《概率论与数理统计 经管类》第四版 (吴赣昌 著) 课后习题答案 中国人民大学出版社

P(B) 1− 0.93
4. 设 0 < P( A) < 1，证明事件 A 与 B 独立的充要条件是
P(B | A) = P(B | A)
证：
⇒ ：∵ A 与 B 独立，∴ A 与 B 也独立。
∴ P(B | A) = P(B), P(B | A) = P(B)
∴ P(B | A) = P(B | A)
a （1） P(AB) = P(B − AB) = P(B) − P(AB)
课 .h = P(B) − P(A)P(B | A) = 0.93 − (1− 0.92) ×0.85 = 0.862 w （2） P(BA) = P( A − AB) = P(A) − P(AB) = 0.92− 0.862 = 0.058 ww （3） P(A | B) = P(AB) = 0.058 =̇ 0.8286
ww 8.
设 P(A) =
1 3
，
P(B)
=
1 2
，试就以下三种情况分别求
P(BA
)
：
（1） AB = Φ ， （2） A ⊂ B ，
（3） P(AB) = 1 . 8
解：
（1） P(BA) = P(B − AB) = P(B) − P(AB) = 1 ； 2
（2）
P(BA )
=
P(B
−
A)
=
P( B)
n 9 9
网 c 11. 设一批产品共 100 件，其中 98 件正品，2 件次品，从中任意抽取 3 件（分三
案 . 种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3
p 次），试求：
答 sh （1） 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率；
后 k （2） 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。
解：
P(A) = P(B) = P(C) = 1×1×1 = 1 ； P(D) = P(E) = 2× 2 × 2 = 8 ；
3×3× 3 27
3×3× 3 27
P(F) = 1 + 1 + 1 = 1 ； P(G) = 3! = 2 ；
27 27 27 9
3× 3×3 9
P(H) = 1− P(F) = 1− 1 = 8 .
的概率为 0.85，求
案 . （1） 两种报警系统 I 和 II 都有效的概率；
p （2） 系统 II 失灵而系统 I 有效的概率；
答 h （3） 在系统 II 失灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。
s 解：令 A = “系统（Ⅰ）有效” ， B = “系统（Ⅱ）有效”
后 ck 则 P(A) = 0.92,P(B) = 0.93,P(B | A) = 0.85
c 解：
课 a 一次拿 3 件：
w.h （1）
P
=
C 928 C 12 C3
100
= 0.0588；
（2）
P
=
C12C928 + C22C918 C3
100
= 0.0594；
ww 每次拿一件，取后放回，拿 3 次：
（1）
P
=
2× 982 1003
×
3
=
0.0576；
（2）
P
=
1
−
983 1003
= 0.0588；
课后答案网（http://www.khdaw.com）2 习题 1.1 解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 A, B, C 分别表示“第一次出现正面”，“两
次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 A, B,C 中的样本
点。
解： Ω = { (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反） }
解：
令 Ai = “取到的是 i 等品”， i = 1,2,3
P( A1
A3 )
=
P(A1 A3 ) P(A3 )
=
P( A1 ) P( A3 )
=
0.6 0.9
=
2 3
。
2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件产品中有 1 件不
合格品，求另一件也是不合格品的概率。
4 ∴ P(AB) = P(A)P(B) = [1− P(A)]P(B) = 1
4 P(AB) = P(A)P(B) = P( A)[1− P(B)] = 1
4 ∴ P(A) = P(B), P( A) − P2 (A) = 1
4
n 即 P(A) = P(B) = 1 。 网 2
.c 6. 证明 若 P(A) >0， P(B) >0，则有 案 p （1） 当 A与 B 独立时， A与 B 相容； 答 h （2） 当 A与 B 不相容时， A与 B 不独立。 ks 证明： P(A) > 0, P(B) > 0 后 c （1）因为 A与 B 独立，所以 a P(AB) = P(A)P(B) > 0， A 与 B 相容。 课 h （2）因为 P(AB) = 0，而 P(A)P(B) > 0 ， . ∴ P(AB) ≠ P( A)P(B)， A与 B 不独立。 w 7. 已知事件 A, B, C 相互独立，求证 A∪ B 与 C 也独立。 ww 证明：因为 A、 B、C 相互独立，
( ) 解： P(ABC ) = P A + B + C = 1− P( A + B + C)
=1 − [P( A) + P( B ) + P(C) − P( AB) − P( AC) − P(BC ) + P( ABC )]
=
1
−
⎡ ⎢⎣
1 4
+
1 4
+
1 4
−
0
−
1 16
−
1 16
+
0⎥⎦⎤
=
3 8
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解：
P( A1 )
=
C83 C130
= 7； 15
P(A2 ) =
2C93 − C83 C130
=
14 15
或
P(
A2
)
=
1
−
C81 C130
= 14 15
13. 从 0,1,2,⋯ ,9 中任意选出 4 个不同的数字，计算它们能组成一个 4 位偶数的概
⇐： ∵0 < P( A) < 1 ∴0 < P(A) < 1
又∵ P(B | A) = P( AB) , P(B | A) = P( AB)
P( A)
P(A)
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而由题设 P(B | A) = P(B | A)∴ P(AB) = P(AB) P(A) P(A)
每次拿一件，取后不放回，拿 3 次：
（1） P = 2 × 98× 97 × 3 = 0.0588； 100× 99×98
（2） P = 1− 98× 97×96 = 0.0594 100× 99×98
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12. 从 0,1,2,⋯,9 中任意选出 3 个不同的数字，试求下列事件的概率：
A1 = {三个数字中不含0与5}， A2 = {三个数字中不含0或5}。
−
P( A)
=
1
；
6
（3） P(BA) = P(B − AB) = P(B) − P(AB) = 1 − 1 = 3 。 28 8
9. 已知 P(A) = P(B) = P(C) = 1 ， P( AC) = P(BC) = 1 ， P(AB) = 0求事件
4
16
A, B, C 全不发生的概率。
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解：
令 A = “两件中至少有一件不合格”， B = “两件都不合格”
C42
P(B |
A) =
P( AB) P( A)
= P(B) 1− P(A)
=
1
−
C120 C62
C120
=1 5
n 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使用
网 c 时，系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，系统 II 仍有效
C123C139
C532
=̇
0.602或 P
=
1
−
C43
C113C113C113 C532
=̇
0.602
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习题 1.2 解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%、10%，从中任取一件，结果 不是三等品，求取到的是一等品的概率。
（5） A + B + C ；
（6） ABC ； （7） ABC + ABC + ABC + ABC 或 AB + AC + BC
（8） ABC ； （9） A + B + C
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 A1 , A2 , A3 分别表示甲、乙、丙射中。试说
明下列事件所表示的结果： A2 , A2 + A3 , A1 A2 , A1 + A2 , A1 A2 A3 ,
A1 A2 + A2 A3 + A1 A3 .
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一
人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人
击中。
5. 设事件 A, B, C 满足 ABC ≠ Φ ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： A + B + C ， AB + C ， B − AC .
网 AC = Φ ； BC = {(1,1),(2,2)}；
A − B − C − D = {(1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4)}
案 3. 以 A, B, C 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 A,B,C表示以下
率。
解：
P
=
5P93 − 4P82 P140
= 41 90
14. 一个宿舍中住有 6 位同学，计算下列事件的概率：
（1）6 人中至少有 1 人生日在 10 月份；
（2）6 人中恰有 4 人生日在 10 月份；
（3）6 人中恰有 4 人生日在同一月份；
解：
网 .cn （1）
P
=
1
−
116 126
=̇ 0.41；
解： Ω = {(1,1), (1,2),⋯, (1,6), (2,1), (2,2),⋯, (2,6),⋯, (6,1), (6,2),⋯, (6,6)}；
AB = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1)}；
A + B = {(1,1),(1,3),(1,5),⋯, (6,2), (6,4), (6,6),(1,2),(2,1)}；
A = { (正，正)，（正，反） }； B = { （正，正），（反，反） }
C = { (正，正)，（正，反），（反，正） }
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 A, B,C, D 分别表示“点数之和为偶数”，“点数
之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及事
件 AB, A + B, AC , BC , A − B − C − D 中的样本点。
事件：
（1）只订阅日报； （3）只订一种报；
答（2）只订日报和晚报；
（4）正好订两种报；
（5）至少订阅一种报； （7）至多订阅一种报；
后（6）不订阅任何报； （8）三种报纸都订阅；
课 （9）三种报纸不全订阅。
解：（1） AB C ； （2） ABC ；
（3） ABC + ABC + ABC ；
（4） ABC + ABC + ABC ;
案 . = BA + ABC
hp = BC + ABC
答 s 6. 若事件 A, B, C 满足 A + C = B + C ，试问 A = B 是否成立？举例说明。 后 k 解：不一定成立。例如： A = {3,4,5}， B = {3}， C = {4,5}， ac 那么， A + C = B + C，但 A ≠ B 。 课 h 7. 对于事件 A, B, C ，试问 A − (B − C) = (A − B) + C 是否成立？举例说明。 . 解：不一定成立。 例如： A = {3,4,5}， B = {4,5,6}， C = {6,7}， w 那么 A − ( B − C) = {3}，但是 ( A − B ) + C = {3,6,7}。
即[1 − P(A)]P( AB) = P(A)[P(B) − P( AB)] ∴ P(AB) = P( A)P(B) ，故 A与 B 独立。 5. 设事件 A 与 B 相互独立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都 是 1 ，求 P(A) 和 P(B). 4 解：∵ P(AB) = P(AB) = 1 ，又∵ A与 B 独立
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车
经过三个路口，试求下列事件的概率： A = “三个都是红灯”=“全红”； B = “全
绿”； C = “全黄”； D = “无红”； E = “无绿”； F = “三次颜色相同”；
G = “颜色全不相同”； H = “颜色不全相同”。
（2）
P
=
C64 ×112 126
=̇ 0.00061；
答案 hp （3）
P
=
C112 C 64 112 126
=̇ 0.0073
s 15. 从一副扑克牌（52 张）任取 3 张（不重复），计算取出的 3 张牌中至少有 2
后 ck 张花色相同的概率。
a 解：
课www.h P
=
C41C133
+
C
1 4
解：如图：
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A
C
ABC
AB C
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
B
Ω
A + B + C = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC;
n AB + C = ABC + C;
网 c B − AC = ABC + ABC + ABC