命题与证明

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命题与证明

1、定义：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.例如：“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义. 例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.2、命题：一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.注：命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.注：只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.4、证明：要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.5、要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题. （举反例）注：6、当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.【例1】下列四个命题中是真命题的有（）.①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形两锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形.A.4个B.3个C.2个D.1个【例2】下列语句中，属于命题的是（）．（A）直线AB和CD垂直吗（B）过线段AB的中点C画AB的垂线（C）同旁内角不互补，两直线不平行（D）连结A，B两点【例3】下列命题中，属于假命题的是（）（A）若a⊥c，b⊥c，则a⊥b （B）若a∥b，b∥c，则a∥c（C）若a⊥c，b⊥c，则a∥b （D）若a⊥c，b∥a，则b⊥c【例4】下列四个命题中，属于真命题的是（）．（A）互补的两角必有一条公共边（B）同旁内角互补（C）同位角不相等，两直线不平行（D）一个角的补角大于这个角【例5】如图，∠A+∠D=180°（已知），∴______∥_______（）．∴∠1=_________（）．∵∠1=65°（已知），∴∠C=65°（）．【例6】“两直线平行，同位角互补”是______命题（填“真”或“假”）．【例7】•．•把命题“等角的补有相等”改写成“如果……那么……”的形式是结果_________，那么__________．【例8】．命题“直角都相等”的题设是________，结论是____________．【例9】判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；（2）若a+b=0，则ab=0；（3）若ab=0，则a+b=0．【例10】用“如果……那么……”改写命题．（1）有三个角是直角的四边形是矩形；（2）同角的补角相等；（3）两个无理数的积仍是无理数．。

2.2 命题与证明

第2章
三角形
【预习诊断】 (对的打“√”,错的打“×”) 1.原命题是真命题,那么它的逆命题也是真命题.( × ) 2.如果两个命题是互逆定理,那么这两个命题都是真命题.( √ )
第2章
三角形
探究点断命题的真假.
(1)负数都小于零;
(2)过直线l外一点作l的平行线; (3)如果a>b,a>c,那么b=c. 【导学探究】判断命题的关键是看它是否做出了判断 . 解:(1)是命题,是真命题. (2)不是命题,没有对一件事情做出判断.
证明:如图, ∵∠BAF=∠2+∠3, ∠CBD= ∠1+∠3 ∠ACE=∠1+∠2, ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质). ∵∠1+∠2+∠3=180°(
三角形内角和定理
,
),
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
第2章
三角形
【测控导航表】知识点命题互逆命题几何命题的证明题号 1 、2 、6 、8 3 、7 、9 4、5、10
(C)无理数包括正无理数、0、负无理数
(D)两点之间,线段最短解析:A、B、D都是真命题,都正确,C.0不是无理数,所以该命题错误,故选C.
第2章
三角形
变式训练1-2:已知下列命题: ①若a>0,b>0,则a·b>0; ②若x≥1,则|x-1|=x-1;
③内错角相等;
④直角都相等. 其中原命题是真命题并且逆命题是假命题的是( A )
【导学探究】 1.要证明BD∥CE,需先证得∠3= 2.由∠1=∠2,可证得AD∥ BE 证明:∵∠1=∠2(已知), ∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行), ∴∠D=∠DBE(两直线平行,内错角相等). ∠DBE . ,进一步证明∠D= ∠DBE .

命题与证明定义命题

04 命题的真假判定
真值表判定法
01
列出命题的所有可能取值情况，并判断每个取值下命题的真假。
02
真值表可以清晰地展示命题的真假情况，有助于判断命题的真假。
03
真值表适用于简单的命题，但对于复杂的复合命题，可能存在较多的取值情况，导致真值表难以完全列举。
归结推理判定法
01
将复合命题转化为简单命题，通过逻辑推理判断其真假。
03 反证法适用于一些难以直接证明的命题，但需要有一定的推理技巧和逻辑思维能力。
05 命题的应用与实例分析
数学中的应用
几何学
在几何学中，命题通常用来描述图形的性质和关系，如“ 等腰三角形的两底角相等”或“两点之间线段最短”。
代数
在代数中，命题常用来描述数和代数式的性质，如“负数的平方是正数”或“任何数的零次方等于1（除了0的0次方）”。
推理的定义与分类
定义
推理是从一个或多个命题得出另一个命题的思维过程。
分类
根据不同的标准，推理可以分为不同的类型，如演绎推理、归纳推理、类比推理等。
推理的逻辑结构
前提
推理所依据的前提是已知的事实或命题。
结论
由前提推导出的结果或命题。
逻辑形式
推理的逻辑形式是指推理过程中前提与结论之间的结构关系。正确的逻辑形式能够保证推理的有效性。
归纳推理
通过观察一系列实例，总结出一般规律的推理过程。例如，观察到许多正方形都有四个相等的边和四个相等的角，可以归纳出所有正方形都有这些性质。
日常生活中的应用
科学决策
在日常生活中，我们经常需要根据已知的信息和经验做出决策。这些已知的信息和经验可以看作是命题。例如，根据天气预报的命题（今天会下雨），我们可以决定带伞出门。

命题与证明

命题与证明知识导引1命题：判断某一件事情的句子，由条件和结论两部分组成，正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题。

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，每个命题都有逆命题。

2、从命题的条件出发，经过逐步推理来判断命题的结论是否正确的过程叫做证明。

要证明一个命题是真命题，就是要证明凡是符合条件的所有情况都能得出结论。

要证明一个命题是假命题，只需要举出一个反例说明命题不能成立。

证明一个命题的一般步骤如下：（1）按照题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”一项中写出条件，在“求证”一项中写出结论；（3）在“证明”一项中写出全部推理过程。

3、证明的两种思路：综合与分析（1）利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

（2）从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。

典例精析例1：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例。

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）如果a＞b，那么ac＞bc；（3）两个锐角的和是钝角。

例2：下列命题中：①三角形中，至少有两个锐角；②三角形中，至少有一个直角或钝角；③三角形中，两个锐角的和等于90°；④三角形中，三个内角不可能都小于60°。

其中，真命题的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个例3：证明：两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线互相平行。

例4：已知：如图，AM 、CM 分别平分∠BAD 和∠BCD，求证：∠M=21（∠B＋∠D）例5：在△ABC 中，BO 平分∠ABC，点P 为直线AC 上一动点，PO⊥BO 于点O 。

（1）如图1，当∠ABC=40°，∠BAC=60°，点P 与点C 重合时，教APO ＝（2）如图2，当点P 在AC 的延长线时，求证：∠APO=21（∠ACB－∠BAC ）（3）如图3，当点P 在边AC 上时，请直接写出∠APO 与∠ACB，∠BAC 的等量关系式探究活动例：已知：如图，在△ABC 中有D ，E 两点，求证：BD ＋DE ＋CE ＜AB ＋AC学力训练A 组务实基础1、以下各数中可用来证明命题“能被5整除的数的末位数一定是5”是假命题的反例为（）A 、5B 、24C 、25D 、30 2、下列命题中，真命题是（）A 、同位角相等B 、在同一平面内，若直线a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cC 、三角形的一个外角大于任何一个内角D 、直角三角形的两个锐角互余 3、如图所示，∠A=28°，∠BFC=92°，∠B=∠C，则∠BDC 的度数是（） A 、85° B、75° C 、64° D、60°（第3题图）（第4题图）4、如图所示，∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°，则∠BDC 等于（） A 、120° B、100° C、115° D、150°5、已知α，β是两个钝角，计算)(61βα+的值。

命题与证明

直角边平方和等于斜边的平方. 勾股定理的逆定理是什么? 两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形. 我们知道怎么证明勾股定理了. 勾股定理的逆定理怎样证明?
证明勾股定理的逆定理
已知△ABC中,c=a+b,求证∠C=90°. 证明:作△A'B'C',使得C'=90°,B'C'=a,C'A'=b. 则得到A'B'=B'C'+C'A'=a+b. 又因为c=a+b,所以得到A'B'=c. 于是△ABC≌△A'B'C'. 得到∠C=∠C'=90°.
B D 提示:作AD⊥BC.
C
0
1
a
2 b
假设直线a‖b,直线l 与a,b相交,则: ∠1= ∠2.
l
当a不平行于b时, ∠1?∠2……
反证法
已知:如图,直线AB CD被直线MN所截, ∠1≠∠2,证明:AB不平行于CD. A M B 1 C
2
N
D
若AB‖CD,则因两直线平行,同位角相等,即 ∠1=∠2.故AB‖CD不成立,AB不平行于CD.
已知:如图2 已知:如图2-4,∠1是△ABC的一个外角, 是△ABC的一个外角, ∠A,∠B是和它不相邻的内角,∠2是和是和它不相邻的内角,∠ 它相邻的内角. 求证:∠1=∠A+∠ 求证:∠1=∠A+∠B. A 2 1 C
B
∵∠1+∠2=180° ∵∠1+∠2=180°(平角的定义) ∠A+∠B+∠2=180°(三角形的内角和定理) A+∠B+∠2=180° ∴∠1=180° ∴∠1=180°-∠2(等量减等量,差相等) ∠A+∠B=180°-∠2 (等量减等量,差相等) A+∠B=180° 从而∠1=∠A+∠ 从而∠1=∠A+∠B(等量代换)

命题与证明PPt课件

03
命题可以用文字、符号或公式来表示，通常用“若P，则Q”的形式表示，其中P是条件，Q是结论。
要点三
按照真假性分类
真命题和假命题。真命题是指前提成立时结论也成立的命题；假命题是指前提成立时结论不成立的命题。
要点一
要点二
按照形式分类
简单命题和复合命题。简单命题是指不包含其他命题作为其构成成分的命题，如“2+3=5”；复合命题是指由简单命题通过逻辑联结词（如“且”、“或”、“非”）组合而成的命题，如“2+3>6”或“5<x<10”。
几何命题证明
总结词
代数命题证明是数学中另一种常见的证明方式，主要涉及代数式和等式的证明。
详细描述
代数命题证明通常需要使用代数定理和性质，通过数学归纳法、反证法等证明方法来证明某个代数式或等式是否成立。例如，对于二次方程的判别式证明，需要使用代数定理和性质，通过数学归纳法进行证明。
代数命题证明
总结词：代数命题证明需要学生掌握代数的基础知识和证明技巧。详细描述：在代数命题证明中，学生需要理解代数式和等式的性质，掌握代数运算和证明技巧，如数学归纳法、反证法等。这需要学生具备扎实的代数基础知识和较高的数学思维能力。总结词：代数命题证明有助于培养学生的数学思维和问题解决能力。详细描述：通过代数命题证明，学生可以学习如何运用代数定理和性质进行逻辑推理和证明，这有助于培养学生的数学思维和问题解决能力。同时，代数命题证明也可以帮助学生更好地理解代数式和等式的性质和关系，提高他们的数学素养。
联结词
用于限定命题中主谓项范围的逻辑符号，如“所有”、“有些”等。
量词
命题逻辑的基本概念
一个命题的真，或者假，在同一推理关系中不容改变。

命题与证明)

命题与证明㈠、定义；1、一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。

2、定义必须是严密的，避免使用含糊不清的术语，正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区分开来。

㈡、命题；1、一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．2、命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．一般可以用“如果……，那么……”表示3、注意事项：（1）命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和命令性语句都不是命题；（2）必须是对某一事件作出肯定或否定的判断，两者必具其一㈢、真命题和假命题：1. 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。

2. 要判断一个命题是真命题，可以通过实践是方式，也可以通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实，也有一些命题是人们经过长期实践后公认的真命题，如“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”等，判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。

（四）、公理，定理：1. 经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。

这样公认为正确的命题叫做公理。

例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”。

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

2. 公理是不需要堆理论证的真命题，它可以作为判断其余命题真假的原始依据。

3. 定理都是真命题，但并不是所有的真命题都能作为定理，定理可以作为判断其他命题真假是依据。

4、本章中公理定理总结1) 平行线的判定性质定理平行线的判定公理● 两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． ● 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.平行线的性质．● 公理：两直线平行，同位角相等.● 定理：两直线平行，内错角相等.● 定理：两直线平行，同旁内角互补.2）三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。

命题定理与证明课件

详细描述
在命题的证明练习中，学生需要学习如何根据已知条件和定义，通过逻辑推理和演绎法，推导出结论。这种练习有助于学生理解命题证明的基本步骤和技巧，培养他们的逻辑推理能力。
定理的证明练习
总结词
通过定理的证明练习，学生可以深入理解定理的证明过程，掌握定理的应用方法和技巧。
详细描述
在定理的证明练习中，学生需要学习如何根据定理的证明过程，理解和应用定理。这种练习有助于学生深入理解定理的本质和应用，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
相对论
在相对论中，光速不变原理、质能方程等都是重要的命题和定理，它们为理解宇宙的基本规律提供了基础。
在计算机科学中的应用
数据结构
在数据结构中，各种排序和查找算法的效率定理、图的遍历定理等都是关键的命题和定理，它们为设计和分析算法提供了依据。
算法分析
在算法分析中，时间复杂度、空间复杂度等概念都是重要的命题和定理，它们为评估算法的效率和可行性提供了标准。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
命题与定理的应用
在数学中的应用
代数
概率统计
命题和定理在代数中有着广泛的应用，例如在解决方程、不等式和函数问题时，需要运用各种基本定理和推论。
在概率和统计中，命题和定理的应用也十分重要，例如大数定律、中心极限定理等，都是解决概率统计问题的基石。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
命题定理与证明课件
目录
CONTENTS
• 命题与定理的基本概念 • 命题的证明方法 • 定理的证明技巧 • 命题与定理的应用 • 命题与定理的实践练习

命题与证明知识点总结

命题与证明知识点总结命题与证明是数学中基础且重要的一部分，它涉及到逻辑推理、推断和论证等一系列思维活动。

在整个数学学科中，命题与证明贯穿始终，无处不在。

本文将系统总结命题与证明的相关知识点，包括命题逻辑、证明方法、常见证明技巧等内容。

一、命题逻辑命题逻辑是研究命题之间的逻辑关系的一门学科，其中命题是陈述句，它要么为真，要么为假。

在命题逻辑中，我们通常使用符号来表示命题，并通过符号之间的逻辑连接来表达命题之间的关系。

常见的逻辑连接包括合取(∧)、析取(∨)、蕴含(→)、双条件(↔)等。

1.合取合取是指命题p和q同时为真时，合取命题p∧q为真，否则为假。

合取命题p∧q的真值表如下：p q p∧qT T TT F FF T FF F F2.析取析取是指命题p和q中至少有一个为真时，析取命题p∨q为真，否则为假。

析取命题p∨q的真值表如下：p q p∨qT T TT F TF T TF F F3.蕴含蕴含是指当p为真而q为假时，蕴含命题p→q为假，否则为真。

蕴含命题p→q的真值表如下：p q p→qT T TT F FF T TF F T4.双条件双条件是指命题p和q同时为真或同时为假时，双条件命题p↔q为真，否则为假。

双条件命题p↔q的真值表如下：p q p↔qT T TT F FF T FF F T二、证明方法在数学中，我们常常需要证明一个命题的真假，为此我们需要采用合适的证明方法来论证。

常见的证明方法包括直接证明法、间接证明法、数学归纳法等。

1.直接证明法直接证明法是指通过一系列逻辑推理来证明一个命题的方法。

通常情况下，我们能够找到一条直接的逻辑推理路径，从已知的事实得出结论。

举例：证明“所有的偶数都是2的倍数”。

我们可以直接证明该命题，因为偶数的定义就是2的倍数。

2.间接证明法间接证明法是指通过反证法来证明一个命题的方法。

我们假设该命题的反命题为真，然后通过一系列逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。

13.2 命题与证明课件沪科版八年级数学上册

2
∵BE⊥AC，∴∠CEF＝90°.
∴在 Rt△ CEF 中，∠EFC＝90°－∠ACD＝90°－28°＝62°，
∴∠DFB＝∠EFC＝62°.
感悟新知
知5－练
(2)如图②，若BE⊥CD，∠A＝50°，求∠ABE的度数．
解：∵BE⊥CD，∴∠BFC＝90°.
∵CD 是∠ACB 的平分线，
1
∴∠BCF＝ ∠ACB＝28°.
称之为反例.
感悟新知
知3－讲
特别警示
判断一个命题是真命题，需要经过推理说明其正确性，
而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.
原命题的真假和其逆命题的真假没有必然联系，原命
题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题,
其逆命题也不一定是假命题.
感悟新知
知3－练
例 3 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题
(2)辅助线通常画成虚线.
感悟新知
知5－讲
4. 推论1 直角三角形的两锐角互余.
几何语言：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
5. 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何语言：在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝9 0°，即△ABC为直角三角形.
感悟新知
知5－讲
特别解读
能直接用来作为判断其他命题真假的依据.
感悟新知
知4－练
例 4 填写下列证明过程中推理的依据.
如图13.2-1，已知AC，BD相交于点O，DF平分
∠CDO与AC相交于点F，BE平分
∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C.
求证：∠1＝∠2.
感悟新知
知4－练
证明：∵∠A＝∠C，(_______)

命题与证明

§24.3命题与证明（一）初三数学1.定义、命题与定理观察下面的图形，找出其中的平行四边形．要解决这个问题，首先要弄清楚怎样的图形才能称为平行四边形．你还记得以前学过的知识吗？“有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这句话说明了平行四边形的含义以及区别于其他图形的特征．一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义.还可以举出如下的一些定义：（1）有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形．（2）两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角.（3）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．(4) 平分一个角的射线叫这个角的平分线.定义必须是严密的．一般避免使用含糊不清的术语，比如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现．正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来．思考1试判断下列句子是否正确．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；三角形的内角和是180°；同位角相等；平行四边形的对角线相等；菱形的对角线相互垂直；垂直于同一直线的两直线平行．根据已有的知识可以判断出句子（1）、（2）、（5）是正确的，句子（3）、（4）、(6)是错误的．（其中（6）若有在同一平面内，则正确）上述6个句子都叫做命题. 我们把判断一件事情的句子叫命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．故句子（1）、（2）、（5）真命题，句子（3）、（4）、（6）是假命题思考2试判断下列语句是否是命题．如果BC AC =,那么点C 是AB 的中点；连接A 、B 两点；若︒=∠+∠90B A ，则 ︒=∠50A ，︒=∠40B ；三点确定一个圆；点P 在直线AB 上. 解：如果BC AC =,那么点C 是AB 的中点；是命题连接A 、B 两点；不是命题若︒=∠+∠90B A ，则 ︒=∠50A ，︒=∠40B ；是命题三点确定一个圆；是命题点P 在直线AB 上. 是命题数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．例如，我们通过探索，已经知道下列命题是正确的： ⑴ 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；⑵ 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； ⑶ 如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等； ⑷ 如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等； ⑸ 如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形全等； ⑹全等三角形的对应边、对应角分别相等．我们把这些作为不需要证明的基本事实，即作为公理．(请同学们记住这6条公理)有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．例如，运用公理“两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等”，可以得到定理：“两角及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．”定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的根据．在数学中，许多命题是由题设（或条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果……那么……”的形式．其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．例1 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论． ⑴ 在一个三角形中，等角对等边； ⑵ 三角形的内角和等于180度； ⑶ 直角三角形的两锐角互余；⑷ 垂直于同一直线的两直线平行； ⑸ 邻补角的平分线互相垂直； ⑹ 对顶角的平分线在一条直线上；⑺ 角平分线上的点到这个角的两边距离相等； ⑻ 同角的余角相等； ⑼ 等角的补角相等；⑽ 同弧所对的圆周角相等.解：⑴ 在一个三角形中，等角对等边；这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.” 这里的题设是“在一个三角形中有两个角相等”，结论是“这两个角所对的边也相等”.⑵三角形的内角和等于180度；这个命题可以写成：“如果有三个角是同一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180度.”这里的题设是“有三个角是同一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180度”.⑶直角三角形的两锐角互余；这个命题可以写成：“如果两个角是同一个直角三角形的两个锐角，那么这两个角的和等于90度.”这里的题设是“有两个角是同一个直角三角形的两个锐角”，结论是“这两个角的和等于90度”.⑷垂直于同一直线的两直线平行；这个命题可以写成：“如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行.”这里的题设是“两条直线都垂直于第三条直线”，结论是“这两条直线互相平行”.⑸邻补角的平分线互相垂直；这个命题可以写成：“如果两条射线分别是两个邻补角的角平分线，那么这两条射线互相垂直.”这里的题设是“两条射线分别是两个邻补角的角平分线”，结论是“这两条射线互相垂直” .⑹对顶角的平分线在一条直线上；这个命题可以写成：“如果两条射线分别是一组对顶角的角平分线，那么这两条射线在同一条直线上.”这里的题设是“两条射线分别是一组对顶角的角平分线”，结论是“这两条射线在同一条直线上”.⑺角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；这个命题可以写成：“如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边的距离相等.”这里的题设是“有一个点在一个角的平分线上”，结论是“这个点到这个角的两边的距离相等.”.⑻同角的余角相等；这个命题可以写成：“如果有两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.”这里的题设是“有两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等” .⑼等角的补角相等；这个命题可以写成：“如果有两个角分别是两个相等角的补角，那么这两个角相等.”这里的题设是“有两个角分别是两个相等角的补角”，结论是“这两个角相等”.⑽同弧所对的圆周角相等. 这个命题可以写成：“如果有两个角是同一个圆中同一条弧所对的圆周角，那么这两个角相等.”这里的题设是“有两个角是同一个圆中同一条弧所对的圆周角”，结论是“这两个角相等”.如果要判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子就可以了，这种方法称为“举反例”．用“举反例”的方法判断下列命题是假命题.一个锐角与一个钝角的和等于一个平角解：锐角等于30°，钝角等于120°，但它们的和就不等于180°，从而说明这个命题是假命题．（2）有两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等.解：如图 ABC ∆和ABD ∆中，B B AB AB AD AC ∠=∠== , ,，满足有两条边和一个角分别对应相等，但ABC ∆和ABD ∆不全等. 由此说明这个命题是假命题．再来看下面三个问题：① 一位同学在钻研数学题时发现： 2＋1＝3， 2×3＋1＝7， 2×3×5＋1＝31， 2×3×5×7＋1＝211．于是，他根据上面的结果并利用素数表得出结论：从素数2开始，排在前面的任意多个素数的乘积加1一定也是素数．他的结论正确吗？（素数也称质数是大于1的整数，除了它本身和1以外不能被其他正整数所整除）*当我们找到 5095930031113117532⨯==+⨯⨯⨯⨯⨯.显然30031不是素数. 所以他的结论不正确.② 一个同学在画图时发现：如下图所示，三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部．于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部．他的结论正确吗？*在第23章圆我们已知道三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在三角形的边上，钝角三角形的外心在三角形外. 显然他的结论也不正确.③我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形、八边形等的内角和，得到一个结论： n 边形的内角和等于)2(-n ×180°．这个结果可靠吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？* 由以前学过的知识，我们知道这个结果是正确的.上面的几个例子说明：通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实．要否定一个结论，只需举出一个反例即可，而要肯定一个结论，则要经过推理论证.下节课我们将开始系统学习几何证明.本节小结：一．搞清4个概念① 能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义. ② 判断一件事情的句子叫命题．③人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理． ④ 用逻辑推理的方法判断为正确的命题叫做定理．二．习题要求①会判断一句话是否是命题.②能将一个命题改写成“如果……那么……”的形式.③会用“举反例”说明一个命题是假命题.④能正确区分真命题和假命题.课堂练习选择题：1．下列语句中，不是命题的是（）两点之间线段最短. (B) 直线AB//CD.钝角和锐角之差等于直角. (D) 三点确定一个圆.2．下列命题中，⑴两个角对应相等的两个三角形相似.⑵两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.⑶如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.⑷两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 被作为公理的有( )(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个3．下列命题中，有（）假命题⑴经过两点有且只有一条直线. ⑵三角形任一外角等于两个内角的和.⑶面积相等的两个三角形全等. ⑷有两条边分别相等的两个等腰三角形全等.⑸等角的补角相等. ⑹三边对应平行的两个三角形全等.(A) 5个 (B) 4个 (C) 3个 (D) 2个4．下列命题中，有（）真命题⑴互为补角的两个角的平分线互相垂直.⑵三角形的三个内角与三个外角的和为540度.⑶有一边相等其余两边对应平行的两个三角形全等.⑷有一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等.(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个5．根据下列命题，画出图形并写出“已知”、“求证”（不必证明）；两条边及其中一边上的中线分别对应相等的两个三角形全等；在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.AB CDA'B'C'D'已知：如图∆ABC和∆A/B/C/中，AB=A/B/，BC=B/C/，AD、A/D/分别是BC、B/C/边上的中线且AD=A/D/. 求证: ∆ABC≌∆A/B/C/（２）已知：如图ABC ∆中，CD 是AB 边中线且AB CD 21=，求证:︒=∠90ACB ABCD§24.3命题与证明(二)初三数学复习上节课有关知识：（1）几个概念① 能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义. ②判断一件事情的句子叫命题. ③人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理． ④ 用逻辑推理的方法判断为正确的命题叫做定理．(2) 已学过的公理有：① 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；② 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； ③ 如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等； ④ 如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等； ⑤ 如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形全等； ⑥ 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．证明根据题设、定义以及公理、定理、等式的性质等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．(1)在证明中经常用到的定义有：①角平分线定义：平分一个角的射线叫这个角的平分线. 用法：如图（1） ∵OC 平分AOB ∠（已知）∴21∠=∠（角平分线定义）（2）∵21∠=∠（已知）∴OC 平分AOB ∠（角平分线定义）②邻补角定义：如果两个角有公共顶点和一条公共边，且这两个角的另一边互为反向延长线，那么这两个角叫做互为邻补角。

《命题与证明》PPT课件

你还能举出曾学过的“定义”吗？
什么是命题？
判断一件事情的句子，叫做命题.
例如：（1）任何一个三角形一定有直角. （2）对顶角相等. （3）无论n为怎样的自然数，式子n^2-
n+11的值都是质数. （4）如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
八年级上册
命题与证明
什么是定义？
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.
例如：（1）“具有中华人民共和国国籍的人，叫
做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义
（2）“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间距离”的定义
（3）“无限不循环小数称为无理数”是 “无理数”的定义
2、一般地，命题可以写成“如果……，那么……”的情势，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分
是结论.
1.下列命题的条件是什么？结论是什么？如果两个角相等，那么它们是对顶角；如果a≠b，b≠c，那么a≠c；全等三角形的面积相等；菱形的四条边都相等.
2.上述的命题中，哪些是正确的？哪些是不正确的？你怎么知道
正它们确是的不命正题确称的为？与真同命伴题交，流不. 正确的的命题称为假命题要. 说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例.
命题的特征
每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推论出的事项.一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的情势，其中 “如果”引出的部分是条件， “那么”引出的部分是结论.
例如：
（1）你喜欢数学吗？

13.1 命题与证明课件(共19张PPT)

归纳小结
1.在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.2.从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明.3.如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.
同学们再见！
1.写出下列命题的逆命题，并判断他们的真假：（1）如果 a = b ,那么；（2）同旁内角互补，两直线平行.
随堂练习
2.已知：如图，点B，A，E在一条直线上，∠1=∠B. 求证：∠2=∠C.
证明：∵∠1=∠B，( 已知 ) ∴AD∥BC. ( 同位角相等，两直线平行 ) ∴∠2=∠C. ( 两直线平行，内错角相等 )
知识点2 证明
命题，有真命题，也有假命题.要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可；要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫作证明.
例题解析
例
证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图，直线a，b，c，a//c，b//c.求证：a//b.证明：如图，作直线d，分别与直线a，b，c相交.∵a//c（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.∵b//c（已知），∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）.∴∠1=∠3（等量代换）.∴a//b（同位角相等，两直线平行）.即平行于同一条直线的两条直线平行.
用文字叙述的命题的证明，应当按下列步骤进行：第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言.第二步，根据图形写出已知、求证.第三步，根据基本事实、已有定理等进行证明.
知识点3 逆定理
定义
如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理.

命题与证明全章教案

命题与证明全章教案一、教学目标1. 理解命题的概念，能够正确判断一个句子是否为命题。

2. 掌握四种命题的转化方法。

3. 学会使用反证法、直接证明法、归纳证明法等证明方法。

4. 能够分析问题，选择合适的证明方法解决问题。

二、教学内容1. 命题的概念与分类2. 命题的否定与转化3. 证明的方法与步骤4. 反证法5. 直接证明法6. 归纳证明法7. 综合应用三、教学重点与难点1. 重点：命题的概念、分类、转化，证明的方法与步骤。

2. 难点：反证法、直接证明法、归纳证明法的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究命题与证明的相关概念和方法。

2. 利用案例分析，让学生通过具体问题学会选择合适的证明方法。

3. 采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和口头表达能力。

4. 利用课后练习，巩固所学知识，提高解题能力。

五、教学安排1. 第一课时：命题的概念与分类2. 第二课时：命题的否定与转化3. 第三课时：证明的方法与步骤4. 第四课时：反证法5. 第五课时：直接证明法6. 第六课时：归纳证明法7. 第七课时：综合应用8. 第八课时：课堂总结与拓展六、教学策略与手段1. 利用多媒体课件，直观展示命题与证明的过程，提高学生的理解力。

2. 通过数学软件或几何画板，动态演示命题的转化过程，帮助学生加深记忆。

3. 设计具有启发性的例题，引导学生主动思考，培养解决问题的能力。

4. 创设问题情境，让学生在实践中掌握证明方法。

七、课后作业与评估1. 布置适量的课后练习题，巩固所学知识。

3. 定期进行课堂小测，了解学生对命题与证明的掌握情况。

4. 结合学生的课堂表现、作业完成情况和课后练习成绩，全面评估学生的学习效果。

八、教学反思与调整1. 在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。

2. 针对学生的薄弱环节，加强针对性训练。

3. 不断丰富教学资源，提高教学质量。

4. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高课堂互动效果。

命题与证明

5.3.2命题、定理一、命题对某一件事情作出了“是”或“不是”的判断，象这样判断一件事情的语句，叫做命题。

二、命题的构成命题由题设和结论两部分组成。

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。

例如，上面命题①中，“两条直线都与第三条直线平行”是已知事项，是题设，“这两条直线也互相平行”是由已知事项推出的事项，是结论。

有些命题的题设和结论不明显，怎样才能找出题设和结论呢？我们可以将它们改写成“如果……那么……”的形式。

例如，上面命题⑤可改写成：如果两个角是同位角，那么这两个角相等。

请你把上面的命题②、③改写成“如果……那么……”的形式，并指出它的题设和结论。

三、命题的真假上面的命题中有正确的，也有错误的，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，如果是真命题，题设成立，那么结论一定成立，如果是假命题，题设成立，不一定能保证结论成立。

要确定一个命题是真命题，必须通过推理证实，推理的过程叫做证明，通过证明是真的命题叫做定理，定理是推理的依据；要确定一个命题是假命题，只需举一个反例即可。

探究：[投影3] 下面的命题是真命题，还是假命题？ 1、锐角小于它的余角；2、若a 2＞b 2则,a ＞b.3、如图，如果∠1=∠2，C E ∥BF ，那么AB ∥CD ；1、是假命题，如650角的余角是350，而650大于350。

2、是假命题，如当a =－3,b=－2时a 2＞b 2，而a ＜b 。

3、是真命题。

证明：∵C E ∥BF ∴∠C=∠2（两直线平行，同位角相等）又∠1=∠2（已知）∴∠C=∠1（等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）四、课堂练习[投影4]1、判断下列句子是不是命题：（1）平行用符号“∥”表示；（2）你喜欢数学吗？（3）熊猫没有翅膀。

2、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出它的题设与结论。

《命题与证明》

正确性的判断标准是清晰、明确、符合逻辑和事实的。
正确性的判断
直接判断
对于一些简单的命题，我们可以直接根据常识或经验进行判断。
逻辑推理
对于复杂的命题，我们需要通过逻辑推理来证明其正确性。
实验验证
对于一些涉及实验的命题，我们需要通过实验验证来证明其正确性。
正确性的证明
定义概念
首先需要明确命题所涉及的概念的定义和性质。
建立逻辑结构
根据概念之间的关系和命题的结构，建立逻辑关系和推导过程。
使用已知事实和定理
在证明过程中，可以引用已知的事实和定理来支持证明。
结论
根据推导过程得出结论，并对其进行总结和解释。
06
命题错误性
错误性的概念
命题是数学中的基础概念，通常由条件和结论两部分组成，如“若p，则 q”的形式。
错误性是指命题的条件与结论之间不存在逻辑联系，或者与实际情况不符。
在进行推理时，应该注重推理过程的正确性和合理性，避免逻辑错误的发生。同时，也需要注重实际情况的符合性，避免事实错误的发生。
谢谢您的聆听
THANKS
定义
直言命题是一种基本的命题形式，它表达了主词和谓词之间的关系。
全称命题
主词是全体对象，谓词适用于全体对象，如“所有的猫都是哺乳动物”。
关系命题
主词中的对象之间存在某种关系，如“父亲比儿子大”。
复合命题
定义
复合命题是由两个或多个简单命题通过逻辑联结词连接而成的命题。
分类
复合命题可以分为联言命题、选言命题、假言命题和推理命题等。
否正确。
对于事实错误，需要仔细检查命题的条件和结论是否符合实际情况。例如，在物理中，一个错误的命题可能是因为它所描述的现象并不存在或者不符合实验

命题与证明

命题与证明

2.2 命题与证明

命题与证明定义命题

命题与证明

命题与证明

命题与证明PPt课件

命题与证明)

命题定理与证明课件

命题与证明知识点总结

13.2 命题与证明 课件沪科版八年级数学上册

命题与证明

《命题与证明》PPT课件

13.1 命题与证明课件(共19张PPT)

命题与证明全章教案

命题与证明

《命题与证明》

13.2 命题与证明课件沪科版八年级数学上册