2009年江苏高考数学试卷及答案(1)

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,nx x x 的方差221111(),nniii i s x x x x nn===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.若复数12429,69z i z i=+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i-的实部为______2.已知向量a 和向量b 的夹角为30，||2,||3==a b ，则向量a 和向量b 的数量积= a b __________ .3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为_____4.函数s i n ()(y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω=_______ .5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为________ .6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班6767911 π-23π-3π-O xy则以上两组数据的方差中较小的一个为2s =________ . 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W =________ .8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________ .9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________.10.已知512a -=，函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 ________.11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =________ .12.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）. 13．如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________.xyA1 B2A2 O TM开始0S ← 1T ←2S T S ←-10S ≥2T T ←+W S T ←+输出W 结束YN14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)nn b a n =+=若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = ________二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

15．（本小题满分14分） 设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c（1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||+b c 的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱111A B C A B C -中，E ,F 分别是11A B ,A C的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥求证：(1)E F ∥ABC 平面（2）111A FD BB C C⊥平面平面17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆 222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线12l l 和，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.xyO11 ..19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a +.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为12h h .现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为Am 元和Bm 元，甲买进A 与卖出B的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙求h 甲和h 乙关于Am 、Bm 的表达式；当35A Bm m =时，求证：h 甲=h 乙；设35A Bm m =，当Am 、Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？记(2)中最大的综合满意度为h ，试问能否适当选取Am 、Bm 的值，使得h h ≥甲和h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

求h 甲和h 乙关于Am 、Bm 的表达式；当35A Bm m =时，求证：h 甲=h 乙；设35A Bm m =，当Am 、Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？记(2)中最大的综合满意度为h ，试问能否适当选取Am 、Bm 的值，使得h h ≥甲和h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

20．(本小题满分16分)设a为实数，函数2()2()|| f x x x a x a=+--.若(0)1f≥，求a的取值范围；求()f x的最小值；设函数()(),(,)h x f x x a=∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x≥的解集.参考答案1.【答案】20- 【解析】略2.【答案】3【解析】32332=⋅⋅= a b3.【答案】(1,11)-【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

4.【答案】3【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=，5.【答案】0.2 【解析】略6.【答案】25 【解析】略 7.【答案】22 【解析】略 8.【答案】1：8 【解析】略 9.【答案】(2,15)-【解析】略10.【答案】m n < 【解析】略 11.【答案】4 【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由AB ⊆知4a >，所以c =4。

12.【答案】（1）（2） 【解析】略 13.【答案】275e =-【解析】用,,a b c表示交点T ，得出M 坐标，代入椭圆方程即可转xyA1 B2A2 O TM化解得离心率. 14.【答案】9-【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.15.【解析】由a 与2-b c 垂直，(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ，即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=；(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，最大值为32，所以||+b c 的最大值为42。

由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4c o s 4αβαβ⋅-=，所以a ∥b .16.【解析】证明：（1）因为E ,F 分别是11A B ,A C 的中点，所以E F //B C ，又EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以E F ∥ABC 平面；（2）因为直三棱柱111A B C A B C -，所以1111B B A BC ⊥面，11B B AD ⊥，又11A D B C⊥，所以111A D BC C ⊥面B，又11A D A FD ⊂面，所以111A F DB BC C⊥平面平面。

17.（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得ABCA1B1C1EFD43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所【解析】以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-。

（2）12272523m m m a a (m )(m )a (m )++--=-，令23m t-=，1242m m m a a (t )(t )a t++--=86t t =+-，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，2m =时，863t t+-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；1t =-，1m =时，8615t t+-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合。

所以满足条件的正整数2m =。

18.【解析】(1)y =或7(4)24y x =--，(2)P 在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-。

19.【解析】(1)=,=,125320ABABA B A B m m m m h h m m m m ⋅⋅++++乙甲([3,12],[5,20])A B m m ∈∈当35A Bm m =时，235=,35(20)(5)125BB BB B B B m m m h m m m m ⋅=++++甲235=,320(5)(20)35BB BB B B B m m m h m m m m ⋅=++++乙显然=h h 乙甲(2)当35A Bm m =时，2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251BB B BBBBm h m m m m m m ==++++++甲由111[5,20][,]205B Bm m ∈∈得，故当1120Bm =即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为10520.【解析】（1）若(0)1f ≥，则20||111a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩（2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22m in(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-2m in2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩综上22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩(3)(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-当6622a a ≤-≥或时，0,(,)x a ∆≤∈+∞；当6622a -<<时，0,∆>得223232()()033a a a a x x x a ⎧--+-⎪--≥⎨⎪>⎩1）26(,)22a ∈时，(,)x a ∈+∞2）22[,]22a ∈-时，232[,)3a a x +-∈+∞3）62(,]22a ∈--时，223232(,][,)33a aa ax a --+-∈+∞。