航空公司超额订票

航空公司超额订票策略
摘要
市场竞争过程中，航空公司为了既获得最大的经济利润，又要营造良好的社会声誉采取超额订票策略。

航空公司的经济利润可以由机票收入扣去飞行费用和赔偿金来度量。

而社会声誉则由持票前来登机，却因客满而无法登机的乘客的数量来衡量。

这是一个二元优化问题，目标变量分别是经济利润最大化和社会声誉损失最小化。

决策变量为订票的数量m.
我们设被挤掉的乘客的数量超过j的概率是
p（m）.获得的经济
j
利润为S(m).本模型的最终目标就是在这两个变量之间找到一种平衡关系，各自达到最大化。

关键字二元优化目标函数约束条件
一.问题重述
在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目。

公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。

设飞机容量为N ，若公司限制只预订m 张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。

如果不限制订票数量，则当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，将会引起那些不能登机的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，导致公司声誉受损和一定的经济损失（如付给赔偿金）。

这样，综合考虑公司的经济利益和社会声誉，必然存在一个恰当的预订票数量的限额。

假设已经知道飞行费用（可设与乘客人数无关）、机票价格（一般飞机满员50%_60%时不亏本，由飞行费用可确定价格）、飞机容量、每位被挤掉者的赔偿金等数据，以及由统计资料估计的每位乘客不按时前来登机的概率（不妨认为乘客间是相互独立的），建立一个数学模型，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等），确定最佳的预订票数量。

二．模型假设
(1) 航班的飞行成本f 为常数，飞机最大容量为N.；
（2）订票数肯定会大于飞机的最大容量。

(3) 设机票的价格是统一的，机票价格按照 /g f N λ=，预订票乘客不按时前来登机概率为q ()
1p q =-；
三．符号说明
四．问题分析
（1）航空公司的经济利润可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，这个问题的关键因素――预订票的成可是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量，这是一个两目标的规划问题，决策变量是预订票数量的限额。

（2）为了航空公司的经济利益最大化，需要考虑不同的乘客的实际需要，对补偿金模型进行约束条件限制，改进优化后的模型即符合实际要求。

五．模型建立与求解
5.1 模型一 不考虑任何形式补偿
m 个订票者中有k 个不按时前来登机时利润
⎩⎨
⎧>--≤---=N k m f Ng N
k m f g k m s k ,,)( （1） 平均利润S 为
()()[]
∑∑∑-=--==--+-=
=m
N
m k k
N m o
k k
m
k k k f g k m p k f ng p s p S 10
∑∑=-=----+
-=m
k m
N
m k k
k f Ng f g k m p f ng p 0
)]
()[()(
∑∑-==--+
-=m
N
m k k
m
k k g
k N m p
p f Ng )()(0
＝()0
n
i i Ng f g p m N i =---+∑ (2)
要使S 最大，应该i p 尽可能小，因此需要m 越大越好。

这个模型的缺点是没
有考签补偿金。

更合理的模型需要将补偿金因素计入模型。

将补偿金因素考虑入模型，得到如下补偿金模型。

5.2 模型二 补偿金模型 每次航班的利润k s 为从机票收入中减去飞行费用和可能发生的补偿金。

m 个订票者中有k 个不按时前来登机时利润
(),(),k m k g f m k N
s Ng f m k N b m k N ---≤⎧=⎨
----->⎩ (3) 平均利润S 为
1
00
[()()]
[()]
m
m N k k k k k m
k k m N S p s p Ng f m k N b p m k g f --===-==
----+
--∑∑
∑
1
[()()]
()m N k k m
m
k k
k k p N m k g m k N b mg f p g kp --====
-+---+--∑
∑∑
记 0
m
k k kp k ==∑ 表示不登机乘客的期望值，则有
1
()
()
m N k k S mg f kg b g p m N k --==---+--∑
(4)
1
()()
()
m N k k m k g f b g p m N k --==---+--∑
下面考虑几种特殊情况，验证模型的有效性： 情形一：01,0,1k p p k ==≥
0,()k S Ng f b m N ==---
结果表明，当m N =时，公司利润最大，这与实际是相符的。

情形二：预订票者实际登机的概率服从二项分布，因此m 个预定票者有k
个不按时前来登机的概率为
1
(1),()
()
k m k
k
k m m N k k p C p p k mq S pmg f b g p m N k ---==-==--+--∑
（5）
5.3 航空公司从社会声誉和经济利益两方面加以考虑，应该要求被挤掉的乘
客不要太多，而由于被挤掉者的数量是随机的，可以用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为度量指标。

记被挤掉的乘客数超过j 人的概率为()j P m ，因为被挤掉
的乘客数超过j 人，等价于m 位乘客中不按时前来登机的不超过m －N －j －1人，所以
()∑---==
1
j N m k k
j p
m P
对于给定的n ，j,显然当m=n+j 时被挤掉的乘客不会超过j 人，即()j P m ＝0。

而当m 变大时 单调增加。

综上，S 和()j P m 是这个优化问题的两个目标，但是可以将()j P m 不超过某给定值作为约束条件，以S 为单目标函数。

模型二的求解如下：
取S 除以飞行费用f 为新的目标函数(),s m γ，其含义为单位费用获得的平均利润，记/b g γ=,则
1
1
(,)[(1)()]1m N k k S s m pm p m N k f N γγλ--===
-+---∑ (6) 其中/b g γ=是赔偿金占机票价格的比例。

问题转化为给定λ、n 、q 、γ，求m 使(),s m γ最大，而约束条件为 ()1
m N j j k k P m p ---==
≤∂∑
（7）
其中∂是小于1的正数。

(1) 0.2,0.5,200,N γλ===q 分别为0.02，0.04，0.06，0.08，0.1，横坐标为200m -,纵坐标为(,)s m γ,结果见图1。

1.0=q 0.08q =
06.0=q 0.04q = 0.02q =
从图1可以看出，q 对需要超额预定的票数有较大影响，这一点与实际也是相符的，因为(1)q q p =-越大，平均来说实际不按时登机的人数越多。

为了保证航班满座，就必须多预售一些票。

（2）0.04,0.5,200,q N λ===γ分别为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，横坐标为
200-m 。

,纵坐标为(,)s m γ，结果见图2。

1.0=
2.0=
3.0=
4.0=
5.0=
图2
从图2中可以看出，在实际登机率为96%的情况下，对于赔付比率为0.1～0.5，一架200座的航班，超额预售的票数约为11张时，利润最大。

该图也说明了，如果航空公司能准确地知道预定票者的登机概率，只要适当地控制预售票数，从平均意义上来说，即使航空公司制定较高的赔偿金，也不会对其最大利润产生多大影响。

六.结果分析
1．对于所取的N ，q, γ,平均利润(),s m γ随着m 的变大都是先增加再减少。

不按时前来登机概率为q 对需要超额预定的票数有较大影响，为了保证航班满座，就必须多预售一些票。

2．对于给定的N ，p, γ由0.1增加到0.5时(),s m γ的减少不超过％5，所以不放付给被挤掉的乘客以较高的赔偿金，也不会对其最大利润产生多大影响，而同时赢得社会声誉。

3．综合考虑经济效益和社会声誉，给定赔付比率γ为0.2，被挤掉的乘客数超过j 人的概率为()j P m ≤0.1,对于N ＝200，若估计q=0.1,取m=211.
七.模型评价
7.1 优缺点：
（1）本模型充分运用数学分析，概率论等知识分析求解模型；
（2）本模型在考虑经济利益和社会声望的条件下比较全面、准确的给出了航空预订票策略，具有一定的实际指导意义；
（3）由于飞机容量、费用、迟到概率等参数没有给出具体数据，在建模时自己给出，具有一定的主观性。

（4）对模型改进部分没有给出具体的数据进行分析检验。

参考文献
数学模型（第三版）姜启源谢金星叶俊高等教育出版社 2008年8月。