弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答

(σ
σ
d)dρ cos
d
2
σ dρ
cos
d
2
( ρ
ρ
ρ
dρ)(ρ dρ)d
ρ ρd
( ρ
ρ
d)dρ sin
d
2
ρdρ sin
d
2
f ρ ρddρ
0
略去三阶微量，保留到二阶微量，得
f 1 2 0。 (b)
式(b)中1、2、4项与直角坐标的方程相似，而
τ ρφ --是由于 ρ 面的面积大于 ρ 面引起的，
Φ φ
φy .
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
函数的变换： 将式 (a) 或 (b) 代入，
Φ (x, y) Φ ( ρ,φ).
矢量的变换：位移
d (u, v) (uρ ,uφ ),
或
u u cos u sin , v u sin u cos。
(a)
u u cos v sin ,
ρ φ
所以切应变为
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1
u 。
2. 只有环向位移 u,φ求形变。
P, A, B 变形后为 P，A，B，
各点的位移如图
几何方程
PA 线应变 (略 去高阶小量）
0
PB 线应变
εφ
PB PB PB
(u
φ
uφ φ
dφ)
ρdφ
u
1 ρ
uφ φ
;
PA 转角
α
DA
uφ ρ
d
ρ
uφ
,
PA d ρ ρ
几何方程
PB 转角 变 形 前 切 线 O P , 变 形 后 切 线 O P ,
POP u .
（使直角扩大，为负值）
切应变为
u
u 。
几何方程
3.当 u和ρ 同u时φ 存在时，几何方程为
u
,
1 u
u
,
(a)
u
1 u
u
。
极坐标中的物理方程
物理方程
直角坐标中的物理方程是代数方程，且 x 与 y 为正交，
极坐标中的物理方程也是代数方程,且 ρ与 为φ正交，
d
2
f ρ ρddρ
0
上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得
1
f
0。
(a)
式( a )中 1、2、4 项与直角坐标的方向相似; 而
σρ
ρ -- 是由于 面ρ面积大于 面的ρ面
积而引起的，
σφ ρ
-- 是由于 面上的
在C点的
向有 投影。
Fφ 0 --通过形心C的 φ向合力为0，
直角坐标 (x, y) 与 极坐标
比( 较,：)
相同: 两者都是正交坐标系。
区别: 直角坐标中, x 和 y 坐标线都是直线, 有固定的方向, x
和 y 的量纲均为 L 。
极坐标中, 坐标线（ = 常数）和坐标线 ）在不同点有不同的方向;
（ =常数
坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线;
的量纲为 L, 的量 纲为 1。这些区别将引 起弹性力学
(b)
u u sin v cos。
导数的变换：
将对 x, y 的导数，变换为对 , 的导数：
F (x, y) 可看成是 F (, )，而 , 又是 x, y
的函数，即 F 是通过中间变量 , 为 x, y
的复合函数。
有: F
Φ Φ ρ Φ φ , x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
§4－2 极坐标中的几何方程及物理方程
几何方程--表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式 。
过任一点 P ρ,φ 作两个沿正标向的微分线段 ,
PA d , PB d。
u 1.只有径向位移
P,A,B变形后为
P', A',B'
几何方程
在小变形假定 β 1 下，
cos 1,
P B P C ,
sin ,
tan 。
PA 线应变
ερ
PA PA PA
(u ρ
u ρ d ρ
dρ
ρ)uρ
u ρ ρ
,
PB 线应变
εφ
P
B P PB
B
P
C PB PB
(ρ
u
ρ
)d φ ρ
ρ
d
φ
uρ ρ
;
PA 转角 0,
几何方程
PB 转角
β
CB
CB
(u
u ρ φ
dφ)u ρ
1
u ρ 。
PC PB
ρdφ
平衡条件
应用假定:（1）连续性，（2）小变形。
考虑通过微分体形心 C 的 , 向及矩的平衡，列出
3个平衡条件:
F 0, F 0, M c 0。
(σ ρ
σ ρ ρ
dρ)( ρ
dρ)d
σ ρ ρd
(σ
σ
d)dρ sin
d
2
σdρ sin
d
2
( ρ
ρ
d)dρ cos
d
2
ρdρ cos
故物理方程形式相似。
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，
只须作如下同样变换，
E
1
E
2
,
。 1
泰勒展开
Exercise : Chap 4
Today: 4-1， 4-2 End of Lecture 9
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
基本方程的区别。
对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜 用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。
§4－1 极坐标中的平衡微分方程
在 A 内任一点 P（ ， ）取出一个微分体，考
虑其平衡条件。 微分体--由夹角为 dφ 的两径向线 和距离为 d ρ 的两环向线围成。
注意： 两 面不平行，夹角为 dφ；
两 面面积不等，分别为 ρd φ ， ρ d ρ d φ 。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。
微分体上的作用力有：
体力-- f ρ , fφ ， 以坐标正向为正。 应力-- ρ面， φ面分别表示应力及其 增量。
应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反 之为负 。
平衡条件：
τ φρ ρ
--是由于 面上的切应力
τφρ 在C点
的 向有投影。
M C 0--通过形心 C 的力矩为 0，当考虑到二 阶微量时，得 。 (c)
思考题
1、试说明在导出上述平衡微分方程中，同样 应用了连续性和小变形的基本假定，因而 适用的条件也是这两个。
2、试对微分体上的不同点列出平衡条件；或 者考虑每一面上的应力为非均匀分布时列 出平衡条件，证明式（4－1）在二阶微量 的精度内总是相同的。
第一节 极坐标的平衡微分方程 第二节 极坐标的几何方程和物理方程 第三节 极坐标的应力函数和相容方程 第四节 应力分量的坐标变换式 第五节 轴对称应力和相应的位移 第六节 圆环或圆筒受均布压力 第七节 压力隧洞 第八节 圆孔的孔口应力集中 第九节 半平面体在边界上受集中力 第十节 半平面体在边界上受分布力