《数字信号处理》第三版高西全版课后习题答案

数字信号处理课后答案 高西全、丁美玉版1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。

解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2． 给定信号:25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（１）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值; (2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列; (３）令1()2(2)x n x n =-,试画出1()x n 波形； (４）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-,试画出3()x n 波形。

解：(1）ｘ(n)的波形如题2解图（一)所示。

（2)()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（３)1()x n 的波形是x(n ）的波形右移２位，在乘以2,画出图形如题2解图(二）所示。

（４)2()x n 的波形是ｘ(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图(三)所示。

(５）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图(四）所示。

3． 判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。

(1)3()cos()78x n A n ππ=-,Ａ是常数;（2）1()8()j n x n e π-=。

解:(1)3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列,周期是Ｔ=１4； (2)12,168w wππ==，这是无理数,因此是非周期序列。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述,()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； (3）0()()y n x n n =-,0n 为整常数; （5）2()()y n x n =; （7)0()()nm y n x m ==∑。

解：（1)令：输入为0()x n n -,输出为'000'0000()()2(1)3(2)()()2(1)3(2)()y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=故该系统是时不变系统。

12121212()[()()]()()2((1)(1))3((2)(2))y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+-1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+故该系统是线性系统。

（3)这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。

令输入为1()x n n -，输出为'10()()y n x n n n =--,因为'110()()()y n n x n n n y n -=--=故延时器是一个时不变系统。

又因为12102012[()()]()()[()][()]T ax n bx n ax n n bx n n aT x n bT x n +=-+-=+故延时器是线性系统。

(5） 2()()y n x n = 令：输入为0()x n n -，输出为'20()()y n x n n =-,因为2'00()()()y n n x n n y n -=-=故系统是时不变系统。

又因为21212122212[()()](()()) [()][()] ()()T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n ax n bx n +=+≠+=+因此系统是非线性系统。

(７） 0()()nm y n x m ==∑令:输入为0()x n n -,输出为'00()()nm y n x m n ==-∑,因为0'00()()()n n m y n n x m y n -=-=≠∑故该系统是时变系统。

又因为1212120[()()](()())[()][()]nm T ax n bx n ax m bx m aT x n bT x n =+=+=+∑故系统是线性系统。

６. 给定下述系统的差分方程,试判断系统是否是因果稳定系统,并说明理由。

（１）11()()N k y n x n k N-==-∑;(３）0()()n n k n n y n x k +=-=∑；（５)()()x n y n e =。

解:(1)只要1N ≥，该系统就是因果系统，因为输出只与ｎ时刻的和n 时刻以前的输入有关。

如果()x n M ≤，则()y n M ≤，因此系统是稳定系统。

(3）如果()x n M ≤,00()()21n n k n n y n x k n M +=-≤≤+∑，因此系统是稳定的。

系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.(5）系统是因果系统,因为系统的输出不取决于ｘ(n)的未来值。

如果()x n M ≤，则()()()x n x n M y n e e e =≤≤,因此系统是稳定的。

7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应()h n 和输入序列()x n 如题7图所示,要求画出输出输出()y n 的波形。

解：解法(1):采用图解法0()()()()()m y n x n h n x m h n m ∞==*=-∑图解法的过程如题7解图所示。

解法（2）:采用解析法。

按照题７图写出x(ｎ)和h （n)的表达式:()(2)(1)2(3)1()2()(1)(2)2x n n n n h n n n n δδδδδδ=-++-+-=+-+- 因为()*()()()*()()x n n x n x n A n k Ax n k δδ=-=-所以 1()()*[2()(1)(2)]212()(1)(2)2y n x n n n n x n x n x n δδδ=+-+-=+-+-将x(n)的表达式代入上式,得到()2(2)(1)0.5()2(1)(2)4.5(3)2(4)(5)y n n n n n n n n n δδδδδδδδ=-+-+-+-+-+-+-+-8. 设线性时不变系统的单位取样响应()h n 和输入()x n 分别有以下三种情况,分别求出输出()y n 。

（1)45()(),()()h n R n x n R n ==；（２）4()2(),()()(2)h n R n x n n n δδ==--; （3）5()0.5(),()n n h n u n x R n ==。

解：（1） 45()()*()()()m y n x n h n R m R n m ∞=-∞==-∑先确定求和域,由4()R m 和5()R n m -确定对于m 的非零区间如下：03,4m n m n ≤≤-≤≤根据非零区间,将n 分成四种情况求解： ①0,()0n y n <=②003,()11nm n y n n =≤≤==+∑③3447,()18m n n y n n =-≤≤==-∑④7,()0n y n <= 最后结果为0, 0,7()1, 038, 47n n y n n n n n <>⎧⎪=+≤≤⎨⎪-≤≤⎩ｙ(n)的波形如题8解图（一）所示。

（2)444()2()*[()(2)]2()2(2) 2[()(1)(4)(5)]y n R n n n R n R n n n n n δδδδδδ=--=--=+-----y(n)的波形如题8解图(二)所示. （３）55()()*() ()0.5()0.5()0.5()n mnm m m y n x n h n R m u n m R m u n m ∞∞--=-∞=-∞==-=-∑∑y(n)对于m 的非零区间为04,m m n ≤≤≤。

①0,()0n y n <= ②11110.504,()0.50.50.5(10.5)0.520.510.5n nnmn n n n m n y n ------=-≤≤===--=--∑ ③541010.55,()0.50.50.5310.510.5n mn n m n y n ---=-≤===⨯-∑ 最后写成统一表达式：5()(20.5)()310.5(5)n n y n R n u n =-+⨯-11． 设系统由下面差分方程描述:11()(1)()(1)22y n y n x n x n =-++-; 设系统是因果的,利用递推法求系统的单位取样响应。

解：令：()()x n n δ=11()(1)()(1)22h n h n n n δδ=-++- 2110,(0)(1)(0)(1)122111,(1)(0)(1)(0)122112,(2)(1)22113,(3)(2)()22n h h n h h n h h n h h δδδδ==-++-===++======= 归纳起来，结果为11()()(1)()2n h n u n n δ-=-+１２. 有一连续信号()cos(2),a x t ft πϕ=+式中，20,2f Hz πϕ==（1)求出()a x t 的周期。

（2）用采样间隔0.02T s =对()a x t 进行采样，试写出采样信号()a x t 的表达式。

（３)画出对应()a x t 的时域离散信号(序列) ()x n 的波形，并求出()x n 的周期。

————第二章———— 教材第二章习题解答１． 设()jw X e 和()jw Y e 分别是()x n 和()y n 的傅里叶变换,试求下面序列的傅里叶变换： (１）0()x n n -; (2)()x n -； （3）()()x n y n ; （4)(2)x n 。

解:(1）00[()]()jwnn FT x n n x n n e∞-=-∞-=-∑令''00,n n n n n n =-=+,则'00()'0[()]()()jw n n jwn jw n FT x n n x n ee X e ∞-+-=-∞-==∑(２)****[()]()[()]()jwnjwn jw n n FT x n x n ex n e X e -∞∞-=-∞=-∞===∑∑(３）[()]()jwnn FT x n x n e∞-=-∞-=-∑令'n n =-,则'''[()]()()jwn jw n FT x n x n e X e ∞-=-∞-==∑（4） [()*()]()()jw jw FT x n y n X e Y e = 证明： ()*()()()m x n y n x m y n m ∞=-∞=-∑[()*()][()()]jwnn m FT x n y n x m y n m e∞∞-=-∞=-∞=-∑∑令k=n-ｍ，则[()*()][()()] ()() ()()jwk jwnk m jwkjwnk m jw jw FT x n y n x m y k eey k e x m eX e Y e ∞∞--=-∞=-∞∞∞--=-∞=-∞===∑∑∑∑２. 已知001,()0,jww w X e w w π⎧<⎪=⎨<≤⎪⎩求()jw X e 的傅里叶反变换()x n 。