高中数学立体几何表面积与体积复习
高考复习数学立体几何初步第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积
第二节空间几何体的表面积与体积————————————————————————————————[考纲传真]了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(2)球的体积之比等于半径比的平方．()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD.32 cmB [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．] 3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7-2-1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )图7-2-1A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛B [设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B.]4．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8πD ．4πA [设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.]5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图7-2-2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3.图7-2-2323 [由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 的正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.](1)某几何体的三视图如图7-2-3所示，则该几何体的表面积等于( )图7-2-3A ．8＋22B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图7-2-4A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(1)B (2)A [(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为4＋22＋2＋2＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.][规律方法] 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练1] (2016·全国卷Ⅲ)如图7-2-5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )【导学号：31222245】图7-2-5A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.](1)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7-2-6所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.图7-2-6(1)C (2)2 [(1)过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示．由于V 圆柱＝π·AB 2·BC ＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝13π·CE 2·DE ＝13π·12×(2－1)＝π3，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝5π3.(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V ＝13Sh ＝13×2×1×3＝2.][规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练2] 一个几何体的三视图如图7-2-7所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.图7-2-783π [由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.]111V 的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π3B[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，则r＝2.此时2r＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝3 2.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.][迁移探究1]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．[解]将直三棱柱补形为长方体ABEC-A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC-A′B′E′C′的外接球，∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13，故S球＝4πR2＝169π.[迁移探究2]若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解]如图，设球心为O，半径为r，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.[规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[变式训练3] (2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256πC [如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O -ABC 最大为13×12R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.][思想与方法]1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高．[易错与防范]1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算．2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．课时分层训练(三十九)空间几何体的表面积与体积A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3 B.42π3C．22πD．42πB[依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝13π(2)2×22＝423π.]2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()【导学号：31222246】A.32π3B．4πC．2π D.4π3D[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝12＋12＋(2)2＝2，解得R＝1，所以V＝4π3R3＝4π3.]3．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图7-2-8所示，则该几何体的体积为()图7-2-8A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD ．1＋26πC [由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.故选C.]4．某几何体的三视图如图7-2-9所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )【导学号：31222247】图7-2-9A ．2 B.92 C.32D ．3D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝12×(1＋2)×2＝3，∴V＝13x·3＝3，解得x＝3.]5．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图7-2-10所示，则该四面体的表面积是()图7-2-10A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2B[四面体的直观图如图所示．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2.设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝2，故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2×1 2×2×2＋2×34×(2)2＝2＋ 3.]二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．【导学号：31222248】7 [设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.]7．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.]8．某几何体的三视图如图7-2-11所示，则该几何体的体积为________．图7-2-11136π [由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.]三、解答题9．如图7-2-12，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D -ABC 的体积的最大值．图7-2-12[解] 由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，∵棱AD 与棱BC 相互垂直，设d 为AD 到BC 的距离，4分则V D -ABC＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ， 当d 最大时，V D -ABC 体积最大.8分 ∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时， d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215.12分10．四面体ABCD 及其三视图如图7-2-13所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图7-2-13(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．[解] (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，3分∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.5分(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，8分∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． 又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7-2-14所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图7-2-14A ．1B ．2C ．4D ．8B [如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.]2．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.14 [设点A 到平面PBC 的距离为h .∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点，∴S △BDE ＝14S △PBC ， ∴V 1V 2＝V A -DBEV A -PBC＝13S △BDE ·h 13S △PBC ·h＝14.] 3．(2016·全国卷Ⅰ)如图7-2-15，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G.图7-2-15(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．[解] (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD.因为D在平面P AB内的正投影为E，所以AB⊥DE.3分因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，P A＝PB，所以G是AB的中点.5分(2)在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影.7分理由如下：由已知可得PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC.又P A∩PC＝P，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝23CG.10分由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝23PG，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.12分。
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——空间几何体的表面积和体积
索引
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径
为( B )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
3 D.2 cm
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l， 因为侧面展开图是一个半圆， 所以πl＝2πr，即l＝2r， 所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )
A.12 2π
B.12π
C.8 2π
D.10π
解析 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为 8 的正方形，则圆柱的高与底面 直径均为 2 2. 设圆柱的底面半径为 r，则 2r＝2 2，得 r＝ 2. 所以圆柱的表面积 S 圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π( 2)2＋2π× 2×2 2＝4π＋8π＝12π.
索引
训练1 (1)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别
为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB 的中点， 得 S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－21×1×1＝32， 又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2， ∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝31×32×2＝1.
角度1 简单几何体的体积
例1 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出 的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用
该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图
高考数学专题复习：立体几何体的表面积与体积
高考数学专题复习：立体几何体的表面积与体积一、单选题1．一个圆柱的轴截面是一个面积为36的正方形，则该圆柱的体积是（ ） A ．54π B ．36π C ．16π D ．8π2．在正三棱锥A BCD -中，BCD △的边长为6，侧棱长为积为（ ）A ．754πB ．75πCD 3．在菱形ABCD 中，6AB =，60A ∠=，连结BD ，沿BD 把ABD 折起，使得二面角A BD C --的大小为60，连结AC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．13π B ．24π C ．36π D ．52π 4．已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为4，圆柱底面直径为2，则圆柱的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5．一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离为2cm ，则该球的体积为（ ）A ．3256cm 3πB ．364cm πC ．364 c m 3πD ．316cm 3π 6．若底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是（ ） A ．π B ．4π C ．2π D ．34π7．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面,4,60ABC SA BC BAC ==∠=︒，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．64πC ．80πD ．128π8．已知一平面截一球得到直径为，则该球的体积为（ ）3cmA ．12πB ．36πC ．D ．108π 9．已知圆柱1OO 及其展开图如图所示，则其体积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．已知正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，则该正四棱锥的体积等于（ ）A ．43BC ．D ．411．已知A ，B 是球O 的球面上两点，23AOB π∠=，P 为该球面上动点，若三棱锥O PAB -体O 的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．24π D ．36π12．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，则该棱台的体积是（ ） A ．563 B ．583 C ．20 D ．21二、填空题13．设体积为P ABC -外接球的球心为O ，其中O 在三棱锥P ABC -内部．若球O 的半径为R ，且球心O 到底面ABC 的距离为3R ，则球O 的半径R =__________． 14．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使ABD △为正三角形，则三棱锥A BCD -的体积为__________．15．已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8________. 16．如图边长为2的正方形ABCD 中，以B 为圆心的圆与AB ，BC 分别交于点E ，F ，若1tan 2CDF ∠=，则阴影部分绕直线BC 旋转一周形成的几何体的体积等于__________．三、解答题17．如图，已知圆锥的顶点为P ，O 是底面圆心，AB 是底面圆的直径，5PB =，3OB =．（1）求圆锥的表面积；（2）经过圆锥的高PO 的中点O '作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．18．如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形ABC 的边长为2cm ，侧棱14cm AA =，若侧面11AA B B 水平放置时（如下图2），水面恰好过AC ，BC ，11A C ，11B C 的中点．（1）求容器中水的体积；（2）当容器底面ABC 水平放置时（如图1），求容器内水面的高度．19．如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别记为1S 、2S 与1h 、2h .（1）若121h h ==，1=30S ，求2S 的值;（2）若12h h =，求证：12S S >.20．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 的中点；（1）求该三棱柱的体积与表面积；（2）求三棱锥11D AB C -的内切球半径．21．如图，正三棱锥（底面是正三角形，侧棱长都相等）P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3．-的表面积；（1）求正三棱锥P ABC-的体积．（2）求正三棱锥P ABC22．如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在r=.圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为15π，底面半径为3（Ⅰ）若正四棱柱的底面边长为a（Ⅱ）求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值.参考答案1．A【分析】设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，利用圆柱的轴截面面积求出r 的值，再利用柱体体积公式可求得该圆柱的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，该圆柱的轴截面面积为2436r =，解得3r =， 因此，该圆柱的体积为2223654V r r πππ=⨯=⨯⨯=.故选：A.2．B【分析】取CD 中点E ，连接BE ，在BE 上取点F ，使得23BF BE =，连接AF ，则点F 为三角形BCD的中心， 根据题意可得AF ⊥平面BCD ，求出BF =AF =半径为R ，则222)R R =+，解得R 【详解】解：取CD 中点E ，连接BE ，在BE 上取点F ，使得23BF BE =，连接AF ， 则点F 为三角形BCD 的中心，根据题意可得AF ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的球心O 在AF 上，BF ==，AF = 设该三棱锥外接球的半径为R ，则222)R R =+， 解得R∴该三棱锥外接球的表面积为：224475S R πππ==⨯=．故选：B ．3．D【分析】取BD 的中点记为O ，分别取BCD △和ABD △的外心E 与F ，过这两点分别作平面BDC ､平面ABD 的垂线，交于点P ，则P 就是外接球的球心，先在POE △中，求解1PE =，再在PCE ，求PC 可得球半径，进而得解.【详解】如图，取BD 的中点记为O ，连接OC ，OA ，分别取BCD △和ABD △的外心E 与F ，过这两点分别作平面BDC ､平面ABD 的垂线，交于点P ，则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，易知AOC ∠为二面角A BD C --的平面角为60，则AOC △是等边三角形，其边长为6=1133OE OC ==⨯在POE △中，30POE ∠=，∴tan 30=3PE OE =⋅⨯∵2=3CE OC =∴PC R ====则四面体ABCD 的外接球的表面积为2452ππ⨯=.故选：D.4．B【分析】由题意结合勾股定理可得12h = 【详解】设圆柱的高为h ，球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，根据题意，2,1R r ==，由勾股定理可得12h h =S 侧221rh ππ==⨯⨯=，故选：B5．A【分析】依题意求得球半径即可.【详解】依题意得球半径4R =，所以该球的体积33442564333V R πππ==⨯=（cm 3）. 故选：A.6．B【分析】设出圆柱底面圆半径r 并表示出其高，借助圆柱侧面积求出r 即可作答.【详解】设圆柱底面圆半径为r ，依题意得高2h r =，于是得圆柱侧面积224S r h r πππ=⋅==，解得12r =，1h =， 所以圆柱的体积为24V Sh r h ππ==⋅=.故选：B7．A【分析】根据三棱锥中线面位置关系求解外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】 ABC 中，23,60BC BAC =∠=︒，设 ABC 的外接圆半径为r ，根据正弦定理有， 23242sin sin 60BC r r BAC ===∴=∠︒如图，1O 点为 ABC 的外心，O 三棱锥外接球的球心SA ⊥平面ABC ， 1//OO SA ∴，且 OS OA =1122OO SA ∴== 1Rt AO O 中，11122,90AO r OO AO O ===∠=︒，， 22AO ∴= 即三棱锥外接球的半径为：22所以外接球的表面积为()24π·2232π=，选项A 正确，选项BCD 错误故选：A.8．B【分析】由球的截面性质求得球半径后可得体积．【详解】由题意截面圆半径为r =3R ==， 体积为334433633V R πππ==⨯=． 故选：B ．9．D【分析】结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果.【详解】设底面半径为r ，高为h ，根据展开图得422h r ππ=⎧⎨=⎩，则41h r =⎧⎨=⎩，所以圆柱的体积为22144r h πππ=⨯⨯=，故选：D.10．A【分析】首先计算正四棱锥的高，再计算体积.【详解】如图，正四棱锥S ABCD -，SB =OB =1SO =， 则该正四棱锥的体积1422133V =⨯⨯⨯=.故选：A【分析】当点P 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O PAB -的体积最大，利用三棱锥O PAB -体O 的表面积． 【详解】解：如图所示，当点P 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O PAB -的体积最大， 设球O 的半径为R ，此时21132O PAB P AOB V V R R --==⨯=， 解得2R =，则球O 的表面积为2416R ππ=，故选：B ．12．A【分析】先求出棱台的高，然后利用台体的体积公式求体积即可.【详解】由棱台的几何特征可得其高为：2h ， 则其体积为：(2215624233V =⨯+⨯=. 故选：A13．3【分析】根据等边三角形的性质，结合球的几何性质、棱锥的体积公式进行求解即可.取ABC 的中心G ．连接PG ，则PG ⊥平面ABC 且球心O 在PG 上．由条件知，3R OG =，连接OA ，AG ，则AG ==，设等边ABC 的边长为a ，所以等边ABC =，因此23AG ===，所以有R a 362=，于是ABC ．又OP R =， 故三棱锥P ABC -的高是：1433R R R +=，所以223148)333P ABC V R R R -=⋅⋅=⋅==3R =． 故答案为：314【分析】取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，求出底面面积以及高，然后求解体积即可．【详解】取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，由题意，AC ⊥BO ，AC ⊥DO ，BO DO == 因为ABD △为正三角形，AB ＝AD ＝DB ＝1，由已知可得AO ＝OB ＝OD ，∴OBD 是直角三角形，∴DO ⊥OB ，又,OD AC AC OB O ⊥⋂=，∴OD ⊥面ABC ，∴111332A BCD D ABC ABC V V S DO --==⋅=⨯=15．112【分析】 根据已知条件，分别计算出上、下底面面积以及棱台的高，代入棱台体积公式进行计算即可得解.【详解】因为正四棱台的上底边长为4，下底边长为8所以棱台的下底面积64S =，上底面积16S '=，高3h =，所以正四棱台的体积(()11641632311233V S S h '=⋅+⋅=⋅++⋅=. 故答案为：112.16．6π【分析】阴影部分绕直线BC 旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉一个半球与圆锥，分别计算其体积，然后得到答案.【详解】在Rt DCF 中12,tan 212DC CF DC CDF ==∠=⨯=， 所以211BF BC CF =-=-=，正方形ABCD 绕直线BC 旋转一周形成圆柱，圆柱的底面半径2R AB ==，高12h BC ==，其体积2211228V R h πππ==⨯⨯=； 直角CDF 绕直线BC 旋转一周形成与圆柱同底的圆锥，圆锥的底面半径2R =，高21h CF ==，其体积222211421333V R h πππ==⨯⨯=；扇形BEF 是圆的14，绕直线BC 旋转一周形成一个半球，球的半径为1r BE ==， 故其体积33314142123233V r πππ=⨯=⨯⨯=； 所以阴影部分绕直线BC 旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉上述的半球与圆锥， 故其体积123428633V V V V ππππ=--=--=． 故答案为：6π.17．（1）24π；（2）21π2． 【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =，从而可求出锥的表面积，（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =．∴该圆锥的表面积22πππ3π3524πS r rl =+=⨯+⨯⨯=．（2）在Rt POB △中，4PO ==，∵O '是PO 的中点，∴2PO '=．∴小圆锥的高2h '=，小圆锥的底面半径1322r r '==， ∴截得的圆台的体积2211321π34π2π3322V V V ⎛⎫=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭小台大．18．（1）)3cm ；（2）3cm ． 【分析】（1）在图2中，根据四棱柱的体积公式计算可得；（2）设图1中水高度为cm h ，根据水的体积相等得到方程，解得即可；【详解】解：（1）在图2中，水所占部分为四棱柱．四棱柱底面积为)222112sin 601sin 6022S cm =⨯⨯︒-⨯⨯︒=，又高为4cm所以水的体积为)34V cm ==，（2）设图1中水高度为cm h ，则212sin 602V h =⨯⨯︒⨯=3h =． 所以当容器底面ABC 水平放置时，容器内水面的高度为3cm ．19．（1）18+；（2）证明见解析.【分析】设正四棱柱的底面边长为a ，圆柱的底面半径为r ，2212πa h r h =，21124S a ah =+，2222π2πS r rh =+.（1）由121h h ==，1=30S 可得答案；（2）由21h h =，得22πa r =，212124S S a ah -=+22(2π2π)r rh -+化简可得答案.【详解】设正四棱柱的底面边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2212πa h r h =，21124S a ah =+，2222π2πS r rh =+.（1）224130a a +⨯=，得22150a a +-=，又0a >，所以3a =，所以22π131r ⨯=⨯，得r =292π2π1πS =⨯+18=+（2）证明：21h h =，则22πa r =，212124S S a ah -=+22(2π2π)r rh -+212π4r ah =+212π2πr rh --14ah =12πrh -12π)h r =0>.得证.20．（1）1113-=ABC A B C V ，111ABC A B C S -=（2 【分析】（1）直接利用体积公式求解即可，直接求解表面积，（2）利用等体积法求法【详解】（1）111223ABC A B C V Sh -===，111222232ABC A B C S S S -=+=+=底侧（2）111111112132D AB C B AB C C ABB V V V ---===⨯= 1111113,6AB D AC D B C D AC B S S S S ====，则三棱锥11D AB C -的表面积为+设三棱锥11D AB C -的内切球半径为r ，则113r ⨯⨯=，则r =21．（1）；（2【分析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥P ABC -的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P ABC -的表面积可求； （2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC ．求解PO ，再由棱锥体积公式求解．【详解】解：（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD 中，可得PD = ∴1222PBC S BC PD == 正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是33PBC S =⨯=正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△则正三棱锥P ABC -的表面积为（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC ．且13OD AD ==在Rt POD 中，PO ==∴正三棱锥P ABC -的体积为1133ABC S PO ⋅==．22．（Ⅰ）16123π-；（Ⅱ）【分析】 （Ⅰ）分别计算圆锥和正四棱柱的体积，再计算该几何体的体积；（Ⅱ）首先利用比例关系求得1312h +=，再利用基本不等式求得1h a 的最大值，即可得到正四棱柱侧面积的最大值【详解】解：设圆锥母线长为l ，高为h ，正四棱柱的高为1h（Ⅰ）由S rl π=圆锥侧，有315l ππ=，故5l =，由222h r l +=，故4h =， 所以圆锥体积为2211341233V r h πππ==⨯⨯=圆锥由a =2， 由图可得11h r h r -=，所以11318433r h h r --==⨯=， 故正四棱柱的体积为21816233V a h ==⨯=正四棱柱 所以该几何体的体积为16123V V π-=-圆锥正四棱柱 （Ⅱ）由图可得12r h h r =，即13243h -=，即1312h +=由13h +≥136h ==时左式等号成立，有112h a ⇒≤12h =，a =故正四棱柱侧面积14S h a =≤侧，当且仅当12h =，a =所以该几何体内正四棱柱侧面积的最大值为。
高三数学一轮复习 8.2 空间几何体的表面积与体积
考点1
考点2
考点3
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对点训练1如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 283π, 则它的表面积 是( )
由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体, 则 所78以A×.它1473π的π×B表R.13面=8π2积83πC为,.解2078得×πD4Rπ.2R=82π2+, 34×πR2=14π+3π=17π.
(3)设正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为 S1=4·43·a2= 3a2,
其内切球半径为正四面体高的14,即 r=14 ·36a=126a,因此内切球表面积
为 S2=4πr2=π6������2,则������������12 =
3������2 π6������2
=
6π3.
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
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(2)设球半径为R,过AB作相互垂直的平面α,β,设圆M的直径为AC, 圆N的直径为AD,则BD⊥BC,BC2+BD2+4=(2R)2=12,
∴CD=2 2, ∵M,N分别是AC,AD的中点, ∴MN的长度是定值 2,故选B.
考点1
考点2
考点3
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1.求柱体、锥体、台体与球的表面积的问题,要结合它们的结构 特点与平面几何知识来解决.
2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面. 3.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认 真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系, 并作出合适的截面图.
考点1
考点2
考点3
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解析 (1)∵AB=AC=3,∠BAC=23π,
【精品复习】立体几何篇-第2讲 空间几何体的表面积与体积
第2讲空间几何体的表面积与体积【2014年高考会这样考】考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大．【复习指导】本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．基础梳理1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝Ch V＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh正棱台S侧＝12(C＋C′)h′V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S球面＝4πR2V＝43πR32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．两种方法(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()．A．4πS B．2πSC．πS D.23 3πS解析设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r＝S π，又h＝2πr＝2πS，∴S圆柱侧＝(2πS)2＝4πS.答案 A2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()．A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线长为(2a)2＋a2＋a2＝6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝6a.∴S球＝4πR2＝6πa2.答案 B3．(2011·北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )．A ．8B ．6 2C ．10D ．8 2解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C. 答案 C 4．(2011·湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )． A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π＋18.答案 B5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 解析 V ＝4π3R 3＝43π，∴R ＝3，S ＝4πR 2＝4π·3＝12π. 答案 12π考向一几何体的表面积【例1】►(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()．A．48 B．32＋817C．48＋817 D．80[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积．解析换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋817.答案 C以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【训练1】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()．A. 3 B．2C．2 3 D．6解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6.答案 D考向二 几何体的体积【例2】►(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．A ．18 3B ．12 3C ．9 3D ．6 3[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V ＝3×3×3＝9 3. 答案 C以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．【训练2】 (2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )．A.283πB.163π C.43π＋8 D ．12 π解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝283π.答案 A考向三 几何体的展开与折叠【例3】►(2012·广州模拟)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体DABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体DABC 的体积．[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC 垂直于平面ACD 内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明． (1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 取AC 的中点O ，连接DO ，则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ， 又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥BACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V BACD ＝ 13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体DABC 的体积为423.(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【训练3】已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，如图所示，则CP＋P A1的最小值为________．解析P A1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A1B＝AB1＝40，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．CP＋P A1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理得A1C＝62＋(2)2－2·6·2·cos 135°＝50＝52，故(CP＋P A1)min＝5 2.答案5 2难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键．【示例1】►(2010·安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()．A ．280B ．292C ．360D ．372【示例2】► (2011·全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．。
高中数学的归纳立体几何中的常见体积和表面积公式总结
高中数学的归纳立体几何中的常见体积和表面积公式总结立体几何是高中数学中的一个重要的部分，它主要研究各种几何体的性质和计算相关的参数，如体积和表面积等。
在归纳立体几何的学习过程中，了解和掌握常见的体积和表面积公式是非常关键的。
本文将总结和归纳高中数学中常见的立体几何体的体积和表面积公式，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、三角柱和三棱柱：三角柱和三棱柱是最简单的几何体之一，它们的体积和表面积计算公式如下：三角柱的体积公式为：V = 底面积 ×高三角柱的表面积公式为：S = 2 ×底面积 + 三个侧面的面积之和三棱柱的体积公式为：V = 底面积 ×高三棱柱的表面积公式为：S = 2 ×底面积 + 三个侧面的面积之和其中，底面积可以根据给定的形状进行计算，高是指底面到上底的垂直距离。
二、长方体和正方体：长方体和正方体是具有六个面的立体体，它们的体积和表面积计算公式如下：长方体的体积公式为：V = 长 ×宽 ×高长方体的表面积公式为：S = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)正方体的体积公式为：V = 边长^3 (边长的三次方)正方体的表面积公式为：S = 6 ×边长^2 (边长的二次方)其中，长、宽、高、边长分别表示长方体和正方体的相关参数。
三、圆柱体和圆锥体：圆柱体和圆锥体是由圆形底面和侧面组成的立体体，它们的体积和表面积计算公式如下：圆柱体的体积公式为：V = 圆底面积 ×高圆柱体的表面积公式为：S = 2 ×圆底面积 + 侧面积圆锥体的体积公式为：V = 1/3 ×圆底面积 ×高圆锥体的表面积公式为：S = 圆底面积 + 侧面积其中，圆底面积可以根据给定的半径计算，高是指底面到上底的垂直距离，侧面积是指侧面的曲面积分。
四、球体：球体是由曲面构成的立体体，它的体积和表面积计算公式如下：球体的体积公式为：V = 4/3 × π × 半径^3 (半径的三次方)球体的表面积公式为：S = 4π × 半径^2 (半径的二次方)其中，π是一个常数，约等于3.14159，半径是指从球心到球面上的任意一点的距离。
高考数学复习—空间几何体的表面积与体积
1．柱体、锥体、台体的表面积
(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 S 直棱柱侧＝__________，S 正棱锥侧＝__________， S ＝ 正棱台侧
__________(其中 C，C′为底面周长，h 为高，h′为斜高)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积 S 圆柱侧＝________，S 圆锥侧＝________，S 圆台侧＝________
故正方体的体积为 223＝ 42，所以三棱锥 P-CDE 的体积为 42－
4×13×12× 22× 22× 22＝ 122．故填122．
类型四 空间旋转体的体积问题
已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 r，
R，求圆台的体积．
解：如图，图①是该几何体的直观图，图②是该几何体的轴
截面平面图．
圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，根据切线长定理， AC＝AO1，BO＝BC，得梯形腰长为 R＋r，梯形的高即球的直径 长为 OO1＝ AB2－（OB－O1A）2＝ （R＋r）2－（R－r）2
则 AD1＝ 32＋42＋122＝13，所以直三棱柱外接球的半径为123．故选
C．
点 拨： 求解几何体外接球的半径主要从两个方面考 虑：一是根据球的截面的性质，利用球的半径 R、 截面圆的半径 r 及球心到截面圆的距离 d 三者的关 系 R2＝r2＋d2 求解，其中确定球心的位置是关键； 二是将几何体补成长方体，利用该几何体与长方体 共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体体
＝123．即直三棱柱外接球的半径为123．
解法二：(补体法)如图所示，将直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面补
成矩形，得到长方体 ABDC-A1B1D1C1．显然，直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 外 接 球 就 是 长 方 体 ABDC-A1B1D1C1 的 外 接 球 ． 而 长 方 体
2023高考数学基础知识综合复习第18讲简单几何体的表面积与体积 课件(共24张PPT)
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积
专题四 立体几何第一讲 空间几何体的表面积与体积——小题备考微专题1 空间几何体的表面积和体积常考常用结论1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式： ①圆柱的表面积S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积 S ＝πr (r ＋l )；③圆台的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2.2．柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.保 分 题1.[2022·山东枣庄三模]若圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为( ) A ．√6π B ．√3π C ．√63π D ．√33π2．[2022·河北保定一模]圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．2∶33．[2022·湖北武汉二模]如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为( )A ．2√23B ．43 C ．4√23D ．83提分题例1 (1)[2022·河北张家口三模]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CDAC＝()A．13B．12C．2−√32D．√3−12(2)[2022·湖南雅礼中学二模]某圆锥高为1，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()A．2 B．√3C．√2D．1听课笔记：【技法领悟】1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解．巩固训练11.[2022·山东菏泽一模]如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A 1B 1C (如图2)，则容器的高h 为( )A ．3B ．4C ．4√2D ．62．[2022·福建福州三模]已知AB ，CD 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB ⊥CD ，O 1，O 分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD 的体积为18，则该圆柱的侧面积为( )A ．9πB ．12πC ．16πD ．18π微专题2 与球有关的切、接问题常考常用结论1．球的表面积S ＝4πR 2，体积V ＝43πR 3.2．长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径． 3．n 面体的表面积为S ，体积为V ，则内切球的半径r ＝3VS .4．直三棱柱的外接球半径：R ＝√r 2+(L2)2，其中r 为底面三角形的外接圆半径，L 为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径R ′＝L2.5．正四面体中，外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R ＝√64a (a 为正四面体的棱长)，球心到底面的距离为内切球的半径r ＝√612a ，因此R ∶r ＝3∶1.保 分 题1.[2022·广东深圳二模]已知一个球的表面积在数值上是它的体积的√3倍，则这个球的半径是( )A ．2B ．√2C ．3D ．√32．已知正四棱锥P ABCD 中，AB ＝√6，P A ＝2√3，则该棱锥外接球的体积为( )A．4π B．32π3C．16π D．16π33．[2022·天津红桥一模]一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、√2、3，则此球的体积为________．提分题例2 (1)[2022·江苏苏州三模]《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”(注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体)，若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为()立方尺A．√41πB．41π3D．3√41πC．41√41π6(2)[2022·山东泰安三模]如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1＝4，点D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动，则三棱锥D ABC 的外接球表面积的最大值为()π B．24πA．814C．243π D．8√6π16听课笔记：【技法领悟】1．确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．2．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．3．补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．巩固训练21.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8π，则该圆柱的体积为()A．√22π B．√2πC．2π D．2√2π2．[2022·广东潮州二模]已知△ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P ABC全部顶点都在表面积为16π的球O的球面上，则三棱锥P ABC的体积的最大值为()A．√3B．3√32C．9√34D．√32专题四 立体几何第一讲 空间几何体的表面积与体积微专题1 空间几何体的表面积和体积保分题1．解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则πr ×2＝2π，可得r ＝1，则h ＝√22−r 2＝√3，因此，该圆锥的体积为V ＝13πr 2h ＝13π×12×√3＝√33π. 答案：D2．解析：设球的半径为r ，依题意圆柱的底面半径也是r ，高是2r ， 圆柱的侧面积＝2πr ·2r ＝4πr 2 ，球的表面积为4πr 2 ， 其比例为1∶1. 答案：A3．解析：该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为√2的正方形，棱锥的高为1，所以该正八面体的体积为2×13×√2×√2×1＝43.答案：B提分题[例1] 解析：(1)由题可知平面A 1B 1ED 与棱柱上、下底面分别交于A 1B 1，ED ， 则A 1B 1∥ED ，ED ∥AB ， 显然CDE - C 1A 1B 1是三棱台，设△ABC 的面积为1，△CDE 的面积为S ，三棱柱的高为h ， ∴12·1·h ＝13h (1＋S ＋√S )， 解得√S ＝√3−12，由△CDE ∽△CAB ，可得CD AC ＝√S√1＝√3−12. (2)如图，截面为△P AB ，设C 为AB 中点，设OC ＝x ，x ∈[0，√3)，则AB ＝2√3−x 2，PC ＝√x 2+1，则截面面积S ＝12×2√3−x 2×√x 2+1＝√−(x 2−1)2+4，则当x 2＝1时，截面面积取得最大值为2. 答案：(1)D (2)A[巩固训练1]1．解析：在图1中V 水＝12×2×2×2＝4，在图2中，V 水＝V ABC − A 1B 1C 1− V C − A 1B 1C 1＝12×2×2×h －13×12×2×2×h ＝43h ， ∴43h ＝4，∴h ＝3.答案：A2．解析：分别过A ，B 作圆柱的母线AE ，BF ，连接CE ，DE ，CF ，DF ，设圆柱的底面半径为r ，则三棱锥A - BCD 的体积为两个全等四棱锥C - ABFE 减去两个全等三棱锥A - CDE ， 即2×13×r ×2r ×r －2×13×r ×12×2r ×r ＝23r 3＝18，则r ＝3，圆柱的侧面积为2πr ×r ＝18π答案：D微专题2 与球有关的切、接问题保分题1．解析：设球的半径为R ，则根据球的表面积公式和体积公式， 可得，4πR 2＝43πR 3×√3，化简得R ＝√3. 答案：D2．解析：正方形ABCD 的对角线长√6+6＝2√3，正四棱锥的高为 √(2√3)2−(2√32)2＝3，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋(2√32)2＝R 2⇒R ＝2， 所以外接球的体积为4π3×23＝32π3.答案：B3．解析：长方体外接球的直径为√12+(√2)2+32＝2√3，所以外接球半径为√3，所以球的体积为4π3×(√3)3＝4√3π.答案：4√3π提分题[例2] 解析：(1)作出图象如图所示：由已知得球心在几何体的外部， 设球心到几何体下底面的距离为x ， 则R 2＝x 2＋(52)2＝(x ＋1)2＋(√52)2，解得x ＝2，∴R 2＝414， ∴该球体的体积V ＝4π3×(√412)3＝41√41π6.(2)因为△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝2，所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1, 且AO 1＝√2，连接O 1与A 1B 1的中点E ，则O 1E ∥AA 1，所以O 1E ⊥平面ABC ， 设球的球心为O ，由球的截面性质可得O 在O 1E 上， 设OO 1＝x ，DE ＝t (0≤t ≤√2)，半径为R ， 因为OA ＝OD ＝R ，所以√2+x 2＝√(4−x )2+t 2， 所以t 2＝8x －14，又0≤t ≤√2， 所以74≤x ≤2，因为R 2＝2＋x 2，所以8116≤R 2≤6，所以三棱锥D －ABC 的外接球表面积的最大值为24π. 答案：(1)C (2)B [巩固训练2]1．解析：设外接球的半径为R ，圆柱底面圆的半径为r ，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高h ＝2r ，由球O 的表面积S ＝4πR 2＝8π，得R ＝√2，又R ＝ √(h2)2+r 2＝√2r ，得r ＝1，所以圆柱的体积V ＝πr 2·2r ＝2πr 3＝2π.答案：C2．解析：球O 的半径为R ，则4πR 2＝16π，解得：R ＝2，由已知可得：S △ABC ＝√34×32＝9√34，其中AE ＝23AD ＝√3，球心O 到平面ABC 的距离为√R 2−(√3)2＝1， 故三棱锥P - ABC 的高的最大值为3， 体积最大值为13S △ABC ·3＝9√34.答案：C。
高中数学必修2空间几何体的表面积和体积知识点+巩固练习提高篇
目录空间几何体的表面积和体积 (1)【学习目标】 (1)【要点梳理】 (1)【典型例题】 (5)【巩固练习】 (16)空间几何体的表面积和体积编稿：武小煊审稿：【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积.【要点梳理】【高清课堂：空间几何体的表面积和体积 395219 空间几何体的表面积】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：项目名称 底面侧面棱柱 平面多边形 平行四边形面积=底·高棱锥 平面多边形 三角形 面积=12·底·高 棱台 平面多边形梯形面积=12·（上底+下底）·高要点诠释：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表． 2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表． 要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 空间几何体的体积】 要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ．2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1('')3V h S SS S =++棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211('')('')33V h S SS S h r rr r π=++=++圆台．综上，台体的体积公式为1('')3V h S SS S =++．4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 球的体积与表面积】 要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍．2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】1503a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成三棱柱时，有三种情况：221262(1086)1248s a a =⨯+++=+， 222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成四棱柱时只有一种情况：表面积为22(86)2462428a a +⨯+⨯=+，由题意得2224281248a a +<+，解得1503a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】 一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD ．23S π 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为Sr π=，进一步求出侧面积为4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。
高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解34---空间几何体的表面积和体积
高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解 专题34 空间几何体的表面积和体积【考纲要求】1．会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.【知识清单】知识点1．几何体的表面积圆柱的侧面积 rl S π2=圆柱的表面积 )(2l r r S +=π圆锥的侧面积 rl S π=圆锥的表面积 )(l r r S +=π圆台的侧面积 l r r S )(+'=π圆台的表面积 )(22rl l r r r S +'++'=π球体的表面积 24R S π=柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 知识点2．几何体的体积圆柱的体积 h r V 2π=圆锥的体积 h r V 231π=圆台的体积 )(3122r r r r h V '++'=π 球体的体积 334R V π= 正方体的体积 3a V =正方体的体积 abc V =【考点梳理】考点一 ：几何体的面积【典例1】（2020·天津高考真题）若棱长为则该球的表面积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π 【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【典例2】（2020·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．514-B ．512-C ．514+D ．512+ 【答案】C【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==， 由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得14b a +=（负值舍去）. 故选：C.【规律方法】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【变式探究】1．（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为__________．【答案】【解析】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB ，因为SAB 的面积为,l 所以221802l l ⨯==，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为πcos,4l =因此圆锥的侧面积为2ππ.2rl l ==2．（2019·福建高三月考）已知四面体ABCD 内接于球O ，且2AB BC AC ===，若四面体ABCD ，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____． 【答案】16π【解析】如图:在三角形ABC 中,因为222AB BC AC +=,所以△ABC 为直角三角形,所以三角形ABC 的外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,根据垂径定理,可得1OO ⊥平面ABC ,因为1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高.所以11323DC ⨯=,解得DC =所以4AD ==. 所以四面体ABCD 的外接球的半径为2,表面积为24R π=24216ππ⨯=.【总结提升】计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 高频考点二 ：几何体的体积【典例3】（2019·北京高考真题（文））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体,几何体的体积()3142424402V =-+⨯⨯=. 【典例4】（2020·江苏省高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】2π【解析】正六棱柱体积为2624⨯⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为： 2π【总结提升】 （1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．（3）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法（4）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.（5）三视图形式：若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解提醒：处理高线问题时，经常利用的方法就是“等积法”．【变式探究】1．（2020·全国高一课时练习）已知ABC ∆的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =.下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π【答案】AD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为3515ππ⨯⨯=，体积为2134123ππ⨯⨯⨯=，故A 正确，B 错误； 以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为4520ππ⨯⨯=，体积为2143163ππ⨯⨯⨯=，故C 错误，D 正确. 故选：AD.2.（2019·湖南高三月考（理））正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，以EFG ∆为底面作直三棱柱（侧棱垂直底面的棱柱），若此直三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则该直三棱柱的体积为（ ）B.2C.32D.34【答案】C【解析】如图，连接11A C ，1C D ，1AC , 1BC ,分别取11A C 、1BC 、1C D 中点M 、N 、Q ，连接MQ ，MN ，NQ ,FQ ,EN ,GM由中位线定理可得111111111//,,//,,//,222GM AC GM AC FQ AC FQ AC EN AC EN AC === 又1AC EFG ⊥平面，∴三棱柱EFG NQM —是正三棱柱2EFG S ∆==112h GM AC ===，∴三棱柱32EFG NQM V =— 答案选C【方法总结】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.高频考点三 ： 几何体的展开、折叠、切、截问题【典例5】（2020·全国高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】 设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【典例6】（2019·天津高考真题（理））已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.【答案】4π. 【解析】2=，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为12，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为21124ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【规律方法】几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.【典例7】（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A ．86π B ．46πC ．26πD 6π【答案】D 【解析】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++= 364466633R V R =∴=π==ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D.【典例8】（2019·四川高三月考（理））学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为10cm .打印所用部料密度为30.9g/cm ．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________g .（π取3.14）【答案】358.5 【解析】设被挖去的正方体的棱长为xcm ，圆锥底面半径为r ，取过正方体上下底面面对角线的轴截面，由相似三角形得则10210x xh x x r h --=⇒=，解得5x =．模型的体积为(223311500105125333V r h x πππ=-=⨯⨯-=-， 因此，制作该模型所需材料质量约为5000.91251500.9125358.5g 3ππ⎛⎫⨯-=-⨯≈⎪⎝⎭． 故答案为：358.5. 【总结提升】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．【典例9】（2018届河南省林州市第一中学高三8月调研）如图，已知矩形ABCD中，，现沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，连接BD，得到三棱锥-，则其外接球的体积为（）B ACD【答案】D【解析】结合几何体的特征可得，外接球的球心为AC的中点，则外接球半径：本题选择D选项.【总结提升】解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：【变式探究】1．（2018届河南省洛阳市高三期中）在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是直角三角形，其斜边4AB =， SC ⊥平面ABC ，且3SC =，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 25π B. 20π C. 16π D. 13π 【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于43AB SC ==，，且ABC ∆是直角三角形， SC ⊥平面ABC ， ∴长方体的对角线长为∴三棱锥的外接球的半径 ∴三A.2．（2018·天津高考真题（文））如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1–BB 1D 1D 的体积为__________．【答案】13【解析】如图所示，连结11A C ，交11B D 于点O ，很明显11A C ⊥平面11BDD B ，则1A O 是四棱锥的高，且111122A O A C ===，1111BDD B S BD DD =⨯==四边形，结合四棱锥体积公式可得其体积为1113323V Sh ===，故答案为13.3．（2018届河北省衡水市武邑中学高三上第三次调研）在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑M ABC-中, MA⊥平面ABC, 2MA AB BC===,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____．【解析】由题意，MC为球O的直径，O∴球O的表面积为4π•3=12π，内切球的半径设为ｒ，【典例10】（2017课标1，理16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】【规律方法】有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【变式探究】（2018届河南省林州市第一中学高三8月调研）如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（ ）ABCD AC ABC ⊥ADC BD B ACD -【答案】D【解析】结合几何体的特征可得，外接球的球心为AC的中点，则外接球半径：本题选择D选项.【典例11】（2018·江苏高考真题）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正，所以该多面体的体积为21421.33⨯⨯⨯=【变式探究】（2020·山东省滨州市三模）已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，平面，则球O的表面积为__________．PA⊥,26,ABC PA BC==AB AC⊥【答案】 【解析】由于平面，所以，而，故可将补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥的外接球，也即球. 由于，设，则，所以长方体的对角设球的半径为，则所以球的表面积为. 故答案为：【典例12】（2020·山东省泰安市6月三模）已知球O是正三棱锥的外接球，，E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是_______. 【答案】45πPA ⊥ABC ,PA AB PA AC ⊥⊥AB AC ⊥P ABC -P ABC -O 26,3PA BC BC ===,AB a AC b ==2229a b BC +===O R 2R =O 2445R ππ=45πP ABC -3AB =PA =94π【解析】如图，设三棱锥的外接球半径为R ，正三角形的外接圆圆心为，因为，三角形是正三角形，为正三角形的外接圆圆心， 所以因为所以，解得，，因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，所以当截面与垂直时，截面圆的面积有最小值，在中，故，截面面积， 故答案为：. 【总结提升】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【变式探究】1.（2020·安徽马鞍山�高三三模（文））已知正方体1111ABCD A B C D -，直线1AC ⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是（ ）ABC D 3AB =ABC D ABC DA =PA =3PD =()223R R +-=2R =1OD =E O OE OE Rt EDO ∆OE ==32r ==294S r ππ==94πA ．截面形状可能为四边形B ．截面形状可能为五边形C ．截面面积最大值为D 【答案】D【解析】如图在正方体中1AC ⊥平面1A BD ，所以平面α与平面1A BD 平行平面α与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形 当截面为正六边形EFNMGH 时，截面面积有最大，由题可知：21sin 45==NM ，则133611sin 6022=⨯⨯⨯⨯=EFNMGH S 故选：D2．（2020·江苏苏州�高一期末）已知在球O 的内接长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，则球O 的表面积为________，若P 为线段AD 的中点，则过点P 的平面截球O 所得截面面积的最小值为______．【答案】17π9π4【解析】如图，因为球O 的内接长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，所以12=DB R = 所以球的表面积2=417S R ππ=， 当OP ⊥球的截面，即P 为截面圆圆心时，球心到截面圆的距离d OP =时最大， 此时截面圆的半径22d R r -=最小，此时截面圆的面积最小，而OP ===所以32r ==， 所以截面圆面积294S r ππ==. 故答案为：17π；94π。
2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第五节空间几何体的表面积和体积
第五节 空间几何体的表面积和体积【知识点20】空间几何体的表面积一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积． 1.直棱柱和正棱锥的表面积(1)直棱柱的侧面积①侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c ，宽等于直棱柱的高h ，因此，直棱柱的侧面积是S 直棱柱侧＝ch . ③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (2)正棱锥的侧面积①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积．如果正棱锥的底面周长为c ，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h ′，它的侧面积是S 正棱锥侧＝12ch ′.2.正棱台的表面积正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c ′，c ，斜高为h ′，则其侧面积是S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′. 3.圆柱、圆锥、圆台的表面积【推导圆柱侧面积及表面积】S 侧＝2πrl ，S 表＝2πr (r ＋l )．【推导圆锥侧面积及表面积】底面周长是2πr ，利用扇形面积公式得 S 侧＝12×2πrl ＝πrl ，S 表＝πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l )．【推导圆台侧面积及表面积】由题图知，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，则x x ＋l ＝r R ，解得x ＝r R －rl . S 扇环＝S 大扇形－S 小扇形＝12(x ＋l )×2πR －12x ×2πr ＝π[(R －r )x ＋Rl ]＝π(r ＋R )l ，所以S 圆台侧＝π(r ＋R )l ，S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)．【类型一】 求多面体的侧面积和表面积 【例1】正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．【变式1】已知正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长．【反思】(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到．【变式2】已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积．【变式3】如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．【思考1】如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．【类型二】与三视图结合综合问题【例2】某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的表面积为 .【变式1】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A. 2+B. 1C. 1+D.【变式2】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是A. 2B. 3C. 4D. 5【变式3】已知一个几何体的三视图如图所示（单位:m），其中俯视图为正三角形,则该几m何体的体积为_______3【思考2】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.【思考3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. 60B. 30C. 20D. 10【变式1】如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）A. 8B. 4C.D.【类型三】求旋转体的表面积【例3】圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________ cm2.(结果中保留π)【变式1】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求圆台较小底面的半径．【反思】(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面．(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系．在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用．【变式2】若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2π cm，则圆锥的表面积为________ cm2.【变式3】以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径．【变式4】若一个圆台的轴截面如图所示，则其侧面积等于______．【变式5】．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．【类型四】与三视图结合的综合问题【例4】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为的直角三角形，俯视图是半径为，圆心角为的扇形，则该几何体的表面积是（ ）A. B. C. D.【变式1】如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 27cm π B. 28cm π C. 29cm π D. 211cm π【类型五】 简单组合体的表面积【例5】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m 2)【反思】 (1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用．(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有． 【变式1】有两个相同的直棱柱，高为2a ，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a 的取值范围．【变式2】如图所示，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，作CD ⊥AB ，垂足为点D .以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．【方法小结】1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．【思考1】如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________．【思考2】一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．【变式1】已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为________．【知识点21】空间几何体的体积【类型一】柱体、锥体、台体的体积【例1】(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为____________．(2)现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降________ cm.【反思】(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．一、柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)．2．锥体的体积公式V＝13Sh(S为底面面积，h为高)．3．台体的体积公式V＝13(S′＋S′S＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)．4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝Sh V＝13(S′＋S′S＋S)h V＝13Sh.二、球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．2．球的体积公式V＝43πR3.三、球体的截面的特点1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．【变式1】如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．【变式2】已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．【变式3】已知正三棱锥S—ABC，D，E分别为底面边AB，AC的中点，则四棱锥S—BCED 与三棱锥S—ABC的体积之比为________．【变式4】圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是________ cm.【变式5】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为____ cm3.【类型二】球的表面积与体积【例2】（外接球）(1)设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．(2)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．【变式1】一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.(1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．【反思】(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 【练习1】长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________．【练习2】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________．【练习3】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．【练习4】三棱锥P ABC -中， ,,PA PB PC 互相垂直， 1PA PB ==， M 是线段BC上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是2，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π【例3】在正三棱锥S −ABC 中，SA =2√7，AB =6，则该三棱锥外接球的直径为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【反思】在一个多面体的面找外接圆的圆心，过该圆的圆心，作垂直于该面的垂线，球心O 在垂线上，构造三角形，解三角形。
高考一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积
第二讲 空间几何体的表面积与体积知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 柱、锥、台和球的侧面积和体积侧面积 体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝_S 底·h__＝πr 2h圆锥 S 侧＝_πrl __ V ＝13S 底·h＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝_ch__ V ＝_S 底h__ 正棱锥 S 侧＝12ch′V ＝13S 底h 正棱台 S 侧＝12(c ＋c′)h′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h 球S 球面＝_4πR 2V ＝43πR 3 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各面面积之和__.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_矩形__、_扇形__、_扇环形__；它们的表面积等于_侧面积__与底面面积之和．重要结论1．长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：r ＝_a 2＋b 2＋c22__(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： (1)外接球：球心是正方体中心；半径r ＝_32a__(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体中心；半径r ＝_a2__(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝_22a__(a 为正方体的棱长)． 3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_64a__(a 为正四面体的棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_612a__(a 为正四面体的棱长)． 双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则R ＝32a.( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( B ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．32cm [解析] 由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧πrl＋πr 2＝12π2πrl ＝π，∴3r 2＝12，∴r ＝2.题组三 走向高考3．(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C ) A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π[解析] 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线长的一半， 即R ＝232＋232＋2322＝3，所以，这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.故选：C ．4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π[解析] 设圆柱底面半径为r ，则4r 2＝8，即r 2＝2.∴S 圆柱表面积＝2πr 2＋4πr 2＝12π.5．(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A ．73 B ．143C ．3D ．6[解析] 由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面．棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝13＋2＝73.故选：A ．考点突破·互动探究考点一 几何体的表面积——自主练透例1 (1)(2021·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( C )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5(2)(2021·安徽江南十校联考)已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( B )A ．78－9π2B ．78－9π4C ．78－πD ．45－9π2(3)(多选题)(2021·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( AB )A ．2πB ．(1＋2)πC ．22πD ．(2＋2)π[解析] (1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C ．(2)由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示．∴S ＝3×3×2＋3×5×4－27π4＋9π2＝78－94π.故选B ．(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为π＋2π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为2π，故选A 、B ．名师点拨空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．〔变式训练1〕(2020·河南开封二模)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是( C )A ．6B ．8＋4 6C ．4＋2 6D ．4＋ 6[解析] 由三视图得几何体如图所示，该几何体是一个三棱锥，底面是一个底和高均为2的等腰三角形，一个侧面是一个底和高均为2的等腰三角形，另外两个侧面是腰长为AC ＝AB ＝22＋12＝5， 底边AD 长为22的等腰三角形， 其高为52－22＝3，故其表面积为S ＝2×12×22＋2×12×22×3＝4＋2 6.故选C ．考点二 几何体的体积——师生共研例2 (1)(2021·浙江金色联盟百校联考)一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为( )cm 3.( A )A ．π6＋13B ．π3＋16C ．π6＋16D ．π3＋13(2)(2021·云南师大附中月考)如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是( D )A ．56 B ．83 C ．1D ．163(3)(2021·湖北武汉部分学校质检)某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_83π3__.(4)(2020·江苏省南通市通州区)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，且C 1P ＝2PC ．设三棱锥P － D 1DB 的体积为V 1，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V ，则V 1V 的值为_16__.[解析] (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm ，高为1 cm 的半个圆锥和三棱锥S －ABC 组成的，如图，三棱锥的高为SO ＝1 cm ，底面△ABC 中，AB ＝2 cm ，AC ＝1 cm ，AB ⊥AC ．故其体积V ＝13×12×π×12×1＋13×12×2×1×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋13cm 3.故选A ．(2)由题意三视图对应的几何体如图所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即V ＝23－2×13×12×2×2×2＝163，故选D ．(3)该圆锥母线为4，底面半径为2，高为23， V ＝13×π×22×23＝83π3. (4)设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长AB ＝BC ＝a ，高AA 1＝b ， 则VABCD －A 1B 1C 1D 1＝S 四边形ABCD ×AA 1＝a 2b ，VP －D 1DB ＝VB －D 1DP ＝13S △D 1DP·BC＝13×12ab·a＝16a 2b ，∴VP －D 1DB VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16，即V 1V ＝16.[引申]若将本例(2)中的俯视图改为，则该几何体的体积为_83__，表面积为_83__.[解析] 几何体为如图所示的正三棱锥(棱长都为22)． ∴V ＝8－4×43＝83，S ＝4×34×(22)2＝8 3.名师点拨求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体 积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换注：若以三视图的形式给出的几何体问题，应先得到直观图，再求解． 〔变式训练2〕(1)(2020·海南)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A －NMD 1的体积为_13__.(2)(2021·开封模拟)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( C )A ．3B ．32 C ．1D ．32(3)(2017·浙江)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( A )A ．16 B ．13 C ．12D ．1(4)(2021·浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( B )A ．8B ．8πC ．16D ．16π[解析] (1)如图，∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，∴S △ANM ＝12×1×1＝12，∴VA －NMD 1＝VD 1－AMN ＝13×12×2＝13，故答案为：13.(2)如题图，在正△ABC 中，D 为BC 的中点，则有AD ＝32AB ＝3，又因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高，所以V 三棱锥A －B 1DC 1＝13·S△B 1DC 1·AD＝13×12×2×3×3＝1，故选C ．(3)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示．其底面是等腰直角三角形ACB ，直角边长为1，三棱锥的高为1，故体积V ＝13×12×1×1×1＝16.故选A ．(4)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：12×22π×4＝8π.故选B ．考点三 球与几何体的切、接问题——多维探究角度1 几何体的外接球例3 (1)(2021·河南中原名校质量测评)已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，若外接球的表面积为16π，则PA ＝_23或2__.(2)(2020·新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( A )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π(3)(2019·全国)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E 、F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( D )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π[解析] (1)由外接球的表面积为16π，可得其半径为2，设△ABC 的中心为O 1，则外接球的球心一定在PO 1上，由正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，得AO 1＝3，在Rt △AOO 1中，由勾股定理可得(PO 1－2)2＋(3)2＝22，解得PO 1＝3或PO 1＝1，又PA 2＝PO 21＋AO 21，故PA ＝9＋3＝23或PA ＝1＋3＝2，故答案为：23或2.(2)由题意可知图形如图：⊙O 1的面积为4π， 可得O 1A ＝2， 则ABsin60°＝2O 1A ＝4，∴AB ＝4sin60°＝23，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝23，外接球的半径为：R＝AO21＋OO21＝4，球O的表面积为：4×π×42＝64π，故选A．(3)∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，∴P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，又E，F分别为PA、AB中点，∴EF∥PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，∴PA＝PB＝PC＝2，∴P－ABC为正方体一部分，2R＝2＋2＋2＝6，即R＝62，∴V＝43πR3＝43π×668＝6π.名师点拨几何体外接球问题的处理(1)解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．注意：不共面的四点确定一个球面．角度2 几何体的内切球例4 (1)(2020·新课标Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_23π__. (2)(2021·安徽蚌埠质检)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，AD 的中点，把△AEF ，△CBE ，△CFD 折起构成一个三棱锥P －CEF(A ，B ，D 重合于P 点)，则三棱锥P －CEF 的外接球与内切球的半径之比是_26__.[解析] (1)因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图，圆锥母线BS ＝3，底面半径BC ＝1， 则其高SC ＝BS 2－BC 2＝22， 不妨设该内切球与母线BS 切于点D ， 令OD ＝OC ＝r ，由△SOD ∽△SBC ，则OD OS ＝BCBS ，即r22－r ＝13，解得r ＝22，V ＝43πr 3＝23π，故答案为：23π.(2)不妨设正方形的边长为2a ，由题意知三棱锥P －CEF 中PC 、PF 、PE 两两垂直，∴其外接球半径R ＝PC 2＋PF 2＋PE 22＝62a ，下面求内切球的半径r ，解法一(直接法)：由几何体的对称性知，内切球的球心在平面PCH(H 为EF 的中点)内，M 、N 、R 、S 为球与各面的切点，又22＝tan ∠CHP ＝tan2∠OHN ， ∴tan ∠OHN ＝22＝rNH，∴NH ＝2r ， 又PN ＝2r ，∴22r ＝PH ＝22a ，∴r ＝a 4. 解法二(体积法)：V C －PEF ＝13r·(S △PEF ＋S △PCE ＋S △PCF ＋S △CEF )，∴a 3＝r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＋a 2＋2a 2×32a 2，∴r ＝a 4，故R r ＝6a 2·4a＝2 6.名师点拨几何体内切球问题的处理(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．(2)利用体积法求多面体内切球半径． 〔变式训练3〕(1)(角度1)(2020·南宁摸底)三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝ PB ＝ PC ＝3，PA ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( B )A ．27π2B ．273π2C ．273πD ．27π(2)(角度1)(2021·山西运城调研)在四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝23，BC ＝6，AD ⊥平面ABC ，四面体ABCD 的体积为 3.若四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( B )A ．49π4B ．49πC ．49π2D ．4π(3)(角度2)棱长为a 的正四面体的体积与其内切球体积之比为_63π__.[解析] (1)因为三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，所以△PAB ≌△PBC ≌△PAC ．因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PC ⊥PB ．以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P －ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3323＝273π2.故选B ．(2)如图，H 为BC 的中点，由题意易知AH ＝3，设△ABC 外接圆圆心为O 1，则|O 1C|2＝32＋(3－|O 1C|)2，∴|O 1C|＝23，又12×6×3×|AD|3＝3，∴|AD|＝1，则|OA|2＝|O 1C|2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝494，∴S 球O ＝4πR 2＝49π，故选B ．(3)如图，将正四面体纳入正方体中，显然正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD 的中心O 1都在正方体的对角线上，设正四面体的棱长为a ，则|AO|＝64a ，又|O 1A|＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，∴内切球半径|OO 1|＝612a ，∴V 正四面体V 内切球＝13×34a 2×63a4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫612a 3＝63π.名师讲坛·素养提升 最值问题、开放性问题例5 (1)(最值问题)(2018·课标全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( B )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3(2)(2021·四川凉山州模拟)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝12，AB ＝2，若四面体A －B 1CD 1的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为( C )A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π[解析] (1)设等边△ABC 的边长为a ，则有S △ABC ＝12a·a·sin 60°＝93，解得a ＝6.设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，则球心到平面ABC 的距离为42－232＝2，所以点D 到平面ABC 的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝183，故选B ．(2)设BC ＝x ，BB 1＝y ，由于V ＝12，所以xy ＝6.根据长方体的对称性可知四面体A －B 1CD 1的外接球即为长方体的外接球， 所以r ＝4＋x 2＋y22，所以S ＝4πr 2＝π(4＋x 2＋y 2)≥π(4＋2xy)＝16π， (当且仅当x ＝y ＝6，等号成立)． 故选C ．名师点拨立体几何中最值问题的解法(1)观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．(2)设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或导数计算最值．例6 (开放性问题)若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值为_116⎝ ⎛⎭⎪⎫或1412等__(只需写一个可能值)． [解析] 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝AD ＝2，BC ＝1，取AD 的中点H ，则CH ＝BH ＝3，且AH ⊥平面BCH ，又S △BCH ＝114，∴V A －BCD ＝13S △BCH ×2＝116. 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝1，同理可求得V A －BCD ＝1412.〔变式训练4〕(2021·河南阶段测试)四面体ABCD 中，AC ⊥AD ，AB ＝2AC ＝4，BC ＝25，AD ＝22，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是_28π__.[解析] 由已知可得BC 2＝AC 2＋AB 2，所以AC ⊥AB ，又因为AC ⊥AD ，所以AC ⊥平面ABD ，四面体ABCD 的体积V ＝13AC·12AB·ADsin∠BAD ，当∠BAD ＝90°时V 最大，把四面体ABCD 补全为长方体，则它的外接球的直径2R 即长方体的体对角线，(2R)2＝AD 2＋AC 2＋AB 2＝28，所以外接球的表面积为4πR 2＝28π.。
高中数学立体几何表面积与体积复习
高中数学立体几何表面积与体积复习公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-空间几何体的表面积与体积考情考向分析本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式主要以填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想．1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公S圆柱侧＝S圆锥侧＝S圆台侧＝式3.名称表面积体积几何体柱体(棱柱和S表面积＝S侧＋2S底 V＝圆柱)锥体(棱锥和S表面积＝ V＝圆锥)台体(棱台和S表面积＝V＝圆台)球 S＝ V＝1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2题型一求空间几何体的表面积1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为________．3.各棱长均为2的正三棱锥的表面积是________．4.正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm，高是1cm，则它的侧面积为________cm2.5.已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.题型二求空间几何体的体积1. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P－ABA1的体积为________．2. 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是________．3. 已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为________．4. 已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a ，a 的矩形，求该圆柱的体积． 题型三 简单的等积变换1. 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为________．高考汇编1.(2013·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.2.(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．3.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．4. 如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是．5. 如图所示，正方体的棱长为2体积为 ．（第46.(2016·江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P —A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍． (1)若AB ＝6m ，PO 1＝2m ，则仓库的容积是多少(2)若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大 解 (1)V ＝13×62×2＋62×2×4＝312(m 3)．(2)设PO 1＝x ，则O 1B 1＝62－x 2，B 1C 1＝2·62－x 2， ∴1111A B C D S ＝2(62－x 2)，又由题意可得下面正四棱柱的高为4x .则仓库容积V ＝13x ·2(62－x 2)＋2(62－x 2)·4x ＝263x (36－x 2)．由V ′＝0得x ＝23或x ＝－23(舍去)． 由实际意义知V 在x ＝23(m)时取到最大值， 故当PO 1＝23(m)时，仓库容积最大．。
高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积
高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，下面是小编整理的高考数学知识点：空间几何体的`表面积和体积，希望对大家有帮助!1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh 体积:πRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR+πR[(h+R)的平方根] 体积:πRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、正方体a-边长,S=6a ,V=a4、长方体a-长 ,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc5、棱柱S-底面积 h-高 V=Sh6、棱锥S-底面积 h-高 V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积 h-高 V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1-上底面积 ,S2-下底面积 ,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径 ,h-高 ,C—底面周长S底—底面积 ,S侧—侧面积 ,S表—表面积C=2πrS底=πr,S侧=Ch ,S表=Ch+2S底 ,V=S底h=πrh10、空心圆柱R-外圆半径 ,r-内圆半径 h-高V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径 h-高V=πr^2h/312、圆台r-上底半径 ,R-下底半径 ,h-高V=πh(R+Rr+r)/313、球r-半径 d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a+h)/6 =πh(3r-h)/3 15、球台r1和r2-球台上、下底半径 h-高V=πh[3(r1+r2)+h]/616、圆环体R-环体半径 D-环体直径 r-环体截面半径 d-环体截面直径V=2π2Rr =π2Dd/417、桶状体D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高V=πh(2D+d)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D+Dd+3d/4)/15 (母线是抛物线形)。
高考数学总复习考点知识专题讲解37---空间几何体的表面积和体积
最新考纲：1.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算 公式；2.了解球、柱体、锥体、台体的体积计算公式．
基础
知识回顾
1．多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所 有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
角度2：几何体的内切球
【例3－2】 (1)(2019·重庆七校联考)已知正三棱锥的
高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面
边长为( B )
A．18
B．12
C．6 3
D．4 3
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)(2019·广东七校第二次联考)在四棱锥P－ABCD中， 四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD ＝2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值 为_(_2_－___2_)_a．
1 2
×3×4×5－
1 3
×
1 2
×3×4×(5－2)＝
24，故选C.
2．(2019·福建泉州期中)已知一几何体的三视图如图所 示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的 体积为( B )
A．16＋8π B．136＋8π C．16＋16π D．136＋16π
[解析] 由三视图可知，该几何体是一个三棱锥与半圆
[拓展探究] (1)本例(1)改为“侧棱和底面边长都是3 2
的正四棱锥”，则其外接球的半径是___3_____． (2)本例(2)改为：底面为正三角形的直棱柱ABC－
A′B′C′的6个顶点都在球面上，且AB＝6，AA′＝12， 则球O的半径是__4__3____．
2025届高考一轮复习《基本立体图形、简单几何体的表面积与体积》课件
高考一轮总复习•数学
第27页
即 12＝A0O.61， 解得 AO1＝0.6 2， 根据对称性可知圆柱的高为 3－2×0.6 2≈1.732－1.2×1.414＝0.035 2>0.01， 所以能够被整体放入正方体内，故 D 符合题意． 故选 ABD.
高考一轮总复习•数学
第26页
设 OE∩AC＝E，可知 AC＝ 2，CC1＝1，AC1＝ 3，OA＝ 23，
那么
tan∠CAC1＝CACC1＝OAOE，即
1 ＝OE， 23
2
解得 OE＝ 46，且 462＝38＝294>295＝0.62，
即 46>0.6，
所以以 AC1 为轴可能对称放置底面直径为 1.2 m 圆柱，若底面直径为 1.2 m 的圆柱与正 方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心为 O1，与正方体的下底面的切点为 M，
圆台
体积 V＝ Sh ＝πr2h
V＝
1 3Sh
＝13πr2h＝13πr2
l2－r2
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h
＝13π(r21＋r22＋r1r2)h
第11页
高考一轮总复习•数学
名称 棱柱 棱锥 棱台 球
体积 V＝ Sh
1 V＝ 3Sh V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝43πR3
＝ 直观图
2 4S
原图形．
高考一轮总复习•数学
以三角形为例说明原因：
第36页
S
直观图＝12B′C′·O′A′·sin
高考一轮总复习•数学
第24页
解析：(1)由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形 成的面围成的旋转体是圆台，故 A 错误；
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空间几何体的表面积与体积
考情考向分析本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式主要以填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想．1．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱圆锥圆台侧面展开图
侧面积公式S圆柱侧＝S圆锥侧＝S圆台侧＝
3.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
表面积体积
几何体
柱体(棱柱和圆
S表面积＝S侧＋2S底 V＝
柱)
锥体(棱锥和圆
S表面积＝ V＝
锥)
台体(棱台和圆
S表面积＝V＝
台)
球 S＝ V＝
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
2．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2题型一求空间几何体的表面积
1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为________．
3.各棱长均为2的正三棱锥的表面积是________．
4.正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm，高是1cm，则它的侧面积为________cm2.
5.已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.
题型二求空间几何体的体积
1. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P－ABA1的体积为________．
2. 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是________．
3. 已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为________．
4. 已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，求该圆柱的体积．
题型三简单的等积变换
1. 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1
的体积为________．
高考汇编
1.(2013·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.
2.(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面
积相等，且S 1S 2＝94，则V 1
V 2
的值是________．
3.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
4. (2017.6)如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．
记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则
1
2
V V 的值是______． ．
5. (2018.10)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积
为 ．
6.(2016·江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥
P —A 1B 1C 1D 1
，下部分的形状是正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1
是正四棱锥的高PO 1的4倍．
(1)若AB ＝6m ，PO 1＝2m ，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)V ＝13×62×2＋62×2×4＝312(m 3
)．
(2)设PO 1＝x ，
则O 1B 1＝62
－x 2
，B 1C 1＝2·62
－x 2
， ∴1111A B C D S ＝2(62
－x 2
)，
又由题意可得下面正四棱柱的高为4x .
O
O 1
O 2
（第4题）
则仓库容积V ＝13x ·2(62－x 2)＋2(62－x 2)·4x ＝263
x (36－x 2
)．
由V′＝0得x＝23或x＝－23(舍去)．
由实际意义知V在x＝23(m)时取到最大值，故当PO1＝23(m)时，仓库容积最大．
. .。