一元二次方程根的判别式根与系数之间的关系练习题
专题02 根的判别式与根与系数的关系(30题)(原卷版)
专题第2讲根的判别式与根与系数的关系（30题）1．（2023•南岗区校级开学）关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣3＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况2．（2023•朝阳）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠1B．k＞C．k≥且k≠1D．k≥3．（2023春•永兴县校级期末）已知关于x的方程（k﹣1）x2有两个实数解，求k的取值范围（）A．k≤B．k≤且k≠1C．0≤k≤D．0≤且k≠14．（2022秋•信都区校级期末）关于x的一元二次方程4x2+（4m+1）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（）A．1B．0C．﹣1D．﹣25．（2023春•承德县月考）已知关于x的方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）的一个解为x＝﹣3，则关于x的方程2mx2+nx+2＝0（m≠0）根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个实数根C．有两个不相等的实数根D．不确定6．（2023•广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（）A．﹣1B．1C．﹣1﹣2k D．2k﹣37．（2023•雁塔区校级开学）已知m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则＝．8．（2023春•巴东县期中）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则（a+2）2+b 的值为（）A．B．5C．2D．﹣29．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（）A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣604010．（2022秋•迁安市期末）关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（）A．3B．﹣3C．D．11．（2023•丹徒区二模）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（）A．4B．5C．6D．1212．（2023•东胜区模拟）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则的值为（）A．﹣10B．﹣7C．﹣5D．313．（2023•崇川区校级开学）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣2＝0．（1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求2m2+12m+2053的值．14．（2023•海淀区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x＝1是该方程的根，求代数式（m﹣2）2+3的值．15．（2023•南岗区校级开学）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2；则x1+x2＝﹣，x1•x2＝；材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n；∴m+n＝1，mn＝﹣1；则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1•x2＝；（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求+的值．16．（2023•晋江市校级开学）已知a，b是方程x2+3x﹣2＝0的两个不相等的实根，求下列各式的值：①a2+b2；②；③a3+3a2+2b．17．（2022秋•玉泉区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝1时，方程的根为x1，x2，求代数式的值．18．（2023春•招远市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m＝3的两个实数根为x1，x2，且x1＞x2．（1）求m的取值范围；（2）若m取负整数，求x1﹣3x2的值；（3）若该方程的两个实数根的平方和为18，求m的值．19．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．20．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值．21．（2022秋•惠安县期末）关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0．（1）不解方程，判断该方程的根的情况；（2）设x1，x2是方程的两根，其中有一根不大于0，若y＝x1•x2﹣m+2，求y的最大值．22．（2023春•镇海区期末）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“蛟龙”方程．（1）当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．（2）若“蛟龙”方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根，请解出此方程．23．（2023•汝南县一模）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，；材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝；（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值；（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．24．（2023春•文登区期中）已知x1，x2是方程的两个根．求：（1）；（2）．25．（2023•枣阳市二模）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x1•x2﹣x1﹣x2＝0时，求m的值．26．（2023春•绍兴期中）已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（3k+1）x+2k＝0．（1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．27．（2023春•青冈县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．28．（2022秋•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．29．（2023春•肇源县月考）已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）若两个实数根分别是x1，x2，且（x1x2﹣1）2+2（x1+x2）＝0，求m的值．30．（2023春•萧山区月考）已知关于x的方程（m2﹣4m+5）x2﹣4x+n＝0．（1）圆圆说：该方程一定为一元二次方程．圆圆的结论正确吗？请说明理由．（2）当m＝2时；①若该方程有实数解，求n的取值范围；②若该方程的两个实数解分别为x1和x2，满足，求n的值．。
判别式及根与系数关系练习题
一元二次方程根的判别式1.如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是2.已知一元二次方程x2－6x+5－k=0的根的判别式∆=4，则这个方程的根为。
3.若关于x的方程x2－2(k+1)x+k2－1=0有实数根，则k的取值范围是()A.k≥－1B.k＞－1C.k≤－1D.k＜-14.不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：(k2+1)x2－2kx+(k2+4)=05.已知：a>0,b>a+c,判断关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况。
6.m为何值时，方程2(m+1)x2+4mx+2m－1=0。
(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个实数根；(3)有两个相等的实数根；(4)无实数根。
7.已知关于x的一元二次方程)0(05622≠=+-pqpxx(p≠0)有两个相等的实数根，试证明关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根。
根与系数的关系1.方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m =，n =.2.若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为.3.以23+和23-为根的一元二次方程是.4.若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是.5.若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k =，若两根互为倒数，则k =.6.下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A）0322=-+x x （B）0322=+-x x （C）0322=--x x （D）0322=++x x 7.若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（）(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或28.已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x +=；（2）2111x x +=；（3）=-221)(x x ；（4）)1)(1(21++x x =.（5）那么=++1221221x x x x （）9.关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m 的值.10.已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.11.若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9.求m 的值.12.已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.13.已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.14.关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.15.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1)是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．。
根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系习题主编：闫老师准备知识回顾：1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x ; 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1） 当0>∆时,方程有两个不相等的实数根;（2） 当0=∆时,方程有两个相等的实数根;（3） 当0<∆时,方程没有实数根;反之：方程有两个不相等的实数根,则 ；方程有两个相等的实数根,则 ；方程没有实数根,则 ;韦达定理相关知识1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和,那么=+21x x ,=•21x x ;我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理;2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和,则=+21x x ,=•21x x ;3、以21x x 和为根的一元二次方程二次项系数为1是0)(21212=•++-x x x x x x4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,有一根为0,则=c ；有一根为1,则=++c b a ；有一根为1-,则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数,则=b ;5、二次三项式的因式分解公式法在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时,如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解.基础运用例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1,则另一个根是 ,=k ;解：变式训练：1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分别是多少2、方程062=--kx x 的两个根都是整数,则k 的值是多少例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值：12221x x + 2)1)(1(21++x x 32111x x + 4221)(x x - 变式训练：1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根,求满足下列条件的k 值：1有两个实数根; 2有两个正实数根; 3有一个正数根和一个负数根; 4两个根都小于2;2、已知关于x 的方程022=+-a ax x ;1求证：方程必有两个不相等的实数根;2a 取何值时,方程有两个正根;3a 取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大;4a 取何值时,方程到少有一根为零选用例题：例3：已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1：2,判别式的值为1,则ba 与是多少例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根,并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求m 的值;例5、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同,求m 的值;基础训练：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中,如果0<a ,那么根的情况是A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根,则2221x x +的值是A15 B12 C6 D33．下列方程中,有两个相等的实数根的是（A ） 2y 2+5=6yBx 2+5=2错误!xC 错误!x 2－错误!x+2=0D3x 2－2错误!x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（A ） y 2+5y －6=0 By 2+5y ＋6=0 Cy 2－5y ＋6=0 Dy 2－5y －6=05．如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12－2x 1＝1,x 22－2x 2＝1,那么x 1·x 2等于A2 B －2 C1 D －16.关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 不能确定7.设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是A15 B12 C6 D38．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根,那么k ＝9．如果关于x的方程2x2－4k+1x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是10．已知x1,x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根,则x1＋x2＝ ,x1·x2＝ ,x1－x22＝11．若关于x的方程m2－2x2－m－2x＋1＝0的两个根互为倒数,则m＝ .二、能力训练：1、不解方程,判别下列方程根的情况：1x2－x=5 29x2－6错误!+2=0 3x2－x+2=02、当m= 时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x的方程10x2－m+3x+m－7=0,若有一个根为0,则m= , 这时方程的另一个根是；若两根之和为－错误!,则m= ,这时方程的两个根为 .4、已知3－错误!是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值;5、求证：方程m2+1x2－2mx+m2+4=0没有实数根;6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－错误!和1+错误!;7、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值：1 x1+1x2+1 2错误!+ 错误!3x12+ x1x2+2 x18、如果x2－2m+1x+m2+5是一个完全平方式,则m= ;9、方程2xmx－4=x2－6没有实数根,则最小的整数m= ;10、已知方程2x－1x－3m=xm－4两根的和与两根的积相等,则m= ;11、设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为 ;12、设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程,求下列各式的值:1 x12+x22 2x1－x2321xx 4x1x22＋错误!x113、实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式错误!的值;14、已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1－错误!a 2x 2－a 2－1=0有无实根15、求证：不论k 为何实数,关于x 的式子x －1x －2－k 2都可以分解成两个一次因式的积;16、实数K 在什么范围取值时,方程0)1()1(22=---+k x k kx 有实数正根训练一1、不解方程,请判别下列方程根的情况；12t 2+3t －4=0, ; 216x 2+9=24x, ;35u 2+1－7u=0, ;2、若方程x 2－2m －1x+m 2+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ;3、一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+错误!和2－错误!,则p= ,q= ;4、已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 ,m= ;5、若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数,那么m 的值是 ;6、m,n 是关于x 的方程x 2-2m-1x+m 2+1=0的两个实数根,则代数式 m n = ;7、已知关于x 的方程x 2－k+1x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k 的值;8、如果α和β是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一 元二次方程,使它的两个根分别等于α+错误!和β+错误!;9、已知a,b,c 是三角形的三边长,且方程a 2+b 2+c 2x 2+2a+b+cx+3=0有两个相 等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x 2－4k+1x+2k 2－1可因式分解.11.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋23－ｍｘ＋1＝0的两实数根为α,β,若ｓ＝错误!＋错误!,求ｓ的取值范围;训练二1、已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2、如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,则m 的值为 ;3、已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为2错误!,则k= ;4、若方程x 2+a 2－2x －3=0的两根是1和－3,则a= ;5、方程4x 2－2a-bx －ab=0的根的判别式的值是 ;6、若关于x 的方程x 2+2m －1x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;7、已知p<0,q<0,则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;8、以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：1x 12x 2+x 1x 22 2 错误!－错误!10．m 取什么值时,方程2x 2－4m+1x+2m 2－1=0（1）有两个不相等的实数根,2有两个相等的实数根,3没有实数根；11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值;12．是否存在实数k ,使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21,x x ,满足21x x ＝错误!,如果存在,试求出所有满足条件的k 的值,如果不存在,请说明理由; 一元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、如果方程ax 2+bx+c=0a ≠0的两根是x 1、x 2,那么x 1+x 2= ,x 1·x 2= ;2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根,那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x + ；x 21+x 22= ；x 1+1x 2+1= ；｜x 1－x 2｜= ;3、以2和3为根的一元二次方程二次项系数为1是 ;4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2,那么另一个根是 ,a 的值为 ;5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2,那么k= ;6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等,则m= ;7、一元二次方程px 2+qx+r=0p ≠0的两根为0和－1,则q ∶p= ;8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数,则m= ;9、已知关于x 的一元二次方程a 2－1x 2－a+1x+1=0两根互为倒数,则a= ;10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2,且x 1+x 2=－2,则m= ,x 1+x 221x x ⋅= ;11、已知方程3x 2+x －1=0,要使方程两根的平方和为913,那么常数项应改为 ;12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为 ;13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+2－αβ2=0,则以α、β为根的一元二次方程为 ;其中二次项系数为114、已知关于x 的一元二次方程x 2－2m －1x+m 2=0;若方程的两根互为倒数,则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数,则m= ;15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4,则α= ；β= ；m= ;16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0,则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2m －1=0的两根为x 1、x 2,且43x 1x 121-=+,则m= ;18、关于x 的方程2x 2－3x+m=0,当 时,方程有两个正数根；当m时,方程有一个正根,一个负根；当m 时,方程有一个根为0;19、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,则m= ;20、求作一个方程,使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍,则所求的方程为 ;21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是 ;22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5,求方程的另一根及m的值;23、已知2+3是x2－4x+k=0的一根,求另一根和k的值;24、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数A、B均为有理数,那么另一个根必是A－B;25、不解方程,判断下列方程根的符号,如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大26、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：x31x2+x1x3227、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：x21－x22229、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：x1－x230、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：31、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：x51·x22+x21·x5232、求一个一元二次方程,使它的两个根是2+6和2－6;33、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数;34、造一个方程,使它的根是方程3x2－7x+2=0的根；1大3；22倍；3相反数；4倒数;35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足：1一个根比另一个根大2；2一个根是另一个根的3倍；3两根差的平方是17;36、已知关于x的方程2x2－m－1x+m+1=0的两根满足关系式x1－x2=1,求m的值及两个根;37、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根,并且满足10091)1)(1(=---βα,求m 的值; 38、已知一元二次方程8x 2－2m+1x+m －7=0,根据下列条件,分别求出m 的值： 1两根互为倒数；2两根互为相反数；3有一根为零；4有一根为1；5两根的平方和为641; 39、已知方程x 2+mx+4=0和x 2－m －2x －16=0有一个相同的根,求m 的值及这个相同的根;40、已知关于x 的二次方程x 2－2a －2x+a 2－5=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a 的值;41、已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b 、c 的值;42、设：3a 2－6a －11=0,3b 2－6b －11=0且a ≠b,求a 4－b 4的值;43、试确定使x 2+a －bx+a=0的根同时为整数的整数a 的值;44、已知一元二次方程2k －3x 2+4kx+2k －5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求：当k 取何整数时,方程有两个整数根;45、已知：α、β是关于x 的方程x 2+m －2x+1=0的两根,求1+m α+α21+m β+β2的值;46、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根,x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根,求常数p 、q 的值;47、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程y 2+5my+7=0的两个实数根,且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2,求m 、n 的值;48、关于x 的方程m 2x 2+2m+3x+1=0有两个乘积为1的实根,x 2+2a+mx+2a －m 2+6m －4=0有大于0且小于2的根;求a 的整数值;49、关于x 的一元二次方程3x 2－4m 2－1x+mm+2=0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m 的值;50、已知：α、β是关于x 的二次方程：m －2x 2+2m －4x+m －4=0的两个不等实根; 1若m 为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值；2若α2+β2=6时,求m 的值;51、已知关于x 的方程mx 2－nx+2=0两根相等,方程x 2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍;求证：方程x 2－k+nx+k －m=0一定有实数根;52、关于x 的方程22n 41mx 2x +-=0,其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长;1求证：这个方程有两个不相等的实根；2若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长;53、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+p 2=0有两个实根x 1和x 2x 1≠x 2,在数轴上,表示x 2的点在表示x 1的点的右边,且相距p+1,求p 的值;54、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β,且两个关于x 的方程x 2+α+1x+β2=0与x 2+β+1x+α2=0有唯一的公共根,求a 、b 、c 的关系式;55、如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2m+3x+m 2+3=0有两个实数根α、β,那么α－12+β－12的最小值是多少56、已知方程2x 2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3,方程x 2－2nx+8m=0的两根相等mn ≠0;求证：对任意实数k ,方程mx 2+n+k －1x+k+1=0恒有实数根;57、1方程x 2－3x+m=0的一个根是2,则另一个根是 ;2若关于y 的方程y 2－my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么m ,n 应满足 ;58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积x 2+3x+1=0；59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积3x 2－2x －1=0；60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积－2x 2+3=0；61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积2x 2+5x=0;62、已知关于x 的方程2x 2+5x=m 的一个根是－2,求它的另一个根及m 的值;63、已知关于x 的方程3x 2－1=tx 的一个根是－2,求它的另一个根及t 的值;64、设x 1,x 2是方程3x 2－2x －2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：1x 1－4x 2－4；2x 13x 24+x 14x 23； 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12213131x x x x ；4x 13+x 23;65、设x 1,x 2是方程2x 2－4x+1=0的两个根,求｜x 1－x 2｜的值;66、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2,方程x 2－mx+n=0的两实根是x 1+7和x 2+7, 求m 和n 的值;67、以2,－3为根的一元二次方程是 +x+6=0 +x －6=0－x+6=0 －x －6=068、以3,－1为根,且二次项系数为3的一元二次方程是 －2x+3=0 +2x －3=0－6x －9=0 +6x －9=069、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 +2x －3=0 －2x+3=0+2x+3=0 －2x －3=070、以－3,－2为根的一元二次方程为 , 以213-,213+为根的一元二次方程为 , 以5,－5为根的一元二次方程为 ,以4,41为根的一元二次方程为 ; 71、已知两数之和为－7,两数之积为12,求这两个数;72、已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ,b ,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程 ,使它的两个根分别是：1a++1 2ba ab 2,273、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ,面积为27cm 2,求这个直角三角形斜边的长 ;74、在解方程x 2+px+q=0时,小张看错了p ,解得方程的根为1与－3；小王看错了q ,解得方程的根为4与－2;这个方程的根应该是什么75、关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1,则a= ,另一个根是 ;76、若分式1322+--x x x 的值为0,则x 的值为 A.－1 B.3 C.－1或3 D.－3或177、若关于y 的一元二次方程y 2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则=0且n ≥0 =0且m ≥0C.m=0且n ≤0 =0且m ≤078、已知x 1,x 2是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：12x 1－32x 2－3；2x 13x 2+x 1x 23;79、已知a 2=1－a ,b 2=1－b ,且a ≠b ,求a －1b －1的值;80、如果x=1是方程2x 2－3mx+1=0的一个根,则m= ,另一个根为 ;81、已知m 2+m －4=0,04112=-+n n ,m ,n 为实数,且nm 1≠,则nm 1+= ; 82、两根为3和－5的一元二次方程是－2x －15=0 －2x+15=0+2x －15=0 +2x+15=083、.设x 1,x 2是方程2x 2－2x －1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：1x 12+2x 22+2；22x 1+12x 2+1；3x 1－x 22;84、.已知m ,n 是一元二次方程x 2－2x －5=0的两个实数根,求2m 2+3n 2+2m 的值;85、已知方程x 2+5x －7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数;86、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0a ≠0的两根之比为2∶1,求证：2b 2=9ac ;87、.已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+12=0的两根之差为11,求m 的值;88、已知关于y 的方程y 2－2ay －2a －4=0;1证明：不论a 取何值,这个方程总有两个不相等的 实数根；2a 为何值时,方程的两根之差的平方等于1689、已知一元二次方程x 2－10x+21+a=0;1当a 为何值时,方程有一正、一负两个根2此 方程会有两个负根吗为什么90、已知关于x 的方程x 2－2a －1x+4a －1=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积;91、已知方程x 2+ax+b=0的两根为x 1,x 2,且4x 1+x 2=0,又知根的判别式∆=25,求a ,b 的值;92、已知一元二次方程8y 2－m+1y+m －5=0;1m 为何值时,方程的一个根为零2m为何值时 ,方程的两个根互为相反数3证明：不存在实数m ,使方程的两个相互为倒数;93、当m 为何值时,方程3x 2+2x+m －8=0：1有两个大于－2的根2有一个根大于－2,另一个 根小于－294、已知2s 2+4s －7=0,7t 2－4t －2=0,s ,t 为实数,且st ≠1;求下列各式的值： 1tst 1+；; 2t s st 323+-; 95、已知x 1,x 2是一元二次方程x 2+m x+n=0的两个实数根,且x 12+x 22+x 1+x 22=3,5222221=+x x ,求m 和n 的值;。
小专题(二) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
小专题(二) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1．(金华中考)一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是(C )A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＋x 2＝3D ．x 1x 2＝22．(桂林中考)若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(B )A ．k<5B ．k<5，且k ≠1C ．k ≤5，且k ≠1D ．k>53．(玉林中考)关于x 的一元二次方程x 2－4x －m 2＝0有两个实数根x 1、x 2，则m 2(1x 1＋1x 2)＝(D ) A .m 44 B ．－m 44C ．4D ．－44．若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋m 2－3m ＋3＝0的两根互为倒数，则m 的值等于(B )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．若m 、n 是方程x 2－2 016x ＋2 017＝0的两根，则(m 2－2 017m ＋2 017)(n 2－2 017n ＋2 017)的值是2_017．6．(湘潭中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2.(1)求m 的值；(2)当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．解：(1)∵一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×m ＝9－4m>0.∴m<94. (2)根据一元二次方程根与系数的关系x 1＋x 2＝－b a，得1＋x 2＝3，∴x 2＝2.7．设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根．请问：是否存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立？试说明理由．解：不存在．理由如下：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根，则b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(k ＋1)≥0，即16－4k －4≥0，解得k ≤3.由根与系数关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝k ＋1.假设存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2，则k ＋1＞4，解得k ＞3.这与k ≤3相矛盾，∴假设不成立．∴不存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立．8．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －3)x ＋m 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数m 的取值范围；(2)若x 1＋x 2＝6－x 1x 2，求(x 1－x 2)2＋3x 1x 2－5的值．解：(1)Δ＝(2m －3)2－4m 2＝4m 2－12m ＋9－4m 2＝－12m ＋9，∵方程有两个实数根，∴Δ≥0.∴－12m ＋9≥0.∴m ≤34. (2)由题意可得x 1＋x 2＝－(2m －3)＝3－2m ，x 1x 2＝m 2，又∵x 1＋x 2＝6－x 1x 2，∴3－2m ＝6－m 2.∴m 2－2m －3＝0.∴m 1＝3，m 2＝－1.又∵m ≤34，∴m ＝－1. ∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝1.∴(x 1－x 2)2＋3x 1x 2－5＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＋3x 1x 2－5＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2－5＝52－1－5＝19.9．(鄂州中考)关于x 的方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0.(1)求证：无论k 为何值，方程总有实数根；(2)设x 1，x 2是方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0的两个根，记S ＝x 2x 1＋x 1x 2＋x 1＋x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值．若不能，请说明理由．解：(1)证明：①当k －1＝0，即k ＝1时，方程为一元一次方程2x ＋2＝0，x ＝－1，有一个解； ②当k －1≠0，即k ≠1时，方程为一元二次方程．Δ＝(2k)2－4×2(k －1)＝4k 2－8k ＋8＝4(k －1)2＋4＞0，方程有两个不等实根．综合①②，得无论k 为何值，方程总有实数根．(2)根据一元二次方程的两个根分别为x 1和x 2，由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k k －1，x 1x 2＝2k －1， 又∵S ＝x 2x 1＋x 1x 2＋x 1＋x 2， ∴S ＝x 21＋x 22x 1x 2＋x 1＋x 2 ＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＋x 1＋x 2 ＝（－2k k －1）2－4k －12k －1＋－2k k －1＝2k 2k －1－2＋－2k k －1＝2k －2.当S ＝2时，2k －2＝2，解得k ＝2.。
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系知识网络一、2200(0)040ax bx c a b ac∆>⇔⎧++=≠⎪→∆=⇔⎨∆=-⎪∆<⇔⎩有两个不相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根的根的判别式没有实数根 二、12212212121221220(0)00b x x a ax bx c a c x x a x x x x x x x x ax bx c x x x x ⎧+=-⎪⎪++=≠→∆≥→⎨⎪•=⎪⎩+++•=++=--一元二次方程以、为根的一元二次方程：（）（）（）一、选择题1. B 【05资阳】若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根，则k 的取值范围是A. 12k <B. 12k ≤C. 12k >D. k ≥122.A 【05杭州】若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是:(A)M = (B)M > (C)M < (D)大小关系不能确定3．A 【05嘉兴】已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A.a ≤1B. a<1C. a ≤-1D. a ≥14.D 【05台州】下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ） （A ）012=+x （B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=-+x x5.A 【05台州】若1x 、2x 是一元二次方程0572=+-x x 的两根，则2111x x +的值是（ ） （A ）57 （B ）57- （C ）75 （D ）75- 6.A 【05温州】已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根，则1x 1＋1x 2的值是()A 、3B 、－3C 、13 D 、17. D 【05武汉】不解方程，判别方程5-7x+5=0的根的情况是（ ）.（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根 （D ）没有实数根8.C 【05常德】已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）A ．－3或1B ．－3C ．1D ．39.A 【05连云港】满足“两实数根之和等于3”的一个方程是（A ）0232=--x x （B ）02322=--x x （C ）0232=-+x x （D ）02322=-+x x 10.B 【05无锡】一元二次方程0322=--x x 的根为（ ）A 、3,121==x xB 、3,121=-=x xC 、3,121-=-=x xD 、3,121-==x x 11.A 【05泸州】下列方程中，没有实数根的是A ．012=++x xB ．0122=++x xC ．0122=--x xD ．022=--x x 12.D 【05枣庄】两个不相等的实数m ，n 满足m 2-6m=4，n 2-6n=4，则mn 的值为( ) (A)6 (B)-6 (C)4 (D)-413.B 【05漳州】关于x 的一元二次方程2x 2x 40－－＝的两根为12x x 、，那么代数式1211x x ＋的值为( ) A12 B 12－ C 2 D －2 14.B 【05梅州】方程x 2－5x －1=0A 、有两个相等实根B 、有两个不等实根C 、没有实根D 、无法确定15. D 【05东营】两个不相等的实数m ，n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值为(A) 6 (B) －6 (C) 4(D) －416. D 【05厦门】已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是 A. 6 B. 2 m －8 C. 2 m D. －2 m 17.C 【05毕节】方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x 2+a x+b=0( )A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根C ．没有实数根D ．有两个根为2和318.A 【05泉州】一元二次方程0132=-+x x 的根的情况为（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根二、填空题1.【05内江】等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m 的值是 16或25 。
根的判别式,根与系数的关系专项训练题
根的判别式，根与系数的关系一、选择题1.若x1，x2是关于x的方程x2+bx−3b=0的两个根，且x12+x22=7，则b的值为()A. 1B. −7C. 1或−7D. 7或−12.关于x的方程(a−5)x2−4x−1=0有实数根，则a满足()A. a≥1B. a>1且a≠5C. a≥1且a≠5D. a≠53.已知关于x的方程(a−1)x2−2x+1=0有实数根，则a的取值范围是()A. a≤2B. a>2C. a≤2且a≠1D. a<−24.关于x的方程m2x2−8mx+12=0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.若关于x的一元二次方程(m+1)x2−(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，则m的值是()A. 7B. 3C. −1或7D. 任意实数二、填空题6.已知关于x的方程x2+2(a−1)x+a2−7a−4=0的两根为x1、x2，且满足，则a的值为．7.设x1、x2是关于x的方程2x2−4mx+2m2+3m+2=0的两个实根，当m=________时，x12+x22有最小值为________.8.已知实数m，n满足等式m2+2m−1=0，n2+2n−1=0，那么求nm +mn的值是___．9.若关于x的一元二次方程kx2−4x−1=0有实数根，则k的取值范围是．10.已知一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根为x1，x2，则代数式2x1x2+3x1−x12的值为________．11.已知：m2−2m−1=0，n2+2n−1=0且mn≠1，则mn+n+1n的值为____．12.x2−x−2017=0两根为x1，x2，则x13+2018x2−2017=。
13.已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=−1，则m=___________．14.已知m，n是方程x2+2x−5=0的两个实数根，则m2−mn+3m+n=_________．15.关于x的方程x2−2(k−1)x+k2=0的两个实数根x1、x2满足x1+x2=1−x1x2，则k的值为________________．三、解答题16.已知关于x的 一元二次方程x2−(m−3)x−m=0(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实数根为a、b，且a2+b2=14，求m的值．17.已知关于x的一元二次方程x2−4x+2k−1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求k的取值范围．(2)若x1−x2=2，求k的值．18.已知关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2+k−1=0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．19.已知关于x的一元二次方程x2−(3k+1)x+2k2+2k=0．(1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？20.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+2=0．(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．21.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根．(1)若(x1−1)(x2−1)=28，求m的值;(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC的另外两边的长，求这个三角形的周长．22.已知x1，x2是关于x的方程x2−kx+5(k−5)=0的两个正实数根，且满足2x1+x2=7，求实数k的值．。
一元二次方程根的判别式和根与系数关系 (解答稿)
一元二次方程根的判别式和根与系数关系例 1.已知三个关于x 的方程：0m x x 2=+-，012x 1)x -(m 2=++，012x 2)x -(m 2=-+，若其中至少有两个方程有实根，则m 的取值范围是____________.分析：41m 0Δ1≤⇒≥，2m 0Δ2≤⇒≥，1m 0Δ3≥⇒≥例2.已知方程0b -3ax x 2=+-有两个不相等的实数根，0b 6a)x (6x 2=-+-+有两个相等的实数根，0b 5a)x -(4x 2=-++没有实数根，求a ，b 的取值范围。
分析：0b)4(3a Δ21>--=0124b a 2>-+⇒0b)4(6a)6(Δ22=---=12-12a 4b a 2=+⇒0b)4(5a)4(Δ23<---=0484b a 2<--+⇒a 由以上三式求得2<a<4而33a a 41b 2-+-=6)6(412+--=a ，所以2<b<5例3.已知p ，q 是方程087x x 2=+-的两根，且p<q ，不解方程，求23q p2+的值。
分析：设A=23q p 2+，B=23p q2+ 由韦达定理知⎩⎨⎧==+87pq q p ，则易得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+27871122q p q p因此A+B=43100)(32222=+++q p q p ，A-B=17485)(32222-=-+-p q q p 所以A=)1785403(81-例4.设实数s ，t 分别满足019919s 2=++s ①，01999t t 2=++ ②，并且st ≠1 ，求t14s st ++的值。
分析：因s ≠0，故第一个方程可变形为019)s 199()s1(2=++又因为st ≠1，所以s1、t 是一元二次方程01999x x 2=++的两个不同实根，则99t s 1-=+，19t s1=⋅，即99s 1st -=+，t=19s.故519s4s99s t 14s st -=+-=++例5. 设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。
一元二次方程跟的判别式与根与系数的关系复习
（1）请判断这是一个什么方程？ （2）不解方程，你能判断它的根的情况吗？
例1：关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0,有 两个不相等实数根，求实数m的取值范围.
总结归纳： ___△_>_0____ 一元二次方程有两个不相等的实数根 ___△__=_0____一元二次方程有两个相等的实数根 ___△__≥__0___一元二次方程有两个实数根 ____△_<_0____ 一元二–x2+(m-2)x+3(m+1)的图象如图所示． （1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两 个交点； （2）求m的取值范围；
（3）在（2）的情况下，若 0A 0B 6 ,求C点坐标；
（4）求A、B两点间的距离； （5）求△ ABC的面积S．
变式训练1 ：已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0 (1)求证：无论K取任何实数值，方程总有实数根 (2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b,c恰 好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
变式训练2：如图，已知抛物线y＝x 2－3x经
过B（4，4），将直线OB向下平移m个单位
长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共
变式训练1: 关于一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两个实 数根为x1 、 x2。且x1+x2>0,x1x2>0.求m的取值 范围
变式训练2:已知菱形的边长为5，两条对角线交 与O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程 x2+(2m-1)x+m2+3=0的根，则m=（ ）
A.-3 B.5 C.5或-3 D.-5或3
点D，求m的值及点D的坐标
专题根与系数的关系含答案
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0．1当m取何值时,方程有两个不相等的实数根；2若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．1求证：此方程有两个不相等的实数根；2设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1＜x2．若2x1=x2+1,求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0．1求证：方程有两个不相等的实数根；m,且点B m,n在x轴上,求m 2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2,若n=x2-x1-12的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围；2若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值．例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-1=0．21求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根；2能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数若能找到,求出k的值；若不能,请说明理由．3当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．1求证：方程总有两个实数根；2已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1α+1α=1,求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=01若方程有两个实数根,求m的范围；2若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值．3.已知关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=01证明：无论m为何值方程都有两个实数根；2是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26若存在,求出满足条件的正数m的值；若不存在,请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k为常数．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设x1、x2为方程的两个实数根,且2x1+x2=14,试求出方程的两个实数根和k 的值．5.已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．1求k的取值范围；2若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3,求k的值．m-3=06.已知关于x的一元二次方程x2-m-2x+121求证：无论m取什么实数时,这个方程总有两个不相等的实数根；2如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1+x2=m+1,求m的值．7.已知关于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．1求a的值及方程的另一个根；2如果一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长．8.设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根,当a 为何值时,x 12+x 22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解：1∵方程有两个不相等的实数根, 例2. ∴△=b 2-4ac =-2m -12-4mm -2=4m +1＞0, 例3. 解得：m ＞-14,∵二次项系数≠0,∴m ≠0, 例4. ∴当m ＞-14且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根； 例5. 2∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根,例6. ∴x 1+x 2=2α−1α,x 1x 2=α−2α, 例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=x 1+x 22-3x 1x 2=2α−1α2-3(α−2)α=2, 例8.解得：m 1=√2+1,m 2=-√2+1舍去；∴m =√2+1．例9. 解：1∵△=-4m 2-44m 2-9=36＞0,例10. ∴此方程有两个不相等的实数根； 例11. 2∵x =4α±√362=2m ±3,例12. ∴x 1=2m -3,x 2=2m +3,例13. ∵2x 1=x 2+1,∴22m -3=2m +3+1,例14.∴m =5．例15. 解：1∵△=4-3m 2-4m 2m -8, 例16. =m 2+8m +16=m +42例17. 又∵m ＞0∴m +42＞0即△＞0 例18. ∴方程有两个不相等的实数根； 例19. 2∵方程的两个根分别为x 1、x 2x 1＜x 2,例20. ∴x 1+x 2=-4−3αα,x 1x 2=2α−8α, 例21. n =x 2-x 1-12m ,且点B m ,n 在x 轴上, 例22. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)2−4α2α1-12m =√(4−3αα)2−4×2α−8α-12m =0, 例23. 解得：m =-2,m =4,例24.∵m ＞0,∴m =4．例25. .解：1∵方程x 2-2m +1x +m 2+5=0有两个不相等的实数根, 例26. ∴△=-2m +12-4m 2+5=8m -16＞0,解得：m ＞2． 例27. 2∵原方程的两个实数根为x 1、x 2, 例28. ∴x 1+x 2=2m +1,x 1x 2=m 2+5． 例29. ∵m ＞2,例30. ∴x 1+x 2=2m +1＞0,x 1x 2=m 2+5＞0, 例31. ∴x 1＞0、x 2＞0．例32. ∵x 12+x 22=(α1+α2)2-2x 1x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1x 2, 例33. ∴4m +12-2m 2+5=2m +1+2m 2+5,即6m -18=0,例34.解得：m =3．例35. 证明：1∵△=2k +12-16k -12=2k -32≥0, 例36. ∴方程总有实根；例37. 解：2∵两实数根互为相反数, 例38. ∴x 1+x 2=2k +1=0,解得k =； 例39. 3①当b =c 时,则△=0, 例40. 即2k -32=0,∴k =32, 例41. 方程可化为x 2-4x +4=0,∴x 1=x 2=2,而b =c =2,∴b +c =4=a 不适合题意舍去；例42. ②当b =a =4,则42-42k +1+4k -12=0, 例43. ∴k =52, 例44. 方程化为x 2-6x +8=0,解得x 1=4,x 2=2, 例45. ∴c =2, C △ABC =10,例46. 当c =a =4时,同理得b =2,∴C △ABC =10,例47.综上所述,△ABC 的周长为10．训练1.1证明：∵方程mx 2-m +2x +2=0m ≠0是一元二次方程, ∴△=m +22-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=m -22≥0, ∴方程总有两个实数根；2解：∵方程有两个不相等的实数根α,β,∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α,αβ=2α, ∵1α+1α=1,∴α+2α2α=α+22=1,解得m =0,∵m ≠0,∴m 无解．2.解：1∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根,∴△=-22-4m ≥0,解得m ≤1；2由两根关系可知,x 1+x 2=2,x 1x 2=m ,解方程组{α1+α2=2α1+3α2=3, 解得{α1=32α2=12,∴m =x 1x 2=32×12=34； 3∵x 12-x 22=0,∴x 1+x 2x 1-x 2=0,∵x 1+x 2=2≠0,∴x 1-x 2=0,∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根,∴△=-22-4m =0,解得m =1．3. 1证明：∵关于x 的方程x 2+m -3x -m 2m -3=0的判别式△=m -32+4m 2m -3=9m -12≥0,∴无论m 为何值方程都有两个实数根；2解：设方程的两个实数根为x 1、x 2,则x 1+x 2=-m -3,x 1×x 2=-m 2m -3,令x 12+x 22=26,得：x 1+x 22-2x 1x 2=m -32+2m 2m -3=26,整理,得5m 2-12m -17=0,解这个方程得,m =175或m =-1, 所以存在正数m =175,使得方程的两个实数根的平方和等于26．4. 1证明：在方程x 2-6x -k 2=0中,△=-62-4×1×-k 2=4k 2+36≥36, ∴方程有两个不相等的实数根．2解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根,∴x 1+x 2=6①,x 1x 2=-k 2,∵2x 1+x 2=14②,联立①②成方程组{α1+α2=62α1+α2=14, 解之得：{α1=8α2=−2, ∴x 1x 2=-k 2=-16,∴k =±4．5. 解：1∵原方程有两个不相等的实数根,∴△=-2k -32-4k 2+1=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0,解得：k ＜512；2∵k ＜512,∴x 1+x 2=2k -3＜0,又∵x 1x 2=k 2+1＞0,∴x 1＜0,x 2＜0,∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-x 1+x 2=-2k +3,∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3,∴-2k +3=2k 2+2-3,即k 2+k -2=0,∴k 1=1,k 2=-2,又∵k ＜512, ∴k =-2．6. 解：1∵△=m -22-4×12m -3=m -32+3＞0, ∴无论m 取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根；2解：x1+x2=m-2,2x1+x2=x1+x1+x2=m+1,∴x1=m+1+2-m=3,把x1代入方程有：9-3m-2+12m-3=0解得m=245．7. 解：1将x=3代入方程中,得：9a-1-15+4a-2=0, 解得：a=2,∴原方程为x2-5x+6=x-2x-3=0,解得：x1=2,x2=3．∴a的值为2,方程的另一个根为x=2．2结合1可知等腰三角形的腰可以为2或3,∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8. .解：∵△=2a2-4a2+4a-2≥0,∴α≤12又∵x1+x2=-2a,x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=x1+x22-2x1x2=2a-22-4．设y=2a-22-4,根据二次函数的性质．∵α≤12∴当α=12时,x12+x22的值最小．此时α12+α22=2(12−2)2−4=12,即最小值为12．。
一元二次方程根与系数关系及判别式练习
一元二次方程根与系数关系及判别式练习一．选择题（共10小题）1．若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣32．如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么是实数m的取值为（）A．m＞B．m C．m=D．m=3．一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．15．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或06．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣27．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是（）A．x1+x2=﹣B．x1•x2=1C．x1，x2都是有理数D．x1，x2都是正数8．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13 B．12 C．14 D．159．对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.510．已知一元二次方程x2﹣2ax+a2+a+1=0的两实根为x1，x2，则代数式（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值为（）A．2 B．8 C．10 D．12二．填空题（共10小题）11．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是．12．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为．13．在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为．14．已知一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值是．15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a=．16．若方程x2﹣4x+1=0的两根是x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为．17．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则=．18．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是．19．若一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根，则a2﹣b2+5的最小值为．20．已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是．三．解答题（共4小题）21．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根．（2）当矩形的对角线长为时，求m的值．23．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值，并求出此时方程的两根．24．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2017•安顺）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3【分析】首先根据题意求得判别式△=m2﹣4＞0，然后根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；求得答案．【解答】解：∵a=1，b=m，c=1，∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×1=m2﹣4，∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，∴m2﹣4＞0，则m的值可以是：﹣3，故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，解题时注意：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2．（2017•兰州）如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么是实数m的取值为（）A．m＞B．m C．m=D．m=【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=9﹣8m=0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=32﹣4×2m=9﹣8m=0，解得：m=．故选C．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．3．（2017•宜宾）一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程4x2﹣2x+=0中，△=（﹣2）2﹣4×4×（）=0，∴一元二次方程4x2﹣2x+=0有两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．4．（2017•烟台）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而可确定m的值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，∴x1+x2=2m，x1•x2=m2﹣m﹣1．∵x1+x2=1﹣x1x2，∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，解得：m1=﹣2，m2=1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m=1．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系以及x1+x2=1﹣x1x2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．5．（2017•呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或0【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．【解答】解：设方程的两根为x1，x2，根据题意得x1+x2=0，所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，所以a的值为0．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．6．（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以+===﹣2．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．7．（2017•江西）已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是（）A．x1+x2=﹣B．x1•x2=1C．x1，x2都是有理数D．x1，x2都是正数【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2=＞0，x1x2=＞0，然后利用有理数的性质可判定两根的符号．【解答】解：根据题意得x1+x2=＞0，x1x2=＞0，所以x1＞0，x2＞0．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．8．（2017•天门）若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13 B．12 C．14 D．15【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=，αβ=﹣，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α为2x2﹣5x﹣1=0的实数根，∴2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1，∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，∴α+β=，αβ=﹣，∴2α2+3αβ+5β=5×+3×（﹣）+1=12．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定义．9．（2017•江阴市自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.5【分析】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．【解答】解：原方程可化为x2﹣2|x|+2﹣m=0，解得|x|=1±，∵若1﹣＞0，则方程有四个实数根，∴方程必有一个根等于0，∵1+＞0，∴1﹣=0，解得m=2．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程，先根据题意得出|x|的值，判断出方程必有一根为0是解答此题的关键．10．（2017•雨城区校级自主招生）已知一元二次方程x2﹣2ax+a2+a+1=0的两实根为x1，x2，则代数式（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值为（）A．2 B．8 C．10 D．12【分析】先求出两根之和与两根之积的值，再将（x1﹣1）2+（x2﹣1）2化简成两根之和与两根之积的形式，最后利用二次函数的性质求最小值．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2ax+a2+a+1=0有两个实根；∴△=4a2﹣4×（a2+a+1）=﹣4（a+1）≥0；解得：a≤﹣1；∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a+1=0的两个实根；∴x1+x2=2a，x1•x2=a2+a+1；（x1﹣1）2+（x2﹣1）2=x12+1﹣2x1+x22﹣2x2+1=x12+x22﹣2（x2+x1）+2=（x1+x2）2﹣2x1•x2﹣2（x1+x2）+2=4a2﹣2×（a2+a+1）﹣2×2a+2=4a2﹣2a2﹣2a﹣2﹣4a+2=2a2﹣6a=2（a﹣）2﹣．故函数y=2（a﹣）2﹣的顶点坐标为（，﹣），在x=的左侧y随x的增大而减小，∵a≤﹣1，∴a=﹣1时取最小值8．故选：B．【点评】本题是利用根与系数的关系，把求代数式的最值的问题转化为关于同一个字母的二次三项式的求值问题，从而利用配方法进行判断．二．填空题（共10小题）11．（2017•潍坊）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，∴△=b2﹣4ac≥0，即：4﹣4k≥0，解得：k≤1，∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，故答案为：k≤1且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．12．（2017•泰安）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为k ＞．【分析】根据判别式的意义得到△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，解得k＞．故答案为k＞．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．13．（2017•岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为2．【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，∴△=16﹣4b=0，∴AC=b=4，∵BC=2，AB=2，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，∴AC边上的中线长=AC=2；故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．14．（2017•眉山）已知一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值是﹣4．【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=3、x1•x2=﹣2，将其代入（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1中，即可求出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=﹣2﹣3+1=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，找出x1+x2=3、x1•x2=﹣2是解题的关键．15．（2017•成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a=．【分析】由x12﹣x22=0得x1+x2=0或x1﹣x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到﹣2m﹣1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．【解答】解：由两根关系，得根x1+x2=5，x1•x2=a，由x12﹣x22=10得（x1+x2）（x1﹣x2）=10，若x1+x2=5，即x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=25﹣4a=4，∴a=，故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．16．（2017•盐城）若方程x2﹣4x+1=0的两根是x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为5．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=1，然后把x1（1+x2）+x2展开得到x1+x2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意得x1+x2=4，x1x2=1，所以x1（1+x2）+x2=x1+x1x2+x2=x1+x2+x1x2=4+1=5．故答案为5．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．17．（2017•内江）设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则=47．【分析】根据α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，得到α+β=3，αβ=1，根据完全平方公式得到α4+β4=47，于是得到结论．【解答】解：方程（x+1）（x﹣4）=﹣5可化为x2﹣3x+1=0，∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，∴α+β=3，αβ=1，∴（α+β）2=α2+β2=7，（α2+β2）2=α4+β4=47，∴==47，故答案为：47．【点评】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对进行变形．18．（2017•靖远县二模）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是12．【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案．【解答】解：x2﹣7x+10=0（x﹣2）（x﹣5）=0，解得：x1=2（不合题意舍去），x2=5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确得出方程的根是解题关键．19．（2017•海珠区一模）若一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根，则a2﹣b2+5的最小值为1．【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出△=b2﹣4a=0，即b2=4a，将其代入a2﹣b2+5中，利用配方法即可得出a2﹣b2+5的最小值．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根，∴△=b2﹣4a=0，∴b2=4a，∴a2﹣b2+5=a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1≥1．故答案为：1．【点评】本题考查了跟的判别式以及配方法的应用，由方程有两个相等的实数根找出b2=4a是解题的关键．20．（2017•唐河县三模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是a=1．【分析】由一元二次方程的定义可得出a≠0，再利用根的判别式△=b2﹣4ac，套入数据即可得出△=（a ﹣2）2≥0，可得出a≠2且a≠0，设方程的两个根分别为x1、x2，利用根与系数的关系可得出x1•x2=，再根据x1、x2均为正整数，a为整数，即可得出结论．【解答】解：∵方程ax2﹣（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，∴a≠0．∵△=（a+2）2﹣4a×2=（a﹣2）2≥0，∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．∵方程有两个不相等的正整数根，∴a≠2且a≠0．设方程的两个根分别为x1、x2，∴x1•x2=，∵x1、x2均为正整数，∴为正整数，∵a为整数，a≠2且a≠0，∴a=1，故答案为：a=1．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：①找出△=（a﹣2）2≥0；②找出x1•x2=为正整数．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由方程的两根均为整数确定a的值是难点．三．解答题（共4小题）21．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b ＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S=．△ABC②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．22．（2014•成都校级自主招生）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根．（2）当矩形的对角线长为时，求m的值．【分析】（1）设矩形两邻边的长为a，b，根据△的意义得到△≥0，即（m+1）2﹣4（m2+1）≥0，解得m≥，而a、b都是正数，利用一元二次方程根与系数的关系有a+b=m+1＞0，ab=m2+1＞0，可解得m＞﹣1，综合可得到m的取值范围；（2）根据矩形的性质和勾股定理得到a2+b2=（）2，变形有（a+b）2﹣2ab=5，把a+b=m+1，ab=m2+1代入得（m+1）2﹣2（m2+1）=5，整理得到m2+4m﹣12=0，解方程得到m1=2，m2=﹣6，然后即可得到符合条件的m的值．【解答】解：（1）设矩形两邻边的长为a，b，∵关于x的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长，∴△≥0，即（m+1）2﹣4（m2+1）≥0，解得m≥，a+b=m+1＞0，ab=m2+1＞0，解得m＞﹣1，∴m≥时，方程有两个正实数根；（2）∵矩形的对角线长为，∴a2+b2=（）2，∴（a+b）2﹣2ab=5，∴（m+1）2﹣2（m2+1）=5，即m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，∵m≥，∴m=2，所以当矩形的对角线长为时，m的值为2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＞0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理以及矩形的性质．23．（2012•孝感）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值，并求出此时方程的两根．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；（2）根据根与系数的关系求得x1+x2=﹣（m+3），x1•x2=m+1；然后由已知条件“|x1﹣x2|=2”可以求得（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m 值代入原方程并解方程．【解答】（1）证明：∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=﹣（m+3），x1•x2=m+1，∵|x1﹣x2|=2∴（x1﹣x2）2=（2）2，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0，解得：m1=﹣3，m2=1．当m=﹣3时，原方程化为：x2﹣2=0，解得：x1=，x2=﹣，当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．24．（2012•中山二模）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．【分析】（1）由关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有实数根，即可得判别式△≥0，即可得不等式32+4m ≥0，继而求得答案；（2）由根与系数的关系，即可得x1+x2=﹣3、x1x2=﹣m，又由x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=11，即可得方程：（﹣3）2+2m=11，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2=﹣3、x1x2=﹣m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=11，∴（﹣3）2+2m=11，解得：m=1．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．。
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系【例1】不解方程，判定关于x 的方程根的情况(1) 2x 2–9x+8=0 (2)9x 2+6x+1=0 (3) 16x 2+8x= –3 (4)x 2=7x+18(5)2x 2–(4k+1)x+2k 2–1＝0 (6)x 2＋(2t ＋1)x ＋(t –2)2＝0【例2】(1)已知关于x 的一元二次方程kx 2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k 的取值范围．(2)若关于x 的一元二次方程(a –2)x 2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a 的式子表示）．【例3】(1)已知关于x 的方程x 2–mx+m –2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m 2＋1)x 2–2mx ＋(m 2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)已知方程x 2–5x –6=0的根是x 1和x 2，求下列式子的值：①(x 1–3)(x 2–3) ②x 12+x 22+x 1x 2 ③x 1x 2+x 2x 1(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x 2–x –10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x 2–x –10=0各根的负倒数。
③使它的两个根分别是3221和 【例6】(1)已知：x 1、x 2是方程x 2–x+a=0的两个实数根，且1x 12+1x 22=3，求a 的值. (2)关于x 的方程kx 2+(k+1)x+k 4=0有两个不相等的实数根. ①求k 的取值范围；②是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 练习一、慎重抉择(每小题3分，共30分)1．一元二次方程x 2–3x –4=0的根的情况是（ ）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定2．下列方程中，没有实数根的方程式（ ）A.x 2=9B.4x 2=3(4x –1)C.x(x+1)=1D.2y 2+6y+7=03．已知关于x 的方程(k –1)x 2+kx+1=0有实根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≠2B ．k>2C ．k<2且k≠1D ．k 为一切实数4．方程组⎩⎨⎧ax –y=1x+by=8的解是⎩⎨⎧x=2y =3，那么方程x 2+ax+b=0 （ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．有两个根为2和35．已知关于x 的方程x 2－(2k －1)x+k 2=0有两个不相等的实数根，那么k •的最大整数值是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．16．关于x 的方程k 2x 2+(2k –1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( )A.当k=12时，方程两根互为相反数B.当k≤14时，方程有实数根 C.当k=0时，方程的根是x= –1 D.当k=±1时，方程两根互为倒数7．方程x 2–3x –6=0与方程x 2–6x+3=0的所有根的乘积为 ( )A. –18B.18C. –3D.38．一元二次方程x 2–3x+1=0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值是（ ）Ａ．3 Ｂ．–3 Ｃ．13 Ｄ．–139．若a ，b 是方程x 2+2x －2010=0的两个实数根，则a 2+3a+b 的值是（ ）A ．－2007B ．2008C ．2009D ．20109．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m+3)x+m 2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β= –1，则m 的值是（ ）Ａ．3或–1 Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．–3或110．关于x 的一元二次方程x 2 –kx+2k –1=0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 12+x 22=7，则(x 1 –x 2)2的值是（ ）A ．1 B ．12 C ．13 D ．25二、仔细填空(每小题4分，共20分)11．已知方程x 2–mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m ，n 的值可以是m= ，n= .12．若x 1 =3–2是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2 = .13．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数； 当m ＝ 时，两根互为相反数.14．以2+1，2–1为两根的一元二次方程是 。
一元二次方程根的判别式,根与系数关系
一元二次方程根的判别式，根与系数关系◆回顾归纳1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，常用符号“△”表示，即△=•______；△>0时，方程_____；△=0时，方程______；△<0时，方程______．2．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x 1，x 2，则x 1+x 2=____，x 1x 2=____．◆课堂测控1．（1）一元二次方程3x 2+4x+1=0中，△=_____，因此该方程_____实数根．（2）一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个相等的实数根，则a=_____．2．若方程x 2－2x －1=0的两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2=______．3．一元二次方程x 2+x －2=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．有一个实数根4．设一元二次方程x 2－6x+4=0的两实根分别为x 1和x 2，则x 1+x 2=_____，x 1·x 2=______．5．等腰三角形ABC 中，BC=8，AB ，AC 的长是关于x 的方程x 2－10x+m=0的两根，求m 的值．解：当AB 或AC 的长为8时，64－10×8+m=0，∴m=_____；当AB=AC 时，方程x 2－10x+m=0有两个相等的实数根，则△=0，即______，∴m=____．测试点2 一元二次方程根与系数的关系6．一元二次方程x 2－5x+6=0的一个实数根x 1=2，则另一个实数根x 2=（ •）A ．3B ．－3C ．6D ．－67．设一元二次方程x 2－2x －4=0的两个实数为x 1和x 2，则下列结论正确的是（ ）A ．x 1+x 2=2B ．x 1+x 2=－4C ．x 1x 2=－2D ．x 1x 2=48．已知x=－1是一元二次方程x 2+mx+1=0的一个根，那么m 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．－29．已知x 1，x 2是方程x 2+3x=4的两根，则（ ）A ．x 1+x 2=－3，x 1·x 2=－4B ．x 1+x 2=3，x 1·x 2=4C ．x 1+x 2=－3，x 1·x 2=4D ．x 1+x 2=3，x 1·x 2=－410．阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=－b a ，x 1·x 2=c a ．根据该材料填空：（1）已知x 1，x 2是方程x 2+6x+3=0的两实数根，则2112x x x x 的值为_____． （2）已知x 1，x 2是方程x 2－9x+18=0的两个根，那么x 1－x 2=_______．◆课后测控1．若关于x 的一元二次方程x 2+2x －k=0没有实数根，则k 的取值范围是_____．2．在解方程x2+bx+c=0时，甲看错了b，解得两根为－1和6；乙看错了c，•解得两根为－3与4，那么正确的方程是______．3．已知一个等腰三角形两边长为方程x2－6x+8=0的两根，•则此等腰三角形的周长为_____．4．若关于x的方程x2－（m+2）x+m=0的根的判别式△=5，则m=_____．5．方程x（x+1）=3（x+1）的解情况是______．6．关于x的一元二次方程kx2－6x+1=0有两个不相等的实数根，•则k•的取值范围是_____．7．已知关于x的方程x2－2ax+a2－2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，•则a•的值是_____．8．已知一元二次方程x2+3x+1=0的两根为x1和x2，那么（1+x1）（1+x2）的值为______．9．如果一元二次方程3x2－2x=0的两个根是x1和x2，那么x1·x2等于（）A．2 B．0 C．23D．－2310．已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是（）A．x2+5x+6=0 B．x2－5x+6=0 C．x2－5x－6=0 D．x2+5x－6=0 11．如果关于x的方程2x2－7x+m=0的两实数根互为倒数，那么m的值为（）A．12B．－12C．2 D．－212．若关于x的方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根，则k•的取值范围是（）A．k>－1 B．k<－1 C．k≥－1且k≠0 D．k>－1且k≠013．已知关于x的一元二次方程x2－mx+2m－1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是（）A．5 B．－1 C．5或－1 D．－5或114．关于x的一元二次方程x2－5x+p2－2p+5=0的一个根为1，则实数p•的值是（）A．4 B．0或2 C．1 D．－115．已知关于x的方程x2－m=2x有两个不相等的实数根，求m的取值范围．16．已知关于x的一元二次方程x2+（2m－3）x+m2=0•的两个不相等的实数根α、β满足11αβ+=1，求m的值．17．若0是关于x的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．18．若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m+4=0两实根的平方和为2，求m的值．解：设方程的两个实根为x1，x2，那么x1+x2=m+1，x1x2=m+4．∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2 =（m+1）2－2（m+4）=m2－7=2．即m2=9，解得m=3．答：错误或不完整之处有：__________．◆拓展创新实数k取何值时，一元二次方程x2－（2k－3）x+2k－4=0．（1）有两个正根；（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大；（3）一根大于3，一根小于3．参考答案回顾归纳1．b2－4ac 有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根2．－baca课堂测控1．（1）4 有两个不等（2）1 2．23．B 4．6 4 5．16 100－4m=0 256．A 7．A 8．C 9．A 10．（1）10 （2）±3课后测控1．k<－1（点拨：△=4+4k<0得k<－1）2．x2－x－6=0（点拨：甲看错了b，∴c=－1×6=－6；乙看错了c，∴b=－（－3+4）=－1，•∴x2－x－6=0）3．10（点拨：x2－6x+8=0，∴x1=2，x2=4，当腰长为4时，周长为4+4+2=10，当腰长为2时，底为4，这与三角形三边关系矛盾）4．±1 5．有两个不相等实根6．k<9，且k≠0（点拨：△=36－4k>0，∴k<9，且k≠0）7．1（点拨：x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=4a2－2（a2－2a+2）=2a2+4a－4=2．∴a=1或a=－3；当a=1时，x1=x2=1；当a=－3时，x2+6x+17=0，△=36－4×17=－32<0）8．－1 9．B 10．B 11．C12．D（点拨：△=4+4k>0，∴k>－1且k≠0）13．B 14．C15．原方程整理得x2－2x－m=0，△=4+4m>0，∴m>－1．16．△=（2m－3）2－4m2=4m2+9－12m－4m2>0，∴m<34，又21132mmαβαβαβ+-+===1．即m2+2m－3=0，解之得m1=－3，m2=1（舍去）．17．当x=0时，m=2或－4．当m=2时，方程只有一个解为0；当m=－4时，方程有两个解为0和12．∴原方程的解为0和12．18．①x1+x2=m+1，②m=3，③没有用判别式判定方程有无实根．解：设方程的两实根为x1，x2，则x1+x2=－（m+1），x1x2=m+4．∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=（m+1）2－2（m+4）=m2+2m+1－2m－8=m2－7=2．解之得m=±3．当m=3时，△=16－28=－12<0．∴方程无实数根．当m=－3时，△=4－4=0，∴m=－3．拓展创新（1）∵方程有两个正根，且x1=1>0，∴x2=2k－4>0，即k>2．∴当k>2时，方程有两个正根．（2）∵方程有两个异号根，且正根的绝对值较大，而x=1>0，∴240,|24| 1.kk-<⎧⎨-<⎩即240,42 1.kk-<⎧⎨-<⎩解之得32<k<2．∴当<k<2时，两根异号，且正根的绝对值较大．（3）∵方程一根大于3，一根小于3，且x1=1<3．∴x2=2k－4<3，∴k>72．∴当k>72时，方程一根大于3，另一根小于3．。
一元二次方程的根的判别式和根与系数关系复习
一元二次方程的根的判别式和根与系数关系一、知识要点：1、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：24b ac ∆=-；2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数关系：（1）设12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根,则有1212,b c x x x x a a+=-=；（2）以12,x x 为两根的一元二次方程是：21212()0x x x x x x -++=。
3、公式变形：2221212122212121212121212121212(1)()2(2)()()4(3)(1)(1)()111(4)(5)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+--=+- ++=++++ += -==121212121210000010x x x x x x x x x x x ⇔∆>⇔∆⇔∆<⇔∆≥∆≥⎧⎪⇔+=⎨⎪≤⎩∆≥⎧⇔⎨⎩∆≥⎧⎪⇔+>⎨⎪>⎩∆≥⇔+4、（1）方程有两个不等实根；（2）方程有两个相等实根＝0；（3）方程没有实根0；（4）方程有两个实根0（5）方程有两个互为相反数的实根 （6）方程有两个互为倒数的实根＝0 （7）方程有两个正根0 （8）方程有两个负根2121212121200000x x x x x x x x x x x ⎧⎪<⎨⎪>⎩∆>⎧⎪⇔+>⎨⎪<⎩∆>⎧⎪⇔+<⎨⎪<⎩0 （9）方程有两个异号根，且正根的绝对值比较大0 （10）方程有两个异号根，且负根的绝对值比较大 二、例题与练习例1、 解关于x 的方程：2(1)20m x mx m --+=例2、 已知关于x 的一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不等实根，且这两根又不互为相反数，求m 的取值范围。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【基础练习】 一、选择题1.一元二次方程x 2﹣4x +4=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（ ）A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥ 3．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0 C.1 D.2 4．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（ ）A. 122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根 5．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是（ ） A.k≥4 B.k≤4 C.k ＞4 D.k=46．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（ ）．A ．3B ．6C ．18D ．24 二、填空题7．关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 8．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ．9．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是 。
10．设一元二次方程2320x x --=的两根分别为1x 、2x ，以21x 、22x 为根的一元二次方程是________．11．已知一元二次方程x 2-6x+5-k=0•的根的判别式△=4，则这个方程的根为___ ． 12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为__ _． 三、解答题13．当k 为何值时，关于x 的方程x 2-(2k-1)x ＝-k 2+2k+3， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根?14. 已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且方程(a 2+b 2)x 2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC 的形状．15．已知实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，求+的值．【提高练习】 一、选择题1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-12．等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根，则n 的值为（ ）.A ．9B ．10C ．9或10D ．8或103．若1x 、2x 是一元二次方程2210x x +-=的两根，则1211x x +的值为（ ）．A ．-1B ．0C ． 1D ．24．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．20135．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则ab的值是（ ）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129- 6．超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元， 如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题7．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________．8．关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，则m 的取值范围是__ ___．9．一元二次方程x 2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c= ．（只需填一个）．10．在Rt △ABC 中，∠C=900，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是 .11．设x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m=0的两个根，且x 1+x 2﹣x 1x 2=1，则x 1+x 2= ，m= ．12．已知：关于x 的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程②有实数根且k 为正整数，则代数式的值为 . 三、解答题13. 已知关于x 的方程22210x mx m --+=的两根的平方和等于294，求m 的值．14．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（2m +1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．15．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+k 2+2=2（1﹣x ）有两个实数根x 1、x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两实数根x 1、x 2满足|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1，求k 的值．【基础答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B.【解析】在方程x 2﹣4x +4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根． 2.【答案】B ；【解析】20ax bx c ++=(a ≠0)有两个不相等实数根240b ac ⇔->． 3.【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0且a ﹣1≠0，∴a ≤且a ≠1，∴整数a 的最大值为0．故选：B ．4.【答案】D ；【解析】求得Δ=b 2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D . 5.【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，∴b 2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0， 解得：k≤4，故选B ．6.【答案】A ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：3αβ+=，32αβ=，因此22()()4963αβαβαβ-=+-=-=．二、填空题 7．【答案】k≥﹣6； 【解析】当k=0时，﹣4x ﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx 2﹣4x ﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0， 综上k≥﹣6．8.【答案】-2.【解析】∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根为x 1、x 2，x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1， ∴+==﹣2．故答案是：﹣2．9．【答案】6；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：12122,3x x x x +=•=-，222121212121222()22()4646x x x x x x x x x x +--=+--+=+-=．10．【答案】21340y y -+=；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：123x x +=，122x x =-，从而2222121212()232(2)13x x x x x x +=+-=-⨯-=，22221212()(2)4x x x x ==-=g ，于是，所求方程为21340y y -+=．11．【答案】 x 1=4，x 2=2.【解析】∵△=4，∴b 2-4ac=4，即x=，∴x 1=4，x 2=2． 12．【答案】 25或36；【解析】设十位数字为x,则个位数字为（x+3）.依题意得（x+3）2=10x+(x+3), 解得x 1=2，x 2=3．当x=2时，两位数是25；当x=3时，两位数是36.三、解答题13.【答案与解析】 解：22(21)23x k x k k --=-++化为一般形式为：22(21)230x k x k k --+--=，∴ 1a =，(21)b k =--，223c k k =--． ∴222224[(21)]41(23)4414812413b ac k k k k k k k k =-=---⨯⨯--=-+-++=+△．(1)若方程有两个不相等的实数根，则△＞0，即4130k +>．∴134k >-． (2)若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即4130k +=，∴ 134k =-．(3)若方程没有实数根，则△＜0，即4130k +<，∴ 134k <-．答：当134k >-时，方程有两个不相等的实数根；当k ＝134-时，方程有两个相等的实数根；当134k <-，方程没有实数根．14.【答案与解析】解： 令22A a b =+，2B c =-，1C =，22244()c a b =-+△，∵ 方程有两等根，∴ △＝0，∴ 222c a b =+， ∴ △ABC 为直角三角形．15.【答案与解析】解：∵实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+=== ﹣3．【提高答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】当m ＝0时，原方程的解是12x =-；当m ≠0时，由题意知△＝22-4·m ×1＜0，所以m ＞1．2．【答案】B ；【解析】∵三角形是等腰直角三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b 两种情况， ①当a=2，或b=2时，∵a，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根， ∴x=2，把x=2代入x 2﹣6x+n ﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0， 解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形， 故n=9不合题意，②当a=b 时，方程x 2﹣6x+n ﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4（n ﹣1）=0 解得：n=10， 故选B ．3．【答案】C ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：1212x x +=-，1212x x =-，从而121212111x x x x x x ++==．4.【答案】C ；【解析】依题意有22013a a +=，1a b +=-，∴222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=．5．【答案】A ；【解析】因为25201290a a ++=及29201250b b ++=，于是有25201290a a ++=及2115()201290bb+•+=， 又因为1ab ≠，所以1a b ≠，故a 和1b可看成方程25201290x x ++=的两根，再运用根与系数的关系得195a b •=，即95a b =． 6．【答案】D ；【解析】一月份的营业额为200万元；二月份的营业额为200（1+x ）万元；三月份的营业额为200（1+x ）2万元；一季度的总营业额共1000万元，所以200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000，故选 D.二、填空题 7．【答案】1； 【解析】由题意知△＝221[(3)]404m m ---⨯⨯>，所以32m <，因此m 的最大整数值是1． 8．【答案】54m <-； 【解析】因为关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，所以22(21)4(1)(1)0m m +-⨯--<，解得54m <-．9．【答案】4；【解析】∵一元二次方程x 2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣5）2﹣4c ＞0，解得c ＜，∵x 1+x 2=5，x 1x 2=c ＞0，c 是整数，∴c=4．故答案为：4．10．【答案】；【解析】因直角三角形两直角边a 、b 是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c 2=a 2+b 2③，联立①②③组成方程组求得c=5，∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.11【答案】4；3．【解析】∵x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣=4，x 1x 2==m ．∵x 1+x 2﹣x 1x 2=4﹣m=1，∴m=3．12.【答案】0.【解析】先根据根与系数的关系求得a 值，a=-1,再将a=-1代入到第二个方程.因第二个方程一定有实根，由△≥0得178k ≤，因为k 为正整数，=12k 或，当=2k 时，分母为0，故舍去，所以k=1, 当k=1时.0=k-1k-2.三、解答题13. 【答案与解析】解：设方程的两根为x 1、x 2，则由根与系数关系，得122m x x +=，12122mx x -=．由题意，得 2212294x x +=，即2121229()24x x x x +-=，∴ 212292224m m -⎛⎫-=⎪⎝⎭g ， 整理，得28330m m +-=．解得13m =，211m =-．当m ＝3时，△＝28(21)490m m +-=>；当m ＝-11时，△＝28(21)630m m +-=-<，方程无实数根． ∴ m ＝-11不合题意，应舍去． ∴ m 的值为3．14. 【答案与解析】 解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m +1）≥0， 解得m ≤4；（2）根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=2m +1， 而2x 1x 2+x 1+x 2≥20，所以2（2m +1）+6≥20，解得m ≥3， 而m ≤4，所以m 的范围为3≤m ≤4．15. 【答案与解析】解：（1）方程整理为x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2=0，根据题意得△=4（k ﹣1）2﹣4k 2≥0，解得k ≤；（2）根据题意得x 1+x 2=2（k ﹣1），x 1•x 2=k 2， ∵|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1， ∴|2（k ﹣1）|=k 2﹣1， ∵k ≤，∴﹣2（k ﹣1）=k 2﹣1，整理得k 2+2k ﹣3=0，解得k 1=﹣3，k 2=1（舍去）， ∴k=﹣3．。
专题根与系数的关系含答案
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；m，且点B（m，n）（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1α=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+1m-3=02（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，例2.∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，，∵二次项系数≠0，∴m≠0，例3.解得：m＞-14例4.∴当m＞-1且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；4例5.（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，例6. ∴x 1+x 2=2m−1m ，x 1x 2=m−2m ，例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=（x 1+x 2）2-3x 1x 2=（2m−1m ）2-3(m−2)m =2，例8. 解得：m 1=√2+1，m 2=-√2+1（舍去）；∴m =√2+1．例9.例10. 解：（1）∵△=（-4m ）2-4（4m 2-9）=36＞0，例11. ∴此方程有两个不相等的实数根；例12. （2）∵x =4m±√362=2m ±3，例13. ∴x 1=2m -3，x 2=2m +3，例14. ∵2x 1=x 2+1，∴2（2m -3）=2m +3+1，例15. ∴m =5．例16.例17. 解：（1）∵△=（4-3m ）2-4m （2m -8），例18. =m 2+8m +16=（m +4）2例19. 又∵m ＞0∴（m +4）2＞0即△＞0例20. ∴方程有两个不相等的实数根；例21. （2）∵方程的两个根分别为x 1、x 2（x 1＜x 2），例22. ∴x 1+x 2=-4−3m m ，x 1?x 2=2m−8m ， 例23. n =x 2-x 1-12m ，且点B （m ，n ）在x 轴上，例24. ∴x 2-x 1-12m =√(x 1+x 2)2−4x 2x 1-12m =√(4−3m m )2−4×2m−8m -12m =0，例25. 解得：m =-2，m =4，例26. ∵m ＞0，∴m =4．例27. .解：（1）∵方程x 2-2（m +1）x +m 2+5=0有两个不相等的实数根， 例28. ∴△=[-2（m +1）]2-4（m 2+5）=8m -16＞0，解得：m ＞2．例29. （2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，例30. ∴x 1+x 2=2（m +1），x 1?x 2=m 2+5．例31. ∵m ＞2，例32. ∴x 1+x 2=2（m +1）＞0，x 1?x 2=m 2+5＞0，例33. ∴x 1＞0、x 2＞0．例34. ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1?x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1?x 2，例35. ∴4（m +1）2-2（m 2+5）=2（m +1）+2（m 2+5），即6m -18=0，例36. 解得：m =3．例37.例38. 证明：（1）∵△=（2k +1）2-16（k -12）=（2k -3）2≥0， 例39. ∴方程总有实根；例40. 解：（2）∵两实数根互为相反数，例41. ∴x 1+x 2=2k +1=0，解得k =-0.5；例42. （3）①当b =c 时，则△=0，例43. 即（2k -3）2=0，∴k =32， 例44. 方程可化为x 2-4x +4=0，∴x 1=x 2=2，而b =c =2，∴b +c =4=a 不适合题意舍去； 例45. ②当b =a =4，则42-4（2k +1）+4（k -12）=0， 例46. ∴k =52， 例47. 方程化为x 2-6x +8=0，解得x 1=4，x 2=2，例48. ∴c =2，C △ABC =10，例49. 当c =a =4时，同理得b =2，∴C △ABC =10，例50. 综上所述，△ABC 的周长为10．例51.训练1.（1）证明：∵方程mx 2-（m +2）x +2=0（m ≠0）是一元二次方程，∴△=（m +2）2-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=（m -2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β=m+2m ，αβ=2m ， ∵1α+1β=1，∴m+2m 2m =m+22=1，解得m =0，∵m ≠0，∴m 无解．2.解：（1）∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m ≥0，解得m ≤1；（2）由两根关系可知，x 1+x 2=2，x 1?x 2=m ，解方程组{x 1+x 2=2x 1+3x 2=3， 解得{x 1=32x 2=12，∴m =x 1?x 2=32×12=34；（3）∵x 12-x 22=0，∴（x 1+x 2）（x 1-x 2）=0，∵x 1+x 2=2≠0，∴x 1-x 2=0，∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m =0，解得m =1．3.（1）证明：∵关于x 的方程x 2+（m -3）x -m （2m -3）=0的判别式△=（m -3）2+4m （2m -3）=9（m -1）2≥0，∴无论m 为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-（m -3），x 1×x 2=-m （2m -3），令x 12+x 22=26，得：（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（m -3）2+2m （2m -3）=26，整理，得5m 2-12m -17=0，解这个方程得，m =175或m =-1， 所以存在正数m =175，使得方程的两个实数根的平方和等于26． 4.（1）证明：在方程x 2-6x -k 2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k 2）=4k 2+36≥36， ∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根，∴x 1+x 2=6①，x 1?x 2=-k 2，∵2x 1+x 2=14②，联立①②成方程组{x 1+x 2=62x 1+x 2=14， 解之得：{x 1=8x 2=−2， ∴x 1?x 2=-k 2=-16，。
根的判别式和根与系数的关系能力提高训练题
根的判别式和根与系数的关系能力提高训练题1．（2012•资阳）关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是---------．2．若关于x的方程x2-k|x|+4=0有四个不同的解，则k的取值范围是--------．3．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，m=----．2．（2014•抚州）关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为------．3．（2014•镇江）若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则m=-------．4．（2014•上海）如果关于x的方程x2-2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是---------．5．（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3kx+8=0，则△ABC的周长是------6．（2013•兰州）若|b−1|+(a-2)平方＝0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是-----．7．（2013•张家界）若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是-----------．8．（2011•盘锦）关于x的方程（k-2）x2-4x+1=0有实数根，则k满足的条件是-------------．9．（2006•曲靖）已知关于x的方程x2+（3-m）x+m/4=0有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是-------．10．（2006•辽宁）已知一元二次方程x2-（4k-2）x+4k2=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为----------．11．（2000•甘肃）在一元二次方程x2+bx+c=0中（b≠c），若系数b、c可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是--------．12．（1997•河北）a、b、c是一三角形的三边长，若方程组x2−ax−y+b2+ac＝0ax−y+bc＝0只有一组解，则这个三角形一定是--------三角形．1．（2014•北京）已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．2．（2013•乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．3．（（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．4．（2012•绵阳）已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．5．（2012•临沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．6．（2011•厦门）已知关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．7．（2010•南充）关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．8．（2009•资阳）已知关于x的一元二次方程x2+kx-3=0．（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．9．（2009•江津区）已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．10．（2005•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m-1=0．求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．11．（2005•桂林）已知关于x的一元二次方程x2-6x+k=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-6x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求常数m的值．12．（2004•东城区）如果关于x的方程mx2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x的方程（m-5）x2-2（m-1）x+m=0的根的情况．13．（2004•茂名）已知：△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+2）x+k2+2k=0的两个实数根，第三边长为10．问当k为何值时，△ABC是等腰三角形？14．（2003•肇庆）已知关于x的方程（k2+2）x2+（2k-3）x+1=0，其中k为常数，试分析此方程的根的情况．15．（2002•黑龙江）是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2-（2m-1）x+1=0有两个实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由16．（2002•海南）对关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．（1）当a、c异号时，试证明该方程必有两个不相等的实数根；（2）当a、c同号时，该方程要有实数根，还须满足什么条件？请你找出一个a、c同号且有实数根的一元二次方程，然后解这个方程．17．（2001•杭州）（1）若方程x2+2px-q=0（p，q是实数）没有实数根，求证：p+q＜1/4；18．（2000•天津）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个相等的实数根，试判断直线y=（2k-3）x-4k+12能否通过点A（-2，4），并说明理由．（2000•东城区）已知关于x的一元二次方程x2-2mx-3m2+8m-4=0．（1）求证：当m＞2时，原方程永远有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围．19．（1997•山东）已知关于x的方程（m-2）x2-2（m-1）x+m+1=0．当m为何非负整数时．（1）方程只有一个实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程有两个不相等的实数根？20．（2010•东台市模拟）已知一元二次方程（m-3）x2+2mx+m+1=0有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数．（1）求m的取值范围；（2）当m在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．21．（2010•嘉定区二模）已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求方程的两个根．22．已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长．23．一元二次方程ax2-bx+c=0在（0，1）中有两个不同的实数根，其中a，b，c 是整数．求证：具有这种性质的a的最小正整数值存在．1．（2014•扬州）已知a，b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为---------2．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k-2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=----．3．（2014•德州）方程x2+2kx+k2-2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k 的值为-------．4．（2014•雅安）关于x的方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=-----．5．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1和x2，且（x1-2）（x1-x2）=0，则k的值是-----．6．（2014•巴中）菱形的两条对角线长分别是方程x2-14x+48=0的两实根，则菱形的面积为--------．7．（2013•黔东南州）若两个不等实数m、n满足条件：m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，则m2+n2的值是-------．8．（2013•眉山）已知关于x的一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=------．9．（2013•南昌）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程------．10．（2013•自贡）已知关于x的方程x2-（a+b）x+ab-1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是-------------．（填上你认为正确结论的所有序号）11．（2011•泸州）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为------．12．（2010•凉山州）已知三角形两边长是方程x2-5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是----13．（2006•株洲）已知a、b是关于x的方程x2-（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是------．14．（2004•嘉兴）如果一个矩形的长和宽是一元二次方程x2-10x+20=0的两个根，那么这个矩形的周长是-------------15．（2004•芜湖）关于x的方程m2x2+（2m+3）x+1=0有两个乘积为1的实数根，方程x2+（2a+m）x+1-m2=0有一个大于0且小于4的实数根，则a的整数值是--------16．（2004•宁波）等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根，则m的值为----------．17．（2003•成都）已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m-7=0有两个负数根，那么实数m的取值范围是-----------．18．（2003•金华）CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x2-6x+4=0的两根，则△ABC的面积为-------------．19．（2002•黄冈）如果a，b是方程x2+x-1=0的两个根，那么代数式a3+a2b+ab2+b3的值是--------9．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的两个实数根分别是x 1和x 2，若x 1+x 2-x 1x 2＜-1，且k 为整数，求k 的值．10．已知关于x 的方程kx 2-2x+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，则当k 为何值时，方程两根之比为1：3？11．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a 、b 的长是方程x 2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两个根，求m 的值．12．实数k 为何值时，方程x 2+（2k-1）x+1+k 2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．13．已知关于x 的方程x 2+﹙2m+1﹚x+m 2-2=0的两个实根的平方和为11，m 为实数，试分解因式x 2+﹙2m+1﹚x+m 2-2．16．实数a ，b ，c 满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1．求最大的实数k ，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立．18．已知：关于x 的两个方程x 2+（m+1）x+m-5=0…①与mx 2+（n-1）x+m-4=0…②方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．（1）求证方程②的两根符号相同；（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：3，且n 为整数，求m 的最小整数值．19．已知关于x 的方程x 2+（2k-1）x-2k=0的两个实数根x 1、x 2满足x 1-x 2=2，试求k 的值．20．已知：关于x的方程x2+（8-4m）x+4m2=0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．。
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一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系练习题
1、方程0232=+-x kx 有两个相等的实数根，则
k 。
2、若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是 。
3、关于x 的方程()0191322
=-+--m x m mx 有
两个实数根，则m 的范围是 。
4、已知k>0且方程11232-=++k x kx 有两个相等的实数根，则k= 。
5、当 k
不小于4
1
-
时，方程
()()01222
=+---k x k x
k 根的情况是 。
6
、
如
果
关
于
x
的
方
程
()()01222=+---m x m x m 只有一个实数根，那么
方程()()0422
=-++-m x m mx 的根的情况
是 。
7、如果关于x 的方程()0
5222
=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程()()0
2252=++--m x m x m 的
实
根
个
数
是 。
8、如果方程0422=--mx x 的两根为21,x x ，且
2112
1=+x x ，求实数 m 的值。
9、已知方程()02122
2
=-+++k x k x 的两实根
的平方和等于11，求k 的值。
10、m 取什么值时，方程()01222
=-++x x m 有
两个不相等的实数根？
11、m 取什
么值时，方程
()()0132
2=++--m x m x 有两个不相等的实数根？
12、已知014=-++b a ，当k 取何值时，方程02=++b ax kx 有两个不相等的实数根？
13、当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程
0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的
根都是整数？
14、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且35=c ，若关于x 的方程
()()
035235
2=-+++b ax x b 有两个相等的实数
根，且方程()0sin 5sin 1022
=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积。
（斜边
的对边
角A A =
sin ）
15、已知实数a 、b 满足b b a a 22,222
2
-=-=，且a ≠b ，求a
b
b a +的值。
16、已知：0125,0522
2
=-+=--q q p p ，其中p 、q 这实数，求2
2
1
q p +的值。
17、设方程071012=-+-k x x 的一个根的3倍少7为另一个根，求k 的值。
18、已知方程0422
2=-+-m mx x ，不解方程，求
证：（1）它有两个不相等的实数根；
（2）当m>2时，它的两个根都是正数。
19、已知：关于x 的方
程
()031222=-++-m x m x 。
（1）当m 取何值时，方程有两个相等的实数根？ （2）设方程的两实根分别为21,x x ，当
()()01221221=-+-+x x x x 时，求m 的值。
20、关于x 的方程()0322
=---+m x m x 的两
根的平方不大于25，求最大的整数m 。
21、关于x 的方程()06322
2
=++-+m x m x 的
两实根之积是两实根之和的2倍，求m 的值。
22、设
21,x x 是关于
x 的方程
()()02122
2=-+++m x m x 的两实根，当m 取什么
值时，()152
21=-x x ？
23、已知方程()()2
21k x x =--，k 为实数，且k
≠0，不解方程证明：
（1）这个方程有两个不相等的实数根； （2）一个根大于1，另一个根小于1。
24、已知21,x x 是关于
x
的方程
()0653422=---m x m x 的两个实数根，且
2
3
21=x x ，求m 的值。
25、已知：关于x 的方程042
=++b bx x 有两个相等的实根，21,y y 是关于y 的方程
()0422=+-+y b y 的两实根，求以21,y y 为根
的一元二次方程。
26、已知21,x x 是关于
x
的方程
01442=++-k kx kx 的两实根。
(1)是否存在实数k ，使()()2
3
222121-
=--x x x x 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由； （2）求使
21
2
21-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。
27、已知关于x 的方程()0132
=++-kx x k 。
（1）求证：不论k 取何值，方程总有实数根； （2）当k=4时，设该方程的两个实数根为α、β，
求作以1
122++βα和1122++αβ为根的一元二次方程。
28、已知方程组⎩⎨⎧+==m
x y x
y 242（m ≠0）有两个不同
的实数解⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩
⎨⎧==22
y y x x 。
（1）求m 的取值范围；
（2）当m=－2时，求
2
1
12x x x x +的值。
29、已知:关于x 的方程2x(mx －4)=x 2－6有两个实数根,求m 的最大整数值.
30、求证:不论m 为任何实数,关于x 的方程x 2
－2mx+6m －10=0总有两个不相等的实数根.
31、已知关于x 的方程x 2+2(m －2)x+m+2+4=0有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大21,-
求m 的值.
32、已知m 、n 是方程x 2－4x+1=0的两个实数根,求
代数式2m 2
+4n 2
－8n+1的值.
33、若实数x 1、x 2满足x 12
－3x 1+1=0,x 22
－3x 2+1=0,求+
的值.
34、设x 1、x 2是方程x 2－x －4=0的两根,求
1052
231++x x 的值.
35、已知βα、是方程01522
=++x x 的二根，
求
的值。
α
β
βα+。