离散时间系统的时域分析

(f) a = −1.1
比较：单边连续指数信号： eatε (t) = (ea )tε (t) ，其 底一定大于零，不会出现负数。
4、 单边正弦序列： Acos(ω0k + φ )ε (k)
双边正弦序列： Acos(ω0k + φ )
五、离散信号的运算 1、 加法： f (k) = f1(k) + f2 (k) <—相同的 k 对应
似，只不过将其中的积分器变成延时（移序）器。
离散时间系统的初始状态可以包含在延时
（移序）器中。
e(k) y(k +1) y(k)
∑
D
−a
一阶离散时间系统的模拟框图
n 阶离散时间系统模拟框图
§7-4 离散时间系统的零输入响应
离散差分方程的解法： 1） 时域经典法
与微分方程一样，将解分为通解（齐次解） 和特解两部分。首先确定形式解，再代入初始 条件（或边界条件），确定其中的待定系数。 优点：物理概念清晰，可以一次得到全部解； 缺点：特解有时很难求，不实用。 2） 近代时域法：
(b) 原信号的频谱 F ( jω)
（c）单位冲激序列 δT (t)
（d）单位冲激序列的频谱ωsδωs (ω )
（ωs
=
2π T
）
(e)
fδ (t)
=
1 τ
fs (t)
=
f (t)δT (t)
(f) fδ (t) 的频谱
如果原来信号最大频率分量为的谱 ωm ，抽样 频率 ωs > 2ωm ，则周期化后的各个频谱不会相互 重叠。将抽样信号通过一个截止频率为 ωs / 2 、增 益为 T 的 ILPF，可以不失真地还原原来的信号。 此低通滤波器的冲激响应:
将解分为零输入响应 rzi (k ) 和零状态响应 rzs (k ) 两部分。对零输入响应 rzi (k ) 仍然用时域 经典法；零状态响应 rzs (k ) 用卷积和求解。
这种方法是求解差分方程的主要方法； 3） 变换域解法：Z 变换（ Z.T.），相当于连续时
间系统中的 L.T.变换法。在第八章中介绍。 4） 数值解法：利用前向预测形式的差分方程，
例 1：人口（或虫口）问题：
z 假设人口的年出身率为 a，则 k 年人口 y(k)和
下一年的人口 y(k+1)之间的关系为：
y(k + 1) = (1+ a) y(k) <—前向（预测）方程；
或：
y(k)
=
1 (1 +
a)
y(k
+
1)
<—后向（滤波）方程；
或： y(k +1) − (1+ a) y(k ) = 0 <—一般差分方程。
ωs > 2ωm 时，用信号的一些离散的时间点上的数 值来代替这个信号可以不损失任何信息。
能够完全不失真地还原信号所需要的最小的
抽 样 频 率 ωs = 2ωm 称 为 Nyquist 抽 样 频 率 ，或 Shannon 抽样频率。
z 在实际工程中的做法与取样中的过程正好相 反：首先测量得到 f(kT),然后再构成抽样信号。 工程上的采样就是指测量到 kT 时刻 f(t)的值。
z 在构成抽样信号时，不可能产生冲激信号，这 时候可以用任意的周期性脉冲信号代替，其结 果不变。
z 恢复信号时，ILPF 是不可能实现的，只能用其 它的 LPF，所以抽样频率必须进一步增加，一 般取 ωm 的 3~5 倍。
抽样信号经过非理想低通滤波器
z 如果原来的信号是一个带限信号，则 Nyquist 抽样定理还可以做适当修改。
四、典型的离散时间信号
1、
单位样值函数：
δ
(k
)
=
⎧1 ⎩⎨0
k =0 其它
下图表示了δ (k − n) 的波形。
这个函数与连续时间信号中的冲激函数 δ (t) 相似，也有着与其相似的性质。例如：
f (k)δ (k ) = f (0)δ (k ) ， f (k )δ (k − k0 ) = f (k0 )δ (k − k0 ) 。
3、 线性移不变离散时间系统 同时满足线性和移不变性的系统。
七、离散时间系统的描述方法：见§7-3。
§7-2 抽样信号与抽样定理
离散信号可以通过对连续信号抽样得到；连 续信号可以通过抽样转化为离散信号，从而可以 用离散时间系统进行处理。但是，这牵涉到两个 问题：
1）怎样进行抽样？ 2）如 何 抽 样 才 能 不 损 失 原 来 信 号 中 的 信
本章重点介绍近代时域法。 首先，在本节中介绍近代时域法中零输入
月必然都长成大兔子 所以，第 k+2 月兔子的总对数为： y(k+2)=y(k)+y(k+1) 或者：y(k+2)- y(k+1)-y(k)=0
差分方程的一般形式：
r(k + n) + an−1r(k + n −1) + ... + a1r(k + 1) + a0r(k ) = bme(k + m) + bm−1e(k + m −1) + ... + b1e(k + 1) + b0e(k ) z 差分方程在形式上与微分方程相似，只不过微
τ →0
δ
k =−∞
(t
−
kT
)
=
limτ
τ →0
⋅δT
(t)
可见，开关函数近似成为一个幅度为无穷小的
周期性冲激序列。这个“无穷小”会给我们分析
带来不便，所以一般直接用幅度为 1 的周期性冲 激序列代替它，即：
+∞
∑ s(t) = δ (t − kT ) = δT (t) k =−∞
这样，抽样以后的信号为：
第七章 离散时间系统的时域分析 §7-1 概述
一、离散时间信号与离散时间系统 离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的
信号。 离散时间系统：处理离散时间信号的系统。 混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连
续时间信号的系统。
二、连续信号与离散信号 连续信号可以转换成离散信号，从而可以用 离散时间系统（或数字信号处理系统）进行 处理：
二、 抽样定理 显然，利用原来的信号在某些离散的时间点
上的值构成的信号，是否会损失信息？或者，在
何条件下，可以用抽样后的信号，不失真地还原 出原来的信号？
1、 抽样信号的频谱：
+∞
∑ fs (t) = f (t) δ (t − kT ) k =−∞
∑ Fs ( jω)
=
1 2π
F
(
jω
)
*
⎢⎣⎡ω
s
k
+∞
δ
=−∞
(ω
−
kω
s
⎤ )⎥⎦
∑ =
ωs 2π
+∞
F(
k =−∞
jω) *δ
(ω
− kωs )
∑ =
1 T
+∞
F(
k =−∞
jω
)
*δ
(ω
−
kω s
)
其中 ωs
=
2π T
，称为抽样（角）频率；T
称为抽样
（取样）周期。
可见，抽样后信号的谱是抽样以前的谱按抽
样（角）频率周期化的结果。
（a） 原信号 f (t)
的数相加。 2、 乘法： f (k ) = f1(k ) ⋅ f2 (k ) 3、 标量乘法： f (k ) = a ⋅ f1(k ) 4、 移序： f (k ) = f1(k − n) 当 n>0 时，信号向右移（后移）——>称为减序； 当 n<0 时，信号向左移（前移）——>称为增序。
离散信号的移序计算相当于连续时间信号 的时间平移计算。
通过迭代计算的方法，得到数值解。这种方 法用计算机求解比较方便，但是无法得到通 式。 例如：对于 Fibonacci 问题，有差分方程：
y(k+2)- y(k+1)-y(k)=0； Î y(k+2)= y(k+1)+y(k)； Î y(k)= y(k-1)+y(k-2)； 现在已知：y(0)=0,y(1)=1,则可以得到： y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5,y(6)=8,……
z 抽样也是一个线性处理过程，它满足齐次性和 叠加性。这是我们通过它达到用离散时间系统 处理连续信号的基础。
z 通过抽样可以将连续信号转化为离散数字信 号，从而可以用数字信号处理系统进行处理， 达到模拟信号处理无法达到的效果。
采 e(t) 样
A/D DSP D/A LPr(tF) 转换 处理 转换 滤波
2、
单位阶跃函数：
ε
(k
)
=
⎧1 ⎩⎨0
k ≥0 其它
这个函数与连续时间信号中的阶跃函数 ε (t) 相似。用它可以产生（或表示）单边信号 （这里称为单边序列）。 3、 单边指数序列： akε (k)
(a) a = 0.9
(d) a = −0.9
(b) a = 1
(e) a = −1
(c) a = 1.1
分计算变成了移序计算； z 差分方程也有阶，差分方程的阶定义为其中最
大移序与最小移序之差； z 求解差分方程也必须有初始条件，初始条件的
个数必须等于差分方程的阶数； z 与连续时间系统中的结论相似，线性移不变系
统可以用一个常系数差分方程描述。 z 因为差分方程可以很方便地用计算机求其数
值解，所以很多微分方程可以近似为差分方程 求近似数值解。
六、线性移不变离散时间系统 1、 线性离散时间系统
系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性