必修4优秀课件241平面向量的数量积的物理背景及其含义

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向量的夹角：
已知两个非零向量 a 和 b ，作 OAa ，OBb ，
则∠AOB= θ(0º≤θ≤180º)叫做向量 与a 的b 夹角.
B
当θ= 0º时， a与 b 同向；
b
当θ= 180º时， a与 b 反向；
θ
O
当θ= 90º时， a 与 b 垂直，记作 a b。
a
A
a
b
a
b
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对任意向量 a , b 是, 否也有下面类似的结论？
(1)(ab)2
2
a
2
2abb ;
(2)(ab)(ab)a2
2
b .
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例 3 .已 a 知 6 ,b 4 ,a 与 b 的夹 6 ， 0(角 a 求 2 b )(a 为 3 b )
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例4.已知 a3,b4,且a与b不共线 k为， 何值时， 向量 akb与akb互相垂直？
ab |a||b|cos
其中θ是 a 与 b 的夹角，|b|cos(|a|cos)叫做向量 b 在 a
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即 a00。
B
b
|O B 1||b|cos O θ
aA
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B1
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数量积的几何意义：
数量积 a b 等于 a 的长度| a | 与 b 在 a 的方向上的
(a)2 |a|2
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例1.已知 |a|5,|b|4，a 与 b 的夹角θ=120º，
求a b 。
解： a b | a || b | c o s
=5 4 cos120 5 4 ( 1 )
2 10
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数量积的运算规律：
(1)ab b a;
(2)(a)b(ab) a(b);Fra bibliotek编辑ppt
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小结
向量的数量积计算时， 一要找准向量的模； 二要找准两个向量的夹角。
作业
P108 习题A组 1、2、3
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结束
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投影 | b| cos 的乘积。
B
b
θ O
aA
B1
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正， 什么时候为负呢？
当θ为锐角时，向量的数量积为正；
当θ为钝角时，向量的数量编积辑p为pt 负。
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由向量数量积的定义，试完成下面问题：
(1)a b a b ____0___ .
证明向量 垂直的依据
(3)(ab)c acbc.
思考：等式 (ab)ca(bc)是否成立？
不成立
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注意：
1、两个向量的数量积是一个实数，不是向 量，符号由cosθ的符号确定；
2、两个向量的数量积称为内积，写成 a b ; 与代数中的数a·b不同，书写时要严格区分；
3、在实数中,若a≠0,且a·b=0,则b=0；但在数 量积中,若 a 0 ，且 ab 0 ,不能推出 b 0 。 因为其中cosθ有可能为0
(2)若 a 与 b 同 向 ,a b __| a__||_b_| _； 若 a 与 b 反 向 ,a b __|_a_|_| b_|_； a a _|_a_|_2 _ . | a| aa
(3) | a b | __≤__ | a || b | .(填 或 )
注：常记 a a 为 a 2 。
a b
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问题的提出
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
W |F||s|cos
F
θ s
其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.
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3
平面向量的数量积：
已知非零向量 a 与 b ，我们把数量 |a||b|cos叫作 a 与 b 的
数量积（或内积），记作 a b ，即规定
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc 得a=c.但是有 abbc不能得 a c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但 (ab)ca(编b辑ppct )
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例2.我们知道，对任意 a,b R ，恒有
( a b ) 2 a 2 2 a b b 2 ,( a b ) ( a b ) a 2 b 2 .