固体物理部分概念

劳厄定理：一组倒易点阵矢量Kh确定可能的X射线反射，衍射强度正比于电子分布函数的傅里叶分量劳厄方程：S=k'-k=Kh简正模：在简谐近似下讨论晶格的本征振动。

系统的运动最容易用具有一定波矢、频率和偏振的行波来表示，成为系统的简正模，每个波的能量与具有相同频率的谐振子一样是量子化的。

晶体中的一个简正模对应一个频率调制的平面波，它的振幅只在格位的原子上定义，称为格波。

群速度是介质中能量传递的速度。

定义格波的量子为声子。

声子是晶格集体激发的玻色型准粒子，它具有能量和准动量。

晶体的比热容包括晶格比热容和电子比热容两部分，晶体热激发产生声子，晶格振动的能量变化贡献晶格比热容。

对于绝缘晶体，由于电子基本束缚在离子实附近，电子没有足够的自由度参与晶格比热容的贡献。

但是对于金属晶体，倘若价电子在点阵中是自由的，那么电子就会对晶格比热容提供额外的贡献。

在q空间声子群速度为0的临界点（奇点）叫做范霍夫奇点，附近声子频谱存在局部平坦的区域。

能带论只是一个基本的理论，它包含了以下三个基本近似：1.绝热近似。

在处理固体中电子的运动时，家丁离子实固定在格位上不动。

2.单电子近似。

用一个平均场来描写电子之间复杂的相互作用。

这样系统中任一电子都存在一系列定态，并进一步假设所有电子在这些定态中的分布满足费米狄拉克统计，各个定态自然都要按哈特里-福克近似下的自洽方式选定，以使得可以与所有电子的最后分布相协调，这样就把一个多电子问题简化为单电子问题。

3.电子感受到的势场，包括离子实势场和电子自检的平均场，是一个严格的周期性势场。

当然，对于一个有限的晶体，应用波恩-卡门边界条件去协调。

布洛赫定理：当平移晶格矢量Rl时，同一能量本征值的波函数只增加相位因子EXP(ik*Rl) 根据布洛赫定理，周期场中单电子波函数应该是一个调幅平面波，其中调幅因子为正点阵的周期函数。

它正好满足布洛赫定理。

与自由电子相比，晶体周期场的作用只是用一个调幅平面波取代了平面波，称为布洛赫波，它是一个无衰减的在晶体中传播的波，不再受到晶格势场的散射。

布洛赫波能谱特征：1.对于一个确定的k，有无穷多个分立的能量本征值和相应的本征函数。

2.对于一个确定的n，En(k)是k的周期函数，波函数也是，期中周期为倒格矢3.能谱成带结构必然有能量的上下界，使得一个n的不同k的所有能级包括在一个能量范围内，因为晶体有宏观尺度，k的取值准连续分布，相邻分立能级相差极小，形成一个准连续的能带。

（能带就是一系列能级组成的带）4.能谱的对称性如果不考虑自旋轨道相互作用，在布里渊区中，晶体能谱具有与晶体点阵相同的宏观对称性5.等能面垂直于布里渊区界面（等能面定义为在k空间，所有能量相等的k组成的曲面）布洛赫定理是描述周期结构中，一切波传播特征的基本定理。

表面上看，素和声子与电子的能谱特征存在一些细微的差别。

1.电子原则上存在无限多能带，但是对于声子只存在有限支频带。

2.声子的波不是标准的调幅平面波，因为格波只在原胞中各格位原子上有定义，而电子的概率幅必须在原胞中所有位置上有定义。

3.同时格波不同于概率波，它的振幅是一个矢量，而概率波是标量。

4.u和A都具有正点阵的周期性。

近自由电子近似方法：平面波法的收敛性较差；假定周期势场的空间变化十分微弱，δV是小量，电子的行为十分接近自由电子，δV可作为微扰处理，这就是近自由电子近似。

所谓布里渊区就是，在k空间确定了一系列的平面，这些平面就是倒格矢Kh的垂直平分面将k空间分割成若干区域，其中包含原点的最小闭合空间称为第一布里渊区，完全包围第一布里渊区的若干小区域的全体称为第二布里渊区...以此类推。

每个布里渊区的体积恰好等于倒格子原胞的体积，而第一布里渊区就是倒点阵的w-s原胞。

根据近自由电子近似，当k矢量落在布里渊区界面上时，电子能量发生突变，形成宽度为2|V(Kh)|的能隙，因此属于每一个布里渊区内的k状态准连续分布，构成一个能带。

每个能带所能容纳的状态数为2N。

两个能带之间存在一些相当大的能量间隔，在这些能量区间内，不存在薛定谔方程的本征解，称为禁带。

有的时候，虽然在布里渊区界面上都存在能隙，但不同k方向的能带有交叠，因此在某个k 方向不允许的能量状态，在另一些k方向却允许存在，从能量轴上去看无禁带。

根据近自由电子近似，能隙在布里渊区界面上产生，当k落在其界面时，存在一个与它相差一个倒格矢的状态k'，它们的能量相等，这就是布拉格反射条件。

晶体中电子波的布拉格反射是能隙的起因。

但是当电子的波矢裸在布里渊区的界面，满足布拉格条件时，是否一定产生能隙，那还决定于相应的周期是的傅里叶分量是否为零。

它就是晶体的几何结构因子。

当其不为零时才产生能隙。

在近自由电子近似中，波函数仍然是一个调幅平面波，但是波函数和能谱并不是倒空间的周期函数，属于不同能带的状态，分布在不同的布里渊区内。

严格地说，周期势场中单电子的状态应该用简约波矢去标志，它被限制在第一布里渊区内。

为了区别不同的态，必须引入一个新的量子数n，称为能带序号。

像近自由电子近似那样，将不同的能带画再不同的布里渊区内称为扩展能区图式。

将所有能带绘于第一布里渊区内，称为简约能区图式。

在每个布里渊区中绘出所有能带，称为周期能区图式。

家丁晶体中每个原子的势场对电子有较强的束缚，电子的行为十分接近孤立原子中的电子，这样可近似地用孤立原子的定语波函数作为旺尼尔函数。

由原子的轨道波函数线性组合得到晶体中公有化轨道波函数，称为紧束缚近似。

说这是一种近似，那时因为不同格位孤立原子的波函数并不政教，除非这些波函数之间的交叠很少。

交叠积分仅为格位差的函数。

当N 个原子形成晶格时，由于近邻原子波函数的交叠，N重简并消除，展宽成能带，N个简并孤立原子局域态变为N个由不同k标记的扩展态。

电子退局域，动能将降低。

原子之间波函数的交叠积分越大，能带宽度越宽。

相对而言，外层电子的波函数交叠较多，对应的能带较宽，而内层电子所对应的能带较窄。

平面波收敛性差的原因：固体中价电子的波函数，在粒子实区以外是平滑函数而在离子实区有较大的振荡，以保证与内层电子波函数正交原则上，固体能带可分为两类，一类是内层电子的能带，是窄带，可用紧束缚波函数来描述。

另一种是外层电子的能带，它是一种宽带。

对于导带或价带电子，离子实区和离子实区外是两种性质不同的区域，在外面电子感受到弱的势场作用，波函数的平滑的，很想平面波，而在离子市区由于强烈的局域势作用，波函数急剧振荡。

因此最好用平面波与可曾能带波函数的线性组合来描述价带和导带电子的布洛赫波函数。

正交化平面波|OPWk>称为正交化平面波，它必定与内壳层能带波函数正交。

正交化平面波法与平面波发的不同的是，用有效势U代替了真实势。

它的第一项来源于真实势，是负值，第二项来源于正交化手段，是一个正量。

由于正交化手续要求波函数必须有内层电子波函数正交，它在离子实区强烈振荡，动能极大，实际上起一种排斥势能的作用，它在很大程度上抵消了离子实区V的吸引作用使得矩阵元比平面波法中小得多，自然收敛性比平面波法好得多。

Xk是在赝势作用下运动电子的波函数，称为赝波函数。

赝势下的赝波函数与真实势下的布洛赫函数具有完全相同的能量本征值。

能量E附件单位能量间隔中的状态数称为能态密度。

能态密度是固体电子能谱分布的重要特征，特别是地激发态的能态密度，因为在低温下，这部分状态对配分函数的的贡献最大，低能激发态被热运动激发的概率比高能的大得多。

如果低能激发态的态密度大，体系因热运动而产生的涨落就强，其有序度就要降低以至消失，不容易出现有序向。

因而低能态密度的大小决定了体系的有序度和相变。

系统的宏观状态，可以用电子在本征态上的分布来描述。

其平衡统计分布函数就是费米分布函数，它直接给出了一个能量为E的量子态被电子占据的概率。

根据泡利原理，一个量子态只能容纳一个电子，所以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平均粒子占据数。

费米分布函数式中的参数称为费米能，也就是系统的化学势，它代表在温度和体积不变时，系统增加或减少一个电子所增加或减少的能量。

系统的费米能取决于温度和电子的浓度。

简并性：电子气与经典理想气体统计性质的差异。

泡利原理使电子气具有极大的零温能和零温压强，是简并的特点。

判据：EF(T)约等于EF0>>KBT 因此只要温度T比费米温度低得多，电子期就是简并的，判据也定义了临界电子浓度。

与经典气体不同，电子气的比热容与温度成正比。

在室温附近，它只是经典比热的T/TF~1%，电子对比热容的贡献微乎其微。

这是由于受泡利原理的限制，大多数低于费米能的电子不参与热激发，只有费米能附近的电子才对比热有贡献。

电子比热容系数实验和自由电子理论的偏差是因为自由电子气模型是一个过于简单的模型。

要考虑周期性势场的影响。

过渡金属和稀土金属N很大(大的有效质量），（内层D,F带窄,相互交叠厉害）具有很高的电子比热容。

费米面是在K空间能量常值为Ef的曲面，在绝对零度下，费米面就是电子占据态与未占据态的分界面。

哈利森构图法注意：1.电子与点阵的相互作用在布里渊区边界处产生能隙，形成能带结构，能谱是倒点阵的周期函数。

2.点阵周期势几乎总使都能鞥面垂直于布里渊区边界，并使等能面上的尖锐角圆滑化。

3.费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子的浓度，而不依赖于周期势的细节。

费米波数是零温下费米球的半径，它仅仅依赖于电子的浓度。

实际上，在外场E的作用下，电子在K空间将以恒定的速度沿-E方向漂移，对于非平衡分布函数f(k,T)不等于f(-k,T),若外场并不影响能带结构仍有v(k)=v(-k),则有电流在样品中流动。

如果除了点阵周期势对电子的散射之外，没有另外的碰撞机制，那么整个分布函数将在k 空间无休止漂移，导致布洛赫振荡。

严格周期势的散射并非产生电阻的原因。

（不产生不可逆因素，即使某时刻撤销电场，分布函数也不会自动趋于平衡）电阻的来源一定是晶体中存在的非周期性因素，包括：1.晶格振动引起的声子对电子的无规散射，它是温度的函数。

(产生的电阻与温度有关）2.晶体中的缺陷和杂质对电子的无规则散射。

（产生与温度无关的剩余电阻）（电子因此受到无规散射，使电子失去在外场中获得的定向运动。

这种不可逆的因素产生能量耗散和使系统趋于平衡两种效应）这样在恒定电场下，漂移和碰撞的共同作用就可以使体系处于一种定态。

如果电子声子的相互作用的准动量守恒条件中倒格矢为0，则k'=k+(-)q,它表示在吸收和发射声子子过程中，电子正好增加或减少一个声子的准动量，k,k',q均在第一布里渊区内，这种过程对应于小角散射，称为N过程。

否则k'-k在布里渊区以外，对应于大角散射，称为U过程。

在高温情况下，电阻率正比于温度一次方，低温下五次方，称为布洛赫T的五次方定律。