点电荷周围的电势计算
点电荷周围的电势计算
点电荷周围电势分布的计算无锡市第一中学 高帆 指导教师 沈志斌电势是标量，空间某点的电势是各部分电荷在该点的电势的代数和。
有这样一个容易解错的竞赛考题，涉及点电荷周围的电势计算，笔者分析如下。
一个点电荷+q 位于内半径为a ，外半径为b 的导电球壳的球心上，如图所示，求任意一点的电场强度E 和电势U 。
解：在球壳内表面产生感应电荷-q ，由于球壳原先不带电，所以球壳外表面相应地产生电荷+q 。
（1）电场强度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<<≥=)0()(0)(22a r rq k b r a b r r q k E （2）电势假设有一个很薄的导体球壳，半径为R ，带电量q ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=)()(R r rq k R r R q k U 在该题中，可以将厚球壳划分为两个独立的部分，再加上中心电荷，共三个互不干涉的部分：I. 半径为b ，均匀带电+q 的薄球壳II. 半径为a ，均匀带电-q 的薄球壳III. 中心点电荷+q 。
那么，任意一点的电势就是这三部分各自产生电势的标量叠加。
① 当r ≥b 时，rq k r q k r q kU +-+=； ② 当a ≤r ＜b 时，bq k r q k r q k U +-+=； ③ 当0＜r ＜a 时，b q k a q k r q k U +-+=即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+-<≤≥=)0)(111()()(a r b a r kq b r a bq k b r r q k U右边就是它的r-U 图像。
我们看到，它是一条完整的曲线。
还可以用做功来解。
这里的电场满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<<≥=)0()(0)(22a r rq k b r a b r r q k E所以① 距中心r(r ≥b)处的电势：将带电量q ’的粒子从距中心r(r ≥b)处移动到无穷远处需做功r q k q W U r qq k r qq k dr r qq k W b r b ===-=⋅=∞-∞∞-⎰''0''2② 距中心r(a ≤r<b)处的电势：因为a~b 之间均等势， 所以bq k U U b == ③ 距中心r(0<r<a)处的电势：将带电量q ’的粒子从距中心r(0<r<a)处移动到无穷远处需做功∞---++=b b a a r W W W W ，因为a~b 之间均等势，将这个带电粒子从a 移动到b 不需做功，所以)111(')111(')0'(0)''('0'000220b a r kq q W U ba r kqq Wb qq k a qq k r qq k W dr rqq k dr r qq k W a a a b ar a +-==+-=-++-=⋅++⋅=---∞-⎰⎰综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+-<≤≥=)0)(111()()(a r b a r kq b r a bq k b r r q k U。
电势和电场强度的计算
电势为零时， 电场强度也不
一定为零
电势的计算实例
计算方法：利用电 势的定义式和电场 强度的关系式进行 计算
实例1：点电荷电 场的电势计算
实例2：匀强电场 的电势计算
实例3：电势与电 场强度的关系
Part Two
电场强度的计算
定义和单位
电场强度是描述电场中电场力性质的物理量，表示电场中单位点电荷所受的力。 电场强度的单位是牛/库或牛/米，符号为N/C或N/m。 在国际单位制中，电场强度的单位是伏/米或伏/米^2，符号为V/m或V/m^2。 电场强度是矢量，具有方向性，其方向与正电荷所受的电场力方向相同。
在非匀强电场中，电场强度与电势的 关系较为复杂，一般需要通过积分来 求解。
在静电场中，电场强度与电势的关系 可以通过高斯定理和环路定理来推导。
电场强度的计算实例
计算点电荷产生的电场强度 计算匀强电场中的电场强度 计算带电平行板间的电场强度 计算带电圆环产生的电场强度
Part Three
电势和电场强度的 关系
单位：在国际单位制中，电势的单位是伏 特（V），简称伏。
计算公式
电势的定义式：φ=E/q 电势的计算公式：φ=kQ/r 电势的计算公式：φ=∫E·dl 电势的计算公式：φ=Uab
电势与电场强度的关系
电势与电场强 度是描述电场 性质的两个重
要物理量
电场强度越大， 电势越高
电场强度为零 时，电势不一
计算公式
电场强度E的定义式：E=F/q 点电荷场强公式：E=KQ/r² 匀强电场场强公式：E=U/d 平行板电容器间的场强公式：E=U/s
电场强度与电势的关系
电场强度是描述电场中力的性质的物 理量，而电势是描述电场中能的性质 的物理量。
电势11.3--电势叠加原理
一、 点电荷系的电势
q1
r1
E2
v v
p
E dl
p
q2
r2 P E1
q1 dr
r1 40r12
q2
r2 40r22
dr
q1
4 0 r1
q2
4 0 r2
n
对n 个点电荷
qi
i1 4 0ri
注意：电势零点P0 必须是共同的。
电势的零点的；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，不 宜把电势的零点选在无穷远点，否则将导致场中任一点的电势 值为无限大。这时只能根据具体问题，在场中选择某点为电势 的零点。
（1）电势叠加法 例题1（课本P37）：电荷q均
匀分布在半径为 R 的细圆环上， 求圆环轴线上距环心x处的点P的 电势。
解：在圆环上取任意电荷
即点电荷系电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该 点的电势的叠加（代数和）。这个结论叫做静电场的电势叠加原 理。
2．连续型——连续分布电荷电场中的电势
若场源为电荷连续分布的带电体，可
以把它分成无穷多个电荷元 dq ，每个电荷
元都可以看成点电荷，在场点产生的电势
为
dV dq
4 0 r
该点电势为这些元电荷的叠加：
uur r R Ew dl 0
R
q 40r
2
dr
q 40
R
球面内各点电势相等，均等于球面上各点电势。
V-r曲线如图，可见在r=R的球壳处，电势是连续的，而 前面我们知道，带电球壳在r=R处的场强是跃变的。其次， 我们发现可见场强为零处，电势不一定为零。
例题3（课本P41）求无限长均匀带 电直导线外任一点 P 处的电势，已 知线电荷密度为λ。
电学电荷电势计算公式
电学电荷电势计算公式电学电荷电势计算公式是描述电荷间相互作用的数学表达式，它是电学领域中非常重要的一个公式。
在物理学和工程学中，我们经常会用到这个公式来计算电荷之间的电势能。
本文将介绍电学电荷电势计算公式的推导和应用，希望能够帮助读者更好地理解这个公式。
电学电荷电势计算公式的推导。
首先，我们来看一下电荷之间的相互作用。
根据库仑定律，两个电荷之间的相互作用力与它们之间的距离的平方成反比。
具体来说，如果两个电荷的大小分别为q1和q2，它们之间的距离为r，那么它们之间的相互作用力F可以用以下公式表示：F = k (q1 q2) / r^2。
其中，k是库仑常数，其数值为8.9875×10^9 N·m^2/C^2。
这个公式描述了两个电荷之间的相互作用力与它们之间的距离的关系。
接下来，我们来看一下电势能的概念。
在电学中，电荷具有电势能，它是由于电荷所受的相互作用力而具有的能量。
如果一个电荷q1在另一个电荷q2的作用下从无穷远处移动到距离为r的地方，那么它所具有的电势能U可以用以下公式表示：U = k (q1 q2) / r。
这个公式描述了电荷之间的电势能与它们之间的距离的关系。
可以看出，电势能与相互作用力之间存在一定的关系。
最后，我们来看一下电势的概念。
电势是描述电场中某一点的电势能与单位正电荷之间的关系。
如果在电场中某一点的电势为V，那么单位正电荷在这一点所具有的电势能可以用以下公式表示：U = q V。
其中，q是单位正电荷的大小。
这个公式描述了电势能与电势之间的关系。
综合以上三个公式，我们可以得到电学电荷电势计算公式：V = k q / r。
这个公式描述了电荷在电场中某一点的电势与它所受的相互作用力、电势能之间的关系。
通过这个公式，我们可以计算出电场中任意一点的电势，从而更好地理解电场的分布和电荷的相互作用。
电学电荷电势计算公式的应用。
电学电荷电势计算公式在物理学和工程学中有着广泛的应用。
[指南]电势计算方法
![[指南]电势计算方法](https://img.taocdn.com/s3/m/55d70cfe6394dd88d0d233d4b14e852458fb3948.png)
6.4.5电势的计算方法一般说来，计算电势的方法有两种。
第一种方法是由电势的定义式通过场强的线积分来计算；另一种方法是下面马上就要介绍的电势叠加原理。
对不同的带电体系，本质上讲上述两种方法都能够计算出电势，但是选择不同的方法计算的难易程度是大不相同的。
通过后面内容的学习，大家要注意对不同的带电体系选择不同的计算方法。
下面我们介绍电势迭加原理。
1、点电荷电场的电势如右图所示，一个点电荷q处于O点处。
在q所产生的电场中，距离O点为r处P点的电势，可以根据电势的定义式计算得到。
选无穷远处作为电势零点，积分路径沿O P方向由P点延伸到无穷远。
由于积分方向选取得与场强点电荷的电势的方向相同，P点电势可以很容易地计算出来此式给出点电荷电场中任意一点的电势大小，称作点电荷电势公式。
公式中视q的正负，电势V可正可负。
在正点电荷的电场中，各点电势均为正值，离电荷越远的点，电势越低，与r成反比。
在负点电荷的电场中，各点的电势均为负，离电荷越远的点，电势越高，无穷远处电势为零。
容易看出，在以点电荷为心的任意球面上电势都是相等的，这些球面都是等势面。
2、电势的叠加原理在前面的知识点中，大家学习了场强叠加原理。
该原理告诉我们，任意一个静电场都可以看成是多个或无限多个点电荷电场的叠加，即有其中E表示总电场，E1，E2，…为单个点电荷产生的电场。
根据电势的定义式，并应用场强叠加原理，电场中a点的电势可表示为上式最后面一个等号右侧被求和的每一个积分分别为各个点电荷单独存时在a点的电势。
即有式中V a i是第i个点电荷单独存在时在a点产生的电势。
显然，如果我们将带电体系分成若干部分（不一定是点电荷），上述结论仍然是正确的。
即，任意一个电荷体系的电场中任意一点的电势，等于带电体系各部分单独存在时在该点产生电势的代数和。
这个结论叫做电势叠加原理。
若一个电荷体系是由点电荷组成的，则每个点电荷的电势可以按上式进行计算，而总的电势可由电势叠加原理得到，即式中r i是从点电荷q i到a点的距离。
点电荷激发电场电势公式
点电荷激发电场电势公式我们来了解一下点电荷。
点电荷是理想化的电荷模型，它在物理空间中没有大小和形状，只有电荷量。
点电荷假设在空间中只有一个电荷，没有其他电荷存在。
点电荷的电场是通过电场力线描述的，它们从正电荷指向负电荷，电场的强度与电荷量成正比。
在电场中，电荷所受的作用力与电场电势有关。
电场电势是描述电场中任意一点的电势能的物理量，它是通过电势差来定义的。
在电场中，从一个点到另一个点的电势差等于单位正电荷所具有的电势能。
电势差可以用数学公式表示为：V = k * (Q / r)其中，V表示电势差，k表示库仑常数，Q表示电荷量，r表示距离。
该公式表明，电场电势与点电荷的电荷量成正比，与距离的平方成反比。
电势差的单位是伏特（V），这是一个国际标准单位。
通过这个公式，我们可以计算出点电荷激发的电场电势。
点电荷激发的电场电势具有以下特点：1. 电势随距离的增大而减小。
由于电势与距离的平方成反比，所以距离越远，电势越小。
2. 电势与电荷量成正比。
电势与电荷量成正比，电荷量越大，电势越大。
3. 电势具有叠加性。
当有多个点电荷存在时，各个电荷激发的电场电势可以叠加。
4. 电场电势是标量。
电场电势是一个标量量，它只有大小，没有方向。
通过点电荷激发电场电势公式，我们可以计算出电场中任意一点的电势。
这对于研究电场中的电荷分布、电势能的分布以及电荷之间的相互作用具有重要意义。
在工程和科学研究中，我们经常需要计算电场中的电势，以便更好地理解和应用电场的性质。
总结起来，点电荷激发的电场电势公式为V = k * (Q / r)，其中V表示电势差，k表示库仑常数，Q表示电荷量，r表示距离。
通过这个公式，我们可以计算出电场中任意一点的电势。
电场电势是描述电场中电势能的标量物理量，它与电荷量成正比，与距离的平方成反比。
点电荷激发的电场电势具有一些特点，如随距离的增大而减小、与电荷量成正比、具有叠加性和是一个标量等。
电场电势的研究对于理解电场的性质和应用具有重要意义。
电场中的电势能与电荷分布计算
电场中的电势能与电荷分布计算引言：在物理学中，电场是一个非常重要的概念。
电场是由电荷产生的物理场，它对周围的电荷有相互作用的作用力。
电势能是电场中的一种形式，它描述了在电场中带电粒子所具有的能量。
在本文中，将讨论如何计算电场中的电势能与电荷分布。
一、电场中的电势能电势能是指在电场中一个带电粒子所具有的能量。
在电场中，带电粒子会受到电场力的作用，从而具有电势能。
电势能可以通过下式计算：Ep = q * V其中，Ep表示电势能，q表示带电粒子的电荷，V表示电势差。
电势差可以简单地理解为电场中的电势单位差异。
在标准单位下，电势差的单位为伏特（V），电荷的单位为库仑（C）。
二、电势能的计算方法要计算电势能，首先需要知道电场中的电势差。
电势差可以通过以下公式计算：V = -∫ E · dr其中，E表示电场的强度，r表示带电粒子运动轨迹上的位置。
这个积分表示了在粒子轨迹上所有位置的电场强度分量与轨迹长度的乘积之和。
积分路径通常由带电粒子的位置和电场的性质来确定。
三、电势能与电荷分布的关系在电势能的计算中，电荷分布是一个重要的因素。
电荷分布描述了在电场中的电荷在空间中的分布情况。
电荷分布可以是均匀的，也可以是非均匀的。
对于均匀电荷分布，计算电势能较为简单；对于非均匀电荷分布，需要使用积分来计算电势能。
对于均匀电荷分布，计算电势能的公式可以简化为：Ep = (1/2) * k * q * V其中，k表示电场常量，q表示电荷，V表示电势差。
对于非均匀电荷分布，计算电势能的方法要复杂一些。
需要根据具体的电荷分布情况，使用积分来计算电势能。
具体的计算方法可以根据问题的具体要求来确定。
四、计算实例接下来以两种简单情况为例，分别说明电势能的计算方法。
1. 计算点电荷的电势能：假设有一个点电荷q1=2C位于原点O，带电粒子q2=2C位于点P(2, 0, 0)处，求q2在电势能。
首先，需要计算电势差V。
由于这是一个点电荷，可以使用库仑定律：E = k * q1 / r^2其中，k表示电场常量，q1表示点电荷，r表示点P到点电荷的距离。
静电场的能量与电势能的计算
静电场的能量与电势能的计算引言：静电场是指电荷静止不动时所形成的电场。
在静电场中，电荷之间的相互作用是通过电势能来实现的。
本文将介绍静电场中能量的计算方法以及电势能与电量、距离之间的关系。
一、电场的能量计算公式在静电场中，电场的能量可以通过以下公式进行计算：E = (1/2) * ε * ∫E^2 dV其中，E表示电场的能量，ε为真空介电常数，E为电场的强度。
二、电势能的计算方法电势能是指电荷由于置于电场中而具有的能量。
对于单个点电荷q1和q2之间的电势能，可以使用以下公式进行计算：U = k * (q1 * q2) / r其中，k为库仑常数，q1和q2分别为电荷的大小，r为两电荷之间的距离。
三、电势能与电量和距离的关系1. 电势能与电量的关系对于一个点电荷q在电场E中的电势能U，可以使用以下公式进行计算：其中，V为电势差，也即电场中单位正电荷所具有的电势能。
2. 电势能与距离的关系电势能与距离之间满足一个倒数关系。
具体而言，当距离r增大时，电势能U减小；当距离r减小时，电势能U增大。
这一关系可以通过电势能的计算公式中的分母r来理解。
四、实例分析假设有两个点电荷q1和q2，它们的电量分别为3C和5C，两电荷之间的距离为2m。
现要计算它们在电场中的电势能。
根据电势能的计算公式：U = k * (q1 * q2) / r代入已知数值：U = 9 * 10^9 * (3 * 5) / 2U = 67.5 * 10^9 J因此，两个点电荷在电场中的电势能为67.5 * 10^9焦耳。
结论：本文介绍了静电场中能量的计算方法，以及电势能与电量、距离之间的关系。
通过学习和理解这些知识，我们可以更好地理解静电场的特性和现象，并应用于实际问题的计算和分析中。
[1] Griffiths, D. J. (2013). Introduction to electrodynamics. Cambridge University Press.[2] Purcell, E. M., & Morin, D. J. (2013). Electricity and magnetism. Cambridge University Press.。
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点电荷周围电势分布的计算
无锡市第一中学 高帆 指导教师 沈志斌
电势是标量，空间某点的电势是各部分电荷在该点的电势的代数和。
有这样一个容易解错的竞赛考题，涉及点电荷周围的电势计算，笔者分析如下。
一个点电荷+q 位于内半径为a ，外半径为b 的导电球壳的球心上，如图所示，求任意一点的电场强度E 和电势U 。
解：在球壳内表面产生感应电荷-q ，由于球壳原先不带
电，所以球壳外表面相应地产生电荷+q 。
（1）电场强度
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<<≥=)0()(0)(22a r r q k b r a b r r q k E （2）电势
假设有一个很薄的导体球壳，半径为R ，带电量q ，则有：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=)()(R r r
q k R r R q k U 在该题中，可以将厚球壳划分为两个独立的部分，再加上中心电荷，共三个互不干涉的部分：
I. 半径为b ，均匀带电+q 的薄球壳
II. 半径为a ，均匀带电-q 的薄球壳
III. 中心点电荷+q 。
那么，任意一点的电势就是这三部分各自产生电势的标量
叠加。
① 当r ≥b 时，r
q k r q k r q k
U +-+=； ② 当a ≤r ＜b 时，b
q k r q k r q k U +-+=； ③ 当0＜r ＜a 时，b q k a q k r q k U +-+=
即 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<+-<≤≥=)0)(111()()
(a r b a r kq b r a b
q k b r r q k U
右边就是它的r-U 图像。
我们看到，它是一条完整的曲线。
还可以用做功来解。
这里的电场满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<<≥=)0()(0)
(22a r r
q k b r a b r r q k E
所以
① 距中心r(r ≥b)处的电势：
将带电量q ’的粒子从距中心r(r ≥b)处移动到无穷远处需做功
r q k q W U r qq k r qq k dr r qq k W b r b ===-=⋅=∞-∞
∞-⎰''0''2
② 距中心r(a ≤r<b)处的电势：
因为a~b 之间均等势， 所以b
q k U U b == ③ 距中心r(0<r<a)处的电势：
将带电量q ’的粒子从距中心r(0<r<a)处移动到无穷远处需做功
∞---++=b b a a r W W W W ，
因为a~b 之间均等势，将这个带电粒子从a 移动到b 不需做功，所以
)111(')111(')0'(0)''('0'000220b a r kq q W U b
a r kqq W
b qq k a qq k r qq k W dr r
qq k dr r qq k W a a a b a
r a +-==+-=-++-=⋅++⋅=---∞-⎰⎰ 综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+-<≤≥=)0)(111()()
(a r b a r kq b r a b
q k b r r q k U。