《单位圆与周期性》

例如：－4π，－2π，2π，4π等都是它们的周期. 2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为 最小正周期．
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一般地， 对于函数f(x)，如果存在非零 实数T，对定义域内的任意一个x值，都有
f(x+T) =f(x)
我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数 的周期。
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一般地，对于周期函数f(x)，如果它 所有的周期中存在一个最小的正数，那 么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周 期
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注意:
(1)只有个别x的值满足，不能说是周期函数；
(2)自变量加上的常数才算周期，比如：f(2x+T)=f(2x)，我们说f(2x)是周期函数，但周
期是T/2；
(3)如果f(x)是周期函数，T为其周期，那么，x+kT也属于其定义域，也就是说，周期函
数的定义域是一个无限集；
(4)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，
（2）sinα= 1/3，则
sin(4π +α)=( )
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例2已知函数f(x)是周期为4 的奇函数，且当0≤x≤2时， f(x)=x2,求f(-2015)的值。
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正弦函数、余弦函数的一个重要性质是 终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相 等。它是化简三角函数的一个重要公式。
周期性也是三角函数的一个重要性质， 最小正周期是它的主要特征。
一般我们所说的周期都是指最小正周期。事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它的
周期.
(5)部分函数虽然是周期函数，但是没有最小正周期，例如f(x)=c,(c为常数，x∈R).
(6)定义域的变化会对函数的周期性长生一定的影响，例如f(x)=sinx,x ∈[0,10π]
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例1（1）若函数f(x)的定义域为 R，且对任意x ∈R,都有f(x+4)=f(x), 则f(x)的周期是 （ ）
终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2kπ+x)＝cosx (k∈Z)
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上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加2π的整数倍， 其正弦函数值、余弦函数值均不变．所以正弦函数值、余弦函 数值均是随角的变化呈周期性变化的。生活中有许多周期性变 化的现象，例如，钟摆的摆心到铅垂线的距离随时间的变化呈 周期性变化。从而我们把自变量的变化呈周期性变化的函数叫 作周期函数。正弦函数、余弦函数是周期函数，(备注：同学 们回忆目前你学过那些类型的函数？)称2kπ (k∈Z,k≠0)为正弦 函数、余弦函数的周期。
单位圆与周期性
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角
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和角
5 4
的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系?
y
O
r=1
x
相等
它们的正弦函数值有什么关系? 相等
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角 2 和 角 8 呢?
3
3
角 和角
3
5 3
呢?
角
2 3
和角
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3呢?
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由上述问题的讨论，不难得出：终边相同
的角的正弦函数值相等，即 sin(2kπ+x)＝sinx (k∈Z) 同理，对于余弦函数也有同样的结论：