(完整word版)高等代数多项式习题解答

第一章多项式习题解答

1. 用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x).

5x

2. m, p,q 适合什么条件时，有 1) x 2 mx 11 x 3 px q

q(x)

x 2 x 1, r(x)

5x 7.

x 3 0x 2 px q x

p 1

0,q m 时 x 2 mx 11 x 3 px

1) f(x)

x 3 3x 2 2x

3x 2

3

2

x 3x

x 1 3 2 2 1

x —x -x

3 3 7 2

4 1 x x 3 3

7 2 14 7 —x ■ x — 3 9 9

26 2 —x

9 9

q(x) £ r (x )

26 x

9

2) f(x)

2x 5, g(x)

4 x 4

x

0x 3 0x 2 x 3 2x 2 x 3 2x 2

2x 3

2

x x 2x

x

2

x

2x 5

4x 5 x 2 mx 1

当且仅当m 2 i,g(x)

x 2x 1 1

—x 3 3x 2

本题也可用待定系数法求解 .当X 2 mx 1| x 3 px q 时，用x 2 mx 1去除

x 3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为 x q.于是有

因此有m 2 p 1 0, q m .

2) x 2 mx 11 x 4 2

px q

由带余除法可得

4

2

/ 2

x px q (x mx

1)( x

2

mx 2

p 1 m ) m(2

p

m 2)x (q 1 p

m 2) 当且仅当r(x) m(2 p 2

m )x (q 1 p m 2) 0 时

2

x 4

2

mx 11 x px

q .即

m(2 p m 2

) 2

m

，即 m

Q 或 p 2

小

m 2,

q 1

p 0

q 1 p,

q 1.

本题也可用待定系数法求解.当x 2 mx 1|x 4

px 2 q 时，用x 2 mx 1去除

x 4 px 2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为 x 2 ax q .于是 有

3. 求 g(x)除 f (x)的商 q(x)与余式 r(x). 5

3

1) f (x) 2x 5x 8x, g(x) x 3; 解：运用综合除法可得 32

5

8

0 6 18 39 117

327

2 6 13

39 109 327

商为 q(x) 2x 4 6x 3 13x 2 39x 109，余式为 r(x) 327.

4 2

x px

q (x 2

ax q)( 2

x mx 1)

(m a)x 3 (ma

2

q 1)x

(a mq)x q.

ma q 1 p,

a mq 0.消去a 可得

m 0,或

2

p m 2,

q 1 p,

q 1.

x 4 比较系数可得m a 0,

2

px q (x q)(x mx 1)

x 3 (m q)x 2

(mq 1)x q .

2) f(x) x 3 x 2

x,g(x) x 1 2i .

解:运用综合除法得：

1 2i 1

1 1 0 1 2i

4 2i 9 8i 1 2i

5 2i

9 8i

商为x 2 2ix (5 2i),余式为9 8i .

c 0即为x X o 除f (x)所得的余式，商为q(x) q 可得C 1为x x o 除商q(x)所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数 解：1)解

法一：应用综合除法得•

1 1 o o o o o

11111 111111 1

12 3 4 1 1 2 3 4 5

1 3 6 1 1 3 6 1o

1 4 1 1 4 1o 1

4.把 f(; x)表成x X °的方幂和，即表示成

C

o

C 1(X X o ) C 2(X X o )2

的形

1) f(x) 5

x

1

2) f(x) 4

x 2x 2

3, x

o

2;

3) f(x) 4

x

2ix 3 (1 i)x 2 3x 7 i,x o

1

分

析： 假设 f(x) 为n 次多项式，令

f(x)

C o G (x X o ) C 2(X X o )2

C n (x X o )n

式.

x o )n1]

C o (x X o )[G C 2(x x o )

C n (x C 2(x X 。)

C n (x x °)n1.类似