《单位圆与周期性》
单位圆与周期性(共10张PPT)
(1)只有个别x的值满足，不能说是周期函数；
一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期
它们的正弦函数值有什么关系?
例如：－4π，－2π，2π，4π等都是它们的周期. 事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它的周期.
(5)部分函数虽然是周期函数，但是没有最小正周期，例如f(x)=c,(c为常数，x∈R).
称 2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．
(同5)部学分函们数虽回然忆是周目期函前数，你但学是没过有最那小正些周类期，型例如的f(x)函=c,(数c为常？数)，x∈2Rk). π
(k∈Z,k≠0)为正弦函
数、余弦函数的周期。 sin(2kπ+x)＝sinx (k∈Z)
事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它的周期.
单位圆与周期性
5
角 4 和角 的4 终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系?
y
相等
O
r=1
它们的正弦函数值有什么关系?
x 相等
一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期 (4)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，一般我们所说的周期都是指最小正周期。
2 8 (6)定义域的变化会对函数的周期性长生一定的影响，例如f(x)=sinx,x ∈[0,10π]
角 和 角 呢? 我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期。
3 3 我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期。 5 (6)定义域的变化会对函数的周期性长生一定的影响，例如f(x)=sinx,x ∈[0,10π]
《单位圆与周期性》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
《单位圆与周期性》教学设计教材首先通过对终边相同角的正、余弦函数值的分析得出公式，使学生初步了解函数的周期性，进而给出周期函数的定义。
特别探究正弦函数、余弦函数的周期、最小正周期，以便于后续的学习和应用。
【知识与能力目标】1、掌握终边相同角的正弦、余弦函数值间的关系2、理解周期函数的定义；熟知正、余弦函数的周期、最小正周期。
【过程与方法目标】通过对周期函数的定义和三角函数周期的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】1、使学生认识到事物之间是有联系的，终边相同角的三角函数值相等；2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。
【教学重点】掌握终边相同角的正弦、余弦函数值间的关系【教学难点】理解周期函数的定义；熟知正、余弦函数的周期、最小正周期。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习导入部分复习回顾正、余弦函数的定义、定义域、值域、在各个象限的符号。
二、探究新知： 阅读教材P 16～P 17练习以上部分，完成下列问题。
1、终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系。
(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )。
(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )。
2、一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期。
3、特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k π(k ∈Z ，k ≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期。
三、例题解析求下列各角的三角函数值。
(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π；(2)cos 1 500°； (3)sin 174π；(4)cos 253π。
单位圆与周期性 ppt课件
上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加2π的整数倍， 其正弦函数值、余弦函数值均不变．所以正弦函数值、余弦函
数值均是随角的变化呈周期性变化的。生活中有许多周期性变
化的现象，例如，钟摆的摆心到铅垂线的距离随时间的变化呈
周期性变化。从而我们把自变量的变化呈周期性变化的函数叫 作周期函数。正弦函数、余弦函数是周期函数，(备注：同学 们回忆目前你学过那些类型的函数？)称2kπ (k∈Z,k≠0)为正弦 函数、余弦函数的周期。
例如：－4π，－2π，2π，4π等都是它们的周期. 2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为 最小正周期．
一般地， 对于函数f(x)，如果存在非零 实数T，对定义域内的任意一个x值，都有
f(x+T) =f(x)
我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数 的周期。
一般地，对于周期函数f(x)，如果它 所有的周期中存在一个最小的正数，那 么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周 期
注意:
(1)只有个别x的值满足，不能说是周期函数； (2)自变量加上的常数才算周期，比如：f(2x+T)=f(2x)，我们说f(2x)是周期函数，但 周期是T/2； (3)如果f(x)是周期函数，T为其周期，那么，x+kT也属于其定义域，也就是说，周期函 数的定义域是一个无限集； (4)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期， 一般我们所说的周期都是指最小正周期。事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它 的周期. (5)部分函数虽然是周期函数，但是没有最小正周期，例如f(x)=c,(c为常数，x∈R). (6)定义域的变化会对函数的周期性长生一定的影响，例如f(x)=sinx,x ∈[0,10π]
单位圆与周期性讲解
－sin(3×360°＋45°)＋cos 180°＋sin(－6×360°＋150°)
本
课 时
＝sin 90°＋cos 45°－sin 45°＋cos 180°＋sin 150°
栏
目 开 关
＝1＋ 22－ 22＋(－1)＋12＝12.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.4.2
1.sin(－1 380°)的值为
本
课 边与 x 轴重合时，正弦线变成一个点，此时角 α 的正弦值
时
栏 为 0；当角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点.
目
开 3.正弦函数和余弦函数周期性的实质是终边相同的角的同一
关
三角函数值相等，根据任意角的正弦函数、余弦函数的定义 不难理解这一规律.
填一填·知识要点、记下疑难点
1.4.2
关 (1)函数 y＝ sin x的定义域为________________.
答案 {x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
(2)函数 y＝lg cos x 的定义域为________________. 答案 {x|2kπ－π2<x<2kπ＋π2，k∈Z}
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2
探究点二 三角函数线的作法 问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？
栏 目
sin2α＋cos2α＝1；
开
关 当 α 的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM.
在 Rt△OMP 中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1.
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2
单位圆与周期性
注意:
(1)只有个别x的值满足，不能说是周期函数； (2)自变量加上的常数才算周期，比如：f(2x+T)=f(2x)，我们说f(2x)是周期函数，但 周期是T/2； (3)如果f(x)是周期函数，T为其周期，那么，x+kT也属于其定义域，也就是说，周期函 数的定义域是一个无限集； (4)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期， 一般我们所说的周期都是指最小正周期。事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它 的周期. (5)部分函数虽然是周期函数，但是没有最小正周期，例如f(x)=c,(c为常数，x∈R). (6)定义域的变化会对函数的周期性长生一定的影响，例如f(x)=sinx,x ∈[0,10π]
一般地对于函数fx如果存在非零实数t对定义域内的任意一个x值都有我们就把fx称为果它所有的周期中存在一个最小的正数那么这个最小的正数就叫作f自变量加上的常数才算周期比如
单位圆与周期性
角 和角 5 的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系?
4
4
y
O
r=1
x
相等
它们的正弦函数值有什么关系? 相等
角 2和 角 8呢?
例题分析
例1（1）若函数f(x)的定义域为 R，且对任意x ∈R,都有 f(x+4)=f(x),则f(x)的周期是 （）
（2）sinα= 1/3，则 sin(4π +α)=( )
例2已知函数f(x)是周期 为4的奇函数，且当0≤x≤2时， f(x)=x2,求f(-2015)的值。
正弦函数、余弦函数的一个重要性质是
终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相 等。它是化简三角函数的一个重要公式。
周期性也是三角函数的一个重要性质， 最小正周期是它的主要特征。
高中数学北师大版必修4 1.4 教学设计 《单位圆与周期性》(数学北师大高中必修4)
《单位圆与周期性》教学设计本课时编写：双辽一中张敏◆教材分析本节是根据在单位圆中，任意角的正弦、余弦函数定义得到函数的特征，通过分析两个等式直接下了定义。
由于定义来的突然，学生对于应用的理解很低，因此本教案设计了两个例题和一个变式训练，算是抛砖引玉。
◆教学目标【知识与能力目标】了解并掌握周期性的定义；【过程与方法目标】积极讨论，踊跃展示，大胆质疑，探究周期性的规律．【情感态度价值观目标】在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力．◆教学重难点【教学重点】周期性的定义.【教学难点】周期性的应用.◆课前准备多媒体课件教学过程一、新知探究提出问题：（1）观察下图，根据前面学的知识，在单位圆中，由任意角的正弦、余弦函数定义能得到哪些结论？（2）怎样定义周期函数？（3）怎样确定最小正周期？通过探讨，由老师进行归纳总结：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，也就是终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ+x)=sinx,k∈Z；终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(2kπ+x)=cosx,k∈Z.对于任意一个角x，每增加的2π整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变。
所以正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。
我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数，正弦函数、余弦函数是周期函数，且2kπ（k∈Z，k≠0）为正弦函数、余弦函数的周期。
一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，任取定义域内地任意一个值x，都有f(x+T)=f(x),我们就把称它为周期函数，T称为这个函数的周期。
特别注意：若不加特别说明，本书所指的周期均为函数的最小正周期。
【设计意图】通过提问，引出新知，让学生带着问题思考。
二、典例分析.例1. 求下列三角函数值：（1）sin390° ；（2）cos19π6由老师带领学生做题，加深对观念的理解，最后进行点评。
第一章第五讲单位圆与周期性
（2）解：由题意知f(－7)＝－f(7)， ∵f(7)＝f(3×2＋1)＝f(1)＝3， ∴f(－7)＝－3.
(3)因f(x)=f(x+2)+f(x－2),所以f(x+2)=f(x)－f(x－2), f(x+4)=f(x+2)－f(x), f(x+6)=f(x+4)－f(x+2),
所以f(x+6)=－f(x)，即函数的周期是12. f(2 027)=f(2 015+12)=f(2 015)=2 015.
1 (3)∵sin1110° ＝sin(3×360°＋30° )＝sin30° ＝， 2 1 ∴log2(4sin1110° )＝log2( ×4)＝log22＝1. 2
23π 37π 变式训练 1、cos(－ )＋sin ＝__________. 4 6
π π π π 1＋ 2 解：原式＝cos(－6π＋ )＋sin(6π＋ )＝cos ＋sin ＝ . 4 6 4 6 2
f(－7）的值．
(3)若f(x)=f(x+2)+f(x－2)，且f(2 015)=2 015，
则f(2 027)=___.
（4）设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13.若
f(1)=2，则f(2015)=_______.
解：(1)因为函数f(x)的周期为3， 所以f(10)=f(1+3×3)=f(1)=10.
等，即 sin(x 即
2k ) sin x, k Z ；ຫໍສະໝຸດ 终边相同的角的余弦函数值相等，
cos(x 2k ) cos x, k Z .
把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作 周期函数.
单位圆与周期性
一般地， 对于函数f(x)，如果存在非零实 数T，对定义域内的任意一个x值，都有
f(x+T) =f(x)
我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数 的周期。
一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有
的周期中存在一个最小的正数，那么这个
最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．
注意:
(1)只有个别x的值满足，不能说是周期函数；
4.２单位圆与周期性
5 角 和角 的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系? 4 4yO 相等r=1
x
它们的正弦函数值有什么关系? 相等
2 8 角 和角 呢? 3 3 5 角 和角 呢? 3 3 2 14 角 和角 呢? 3 3
由上述问题的讨论，不难得出：终边相同的角的正弦函数值相 等，即 sin(2kπ+x)＝sinx (k∈Z)
周期。事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它的周期.
正弦函数、余弦函数的一个重要性质是 终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相 等。它是化简三角函数的一个重要公式。 周期也是三角函数的一个重要性质，最 小正周期是它的主要特征。
(2)自变量加上的常数才算周期，比如：f(2x+T)=f(2x)，我们
说f(2x)是周期函数，但周期是T/2； (3)如果f(x)是周期函数，T为其周期，那么，x+kT也属于其定 义域，也就是说，周期函数的定义域是一个无限集； (4)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正
数，就称它为最小正周期，一般我们所说的周期都是指最小正
同理，对于余弦函数也有同样的结论： 终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2kπ+x)＝cosx (k∈Z)
上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加2π 的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变．所以 正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变 化的。生活中有许多周期性变化的现象，例如，钟摆 的摆心到铅垂线的距离随时间的变化呈周期性变化。 从而我们把自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周 期函数。正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ (k∈Z)为正弦函数、余弦函数的周期。 例如：－4π，－2π，2π，4π等都是它们的周期. 2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为 最小正周期．
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一般地， 对于函数f(x)，如果存在非零 实数T，对定义域内的任意一个x值，都有
f(x+T) =f(x)
我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数 的周期。
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一般地，对于周期函数f(x)，如果它 所有的周期中存在一个最小的正数，那 么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周 期
终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2kπ+x)＝cosx (k∈Z)
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上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加2π的整数倍， 其正弦函数值、余弦函数值均不变．所以正弦函数值、余弦函 数值均是随角的变化呈周期性变化的。生活中有许多周期性变 化的现象，例如，钟摆的摆心到铅垂线的距离随时间的变化呈 周期性变化。从而我们把自变量的变化呈周期性变化的函数叫 作周期函数。正弦函数、余弦函数是周期函数，(备注：同学 们回忆目前你学过那些类型的函数？)称2kπ (k∈Z,k≠0)为正弦 函数、余弦函数的周期。
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（2）sinα= 1/3，则
sin(4π +α)=( )
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例2已知函数f(x)是周期为4 的奇函数，且当0≤x≤2时， f(x)=x2,求f(-2015)的值。
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正弦函数、余弦函数的一个重要性质是 终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相 等。它是化简三角函数的一个重要公式。
周期性也是三角函数的一个重要性质， 最小正周期是它的主要特征。
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注意:
(1)只有个别x的值满足，不能说是周期函数；
(2)自变量加上的常数才算周期，比如：f(2x+T)=f(2x)，我们说f(2x)是周期函数，但周
期为其周期，那么，x+kT也属于其定义域，也就是说，周期函
数的定义域是一个无限集；
(4)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，
一般我们所说的周期都是指最小正周期。事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它的
周期.
(5)部分函数虽然是周期函数，但是没有最小正周期，例如f(x)=c,(c为常数，x∈R).
(6)定义域的变化会对函数的周期性长生一定的影响，例如f(x)=sinx,x ∈[0,10π]
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例1（1）若函数f(x)的定义域为 R，且对任意x ∈R,都有f(x+4)=f(x), 则f(x)的周期是 （ ）
单位圆与周期性
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角
4
和角
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的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系?
y
O
r=1
x
相等
它们的正弦函数值有什么关系? 相等
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角 2 和 角 8 呢?
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角 和角
3
5 3
呢?
角
2 3
和角
14
3呢?
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由上述问题的讨论，不难得出：终边相同
的角的正弦函数值相等，即 sin(2kπ+x)＝sinx (k∈Z) 同理，对于余弦函数也有同样的结论：