高中数学知识点精讲精析 排序不等式
高中数学知识点精讲精析 不等式的基本性质
4.1不等式的基本性质1．不等式的基本性质： ①对称性：a>b b<a; ②传递性：a>b,b>c a>c; ③可加性：a>b a+c>b+c; ④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d; ⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac<bc; ⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;⑦倒数法则：a>b,ab>0 ; ⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;⑨开方法则：a>b>0 ;⑩绝对值不等式的性质： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 2．基本不等式（以下√表示根号，＾表示指数）如果a 、b 都为实数，那么a 平方+b 平方≥2ab，当且仅当a=b 时等号成立 证明如下： ∵（a-b)^2≥0 ∴a^2+b^2-2ab≥0 ∴a^2+b^2≥2ab如果a 、b 、c 都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c 时等号成立 如果a 、b 都是正数，那么（a+b ）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。
（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立。
）和定积最大：当a+b=S 时，ab≤S^2/4（a=b 取等） 积定和最小：当ab=P 是，a+b≥2√P（a=b 取等）ba 11<⇒nn b a >⇒均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a 平方+b 平方)/2)≥（a+b ）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b 时等号成立。
）( 其中√(( a 平方+b 平方)/2)叫正数a,b 的平方平均数也叫正数a,b 的加权平均数；（a+b ）/2叫正数a,b 的算数平均数；√ab 正数a,b 的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b 的调和平均数。
高一年级竞赛数学：4.排序不等式与切比雪夫不等式
A4.排序不等式与切比雪夫不等式一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ianna==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c ++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习 姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,n i i x ==∑求证：1ni =≥A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.证明：11111111()()(())()kk k i nnnnn kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111()()()()()0.k i i n nn k k n k kn k j i j k k i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a --++=========-+--=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()(())()kk k i n nn n n kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑.于是11.knnk j k k k k a ba b ==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.111111111111()()(())()k k k i nn n n n kk n k k j k n k j n n k j n i j k k k k k k k i a ba b a b b a b b b b a a --+-+-+-++======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111111()()()()()0.k i i n n n k k n k kn n k j n i j k k n i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a ---+-++-++=========-+--=--≤∑∑∑∑∑∑∑∑于是111.k nnk n k k j k k a ba b -+==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.证明：法1由排序不等式知道1122112212231112212111122n n n n n n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++=++++++≤++++++≤+++于是121111.nnnniin i i i i i i i a b a b a b n a b ====+++≤∑∑∑∑即111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.法2 11111111111()()()().nnnnnnnnnnni iiii ii ji ii jiiji i i i j i j i j i j na b a b a b a b a b a b a b b ===========-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()()()().n n n n n n n ni i i i j j j j j j i i i i j j j i j n a b a b n a b a b a b b ========-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑于是1111111112(()())()()()()0.n n n n n n nn ni iiiiijjji i j i j i i i i j i j i j na b a b a b b a bb a a b b =========-=-+-=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑于是111()().nnniii ii i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n aa a ===或12nb b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：由排序不等式知道12121112111111.nnn n nx x x x x x n x x x x x x -+++≥+++= 即1211.nn n x x x n x x x -+++≥ 令G =12112122,,,.nn na a a a a a x x x G GG===于是1211221211211.nn n n nn a a a a a a GG G n a a a a a a a G G G--+++≥即12.na a a n G GG+++≥ 于是1.nii anG =≤∑1.nii an=∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ian na ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120,n a a a ≥≥≥>则12111.na a a ≤≤≤由切比雪夫不等式知211111()().nn ni i i i i i in n a a a a ====⋅≤∑∑∑所以11.1ni i ni ia n n a ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c++++≤ 证明：不妨设0,a b c ≥≥>则555333333111,,a b c bc ca ab b c c a a b≥≥≤≤≥≥由排序不等式知 888555555222333333333333333333.a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b c a a b b c c a b++=++≥++=++又222333111,,a b c a b c ≥≥≤≤于是再使用排序不等式得222222333333111.a b c a b c c a b a b c a b c++≥++=++所以888333111.a b c a b c a b c++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥证明：等价于证明333222222.a b b c c a a b b c c a ++≥++再等价于222.a b c ab bc cac a b c a b++≥++(*) 不妨设,a b c ≥≥则111.a b c≤≤ 又,,a b c 是ABC ∆的三边长,所以,a b c +>从而()()().a b a b c a b +-≥-即22.a bc b ac +≥+因为,b c a +>从而()()().b c b c a b c +-≥-即22.b ac c ab +≥+所以222.a bc b ac c ab +≥+≥+由排序不等式知222222.a bc b ac c ab a bc b ac c aba b c c a b++++++++≤++ 即222.bc ac ab a b c a b c c a b++≤++于是(*)得证.从而222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++ 证明：不妨设.a b c d ≥≥≥则22221111,.a b c d b c d c d a d a b a b c≥≥≥≥≥≥++++++++先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得2222222211114(+)()(+)a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b a b c++≥+++++++++++++++++++++211114(1111)644(+)3()3()b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d +++=++≥=++++++++++++++16.3≥=于是22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.解：1212222nna a aS a a a =+++---. 不妨设1210,n a a a >≥≥≥>则121110.222na a a ≥≥≥>--- 使用切比雪夫不等式有12121211111111()()().222222n n nS a a a na a a n a a a ≥++++++=+++------ 在使用柯西不等式得2121211111(111)()().22222221n n n S n a a a n a a a n +++≥+++≥=----+-++-- 当且仅当121n a a a n ====等号成立.所以S 的最小值为.21nn -7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：111 1.111a b c ++≤+++ 证明：因为2222222221113,111111a b c a b c a b c ++=++-------所以222222 4.111a b c a b c ++=---又22222222211144(),111111a b c a b c a b c ++==++------所以2222224440.111a b c a b c ---++=--- 不妨设,a b c ≥≥于是222222,.111111a b c a b c a b c a b c ---+++≥≥≤≤+++--- 这是因为23()111x f x x x -==-++在(1,)+∞单调递增,23()111x g x x x +==+--在(1,)+∞单调递减. 于是使用切比雪夫不等式得22222244412222220()().1113111111a b c a b c a b c a b c a b c a b c ------+++=++≤++++---+++--- 因为,,1,a b c >所以2220.111a b c a b c +++++>--- 于是2220.111a b c a b c ---++≥+++ 因为22213131311133()0.111111111a b c a b c a b c a b c a b c ---+-+-+-++=++=-++≥+++++++++ 所以1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++ 证明：即证2()()().a b b c c aab bc ca a b c b c c a a b+++++++≤+++++ 因为()()().a b a b bcab bc ca a a b b c b c ++++=++++ 同理()()().b c b c caab bc ca b b c c a c a++++=++++ ()()().c a c a ab bc ca ab c c a a b a b++++=++++ 于是()()()()()()()()a b b c c a a b bc b c ca c a abab bc ca a a b b b c c c a b c c a a b b c c a a b++++++++++≤++++++++++++++ 222()()().a b bc b c ca c a aba b c ab bc ca b c c a a b+++=+++++++++++于是只须证明()()().a b bc b c ca c a abab bc ca b c c a a b+++++≤+++++(*)不妨设,a b c ≥≥于是111.a b c ≤≤从而111111.a b b c c a +≤+≤+即.a b c a b c ab ca bc+++≤≤ 所以.ab ca bca b c a b c≥≥+++又.a b a c b c +≥+≥+ 使用排序不等式得()()()()()().a b bc b c ca c a ab ab ca bca b c a b c ab bc ca b c c a a b a b c a b c+++++≤+++++=++++++++于是(*)得证.从而2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习 姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120.n a a a ≥≥≥>由切比雪夫不等式知2211111()()().nnnnnii i i i i i i i i i nan a a a a a ======⋅≤=∑∑∑∑∑所以1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++证明：所证不等式等价于222222.z x y x y z x y y z x z x y y z z x++≥++++++++(*)不妨设,x y z ≤≤则222111,.x y z x y x z y z≤≤≥≥+++ 使用排序不等式得(*).所以原不等式成立.3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,ni i x ==∑求证：1ni =≥证明：不妨设12,n x x x ≥≥≥1x ≥≥≥-使用切比雪夫不等式得1111()(nnn ni i i i x n ===≥=∑使用柯西不等式得1ni n=≤==于是1nni =≥≥。
第44讲 排序不等式
第四讲 排序不等式与琴生不等式本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用．排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a 1，a 2，……，a n ；b 1，b 2，……，b n ．如果a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．那么a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1（反序和）≤a 11i b ＋a 22i b ＋……＋a n n i b （乱序和）≤a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a n b n （同序和）， 其中i 1，i 2，……，i n 是1，2，……，n 的一个排列．该不等式所表达的意义是和式∑=nj i j jba 1在同序和反序时分别取得最大值和最小值．切比雪夫不等式：设有两个有序数组a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．则1n(a 1b n＋a 2b n －1＋……＋a n b 1)≤a 1＋a 2＋……＋a n n ·b 1＋b 2＋……＋b n n ≤1n(a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a nb n )， 其中等号仅当a 1＝a 2＝……＝a n 或b 1＝b 2＝……＝b n 时取得．琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上．定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≤12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(１)定理一．若f (x )是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x 1，x 2，……，x n ，恒有f (x 1＋x 2＋……＋x n n )≤1n[f (x 1)＋f (x 2)＋……＋f (x n )]．定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≥12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(2)x 1x 2M (1)P Q x 1x 2M P Q定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点n x x x ,...,,21恒有)](...)()([1)...(2121n n x f x f x f n n x x x f +++≥+++，容易验证x x x f 21log ,tan )(=分别是),0(),2,0(+∞π上的下凸函数。
高1数学必修1排序不等式知识点总结
高1数学必修1排序不等式知识点总结排序不等式是数学上的一种不等式，也是高1同学们学习的知识点，下面是店铺给大家带来的高1数学必修1排序不等式知识点总结，希望对你有帮助。
高1数学排序不等式知识点排序不等式是数学上的一种不等式。
它可以推导出很多有名的不等式，例如：算术几何平均不等式(简称算几不等式)，柯西不等式，和切比雪夫总和不等式。
说明排序不等式(sequence inequality,又称排序原理)是高中数学竞赛大纲、新课标普通高中课程标准试验教科书(人民教育出版社)数学(选修4-5 第三讲第三节) 要求的基本不等式。
排序不等式表述如下，设有两组数a1,a2,……an,b1,b2,……bn满足a1≤a2≤……≤an,b1≤b2≤……≤bn则有a1bn+a2bn-1+……+anb1≤a1bt+a2bt+……+anbt≤a1b1+a2b2+anbn式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列，当且仅当a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn时成立。
一般为了便于记忆，常记为：反序和≤乱序和≤同序和.应用设a,b,c≥0,则ab+bc+ca的最大值为_______.【解题指南】由于a,b,c的地位是均等的，不妨设a≥b≥c≥0，然后利用排序不等式求解.【解析】由排序不等式，得ab+bc+ca≤3.即ab+bc+ca的最大值为3.答案：3排序不等式的证明①分析法要证只需证根据基本不等式只需证∴原结论正确②设有两个有序数组：及求证：(顺序和≥乱序和≥逆序和)其中是自然数的任何一个排列证明：令由题设易知因为故所以即左端不等式，类似可证明右端不等式。
《排序不等式》 知识清单
《排序不等式》知识清单一、什么是排序不等式排序不等式是数学中一个重要的不等式，它在比较两组数的乘积之和时发挥着关键作用。
简单来说，排序不等式表明对于两组有序的实数，不同的排序方式所得到的乘积之和存在一定的大小关系。
假设我们有两组数：a1 ≤ a2 ≤ ≤ an 和b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn 。
那么，当这两组数按相同顺序相乘再求和，所得的结果不小于它们按任意其他顺序相乘再求和。
二、排序不等式的表达式设a1 ≤ a2 ≤ ≤ an ，b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn 为两组实数，c1，c2，，cn 是 b1，b2，，bn 的任意一个排列，则有：a1bn ＋ a2bn 1 ＋＋anb1 ≤ a1c1 ＋ a2c2 ＋＋anc n ≤ a1b1 ＋ a2b2＋＋ anbn等号成立的条件是当且仅当 a1 ＝ a2 ＝＝ an 或者 b1 ＝ b2 ＝＝ bn 。
三、排序不等式的证明为了证明排序不等式，我们可以采用逐步调整法。
首先，考虑当两组数的顺序完全相反时，即 a1bn ＋ a2bn 1 ＋＋anb1 。
然后，我们尝试通过交换其中的两个元素来逐步调整，使得乘积之和增大。
假设存在 ci ＜ cj 且 ai ＜ aj ，交换 ci 和 cj 的位置，得到新的和为 S'。
计算 S' S ，可以发现 S' ＞ S 。
经过多次这样的调整，最终可以得到 a1b1 ＋ a2b2 ＋＋ anbn ，从而证明了排序不等式。
四、排序不等式的应用1、证明其他不等式排序不等式常常被用于证明一些其他的不等式，通过巧妙地构造两组数，利用排序不等式的结论来推导新的不等式。
例如，要证明柯西不等式，可以通过适当的构造和运用排序不等式来完成。
2、求解最值问题在一些求最值的问题中，通过分析所给条件，利用排序不等式可以找到变量的最佳排列方式，从而求得最值。
比如，给定一些限制条件，求几个数乘积之和的最大值或最小值。
3、优化问题在实际的优化问题中，如资源分配、生产安排等，排序不等式可以提供一种思考和解决问题的思路。
排序不等式
2
3
1
2
-1
∵b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n,
1 2
-1 1 2
-1
∴
+
+⋯+
≥ + + ⋯+
,
1 2
-1 2 3
1 2
-1 1 2
-1 1 2
-1
即 + + ⋯+
≤
+
+ ⋯+
≤
+
+⋯+
.
2 3
1 2
-1 2 3
+
+
证明:由对称性,不妨设 a≥b≥c>0.
1
1
1
于是 a+b≥a+c≥b+c,a ≥b ≥c , + ≥ + ≥ +.
2
2
2
2
2
2
由排序原理,知+ + + + + ≥ + + + + +,
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
2
≥
2
3
+ ⋯+
-1
.
证明:设 b1,b2,…,bn-1 是 a1,a2,…,an-1 的一个排列,且
b1<b2<…<bn-1,c1,c2,…,cn-1 为 a2,a3,…,an 的一个排列,且
最新人教版高中数学选修4-5《排序不等式》知识讲解
数学人教B 选修4-5第二章2.2 排序不等式1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．了解排序不等式的结构与基本原理．3．理解排序不等式的简单应用．1．排序不等式定义：设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，称______________为这两个实数组的顺序积之和(简称________)，称____________________________为这两个实数组的反序积之和(简称________)，称______________________为这两个实数组的乱序积之和(简称________)．定理(排序原理，又称为排序不等式)设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有________________________________≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤________________________，等号成立(反序和等于顺序和)a 1＝a 2＝…＝a n 或________________．排序原理可简记作：反序和≤________≤顺序和．(1)排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了．对于排序原理的记忆，我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系．(2)学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增加或同时减少)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列．【做一做1－1】已知两组数a 1≤a 2≤a 3≤a 4≤a 5，b 1≤b 2≤b 3≤b 4≤b 5，其中a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11，将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值和最小值分别是( )A ．132,6B ．304,212C ．22,6D ．21,36【做一做1－2】设a 1，a 2，a 3∈(0，＋∞)，且a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．122．切比晓夫不等式设a 1，a 2，…，a n ；b 1，b 2，…，b n 为任意两组实数，(1)如果a 1≤a 2≤…≤a n ，且b 1≤b 2≤…≤b n 或a 1≥a 2≥…≥a n 且b 1≥b 2≥…≥b n ，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n n≥__________________； (2)若a 1≤a 2≤…≤a n 而b 1≥b 2≥…≥b n 或a 1≥a 2≥…≥a n 而b 1≤b 2≤…≤b n ，则________________≤⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ⎝⎛⎭⎫b 1＋b 2＋…＋b n n .上述两式中等号当且仅当____________________或b 1＝b 2＝…＝b n 时成立．【做一做2】已知a 1，a 2，a 3；b 1，b 2，b 3∈R ，且a 1≤a 2≤a 3，b 1≥b 2≥b 3，则3(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)__________(a 1＋a 2＋a 3)·(b 1＋b 2＋b 3)(填“＞，≥，＜，≤，＝”号) 答案：1．a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 顺序和 a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1 反序和 a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 乱序和 a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1 a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n b 1＝b 2＝…＝b n 乱序和【做一做1－1】B 由排序不等式可知，最大值应为a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋a 5b 5＝304，最小值为a 1b 5＋a 2b 4＋a 3b 3＋a 4b 2＋a 5b 1＝212.【做一做1－2】A 由题意，不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0，则1a 3≥1a 2≥1a 1＞0，∴a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3， 当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立．2．(1)⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ⎝⎛⎭⎫b 1＋b 2＋…＋b n n(2)a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n na 1＝a 2＝…＝a n 【做一做2】≤ 由a 1≤a 2≤a 3，b 1≥b 2≥b 3，根据定理可知a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 33≤⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋a 33⎝⎛⎭⎫b 1＋b 2＋b 33，∴3(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)≤(a 1＋a 2＋a 3)(b 1＋b 2＋b 3)，当且仅当a 1＝a 2＝a 3或b 1＝b 2＝b 3时等号成立．1．对排序不等式的证明如何理解？剖析：在排序不等式的证明中，用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及到的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的．2．排序原理的思想是什么？剖析：在解答数学问题时，常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．题型一 所证不等式中字母的大小顺序已确定的情况【例题1】已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证：(1)1bc ≥1ca ≥1ab； (2)a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c. 分析：由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组证明．反思：可以直接利用a ≥b ≥c 这一条件构造两个数组，用排序不等式证明．题型二 需对所证不等式中所给的字母顺序作出假设的情况【例题2】设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 分析：不等式的左边可以分为两个数组ab ，ac ，bc ；1c ，1b ，1a，排出顺序后可利用排序原理证明．反思：利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中各数间的大小关系是解题的关键．题型三 对所证不等式中字母的大小顺序需要加以讨论【例题3】若x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x n ≥(2n ＋1)x n .分析：题目中只给出了x ＞0，但对于x ≥1，x ＜1没有明确，因而需要进行分类讨论． 反思：在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的式子才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体情况分类讨论．题型四 易错辨析易错点：应用排序不等式时，因忽视等号成立的条件致误．【例题4】已知a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈[1,2]，且a 1，a 2，a 3不全相等，b 1，b 2，b 3不全相等，试求式子a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3的取值范围．错解：不妨设1≤a 1≤a 2≤a 3≤2，c 1，c 2，c 3为b 1，b 2，b 3的一个排列，且1≤c 1≤c 2≤c 3≤2， 则a 1c 3＋a 2c 2＋a 3c 1≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3≤a 1c 1＋a 2c 2＋a 3c 3，∴3≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3≤12.∴a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3的取值范围为[3,12]．错因分析：由于a 1，a 2，a 3不全相等，且b 1，b 2，b 3也不全相等，故排序不等式中的等号不成立．答案：【例题1】证明：(1)∵a ≥b ＞0，于是1a ≤1b， 又c ＞0，∴1c ＞0，从而1bc ≥1ca. 同理，∵b ≥c ＞0，于是1b ≤1c， ∵a ＞0，∴1a ＞0，于是得1ca ≥1ab. 从而1bc ≥1ca ≥1ab. (2)由(1)1bc ≥1ca ≥1ab ，再结合顺序和≥乱序和， 得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3 ＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3 ≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c. 【例题2】证明：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，∴ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a. 由排序原理，知ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c＝a ＋c ＋b ， 即bc a ＋ac b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 【例题3】证明：(1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n ，由排序原理：顺序和≥反序和，得1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .①又因为x ，x 2，…，x n,1为序列1，x ，x 2，…，x n 的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，得x ＋x 3＋…＋x 2n －1＋x n ≥(n ＋1)x n .②将①和②相加，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .③(2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n ，但①②仍然成立，于是③也成立．综合(1)(2)，可知1＋x ＋x 2＋…＋x n ≥(2n ＋1)x n .【例题4】正解：(以上解答同错解中的过程)∴3≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3≤12.又∵a 1，a 2，a 3不全相等，且b 1，b 2，b 3不全相等，故等号不成立．所以a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3的取值范围为(3,12)．1若a 2＋b 2＝5，则a ＋2b 的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．82设a 1，a 2，…，a n 都是正数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，则a 1b －11＋a 2b －12＋…＋a n b －1n 的最小值是( )A ．1B ．nC ．n 2D ．无法确定3车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为4 min,8 min,6 min,10 min ，5 min ，每台机床停产1 min 损失5元，经合理安排损失最少为( )元．A ．420B ．400C ．450D ．5704在△ABC 中，角C 为直角，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB ≥__________. 答案：1．A ∵(a 2＋b 2)(12＋22)≥(a ＋2b )2，当且仅当a 1＝b 2时等号成立， ∴(a ＋2b )2≤25.∴－5≤a ＋2b ≤5.2．B 设a 1≥a 2≥…≥a n ＞0，可知a －1n ≥a －1n －1≥…≥a －11，由排序原理，得a 1b －11＋a 2b －12＋…＋a n b －1n ≥a 1a －11＋a 2a －12＋…＋a n a －1n ＝n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立．3．A 利用排序原理求得5台机床修复时间最少为84 min ，所以最少损失为84×5＝420元．4．(a ＋b )π41设a ，b ∈(0，＋∞)，P ＝a 3＋b 3，Q ＝a 2b ＋ab 2，则P 与Q 之间的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD ．P ≤Q答案：B2已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则a 3＋b 3＋c 3与a 2b ＋b 2c ＋c 2a 的大小关系是( )A ．a 3＋b 3＋c 3＞a 2b ＋b 2c ＋c 2aB ．a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2aC ．a 3＋b 3＋c 3＜a 2b ＋b 2c ＋c 2aD ．a 3＋b 3＋c 3≤a 2b ＋b 2c ＋c 2a答案：B 根据排序原理，取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2，不妨设a ≥b ≥c ＞0，所以a 2≥b 2≥c 2，所以a 2×a ＋b 2×b ＋c 2×c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，即a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．3已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( )A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零答案：B 设a ≥b ≥c ＞0，所以a 3≥b 3≥c 3.根据排序原理，得a 3×a ＋b 3×b ＋c 3×c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a .又知ab ≥ac ≥bc ，a 2≥b 2≥c 2，所以a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab .所以a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab ，即a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )≥0.当且仅当a ＝b ＝c ＞0时等号成立．4若A ＝x 12＋x 22＋…＋x n 2，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ＞B B ．A ＜BC ．A ≥BD ．A ≤B答案：C 不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即A ≥B ，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＞0时等号成立．5设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则式子M ＝a 5＋b 5＋c 5－a 3bc －b 3ac －c 3ab 的符号是( )A ．M ≥0B ．M ≤0C ．M ＞0D ．M ＜0答案：A 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 3≥b 3≥c 3，且a 4≥b 4≥c 4，则a 5＋b 5＋c 5＝a ·a 4＋b ·b 4＋c ·c 4≥a ·c 4＋b ·a 4＋c ·b 4.又a 3≥b 3≥c 3，且ab ≥ac ≥bc ，∴a 4b ＋b 4c ＋c 4a ＝a 3·ab ＋b 3·bc ＋c 3·ca≥a 3·bc ＋b 3·ac ＋c 3·ab ，∴a 5＋b 5＋c 5≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab ，当且仅当a ＝b ＝c ＞0时等号成立．∴M ≥0. 6已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)，且11a b >，x ＞y ，则_____x y x a y b ++.(填“＞”或“＝”或“＜”)答案：＞ ∵11>0a b>，∴b ＞a ＞0. 又x ＞y ＞0，由排序不等式可知，bx ＞ay ， ∴>0()()x y bx ay x a y b x a y b --=++++. ∴x y x a y b>++. 7已知a ，b ，c 都是正数，则a b c b c c a a b+++++≥________. 答案：32 设a ≥b ≥c ＞0，所以111b c c a a b ≥≥+++. 由排序原理，知a b c b c a b c c a a b b c c a b a++≥++++++++，① a b c c a b b c c a a b b c c a b a++≥++++++++.② ①＋②，得32a b c b c c a a b ++≥+++. 当且仅当a ＝b ＝c ＞0时等号成立．8设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，a ，b ，c 为△ABC 的三边，则aA bB cC a b c ++++的最小值为__________．(A ，B ，C 用弧度制表示) 答案：π3不妨设a ≥b ≥c ＞0，则A ≥B ≥C ， 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ，aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC ，将以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )·(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )， ∴π3aA bB cC a b c ++≥++.当且仅当a ＝b ＝c 或A ＝B ＝C 时等号成立．9已知n ∈N *，求证：11(1+1)11432n ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭答案：证明：令A ＝11(1+1)11432n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭＝2583114732n n -⨯⨯⨯⨯- ， B ＝369325831n n ⨯⨯⨯⨯- ， C ＝4710313693n n+⨯⨯⨯⨯ . ∵2345678910,,123456789>>>>>>，…，31331032313n n n n n n -+>>>--， ∴A ＞B ＞C ＞0.∴A 3＞ABC ＝3n ＋1.∴A ，即11(1+1)11432n ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高二数学上册第三章不等式知识点排列
高二数学上册第三章不等式知识点摆列不等式分为严格不等式与非严格不等式。
小编准备了高二数学上册第三章不等式知识点，希望你喜爱。
一、考点知识回首不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基天性质有：对称性： ab bb， bc，则 a 可加性： ab a+c可乘性： ab，当 c0 时， ac 当 c0 时， ac不等式运算性质：(1)同向相加：若ab， cd，则 a+c(2)异向相减：，.(3)正数同向相乘：若 a0，c0，则 acbd。
(4) 乘方法例：若 a0，nN+，则;(5)开方法例：若a0，nN+ ，则(6)倒数法例：若ab0，ab，则。
2、基本不等式 (或均值不等式 );利用完整平方式的性质，可得a2+b22ab(a，bR)，该不等式可推行为a2+b2 或变形为|ab| ; 当a，b0 时， a+b 或 ab .3、不等式的证明：不等式证明的常用方法：比较法，公式法，剖析法，反证法，换元法，放缩法;在不等式证明过程中，应着重与不等式的运算性质联合使用;证明不等式的过程中，放大或减小应适量。
不等式的解法：解不等式是找寻使不等式建立的充要条件，所以在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
一元二次不等式 (组 )是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基此题型。
一元二次不等式与相应的函数，方程的联系求一般的一元二次不等式或的解集，要联合的根及二次函数图象确立解集.关于一元二次方程，设，它的解依据可分为三种状况.相应地，二次函数的图象与轴的地点关系也分为三种状况.所以，我们分三种状况议论对应的一元二次不等式的解集，注意三个二次的联系。
含参数的不等式应适合分类议论。
5、不等式的应用相当宽泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单一性等。
在解决问题过程中，应该擅长发现详细问题背景下的不等式模型。
用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。
研究不等式联合函数思想，数形联合思想，等价变换思想等。
高一数学排序不等式知识点
高一数学排序不等式知识点数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，其中不等式是数学中重要的一个分支。
排序不等式是在不等式的基础上，对一系列数值进行排序的一种方法。
在高一数学中，掌握排序不等式的知识点对于学生来说是非常重要的。
一、基础概念首先，我们来复习一下不等式的基础概念。
不等式是表示两个数或两个算式的关系的一种数学表达式。
常见的不等式包括大于号（>），小于号（<），大于等于号（≥），小于等于号（≤）等。
二、排序不等式的意义为什么要学习排序不等式？首先，排序不等式是数学中解决实际问题的重要工具。
在现实生活中，我们经常需要对一些数进行排序，例如排名、分数等。
其次，掌握排序不等式可以帮助我们更好地理解数的大小关系。
三、常见排序不等式1. 加减法法则：考虑到加减法运算的性质，对于任意实数a，b，c，有如下排序不等式：- 若a > b，那么a ± c > b ± c；- 若a > b，且c > 0，那么a × c > b × c；- 若a > b，那么a ÷ c > b ÷ c（其中c ≠ 0）。
2. 乘法法则：考虑到乘法运算的性质，对于任意实数a，b，c （其中c > 0），有如下排序不等式：- 若a > b，那么a × c > b × c；- 若a < b，那么a × c < b × c。
3. 幂法则：考虑到幂运算的性质，对于任意实数a，b，c（其中a > 0，b > 0，c > 0），有如下排序不等式：- 若a > b，那么a^c > b^c；- 若a < b，那么a^c < b^c。
四、综合运用了解了常见的排序不等式后，我们来看几个综合的例子，进一步理解排序不等式的应用。
例1：比较两个不等式的大小关系：3 + 5 × 2和6 × 2 - 4。
第三讲__排序不等式
全国高中数学联赛 金牌教练员讲座兰州一中数学组第六讲 不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能I ．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211（同序和）jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和）1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立.证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时（若n j n =，则考虑1-n j ），且在和S 中含有项),(n k b a n k ≠则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+ ①事实上，左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a由此可知，当n j n ≠时，调换n k j n j k j b a b a b a S ++++= 11（n j n ≠）中n b 与nj 位置（其余不动），所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后，接着再仿上调整1-n a 与1-n b ，又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和n n b a b a b a +++ 2211jn n j j b a b a b a +++≥ 2211 ②这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当n a a a === 21或n b b b === 21时②中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在n j 及k ，使n b .,k n j a a b n >>这时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”. II ．应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均数和几何平均数分别是n n n nn a a a G na a a A 2121=+++=和此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到nn a a a nH 11121+++=，和平方平均（在统计学及误差分析中用到）na a a Q nn 22221+++=这四个平均值有以下关系n n n n Q A G H ≤≤≤. ○* 其中等号成立的充分必要条件都是n a a a === 21.下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：.n n G A ≥记1,,,2121211====n n n Ga a a x G aa x G a x ；.1,,1,12211nn x y x y x y ===由于数组n x x x ,,,21 和数组n y y y ,,,21 中对应的数互为倒数，由排序不等式得n n y x y x y x +++ 1211（逆序和）≤ 1121,-+++n n n y x y x y x ，即 .21nn n n G a G a G a n +++≤从而.n n G A ≥等号当且仅当n x x x === 21或n y y y === 21时成立，而这两者都可得到n a a a === 21.下面证明.n n H G ≥对n 个正数na a a 1,,1,121 应用,n n A G ≤得.1111112121n nn a a a n a a a ⋅⋅⋅≥+++即.n n H G ≥（符号成立的条件是显然的）.最后证明,n n Q A ≤它等价于.0)()(22122221≥+++-+++n n a a a a a a n而上式左边= +-++-+-++-+-2223221221221)()()()()(n n a a a a a a a a a a0)(21≥-+-n n a a ，于是不等式及等号成立的条件都是显然的了.从上述证明可见，nn Q A ≤对一切R a a a n ∈,,,21 成立.III ．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式. 柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则).)(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i =时成立.证明：不妨设),,2,1(n i a i =不全为0，i b 也不全为0（因为i a 或i b 全为0时，不等式显然成立）. 记A=22221n a a a +++ ，B=22221n b b b +++ .且令),,,2,1(,n i Bby A a x i i i i ===则.1,12222122221=+++=+++n n y y y x x x 于是原不等式成为.12211≤+++n n y x y x y x即≤+++)(22211n n y x y x y x 2222122221n n y y y x x x +++++++ .它等价于.0)()()(2222211≥-++-+-n n y x y x y x其中等号成立的充要条件是).,,2,1(n i y x i i ==从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是).(BA k ka b i i == IV ．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21 ，则.21212211nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++证明：由题设和排序不等式，有n n b a b a b a +++ 2211=n n b a b a b a +++ 2211，132212211b a b a b a b a b a b a n n n +++≥+++ ，…….11212211-+++≥+++n n n n n b a b a b a b a b a b a将上述n 个不等式叠加后，两边同除以n 2，即得欲证的不等式.赛题精讲I ．排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题.例1：对+∈R c b a ,,，比较a c c b b a c b a 222333++++与的大小.【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析.【略解】 取两组数.,,;,,222c b a c b a不管c b a ,,的大小顺序如何，都是乱序和都是同序和a c c b b a c b a 222333++++，故 a c c b b a c b a 222333++>++.【评述】 找出适当的两组数是解此类题目的关键.例2：+∈R c b a ,,，求证.222222222222abc ca b bc a b a c a c b c b a c b a ++≤+++++≤++ 【思路分析】 应先将a 、b 、c 三个不失一般性地规定为.0>≥≥c b a【略解】由于不等式关于a 、b 、c 对称，可设.0>≥≥c b a于是ab c c b a 111,222≥≥≥≥.由排序不等式，得ac c b b a c c b b a a 111)(111222222⋅+⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅逆序和（乱序和）. 及.111111222222bc a b c a c c b b a a ⋅+⋅+⋅≤⋅+⋅+⋅ 以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组abca bc c b a 111,0333≥≥>≥≥及，仿上可证第二个不等式，请读者自己完成. 【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计.这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组. 例3：在△ABC 中，试证：.23ππ<++++≤c b a cC bB aA【思路分析】 可构造△ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.【详解】 不妨设c b a ≤≤，于是.C B A ≤≤由排序不等式，得.,,bC aB cA cC bB aA aC cB bA cC bB aA cC bB aA cC bB aA ++≥++++≥++++≥++ 相加，得)())(()(3c b a C B A c b a cC bB aA ++=++++≥++π， 得3π≥++++c b a cC bB aA ①又由,0,0,0b c a c b a a c b -+<-+<-+<有).(2)()3()2()2()()()()()()(0cC bB aA c b a C c B b A a C B A c B C A b A C B a b c a B c b a C a c b A ++-++=-+-+-=-++-++-+=-++-++-+<ππππ得.2π<++++c b a cC bB aA ②由①、②得原不等式成立.【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明. 例4：设n a a a ,,,21 是互不相同的自然数，试证.212112221na a a n n +++≤+++ 【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序.【略解】将n a a a ,,,21 按由小到大的顺序排成n j j j a a a <<< 21其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的一个排列，则.,2,121n a a a n j j j ≥≥≥ 于是由排序不等式，得.12112222222121n na a a n a a a n j j j n +++≥+++≥+++例5：设n b b b ,,,21 是正数n a a a ,,,21 的一个排列，求证.2211n b a b a b a nn ≥+++【思路分析】 应注意到),,2,1(11n i a a ii ==⋅【略证】不妨设n a a a ≥≥≥ 21，因为n a a a ,,,21 都大于0. 所以有na a a 11121≤≤≤ ， 又nn a a a b b b 1,,1,11,,1,12121 是的任意一个排列，于是得到 .11111122112211nn n n b a b a b a a a a a a a n +++⋅≤⋅++⋅+⋅= 【评述】 此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.例6：设正数c b a ,,的乘积1=abc ，试证：.1)11)(11)(11(≤+-+-+-ac c b b a【略解】设xzc z y b y x a ===,,，这里z y x ,,都是正数，则原需证明的不等式化为 y x z x z y z y x xyz y x z x z y z y x -+-+-+≤-+-+-+,,,))()((显然中最多只有一个非负数.若y x z x z y z y x -+-+-+,,中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若y x z x z y z y x -+-+-+,,均为正数，则z y x ,,是某三角形的三边长.容易验证 )].()()([(31))()((222z y x z y x z y x z y x y x z x z y z y x -++-++-+≤-+-+-+故得.))()((xyz y x z x z y z y x ≤-+-+-+【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a 、b 、c 的乘积,1=abc 证明.23)(1)(1)(1222≥+++++b a c a c b c b a证明：设1,1,1,1====xyz zc y b x a 则，且所需证明的不等式可化为23222≥+++++y x z x z y z y x ，现不妨设z y x ≥≥，则yx zx z y z y x +≥+≥+，据排序不等式得y x z x z y z y x +++++222y x zy x z y x z y x z +⋅++⋅++⋅≥ 及y x z x z y z y x +++++222yx zx x z y z z y x y +⋅++⋅++⋅≥ 两式相加并化简可得)(2222yx z x z y z y x +++++.333=≥++≥xyz z y x例7：设实数n n n z z z y y y x x x ,,,,,212121 ≥≥≥≥≥≥是n y y y ,,,21 的一个置换，证明：∑∑==-≤-ni i i ni i iz x y x1212.)()(【略解】 显然所需证不等式等价于∑∑==≥ni ii n i ii z x y x 11,这由排序不等式可直接得到.【评述】 应用此例的证法可立证下题：设k a 是两两互异的正整数（),2,1 =k ，证明对任意正整数n ，均有∑∑==≥ni ni k kk a 112.1证明：设n b b b ,,,21 是n a a a ,,,21 的一个排列，使n b b b <<< 21，则从条件知对每个k b n k k >≤≤,1，于是由排序不等式可知∑∑∑===≥≥ni n i k ni k kk b k a 11212.1II ．柯西不等式的应用应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式. 例8：设+∈R x x x n ,,,21 ，求证：.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【详解】 ∵0,,,21>n x x x ，故由柯西不等式，得))((1221322221132x x x x x x x x x x x x n n n n ++++++++-2111323212)(x x x x x x x x x x x x n nn n ⋅+⋅++⋅+⋅≥-2121)(n n x x x x ++++=- ，∴.211221322221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- 【评述】这是一道高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.针对性训练题1．设a 、b 、c +∈R ，利用排序不等式证明： （1）b a b a b a abba≠>(）； （2）b a a c c b cbac b a c b a +++≥222；（3）23≥+++++b a c a c b c b a ； （4）.101010121212c b a abc ca b bc a ++≥++ 2．设a 、b 、c 是三角形三边的长，求证：.3≥-++-++-+cb a cb ac b a c b a3．已知a 、b 、c *N ∈，并且,,,c b a b a c a c b >+>+>+求证：.1)1()1()1(≤-+-+-+cb a cb a b ac a c b 4．设,1,*>∈n N n 求证：.22121-⋅>+++n n nn n n C C C5．若b a b a b a lg 2lg ,62,0,0+=+>>求且的最大值. 6．若122,122++=+b ab a 求的最小值.7．已知11),(),1(13++=>=-x yy x u x y x 求的最小值. 8．y x y x u y x 2),(,1222+==+求的最值.。
高二数学人选修课件第二章排序不等式
排序不等式在实际问题中有着广泛的应用，学生应能理解其应用背景和实际意义 ，提高分析问题和解决问题的能力。
排序不等式的定义和性质
• 排序不等式的定义：对于两组实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$，若$a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$，$b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_n$，则有$a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n \leq a1b{\sigma(1)} + a2b{\sigma(2)} + \ldots + anb{\sigma(n)}$，其中$\sigma$是$1, 2, \ldots, n$的任意一个排列，当且仅当$a_1 = a_2 = \ldots = a_n$或$b_1 = b_2 = \ldots = b_n$时等号成立。
二者的证明方法相似
均值不等式和排序不等式的证明方法都采用了数学归纳法、反证法等，这些方法在证明过程中起到了关键作用。
与柯西不等式的联系
柯西不等式是排序不等式的推广
柯西不等式是排序不等式在更广泛条件下的推广和应用。当排序不等式中的权值满足一 定条件时，可以转化为柯西不等式进行求解。
二者的应用场景相互补充
顺序和
对于同样的两个有序实数序列$a$和$b$，如果将$a$序列中 的元素与$b$序列中同样位置的元素相乘并求和，得到的结 果称为顺序和，记作$S_顺$。即$S_顺 = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n$。
乱序和与反序和
乱序和
排序不等式 证明-概念解析以及定义
排序不等式证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括对排序不等式的背景和重要性进行简要介绍。
以下是一个可能的概述部分的内容：在数学中，排序不等式是指一类关于数值大小顺序的不等式。
它们在数学推理和问题求解中具有重要的作用，并且在各个领域中都有广泛的应用。
排序不等式通过比较数值的大小关系，可以帮助我们理解和处理数学问题。
相比于其他类型的不等式，排序不等式通常具有更加明确和直观的形式，因此在解决数学问题时，我们往往会将其作为有力的工具。
通过排序不等式，我们可以确定数值的相对大小关系，从而得出更深入的结论。
排序不等式的证明方法也是数学学科中的一个重要研究方向。
由于排序不等式的普适性和实用性，人们一直在探索和发展各种证明方法，以便更加简洁和有效地证明这类不等式。
这些方法包括数学归纳法、反证法、推广法等，每一种方法都有其独特的优势和适用范围。
本文将围绕排序不等式的定义、性质和证明方法展开讨论。
首先，我们将介绍排序不等式的基本定义，探讨其数学背景和基本概念。
然后，我们将讨论排序不等式的性质，如传递性、反对称性等，以及这些性质在问题求解中的应用。
最后，我们将重点关注排序不等式的证明方法，介绍几种常用的证明技巧，并通过案例分析来说明其应用场景。
通过本文的研究，我们可以更深入地理解排序不等式的重要性，并掌握一些常用的证明方法。
同时，我们也能够认识到排序不等式在实际问题中的应用价值，并展望未来在这一领域的研究方向。
总而言之，排序不等式是数学中一个重要的概念和工具，具有广泛的应用前景。
本文旨在系统地介绍排序不等式的定义、性质和证明方法，以期读者能够更好地掌握和应用这一知识，拓宽数学思维和问题解决的能力。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行展开：1. 引言：首先对排序不等式进行概述，阐述其在数学和实际问题中的重要性。
2. 正文：对排序不等式进行详细的定义和解释，包括其性质和特点。
同时介绍排序不等式的证明方法，包括常用的数学归纳法、反证法等。
排序不等式知识点梳理
排序不等式
1、教学重点：应用排序不等式证明不等式
2、教学难点：排序不等式的证明思路，逐步调整法
3、学生必须掌握的内容：
1．乱序和、反序和、顺序和
设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n为b1，b2，…，b n的任一排列，称a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋a n c n为乱序和，a1b n＋a2b n－1＋a3b n－2＋…＋a n b1为反序和，a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a n b n为顺序和．
2．排序不等式(又称排序原理)
设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，那么a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和．
3．排序原理的简记
反序和≤乱序和≤顺序和．
4、容易出现的问题：
排序不等式与柯西不等式是两个著名的不等式，普通高中课程标准已把它们列为选修内容，虽然这两个不等式以前属高中数学竞赛内容，但我们在教学中发现，大多数学生在应用它们证题时，常常显得束手无策，不知如何使用不等式，特别是在应用排序不等式证题时会出现对排序不等式的各个数据之间联系和不等号间各数的组合的一些问题.
5、解决方法：
针对排序不等式的特点，讲解清楚不等式的特征及相关要点，并结合学生的课堂反应，课堂多注重基础，多找出有代表性的典例适时强化学生理解记忆，及时纠正学生的易错之处.。
高二 数学 选修 不等式 第十讲 柯西不等式与排序不等式
知识要点
知 识 要 点
知 识 要 点
典题剖析
例
1．已知
a1
， a2
，…，
an
都是实数，求证
1 n
(a1
a2
...
an
)2
a12
a22
... Βιβλιοθήκη an2．【解析】
根据柯西不等式有 ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1，
所以 x2 y2 z2 1 ，当且仅当 x y z ，
14
1 23
【分析】由 x 2 y 3z 1 以及 x2 y2 z2 的形式，联系柯西不等式，可以通过构造
(12 22 32 ) 作为一个因式而解决问题．
即 x 1 ， y 1 ， z 3 时， x2 y2 z2 取最小值 1 ．
...
an n2
b1
b2 22
b3 32
由..此. 可nbn2以联1想1到 2用排212序不3等31式2 证..明. 的n 思n12路．1
1 2
1 3
...
1 n
．
排序不等式也是基本而重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用，许多重要不等式可以借 助排序不等式得到证明．
技巧传播
陷阱规避
• 陷阱：利用排序不等式解题时，不能正确
陷阱一 找出有序实数组．
• 克服方法：认真审题，勤加练习．
陷阱二
【易错典例】已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1， 求 3a＋1＋ 3b＋1＋ 3c＋1的最大值．
【正解】 ∵(12＋12＋12)[( 3a＋1)2＋( 3b＋1)2＋( 3c＋1)2]
14
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式排序不等式素材2
3。
3 排序不等式庖丁巧解牛知识·巧学排序不等式Sequence Inequality(又称排序原理) （1)排序原理的内容：设有数组A:a 1≤a 2≤…≤a n ，及数组B:b 1≤b 2≤…≤b n .称a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 为顺序和，a 1b n +a 2b n-1+a 3b n —2+…+a n b 1为倒序和,a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n 为乱序和(其中c 1，c 2,…，c n 是b 1≤b 2≤…≤b n 的一个排列）。
则有： 顺序和≥乱序和≥倒序和，其中等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 或b 1=b 2=…=b n 时成立。
记忆要诀以S=∑=ni i i b a 1表示顺序和,以∑=+-=ni i n i ba S 11表示倒序和，以S 1=∑=ni i i c a 1表示乱序和(其中，c 1，c 2,…，c n 是b 1≤b 2≤…≤b n 的任一排列）,则有S ≤S 1≤S 。
(2)排序原理的本质含义：两实数序列同方向单调（同时增或同时减）时所得两两乘积之和最大，反方向单调（一增一减）时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列。
学法一得由排序原理,我们可以得到这样一个推论:对于实数，a 1,a 2，…,a n ，设a i1,a i2,…，a in 为其任一个排列，则有 a 1a i1+a 2a i2+…+a n a in ≤a 12+a 22+…+a n 2。
证明：不妨设满足a 1≤a 2≤…≤a n ，取b k =a k （k=1，2,…，n ）,因此b 1≤b 2≤…≤b n ,且a 1，a 2，…，a n 是b 1,b 2,…,b n 的一个排列,由排序原理知， a 11i a +a 22i a +…+a n ni a ≤a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =a 12+a 22+…+a n 2.(3）排序原理的意义：在解各种涉及到若干个可以比较大小的对象（如实数、线段、角度等）a 1，a 2,…,a n 的数学问题时，如果根据对称性，假定它们按一定的顺序排列起来，往往能使问题迎刃而解。
《排序不等式》 知识清单
《排序不等式》知识清单一、排序不等式的定义排序不等式，又称排序原理，是不等式中的一个重要定理。
它描述了两组数在一定顺序下的乘积之和的大小关系。
简单来说，如果我们有两组数，分别为 a₁, a₂,， aₙ 和 b₁, b₂,，bₙ，将它们从小到大排序后得到 a'₁ ≤ a'₂ ≤ ≤ a'ₙ 和 b'₁ ≤ b'₂ ≤ ≤ b'ₙ，那么对于这两组数的任意排列 a₁, a₂,， aₙ 和 b₁, b₂,， bₙ ，都有以下不等式成立：a'₁b'₁＋ a'₂b'₂＋＋ a'ₙb'ₙ ≤ a₁b₁＋ a₂b₂＋＋ aₙbₙ ≤a'ₙb'₁＋ a'ₙ₋₁b'₂＋＋ a'₁b'ₙ这个不等式反映了在两组数的不同排列下，它们乘积之和的大小有一定的规律。
二、排序不等式的证明为了更好地理解排序不等式，我们来看一下它的证明过程。
证明可以采用逐步调整法。
假设我们有两组数 a₁, a₂,， aₙ 和 b₁, b₂,， bₙ ，以及它们的一个排列 a₁, a₂,， aₙ 和 b₁, b₂,， bₙ 。
如果这个排列不是同序排列（即不是 a'₁b'₁＋ a'₂b'₂＋＋ a'ₙb'ₙ的形式），那么必然存在两个位置 i 和 j ，使得 a₁≤ a₂≤ ≤ aₙ ≤ aᵢ＞aₙ ≥ aₙ₊₁ ≥ ≥ aₙ ，同时 b₁≤ b₂≤ ≤ bₙ ≤ bₙ ＞ bᵢ≥ bₙ₊₁≥ ≥ bₙ 。
此时，我们将 aᵢ和 aₙ 以及 bᵢ和 bₙ 的位置进行交换，得到新的排列。
新排列对应的乘积之和与原排列对应的乘积之和的差为：（a₁b₁＋ a₂b₂＋＋ aᵢbₙ ＋＋ aₙbᵢ＋＋ aₙbₙ) （a₁b₁＋a₂b₂＋＋ aᵢbᵢ＋＋ aₙbₙ ＋＋ aₙbₙ)＝（aᵢ aₙ)（bₙ bᵢ)因为 aᵢ＞ aₙ 且 bₙ ＞ bᵢ，所以（aᵢ aₙ)（bₙ bᵢ) ＞ 0 ，即新排列对应的乘积之和大于原排列对应的乘积之和。
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2 排序不等式先来看一个问题：设有10个人各拿一只水桶去接水，若水龙头注满第i 个人的水桶需要i a 分钟，且这些i a 各不相同。
那么，只有一个水龙头时，应如何安排10个人接水的顺序，才能使它们等待的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？解决这一问题，就需要用到排序不等式的有关内容。
在没有找到合理的解决办法之前，同学们可以猜测一下，怎样安排才是最优的接水顺序？为了解决这一问题，先来了解排序不等式。
一般地，设有两组正数n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 ，且n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21. 若将两组中的数一对一相乘后再相加，则其和同序时最大，倒序时最小.即 （倒序）（乱序）（同序）112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n i n i i nn n+++≥+++≥+++- 其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的任一个排列，等号当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时成立。
下面采用逐步调整法证明排序不等式。
证明：考察任意和式n i n i i b a b a b a s +++= 2121。
若1i b 是1b ，则转而考察2i b ；若1i b 不是1b ，而某一k i b 是1b 。
将1i b 与k i b 调整位置，得 n k i n i k i i b a b a b a b a s +++++=' 1221 则0))(()()(111111≥--=-+-=-'i k i i k i i b b a a b b a b b a s s k k这就是说，当把第一项调整为11b a 后，和不会减少。
同样，可将第二项调整为22b a ，…，以此类推，即得证第一个不等式。
同理可证第二个不等式成立。
请思考：怎样用排序不等式解决上述最优接水问题？设1021,,,i i i 是不同于10,,2,1 的一个排列。
若第一个接水的人拿的是需要1i a 分钟才能注满的水桶，则接这桶水10人共需等待101i a 分钟；第二个接水的人拿的是需要2i a 分钟才能注满的水桶，则接这桶水9人共需等待92i a 分钟；…如此继续下去，到第10人接水时，只有它一人在等，需要10i a 分钟。
按这样的顺序，10人都接满水所需总时间为101i a +92i a +…+29i a +10i a不访设 1021a a a <<< ，而1021<<< ，由排序不等式得1092110212910291010210921a a a a a a a a a a a i i i i ++++>++++>+++这就是说，按水桶的大小由小到大依次接水，10人等待的总时间最少，这个最少的时间就是109212910a a a a ++++ .例1．设变数x ，y ，z 满足条件623222=++z y x （1）求函数z y x S 652++=的最大值。
并求出S 取最大值时，x 、y 、z 的值。
【解析】 由柯西不等式，22)6225332()652(z y x z y x ⋅+⋅+⋅=++]23][6)25()32[(222222z y x ++++≤.299)3622534(6=++=所以函数S 的最大值是299。
并且在6252323z y x ==即65223z y x == （2） 时，S 取最大值。
为了求出同时满足（1），（2）的x ，y ，z ，可令（2）中分式的值为k ，则.6,25,32k z ky k x ===代入（1）得.6)6()25(2)32(3222=++k kk （3） 解（3）得.2996±=k 所以，在 29936,29915,2994===z y x时，函数S 取得最大值.299 注 在29936,29915,2994-=-=-=z y x 时，函数S 取得最小值.299-求函数的极值还可以利用二次方程的判别式。
例2．把一条长是m 的绳子截成三段，各围成一个正方形。
怎样截法使得这三个正方形的面积的和最小？【解析】设三段的长度为.,,z y x 那么，m z y x =++是一个定值。
三个正方形的面积的和为)(161444222222z y x z y x S ++=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=而S 和22216z y x S ++=同时有最小值。
由柯西不等式))(()(2222222c b a z y x zc yb xa ++++≤++使1===c b a ，可得，)(3)(2222z y x z y x ++≤++因为左边22)(m z y x =++，是一个定值，所以，在z y x ==时，)(3222z y x ++有最小值。
这就是说，把绳子三等分后，这三段所围成的三个正方形的面积的和最小。
例3 设12,,,n a a a 是n 个互不相等的自然数，证明：32122211112323na a a a n n ++++≤++++ 【解析】证法一 （用排序不等式） 设12,,,n b b b 是12,,,n a a a 的一个排序，且12n b b b <<<又221112n<<< 由逆序和<乱序和得，22112222122n nb a b a b a n n⋅+++<+++又因为 121,2,,n b b b n ≥≥≥所以 21221111232nb b b n n ++++≤+++ 当k k a b k ==，()1,2,k n =时，等号成立.即 111123n++++≤21222na a a n +++ 证法二 （用柯西不等式） 依题设12,,,n a a a 是n 个互不相等的自然数，不妨设1212,,n a a a n ≥≥≥，，则1111nn k k kk a ==≥∑∑ 由柯西不等式有,22111nn k k k ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝∑2111n n k k k k a k a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ∴2211111nn n k k k k ka k a k ===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 111111nnk nk k kkk a ====⋅∑∑∑∴2111nnk k k a k k==≥∑∑ 即 32122211112323na a a a n n ++++≤++++例4、 假设12,,,n b b b 是正数12, ,,n a a a 的某个排列，证明：1212nna a a nb b b +++≥ 证明 1 不妨设12n b b b ≤≤≤，则12111nb b b ≥≥≥由排序不等式(乱序≥逆序)得，12121212111111n n n na a ab b b b b b b b b n⋅+⋅++⋅≥⋅+⋅++⋅= 例5 设 12,,,n a a a 为正整数，求证：2221212231nn a a a a a a a a a +++≥+++【解析】证明 由柯西不等式得，()22212231231na a a aa a a a a⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭()2212nn a a a a ⎛≥+⋅=+++故2221212231nn a a a a a a a a a +++≥+++例6：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 【解析】 证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得 3322112222222323n n a a b b a b a b n n+++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥…。