sj7刚体的简单运动
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7刚体的简单运动机械设计班
O1A=O2B =r=20cm , AB=O1O2=40cm AC=CB
求连杆中点C 求连杆中点C的速度 杆的运动形式？ 1 O1A杆的运动形式？ AB杆的运动形式 杆的运动形式？ 2 AB杆的运动形式？ AB杆上任一点的速度 3 AB杆上任一点的速度
A C B
ω
O1
O2
16
铅直平面内的运动机构O 铅直平面内的运动机构 1A=O2B =r=20cm ,AB=O1O2=40cm M AB杆上 杆上M AB杆上M点的速度
19
判断题 3 各点都作圆周运动的刚体的运动形式 一定是定轴转动
20
判断题 刚体绕定轴转动时，所有点的轨迹都是圆。 4 刚体绕定轴转动时，所有点的轨迹都是圆。
21
判断题 5 刚体绕定轴转动时，角加速度为正，表示加速转动； 刚体绕定轴转动时，角加速度为正，表示加速转动； 角加速度为负，表示减速转动。 角加速度为负，表示减速转动。 刚体绕定轴转动时， 6 刚体绕定轴转动时，其上各点的速度大小与 点到轴心的距离成正比例关系。 点到轴心的距离成正比例关系。
第七章 刚体的简单运动
1
§7–1 刚体的平行移动 1
一 平行移动
平行移动的判断 以及特点
2
平行四连杆机构 观察蓝色杆 在滑道里面运动的杆的运动 蓝色杆、 观察蓝色杆、在滑道里面运动的杆的运动
3
平行四连杆机构。 平行四连杆机构。 观察带有固定圆的那个杆的运动
4
二 平移刚体内各点的运动轨迹速度加速度
vD
O
各点速度的大小与该点 A 到轴心的距离成正比 D vB 速度的方向垂直于该点到 ω 轴心的连线，指向图形 轴心的连线， B 转动的一方。
11
vA
§7–3转动刚体内各点的速度和加速度 3转动刚体内各点的速度和加速度
求连杆中点C 求连杆中点C的速度 杆的运动形式？ 1 O1A杆的运动形式？ AB杆的运动形式 杆的运动形式？ 2 AB杆的运动形式？ AB杆上任一点的速度 3 AB杆上任一点的速度
A C B
ω
O1
O2
16
铅直平面内的运动机构O 铅直平面内的运动机构 1A=O2B =r=20cm ,AB=O1O2=40cm M AB杆上 杆上M AB杆上M点的速度
19
判断题 3 各点都作圆周运动的刚体的运动形式 一定是定轴转动
20
判断题 刚体绕定轴转动时，所有点的轨迹都是圆。 4 刚体绕定轴转动时，所有点的轨迹都是圆。
21
判断题 5 刚体绕定轴转动时，角加速度为正，表示加速转动； 刚体绕定轴转动时，角加速度为正，表示加速转动； 角加速度为负，表示减速转动。 角加速度为负，表示减速转动。 刚体绕定轴转动时， 6 刚体绕定轴转动时，其上各点的速度大小与 点到轴心的距离成正比例关系。 点到轴心的距离成正比例关系。
第七章 刚体的简单运动
1
§7–1 刚体的平行移动 1
一 平行移动
平行移动的判断 以及特点
2
平行四连杆机构 观察蓝色杆 在滑道里面运动的杆的运动 蓝色杆、 观察蓝色杆、在滑道里面运动的杆的运动
3
平行四连杆机构。 平行四连杆机构。 观察带有固定圆的那个杆的运动
4
二 平移刚体内各点的运动轨迹速度加速度
vD
O
各点速度的大小与该点 A 到轴心的距离成正比 D vB 速度的方向垂直于该点到 ω 轴心的连线，指向图形 轴心的连线， B 转动的一方。
11
vA
§7–3转动刚体内各点的速度和加速度 3转动刚体内各点的速度和加速度
理论力学课件07第七章-刚体的简单运动PPT课件
26n03n01n0(rad) /s
α与方向一致为加速转动, α与 方向相反为减速转动。
3.匀速转动和匀变速转动 当 =常数,为匀速转动；当α =常数,为匀变速转动。
常用公式
0 t
0
t
1t2
精选2பைடு நூலகம்
与点的运动相类似。
9
§7－3 转动刚体内各点的速度和加速度
一、速度
z
S R
v
dS dt
Rddt
2avr2
av 2 r2
av2
2 r3
精选
17
（例2）
升降机装置由半径R＝50cm的鼓轮带动，被升降物体M 的运动方程为x=5t2（t：时间，秒；x：高度，米），求： （1）鼓轮的角速度和角加速度； （2）任一时刻轮缘上一点的全加速度大的大小。
解： (1) 轮缘上任一点的速度和切向加速度分别为：
1
4
公式，有：
3
i12
n1 n2
Z2 Z1
n1
i 34
n3 n4
Z4 Z3
两式相乘，得：
精选
25
n1n3 Z2Z4
n2n4
Z1Z3
因 n2= n3 ，所以有：
i14 n n 1 4Z Z 2 1Z Z 3 4131 6 1 3 22 2 1 8.4 2
n4in 1141 14 2 .450 117(r/min)
③
ω α
θ a3
精选
12
〔例1〕画点的速度和加速度
试画出图中刚体上Ｍ、Ｎ两点在图示位置时的速度和
加速度。 (O 1 A O 2 B , O 1 O 2 A)B
ω为常数 αα
精选
13
第7章刚体的简单运动
2 =0.2 × (-2)=-0.4 m/s aM= r
B
vM
M
aM
r A
aMn
O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
B
vM
M
aM
r A
aMn
O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
(7)刚体的简单运动
ϕ
ϕ = ϕ(t )
转动.exe
A B
dϕ & 角速度 ω = =ϕ dt
dω d 2 ϕ && 角加速度 α = = 2 =ϕ dt dt
注意它们都是代数量. 同号, 注意它们都是代数量 如果 ω 与 α 同号 转动是加速 异号, 则转动是减速的. 的; 如果 ω 与 α 异号 则转动是减速的
§7 – 3 转动刚体内各点的速度和加速度分布
Q 磁带不可伸长 ∴ ω 1 r1 = ω 2 r2
r1 ω 2 = ω1 r2
& & r1 r2 − r2 r1 α2 = ⋅ ω1 2 r2
O1 A
r1
O2 B
r2
ω1
ω2
又 ,由题意可得 θ θ r1 = r10 + 1 b r2 = r20 − 2 b 2π 2π b b br & & r1 = ω1 r2 = − ω 2 = − 1 ω1 2π 2π 2πr2 ∴ 最后可得
B
r A = r B + r BA (1)
为运动的参考点, 取O为运动的参考点 有: 为运动的参考点
∴ r A (t ) , r B (t ) 属于同一函数族 , 表示同一族曲线 .
故 A 点和 B 点描绘的曲线的形状相 同.
式两边同时对t 将 ( 1 ) 式两边同时对 求导 :
dr A drB , = dt dt
第七章
刚体的简单运动
平动和转动. 本章将研究刚体的两种最基本的运动 ——— 平动和转动 注 意这两种运动在概念上的独立性和不相容性, 意这两种运动在概念上的独立性和不相容性 以及实现这两种 的约束条件. 运动 的约束条件
理论力学第七章刚体的简单运动
解：1） aτ = α R = a M ⋅ sin θ a M sin θ 40 × sin 30° ∴α = = = 50 rad/s 2 0.4 R 1 Q ω 0 = 0 ,∴ ϕ = ω 0 t + α t 2 = 25 t 2 2
转动方程 = 25t 2 ϕ ∴
& Q 2） ω = ϕ = 50 t ∴ v M = Rω = 20 t = 100 m / s
逆时针为正
顺时针为负
dω d 2ϕ & = = ϕ& = f ′′(t ) (代数量) α= 2 dt dt 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s2
同号，则是加速转动； 如果ω与α同号，则是加速转动； 异号，则是减速转动。 如果ω与α异号，则是减速转动。
⇒ ω 1 R1 = ω 2 R2 ⇒ ω 1 = R2 ω2 R1
齿轮传动比： 齿轮传动比： ——主动轮和从动轮的角速度的比值。 主动轮和从动轮的角速度的比值。
i 12 R2 Z2 ω1 = = = ω2 R1 Z1
14
7-4
轮系的传动比
2.外啮合 2.外啮合
当各轮规定有正向时，角 当各轮规定有正向时， 取代数值， 速度ω 取代数值，传动比也 取代数值。 取代数值。
第七章 刚体的简单运动
7-1 刚体的平行移动 刚体有两种简单的运动： 1 刚体有两种简单的运动： ）刚体的平行移动 2）刚体的定轴转动 一.刚体平动的定义: 刚体平动的定义: 刚体内任一直线，在运动过程中始终平 刚体内任一直线， 行于初始位置。 行于初始位置。 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
刚体的简单运动
5
运动学
例 题 7- 1
第七章 刚体的简单运动
O1 l A O
（+）
O2 l M B
荡木用两条等长的钢索 平行吊起，如图所示。钢索 长为长 l ，度单位为 m 。当荡 木摆动时钢索的摆动规律 π t，其中 t 为 为 ϕ = ϕ 0 sin 4 时间，单位为s；转角φ0的单 位 为 rad ， 试 求 当 t=0 和 t=2 s 时，荡木的中点M的速度和加 速度。
这里ϕ 0和ω 0是t = 0 时转角和角速度。
13
运动学
第七章 刚体的简单运动
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆 周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转 轴垂直，半径R等于该点到轴线的距离。 用自然法， 点在 Δ t时间内，走过的弧长为 Δs=Δϕ R 速度
d 2 rB d2 d 2 rA aB = = 2 ( rA + rAB ) = = aA 2 2 dt dt dt
4
运动学
第七章 刚体的简单运动
由于点A和点B是刚体上的任意两点，因此可以 得出如下结论 平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样， 加速度都一样 各点的运动轨迹 形状相同。 即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
π s = ϕ 0 l sin t 4
ds π π = lϕ 0 cos t dt 4 4
将上式对时间求导，得A点的速度
v=
7
运动学
例 题 7- 1
O1 O2
第七章 刚体的简单运动
再求一次导，得A点的切向加速度
φ l
A O
（+）
l M B
π dv π2 at = =− lϕ 0 sin t dt 16 4
运动学
例 题 7- 1
第七章 刚体的简单运动
O1 l A O
（+）
O2 l M B
荡木用两条等长的钢索 平行吊起，如图所示。钢索 长为长 l ，度单位为 m 。当荡 木摆动时钢索的摆动规律 π t，其中 t 为 为 ϕ = ϕ 0 sin 4 时间，单位为s；转角φ0的单 位 为 rad ， 试 求 当 t=0 和 t=2 s 时，荡木的中点M的速度和加 速度。
这里ϕ 0和ω 0是t = 0 时转角和角速度。
13
运动学
第七章 刚体的简单运动
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆 周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转 轴垂直，半径R等于该点到轴线的距离。 用自然法， 点在 Δ t时间内，走过的弧长为 Δs=Δϕ R 速度
d 2 rB d2 d 2 rA aB = = 2 ( rA + rAB ) = = aA 2 2 dt dt dt
4
运动学
第七章 刚体的简单运动
由于点A和点B是刚体上的任意两点，因此可以 得出如下结论 平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样， 加速度都一样 各点的运动轨迹 形状相同。 即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
π s = ϕ 0 l sin t 4
ds π π = lϕ 0 cos t dt 4 4
将上式对时间求导，得A点的速度
v=
7
运动学
例 题 7- 1
O1 O2
第七章 刚体的简单运动
再求一次导，得A点的切向加速度
φ l
A O
（+）
l M B
π dv π2 at = =− lϕ 0 sin t dt 16 4
第七章 刚体的简单运动
=200mm,R=450mm,α＝60o，A , ＝
aAτ
aA
解：由于A,B两点到固定点 的 由于 两点到固定点O的 两点到固定点 距离保持不变，因此，AB杆的 距离保持不变，因此，AB杆的 运动为绕O轴的定轴转动 轴的定轴转动。 运动为绕 轴的定轴转动。 将A点的加速度在切向和法向投影
2 aAn = ( r + R) ωAB = aA cos60o 1
已知：OA= 已知：OA=O1B=l=2r, AB=OO1 ,A点 ,A点 的加速度水平且为a 齿轮B AB焊接在一起 焊接在一起。 的加速度水平且为aA，齿轮B与AB焊接在一起。 求：此时轮O1角速度和角加速度 此时轮O aA
例 题6
aτ A
A
n aA
B C O1
解：将A点的加速度分解
n aτ = aA sin ϕ, aA = aA cosϕ A
点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义 化率区分开来， 更加清晰。 更加清晰。
结论与讨论
点的运动学应用的两类问题
第一类问题： 第一类问题：
已知运动轨迹，确定速度与加速度； 已知运动轨迹，确定速度与加速度； 给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。 给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。
dvτ v & + τ& a = vτ vτ= + n τ τ dt dt ρ a = aτ + an
速度大小的变化率 速度方向的变化率
2 τ
hv0 dϕ ω= = 2 22 dt h + v0t 2hv t dω =− 2 α= dt (h + v t )
3 0 2 2 2 0
例题 4
07 刚体的简单运动
v
M点的切向加速度 M点的法向加速度
B
dv at = = a. dt
2 2as + v0 an = = ρ R
v2
M点的总加速度 s
A
2 a = at2 + an =178 m/ s2
23
例题
刚体的基本运动
例 题 5
如图a 如图a，b分别表示一对外
O1 Ⅰ （a） O2 Ⅱ
啮合和内啮合的圆柱齿轮。 啮合和内啮合的圆柱齿轮。已 知齿轮Ⅰ 的角速度是ω 知齿轮 Ⅰ 的角速度是 ω1 ， 角 加速度是α 试求齿轮Ⅱ 加速度是 α1， 试求齿轮 Ⅱ的角 速度ω 和角加速度α 速度ω2和角加速度α2 ，齿轮Ⅰ 齿轮Ⅰ 和Ⅱ的节圆半径分别是R1和R2， 的节圆半径分别是R 齿数分别是z 齿数分别是z1和z2。
π sA = lϕ = lϕ0 sin t 4
dv π2 π = − lϕ0 sin t at = dt 16 4
ds π π vA = = lϕ0 cos t dt 4 4
v2 π2 2 2 π an = = lϕ0 cos t l 16 4
6
例题
刚体的基本运动
例 题 1
O1 φ l A O
（+）
9
4.角加速度 4.角加速度
定义：刚体转动的角加速度等于角速度对时间的一次导数， 定义：刚体转动的角加速度等于角速度对时间的一次导数， 转角对时间的二次导数
dω d 2ϕ = 2 α= dt dt
物理意义： 物理意义：说明了角速度变化的快慢 如ω 、α 同号 如ω 、α 异号 刚体作加速转动 刚体作减速转动
11
例题
刚体的基本运动
例 题 2
导杆机构如图所示。 已知曲柄OA 导杆机构如图所示 。 已知曲柄 OA 以匀角速度ω 以匀角速度 ω 绕 O轴转动 ， 其转动方程 轴转动， φ=ωt，通过滑块带动摇杆O1B绕O1轴摆 ωt，通过滑块带动摇杆O OA= 求摇杆O 动 。 设 OA=r ， OO1=l=2r ， 求摇杆 O1B 的转动方程。 的转动方程。 假设任意时刻， 解：假设任意时刻，机构处于图示 位置，由几何关系可知： 位置，由几何关系可知： AD O E OO1 −OE tanθ = = 1 = O D AE AE 1
运动学(刚体简单运动)
刚体的简单运动刚体的定轴转动三定轴转动刚体上点的加速度刚体定轴转动时各点均作圆周运动由自然法知转动刚体内一点的切向加速度大小等于刚体的角加速度与该点到轴线的垂直距离的乘积方向沿圆周的切线方向指向由角加速度决定
刚体的简单运动
§1 刚体的平行移动 §2 刚体的定轴转动 结论与讨论
习题
刚体的平行移动
刚体的简单运动
一、刚体平动的定义
在刚体上任取一条直线，若在运动过程中这 条直线始终与其初始的空间位置平行，则该 运动称为刚体的平行移动，简称平动。
刚体的平行移动
刚体的简单运动
二、刚体平动的运动分析
rA rB rBA rA rB rBA v A vB a A aB
刚体平移可归结为刚体内任一点（通常是质心）的运动。
2 O1 950 99.48rad/s 60
O
2
Z1 20 O1 99.48 39.79rad/s Z2 50
vC O2 AO2 0.25 39.79 9.95m/s
刚体的定轴转动
刚体的简单运动
例三 曲柄滑杆机构中,滑杆上有一圆弧滑道,其半径R=100mm, 圆心O1在导杆BC上.曲柄OA=100mm，以等角速度 4 rad 绕 s O轴转动.求导杆BC的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角为 30时,导杆BC的速度和加速度。
刚体的简单运动
例六 图示一减速箱，由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1＝10， Z2＝60 ， Z3＝12 ， Z4＝70 。（1）求减速箱的总传动比i13（2） 如果n1=3000rpm，求n3 。
n1 n1 n2 Z 2 Z 3 i13 i12 i23 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z 2
刚体的简单运动
§1 刚体的平行移动 §2 刚体的定轴转动 结论与讨论
习题
刚体的平行移动
刚体的简单运动
一、刚体平动的定义
在刚体上任取一条直线，若在运动过程中这 条直线始终与其初始的空间位置平行，则该 运动称为刚体的平行移动，简称平动。
刚体的平行移动
刚体的简单运动
二、刚体平动的运动分析
rA rB rBA rA rB rBA v A vB a A aB
刚体平移可归结为刚体内任一点（通常是质心）的运动。
2 O1 950 99.48rad/s 60
O
2
Z1 20 O1 99.48 39.79rad/s Z2 50
vC O2 AO2 0.25 39.79 9.95m/s
刚体的定轴转动
刚体的简单运动
例三 曲柄滑杆机构中,滑杆上有一圆弧滑道,其半径R=100mm, 圆心O1在导杆BC上.曲柄OA=100mm，以等角速度 4 rad 绕 s O轴转动.求导杆BC的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角为 30时,导杆BC的速度和加速度。
刚体的简单运动
例六 图示一减速箱，由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1＝10， Z2＝60 ， Z3＝12 ， Z4＝70 。（1）求减速箱的总传动比i13（2） 如果n1=3000rpm，求n3 。
n1 n1 n2 Z 2 Z 3 i13 i12 i23 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z 2
七刚体的基本运动PPT课件
第七章 刚体的基本运动
第七章 刚体的简单运动
§7-1 刚体的平行移动(平动)
如果刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平 行,这种运动称为刚体的平行移动,简称平动或移动。
vA
A
A1 A2
rA
vB aA
平面平行四连杆机构
B rB
aB B1
B2
o
rA rB BA vA vB aA aB
＝2πn πn
60 30
匀速运动，ω=常数，ε=0
d dt
t 0, 0 0 t
匀变速运动，ε=常数
d
dt
t 0, 0 0
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2( 0 )
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
s R
速度:
v s R R
大小： 方向：
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m， 可绕水平轴O转动，轮缘上 缠有不可伸长的细绳，绳的 一端挂有物体A（如图）， 已知滑轮绕轴O的转动规律 φ=0.15t3 ，其中t以s计，φ 以 rad计，试求t=2 s时轮缘上 M点和物体A的速度和加速 度。
解： 首先根据滑轮的转动规律，求得它的角 速度和角加速度
vA vM 0.36 m s－1
aA at 0.36 m s－2
vA
它们的方向铅直向下。
aA
M
R O
v
B
s
A
半径R=20 cm的滑轮可绕 水平轴O转动，轮缘上绕有不 能伸长的细绳，绳的另一端与 滑轮固连，另一端则系有重物 A，设物体A从位置B出发，以 匀加速度a =4.9 m·s－2向下降 落，初速v0=4 m·s－1，求当物 体落下距离s =2 m时轮缘上一 点 M 的速度和加速度。
第七章 刚体的简单运动
§7-1 刚体的平行移动(平动)
如果刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平 行,这种运动称为刚体的平行移动,简称平动或移动。
vA
A
A1 A2
rA
vB aA
平面平行四连杆机构
B rB
aB B1
B2
o
rA rB BA vA vB aA aB
＝2πn πn
60 30
匀速运动，ω=常数，ε=0
d dt
t 0, 0 0 t
匀变速运动，ε=常数
d
dt
t 0, 0 0
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2( 0 )
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
s R
速度:
v s R R
大小： 方向：
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m， 可绕水平轴O转动，轮缘上 缠有不可伸长的细绳，绳的 一端挂有物体A（如图）， 已知滑轮绕轴O的转动规律 φ=0.15t3 ，其中t以s计，φ 以 rad计，试求t=2 s时轮缘上 M点和物体A的速度和加速 度。
解： 首先根据滑轮的转动规律，求得它的角 速度和角加速度
vA vM 0.36 m s－1
aA at 0.36 m s－2
vA
它们的方向铅直向下。
aA
M
R O
v
B
s
A
半径R=20 cm的滑轮可绕 水平轴O转动，轮缘上绕有不 能伸长的细绳，绳的另一端与 滑轮固连，另一端则系有重物 A，设物体A从位置B出发，以 匀加速度a =4.9 m·s－2向下降 落，初速v0=4 m·s－1，求当物 体落下距离s =2 m时轮缘上一 点 M 的速度和加速度。
刚体的简单运动
rA = rA( t), rB = rB (t)
而
r B = r A + r AB
d rB d drA d rAB ∴v B = = ( rA + rAB ) = = v A (Q = 0) dt dt dt dt
d 2 rB d 2 d 2 rA 同理 :a B = 2 = 2 ( rA + rAB ) = 2 = a A dt dt dt
2πn πn n ω= = ≈ (rad/s) 60 30 10
2.角加速度 角加速度: 角加速度 设当t 时刻为ω , t +△t 时刻为ω+△ω
∆ω = dω = d 2ϕ =ϕ& = f ′′( t ) & ∴角加速度 :ε = lim 单位:rad/s2 (代数量 代数量) 单位 代数量 dt dt 2 ∆t → 0 ∆ t
§7.1 刚体的平行移动
刚体平移的定义: 一.刚体平移的定义 刚体平移的定义 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。 [例]
它的轨迹
可以是直线 可以是曲线
动画
平移实例
二. 刚体平移的特点: 刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹,速度 加速度都一样 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹 速度,加速度都一样。 速度 加速度都一样。 AB在运动中方向和大小始 在运动中方向和大小始 终不变。 终不变。
aτ εR ε tg α = = 2 = 2 an ω R ω
结论: 结论 ① v方向与ω 相同时为正 , ⊥R ,与 R 成正比。 方向与 与 成正比。 都一致,且 ②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角α 都一致 且 小于90 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为: 小于 o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为
第七章 刚体的简单运动
答案： ① (b) ； ② (a)
§7-４ 轮系的传动比
１、齿轮传动
① 啮合条件
Rω1 = vA = vB = R2ω2 1
② 传动比
ω1 R2 z2 i12 = ± = ± = ± ω2 R z1 1
２、带轮传动
rω1 = vA = v′ = v′ = vB = r2ω2 1 A B
ω1 r2 i12 = = ω2 r 1
M点切向加速度 M点法向加速度
r r r at = α × r
r r r r r r an = ω×v = ω×(ω× r )
减速箱的齿轮Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的 转轴在同一水平线上。各齿轮的齿数分别 为z1 = 36、z2= 112、z3 = 32 和 z4 = 128。 主动轮Ⅰ的转速n1 = 1450 r/min，求从动 轮Ⅳ的转速 n4 。 Ⅱ
例7-1 图示机构O1A = O2B = a，O1O2 = AB =
2R，半圆轮半径为R 。试问图示瞬时，轮上M点 的速度为 ① ；M点的轨迹曲率半径为 ② 。 M ① (a) Rω (b) a ω R A B (c) a ω sin 60° O ω
60 °
O1
O2
②
(a) a
(b) R
(c) a+R
( )
r r r dvB dvA r aB = = = aA dt dt
刚体平移→点的运动 →
§7-2 刚体绕定轴的转动
1、定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称 为刚体绕定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ转动，简称刚体的转动。 转轴 ：两点连线 转角： 单位:弧度(rad)
2、运动方程
= f (t )
3、角速度和角加速度
刚体的简单运动-教学讲座
r
v r
o
advd(r)
dt dt
drdr
dt
dt
a r v
a r r s i n R
an
v
v
z
an
R
v
M
a
r
A
2 aA cos 600 aA
OA 4OB
O
aB
OB
53 2
aBn B
aA 5 3
OA 2OB
aB aB2 aB2n 5m s2
个人整理，仅供交流学习！
o
at
d2s dt2
Rdd2t2
at R
s
M
an
v2
(R)2
R
an R2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体 的角加速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向 由角加速度的符号确定。
转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体 角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方 向与速度垂直并指向轴线。
a
ta6n0 0a an
rr2 2
an
3 32
2
d 32 3 d
d 3d
d 3d
lnln0 3
0e 3
tan vt
l
sin vt cos l
cos2 sin 2 d v
2R1 2R2
Z1
Z2
i12
1 2
1 2
R2 R1
z2 z1
传动 比
§ 以矢量表示角速度和角加速 以矢积表示点的速度和加速度
理论力学刚体的简单运动课件
A
vMr0.36 m s－ 1
理论力学 刚体的简单运动
vM at
aM M
O an
αω
加速度的两个分量
at r0.36m s－ 2
a nr2 0 .64m 8 s－ 2
总加速度 aM 的大小和方向
aMat2an20.74m 1 s－ 2
A
tan2 0.55,6
29
理论力学 刚体的简单运动
vM at
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aN
vN aM
v 理论力学 刚体的简单运动 M
思考2：试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aMt
aMn
vM
理论力学 刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
例 题 6- 1
O1 l A
O
（+）
荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索
长为长l，度单位为m。当荡
O2
木摆动时钢索的摆动规律
M
l B
为
0
s inπ 4
t，其中
t
为
时间，单位为s；转角φ0的单
位为rad，试求当t=0和t=2 s时，
荡木的中点M的速度和加速
度。
理论力学 刚体的简单运动
O1 φl
2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度 v r 大 方 小 向 右 手 r法 si则 n R v
加速度 advdr
dt dt
vMr0.36 m s－ 1
理论力学 刚体的简单运动
vM at
aM M
O an
αω
加速度的两个分量
at r0.36m s－ 2
a nr2 0 .64m 8 s－ 2
总加速度 aM 的大小和方向
aMat2an20.74m 1 s－ 2
A
tan2 0.55,6
29
理论力学 刚体的简单运动
vM at
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aN
vN aM
v 理论力学 刚体的简单运动 M
思考2：试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aMt
aMn
vM
理论力学 刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
例 题 6- 1
O1 l A
O
（+）
荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索
长为长l，度单位为m。当荡
O2
木摆动时钢索的摆动规律
M
l B
为
0
s inπ 4
t，其中
t
为
时间，单位为s；转角φ0的单
位为rad，试求当t=0和t=2 s时，
荡木的中点M的速度和加速
度。
理论力学 刚体的简单运动
O1 φl
2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度 v r 大 方 小 向 右 手 r法 si则 n R v
加速度 advdr
dt dt
第7章 刚体的简单运动
第七章 刚体的简单运动在工程实际中，最常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动。
一些较为复杂的刚体运动，如车轮在直线轨道上的滚动等，都可以归结为这两种基本运动的组合。
因此，平动和转动是分析一般刚体运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动平动是刚体最简单的一种运动。
例如，车刀的刀架，摆式输送机的料槽，以及沿直线轨道行驶的列车的车厢等，都是平动的实例。
这些刚体的运动具有一个共同的特点：运动时，刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。
刚体的这种运动称为平行移动，简称为平动。
刚体作平动时，刚体上的点可以是直线运动(刀架)，也可以是曲线运动(送料槽)。
现在就一般情形，研究刚体内各点的运动轨迹，速度和加速度。
刚体作平动在刚体上任取一线段AB 。
该刚体的运动可由AB 在空间的位置确定。
为研究刚体内各点的运动，可以O 为参考点，向A 、B 两点分别引矢径r A 和r B ，则点A 和B 的运动方程分别为r A =r A (t), r B =r B (t)AB B A r r r += (*)由于刚体作平动，在运动中矢量AB 的大小和方向都不改变，所以AB 为一常矢量。
这说明：点A 和B 不仅运动轨迹形状相同，而且运动规律也相同。
如上面的各例中，刀架上各点的轨迹是相互平行的直线；料槽上各点的轨迹都是半径等于AC 的圆弧。
将式(*)对时间t 取一阶和二阶导数，同时注意到常矢量AB 的导数等于零，于是有B A v v =B A a a =这说明：刚体内任意两点的速度、加速度相等。
综合以上分析，可得如下结论：(1) 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；(2) 同一瞬时各点的速度彼此相等，各点的加速度也彼此相等。
因此，在研究刚体平动时，只要知道刚体上某一点的运动，就能知道所有点的运动。
所以，刚体的运动可归结为点的运动。
§7-2 刚体绕定轴的转动定轴转动是工程中常见的一种运动，如电动机的转子，机床中的胶带轮、齿轮以及飞轮等的运动，都是定轴转动的实例。
运动学刚体的简单运动
第二部分 运动学第七章刚体的简单运动一、基本要求1．掌握刚体平动和定轴转动的概念及其特征。
2．能熟练地求解与定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体内各点的速度和加速度有关的问题。
3．熟悉角速度、角加速度以及刚体内各点的速度和加速度的矢量表示法。
二、理论要点1．刚体的平动z定义刚体在运动过程中，其上任一直线始终平行于它的初始位置，称这种运动为刚体的平行移动，简称平动。
若平动刚体内各点的轨迹为直线，则称这种平动为直线平动；若平动刚体内各点的轨迹为曲线，则称这种平动为曲线平动。
z特征刚体平动时，其上内各点轨迹的形状相同；在每一瞬时，刚体内各点的速度、加速度也相同。
因此，刚体的平动可以简化为一个点的运动来研究，或刚体内任一点的运动皆可代表平动刚体的运动。
2．刚体的定轴转动z定义刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，称这种运动为刚体的定轴转动，称通过这两个固定点的直线为刚体的转轴或轴线，简称轴。
z特征刚体绕定轴转动时，其上各点均在垂直于转轴的平面内作圆周运动。
z刚体的转动规律（1） 转动方程——表示刚体的位置随时间的变化规律。
)(t f =ϕ（2） 角速度——表示刚体转动的快慢程度和转向，是代数量。
ϕϕω ==dtd （3） 角加速度——表示角速度对时间的变化率，也是代数量。
ϕωϕωα ====22dtd dt d 当ω与α同号时，刚体作加速转动；当ω与α异号时，刚体作减速转动。
z 刚体内各点的速度和加速度（1） 速度ωR v =（2） 加速度,αR a τ= 2ωR a n =4222ωα+=+=R a a a n τ2),(ωα=n a tg 由此可见，在每一瞬时，转动刚体内各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离（即半径R ）成正比；在每一瞬时，转动刚体内各点的加速度a 与半径R 间的夹角都有相同的值。
说明：刚体绕定轴转动时，转动方程、角速度和角加速度是刚体绕定轴转动的整体性质的度量，而刚体内各点的速度和加速度是刚体绕定轴转动的局部性质的度量。
刚体简单运动
t
S A 0l sin t 4
S A 0l sin t 4
o1
l
刚体的简单运动
解：
ds vA l 0 cos t dt 4 4
B
o2
aAn
A
vA
aAt
M
l
dv a l 0 sin t dt 16 4
2
v 2 2 an l 0 cos t l 16 4
2 2
vM v A
aM a A
刚体的简单运动
2. 定轴转动刚体的运动
刚体的简单运动
2. 定轴转动刚体的运动
刚体在运动时，其上有两点始终保持不动
刚体的简单运动
定轴转动刚体的运动 定轴转动刚体的运动方程
＝f t
逆时针为正
刚体的瞬时角速度
d ＝ dt
刚体的瞬时角加速度
d ＝ dt
4
u
ut S a a arctan l
VC
t
l u
ds dt
t
l u
u l a u 2t 2 1 2 l
au / 2l
t l u
例4 电影胶片以恒速v从卷盘中拉出，从而带动卷盘和 尚未拉出的胶片一起作绕固定轴的转动。若胶片的厚 度为δ，正滚动着的胶片的半径为r，试求卷盘的角加 速度ε，设s与r相比很大。 s 解：
滑移矢量
刚体的简单运动
2. 刚体上一点的速度：
dr v r v r sin R dt
3. 刚体上一点的加速度
dv d a ( r ) dt dt r v
坐标原点过转轴
刚体的简单运动-平动和定轴转动
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