向量方法在高中数学解题中的应用

向量方法在高中数学解题中的应用

王贤举

摘要：向量具有丰富的物理背景。它既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁。通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和几何问题相互转化的一些实例，体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作用和优点。

关键词：高中数学；向量法；解题；应用

Abstract: The vector has rich physical backgrounds. It is both the object of geometry and the object of algebra, and also is the bridge of algebra and geometry. By some examples about vector methods that make some algebra problems into geometry problems, or make some geometry problems into algebra problems, or make algebra problems and geometry problems transform mutually, it manifests the merit of vector methods in solving algebra and geometry problems in senior high school mathematics.

Key word: Senior high school mathematics; Vector methods; Problem solving; Application

1、向量与高中数学教学

向量是既有大小，又有方向的量【1】，是数学中的重要概念之一。向量具有丰

富的物理背景，如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是向量。在高

中数学新课程中设置向量的容，是基于以下几方面原因：

1.1向量是几何的研究对象

物体的位置和外形是几何学的基本研究对象。向量可以表示物体的位置，也

是一种几何图形（几何里用有向线段表示向量：所指的方向为向量的方向，线段

的长度表示向量的大小），因而它成为几何学的基本研究对象。作为几何学的研

究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量

有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。

1.2向量是代数的研究对象

运算及其规律是代数学的基本研究对象。向量可以进行加、减、数乘、数量积（点乘）等多种运算，这些运算及其规律赋予向量集合特定的结构，使得向量具有一系列丰富的性质。向量的运算及其性质自然成为代数学的研究对象。

1.3向量是代数研究对象和几何研究对象的桥梁。

著名数学家拉格朗日曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢.它们的应用就狭窄。但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸收新鲜的活力，从而以快捷的步伐走向完美”。我国著名数学家华罗庚先生也有“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的精辟论述。高中数学中引入向量后【2】，通过在代数、几何中应用，改善教材结构、简化解题方法，也可通过在几何中的应用，加深对向量容的理解。数学《新大纲》【3】引入向量后学习这部分容既可了解向量的实际应用，又可加深对该部分容的理解。

本文通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和几何问题相互转化的一些实例，体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作用和优点。从而让学生学会使用向量法来解决高中数学问题，提高数学解题能力。

2、向量方法在高中数学解题中的应用

2.1、向量法使代数问题几何化

向量沟通了代数与几何的联系，因此对某些代数问题，如能巧妙地构造向量，便能将其转化为几何问题【4】，从而使问题简化。

例1、证明：对于任意两个向量b a ，，都有| b || a ||b || |b |- | a | |+≤+≤a 。 证明：若b a ，中有一个为0，则不等式显见 成立 若b a ，都不是0时，作a OA =,b AB =则b a OB +=. （1） 当b a ，

不共线时，如图1所示， 则||||||||AB ||OA ||OB OA OB +<<-,

即|||||a |||b ||a ||b a b +≤+≤-.

（2） 当b a ，

共线时，若b a ，同向，如图2所示， |||OA ||OB |AB += 即|||||b a |b a +=+.

若b a ，

反向，如图3所示， |OB |||AB ||OA ||=-, 则|b a |||b ||a ||+=-

综上可知： |b ||a ||b a |||b ||a ||+≤+≤-.

评注：该命题的证明方法有多种，但应用向量工具把代数问题几何化，使其理解更容易和具体化。通过向量具有数形结合的性质，当两个向量不共线时，利用向量的三角形法则，转化为几何中三角形的性质进行讨论，得出|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤+≤—.当两向量共线时，转化为对线段的讨论，从而可得到|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤+≤—。

2.2、向量法使几何问题代数化

通过对向量的学习可知，向量有一整套的符号和运算系统，对大量的几何问题，不但可以用向量的语言加以叙述，而且完全可以借助向量的方法予以证明，从而把抽象的逻辑推理转化为具体的向量运算【5】。

例1、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

证明：如图4所示，在Rt ABC ∆中，C Rt ∠=∠，

D 是AB 边上的中点。由向量加法的平行四边形法则

知 )CB CA (21CD +=, ))(CA (41CD CB CA CB CD ++=⋅∴ ，0CA =⋅CB

2222||41)|||CA (|41|CD |AB CB =+=

∴ .|AB |2

1|CD |=∴ 评注：向量作为联系代数与几何图形的最佳桥梁，它可以使图形量化，使图形间的关系代数化。本题将直角三角形的各边及斜边上的中线用向量表示出来，利用平面向量的平行四边形法则和两向量垂直时数量积为0，转化为向量的代数运

算，得

AB 21CD =，即证得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例2、设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。点C 在抛物线的准线上，且BC //x 轴.求证：直线AC 经过原点O 【6】。

证明：如图5所示，设211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭

， 由题设可知2,0,,22p p F C y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 故

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212,2AF y p p y , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=122

122,2AB y y p y y . 由三点共线，知AB //AF , （图5）