【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式第1课时》公开课课件.ppt
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2021年人教版八年级数学下册第十六章《 二次根式 ( 1 )》公开课课件.ppt
求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么？
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练习： x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3x x0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x0
x
(5) x 3 x0
(7)
1
a
1
1 2a 2
1 (6) x 2 (8) 3 x
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020 12:18:36 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/142020/12/142020/12/14Dec-2014-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/142020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020
(1) 32 (2) 12 (3) 3 8 (4) 4 a2 (5) -m (m 0) (6) 2a-1
(7) a2 2a3 (8) x2 1
(9) 4 2 (10)
1 3
?
a 有意义 ， 被开方数a≥0
被开方数a可以是数也可以是式
例1 a取何值时,下列根式有意义?
(1 )2 x1 (2 )2x (3 )1 (4 )1x2 x
a |b| 0 a2 |b | 0 ......
a 0,b 0 a 0,b 0
练习
１.已知 y x 2 2 x 3，求x、y的值. x=2，y=3
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练习： x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3x x0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x0
x
(5) x 3 x0
(7)
1
a
1
1 2a 2
1 (6) x 2 (8) 3 x
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020 12:18:36 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/142020/12/142020/12/14Dec-2014-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/142020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020
(1) 32 (2) 12 (3) 3 8 (4) 4 a2 (5) -m (m 0) (6) 2a-1
(7) a2 2a3 (8) x2 1
(9) 4 2 (10)
1 3
?
a 有意义 ， 被开方数a≥0
被开方数a可以是数也可以是式
例1 a取何值时,下列根式有意义?
(1 )2 x1 (2 )2x (3 )1 (4 )1x2 x
a |b| 0 a2 |b | 0 ......
a 0,b 0 a 0,b 0
练习
１.已知 y x 2 2 x 3，求x、y的值. x=2，y=3
人教版数学八年级下册 16.1 二次根式(共20张PPT)
拓展探究
04
总结与反思
总结与反思
谢谢！
第十六章 二次根式
16.1章前引言及二次根式
1. 理解二次根式的定义，并会用此定义判断 一个根式是否为二次根式； 2. 会运用二次根式中被开方数的非负性，求 被开方数中字母的取值范围； 3. 会运用二次根式的非负性解决简单的问题。
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从 而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位： km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间 存在近似关系 r = 2 Rh ，其中地球半径R≈6 400 km． 如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们 的传播半径之比是 观察 2 Rh 、r =
1
2 Rh 1 2 Rh2
2 Rh2
2 Rh
的特点？
02
知识建构
二次根式概念
二次根式概念
二次根式概念
二次根式概念
二次根式概念双重非负性
二次根式概念双重非负性
03
题组练习，深化提高
题组一 二次根式的判定
题组一 二次根式的判定
题组二 二次根式有意义
题组二 二次根式有意义
题组三 二次根式的双重非负性
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
【人教版】八年级数学下册 16.1二次根式第一课时教学课件(共34张ppt)
5
思考这些填入数据有什么特征
动脑想一想
【师】很明显
3
、s
、65
、 s 都是一些正数的
5
算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式
子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我
们把形如 （a a≥0）的式子叫做二次根式“ ”称
为二次根号．
动脑想一想
思考: （学生活动）议一议：
1．-1有算术平方根吗？ 没有 2．0的算术平方根是多少？ 0 3．当a<0，a 有意义吗？ 没有
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。
动手做一做
【师】同学们好（学生活动）请同学 们独立完成下列三个问题：
问题1：面积为3的正方形的边长为 _3_面 积为S的正方形的边长 s ． 问题2：一个长方形的围栏，长是宽的2 倍，面积为130则他的宽为 __6_5_____．
动手做一做
问题3：一个物体从高处自由落下，落 到地面所用的时间t与开始落下时离地 面的高度h满足关系h=5t2用含h的式子表 示t，那么t为 __h____．
9、成功的道路上，肯定会有失败;对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则必成功;怕失败者，则一无是处，会更5、别着急要结果，先问自己够不够格，付出要配得上结果，工夫到位了，结果自然就出来了。 6、你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。
思考这些填入数据有什么特征
动脑想一想
【师】很明显
3
、s
、65
、 s 都是一些正数的
5
算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式
子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我
们把形如 （a a≥0）的式子叫做二次根式“ ”称
为二次根号．
动脑想一想
思考: （学生活动）议一议：
1．-1有算术平方根吗？ 没有 2．0的算术平方根是多少？ 0 3．当a<0，a 有意义吗？ 没有
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。
动手做一做
【师】同学们好（学生活动）请同学 们独立完成下列三个问题：
问题1：面积为3的正方形的边长为 _3_面 积为S的正方形的边长 s ． 问题2：一个长方形的围栏，长是宽的2 倍，面积为130则他的宽为 __6_5_____．
动手做一做
问题3：一个物体从高处自由落下，落 到地面所用的时间t与开始落下时离地 面的高度h满足关系h=5t2用含h的式子表 示t，那么t为 __h____．
9、成功的道路上，肯定会有失败;对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则必成功;怕失败者，则一无是处，会更5、别着急要结果，先问自己够不够格，付出要配得上结果，工夫到位了，结果自然就出来了。 6、你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。
【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念和性质》公开课课件.ppt
时的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2.如果用含有 h 的式子表示 t，则 t＝
________．
【答案】(1) 17 (2) 65 (3) 65 (4) 3
h a (5) 5
活动 2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子 a表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子 a才有意义？ (2)当 a＞0 时， a________0；当 a＝0 时， a________0；二次根式是 一个________． 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数 a 必须是非负数 (2)＞ ＝ 非 负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性． 当 a＞0 时， a表示 a 的算术平方根，因此 a＞0； 当 a＝0 时， a表示 0 的算术平方根，因此 a＝0. 也就是说，当 a≥0 时， a≥0.
2Rh2 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二 次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容．
二、新课教授
活动 1：知识迁移，归纳概念
ห้องสมุดไป่ตู้
(多媒体演示)用含根号的式子填空． (1)17 的算术平方根是________； (2)如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和 4 cm 的三角形，斜边长应
三、例题讲解 【例】当 x 是怎样的实数时， x－2在实数范围内有意义？ 解：由 x－2≥0，得 x≥2. 所以当 x≥2 时， x－2在实数范围内有意义．
四、巩固练习 1．已知 a－2＋ b＋12＝0，求－a2b 的值． 【答案】 a－2≥0， b＋12≥0，又∵它们的和为 0，∴a－2＝0 且 b＋12＝ 0，解得 a＝2，b＝－21. ∴－a2b＝－22×(－12)＝2. 2．若 x，y 使 x－1＋ 1－x－y＝3 有意义，求 2x＋y 的值． 【答案】－1
【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的加减1》公开课课件.ppt
学习目标：
1、会进行二次根式的加减法运算；
2、通过加减法运算解决生活实际问题 ， 培养学生善于思考，认真细致、一 丝不苟的科学精神。
重点：合并被开方数相同的二次根式
难点：二次根式加减法的实际应用。
二次根式计算、化简的 结果符合什么要学科网 求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
27
3.如果最简二次根式 mn2 2与 m n 是同类二次根式,求m、n 的值.
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两
列火车共运多少？2__x__+__3__x_=__5__x__吨
(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两
列火车共运多少？_(__2_x___+__3_y__)_吨__
以下问题你能用同样的方法计算吗？
解： （ 3 原 22式 2 ） （ 333 ）
22 3
强调：
(2)8 18 12
先化简，
解： 原 42 式 9243
再合并
2 23 22 3
5 22 3
例 2计 算 ：
(1)2 12 6 1 3 48 3
(2)( 12 20 ) ( 3 5 )
(3) 2 9 x 6 x 2 x 1
注意:不是同类二次根式的二次根式
(如 与2 )不3能合并
练习 1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1 8 3 83; F
2 4 9 49; F
33 2 22 2
T
练习 判断:下列计算是否正确?为什么?
1 2 3 5;
F
22 22 2; F
3 818 49235 F
2
练习：计算
1、会进行二次根式的加减法运算；
2、通过加减法运算解决生活实际问题 ， 培养学生善于思考，认真细致、一 丝不苟的科学精神。
重点：合并被开方数相同的二次根式
难点：二次根式加减法的实际应用。
二次根式计算、化简的 结果符合什么要学科网 求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
27
3.如果最简二次根式 mn2 2与 m n 是同类二次根式,求m、n 的值.
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两
列火车共运多少？2__x__+__3__x_=__5__x__吨
(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两
列火车共运多少？_(__2_x___+__3_y__)_吨__
以下问题你能用同样的方法计算吗？
解： （ 3 原 22式 2 ） （ 333 ）
22 3
强调：
(2)8 18 12
先化简，
解： 原 42 式 9243
再合并
2 23 22 3
5 22 3
例 2计 算 ：
(1)2 12 6 1 3 48 3
(2)( 12 20 ) ( 3 5 )
(3) 2 9 x 6 x 2 x 1
注意:不是同类二次根式的二次根式
(如 与2 )不3能合并
练习 1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1 8 3 83; F
2 4 9 49; F
33 2 22 2
T
练习 判断:下列计算是否正确?为什么?
1 2 3 5;
F
22 22 2; F
3 818 49235 F
2
练习：计算
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 课件(共35张PPT)
而 2a b2 0
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
人教版八年级下册第十六章第1节《二次根式》课件(共37张PPT)
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
比较辨别
问题
探索性质
请比较 a 和0 的大小． 分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0；
当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a （a≥0）是一个非负数． 双重非负性
性质的探究
问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到 结论的依据．
2 2 2 ； 4 ； （ 4） = _____ （ 2） = _____
1 1 2 2 0 ． （ ）= （ 0） = _____ 3 ； _____ 3
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
2 （ a） =a（a≥0）．
你能说说依据吗？
课件说明
• 学习目标 2 1．经历探索性质 （ a ） = a（a≥0）和 a 2 = a （a≥0）的过程，并理解其意义； 2 2．会运用性质 = a（a≥0）和 a 2 = a（a （ a） ≥0）进行二次根式的化简； 3．了解代数式的概念． • 学习重点： 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计 算和化简．
综合应用 深化提高
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） -16 ；
（a ＞ 0） （2） a+10 ；
2 （3） a +1 ；
×
√
√ √
（x ≤ 0） （ 4） - x ．
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
x （1） 3- 4 x ；（2） ； x -1
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
比较辨别
问题
探索性质
请比较 a 和0 的大小． 分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0；
当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a （a≥0）是一个非负数． 双重非负性
性质的探究
问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到 结论的依据．
2 2 2 ； 4 ； （ 4） = _____ （ 2） = _____
1 1 2 2 0 ． （ ）= （ 0） = _____ 3 ； _____ 3
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
2 （ a） =a（a≥0）．
你能说说依据吗？
课件说明
• 学习目标 2 1．经历探索性质 （ a ） = a（a≥0）和 a 2 = a （a≥0）的过程，并理解其意义； 2 2．会运用性质 = a（a≥0）和 a 2 = a（a （ a） ≥0）进行二次根式的化简； 3．了解代数式的概念． • 学习重点： 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计 算和化简．
综合应用 深化提高
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） -16 ；
（a ＞ 0） （2） a+10 ；
2 （3） a +1 ；
×
√
√ √
（x ≤ 0） （ 4） - x ．
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
x （1） 3- 4 x ；（2） ； x -1
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
2021年人教版八年级数学下册第十六章《二次根式(第1课时)》精品课件.ppt
2. 当 x = -2时，求二次根式 2 1 x 的值. 2
随堂练习 2
2.当x 分别取下列值时，求二次根式 4 2 x 的值：
(1) x = 0； (2) x = 1； (3) x = -1.
变式练习：若二次根式 x 2 的值为3，求x 的值.
x = ±3
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性 质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
2
1 2
x
的值.
3. 若（ 2x4y)2 x4y0,求4x - y 的值.
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020
已知a，b 为实数，且满足 a2b1，12b1 求a 的值.
（1）二次根式的概念; （2）根号内字母的取值范围; （3）二次根式的值.
作业
1. 求出下列各式中字母 a 的取值范围：
a 1，
1
1 a ， 1 a ，
(1 a )2 ，
3 2a a 1 .
作业
2. 当x = -2时，求二次根式
人教版八年级（下册）
第十六章二次根式
16.1二次根式(第1课时)
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那 么这个数叫做a的平方根.
什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的 算术平方根. 用a(a0)表示.
平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0 有一个平方根就是0本身； 负数没有平方根.
随堂练习 2
2.当x 分别取下列值时，求二次根式 4 2 x 的值：
(1) x = 0； (2) x = 1； (3) x = -1.
变式练习：若二次根式 x 2 的值为3，求x 的值.
x = ±3
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性 质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
2
1 2
x
的值.
3. 若（ 2x4y)2 x4y0,求4x - y 的值.
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020
已知a，b 为实数，且满足 a2b1，12b1 求a 的值.
（1）二次根式的概念; （2）根号内字母的取值范围; （3）二次根式的值.
作业
1. 求出下列各式中字母 a 的取值范围：
a 1，
1
1 a ， 1 a ，
(1 a )2 ，
3 2a a 1 .
作业
2. 当x = -2时，求二次根式
人教版八年级（下册）
第十六章二次根式
16.1二次根式(第1课时)
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那 么这个数叫做a的平方根.
什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的 算术平方根. 用a(a0)表示.
平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0 有一个平方根就是0本身； 负数没有平方根.
人教版八年级数学下册16.1二次根式 (第1课时 )课件(共13张PPT)
a C D
2
2.式子 3x 6 有意义的条件是（ A ） A. x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=_-_1__时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值 为__0__．
0
课后作业
当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（5） x2 2x 1
（6） x 1 2x 3
边长边长 S
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽
为___6_5__m．
解：设长方形的宽为xm， 则长为2xm.
2x x 130
x2 65
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m） 满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为 ___5h__．
“ ”称为二次根号.
新知应用
形如 a (a 0) 的式子
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1) 4
( 2 )✘6 ( 3 ) ✘1 2
( 4 ) - m (m≤0),
(6) a2 1
( 5 ) x✘y(x,y 异号)
( 7 )✘3 8
异号得负
解： (1)(4)(6)均是二次根①式外，貌特征：含有“ ” 两个必备特征 ②内在特征：被开方数a ≥0
t2 h 5
探究新知
离地面的高度h
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65，h ．
（1）这些式子分别表示什么意义？
5
h
分别表示3，S，65，5 的算术平方根．
（2归）纳这总些结式子有什么共同特征？
①根指数 都为2 ; ②被开方数 为非负数 .
2
2.式子 3x 6 有意义的条件是（ A ） A. x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=_-_1__时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值 为__0__．
0
课后作业
当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（5） x2 2x 1
（6） x 1 2x 3
边长边长 S
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽
为___6_5__m．
解：设长方形的宽为xm， 则长为2xm.
2x x 130
x2 65
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m） 满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为 ___5h__．
“ ”称为二次根号.
新知应用
形如 a (a 0) 的式子
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1) 4
( 2 )✘6 ( 3 ) ✘1 2
( 4 ) - m (m≤0),
(6) a2 1
( 5 ) x✘y(x,y 异号)
( 7 )✘3 8
异号得负
解： (1)(4)(6)均是二次根①式外，貌特征：含有“ ” 两个必备特征 ②内在特征：被开方数a ≥0
t2 h 5
探究新知
离地面的高度h
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65，h ．
（1）这些式子分别表示什么意义？
5
h
分别表示3，S，65，5 的算术平方根．
（2归）纳这总些结式子有什么共同特征？
①根指数 都为2 ; ②被开方数 为非负数 .
人教版八年级数学下册第十六章《 二次根式 ( 1 )》公开课课件
代 数 式 a (a 0 )叫 做 二 次 根 式 .
1.二次根式的两个特征：
（1）根指数为2
形
（2）被开方数大于等于零
质
2. a可以是数,也可以是式.
如 2 , 2 , a 2 1 , b 2 4 a c (b 2 4 a c ), 1(x 2 )等
3
x 2
都是二次根式
说一说: 下列各式是二次根式吗?
3 x 有意义
|x |4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
a ≥０ a
二次根式的双重非负性
a ≥０
经常作为隐含条件，是解题的关键
例 已知 x 1 y 3 0，求x＋y的值
解：∵ x 1 ≥０， y 3 ≥０，
(1) 32 (2) 12 (3) 3 8 (4) 4 a2 (5) -m (m 0) (6) 2a-1
(7) a2 2a3 (8) x2 1
(9) 4 2 (10)
1 3
?
a 有意义 ， 被开方数a≥0
被开方数a可以是数也可以是式
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/132021/10/132021/10/1310/13/2021 1:26:12 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/132021/10/132021/10/1310/13/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/132021/10/13October 13, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/132021/10/132021/10/132021/10/13
人教版八年级下册数学第十六章+二次根式第一节《二次根式(共2课时)》参考课件(共52张PPT)
用基本运算符号（基本运算包 括加、减、乘、除、乘方和开方） 把数和表示数的字母连接起来的式 子，我们称这样的式子为代数式 （algebraic expression）。
课堂小结
1. 二次根式的概念：
形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式
a ≥0
a≥0
2 a
先开方,后平方
a 2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a 2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a 2 =∣a∣ = a (a≥ 0)
-a (a＜0)
思 ( m 4 ) 考 2 4 m , 则 m 的 ： _ m取 若 4 _
b
3， x ＋1， 144 , (2x- 3)2, a
计算：
52 5
当a0时
a2 a
1 12 6 6
当a0时
a2 a
练习： 1 .计算 :
1. 0 .3 2
3 . 2
2 .
1
2
7
4 . 10 2
练习2:
1
1
2
2
2 1
2 x12 x 1 (x>0 )
3. 当 x 是怎样的实数时，2x+3+ 1 在实
x+1
数范围内有意义？ 2x＋3 ≥ 0
解：由题意，得 x＋1 ≠ 0
x≥
-
3 2
x ≠－1
在实所数以范当围内x ≥有意- 义32 且。x ≠－1 时，原式
4. 式子 (a-1)2=a-1成立的条件是
（D ）
A. a < 1
B. a ≠ 1
课堂小结
1. 二次根式的概念：
形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式
a ≥0
a≥0
2 a
先开方,后平方
a 2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a 2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a 2 =∣a∣ = a (a≥ 0)
-a (a＜0)
思 ( m 4 ) 考 2 4 m , 则 m 的 ： _ m取 若 4 _
b
3， x ＋1， 144 , (2x- 3)2, a
计算：
52 5
当a0时
a2 a
1 12 6 6
当a0时
a2 a
练习： 1 .计算 :
1. 0 .3 2
3 . 2
2 .
1
2
7
4 . 10 2
练习2:
1
1
2
2
2 1
2 x12 x 1 (x>0 )
3. 当 x 是怎样的实数时，2x+3+ 1 在实
x+1
数范围内有意义？ 2x＋3 ≥ 0
解：由题意，得 x＋1 ≠ 0
x≥
-
3 2
x ≠－1
在实所数以范当围内x ≥有意- 义32 且。x ≠－1 时，原式
4. 式子 (a-1)2=a-1成立的条件是
（D ）
A. a < 1
B. a ≠ 1
【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的运算》公开课课件.ppt
练习2
计算： ab ab2 a2b， 并求当 ab3时它的. 值
练习3
解下列方程和关于x的不等式:
(1) 6x 2 2 0 (2) 1 12a x 0
a
作业布置
习题16.3(3)
Ø 通过本节课的学习你有什么收获？ Ø学习本节课你有什么感受？请同学们畅所欲言.
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021 6:40:23 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/112021/1/112021/1/11Jan-2111-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/112021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/112021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021
学情分析：
学生是在已掌握化简二次根式的方法和二次根式除法法则, 二次根式的除法有两种算法,一是运用二次根式的除法法则, 二是进行分母有理化.实际上,二次根式的除法归根结底就是 分母有理化.学生在学习中不断体验提升.
观察: 比较下列两种做法,有何异同?
2a
3b
2a 3b
2a 3b
2a3b 6ab 3b3b 3b
。2021年1月11日星期一2021/1/112021/1/112021/1/11
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总结：被开方数不小于零．
比较辨别 探索性质
问题 请比较 a 和0 的大小． 分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a （a≥0）是一个非负数．
双重非负性
综合应用 深化提高
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
初步应用 巩固知识
练习1 指出下列哪些是二次根式哪些不是 ，并说明理由？
（1） 5 ； √
（2） - 3 ； × （3）3 2 1 ； × （4） x 2 + 1 ； √
（2）被开方数a=-3＜0 (3)二次根号根指数3≠2
（5） a-2（Biblioteka ≥ 2） ； √（6） a-b（a ＜b） ． × （6）被开方数a-b ＜0
问题： （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为___6_5__m．
（2）中得到的式子有什么意义？
问题： （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的
时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 t= h
范围是什么？ a 中的a≥0； a ≥ 0． 双重非负性
回顾总结 反思提升
我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行 运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
课后作业
作业：教科书第5页第1，3，5, 6题．
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
4
(4)x 2.
练习3 若 16-4n 是整数，则自然数n 的值为 __0_，__3_，__4___.
课堂小结
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？ 一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号． （2）二次根式与算术平方根有什么关系？
二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算 术平方根是二次根式． （3）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的
（1） - 1 6 ；
×
（2） a+10（ a ＞ 0） ； √
（3） a 2 + 1 ；
√
（4） -x（x ≤ 0）．
√
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
（1）
3- 4 x
；（2）
x
x -1
；
（3） - x 2 ； （4） x-2- 2-x ．
(1 ) x 3 ; (2)x0且x1; (3)x 0;
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
合作探究 形成知识
二次根式： 一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次 根式，“ ”称为二次根号．
二次根式
被开方数a≥0；
二次根号中根指数为2． （常省略不写）
___5 __．
（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得 到的结果分别是什么？ h 表示的数怎样变化？
5
合作探究
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 6 5 ， h ． 5
（1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？
分别表示3，S，65，h 的算术平方根． 5
∴ 当x≥-2时， x + 2 在实数范围内有意义．
初步应用 巩固知识
例2 当x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意 义？ x 3 呢？
解：（1）要使 x 2 在实数范围有意义
必须满足：x 2 0
∴x 为任何实数.
（2）x≥0
初步应用 巩固知识
例3 a 取何值时，下列根式有意义？
（1）
的传播半径之比是 2 R h 1 ．你能化简这个式子吗？
2 R h1
2 R h2
式子 2 R h 2 表示 什么？
公式中r= 2Rh中的 2 R h 表示什么意义？
思考？
问题： （1）面积为3 的正方形的边长为____3 ___，面积为
S 的正方形的边长为____S___．
（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什 么相同？
a + 1 ；（2）
1 1- 2a
；（3） （a-1）2 ．
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得
a＜
1 2
；
（3）由（ a -1）2 ≥0，得 a为任何实数．
初步应用 巩固知识
变式 a 取何值时，下列根式有意义？ （1） a2-2a+1 ；（2） -（a-1）2 ．
答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．
这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子）的算术平方 根．
合作探究 形成知识
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义． 把形如 3 ， S ，6 5 ， h 用来表示一个非负数的 5
算术平方根的式子，叫做二次根式． 二次根式意义？
形 如 a (a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
初步应用 巩固知识
练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？
（1）二次根式都是非负数的算术平方根； （2）任何非负数的算术平方根都是二次根式．
（3） a 中字母a可表示单项式或多项式.
初步应用 巩固知识
例1 当x 是怎样的实数时， x + 2 在实数范围内有 意义？
解：要使 x + 2 在实数范围有意义， 必须 x+2≥0， ∴ x≥-2．
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021 6:41:01 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/112021/1/112021/1/11Jan-2111-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/112021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/112021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021
八年级 下册
16.1 二次根式（1）
章头引言：问题情境
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从 而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位： km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间 存在近似关系 r= 2Rh，其中地球半径R≈6 400 km． 如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们
比较辨别 探索性质
问题 请比较 a 和0 的大小． 分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a （a≥0）是一个非负数．
双重非负性
综合应用 深化提高
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
初步应用 巩固知识
练习1 指出下列哪些是二次根式哪些不是 ，并说明理由？
（1） 5 ； √
（2） - 3 ； × （3）3 2 1 ； × （4） x 2 + 1 ； √
（2）被开方数a=-3＜0 (3)二次根号根指数3≠2
（5） a-2（Biblioteka ≥ 2） ； √（6） a-b（a ＜b） ． × （6）被开方数a-b ＜0
问题： （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为___6_5__m．
（2）中得到的式子有什么意义？
问题： （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的
时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 t= h
范围是什么？ a 中的a≥0； a ≥ 0． 双重非负性
回顾总结 反思提升
我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行 运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
课后作业
作业：教科书第5页第1，3，5, 6题．
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
4
(4)x 2.
练习3 若 16-4n 是整数，则自然数n 的值为 __0_，__3_，__4___.
课堂小结
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？ 一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号． （2）二次根式与算术平方根有什么关系？
二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算 术平方根是二次根式． （3）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的
（1） - 1 6 ；
×
（2） a+10（ a ＞ 0） ； √
（3） a 2 + 1 ；
√
（4） -x（x ≤ 0）．
√
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
（1）
3- 4 x
；（2）
x
x -1
；
（3） - x 2 ； （4） x-2- 2-x ．
(1 ) x 3 ; (2)x0且x1; (3)x 0;
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
合作探究 形成知识
二次根式： 一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次 根式，“ ”称为二次根号．
二次根式
被开方数a≥0；
二次根号中根指数为2． （常省略不写）
___5 __．
（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得 到的结果分别是什么？ h 表示的数怎样变化？
5
合作探究
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 6 5 ， h ． 5
（1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？
分别表示3，S，65，h 的算术平方根． 5
∴ 当x≥-2时， x + 2 在实数范围内有意义．
初步应用 巩固知识
例2 当x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意 义？ x 3 呢？
解：（1）要使 x 2 在实数范围有意义
必须满足：x 2 0
∴x 为任何实数.
（2）x≥0
初步应用 巩固知识
例3 a 取何值时，下列根式有意义？
（1）
的传播半径之比是 2 R h 1 ．你能化简这个式子吗？
2 R h1
2 R h2
式子 2 R h 2 表示 什么？
公式中r= 2Rh中的 2 R h 表示什么意义？
思考？
问题： （1）面积为3 的正方形的边长为____3 ___，面积为
S 的正方形的边长为____S___．
（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什 么相同？
a + 1 ；（2）
1 1- 2a
；（3） （a-1）2 ．
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得
a＜
1 2
；
（3）由（ a -1）2 ≥0，得 a为任何实数．
初步应用 巩固知识
变式 a 取何值时，下列根式有意义？ （1） a2-2a+1 ；（2） -（a-1）2 ．
答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．
这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子）的算术平方 根．
合作探究 形成知识
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义． 把形如 3 ， S ，6 5 ， h 用来表示一个非负数的 5
算术平方根的式子，叫做二次根式． 二次根式意义？
形 如 a (a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
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练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？
（1）二次根式都是非负数的算术平方根； （2）任何非负数的算术平方根都是二次根式．
（3） a 中字母a可表示单项式或多项式.
初步应用 巩固知识
例1 当x 是怎样的实数时， x + 2 在实数范围内有 意义？
解：要使 x + 2 在实数范围有意义， 必须 x+2≥0， ∴ x≥-2．
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021 6:41:01 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/112021/1/112021/1/11Jan-2111-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/112021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/112021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021
八年级 下册
16.1 二次根式（1）
章头引言：问题情境
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从 而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位： km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间 存在近似关系 r= 2Rh，其中地球半径R≈6 400 km． 如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们