人教版八年级数学下册第一章 勾股定理
人教版八年级数学下册_第一节《勾股定理》勾股定理
下列说法中,正确的是
（
）
下列说法中,正确的是
（
）
2.你还有什么疑问，问问老师。 通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
（1）若a=6，b=8，则c=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
在Rt△ABC中，∠C=90°.
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
1.本节课你有什么收获？你学到了什么？ 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
说给大家听听。 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）若c=13，b=12，则a=
.
在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 ，则斜边长为
.
第1课时 勾股定理
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
9
13
右图 16
9
25
Hale Waihona Puke 思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°.
三边之间的关系规律了吗？ 在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 ，则斜边长为
.
已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
八年级数学下册《18.1勾股定理》课件 新人教版
探究二：
一般的直角三角形 三边关系
A B
图3
C
S正方形c
1 4 4 3 1 2
C
A
B
图4
25 （单位面积）
分割成若干个直角边为 整数的三角形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A a B b
如果直角三角形的两条直角 边长分别是a、b，斜边长 为c.猜想:两直角边a、b
与斜边c 之间的关系？
c
C
SA+SB=SC
2 2 2 a +b =c
３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4， 求b和c.
b=8 c=10
a
b
c
小结
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探 索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程. ２、本节课我们学到了什么？ 通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还 知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、 验证数学结论的数形结合思想. ３、学了本节课后我们有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学 的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化 辉煌历史的教育.
z
625
576
③
X=15
Y=5
Z=7
求下列直角三角形中未知边的长x:
比 一 比 看 谁 算 得 又 快 又 准 ！
X=15 17
X=12
X=13 5 16
8
x
20
x
12
x
勾股定理运用二: 可用勾股定理建立方程.
课堂反馈
1、直角ABC的两直角边a=5,b=12,c=_____ 13
八年级-人教版-数学-下册-第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用
∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝
1 2
AC·BC＝
1 2
CD·AB，
∴150×200＝250·CD，
∴CD＝150 200 ＝120（m）．
C
250
∵拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域，
B D
∴学校 C 会受噪声影响．
A
（2）若拖拉机的行驶速度为 50 m/min，拖拉机噪声影响该 学校持续的时间有多少分钟？
解：（2）当 a2＋b2＞c2 时，△ABC 为锐角三角形； 当 a2＋b2＜c2 时，△ABC 为钝角三角形．
在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设 c 为最长边，当 a2＋b2＝c2 时，△ABC 是直角三角形；当 a2＋b2≠c2 时，利用代 数式 a2＋b2 和 c2 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．
分析：（2）利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可得 出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
B
C
F
D
E
A
解：（2）如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当拖拉机在 EF
上时学校会受噪声影响．
∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，
∴ED＝50（m）， ∴EF＝100（m）．
（1）当△ABC 三边分别为 6，8，9 时，△ABC 为__锐__角___三角 形；当△ABC 三边分别为 6，8，11 时，△ABC 为__钝__角___三角形．
6
9
8
6
10
8
6
11
8
解：（1）直角三角形两直角边分别为 6，8 时， 斜边＝ 62＋82 ＝10，
1初中数学人教版八年级下册《勾股定理》PPT教学课件
注意：分类讨论是一种重要的解题方法
典题精讲
如图已知AD是直角△ABC的中线，E为BD的中点， BA=BD，问AC、AE的长度有何等量关系？并证明你的 结论．
分析：AD为直角三角形斜边上的中线，所以 AD=BD=AB，即可求得AE，AC，根据AC，AE的表达 式计算AE，AC的关系。
a2 + b2 = c2
2、勾股定理简单应用：
拓展提升
1.已知Rt△ABC的周长为14，面积为7．试求它的三边长。
分析：设出三边长分别为a、b、c，利用勾股定理、面积、 周长分别列出方程，组成方程组解得三边的长即可。
拓展提升
解析：设△ABC的三边长分别为a、b、c，其中c为斜边， 依题意得方程组：
新课学习
变式运用：
c a
b
a
c
b
确定斜边
a2+b2 = c2 a2+c2 = b2 b2+c2 = a2
灵活运用 公式
c2= a2 +b2 a2= c2 - b2 b2= c2 - a2
知识巩固
3.判断题：
(1)直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一定满足下面的
式子： a2+b2 =c2 不正确
分析：根据勾股定理及正方形的面积公式得： A+64=100， 解得：A=36， 则正方形A的边长为6．故选A。
知识巩固
2.若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一
条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（ D）
A. 18cm B. 20cm C. 24cm D. 25cm
八年级-人教版-数学-下册-第1课时-勾股定理的逆定理
本题易错点：没有弄清楚哪条边是最长边的情况下 就盲目地运用勾股定理的逆定理，从而导致错误．
勾股定理的逆定理
互逆命题：原命题、逆命题 勾股定理的逆定理的证明 勾股数
例2 在△ABC 中，a∶b∶c＝9∶15∶12，试判断△ABC 是否 是直角三角形．
解：依题意知 b 是最长边， 设 a＝9k，b＝15k，c＝12k(k＞0)， ∵ a2＋c2＝(9k)2＋(12k)2＝225k2，b2＝(15k)2＝225k2， ∴ a2＋c2＝b2，即△ABC 是直角三角形．
第1课时 勾股定理的 逆定理
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2＋b2＝c2．
这个命题的条件和结论分别是什么？
条件：直角三角形的两直角边长为 a，b，斜边长为 c． 结论：a2＋b2＝c2．
如果将条件和结论反过来，这个命题还成立吗？
思考
据说，古埃及人曾用如图所示 的方法画直角．
勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三 角形的一个判定定理．
例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1） a＝15，b＝8，c＝17； （2） a＝13，b＝14，c＝15．
分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1） a＝15，b＝8，c＝17； （2） a＝13，b＝14，c＝15． 解：（1）∵ 152＋82 ＝225＋64＝289，172 ＝289， ∴ 152＋82 ＝172． ∴ 以 15，8，17 为边长的三角形是直角三角形．
这样我们证明了命题 2 是正确的，它也是一个定理．我们把 这个定理叫做勾股定理的逆定理．
人教版八年级数学下册勾股定理第1节勾股定理教案
举例解释：
-通过逐步引导学生从观察特殊直角三角形（如3:4:5）的性质，到推导出一般直角三角形的勾股定理，帮助学生理解逻辑推理过程。
-在解决综合应用题时，指导学生先识别图形中的直角三角形，再应用勾股定理，注意引导学生分析问题，逐步拆解复杂图形。
-在证明勾股定理时，提供多种证明方法，如拼图法、代数法等，让学生从不同角度理解定理的成立，并选择适合的方法进行理解和记忆。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。它在几何学中占有重要地位，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个直角三角形的边长，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在讲授过程中，我尽量用生动的语言和实际案例来解释勾股定理的应用，让学生明白这个定理不仅仅是一个数学公式，而是与我们的日常生活息息相关。不过，我也发现有些学生在解决与勾股定理相关的综合应用题时还是觉得有难度。针对这个问题，我打算在接下来的课程中，多安排一些类似的练习题，让学生有更多的机会去思考和解决这类问题。
-设计实际情境题，如测量距离、计算房屋面积等，让学生练习运用勾股定理进行计算。
八年级数学下册(人教版)17.1.1勾股定理(第一课时)教学设计
5.总结反思，拓展提高：在教学结束时，引导学生对勾股定理进行总结，明确其应用范围和注意事项。同时，布置一些拓展提高的练习题，让学生在课后进行巩固。
本节课的教学设计以勾股定理为核心，紧密结合教材内容，注重培养学生的知识技能、过程方法和情感态度与价值观，旨在提高学生的数学素养和实际应用能力。
二、学情分析
八年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本节课之前，学生已经学习了平面几何、立体几何的基本概念，掌握了直角三角形的性质和判定方法，这些都为学习勾股定理奠定了基础。然而，由于勾股定理涉及斜边与直角边的平方关系，学生在理解上可能会存在一定难度。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
2.自主探究，发现定理：引导学生观察教材中的直角三角形图形，鼓励他们大胆猜想勾股定理的表达形式。在学生自主探究的基础上，引导他们通过实际测量、计算，验证勾股定理的正确性。
3.精讲精练，突破难点：针对勾股定理的证明过程，教师进行详细讲解，并设计具有梯度的问题，让学生逐步掌握定理的证明方法。同时，通过典型例题的讲解和练习，帮助学生巩固定理的应用。
（四）课堂练习，500字
为了巩固学生对勾股定理的理解，我将设计一些课堂练习题。这些练习题分为基础题和提高题，以满足不同层次学生的学习需求。
1.基础题：主要针对勾股定理的基本应用，如已知直角三角形的两边，求解第三边。
2.提高题：涉及勾股定理在实际问题中的应用，如计算建筑物的高度、距离等。
我会让学生独立完成练习题，并在必要时给予指导。通过课堂练习，学生可以检验自己对勾股定理的掌握程度，并为课后作业打下基础。
八年级数学人教版下册1勾股定理
国家之一。早在三千多年前，周 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、
弦五”国，它家被记之载一于我。国古早代在著名三的数千学多著作年《周前髀算，经》中。
朝数学家商高就提出，将一根直 ∵ ab×4+(b-a)²=c²，
（我2国）是国在最图家早2了中之解，勾正一股方。定形理A早，的B国在，家C三之的一面千。积各多是年多少前？ ，
个单位面积。
（3）已知c=25,b=15,求a
比毕达哥拉斯要早了五百多年。
个单位面积。
B C （1）已知a=6，c=10,求b
3、已知：Rt△ABC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为
.
（2）已知a=5，b=12,求c
A （3）你能发现两幅图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
图1 比毕达哥拉斯要早了五百多年。
尺折成一个直角，如果勾等于三， 比（毕2）达国你哥能家拉发斯现之要直早一角了三。五角百形早多三年在边。长三度之千间多存在年什么前关，系吗？
股等于四，那么弦就等于五，即 （3）你能发现两幅图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
用四个国全家等的之直角一三。角形早拼出在以三斜边千为边多长的年正前方形，
在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯
“勾三、股四、弦五”，它被记 2、如国图，家受台之风一麦莎。影响早，在一棵三树在千离多地面年4米前处断，裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
载国家于之我一国。早古在代三千著多名年的前，数学著作
《国家周之髀一算。早经在》三千中多。年比前 毕达哥拉斯
国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 A4、、如B、图C，的图面中积所有有什的么三关角系形？都是在直国角三外角形人，们四边通形都常是称正方勾形.股定理为毕达哥拉斯
人教版数学八年级下册17.1第1课时《 勾股定理》教案
人教版数学八年级下册17.1第1课时《勾股定理》教案一. 教材分析《勾股定理》是中学数学中的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的一种简单而美妙的关系。
人教版八年级下册第17.1节《勾股定理》主要介绍了勾股定理的证明和应用。
通过这一节的学习，学生可以加深对勾股定理的理解，提高解决几何问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等基础知识。
但勾股定理的证明和应用需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习基础，针对不同学生进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解勾股定理的证明过程，掌握勾股定理的内容。
2.能够运用勾股定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的证明过程。
2.勾股定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引发学生对勾股定理的思考，激发学生的学习兴趣。
2.演示教学法：通过几何画板等软件，直观地展示勾股定理的证明过程。
3.问题驱动法：引导学生通过解决问题，深入理解勾股定理的内涵。
4.小组合作法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作勾股定理的课件，包括证明过程的动画演示。
2.几何画板：用于展示勾股定理的证明过程。
3.练习题：准备一些有关勾股定理的应用题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实例，如篮球架、自行车等，引导学生思考这些实例中是否存在勾股定理的应用。
让学生感受到勾股定理在现实生活中的重要性。
2.呈现（10分钟）利用几何画板，演示勾股定理的证明过程。
首先，展示一个直角三角形，然后通过动态变化，引导学生发现直角三角形三边之间存在的关系。
最后，给出勾股定理的数学表达式。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用勾股定理解决一些实际问题。
人教版八年级数学下册课件：17.1勾股定理--1.1 勾股定理
两直角边长分别为a和b， 斜边长为c,则：
9
知识点一：勾股定理
新知归纳
命题1的证明方法有很多，我们先 来看看我国古人赵爽的证法.
10
知识点一：勾股定理
新知归纳
c ba
b a
a
勾股定理
11
知识点一：勾股定理
新知归纳
在Rt∆ABC中，∠C=90º， 由勾股定理得：
12
知识点一：勾股定理
利用勾股定 理求出AD的 长，再计算 三角形面积.
22
知识点二：勾股定理与图形的面积
学以致用
5.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB=20m， BC＝15m，CD＝7m，求四边形ABCD的面积.
23
知识点二：勾股定理与图形的面积
合作探究
先独立完成导学案互动探究3、4，再同桌相互 交流，最后小组交流；
重点难点 重点:探索并证明勾股定理.
难点:用勾股定理解决一些简单问题.
3
知识点一：勾股定理
情景引入
相传2500年前，毕达哥拉斯在一次朋友家做客时，发现 朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量 关系.我们也来观察一下地面的图案， 看看能从中发现什么数量关系.
古希腊著名的哲学家、 数学家、天文学家.
证法举例
a
c
b
cb a
美国总统的证明
伽菲尔德 ——美国 第二十任 总统
13
知识点一：勾股定理
学以致用
1.已知如图S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 ,
则S5 =
，S6 =
，S7 =
.
14
知识点一：勾股定理
学以致用
人教版数学八年级下册17.1第1课时《勾股定理》说课稿
人教版数学八年级下册17.1第1课时《勾股定理》说课稿一. 教材分析《勾股定理》是人教版数学八年级下册17.1第1课时的重要内容。
这部分内容主要让学生了解并证明勾股定理，理解勾股定理在几何学中的重要性。
教材通过引入直角三角形和斜边的关系，引导学生探究并证明勾股定理。
二. 学情分析学生在学习本课时，已经掌握了实数、方程、不等式等基础知识，具备一定的逻辑思维和探究能力。
但对于证明勾股定理，可能需要一定的时间去理解和消化。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，适时给予引导和帮助。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股定理的内容，学会用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过探究、证明勾股定理，培养学生的逻辑思维和探究能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，感受数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：掌握勾股定理的内容及其应用。
2.教学难点：理解并证明勾股定理。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、讲解法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出直角三角形和斜边的关系，激发学生的兴趣。
2.探究：引导学生分组讨论，探究勾股定理的证明方法。
3.讲解：讲解勾股定理的证明过程，解释勾股定理的意义和应用。
4.练习：让学生通过练习题，巩固对勾股定理的理解。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调勾股定理的重要性。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出勾股定理的关键信息。
主要包括：1.勾股定理的定义2.勾股定理的证明过程3.勾股定理的应用示例八. 说教学评价教学评价主要通过以下几个方面进行：1.学生对勾股定理的理解程度。
2.学生能否运用勾股定理解决实际问题。
3.学生在课堂中的参与程度和合作能力。
九. 说教学反思在教学过程中，要关注学生的学习情况，适时调整教学方法和节奏。
对于学生的反馈，要及时给予指导和鼓励。
在课后，要反思教学效果，查找不足，不断提高教学质量。
人教版数学八年级下册17.1勾股定理(第一课时)优秀教学案例
4.总结归纳：教师组织学生进行总结，让学生分享自己在学习勾股定理过程中的收获和感悟。通过总结归纳，教师帮助学生巩固所学知识，构建知识体系，提高学生的知识运用能力。
2.教师设计具体情境，如测量未知边长的直角三角形，让学生面临实际问题，引出勾股定理的学习需求。
3.教师利用多媒体课件，展示勾股定理的动态演示，帮助学生直观理解勾股定理的含义和应用。
（二）讲授新知
1.教师引导学生从特殊到一般，思考直角三角形边长之间的关系，引导学生发现勾股定理的规律。
2.教师给出勾股定理的定义，解释勾股定理的表达式，并通过几何图形的演示，帮助学生理解勾股定理的含义。
（三）小组合作
1.教师将学生分为若干小组，鼓励学生相互讨论、交流，共同探究勾股定理的证明方法。
2.教师设计合作任务，如共同制作勾股定理的演示道具，让学生在实践中深化对勾股定理的理解。
3.教师组织小组竞赛，激发学生的竞争意识和团队合作精神，提高学生的学习积极性。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，如在学习勾股定理的过程中遇到了哪些困难，如何克服等。
2.学生通过教师引导，运用数学归纳法证明勾股定理，培养逻辑思维与推理能力。
3.学生通过解决实际问题，运用勾股定理，提高问题解决能力，培养创新实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生感受数学文化的魅力，了解勾股定理的历史背景，提高对数学学科的兴趣。
2.学生在探究过程中，培养克服困难、勇于探索的精神，增强自信心。
五、案例亮点
人教版初中数学八年级下册勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB ==⑵8BC题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ==， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD =答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=.。
人教版数学八年级下册《勾股定理—利用勾股定理解决最值问题》课件
B3
B2
1
1
解： 如图，将正方体展开。
12 + 1 + 1
2
= 5
2 =
12 + 1 + 1
2
= 5
3 =
12 + 1 + 1
2
= 5
B
B1
1
1
1
A
1 =
1
1
∴蚂蚁走的路程最短为 5cm。
长方体中的最值问题
如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、8。现有一蚂蚁从顶点A出发，沿
长方体表面到达顶点B，蚂蚁走的路程最短为多少厘米？
∴ 在Rt△A'BE中， A' B
A' E 2 BE 2 302 402 =50 (km)
∴ 最短距离为 AP+PB =A'P+PB =A'B =50(km）
∴ 总费用为 50×3= 150（万元）.
D
E
正方体中的最值问题
如果把圆柱换成棱长为1cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到
圆柱侧面两点最短路径问题
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，一只蚂蚁从A点出发，
沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬行的最短路程。
解： 如图，将圆柱体展开，
BC=18÷2=9
C
AC=12
∵△ABC为直角三角形
∴ = 2 + 2 = 15
答：蚂蚁爬行的最短路线是15cm。
沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬行的最短路程。
C
B
A
D
我怎么走
会最近呢?
为什么这
样走最短？
八年级-人教版-数学-下册-[基础诊断]第1课时 勾股定理
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第1课时勾股定理1．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（）．A．7B C D．52．在△ABC中，∠B＝90°，b2＝2a2，则两直角边的关系是（）．A．a＝c B．a＞c C．a＜c D．以上都对3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝8 cm，AB＝10 cm，则Rt△ABC的面积是（）．A．24 cm2B．36 cm2C．48 cm2D．60 cm24．若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的斜边长是（）．A．5B C．3D．55．已知直角三角形的两条直角边长x，y满足|x－4|＋(2－y)2＝0，则该三角形的斜边长为_________．6．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．参考答案1．【答案】D【解析】∵直角三角形的两条直角边长分别为3和4＝5．2．【答案】A【解析】因为∠B＝90°，所以b是斜边，a，c是直角边．由勾股定理，得b2＝a2＋c2．因为b2＝2a2，所以2a2＝a2＋c2，即a2＝c2．所以a＝c．3．【答案】A【解析】由勾股定理，得BC6（cm）．∴Rt△ABC的面积为12×AC×BC＝12×8×6＝24（cm2）．4．【答案】D【解析】分两种情况讨论：当5是斜边长时，显然所求斜边长是5；当5所以，斜边长是55．【答案】【解析】因为|x－4|＋(2－y)2＝0，所以x＝4，y＝2．因为x，y．6．【答案】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，∴∠ADC＝∠BDC＝90°．在Rt△CDB中，由勾股定理，得BC15．在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD＝16．∴AB＝AD＋DB＝16＋9＝25．∴AB的长为25，BC的长为15．。
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90cm,与AB垂直的BC长120cm.太阳
能真空管AC有多长?
C
B
【解析】在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC= AB2 B=C 2
9=0215102(0c2m)
答:太阳能真空管AC长150cm.
1、（2010·义乌中考）在直角三角形中，满足条件的三
边长可以是
．(写出一组即可)
【解析】只要是勾股数即可.
答案：3、4、5（满足题意的均可）
2、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头 顶上方3千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5千米. 这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
【解析】在Rt△ABC中，
C
？
B
BC2 52 32 16 BC 0
BC 4(千米)
3 5
答：飞机飞过的距离是4千米.
c
b
对比两种表示方法,你得到勾股定理了吗?
c b
a
例题
【例】如图,一根旗杆在离地面9米处折裂,旗杆顶部落在离 旗杆底部12米处.旗杆原来有多高?
9米 12米
【解析】设旗杆顶部到折裂处的距离为x米，根据勾股定
理得
92 122 x2
x=15, 15+9=24 答：旗杆原来高24米.
跟踪训练
A
如图,太阳能热水器的支架AB长为
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（2）（3）
C A
B C
A B
S正方形c
4 1 3 3 18 2
（单位面积）
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
B C
A B
S正方形c
1 62 2
18
（单位面积）
把正方形C可以看成边 长为6的正方形面积的 一半
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
（2）在图2中，正方形A，B， C中各含有多少个小方格？ 它们的面积各是多少？
B
（3）你能发现图1中三个
C
正方形A，B，C的面积之间
图1
A
有什么关系吗？图2呢？
B 图2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
勾是6， 62=36,
股是8， 弦一定是10；
82=64, 102=100
62+82=102
勾是5， 股是12， 弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
C A
B
C
A 图1
B
图2
中国古代把直角三角形中较短的直角
边叫做勾,较长的直角边叫做股，斜边叫做
弦. 据《周髀算经》记载，西周战国时期
4股
（约公元1千多年）有个叫商高的人对周
∟
公说，把一根直尺折成直角，两端连接得
一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那
么弦等于5.
弦5
勾 3
人们还发现，在直角三角形中，
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
做一做 （1）观察图1、图2，并填 写右表：
A的面积 （单位面积）
图1
16
图2
4
C A
B
图1
B的面积 （单位面积）
9 9
C A
B
图2
C的面积 （单位面积）
25
13
（2）右图中正方形 A,B，C的面积之间有 什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的 正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面 积
9
16
？
怎么求SR的大小？ 有几种方案？
P
Q CR
用“补”的方法 求正方形R的面积？
SR
49
4
1 2
4
3
25
P
Q CR
用“割”的方法
SR 4 1 4 3 1 2
25
探究勾股定理
C A
B C
A B
（1）在图中，正方形A中含 有 9 个小方格，即A的面积 是 9 个单位面积.
正方形B的面积是__9__个 单位面积.
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a2 b2 c2
c a
直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
b
弦 勾
股
我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的
c
c
c
c
a
a
a
a
b
b
b
b
用两种方法表示大正方形的面积: a
b
(a b)2
b cc
a
4 (1 a b) c2 2
a
第一章 勾股定理
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1、经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派曾经发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
A
3.求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形 的面积.
【解析】设另一条直角边长是x厘米.由勾股定理得: 152+ x2 =172而x2=172-152=289–225=64 所以 x=±8（负值舍去） 所以另一直角边长为8厘米 直角三角形的面积是: 1 8 15 60 (平方厘米)
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.