第3章 相对位置(建筑)

（三）垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题
1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题 步骤和方法。
3. 1 平行问题
• 直线与平面平行
• 两平面平行
3.1.1 直线与平面平行
A B
C
若：AB∥CD 则：AB∥P
a
n● d(e) m
●
2 ● h(f)
●
作图 ① 求交线 ② 判别可见性
c
b
1
点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在 FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在 后，故mc 可见。
⑶
f a f m● a d m d ●
b k● n'
●
投影分析
ΔDEF的正面投影积聚
e
作图
① 求交线
c b
●
k
●
n
c
N点的水平投影n位于 Δdef 的外面，说明点N位 于ΔDEF所确定的平面内 e ，但不位于ΔDEF这个图 形内。 所以ΔABC和ΔDEF的 交线应为MK。 ② 判别可见性
例4 求两平面的交线
PV n
2
1
m m
k
l
QV
两一般位置平 面相交，求交 线步骤： 1．用求直线 与平面交点的 方法，作出两 平面的两个共 有点K、E。 2．连接两个 共有点，画出 交线KE。
eห้องสมุดไป่ตู้
2
e k l
1
示意图
n
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
B M 利用求一般位置 线面交点的方法找出 交线上的两个点，将 其连线即为两平面的 交线。
2
k
示意图
1
以正垂面为辅助平面求线面交点
示意图
A
Ⅱ
F
C
Ⅰ
B
E
过EF作正垂面Q
以铅垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点
步骤： 2’ k 1’ PH 1 k 2 1．过EF作铅 垂平面P。 2．求P平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点
A E
示意图
K E Ⅰ
Ⅱ F
C
B
F
过EF作铅垂面P
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。
f
( 2 )
1 k 3 4 利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
e
2
k 1
4 (3 )
示意图 e
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
1 (2)
［例5］试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF 相交 。
综合性问题解法
分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H； 连接KH，KH即为所求。 K F H E
作图
PV m 1 2 n
1．过点K作平面 KMN// ABC平面。
2．求直线EF与平面 KMN的交点H 。
e n c f
d
●
① 求交线 ② 判别可见性
从正面投影上可看出，在交 线左侧，平面ABC在上，其水 平投影可见。
m
b
还可通过重影点 判别可见性
⑵
空间及投影分析：
d′
a′
●
h′
m′
●
b′ e′
X
n′
●
1'(2')
f′
c′
平面DEFH是一铅垂面， 它的水平投影有积聚性，其 与ac、bc的交点m 、n 即为 两个共有点的水平投影，故 mn即为交线MN的水平投影。
C A B a(b) c d D F e(f) h(g) G a(b) E H a' d' b' X c e(f) d h(g) f' g' O c' e' h'
当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直 线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面 必定平行。
3.1.2 两平面平行
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。
特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
3.2.1直线与特殊位置平面相交
交点的一个投影是平面积聚性投影与直线的同面投影的 交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。
V
P B
b'
F a' k'
f'
A
E a e
k C
b k c
e'
a f PH H e
c'
f
b
k c
— 判断直线的可见性
利用积聚性直接 判断出可见性
V
b' k'
f'
P B
F a'
A
E a e
k C
b k c
e'
a f PH H e
c'
f
b
k c
例1 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
⑴ 平面为特殊位置
b
1(2)
●
k' 1' (2' )
2
k1
3.2.2 一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个 共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投 影有积聚性，交线可直接求出。
1.求交线 2.判断平面的可见性
—— 求交线
m
M B K F m C c PH P
b
f n k l
c
a k b
b c d
X
e
f a
X
b c d
f
d
e g
a c a b d e f
a
c
b
f e
g
两一般位置平面平行
两特殊位置平面平行
[例1] 判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，已知 AB∥CD∥EF∥MH
a c m e k f
h
O
X
b b
d
d
f k m
由于ek 不平行 于ac,故 两平面 不平行
空间及投影分析:
n
a
X
k ●
m
m a
2 ●
●
c
c n
平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即 为K点的水平投影。
① 求交点 ② 判别可见性 由水平投影可知，KN 段在平面前，故正面投影 上kn为可见。
●
k 1 b
还可通过重影点 判别可见性。
—直线为特殊位置 b k a
c
b n
例7
试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV k
SV k h
h
k
k
k h QH h k
h
例8 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。
a
e b X d f
c
m
n O m
b
e d
a
c f
n
3.3.2 两平面垂直
A
P
B
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面。
Ⅱ Ⅰ Ⅲ
Ⅳ 3
示意图
(4)
3.2.4 两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个 共有点的问题, 其作图方法可以有:
1.利用求一般位置线面交点的方法找出交线上 的两个点，将其连线即为两平面的交线。 2.用三面共点的方法找出交线上的两个点，将 其连线即为两平面的交线。
•两一般位置平面相交求交线 •判别可见性
A A
Ⅰ Ⅱ
B
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
例10 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h
f c g k b O g b h
h
3．连接KH，KH即 为所求。
h
n
2
m 1
3.3 垂直问题
直线与平面垂直
两平面互相垂直
3.3.1 直线与平面垂直
V
A
C E B D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面 的一切直线。
n
V
A C E a
k d
e
c
b
X
B
a k n d e
O
D
c
b
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。
几何条件： 若一个平面内的相交两直线与另一个 平面内的相交两直线对应平行，则此两平 面平行。这是两平面平行的作图依据。 两平面平行的作图问题有： 判别两已知平面是否相互平行； 过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平行，完成其中一平面的 所缺投影。
两平面平行
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
AB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ； 则：P∥Q
a l
A L
N b n k a l
m
f c
n
f
— 判断平面的可见性
例3 求两平面的交线, MN并判别可见性。 ⑴ a
d a
●
b m(n) e ●
f c
空间及投影分析：
平面ABC与DEF都为 正 垂面，它们的交线为一条正垂 线，两平面正面投影的交点即 为交线的正面投影，交线的水 平投影垂直于OX轴。