．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()4c f x c <<+恒成立，则实数c 的取值范围是[)2,3D ．将函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 是一个偶函数 【答案】BD【分析】先根据三角恒等变换整理得()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，以π26x +为整体，结合正弦函数图像与性质运算求解，并运用图像平移处理求解判断．【详解】()2π2cos cos212sin 216f x x x m x x m x m ⎛⎫++=+++=+++ ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则ππ7π2,666x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当π6x =时，()f x 的最大值为6，即3m =，所以5π412f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项A 不正确； ∵()f x 的最小正周期2ππ2T ==，则2π是函数()f x 的一个周期，选项B 正确； 当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()36f x ≤≤，所以不等式()4c f x c <<+恒成立，则364c c <⎧⎨<+⎩，解得23c <<，选项C 不正确；函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()πππ2sin 242sin 242cos24662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()g x 是一个偶函数，选项D 正确. 故选：BD ．例8．（2023·广东·高三学业考试）已知函数22()cossin 22x xf x a =--，R a ∈ (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，求a 的取值范围．【答案】(1)22[]k k πππ-， ，k ∵Z (2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，再结合余弦函数的单调性求解即可；（2）转化为方程cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解即可.（1）22()cos sin cos 22x xf x a x a =--=- 当22k x k πππ-≤≤ ，k ∵Z 时，()f x 单调递增，∵函数()f x 的单调递增区间为22[]k k πππ-，，k ∵Z ． （2）函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，也就是cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解．∵当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1cos ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．∵a 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域例9．（2023·全国·高三专题练习）若将()sin 214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A1 B ．2C 1D ．2【答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，再求()g x 在闭区间上的最值【详解】因为()si 1442n g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()min 1g x =． 故选：C例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()()f x f x π+=B ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称C ．若125012x x π<<<，则()()12f x f x < D ．对1x ∀，2x ，3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()()132f x f x f x +>成立【答案】ACD【分析】利用正弦型函数的周期公式求周期判断A ，利用正弦型函数的对称性可判断B ，利用正弦型函数的单调性可判断C ，利用正弦型函数的值域可判断D.【详解】∵函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的周期22T ππ==，所以()()f x f x π+=恒成立， 故A 正确；又2sin 216f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 11663f πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2sin 11663f πππ⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6666f f ππππ⎛⎫⎛⎫+≠--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象不关于原点对称，故B 错误；当50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，所以22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()1,3f x ⎤∴∈⎦，又)213>，即min max 2()()f x f x >，所以对123,,[,],32x x x ππ∀∈有132()()()f x f x f x +>成立，故D 正确.故选：ACD.例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，点D 位于以AB 为直径的半圆上（含端点A ，B ），ABC 是边长为2的等边三角形，则AD CB ⋅的取值可能是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．4【答案】BC【分析】建立坐标系，利用数量积的坐标表示求AD CB ⋅，化简求其范围，由此可得结论. 【详解】如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()1,0A -，()10B ,，(0,C .令()cos ,sin D θθ，其中0θπ≤≤，则()cos 1,sin AD θθ=+，(1,CB =，所以cos 12sin 16AD CB πθθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭.因为0θπ≤≤，所以7666πππθ≤+≤，所以1sin 126πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以[]2sin 10,36AD CB πθ⎛⎫⋅=++∈ ⎪⎝⎭.故选：BC.例12．（2023·全国·高三专题练习）函数()ππsin 36f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______．【答案】2【分析】利用三角诱导公式和恒等变换化简得到()2cos f x x =，从而求出最大值.【详解】()πππππsin cos 36362f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππcos 2sin 2sin 2cos 33362x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故函数()f x 的最大值为2 故答案为：2【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．3x π=时()f x 取得最小值C ．()f x 关于3x π=对称 D ．512x π=时()f x 取得最大值 【答案】D【分析】结合二倍角正弦公式和辅助角公式化简()f x ，再结合正弦函数性质判断各选项.【详解】因为()2sin cos f x x x x =，所以()sin 2f x x x =，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，A 错误，2sin 22333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BC 错误，552sin 2212123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A．1 B ．1C ．1D ．3【答案】C【分析】利用换元法，令sin cos t x x =+，则原函数可化为21y t t =+-，再根据二次函数的性质可求得其最大值【详解】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[t ∈，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[t ∈，对称轴为12t =-，所以当t =时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为211=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为1 故选：C例15．（2023·全国·高三专题练习）函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．3【答案】C【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到1()sin(2)26f x x π=+-，然后再求其在区间[,]42ππ上的最大值．【详解】解：因为2()sin cos f x x x x =，所以1cos 21()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．例16．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）已知函数()3sin 222f x x x =+，则下列选项正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f xD ．曲线()y f x =关于直线π6x =对称 【答案】ACD【分析】化简()πsin 26⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x .利用周期公式求出周期可判断A ；计算π3⎛⎫⎪⎝⎭f 可判断B ； 利用π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x 可判断C ；计算π6f ⎛⎫⎪⎝⎭可判断D【详解】()3πsin 22sin 226f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 对于A ，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；对于B ，πππ20336f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()max f x C 正确；对于D ，πππ2666f ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 正确.故选：ACD.【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.【详解】由f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，即12618T ππ≥-，可得29T π≥，则ω≤9；∵4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为：()1214T k ⨯-，k ∵N *．要求ω最大，则周期最小，∵()12142k T π-⨯=，则T 221k π=-；∵ω＝2k ﹣1；当9ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 94f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在5,366ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，不合题意； 当7ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=，可得()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在3,1828ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，在3,286ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，不合题意；当5ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在,186ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，符合题意；故选：C ．例18．（2023·全国·高三专题练习）若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin()4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．3【答案】C【分析】根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则πππ,N 442k k ωπ-=+∈，即43,N k k ω=+∈， 由πππ242x ω-≤-≤得π3π44x ωω-≤≤，则函数πsin()4y x ω=-在π3π[,]44ωω-上单调递增， 而函数πsin()4y x ω=-在区间π[0,]12上不单调，则3π412πω<，解得9ω>， 所以ω的最小值为11. 故选：C例19．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()()πsin 026f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，()()π0f x f x ++=，()()()0πf f αβαβ=<<<，则（ ）A ．()()4πf x f x =+B ．()()9π0f x f x ++=C ．()()12f f αββα+<-= D ．()()12f f βααβ-<+=【答案】AB【分析】推导出()()2πf x f x +=，可判断AB 选项；求出2π3αβ+=，并求出()f βα-的取值范围，可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，对任意的R x ∈，()()πf x f x +=-，则()()()2ππf x f x f x +=-+=， 所以，()()()4π2πf x f x f x +=+=，A 对；对于B 选项，()()()9ππf x f x f x +=+=-，则()()9π0f x f x ++=，B 对； 对于CD 选项，由题意可知，()f x 的最小正周期为2π，则2π12πω==，则()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，ππ7π666x <+<， 由πππ662x <+<可得π03x <<，则函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 由ππ7π266x <+<可得ππ3x <<，则函数()f x 在π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，0παβ<<<，则πππ7π6666αβ<+<+<， 所以，πππ66αβ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2π3αβ+=，所以，()2ππ5π1sin sin 3662f αβ⎛⎫+=+==⎪⎝⎭，C 错， 因为πππ7π6666αβ<+<+<，则πππ662α<+<，所以，π03α<<， 则2π2π20,33βαα⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，所以，ππ5π,666βα⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 故()1,12f βα⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，则()()12f f βααβ->+=，D 错.故选：AB.【题型】六、五点法求三角函数的解析式例20．（2023·全国·高三专题练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，周期为2π，初相位为π2，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =-【答案】A【分析】由振幅可得A 的值，由周期可得ω的值，由初相位可得ϕ的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.【详解】解：因为噪音的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，则1A =， 周期为2π，则2π2π12πT ω===，初相位为π2，π2ϕ=，所以噪声的声波曲线的解析式为πcos sin 2y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为sin y x =．故选：A.例21．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）函数()()sin()0,f x A x b ωϕωϕπ=++><的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的解析式为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的单调递增区间为5,(Z)1212k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象关于点,1(Z)2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对称 D ．为了得到函数()f x 的图象，只需将函数()2cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，再向上平移一个单位长度 【答案】ABD【分析】由题意求出()f x 的解析式可判断A ；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC ；由三角函数的平移变换可判断D.【详解】对于A ，由图可知，31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，可得21A b =⎧⎨=⎩，由π1sin 425π1sin 122ωϕωϕ⎧⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则1122ππ+2π,Z 465π7π+2π,Z126k k k k ωϕωϕ⎧-+=-∈⎪⎪⎨⎪+=∈⎪⎩，两式相减得：()122π4π2π33k k ω=+-， 所以()1223k k ω=+-∵，又因为π2π5ππ33212425ππ2π2π31243T T ωωωω⎧⎧≤≤+⎧⎪⎪≥⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪≤≥+≥⎩⎪⎪⎩⎩，所以332ω≤≤，结合∵，2ω=， 因为π5ππ412212-+=，所以πππ21223ϕϕ⨯+=⇒=， 所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得：()5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，故B 正确； 对于C ，令π2ππ,Z 3+=+∈x k k ，解得：ππ,Z 32=+∈k x k ， 函数()f x 的图象关于点()ππ,1Z 32k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，所以C 不正确；对于D ，将函数π2cos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到πππ2cos 22sin 2433⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦x x ，向上平移一个单位长度可得π2sin 213y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.例22．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知函数()sin 0,0,π()(||)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象．(1)求函数()g x 的解析式；(2)若对于()()2π0,,303x g x mg x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥∀-⎣-⎦∈≤恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先根据函数图象求出()f x 的解析，再利用图象变换规律可求出()g x 的解析式； （2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，从而可得[]()1,2g x ∈-，然后分()0g x =，()[1,0)g x ∈-和(,])2(0g x ∈求解即可.【详解】（1）由()f x 的图象可得2A =，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以πT =，所以2ππω=，得2ω=，所以()()(|2sin 2π|)f x x ϕϕ=+<， 因为()f x 的图象过5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以5sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以5ππ2π,Z 62k k ϕ+=-∈，得4π2π,Z 3k k ϕ=-∈， 因为||πϕ<，所以2π3ϕ=， 所以()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得32π2π2sin 22sin 3233y x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得 π2ππ2sin 32sin 3636y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，所以π1sin 3,162x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]π2sin 31,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]()1,2g x ∈-，当()0g x =时，30-≤恒成立，当()[1,0)g x ∈-时，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≤-， 因为函数3y x x=-在[1,0)-上为增函数，所以min33()12()1g x g x ⎡⎤-=--=⎢⎥-⎣⎦ 所以2m ≤，当(,])2(0g x ∈，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≥-， 因为函数3y x x=-在(0,2]上为增函数，所以max331()2()22g x g x ⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦ 所以12m ≥， 综上122m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数例23．（2023·全国·高三专题练习）要得到函数π3sin(2)3y x =+的图象，只需要将函数3cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位 C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位【答案】A【分析】由三角函数的图象变换求解【详解】π3cos 23sin(2)2y x x ==+，要得到π3sin(2)3y x =+的图象，需要向右平移πππ23212-=个单位．故选：A例24．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．将函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位得到()=y f x 的图象B ．函数()=y f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()=y f x 的图象关于直线π12x =-对称 D ．函数()=y f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AC【分析】根据图象平移写出解析式判断A ；利用正弦函数性质，整体法判断()f x 的区间单调性判断B ，代入法判断对称性，判断C 、D. 【详解】A ：根据平移过程πππ=()+1=2sin2()+1=2sin(2)+1663y g x x x ---，正确； B ：π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π2(,)333x -∈-，根据正弦函数性质()f x 在区间内不单调，错误；C ：πππ()=2sin()+1=11263f ----，此时ππ2=32x --，故直线π12x =-为对称轴，正确；D ：πππ()=2sin()+1=1633f -，故关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，错误.故选：AC例25．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，所得图像关于原点对称．若01ω<<，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为4πB ．()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．对任意的R x ∈，都有()2π=3f x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x【答案】AB【分析】利用平移后得函数是奇函数求出12ω=，则()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈判断B 正确；由π=13f -⎛⎫⎪⎝⎭判断C 错误；令()=()f x g x 分析得到公，判断D 错误.【详解】将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，可得2ππ()=2sin (+)33h x x ω-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 为奇函数，则(0)0h =，即2ππ=π33k ω-，13=+,22k k Z ω∈， 因为01ω<<，所以1=0=2k ω，，则()1π=2sin 23f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈，得2π=2π+3x k ，()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 正确；π1ππ=2sin(?)=13233f --⎛⎫⎪⎝⎭，所以3x π=不是对称轴，故C 错误；令()=()f x g x ，即1π1πsin =sin +2326x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1π1ππ1πsin +=sin +=cos 2623223x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1π1πsin =sin +=?2326x x ∴-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x故D 错误； 故选：AB.。
常考压轴02 三角函数值问题-2020年中考数学特训营(解析版)
【十大常考压轴题特训】特训02——三角函数值问题题量﹕10题；分值﹕100分；推荐时间﹕45分钟问题1. (2019 上海市)如图，在正方形ABCD 中，E 是边AD 的中点．将ABE ∆沿直线BE 翻折，点A 落在点F 处，联结DF ，那么EDF ∠的正切值是 ．ABC DE【分析】由折叠可得AE ＝FE ，∠AEB ＝∠FEB ，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到∠AEB ＝∠EDF ，进而得到tan ∠EDF ＝tan ∠AEB ＝ABAE＝ 2． ABC DEF【解答】如图所示，由折叠可得AE ＝FE ，∠AEB ＝∠FEB ＝12∠AEF ，∵正方形ABCD 中，E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE ＝12AD ＝12AB ，∴DE ＝FE ， ∴∠EDF ＝∠EFD ，又∵∠AEF 是△DEF 的外角，∴∠AEF＝∠EDF＋∠EFD，∴∠EDF＝12∠AEF，∴∠AEB＝∠EDF，∴tan∠EDF＝tan∠AEB＝ABAE＝ 2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．问题2． (2019四川省自贡市)如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α＋β）＝．αβ【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC＋∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝3a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α＋β）的值．ABCDEαβ【解答】给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED ＝∠AEC ＋∠CED ＝90°．设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝2×sin 60°•a ＝3a ， ∴AD ＝AE 2＋DE 2＝ (2a )2＋(3a )2＝7a ， ∴cos （α＋β）＝DEAD ＝ 217. 故答案为：217. 【点评】本题考查了锐角三角函数的概念、解直角三角形、等边三角形的性质，巧妙地将构造出一个等于∠α的角，将∠α转移到与∠β共顶点且共边的角上，将∠α、∠β合二为一．然后添加辅助线构造直角三角形，再利用解直角三角形的方法求解问题，本题的关键有二，其一将是解题的关键∠α转移到与∠β共顶点且共边的角上，其二是添加辅助线构造直角三角形．问题3．（2019江苏省淮安市）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点，将△CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ，则tan ∠HAP ＝ ．ABCDPH【分析】连接PB ，交CH 于E ，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到CH 垂直平分BP ，∠APB ＝90°，即可得到AP ∥HE ，进而得出∠BAP ＝∠BHE ，依据Rt △BCH 中，tan ∠BHC ＝BCBH ＝ 43，即可得出tan ∠HAP ＝43．ABCDPHE【解答】解：如图，连接PB ，交CH 于E ， 由折叠可得，CH 垂直平分BP ，BH ＝PH ， 又∵H 为AB 的中点，∴AH ＝BH ， ∴AH ＝PH ＝BH ，∴∠HAP ＝∠HP A ，∠HBP ＝∠HPB ，又∵∠HAP ＋∠HP A ＋∠HBP ＋∠HPB ＝180°， ∴∠APB ＝90°， ∴∠APB ＝∠HEB ＝90°， ∴AP ∥HE ， ∴∠BAP ＝∠BHE ，又∵Rt △BCH 中，tan ∠BHC ＝B CBH ＝ 43，∴tan ∠HAP ＝43，故答案为：43．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．问题4．（2019年内蒙古鄂尔多斯市）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt ABC ∆是“好玩三角形”，且90A ∠=︒，则tan ABC ∠= ．【分析】根据已知“有一边上的中线长等于这边的长”这个条件分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．ABCABDD图①图②【解答】①如图1中，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CE 是△ABC 的中线，设AB ＝DC ＝2a ，则AD ＝DB ＝a ，AC ＝3a ， ∴tan ∠ABC ＝AC AB ＝ 32．②如图2中，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的中线，设DB ＝AC ＝2a ，则AD ＝DC ＝a ，AB ＝3a ，∴tan ∠ABC ＝ACAB ＝ 233．，故答案为：32或233． 【点评】本题考查解三角函数的概念及计算、解直角三角形、三角形的中线的知识．解题的关键是学会用分类讨论．．．．的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考压轴题型． 问题5. (2019 贵州省安顺市)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）xA ．13B ．22C ．223D ．24【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC ＝∠CDO ，等量代换即可．x【解答】设⊙O 与x 轴负半轴交于点D ，连接CD ，∵弦CD 所对的圆周角∠COD ＝90° ∴CD 是⊙O 的直径．在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2， 则OD ＝CD 2－ OC 2＝ 42, tan ∠CDO ＝OCOD ＝ 24, 由圆周角定理得，∠OBC ＝∠CDO ，则tan ∠OBC ＝24， 故选：D ．【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．问题6. (2019 黑龙江省鸡西市)如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，:3:2AB BC =，过点B 作//BE AC ，过点C 作//CE DB ，BE 、CE 交于点E ，连接DE ，则tan (EDC ∠= )ABCDEOA ．29B ．14 CD ．310【分析】如图，过点E 作EF ⊥ 直线DC 交线段DC 延长线于点F ，连接OE 交BC 于点G ．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC 是菱形，则OE 与BC 垂直平分，易得EF ＝CG ，CF ＝12OE ＝12A B ．所以由锐角三角函数定义作答即可．AB CDE OFG【解答】∵矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ﹕BC ＝3﹕2， ∴设AB ＝3x ，BC ＝2x ．如图，过点E 作EF ⊥ 直线DC 交线段DC 延长线于点F ，连接OE 交BC 于点G ． ∵BE // AC ，CE //BD ，∴四边形BOCE 是平行四边形，四边形ABCD 是矩形， ∴OB ＝OC ，∴四边形BOCE 是菱形．∴OE 与BC 垂直平分，∴EF ＝12AD ＝12BC ＝x ，OE // AB ，四边形AOEB 是平行四边形，∴OE ＝AB ，∴CF ＝12OE ＝12AB ＝32x ．∴tan ∠EDC ＝EF DF ＝ x3x ＋ 32x＝ 29． 故选：A ．【点评】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．问题7. (2019 湖北省咸宁市)在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A ，B 恰好分别落在函数y ＝﹣1x （x ＜0），y ＝4x（x ＞0）的图象上，则sin ∠ABO 的值为（ ）A ．13B ．33 C ．54D ．55【分析】点A ，B 落在函数y ＝﹣1x （x ＜0），y ＝4x（x ＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB 的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．【解答】过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，∵点A在反比例函数y＝﹣1x（x＜0）上，点B在y＝4x（x＞0）上，∴S△AOD＝1，S△BOE＝4，又∵∠AOB＝90°∴∠AOD＝∠OBE，∴△AOD∽△OBE，∴(AOOB)2＝S△AODS△OBE＝14∴AOOB＝12设OA＝m，则OB＝2m，AB＝m2＋(2m)2＝5m在Rt AOB中，sin∠ABO＝OAAB＝m5m＝55故选：D．【点评】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值．问题8. (2019四川省自贡市)如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF ＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．817B．717C．49D．59【分析】如图，设直线x＝－5交x轴于K．由题意KD＝12CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．【解答】如图，设直线x＝5交x轴于K．由题意KD＝12CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝OEOA＝DKAD,∴OE8＝512∴OE＝10 3，∴AE＝OE2＋OA2＝(103)2＋82＝263，作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝12•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH＝82 3∴AH＝AE2－EH2＝(263)2－(823)2＝1723，∴tan ∠BAD ＝EHAH ＝ 8231723＝ 817， 故选：A ．【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．问题9. (2019 浙江省台州市)如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2cm ，BC ＝FG ＝8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G 重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（ ）D F(G)A ．14B ．12C ．817D ．815【分析】我们要想求出当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α的值，首先我们要找到什么时候两张纸片交叉所成的角a 最小，不难发现，当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小，找到最小角后，我们如何求此时tan α的值，我们就要找以∠α为内角的直角三角形，显然图中有一个三角形满足我们的条件，就是Rt △DCM ，下面我们就要求出CD 、CM 的长就可以了，利用我们特训01中讲的求线段长度的常用策略一，在Rt△CDM 中利用勾股定理就可以求出CD 、CM 的长．问题即可解决．D F(G)H【解答】如图，∵∠ADC ＝∠HDF ＝90°∴∠CDM ＝∠NDH ，且CD ＝DH ，∠H ＝∠C ＝90° ∴△CDM ≌△HDN （ASA ）∴MD ＝ND ，且四边形DNKM 是平行四边形∴四边形DNKM 是菱形∴KM ＝DM∵sin α＝sin ∠DMC ＝CD MD∴当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小，设MD ＝a ＝BM ，则CM ＝8﹣a ，∵MD 2＝CD 2＋MC 2，∴a 2＝4＋（8﹣a ）2，∴a ＝174∴CM ＝154∴tan α＝tan ∠DMC ＝CD MC ＝ 815 故选：D ．【点评】本题设计很巧妙，很好地将图形的旋转、菱形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质、三角函数融合为一体，而且还加进了最小值问题．本题的综合性较强，是一道非常好的压轴题． 问题10. (2019 湖南省张家界市)如图：正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，连接AE ，BF 交于点P ，连接PD ，则tan ∠APD ＝ ．A B C DE FP【分析】首先证明△ABE ≌△BCF ，再利用角的关系求得∠BPE ＝90°，证明A 、P 、F 、D 四点共圆，得∠AFD ＝∠APD ，可得结论．A B C DE FP【解答】连接AF ，∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CF ＝BE ，AD DF ＝2， 在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC∠ABE ＝∠C BE ＝CF ∴Rt △ABE ≌Rt △BCF （SAS ），∴∠BAE ＝∠CBF ，又∵∠BAE ＋∠BEA ＝90°，∴∠CBF ＋∠BEA ＝90°，∴∠BPE ＝∠APF ＝90°，∵∠ADF ＝90°，∴∠ADF ＋∠APF ＝180°，∴A 、P 、F 、D 四点共圆，∴∠AFD ＝∠APD ，∴tan ∠APD ＝tan ∠AFD ＝AD DF＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的性质、三角函数的定义，解决的关键是证明∠APF ＝90°．。
三角函数的最值问题(二)
解法一：去分母，原式化为
sinx－ycosx=2－2y，
即 sin（x－ ）= 2 2 y 故 | 2 2 y | ≤1，解得 4 7 ≤y≤ 4 7
1 y2
1 y2
3
3
∴ymax=
4
3
7
，ymin=
4
3
7
解法二：令 x1=cosx，y1=sinx，有 x12+y12=1 它表示单位圆，则所给函数 y 就是经过定点 P（2，2）以及该圆上
2
2
2
当 t 2 时， y 1 2 ，即 sin x cos x 2 ， 2
解得，∴ x
2k
4
(k
z) 时，
y max
1 2
2。
小结： sin cos，sin cos，sin cos 这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。 sin cos 是纽
4
2
∴ y 1 (t 2 1) t 1 (t 1)2 1
2
2
∵当 t [ 2,1] 时，函数 y 是减函数 ∴ y [1, 1 2] 2
∵当 t [1, 2] 时，函数 y 是增函数 ∴ y [1, 1 2] 2
∴ y [1, 1 2] [1, 1 2] 即 y [1, 1 2]
g(x)min h(
2) 3 ( 2
2)2 k(
2) k 2 3 k 2 2
2k 3 3 22
k 2 2k 3 0
解得 k 2 14 ，因为 k 3 2 ，所以此时无解．………………9 分 2
②当 2 k 2 即 3 2 k 3 2 时， 3
高考数学复习考点题型专题讲解3 三角中的最值、范围问题
高考数学复习考点题型专题讲解专题3 三角中的最值、范围问题高考定位 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.1.(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D.π 答案 A解析法一f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π， 得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. 法二 因为f (x )＝cos x －sin x ， 所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立， 即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4， 所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. 2.(2022·全国甲卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，136 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，196 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，83 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，196答案 C解析 由题意可得ω>0，故由x ∈(0，π)，得ωx ＋π3∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，πω＋π3.根据函数f (x )在区间(0，π)上恰有三个极值点，知5π2<πω＋π3≤7π2，得136<ω≤196. 根据函数f (x )在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋π3≤3π，得53<ω≤83.综上，ω的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤136，83.3.(2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca的取值范围是________. 答案 60° (2，＋∞)解析 △ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，所以tan B ＝3，因为0°<∠B <90°， 所以∠B ＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A <30°， 所以0<tan A <33，所以c a ＝sin C sin A ＝sin （120°－A ）sin A＝sin 120°cos A －cos 120°sin Asin A＝32tan A ＋12>2， 故ca的取值范围为(2，＋∞).4.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A1＋sin A ＝sin 2B1＋cos 2B.(1)若C ＝2π3，求B ；(2)求a 2＋b 2c2的最小值.解 (1)因为cos A 1＋sin A ＝sin 2B1＋cos 2B ，所以cos A 1＋sin A ＝2sin B cos B1＋2cos 2B －1，所以cos A 1＋sin A ＝sin Bcos B，所以cos A cos B ＝sin B ＋sin A sin B ， 所以cos(A ＋B )＝sin B ， 所以sin B ＝－cos C ＝－cos2π3＝12. 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以B ＝π6.(2)由(1)得cos(A ＋B )＝sin B ， 所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－（A ＋B ）＝sin B ，且0<A ＋B <π2，所以0<B <π2，0<π2－(A ＋B )<π2，所以π2－(A ＋B )＝B ，解得A ＝π2－2B ，由正弦定理得a 2＋b 2c 2＝sin 2A ＋sin 2Bsin 2C＝sin 2A ＋sin 2B 1－cos 2C ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2B ＋sin 2B 1－sin 2B＝cos 22B ＋sin 2B cos 2B ＝（2cos 2B －1）2＋1－cos 2B cos 2B＝4cos 4B －5cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B ＋2cos 2B －5≥24cos 2B ·2cos 2B －5＝42－5，当且仅当cos 2B ＝22时取等号， 所以a 2＋b 2c2的最小值为42－5.热点一 三角函数式的最值或范围求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，接着利用三角函数的有界性或单调性求解.例1(2022·宁波调研)已知函数f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋ 3. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝2sin π6＝1.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以，当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f (x )取到最大值2； 当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取到最小值－ 3.易错提醒 求三角函数式的最值范围问题要注意： (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；(2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx ＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求范围.训练1(2022·潍坊质检)在①函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，②函数y ＝f (x ) 的图象关于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，③函数y ＝f (x )的图象经过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－1，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.问题：已知函数f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且________，判断函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x 值；若不存在，说明理由.解f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)， 由已知函数f (x )的周期T ＝2πω＝π，得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ). 若选①，则有2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得φ＝k π－π6(k ∈Z ).又因为|φ|<π2，所以φ＝－π6， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )取得最大值，最大值为1.若选②，则有2×π6＋φ＝k π(k ∈Z )， 解得φ＝k π－π3(k ∈Z ). 又因为|φ|<π2，所以φ＝－π3， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 所以当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，函数f (x )取得最大值，最大值为1.若选③，则有2×2π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－11π6(k ∈Z ).又因为|φ|<π2， 所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，7π6，显然，函数f (x )在该区间上没有最大值. 热点二 与三角函数性质有关的参数范围与三角函数性质有关的参数问题，主要分为三类，其共同的解法是将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的ωx ＋φ看作一个整体，结合正弦函数的图象与性质进行求解. 考向1 由最值(或值域)求参数的范围例2 若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，72D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，72答案 B解析 因为ω>0，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，ωπ2－π4.又因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3.故选B.考向2 由单调性求参数的范围例3 已知f (x )＝sin(2x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增函数，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π8上有最小值，那么φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π3答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得2x －φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，2π3－φ， 又由0<φ<π2，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增函数，可得2π3－φ≤π2，所以π6≤φ<π2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π8时，2x －φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－φ，7π4－φ， 由f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，7π8上有最小值，可得7π4－φ>3π2，则φ<π4.综上，π6≤φ<π4.故选B.考向3 由函数的零点求参数的范围例4 已知a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin ω2x ，sin ωx ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ω2x ，12，其中ω>0，若函数f (x )＝a·b －12在区间(π，2π)上没有零点，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤58，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58答案 D 解析f (x )＝sin 2ω2x ＋12sin ωx －12＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4.由函数f (x )在区间(π，2π)上没有零点，知其最小正周期T ≥2π， 即2πω≥2π，所以ω≤1. 当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥k π，2ωπ－π4≤（k ＋1）π(k ∈Z )，解得k ＋14≤ω≤k 2＋58(k ∈Z ).因为0<ω≤1， 当k ＝0时，14≤ω≤58，当k ＝－1时，0<ω≤18，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58.故选D.规律方法 由三角函数的性质求解参数，首先将解析式化简，利用对称性、奇偶性或单调性得到含有参数的表达式，进而求出参数的值或范围.训练2 (1)(2022·广州调研)若函数f (x )＝12cos ωx －32sin ωx (ω>0)在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43C.⎝⎛⎦⎥⎤0，23D.(0，1](2)(2022·金华质检)将函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x 的图象向左平移π8个单位长度后，得到g (x )的图象，若函数y ＝g (ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递减，则正数ω的最大值为( )A.12B.1 C.32D.23答案 (1)A (2)A解析 (1)f (x )＝12cos ωx －32sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，当x ∈[0，π]时，π3≤ωx ＋π3≤ωπ＋π3. 又f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43， 故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43.(2)依题意，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 22＝1＋cos 22x 2＝3＋cos 4x4， 其图象向左平移π8个单位长度得到g (x )＝34＋14cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝34＋14cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2 ＝34－14sin 4x 的图象， 故g (ωx )＝34－14sin(4ωx ).令－π2＋2k π≤4ωx ≤π2＋2k π，k ∈Z ，由于ω>0，得－π8＋k π2ω≤x ≤π8＋k π2ω，k ∈Z .由于函数g (ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递减，故⎩⎪⎨⎪⎧－π8＋k π2ω≤－π12，π8＋k π2ω≥π4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤32－6k ，ω≤12＋2k ，k ∈Z ，所以当k ＝0时，ω＝12为正数ω的最大值.热点三 三角形中有关量的最值或范围三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.例5(2022·滨州二模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝5. (1)求A 的大小；(2)若a ＝2，求b 2＋c 2的取值范围. 解 (1)由已知得6sin 2A ＋cos A ＝5，整理得6cos 2A －cos A －1＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－13.又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos A ＝12，即A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a ＝2，A ＝π3得4＝b 2＋c 2－bc ， 即b 2＋c 2＝4＋bc ，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝232＝433，即b ＝433sin B ，c ＝433sin C ，又C ＝2π3－B ，所以bc ＝163sin B sin C ＝163sin B sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝833sin B ·cos B ＋83sin 2B＝433sin 2B －43cos 2B ＋43＝83sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋43， 又由⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2，0<23π－B <π2，解得π6<B <π2，所以π6<2B －π6<56π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以bc ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4，所以b 2＋c 2＝4＋bc ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤203，8.易错提醒 求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，|b －c |<a <b ＋c ，三角形中大边对大角等.训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知S ＝34(b 2＋c 2－a 2)，a ＝4.(1)求角A 的大小.(2)求△ABC 周长的取值范围. 解 (1)由S ＝34(b 2＋c 2－a 2)， 得12bc sin A ＝34(b 2＋c 2－a 2)＝34×2bc cos A ， 整理得tan A ＝3，因为A ∈(0，π), 所以A ＝π3.(2)设△ABC 的周长为L ， 因为a ＝4，A ＝π3， 由余弦定理得：42＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即42＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝14(b ＋c )2， 所以b ＋c ≤8， 又b ＋c >a ＝4，所以L ＝a ＋b ＋c ∈(8，12].一、基本技能练1.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 A解析 函数f (x )的周期T ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.2.将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( ) A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案 B解析 将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到图象的函数解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ，此函数为奇函数，所以－2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝7π6＋k π(k ∈Z )， 则当k ＝－1时，|φ|取得最小值π6.3.(2022·海南模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋2c sinC ＝2b sin C cos A ，则角A 的最大值为( ) A.π6B.π4 C.π3D.2π3答案 A解析 因为a sin A ＋2c sin C ＝2b sin C cos A ， 由正弦定理可得，a 2＋2c 2＝2bc cos A ，① 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，② ①＋②得2a 2＝b 2－c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋c 2－12（b 2－c 2）2bc＝b 2＋3c 24bc ≥23bc 4bc ＝32(当且仅当b ＝3c 时取等号)，所以角A 的最大值为π6.4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －cb＝cos Ccos B，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.43B.2 3 C.2 D. 3 答案 A解析 ∵在△ABC 中，2a －cb＝cos C cos B， ∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 整理得sin(B ＋C )＝2sin A cos B ， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0. ∴cos B ＝12，即B ＝π3，由余弦定理可得16＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤4 3.即△ABC 的面积的最大值为4 3.5.(2022·苏北四市模拟)若函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，4π3 B.⎝⎛⎦⎥⎤5π6，4π3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π3，8π3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤5π3，8π3 答案 B解析 由题意，函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为0<x <α，所以π3<2x ＋π3<2α＋π3， 又由f (x )在(0，α)上恰有2个零点， 所以2π<2α＋π3≤3π，解得5π6<α≤4π3， 所以α的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤5π6，4π3.故选B. 6.已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为π，且对x ∈R ，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，若函数y ＝f (x )在[0，a ]上单调递减，则a 的最大值是( ) A.π6B.π3 C.2π3D.5π6答案 B解析 因为函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为π， 所以ω＝2ππ＝2， 又对x ∈R ，都有f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以函数f (x )在x ＝π3时取得最小值，则2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， 即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤π＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，则函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故a 的最大值是π3，故选B.7.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________. 答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，因为ω>0，－π3ω≤ωx ≤π4ω， 由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32，故ω取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.8.已知函数f (x )＝cos ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________. 答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，136解析函数f (x )＝cos ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)， 由x ∈[0，π]，得ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，ωπ＋π3.又f (x )在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点， 则2π≤ωπ＋π3<52π， 解得53≤ω<136.9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的角平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 答案 9解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ， 所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1·sin 60°＋12c ·1·sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac＝9， 当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a＋c的最小值为9.10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A≠π2，c＋b cos A－a cos B＝2a cos A，则ba＝________；内角B的取值范围是________.答案22⎝⎛⎦⎥⎤0，π4解析由c＋b cos A－a cos B＝2a cos A结合正弦定理得sin C＋sin B cos A－sin A cos B＝2sin A cos A，即sin(A＋B)＋sin B cos A－sin A cos B＝2sin A cos A，化简得2sin B cos A＝2sin A cos A.因为A≠π2，所以cos A≠0，则2sin B＝2sin A，所以ba＝sin Bsin A＝22，则由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝2b2＋c2－b222bc＝b2＋c222bc≥2bc22bc＝22，当且仅当b＝c时等号成立，解得0＜B≤π4.11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A，且B为钝角.(1)证明：B－A＝π2；(2)求sin A＋sin C的取值范围. (1)证明由a＝b tan A及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ， 所以sin B ＝cos A ， 即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B ) ＝π－⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0， 所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.12.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x ，3sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC 的形状. 解 (1)由已知得a ＝(－sin x ，cos x )， 又b ＝(－sin x ，3sin x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 当2x －π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值32. (2)在锐角△ABC 中，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，所以A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以12＝b 2＋c 2－bc ， 所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，所以bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立)，此时△ABC 为等边三角形， S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.所以当△ABC 为等边三角形时面积取最大值3 3. 二、创新拓展练13.设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A.(2，3) B.(1，3) C.(2，2) D.(0，2) 答案 A解析 ∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A . ∵a ＝1，∴b ＝2a cos A ＝2cos A .又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2A <π2，0<A <π2，0<π－3A <π2，∴π6<A <π4， ∴22<cos A <32， 即2<2cos A <3，故选A.14.(多选)(2022·台州质检)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，则( )A.f (x )在(0，2π)上有且仅有5个零点B.f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极大值点C.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减D.ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，103答案 CD解析 因为x ∈[0，2π]， 所以ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πω＋π3. 设t ＝ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πω＋π3，画出y ＝cos t 的图象如图所示.由图象可知，若f (x )在[0，2π]上有且仅有3个极小值点， 则5π≤ 2πω＋π3<7π， 解得73≤ω<103， 故D 正确；故f (x )在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A 错误；f (x )在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B 错误； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，ωx ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π6ω＋π3.因为73≤ω<103，所以13π18≤π6ω＋π3<8π9，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减，故C 正确.15.(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝6，记S 为△ABC 的面积，则下列说法正确的是( ) A.若C ＝π3，则S 有最大值9 3 B.若A ＝π6，a ＝23，则S 有最小值3 3C.若a ＝2b ，则cos C 有最小值0D.若a ＋b ＝10，则sin C 有最大值2425答案 ABD解析 对于选项A ，对角C 由余弦定理得36＝c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ， 因此，S ＝12ab sin C ＝34ab ≤93，当且仅当a ＝b ＝6时取等号，故A 正确； 对于选项B ，对角A 用余弦定理得 12＝a 2＝c 2＋b 2－3bc ＝36＋b 2－63b ， 解得b ＝23或b ＝43， 因此，S ＝12bc sin A ＝32b ≥33，当且仅当b ＝23时取等号，故B 正确. 对于选项C ，若a ＝2b ，由三边关系可得a －b ＝b <c ＝6<a ＋b ＝3b ⇒2<b <6，此时，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝5b 2－364b 2＝54－9b 2∈(－1，1)，故C 错误.对于选项D ，若a ＋b ＝10，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－c 2－2ab 2ab ＝32ab －1，又ab ≤（a ＋b ）24＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，∴cos C ＝32ab －1≥725⇒sin C ＝1－cos 2C ≤2425，故D 正确，故选ABD.16.(2022·南京师大附中模拟)法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在△ABC 中，A ＝60°，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3，则∠O 1AO 3＝________；若△O 1O 2O 3的面积为3，则三角形中AB ＋AC 的最大值为________.答案 120° 4解析 由于O 1，O 3是正△ABC ′，△AB ′C 的外接圆圆心，故也是它们的中心， 所以在△O 1AB 中，∠O 1AB ＝30°，同理∠O 3AC ＝30°， 又∠BAC ＝60°，所以∠O 1AO 3＝120°； 由题意知△O 1O 2O 3为等边三角形，设边长为m ， 则S △O 1O 2O 3＝12m 2sin 60°＝34m 2＝3，解得O 1O 3＝m ＝2.设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，在等腰△BO 1A 中，∠O 1AB ＝∠O 1BA ＝30°，∠AO 1B ＝120°， 则AB sin 120°＝O 1Asin 30°，解得O 1A ＝c 3，同理得O 3A ＝b 3，在△O 1AO 3中，由余弦定理得O 1O 23＝O 1A 2＋O 3A 2－2O 1A ·O 3A ·cos 120°，即4＝c 23＋b 23－2·bc 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋c 2＋bc ＝12，即(b ＋c )2－bc ＝12， 故(b ＋c )2－12＝bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22， 解得b ＋c ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号，故三角形中AB ＋AC 的最大值为4. 17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2c ＝a (b 2＋c 2－a 2). (1)若A ＝π3，求B 的大小；(2)若a ≠c ，求c －3ba 的最小值.解 (1)因为b 2c ＝a (b 2＋c 2－a 2)，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b2a .因为A ＝π3，所以b 2a ＝12，即a ＝b ， 所以B ＝A ＝π3.(2)由(1)及正弦定理得cos A ＝sin B2sin A，即sin B ＝2sin A cos A ＝sin 2A ， 所以B ＝2A 或B ＋2A ＝π.当B ＋2A ＝π时，A ＝C ，与a ≠c 矛盾，故舍去， 所以B ＝2A .c －3b a ＝sin C －3sin B sin A ＝sin （A ＋B ）－3sin Bsin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B －3sin Bsin A＝cos B ＋（cos A －3）sin 2Asin A＝cos 2A ＋2(cos A －3)·cos A ＝4cos 2A －6cos A －1 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫cos A －342－134.因为C ＝π－A －B ＝π－3A >0， 即A <π3，所以cos A >12，所以当cos A ＝34时，c －3b a 有最小值－134.。
三角函数的值域和最值问题
三角函数的值域与最值一、主要方法及注意点：1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。
2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。
二、基本练习：1．求下列函数的最大、最小值：（1）x x y cos sin 32⋅= （2）x y sin 41-=解：1sin 23y x =∴y ∈[13-,13]解：50,4y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（3）1)21(sin 22++-=x y （4）1615)45(sin 2+-=x y解：7[,1]2y ∈- 解：y ∈[1,6]2．若|x|≤4π，则f(x)=cos 2x+sinx 的最小值是（ D ） A ．212- B ．221+- C ．－1 D ．221- 3．求函数的值域：（1）y=3sin x －4cosx (2)f(x)=sinx+3cosx (2π-≤x ≤2π) 解：y ∈[－5,5]解：()2sin()3f x x π=+又2π-≤x ≤2π ∴y ∈[－1,2]4．（1）求函数xxy sin cos 2-=（0<x<π）最小值。
（2）求函数2sin 1sin 3)(+-=x x x f 的最大值和最小值。
解：（1）设点A （0，2），B （－sinx ，cosx ） 又0<x<π，则点B 的轨迹如图而y 的值就是经过AB 两点的斜率，所以y.（2）21sin3yxy+=-，而sinx∈[-1,1]于是－1≤213yy+-≤1所以－4≤y≤23即y的最大值为23，最小值为－4.三、典例精析：例1．求函数y=sin x ·c osx+sinx+cosx 的最大值。
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九． 判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。
三角函数专题三角函数中ω的取值范围问题(6大题型)(原卷版)
三角函数专题：三角函数中ω的取值范围问题一、求ω取值范围的常用解题思路 1、依托于三角函数的周期性因为f(x)=Asin(ωx +φ)的最小正周期是T =2π|ω|，所以ω=2πT，也就是说只要确定了周期T ，就可以确定ω的取值. 2、利用三角函数的对称性（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x 轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.3、结合三角函数的单调性函数f (x )=Asin(ωx +φ)的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于T 2，据此可用来求ω的值或范围。
反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数f (x )=Asin(ωx +φ)在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。
二、已知函数y =Asin(ωx +φ)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，在[x 1,x 2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围 第一步：根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x 2−x 1≤12T =πω，求得0<ω≤πx2−x 1.第二步：以单调递增为例，利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[−π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围； 第三步：结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围. 三、结合图象平移求ω的取值范围 1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数()f x =平移后的函数()g x .2、平移后与新图象重合：平移后的函数()f x =新的函数()g x .3、平移后的函数与原图象关于y 轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于x 轴对称：平移前的函数()f x =平移后的函数()g x ；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
三角函数中的参数θ的范围问题
三角函数中的参数θ的范围问题
三角函数是数学中常见的函数之一，它们在解决各种问题中起
着重要的作用。
在讨论三角函数时，参数θ的取值范围是一个重要
的问题。
正弦函数的参数θ的范围
正弦函数（sine function）通常用sin(θ)表示，其中θ是角度。
在三角函数中，θ的范围应该限制在从0到360度之间，即0 ≤ θ ≤ 360。
这是因为正弦函数是一个周期函数，其图形在每个周期内重复。
以0度为起始点，360度为终点，角度可以无限地继续增加或
减小，但其对应的正弦值会重复。
余弦函数的参数θ的范围
余弦函数（cosine function）通常用cos(θ)表示，在三角函数中，θ的范围也应该限制在从0到360度之间，即0 ≤ θ ≤ 360。
与正弦
函数类似，余弦函数也是一个周期函数，其图形在每个周期内重复。
正切函数的参数θ的范围
正切函数（tangent function）通常用tan(θ)表示，在三角函数中，θ的范围也应该限制在从0到360度之间，即0 ≤ θ ≤ 360。
然而，
与正弦函数和余弦函数不同的是，正切函数在某些特殊角度处会出
现无限大的情况，例如90度和270度。
在这些角度处，正切函数
的值无法定义。
结论
在三角函数中，参数θ的取值范围是一个重要的问题。
对于正
弦函数、余弦函数和正切函数来说，θ的范围都应该限制在从0到360度之间。
这样可以确保函数的周期性，并且避免出现定义无效
的情况。
三角函数中参数ω的取值范围问题(教师版)
专题13三角函数中参数ω的取值范围问题目录①ω的取值范围与单调性结合......................................................................................1②ω的取值范围与对称性相结合..................................................................................4③ω的取值范围与三角函数的最值相结合..................................................................7④ω的取值范围与三角函数的零点相结合..................................................................9⑤ω的取值范围与三角函数的极值相结合. (16)①ω的取值范围与单调性结合1．（2023春·海南海口·高一海口一中校考期中）将函数()()π2sin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移π3ω个单位，得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的值可能为（）A ．32B ．52C ．3D ．4【答案】A【详解】由已知可得，()ππ2sin 2sin 33y x g x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣=⎦.因为π04x ≤≤，0ω>，所以π04x ωω≤≤.因为函数()g x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ππ42ω≤，所以2ω≤，又0ω>，所以02ω<≤，所以ω的值可能为32，故选：A2．（2023春·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图像，若函数(y g x =）的一个极值点是π6，且在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的值为（）A ．23B ．43C ．83D ．163【答案】A【详解】由题意得：()ππππ2sin 2sin 3636g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又函数(y g x =）的一个极值点是π6，即π6x =是函数()g x 一条对称轴，所以πππππ6362k ωω++=+，则223k ω=+（k ∈Z ），函数()g x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则函数()g x 的周期2πππ263T ω⎡⎤⎛⎫=>-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得02ω<<，则0k =，23ω=，故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）将函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π6ω个单位长度，得到函数()g x 的图像，若函数()y g x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最小值为（）A ．2B ．83C ．3D ．4【答案】A【详解】因为函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π6ω个单位长度，得到函数()g x 的图像，所以()3ππππ3sin 3sin 3cos 662g x f x x x x ωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π3π,42x ωωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为函数()y g x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以有π2ππ8882,Z 420,23π332π2π4k k k k k k ωωωω⎧+≤⎪+⎪∈⇒+≤≤=≤≤⎨⎪≤+⎪⎩，因此ω的最小值为2.故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，则实数ω的最大值为（）A ．52B ．23C ．32D ．72【答案】C【详解】由题意，将函数()cos (0)f x x ωω=>的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()ππcos cos 66y g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，若函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，πππ2π0,,,,2663x x ωωωω⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ π2π,[2π,2ππ]63k k ωω⎡⎤∴⊆+⎢⎥⎣⎦，2πππ(2ππ)2ππ362k k ωωω∴-=≤+-=，2ω∴≤又0ω>，02ω∴<≤，π2π4π0633ωω∴<<≤，0k ∴=，即π2π,[0,π]63ωω⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，π062ππ3ωω⎧>⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，解得302ω<≤，所以实数ω的最大值为32.故选：C.5．（2023春·河南郑州·高三郑州四中校考阶段练习）将函数()π2sin 1(0)5f x x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的图象向左平移π5ω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（）A ．π5B ．25πC ．2D ．3【答案】C【详解】由题意可得()()πππ=2sin 12sin 1555g x f x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π0,4x ωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.∵()y g x =在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴ππ042ω<≤,解得02ω<≤.∴ω的最大值为2.故选:C.②ω的取值范围与对称性相结合1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2cos 2101f x x x ωωω=-+<<，将()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω为（）A ．14B ．12C ．23D ．34【答案】A【详解】()π214f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数()ππ2122π444g x x x ωωω⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故2π2141ππ04π444g ωωω⎛⎛⎫-= -⎫⎛⎫+==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎭⎝⎭⎝，所以411ππ,,Z 44k k k ωω-==+∈，由于01ω<<，所以14ω=.故选：A2．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考模拟预测）将函数()sin f x x ω=(其中0ω>)的图像向右平移π2个单位长度，所得图像关于π6x =对称，则ω的最小值是A ．6B ．23C ．94D ．34【答案】D【详解】将()sin f x x ω=的图象向左平移π2个单位，可得sin sin 22y x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所得图象关于π6x =，所以,622k k Z πωππωπ⨯+=+∈所以21,32k k Z ω=+∈，即33,24k k Zω=+∈由于0ω>，故当0k =时取得最小值34.故选：D3．（2023·全国·模拟预测）将函数()()πcos 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移π9个单位长度得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为.【答案】32【详解】由题可得()6ππππcos c s 996o g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()g x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πππππ,Z 9263k k ωω+-=+∈，解得93,Z 42k k ω=+∈，0ω> ，故ω的最小值为32.故答案为：32.4．（2023·广东深圳·校考一模）将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的)*2(ωω∈N 倍后，所得函数()g x 的图像在区间(0,π)上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则ω的值为．【答案】2【详解】由题可知ππ()sin 2sin 233g x x x ωω⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为π()0,x ∈，所以πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭．所以πsin ,,3π3y x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的图像大致如图所示，要使()g x 的图像在区间(0,π)上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则π5π2ππ32ω<+≤，解得51336ω<≤，因为*ω∈N ，所以2ω=．故答案为：25．（2023·全国·高三专题练习）将函数()sin2cos 33222x x x f x ωωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(0ω>)的图象向左平移π3个单位长度,得到曲线C .若C 关于y 轴对称,则ω的最小值是．【答案】12/0.5【详解】 ()sin2cos 33222x x x f x ωωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22sincos 23sin 32221cos sin 2332sin 3cos 2sin .3x x xxx x xx ωωωωωωωπω=-+-=-⋅+=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭设曲线C 所对应的函数为()g x ,则()2sin 333g x f x x ππωπω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()g x 的图像关于y 轴对称,∴332k πωπππ+=+,k ∈Z ,解得:132k ω=+()k ∈Z , 0ω>,∴ω的最小值是12.故答案为:12.③ω的取值范围与三角函数的最值相结合1．（2023春·北京东城·高一北京二中校考阶段练习）设函数()()π2sin 012f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将函数()y f x =图像上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，若对于任意的实数x ，()π3g x g ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ω的最小值等于（）A ．118B ．78C ．58D ．18【答案】C【详解】将函数()y f x =图像上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则可得()π2sin 212g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对于任意的实数x ，()π3g x g ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则πππ2sin 223312g ω⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2πππ2π3122k ω+=+，k ∈Z ，解得538k ω=+，k ∈Z ，且0ω>，所以当0k =时，min 58ω=.故选：C2．（2023春·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）将函数()π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭先向右平移π18个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的()30ωω>倍（纵坐标不变），则所得函数()g x 图象，若()g x 在区间ππ34⎡⎤-⎢⎣⎦，上的最小值为2-，则ω的最小值等于（）A ．23B ．32C ．2D ．3【答案】B【详解】函数()π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭先向右平移π18个单位长度，得函数ππ2sin 32sin 3186y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将图象上各点的横坐标变为原来的()30ωω>倍（纵坐标不变），得函数()2sin g x x ω=，∵ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则,π4π3x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴由题意得：ππ32ω-≤-或π3π42ω≥，解得32ω≥，则ω的最小值等于32，故选：B ．3．（2023秋·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）将函数()cos f x x =的图象向右平移2π3个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，得到函数()g x 的图象，若()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω范围为（）A ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【详解】解：将函数()cos f x x =的图象向右平移23π个单位长度，可得2cos()3y x π=-的图象；再将各点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，得到函数2()cos()3g x x πω=-的图象．若()g x 在[0,2π上的值域为1[,1]2-，此时，22[33x ππω-∈-，2]23ωππ-，220233ωπππ∴-，求得4833ω，故选：A ．4．（2023春·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[]0,2π上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A ．13863⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．13863⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．318123⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．318123⎛⎤ ⎝⎦，【答案】A【详解】解：∵函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数为sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎝⎭在[]0,2π上恰有5个不同的x 值，使其取到最值；,2666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，∴9112,622πππωπ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，则正实数13863ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，故选：A ．5．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）将函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭向右平移14个周期后所得的图象在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有3个最高点和2个最低点，则ω的取值范围是．【答案】283433ω<≤【详解】函数()f x 的最小正周期为2πT ω=，将函数()f x 向右平移4T后的解析式为ππππsin sin 2236f x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππππ,6626x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，要使得平移后的图象有3个最高点和2个最低点，则需：9πππ11π2262ω<-≤，解得283433ω<≤．故答案为：283433ω<≤.④ω的取值范围与三角函数的零点相结合1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，若()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，则下列区间中，ω的一个取值区间可以为（）A ．72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．93,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．114,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．135,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【详解】依题意得π()(6g x f x =+=ππsin 63x ω⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππsin (0)63x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，当π(0,2x ∈，()ππππ2ππ,063633x ωωωωω+⎛⎫++∈+> ⎪⎝⎭，()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，因为0ω>，当πππ63ω+<，即04ω<<时，2ππ2π3π3ω+<≤，解得542ω<<；当πππ2π63ω≤+<，即410ω≤<时，2ππ3π4π3ω+<≤，解得1142ω<≤，当ππ2π63ω+≥，即10ω≥时，2πππππ5π3632ωωω+--=≥，此时()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上超过两个零点，不符合题意.综上所述：ω的取值范围是511,44,22⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.结合四个选项可知，C 正确.故选：C2．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）已知函数()2sin2(0)f x x ωω=>，将函数()y f x =的图象向左平移π12ω个单位长度后得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()g x =7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不相等的实根，则实数ω的取值范围是（）A ．313,77⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1315,77⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1517,77⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1216,77⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【详解】()π2sin 22sin 2π126g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 262πx ω⎛⎫+=⎪⎝⎭，∵7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ(71)π2,666x ωω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若关于x 的方程()g x =7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不相等的实根，则()71ππ2π2π2π363ω++≤<+，解得131577ω≤<，即实数ω的取值范围是1315,77⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B ．3．（2023·浙江金华·校考三模）已知函数()()cos 0,0f x a x a ωω=≠>，若将函数()y f x =的图象向左平移π6ω个单位长度后得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x =在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是（）A ．1024,77⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．16,47⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,47⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1624,77⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【详解】将函数()()cos 0,0f x a x a ωω=≠>向左平移π6ω个单位长度后得到函数()y g x =，即()ππcos cos 66g x a x a x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ7ππ,66126x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，∵()0g x =在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个不相等的实根，∴7ππ3π5π,12622ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得1647ω≤<，即实数ω的取值范围是16,47⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B.4．（2023·四川内江·统考三模）将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，若π0,ω⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的一个单调递增区间，且()g x 在()0,π上有5个零点，则ω=（）A ．1B ．5C ．9D ．13【答案】B【详解】解：因为函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，所以()()πsin 02g x x ωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，因为π0,ω⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的一个单调递增区间，所以，()10πsin 2g ω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即ππ2π22k ω-=-+，解得14,Z k k ω=-∈，因为()g x 在()0,π上有5个零点，作出其草图如图，所以，由上图可知，9π11ππ22ωω<≤，解得91122ω<≤，所以，当1k =-时145k ω=-=，故选：B5．（2023春·高一单元测试）已知函数()4cos f x x =，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的()10ωω>倍得到函数()g x 的图象，若函数()()2h x g x =-在()0,2π上有且仅有4个零点，则实数ω的取值范围为（）A ．[)2,3B ．82,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,3D ．8,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【详解】方法一：由题意，函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，可得π34cos y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的()10ωω>，得()π4cos 3g x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭.由()()20h x g x =-=，得π1cos 32x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π33x k ω+=-或ππ2π33ω+=+x k ，Z k ∈﹐解得2π2π3k x ω-=或2πk x ω=，Z k ∈，欲使函数()h x 在()0,2π上有且仅有4个零点，则16π4π32πωω<≤，解得823ω<≤，方法二：由方法一得()π4cos 3g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由()()20h x g x =-=，得π1cos 32x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭.令π3x t ω+=，由()0,2πx ∈，得πππ,2π333x ωω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，即ππ,2π33t ω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，欲使方程1cos 2t =在ππ,2π33t ω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上有且仅有4个实根，则13ππ17π2π333ω<+≤，所以823ω<≤，故选:B.6．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知函数()cos (,0)33f x a x x a ππωωω⎛⎫⎛⎫=-+-∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移π12ω个单位长度后得到曲线()y g x =，若方程()0g x =在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦有且仅有两个不相等实根，则实数ω的取值范围是（）A ．512,77⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．812,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【详解】ππ()cos()33f x a x x ωω=-+-1cos sin sin22a x x x x ωωωω⎛⎫⎫=++- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭3cos sin 2222a x a x ωω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，∴022a +=，1a ∴=-，故()2cos f x x ω=-，(2)2cos 2f x x ω∴=-．若将曲线(2)y f x =向左平移π12ω个单位长度后，得到曲线()y g x =，∴()ππ2cos 22cos 2126g x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()71πππ2,666x ωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，若方程()0g x =在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦有且仅有两个不相等实根，则有()71π3π5π262ω+≤<，解得827ω≤<，则实数ω的取值范围是8,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B7．（2023春·广东惠州·高一校考阶段练习）将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()y f x =的图象，若函数()y f x =在区间π(0,)2上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为．【答案】410(,33【详解】将函数y sinx =的图象向左平移3π个单位长度得到3y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()3y f x sin x πω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象，函数()y f x =在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上有且仅有一个零点，033ππω+=，(]π223ππωπ∴+∈，解得41033ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故答案为41033⎛⎤⎥⎝⎦，8．（2023·全国·高一专题练习）将函数()sin2f x x =的图像先向右平移π8个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的()20ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是.【答案】150,1,44⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【详解】将函数()sin2f x x =的图像先向右平移π8个单位长度，得到函数ππsin2sin 284y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像，再把所得函数图像的横坐标变为原来的()20ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()ππsin 2sin 244g x x x ωω⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像，当π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππππ,π4444x ωωω⎛⎫-∈--⎪⎝⎭.由()g x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，得()πππ,44ππ1π4k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩()k ∈Z ，即541,45414k k k k ω⎧+≤≤+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩()k ∈Z ，解得104ω<≤或514ω≤≤.故答案为：150,1,44⎛⎤⎡⎤ ⎢⎥⎝⎦⎣⎦.9．（2023·全国·高三专题练习）将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向右平移6πω个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()()()4F x f x g x =⋅-在[]0,2x π∈上有且只有3个零点，则ω的取值范围是.【答案】211,312⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】由已知得()cos cos 66g x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()cos cos 6F x f x g x x x πωω⎛⎫=⋅=⋅- ⎪⎝⎭211cos 21sin cos sin 2224x x x x x ωωωωω+=+-+-112sin 2sin 2423x x x πωωω⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，令1sin 2023x πω⎛⎫+= ⎝⎭，则()2Z 3x k k πωπ+=∈，所以()32k x k Z ππω-=∈在[]0,2π上有且只有三个根，分别为32ππω-，232ππω-，332ππω-，接下来第四个根为432ππω-所以33224322πππωπππω⎧-⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪>⎪⎩，解得8111212ω≤<，所以ω的取值范围是211,312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为：211,312⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．（2023春·上海虹口·高一上外附中校考期末）已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0ω>）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是．【答案】[2,4)【详解】因为函数cos ,],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0ω>）有且仅有三个零点，故必有一个零点为x =0，所以101a a +=⇒=-.所以问题等价于函数cos y x ω=与直线y =1的图像在[,]-ππ上有3个交点，如图所示：所以02424ωωπππωω>⎧⎪⇒≤<⎨≤<⎪⎩.故答案为：[2,4).⑤ω的取值范围与三角函数的极值相结合1．（2023春·河南平顶山·高三校联考阶段练习）把函数()21cos 2f x x =-的图象向左平移π6个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2ω倍（0ω>），纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在()0,2上有两个极值点、两个零点，则ω的取值范围为（）A ．7π4π,123⎛⎤⎥⎝⎦B ．5π4π,63⎛⎤⎥⎝⎦C ．7π13π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5π13π,612⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【详解】()2212cos 11cos cos 2222x f x x x -=-==，()f x 的图象向左平移π6个单位长度得1π1πcos 2cos 22623y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2ω倍，得()1πcos 23x g x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．因为()0,2x ∈，所以πππ,2333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()g x 有两个极值点，则(]π22π3π3,ω+∈，解得5π4π,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，若()g x 有两个零点，则π3π5π2322ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，解得1217π213π,ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．综上，ω的取值范围为5π13π,612⎛⎤⎝⎦.故选：D ．2．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期中）已知将函数()2sin cos (0)222x x x f x ωωωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭的图象向右平移π2ω个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 在()0,π上有3个极值点，则ω的取值范围为（）A ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．811,33⎛⎤ ⎝⎦D ．710,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【详解】因为()2sin cos 222x x x f x ωωω⎛⎫= ⎪⎝⎭22sincos222xxxωωω=-sin cos )x x ωω=--sin x x ωω=π2sin 3x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭又因为ππππ()2sin 2cos 2233g x f x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令π3t x ω=+，又因为0ω>,当π()0,x ∈时,πππ,π,333t x ωω⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭()g x 在()0,π上有3个极值点等价于()cos h t t =在ππ,π,33t ω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上有3个极值点，()cos h t t =的图象如图所示：由余弦函数()cos h t t =的性质可得:π3ππ4π3ω<+≤,解得:81133ω<≤.故选:C.3．（2023·全国·高三专题练习）将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若3π为()g x 的一个极值点，则实数ω的最小值为A ．74B ．32C ．2D ．54【答案】C【详解】分析：由三角函数的图象变换得到()sin[(12g x w x π=-，在根据3x π=是函数()g x 的一个极值点，得到()13g π=±，即可求解．详解：将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度，得到函数()sin[()]12g x w x π=-，又由3x π=是函数()sin[()]12g x w x π=-的一个极值点，则(sin[()]sin()133124w g w ππππ=-==±，所以,42w k k Z πππ=+∈，解得24,w k k Z =+∈，当0k =时，2w =，故选C ．4．（2023·全国·高三专题练习）若函数()2sin 0y x ωω=>的图象在区间,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个极值点，则ω的取值范围为A ．312ω<≤B ．332ω<≤C ．34ω≤<D ．3922ω≤<【答案】B【详解】结合题意，函数唯一的极值点只能是2x πω=-，所以有3262ππωππω⎧-⨯<-⎪⎪⎨⎪⨯≤⎪⎩得332ω<≤.故选B.。
高中数学小问题之高三：三角函数与解三角形：专题四 由三角函数图象和性质求参数值(范围)(含答案解析)
对三角函数的图像与性质的考查，是近几年高考的热点，不仅有主观题，还有客观题。
客观题常以选择填空题的形式出现，往往涉及参数问题。
此类问题对学生来讲，有一定难度，就此总结几种常见做法。
(一)利用奇偶性确定参数的值例1（1）已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3 ⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2 是偶函数，则θ的值为( ) A ．0B.π6C.π4D.π3解：∵函数f (x )为偶函数，∴θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)．又∵θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意．故选B .（2）(2015·哈尔滨模拟)若函数y ＝3cos(2x －π3＋φ)为奇函数，则|φ|的最小值为________．解：依题意得，－π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，φ＝k π＋5π6(k ∈Z)，因此|φ|的最小值是π6.故填π6.【评注】若()sin()f x A x ωϕ=+是奇函数，则k ϕπ=（k Z ∈），若是偶函数，则2k πϕπ=+（k Z ∈）；若()cos()f x A x ωϕ=+是奇函数，则2k πϕπ=+（k Z ∈），若是偶函数，则k ϕπ=（k Z ∈）．(二)利用单调性求参数的值．例2．【2014大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 解:()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫'=-+=-+=-+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【评注】三角函数的单调区间的求法： (1)代换法所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间 (三)利用周期性求参数的值．例3. 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π解：由题知2T ππω==，则2ω=，那么()02sin 1f ϕ==，则6πϕ=，知()2s i n26fx x π⎛⎫=+⎪⎝⎭又 ()()0f x t f x t +--+=得()()f x t f x t -+=+，可知()f x 关于直线x t =对称，所以2,62t k k Z πππ+=+∈，则,26k t k Z ππ=+∈，即t 的最小值为6π．故本题答案选A ． 【评注】求三角函数的周期(1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ)等类型后，用基本结论T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|来确定；③根据图象来判断．(四)利用三角函数的最值求参数的值．例 4. 函数()()2s i n 2,c o s 223(0)36f x x g x m x m m ππ⎛⎫⎛⎫=+=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()12g x f x =成立, 则实数m 的取值范围是 ．解：依题意可知()()g x f x ⊆，52,,2,336663x x ππππππ⎡⎤⎡⎤+∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故 ()[]()31,2,3,32m f x g x m ⎡⎤∈∈--⎢⎥⎣⎦，所以331232mm ⎧-≥⎪⎨⎪-≤⎩，解得41,3m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【评注】求三角函数的值域常见的有以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域．1．若()2cos()f x x m ωφ=++，对任意实数t 都有()()4f t f t π+=-，且()18f π=-．则实数m 的值等于（ ）A ．1±B ．-3或 1C ．3±D ．-1或32. 函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ） A ．24π B ．12π C ．8πD ．1124π3. 将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x=-++-+-在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．117⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．117⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C.1(][1)7-∞-+∞，， D ．[1)+∞，5. 函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则a 的值为（ ）A ．1B ．2-C ．2D ．1-6. 已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，直线6x π=是它的一条对称轴，且2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是离该轴最近的一个对称中心，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．34π7. 已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为（ ） A ．40321 B ．π40321 C ．20161D ．π201618. 将函数)32cos(3π+=x y 的图像向右平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于原点对称,则m 的最小值是 A ．4π B ．3π C ．56π D ．125π9. 函数()f x 是R 上的增函数，且(s i n )(c o s )(s i n )(c o s )f f f f ωωωω+->-+，其中ω为锐角，并且使得函数()s i n ()4g x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是 ．10. 已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω= .11. 已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=___________．12. 已知函数()23cos 2f x x =++．（1）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值．13. 已知函数21()cos cos 2f x x x x ωωω=+-（0ω>），其最小正周期为2π． （1）求()f x 在区间,84ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的减区间； （2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数根，求实数k 的取值范围．14. 已知函数()23cos cos 2f x x x x =++. （1）当63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间236ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值．15. 函数()s i n()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511[,]1212ππ． （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，若对于任意的3[,]88x ππ∈，不等式|()|1g x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1. 【答案】B 【解析】2()()428f tf t πππωϕω+=-⇒,又()()()(0)2cos()2cos cos 0sin 11344f t f t f f m m πππϕϕϕϕ+=-⇒=⇒++=+⇒=⇒=±⇒或-，故选B ． 2. 【答案】A3. 【答案】A【解析】由题意知函数()g x 2cos 23x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，周期为π，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单 调递增，则72,623a a πππ-≤≥，由四个选项可排除B ，C ，D.故选A. 4. 【答案】 D【解析】由题可知()()'sin 23cos sin 41f x x a x x a =-+++- ()()2cos sin 3cos sin 40x x a x x a =-++++≥对02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立．∵c o s i n 2s i n4x x π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，∴当 02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，1cos sin 1x -≤+≤．令()()23411g t t at a t =-++-≤≤，欲使()0g t ≥恒成立，只需()()1010g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，即()()21314011340a a a a a ⎧--+⨯-+≥⎪⇒≥⎨-++≥⎪⎩．5. 【答案】D 【解析】()ϕ++=x a y 2sin 12，a=ϕtan ，当8π-=x 时，Z k k ∈+=+⎪⎭⎫⎝⎛⨯,28-2ππϕπ,解得：Z k k ∈+=,43ππϕ,a =-=1tan ϕ，故选D ．6. 【答案】B7. 【答案】 A【解析】利用二倍角公式，化简()1sin 232f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，对任意的实数x ，都有 )2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立,也即最小值为0()f x ，最大值为0(2016)f x π+，最小就是半个周期， 即2016,40322T T ππ==，214032,24032T ππωω===． 8. 【答案】 D【解析】平移为：3cos[2()]3cos(22)33y x m x m ππ=-+=+-，它是奇函数，则0x =时，3cos(2)03y m π=-=，2,32m k k Z πππ-=+∈，,212k m k Z ππ=--∈，因为0m >，最小的m 为521212πππ-=．故选D ．9. 【答案】5(,]44π【解析】(sin )(cos )(sin )(cos )sin cos (,)42f f f f ππωωωωωωω+->-+⇒>⇒∈因为2(,)(,)(,2)42444244x ππωππππππωωππ+∈++∈+∈， 所以315(,)(,)[,]2442224πωππππωπω++∈⇒∈，综上可得ω的取值范围是5(,]44π 10. 【答案】143【解析】由题意得，)(x f 的图象关于直线4π=x 对称，那么1)34cos()4(-=+=ππωπf ，即)(3108z k k ∈-=ω，再结合ωπππ=<-243T ,得120<<ω，又因为)(3108z k k ∈-=ω，则当1=k ，ω 符合题意，即314=ω. 11. 【答案】112. 【解析】（1）∵()1c o s23i n2s i n 22226x f x x x π+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．2分 ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin2126x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．4分 ∴函数()y f x =的值域为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 当22,,,3633363x x πππωππωππω⎡⎤⎡⎤∈-+∈-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()g x 在2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，0ω>． ∴2,2,2,336322k k k Z ωππωππππππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 即223322632k k ωππππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，化简得534112k k ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩， ∵0ω>，∴15,1212k k Z -<<∈，∴0k =，解得1ω≤，因此ω的最大值为1．．．．．．．．．．．．12分（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=+，再将s i n (2)6y x π=+的图象向右平移4π个单位，得到()s i n (2)3g x x π=-．因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 若关于x 的方程()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数根， 即函数()y g x =的图象与直线y k =-在区间上只有一个交点，所以22k -≤-<或1k -=，即22k -<≤或1k =-． 14. 【解析】（1）()1cos 232sin 22226x f x x x π+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭． ∵63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，∴52666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭． ∴函数()y f x =的值域为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （2）()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当236x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，233363x πωππωππω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，， ∵()g x 在236ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，且0ω>， ∴222Z 336322k k k ωππωππππππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，． 即223322632k k ωππππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，化简得534112k k ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩， ∵0ω>，∴151212k -<<，Z k ∈，∴0k =，解得1ω≤，因此，ω的最大值为1 ，。
sin函数参数
sin函数参数Sin函数是一种基本的三角函数，用于计算角度的正弦值。
在数学中，sin函数的参数通常是一个弧度值，它表示一个单位圆上点的位置。
在计算机编程中，sin函数的参数以弧度或角度的形式提供，具体取决于编程语言的实现和要求，常见的编程语言包括C/C++、Java、Python等。
在计算机编程中，sin函数也被广泛应用于各种数学和物理问题的求解，例如计算机图形学中的三维平移、旋转等操作，计算机游戏中的角色运动、碰撞检测等问题，以及物理模拟领域中的力学、电磁学等问题的求解。
对于sin函数的参数，我们需要注意以下几点：1. 参数单位：在不同的编程语言中，sin函数的参数可以以角度或弧度的形式提供。
在C/C++中，sin函数的参数为弧度值；在Java中，sin函数的参数可以为角度或弧度，可以通过Math.toRadians()和Math.toDegrees()方法进行转换；在Python中，sin函数的参数也可以为角度或弧度，可以通过math.radians()和math.degrees()方法进行转换。
因此，在使用sin函数时，我们需要清楚地知道参数的单位，以避免计算错误。
2. 参数范围：sin函数的参数可以取任何实数值，但是我们通常只关注它在一定范围内的取值。
在计算机中，由于采用有限的位数进行浮点数表示，sin函数在极端情况下可能出现误差。
因此，在使用sin函数时，我们需要限制参数的范围，以避免计算误差。
3. 参数类型：在不同编程语言中，sin函数的参数类型可能会有所不同。
在C/C++中，sin函数的参数为double类型；在Java中，sin函数的参数可以为float、double等类型；在Python中，sin函数的参数为浮点型。
因此，在使用sin函数时，我们需要根据具体情况选择相应的参数类型，以便得到更精确的结果。
总之，sin函数是一种非常有用的数学工具，在计算机编程中被广泛应用于各种问题的求解。
sin函数参数对曲线的影响
sin函数参数对曲线的影响Sin 函数是一个周期性的三角函数，参数对曲线的影响主要体现在振幅、周期、相移和垂直平移等方面。
1.振幅的影响：振幅指的是函数图像在垂直方向上的最大偏移量，决定了函数图像的最高点和最低点的差值。
对于正弦函数 y = A*sin(x) 来说，A 是振幅。
当 A 的值增大时，曲线的波峰和波谷之间的差值也增大；而当 A 的值减小，则波峰和波谷之间的差值减小。
换言之，振幅的增大使得曲线的波动更加剧烈，而振幅的减小则使得波动更加平缓。
2.周期的影响：周期指的是函数图像的重复性，即一个完整的周期内函数图像重复的次数。
对于正弦函数 y = A*sin(Bx) 来说，周期T = 2π/B。
当 B 的值增大时，周期 T 减小，曲线收缩；而当 B 的值减小时，周期 T 增大，曲线扩展。
换言之，周期的增大使得曲线的波动变得更为缓慢，而周期的减小则使得波动变得更为迅速。
3.相移的影响：相移是指函数图像在水平方向上的平移，即左右移动。
对于正弦函数y = A*sin(B(x-C)) 来说，C 是相移的量。
当 C 的值为正时，曲线向右移动；而当 C 的值为负时，曲线向左移动。
换言之，相移的增大使得曲线整体向右平移，而相移的减小则使得曲线整体向左平移。
4.垂直平移的影响：垂直平移是指函数图像在垂直方向上的平移，即上下移动。
对于正弦函数 y = A*sin(Bx) + D 来说，D 是垂直平移的量。
当 D 的值为正时，曲线向上移动；而当 D 的值为负时，曲线向下移动。
换言之，垂直平移的增大使得曲线整体上移，而垂直平移的减小则使得曲线整体下移。
总结起来-振幅A的增大使得波动更加剧烈，振幅的减小则使得波动更加平缓。
-周期B的增大使得波动变得更为缓慢，周期的减小则使得波动变得更为迅速。
-相移C的增大使得曲线整体向右平移，相移的减小则使得曲线整体向左平移。
-垂直平移D的增大使得曲线整体上移，垂直平移的减小则使得曲线整体下移。
三角参数方程
三角参数方程三角参数方程，顾名思义，是指用参数表示的三角函数方程。
在数学中，三角函数是研究角的特性以及其在各个科学领域中的应用时不可或缺的工具。
通过使用参数，我们可以将三角函数的图像在坐标系中进行表示和描述。
三角参数方程的一般形式为：x = f(t)y = g(t)其中，f(t)和g(t)是任意给定的关于参数t的函数。
根据不同的函数选择，我们可以得到各种各样的图像。
通过调整参数的值，我们可以改变图像的形状、大小、方向以及位置。
三角参数方程在几何学和物理学中有广泛的应用。
在几何学中，我们可以利用三角参数方程来描述曲线和图形的轨迹。
例如，通过选择合适的参数函数，我们可以绘制出心形线、螺旋线和椭圆等曲线。
这些有趣的图形不仅美观，而且也有助于我们理解和探索几何学中的各种性质和定理。
在物理学中，三角参数方程经常用于描述粒子的运动轨迹。
例如，在机械振动研究中，我们可以使用三角参数方程来描述质点在弹簧上的振动。
通过选择适当的参数函数，我们可以计算出质点的位置、速度和加速度，从而更好地了解振动的规律和特性。
除了在几何学和物理学中的应用外，三角参数方程还可以在计算机图形学和计算机动画中发挥重要的作用。
通过将参数方程转化为计算机可以理解和绘制的二维或三维表示，我们可以创建出逼真、流畅的动画效果。
这为电影制作、游戏开发和虚拟现实技术等领域提供了丰富的可能性。
在学习和应用三角参数方程时，我们需要注意一些关键的概念和技巧。
首先，要理解参数的选择对图像的影响，需要熟悉各种三角函数的性质和图像变化规律。
其次，需要掌握如何通过改变参数的值来实现图像的平移、伸缩和旋转等变换。
最后，要善于利用计算工具和绘图软件来辅助研究和实践。
这些工具可以帮助我们验证和可视化参数方程的结果，加深对三角函数和参数方程的理解。
总之，三角参数方程是一个有趣而强大的数学工具。
通过使用参数，我们可以创造出各种精美的图像，解决几何学和物理学中的问题，甚至在计算机图形学和动画领域做出惊人的成就。
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＋b 的最大值和最小值分别为 6 和 2，则|a|＋b 的值为
√A.5
B.6
C.7
D.8
点评 根据三角函数图象与性质求出f(x)解析式后，问题转化为正弦函数的最值问题， 利用－1≤sin x≤1，列出方程组解决问题，体现了方程思想的运用.
例 3 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为 R 上的偶函数，其图象关于点 M34π，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求 φ 和 ω 的值.
点评 求出 ω＝23＋43k(k∈N)后进行分类计论，检验 f(x)是否在0，π2上为单调函数， 从而求出参数值.
例 4 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的图象在 y 轴上的截距为 1，在 相邻两最值点 x0，x0＋32(x0>0)处 f(x)分别取得最大值 2 和最小值－2.若函数 g(x)＝af(x)
例 2 已知函数 f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若π5，58π是 f(x)的一个单调递增区间，则
φ 的取值范围是
A.－190π，－130π
√C.1π0，π4
B.25π，190π D.－π，－1π0∪π4，π
点评 本题要求参数φ的取值范围，本质仍是单调性问题，转化为集合间关系即可 求解.
第一章 三角函数
三角函数的参数问题是三角函数中的一类热点问题，也是难点问题，下面就几 道题谈谈这类问题的破解之道.
例 1 已知 ω>0，函数 f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则 ω 的取值范围是
√A.12，54
C.0，12
B.12，34 D.(0,2)
点评 解决这类与单调性有关的参数问题，一是直接先求出括号内整体的范围，然 后列不等式求解；二是先求出f(x)的单调区间，则所给区间为该区间子集，将问题转 化为集合间的关系解决.